第3章 学高招4 切线放缩（Word教参）-【精讲精练】2027年高考数学一轮复习（北师大版）

常见的切线放缩：∀x∈R都有ex≥x＋1，当且仅当x＝0时等号成立．

∀x>－1都有ln (x＋1)≤x，当且仅当x＝0时等号成立．

当x>0时，x>sin x；当x<0时，x<sin x.

设函数f(x)＝ex－m－ln x.

(1)若曲线y＝ln x在点(1，0)处的切线与曲线y＝ex－m也相切，求m的值；

(2)当m≤2时，证明：f(x)>0恒成立．

[解析]　(1)　由y＝ln x，得y′＝，当x＝1时，y′＝1，

所以曲线y＝ln x在点(1，0)处的切线斜率为1，

所以曲线y＝ln x在点(1，0)处的切线方程为y＝x－1，

由y＝ex－m，得y′＝ex－m，

设曲线y＝ex－m与直线y＝x－1相切于点(x0，x0－1)，

(2)证明　方法一　因为m≤2，所以ex－m≥ex-2，

所以f(x)＝ex－m－ln x≥ex-2－ln x，

令h(x)＝ex-2－ln x，x∈(0，＋∞)，所以h′(x)＝ex-2－，

令g(x)＝ex-2－，x∈(0，＋∞)，所以g′(x)＝ex-2＋>0，

所以g(x)即h′(x)在(0，＋∞)上单调递增，

因为h′(1)＝－1<0，h′(2)＝1－>0，

所以∃x0∈(1，2)，使得h′(x0)＝－＝0，①

当x∈(0，x0)时，h′(x)<0，当x∈(x0，＋∞)时，h′(x)>0，

所以h(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，

所以h(x)min＝h(x0)＝－ln x0，

由①得＝，所以x0＝，