函数与导数：隐零点问题、切线放缩问题、同构问题复习讲义-2027届高三数学一轮复习

2027届高三数学一轮复习讲义 函数与导数：隐零点问题、切线放缩问题、同构问题复习讲义 考点目录 隐零点问题 切线放缩问题 同构问题 考点一 隐零点问题 一、核心本质 当导函数为超越方程（含 、 等）时，导数的零点客观存在，但无法求出精确的代数解，这类零点称为隐零点。 解题核心是设而不求，整体代换：设出零点 ，利用“导函数在 处值为 0”的等式，将原函数中的超越项替换为整式，把目标函数转化为可分析最值的普通函数。 二、适用场景 · 求含 、 的函数的最值、极值； · 证明超越不等式； · 恒成立问题中求参数的整数解等。 三、标准解题步骤 1. 求导判单调 求函数 的导函数 ，通过二阶导数或直接分析，证明 在定义域上单调递增/递减，说明导函数至多有一个零点。 1. 定零点区间 代入特殊值（如 、、），结合零点存在定理，确定隐零点 所在的大致区间，例如 。 1. 设零点立等式 设 ，得到对应的超越等式，例如 ，整理出代换关系：、 等。 1. 代换化简 将 代入原函数 ，用上述等式替换所有超越项（、），化简为仅含 的整式函数。 1. 求值得结论 根据 的区间，分析化简后函数的取值范围，得到原函数的最值，或完成不等式证明。 例1．（25-26高三上·辽宁鞍山·阶段检测）已知函数，. (1)若直线与函数的图象相切，求实数的值； (2)当时，求证：. 【答案】（1）； （2）证明： 当时，， 令， . 令，.则， ∴函数在上单调递增. ∵，. ∴函数在区间上存在一个零点，即函数在区间上存在唯一零点. ∴当时，，即，此时函数单调递减； 当时，，即，此时函数单调递增. ∴，由可得：. 两边取对数可得：. 故， ∴，即. 【分析】（1）设出切点坐标，利用导数求得切线方程，对比系数求得的值. （2）当时，构造函数，利用导数求得的最小值为，由此证得不等式成立. 【详解】（1）设切点为，由，∴. ∴切线方程为：.即. ∵直线与函数的图象相切，∴，. 解得，. （2）略. 【点睛】本小题主要考查利用导数求解有关切线方程的问题，考查利用导数证明不等式，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于难题. 例2．（25-26高三上·福建泉州·阶段检测）已知函数． (1)若在处的切线斜率为，求； (2)若恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由导数的意义计算可得； （2）先将问题转化为恒成立，再构造函数，求导后再次构造，再次求导结合零点存在定理分析的单调性和最值可得. 【详解】（1）因为，所以，       依题意，解得. （2）因为的定义域为，          又， 所以恒成立   ，                       令， 则  ，                       令，则，所以在上单调递增， 又， 所以，使得，即，，则， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，                所以，所以. 例3．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知函数． (1)若在处的切线斜率为，求； (2)若恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出函数的导函数，由计算可得； （2）依题意可得恒成立，令，，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最小值，即可得解. 【详解】（1）因为， 所以，依题意，解得； （2）因为的定义域为， 又， 所以恒成立， 令，，则， 令，，则，所以在上单调递增， 又，， 所以使得，即，，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以， 即实数的取值范围为. 例4．（25-26高三上·陕西西安·阶段检测）已知函数． (1)当时，，，求的取值范围； (2)证明：当时，在上单调递增． 【答案】(1) (2)由， 令， 设，则，所以在上单调递增， 即， 若，则，即 ， 所以在上单调递增，则 ， 所以当时，在上单调递增. 【分析】（1）根据三角函数的性质，利用导数研究函数的值域即可； （2）利用二次求导结合适当放缩判定的导函数符合即可. 【详解】（1）当时，， 令， 显然时，，则在上单调递减， 所以，即在上单调递减， 所以， 所以； （2）略 例5．（25-26高三上·四川乐山·阶段检测）已知函数，且曲线在点处的切线斜率是 (1)求a的值. (2)证明： (3)证明： 【答案】(1) (2)证明如下： 由（1）知，， 则， 由，得， 由，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以； (3)证明如下： 令， 则， 令，则， 所以在上单调递增， 又， 所以存在，使得， 即，即， 且当时，，则， 当时，，则， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 因为，所以， 所以， 所以， 即 【分析】（1）求导可得，结合已知可求； （2）利用导数求得函数的单调区间，可求函数的最小值可得结论； （3）令，求导，令，求导可得存在，使得，从而可得在上单调递减，在上单调递增，可得函数的最小值，证明最小值大于0即可. 【详解】（1）因为， 所以，所以， 因为曲线在点处的切线斜率是， 所以， 解得； （2）略 （3）略 变式1．（25-26高三上·山东青岛·阶段检测），若在上恒成立，求的取值范围． 【答案】 【分析】注意到，，若，则一定存在一个，使得时，都有成立，所以在时单调递减，所以；并且，因此通过得出的参数范围就是正确答案，这便是端点效应．这种方法可以帮我们得出分类的依据，例如本题中，根据，得，因此我们分和两类进行讨论． 【详解】由，则，， 若，则，且， 则单调递增，即时，恒成立， 所以在上单调递增，即时，，符合题意； 若，则，则，，且， 则单调递增，则存在，使得成立， 所以在上单调递减，所以，不符合题意， 综上，的取值范围为． 变式2．（25-26高三上·山东淄博·阶段检测）已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)若，试判断函数与的图象的交点个数，并说明理由． 【答案】(1) 当时在R上单调递减； 当时的单调递减区间为，单调递增区间为． (2)无交点，理由如下： ，则，令，即， 令，则， 令，则， 所以当时，则单调递减，且， 当时，则单调递增， 又，，故当时， 所以当时，则单调递减， 当时，则单调递增， 所以，所以方程无实根， 所以函数与的图象无交点. 【分析】（1）求导可得，分类讨论当、时函数对应的单调性即可求解； （2）由得，令，利用二次导数讨论函数的性质可得，即可下结论. 【详解】（1）函数的定义域为R，且， 当时恒成立，所以在R上单调递减， 当时，令，解得， 所以当时，当时， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为， 综上可得：当时在R上单调递减； 当时的单调递减区间为，单调递增区间为． （2）略 变式3．（25-26高三上·浙江宁波·阶段检测）已知函数． (1)若曲线在处的切线过点，求实数a的值； (2)当时，证明：． 【答案】(1) (2) 证明：，设，则， 因为，所以当时，，即单调递减； 当时，，即单调递增； 时，，即， ，， 所以当时，. ，， 所以存在唯一的，使得，即， 且当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以当时，函数在处取得极小值，即为最小值， 所以， 因为，所以，故， 则，得证． 【分析】（1）利用导数的几何意义在某一点处的导数即为在这点处的切线斜率求解切线方程，再将代入方程，即可求出实数a的值. （2）二次求导，利用导数判断函数的单调性，写出函数的最小值，判断最小值大于即可得证. 【详解】（1）函数的定义域为，，所以， 又， 所以在处的切线方程为， 将点代入得，解得． （2）略 变式4．（25-26高二下·广东江门·期末）已知函数，直线是曲线在点处的切线，且直线与曲线相切． (1)求直线的方程； (2)求a； (3)若不等式对任意的恒成立，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）对原函数求导得到切点处的斜率，再代入点斜式得出切线方程. （2）利用“切点处的导数值等于切线斜率”以及“切点既在曲线上又在切线上”这两个条件联立方程求解. （3）采用分离参数法构造新函数，通过连续求导与零点存在性定理找到该函数的最小值，进而确定整数的最大值. 【详解】（1），， 则在点处的切线方程为， 整理得. （2），设直线与曲线的切点为， 则， 且，，联立得，解得， 则. （3）由上知， 对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 因为，所以，则恒成立，即， 设，则， 设，则， 因为，所以，即在上单调递增， ，， 由零点存在性定理可知，存在唯一的，使得， 即， 当时，，即，单调递减， 当时，，即，单调递增， 因此，所以， 因为，且，所以的最大值为. 考点二 切线放缩问题 一、核心本质 利用超越函数在某点处的切线作为近似，将 、 等超越函数放缩为一次多项式，把复杂的超越不等式转化为易证的代数不等式，是“以直代曲”思想的体现。 放缩的核心原则：放缩后不等号方向不变，且尽量贴近原函数，避免放缩过度。 二、核心常用切线不等式 基础款（必须掌握） 1. 指数切线：，当且仅当 时取等号； 常用变形：，当且仅当 时取等号。 1. 对数切线：，当且仅当 时取等号； 常用变形：，当且仅当 时取等号。 拓展款（灵活选用） · ，当且仅当 时取等； · ，当且仅当 时取等； · 可通过平移、伸缩得到更多放缩式，如 。 三、常见应用题型 1. 直接证明不等式：对不等式一侧的超越项做切线放缩，证明放缩后的式子仍满足目标不等式； 1. 数列求和不等式：对通项中的对数/指数项赋值放缩，转化为可裂项、可求和的形式； 1. 参数范围的必要条件探路：先放缩得到参数的大致范围，再验证充分性。 四、解题步骤 1. 辨结构定方向：观察不等式中的超越函数，根据不等号方向选择对应放缩式（证明大于等于用下界放缩，证明小于等于用上界放缩）； 1. 放缩转化：用切线不等式替换超越项，得到简化后的代数不等式； 1. 证明简化式：用常规方法证明放缩后的不等式成立； 1. 验等号：验证放缩的等号与原不等式的等号能否同时取得，确保放缩严谨。 例1．（25-26高三上·天津滨海新区·期中）“切线放缩”是处理不等式问题的一种技巧. 如：在点处的切线为，如图所示，易知除切点外，图象上其余所有的点均在的上方，故有. 该结论可通过构造函数并求其最小值来证明. 显然，我们选择的切点不同，所得的不等式也不同. 请根据以上材料，判断下列命题中正确命题的个数是（   ） ①； ②； ③； ④. A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】利用可得，由知①正确；由知②正确；利用反例可说明③错误；令，利用导数可求得，知④正确. 【详解】对于①，当时，由得：，即； ，故①正确； 对于②，由得：，即，，故②正确； 对于③，由得：； 当时，，此时， 则，即不成立，故③错误； 对于④，令，则， 令，则，在上单调递增， 又，，，使得， 当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，； 由得：，，， ，即，，④正确. 故选：C. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的求解策略： 形如求解策略： 1、构造函数法：令，利用导数求得函数的单调性与最小值，只需恒成立即可； 2、参数分离法：转化为或恒成立，即或恒成立，只需利用导数求得函数的单调性与最值即可； 3，数形结合法：结合函数的图象在的图象的上方（或下方），进而得到不等式恒成立. 例2．（26-27高三上·河北邢台·阶段检测）已知函数. (1)当时，求的零点个数； (2)若不等式恒成立，求的值； (3)在（2）的条件下，求证：. 【答案】(1)1 (2) (3)由（2）知，， 要证，只需证. 设，， 设， 则， 设，， 当时，， 当时， ，，，，则， 则在上是单调递增函数， 当时， ，，，，则， 则在上是单调递减函数， 则在处取最小值，且最小值为， 则在上恒成立，即在上恒成立， 则在上为单调递增函数， 又， 则当时，，即，则在上是单调递减函数； 当时，，即，则在上是单调递增函数； 则在处取最小值，且最小值为， 则在上恒成立，即在上恒成立， 即，故成立，证毕. 【分析】（1）利用导数法求出函数的单调性，利用单调性得到的最小值，利用单调性和最小值结合零点存在性定理得到结论； （2）由题意得到恒成立，构造函数，由于对一切成立，而，从而得到就是的最小值点，必有，从而得到的值. （3）要证，只需证.通过构造函数结合导数的单调性求最小值进行证明. 【详解】（1），当时， ，定义域为， ，令，得. 当时，，则在上是单调递减函数， 当时，，则在上是单调递增函数， 则在处取最小值，且， 当时，，故； 当时，. 则在上函数从递减到，始终为负，无零点； 在上从负值单调递增到正无穷，函数图象穿过横轴一次. 则有且仅有个零点. 故当时，的零点个数为个. （2），不等式恒成立， 则恒成立， 令，. 由于对一切成立，而， 说明就是的最小值点，因此必有 . ， ，解得， 当 时，，. 当时，，则在上是单调递减函数； 当时，，则在上是单调递增函数. 则的最小值，故恒成立. 故. （3）略 例3．（26-27高三上·广东深圳·阶段检测）已知函数． (1)设x=0是的极值点，求m，并讨论的单调性； (2)当时，证明. 【答案】(1)在上是减函数；在上是增函数 (2)当，时，，则， 故只需证明当时，. 当时，函数在上单调递增. 又，故在上有唯一实根，且. 当时，； 当时，，从而当时，取得最小值. 由得，则 故. 【详解】（1）依题意，，由是的极值点，得，解得， 则， 当时，，则；当时，，则， 所以是的极值点，，且在上单调递减，在上单调递增. （2）略 例4．（2026·河南信阳·一模）函数，． (1)时，讨论函数的零点的个数； (2)若时，，求实数的取值范围； (3)求证：对任意正整数， 【答案】(1)2个 (2) (3)当时，左边，右边，左边右边； 由（2）知时，即，对恒成立. 设，，在上单调递增， 恒成立，即对于恒成立. 时，， ， 时，. 综上，对任意正整数，. 【分析】（1）先分析的单调性，再取特殊值根据零点存在定理确定零点所在区间及总个数； （2）先由端点值得到的范围，再证明此范围能使对恒成立； （3）先说明时不等式成立，当时，待证不等式等价于 ，不等式右边可看成这项之和，联想到，不等式左边也能分解成项之和. 若能证明左边的每一项都不小于右边的对应项即，便能证明原式成立，该式的证明需结合（2）中对恒成立和常用放缩. 【详解】（1）时，，. 令，得；令，得. 在上单调递减，在上单调递增，至多2个零点. 又，，， 在和内各有一个零点，共2个零点. （2）时，，，得. 当时，， 在此基础上，当时，，， 在上单调递增，恒成立. 实数的取值范围为. （3）略 变式1．（25-26高二下·福建宁德·期中·多选）“切线放缩”是处理不等式问题的一种技巧．如图所示，曲线在点处的切线方程为．易知，除切点外，图象上其余所有的点均在的上方，故有．显然，选择的切点不同，所得不等式也不同．请根据以上材料，判断下列命题中正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ABD 【分析】先利用题目给出的切线放缩核心结论，推导验证A选项；再用该结论结合函数单调性分析B选项，通过特殊值排除C选项，最后对D选项构造函数求最小值并利用导数研究其单调性与最值完成判断． 【详解】对于A，令，代入得，整理得，A正确； 对于B，由得， 令，则时，， 所以在上单调递增，所以，B正确； 对于C，存在，使得不成立，C错误； 对于D，令，由，得， 因为，所以， 因此只需证：，只需证明不等式：， 由A得，即，所以， 即证，令，则，D正确． 变式2．（26-27高三上·陕西安康·阶段检测）已知函数. (1)若是的极值点，求的值并讨论的单调性； (2)证明：当时，. 【答案】(1)，在上单调递减，在上单调递增 (2)证明见解析 【分析】（1）求导，令导数为零，求出m的值，再对导函数求导，运用分类讨论即可求解； （2）运用函数不等式，求出m=3时的最小值即可证明. 【详解】（1） ，由已知得 ，解得. ∴， ， ∴ ，令 ，则 ，即 在上单调递增且 ， ∴ 时， ；时， ， ∴在上单调递减，在上单调递增； （2）当时，，，， ∴只需证明当时，. 当时， ，令 ，则有 ，即 在上单调递增， ∵ ， ，∴ 在上有唯一的实根， 当时， ；当 时， ，∴在处取得最小值， 由 得，， ， 综上可得当时， 变式3．（25-26高三上·福建福州·阶段检测）利用曲线的切线进行放缩：设上任意一点的横坐标为，则过该点的切线方程为，即，由此可得与有关的不等式，其中，等号当且仅当时成立；设上任意一点的横坐标为，则过该点的切线方程为，即，由此可得与有关的不等式：，其中，等号当且仅当时成立，设是在点处的切线 (1)求的解析式 (2)求证： (3)设，若对恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)证明:令， 满足且， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以， 故； (3) 【分析】（1）求得，可求切线方程； （2），求导可得，可证结论； （3），结合（1）可得，分和两种情况讨论可求的取值范围. 【详解】（1）由，得，则， 故在点处的切线方程为， 即，即的解析式为； （2）略； （3）的定义域是，且， ①当时，由（2）得，则， 故在上单调递增，则恒成立，符合题意， ②当时，令，的导数， 则在区间上单调递增， 因为，所以存在，使得， 则在区间上单调递减，在区间上单调递增， 故， 此时不可能恒成立，不符合题意， 综上所述，的取值范围是. 变式4．（2026·广东汕头·一模）已知函数在处取得极大值． (1)求的值． (2)如果且，证明：． (3)，求证：． 【答案】(1) (2)法一：不妨设，要证，只要证， 因为、，函数在单调递减， 只要证，只要证． 令，， 则 所以在单调递减，即， 所以成立，即成立． 法二：由题意知，则， 不妨设，要证，只要证，只要证， 只要证， 只要证，只要证，令， 只要证，令，，， 所以在单调递增，所以， 即，所以． (3)先证明左边：由（1）知，等号成立当且仅当， 令为，可得，等号成立当且仅当． 令，则， 从而有，，…，． 根据不等式同向可加性得，左边得证． 下面证明右边：由（2）的方法二知：，，令，可得 ． 从而，，…，． 根据不等式同向可加性得，右边得证； 法二：以证明右边为例：因为数列的前项和为， 所以要证， 只要证 只要证，只要证 只要证，令，只要，，证毕． 【分析】（1）利用极值点的必要条件进行求解； （2）极值点偏移问题，利用函数的单调性构造对称函数即可求解； （3）根据对数恒等式，利用裂项相消与放缩。 【详解】（1）因为为函数的最大值点， 即为函数的极大值点， 求导得，，解得． 当时，， 所以函数在单调递增，在单调递减，所以． 即符合题意． （2）略 （3）略 考点三 同构问题 一、核心本质 通过对不等式/方程进行恒等变形（指对互化、移项、同乘除变量等），使等式/不等式两边呈现完全相同的函数结构，构造一个“母函数”，利用母函数的单调性，将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，实现降维简化。 核心是结构统一，用单调性脱函数符号。 二、三大经典同构模型 1. 和差型同构（ 型） · 核心结构： · 变形技巧：将右侧的 改写为 ，化为 · 母函数：（天然单调递增），转化为 。 2. 乘积型同构（ 型） · 核心结构： · 变形技巧：将右侧改写为 ，化为 · 母函数：（ 时单调递增），转化为 。 3. 分式型同构（、 型） · 核心结构： · 变形技巧：统一为 ，构造 。 三、常见题型 1. 证明不等式：同构后转化为自变量的简单不等式，大幅降低证明难度； 1. 恒成立求参数：同构后利用单调性，将参数分离或转化为最值问题； 1. 解方程/零点问题：同构后利用单调性，得到自变量的等量关系，求解方程。 四、解题步骤 1. 辨结构：观察式子中指数、对数的分布，判断是否可凑出相同函数结构； 1. 恒等变形：利用 、 进行指对互化，配合移项、同乘除，将两边化为完全一致的形式； 1. 构母函数：提取公共结构构造函数 ，证明其单调性； 1. 脱函数号：根据单调性，将 转化为自变量的不等式（增函数对应 ，减函数对应 ）； 1. 求解验证：解出最终结果，验证定义域与等号条件。 例1．（26-27高三上·江苏苏州·阶段检测）已知函数，，若，，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将函数不等式化成，指对同构令，再构造函数，利用导数分析单调性和最值可得． 【详解】由，得，即，即， 因为，令，，则，所以． 令，则， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以，则． 例2．（26-27高三上·江西南昌·阶段检测）若时，，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用同构思想，并换元，将原不等式转化为，对恒成立，再利用分离参数的思想求参数范围，注意新元素的范围，需要分类讨论. 【详解】原不等式转化为，， 因为， 所以， 令，， 因为函数在上单调递增， 且时，；时，， 所以， 所以原不等式转化为，恒成立； 当时，， 令，则恒成立， 所以在上单调递减， 当时，， 所以此时， 所以，即； 当时，恒成立； 当时，， 令，则， 所以当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数取得极小值， 所以， 所以，即， 综上：， 所以的最大值为. 例3．（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）若对恒成立，则实数的最大值为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】D 【分析】通过同构变形构造单调函数，将恒成立问题转化为，求的最小值即可得到的最大值. 【详解】，原不等式两边除以并整理，， 因为，因此， 构造函数，，故在R上单调递增， 不等式等价于，对恒成立 令，， ，，单调递减，，，单调递增， 所以时取最小值， 因此，即的最大值为. 例4．（26-27高三上·河北保定·阶段检测）若，，则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】将不等式变形，可得，再由的单调性可得，构造函数，由，即可得到的范围. 【详解】由题意可得对恒成立，则， 由可得， 即， 令，则，则函数在上单调递增， 即由可得， 令，即对恒成立， 可得，令，则， 当时，即，，在单调递增， 可得，要使，则，即, 又因为，所以不满足； 当时，即，，在单调递增， 得到，符合要求，则； 当时，即，当时，，则函数单调递减， 当时，，则函数单调递增， 所以当时，有极小值，即最小值， 所以，解得，所以； 综上所述，的取值范围为. 例5．（26-27高三上·江苏苏州·阶段检测）若不等式恒成立，则实数a的取值范围为________． 【答案】 【分析】整理可得，构造函数，利用导数判断的单调性，根据单调性可得在上恒成立，构造函数，利用导数求最值即可得结果. 【详解】由题意，可得，恒成立， 整理变形得，恒成立. 构造函数，，故在上单调递增. 因此原不等式转化成，在上恒成立. 在上恒成立. 令，即. ，令，得. 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减. . ，即实数a的取值范围为. 例6．（26-27高三上·天津静海·阶段检测）已知函数，． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)已知函数有两个不同的零点，，求实数的取值范围； (3)证明：当时， 【答案】(1) (2) (3)当时，要证即证， 整理得即证， 设，则， 当时，，故在上为减函数； 当时，，故在上为增函数； 故即，取， 则即成立. 【分析】（1）根据导数的几何意义可求切线方程； （2）求出函数的导数，就、分类讨论函数的单调性后可得函数的最大值，根据函数存在两个不同的零点可求最大值为正，再根据导数可求参数的取值范围； （3）利用同构可证题设中的不等式成立. 【详解】（1），故，而， 故曲线在点处的切线方程为， 整理得切线方程为. （2）， 若，则恒成立，故在上单调递增， 这与有两个不同的零点矛盾； 若，令，则，令，则， 故在上单调递增，在上单调递减， 故， 因为函数有两个不同的零点，，故， 设，则， 故在上为减函数，而，故的解为， 故. 而当时，，时，， 故时，确有两个不同的零点，故. （3）略. 变式1．（26-27高三上·河南南阳·阶段检测）当时，恒成立，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】对条件不等式两端同乘，再令，问题转换成，再构造函数，求导确定最值即可求解. 【详解】由，又， 所以， 令，， 即，得， 令， 则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 从而， 故的最大值为. 变式2．（2026·广东梅州·模拟预测）若对任意的，不等式恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用同构构造，通过讨论的单调性，转化为在的恒成立问题，然后再讨论在的最大值，即可得到，即的最小值为. 【详解】若，则，取时，； 此时无法保证对恒成立， 综上可知，. 根据，可得， 于是设，则原不等式转化为对恒成立. 考虑对恒成立， 所以在单调增. 因为时，，且. 所以. 即对恒成立. 考虑函数，则令，解得 所以在单调增，在单调减. 即，所以. 变式3．（25-26高二下·江苏南京·期末）已知不等式恒成立，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】可变形为，构造函数，，根据导数与单调性及最值的关系求解即可. 【详解】变形为， 构造，定义域为， 则在上恒成立， 所以在单调递增，故， 两边平方后变形得到， 构造，， 则，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故在处取得极小值，也是最小值， 可知，所以， 故的最大值为. 变式4．（26-27高三上·湖南娄底·阶段检测）若关于x的不等式恒成立，则实数m的最大值为______ 【答案】/ 【分析】同构思想：把不等式两边整理成同一个函数的形式，利用单调性脱去外层函数，转化为普通恒成立求最值问题. 【详解】首先， ， 令，则， 所以在定义域内严格单调递增， 所以若有成立，则必有， 即对于任意的恒成立， 令，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当时，取得最小值， 从而，所以m的取值范围是，即实数m的最大值为． 变式5．（26-27高三上·河北衡水·开学考试）当，时，不等式恒成立，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】不等式可变形为；构造函数，根据导数与单调性的关系进一步转化为；参变分离得到，构造函数，根据导数与单调性及最值的关系求解即可. 【详解】当，时，不等式恒成立可化为当，时，恒成立， 即当，时，恒成立． 设，则恒成立，所以函数单调递增， 所以，即． 设函数，则， 令，即，解得. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以，所以，解得. 故的取值范围是． 2 学科网（北京）股份有限公司 $2027届高三数学一轮复习讲义 函数与导数：隐零点问题、切线放缩问题、同构问题复习讲义 考点目录 隐零点问题 切线放缩问题 同构问题 考点一 隐零点问题 一、核心本质 当导函数为超越方程（含 、 等）时，导数的零点客观存在，但无法求出精确的代数解，这类零点称为隐零点。 解题核心是设而不求，整体代换：设出零点 ，利用“导函数在 处值为 0”的等式，将原函数中的超越项替换为整式，把目标函数转化为可分析最值的普通函数。 二、适用场景 · 求含 、 的函数的最值、极值； · 证明超越不等式； · 恒成立问题中求参数的整数解等。 三、标准解题步骤 1. 求导判单调 求函数 的导函数 ，通过二阶导数或直接分析，证明 在定义域上单调递增/递减，说明导函数至多有一个零点。 1. 定零点区间 代入特殊值（如 、、），结合零点存在定理，确定隐零点 所在的大致区间，例如 。 1. 设零点立等式 设 ，得到对应的超越等式，例如 ，整理出代换关系：、 等。 1. 代换化简 将 代入原函数 ，用上述等式替换所有超越项（、），化简为仅含 的整式函数。 1. 求值得结论 根据 的区间，分析化简后函数的取值范围，得到原函数的最值，或完成不等式证明。 例1．（25-26高三上·辽宁鞍山·阶段检测）已知函数，. (1)若直线与函数的图象相切，求实数的值； (2)当时，求证：. 例2．（25-26高三上·福建泉州·阶段检测）已知函数． (1)若在处的切线斜率为，求； (2)若恒成立，求的取值范围． 例3．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知函数． (1)若在处的切线斜率为，求； (2)若恒成立，求的取值范围． 例4．（25-26高三上·陕西西安·阶段检测）已知函数． (1)当时，，，求的取值范围； (2)证明：当时，在上单调递增． 例5．（25-26高三上·四川乐山·阶段检测）已知函数，且曲线在点处的切线斜率是 (1)求a的值. (2)证明： (3)证明： 变式1．（25-26高三上·山东青岛·阶段检测），若在上恒成立，求的取值范围． 变式2．（25-26高三上·山东淄博·阶段检测）已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)若，试判断函数与的图象的交点个数，并说明理由． 变式3．（25-26高三上·浙江宁波·阶段检测）已知函数． (1)若曲线在处的切线过点，求实数a的值； (2)当时，证明：． 变式4．（25-26高二下·广东江门·期末）已知函数，直线是曲线在点处的切线，且直线与曲线相切． (1)求直线的方程； (2)求a； (3)若不等式对任意的恒成立，求的最大值． 考点二 切线放缩问题 一、核心本质 利用超越函数在某点处的切线作为近似，将 、 等超越函数放缩为一次多项式，把复杂的超越不等式转化为易证的代数不等式，是“以直代曲”思想的体现。 放缩的核心原则：放缩后不等号方向不变，且尽量贴近原函数，避免放缩过度。 二、核心常用切线不等式 基础款（必须掌握） 1. 指数切线：，当且仅当 时取等号； 常用变形：，当且仅当 时取等号。 1. 对数切线：，当且仅当 时取等号； 常用变形：，当且仅当 时取等号。 拓展款（灵活选用） · ，当且仅当 时取等； · ，当且仅当 时取等； · 可通过平移、伸缩得到更多放缩式，如 。 三、常见应用题型 1. 直接证明不等式：对不等式一侧的超越项做切线放缩，证明放缩后的式子仍满足目标不等式； 1. 数列求和不等式：对通项中的对数/指数项赋值放缩，转化为可裂项、可求和的形式； 1. 参数范围的必要条件探路：先放缩得到参数的大致范围，再验证充分性。 四、解题步骤 1. 辨结构定方向：观察不等式中的超越函数，根据不等号方向选择对应放缩式（证明大于等于用下界放缩，证明小于等于用上界放缩）； 1. 放缩转化：用切线不等式替换超越项，得到简化后的代数不等式； 1. 证明简化式：用常规方法证明放缩后的不等式成立； 1. 验等号：验证放缩的等号与原不等式的等号能否同时取得，确保放缩严谨。 例1．（25-26高三上·天津滨海新区·期中）“切线放缩”是处理不等式问题的一种技巧. 如：在点处的切线为，如图所示，易知除切点外，图象上其余所有的点均在的上方，故有. 该结论可通过构造函数并求其最小值来证明. 显然，我们选择的切点不同，所得的不等式也不同. 请根据以上材料，判断下列命题中正确命题的个数是（   ） ①； ②； ③； ④. A．个 B．个 C．个 D．个 例2．（26-27高三上·河北邢台·阶段检测）已知函数. (1)当时，求的零点个数； (2)若不等式恒成立，求的值； (3)在（2）的条件下，求证：. 例3．（26-27高三上·广东深圳·阶段检测）已知函数． (1)设x=0是的极值点，求m，并讨论的单调性； (2)当时，证明. 例4．（2026·河南信阳·一模）函数，． (1)时，讨论函数的零点的个数； (2)若时，，求实数的取值范围； (3)求证：对任意正整数， 变式1．（25-26高二下·福建宁德·期中·多选）“切线放缩”是处理不等式问题的一种技巧．如图所示，曲线在点处的切线方程为．易知，除切点外，图象上其余所有的点均在的上方，故有．显然，选择的切点不同，所得不等式也不同．请根据以上材料，判断下列命题中正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 变式2．（26-27高三上·陕西安康·阶段检测）已知函数. (1)若是的极值点，求的值并讨论的单调性； (2)证明：当时，. 变式3．（25-26高三上·福建福州·阶段检测）利用曲线的切线进行放缩：设上任意一点的横坐标为，则过该点的切线方程为，即，由此可得与有关的不等式，其中，等号当且仅当时成立；设上任意一点的横坐标为，则过该点的切线方程为，即，由此可得与有关的不等式：，其中，等号当且仅当时成立，设是在点处的切线 (1)求的解析式 (2)求证： (3)设，若对恒成立，求的取值范围． 变式4．（2026·广东汕头·一模）已知函数在处取得极大值． (1)求的值． (2)如果且，证明：． (3)，求证：． 考点三 同构问题 一、核心本质 通过对不等式/方程进行恒等变形（指对互化、移项、同乘除变量等），使等式/不等式两边呈现完全相同的函数结构，构造一个“母函数”，利用母函数的单调性，将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，实现降维简化。 核心是结构统一，用单调性脱函数符号。 二、三大经典同构模型 1. 和差型同构（ 型） · 核心结构： · 变形技巧：将右侧的 改写为 ，化为 · 母函数：（天然单调递增），转化为 。 2. 乘积型同构（ 型） · 核心结构： · 变形技巧：将右侧改写为 ，化为 · 母函数：（ 时单调递增），转化为 。 3. 分式型同构（、 型） · 核心结构： · 变形技巧：统一为 ，构造 。 三、常见题型 1. 证明不等式：同构后转化为自变量的简单不等式，大幅降低证明难度； 1. 恒成立求参数：同构后利用单调性，将参数分离或转化为最值问题； 1. 解方程/零点问题：同构后利用单调性，得到自变量的等量关系，求解方程。 四、解题步骤 1. 辨结构：观察式子中指数、对数的分布，判断是否可凑出相同函数结构； 1. 恒等变形：利用 、 进行指对互化，配合移项、同乘除，将两边化为完全一致的形式； 1. 构母函数：提取公共结构构造函数 ，证明其单调性； 1. 脱函数号：根据单调性，将 转化为自变量的不等式（增函数对应 ，减函数对应 ）； 1. 求解验证：解出最终结果，验证定义域与等号条件。 例1．（26-27高三上·江苏苏州·阶段检测）已知函数，，若，，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例2．（26-27高三上·江西南昌·阶段检测）若时，，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 例3．（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）若对恒成立，则实数的最大值为（    ） A． B．1 C．2 D． 例4．（26-27高三上·河北保定·阶段检测）若，，则的取值范围为__________． 例5．（26-27高三上·江苏苏州·阶段检测）若不等式恒成立，则实数a的取值范围为________． 例6．（26-27高三上·天津静海·阶段检测）已知函数，． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)已知函数有两个不同的零点，，求实数的取值范围； (3)证明：当时， 变式1．（26-27高三上·河南南阳·阶段检测）当时，恒成立，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 变式2．（2026·广东梅州·模拟预测）若对任意的，不等式恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高二下·江苏南京·期末）已知不等式恒成立，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 变式4．（26-27高三上·湖南娄底·阶段检测）若关于x的不等式恒成立，则实数m的最大值为______ 变式5．（26-27高三上·河北衡水·开学考试）当，时，不等式恒成立，则的取值范围是___________． 2 学科网（北京）股份有限公司 $