江苏苏州工业园区星海实验高级中学2026-2027学年第一学期高二数学周练（04）

星海实验高级中学2026一2027学年第一学期 高二数学周练(04) 一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的。 1.已知直线1的一个方向向量为(3,V3),则直线1的倾斜角 =()。 A.30 B.60 C.120 D.150 2.已知公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn,若S6=6a6+30,则d=()。 A.-2 B.-3 C.1 D.2 3.己知等比数列{an},则“a2<a4<a5”是“数列{an}为递增数列”的()。 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.直线l:x-my+m+2=0与圆C:x2+y2+4c+3=0的位置关系为()。 A.相交 B.相切 C.相离 D.与m的取值有关 5.等比数列{an}的首项为1,其前2s项(s为正整数)中,所有的奇数项和为85,所有的偶数项和为 170,a10=()。 A.32 B.64 C.512 D.1024 6.已知直线ar+b侧-1=0a>0.6>0)平分圆C:+V一2=4物-2017=0,则a4的最太值为 ()。 A.3+2W2 B.3-2V2 a 1 0.6 7.己知圆x2+y2=2(r>0)上到直线x+V3y-2=0的距离为1的点有且仅有3个,则?的值为 ()。 A.1 B.2 C.3 D.4 8.过点(-1,-2)的直线1与曲线y=-√4-x2有且仅有两个不同的交点,则1的斜率的取值范围为 ()。 A. 2到 B. 2) C. D.[-2,0) 二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对 的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。 9.已知直线1:(m+2)x-y+m-2=0,下列说法正确的是()。 A.若m=-3,则直线1的倾斜角为135 B.若直线l在两坐标轴的截距相等,则m=一3 C.直线1与直线x+y=0垂直,则m=-1 D.若直线l不过第二象限,则m∈(-2,2) 高二数学第1页共12页 2026一2027学年第一学期星海实验高级中学高二数学周练04 人人成功、人人成星 10.已知等差数列{an}的首项为a1,公差为d,前n项和为Sn,若S15>S13>S4,则下列结论正确 的有()。 A.a>0,d<0 B.当n=14时,Sm最小 C.使得Sm>0成立的最小自然数n=28 D.a13+a14<la15+a16 11.设圆C:(x-1)2+(y-1)2=3,直线l:3x+4y+3=0,P为1上的动点,过点P作圆C的两条 切线PA、PB,切点为A、B两点,则下列说法中正确的有()。 A.PA的取值范围是[1,+∞) B.四边形PACB面积的最小值为2√ C.满足∠APB=60 的点P有两个 D. ABC的面积最大值为号 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12.已知线段AB的端点坐标分别为A(-2,4)、B(4,2),过点P(0,-2)的直线1与线段AB相交,则直 线1的斜率的取值范围是」 13.已知直线1:(2m+3)x+(m+4)y+2(m-1)=0(m∈R),则点A(4,-1)到直线1的距离的最大 值为 0 14.给定有穷数列A:a1,a2,,am(n≥3,n∈N*),定义数列A的绝对差分数列B:b1,b2,…,bn-1,其 中bk=ak+1-ak(1≤k≤n-1,k∈N*)。若数列B是单调不减的,即b1≤b2≤…≤bn-1,则称数列 A是X数列。己知各项均为整数的X数列A:a1,a2, ,a10满足a1≤a2≤ ≤a10,并且其差分数列 是等差数列,若a1=3,a4=6,则a10的所有可能值为_一一一-。 四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.已知数列{an}的前n项和为S,Sn=3m-1,数列{bn}是等差数列,且b1=a1,b2=a2。 (1)求数列{an}和{bn}的通项公式。 (2)设cn=an+bn,求数列{cn}的前n项和Tn 高二数学第2页共12页 2026一2027学年第一学期星海实验高级中学高二数学周练04 人人成功、人人成星 16.己知直线l1:ax+3y+1=0,2:x+(a-2)y-1=0。 (1)当l ∥l2时,求a的值。 (2)当a=2时,l1、l2的交点为P,设A(3,0)。若直线1过点P,且点A到直线1的距离等 于2,求直线1的方程。 17.己知数列{a1-a}是以号为首项、4为公比的等比数列,且a1=号 1 (1)求数列{an}的通项公式。 (2)设bn=log2(3an-1),求数列{bn 3”}的前n项和Sn。 高二数学第3页共12页 2026一2027学年第一学期星海实验高级中学高二数学周练04 人人成功、人人成星 18.已知圆C的半径为√2,圆心C在直线x=2上,且直线x+y-2=0与圆C相切。 (1)求圆C的标准方程。 行,求实数 (2)若圆心C位于第一象限内,直线x-3测-m=0被圆C截得的弦AB的长度为4D, m的值。 (3)若圆心C位于第四象限内,过D(-2,t)作圆C的两条切线,t为实数,设这两条切线与y轴分别 交于M、N两点,求|MN|的最小值。 19.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,数列{bn}是等比数列,a1=b1=1,2a3+a6=21,S12= 16(b4+1)。 (1)求数列{an}和{bn}的通项公式。 30n (2)对任意的正整数n,设cn= (bn+1)(bn+2+1) n为奇数,求数列{c}的前2m项和五a (-1)m+1an+(-1)"an+2,n为偶数, (3)若对于数列{an},在a咏和ak+1之间插入+1个1(k∈N*),组成一个新的数列{dn},求数列 {dn}的前2026项和。 高二数学第4页共12页 星海实验高级中学2026一2027学年第一学期 高二数学周练(04) 参考答案与详细解析 1.己知直线1的一个方向向量为(3,√3),则直线1的倾斜角 =()。 A.30 B.60 C.120 D.150 【答案】A。 方向向量的横坐标不为0,所以直线斜率为k=3,即tana=3。结合0≤a<180,得a 30 。 2.已知公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sm,若S=6a6+30,则d=()。 A.-2 B.-3 C.1 D.2 【答案】A。 因为a1=a6-5d,所以=6a+d)=6a6-15d。与题设比较,得-15d=30,所以d=-2。 2 3.已知等比数列{an},则“a2<a4<a5”是“数列{an}为递增数列”的()。 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B。 若数列递增,则由2<4<5,一定有2<a4<a5,所以该条件是必要的。 反过来,取a=1、公比g=安则a=令a=日a,六满足a<a,<a:但数列正 负交替,并非递增。因此不充分,选B。 4.直线1:x-my+m+2=0与圆C:x2+y2+4x+3=0的位置关系为()。 A.相交 B.相切 C.相离 D.与m的取值有关 【答案】A。 将圆配方得(x+2)2+y2=1,圆心为(-2,0),半径为1。圆心到直线的距离为 m 。因为 /1+m2 m2<1+m2,此距离对任意实数m都小于1,所以直线与圆恒相交。 高二数学第5页共12页 5.等比数列{an}的首项为1,其前2s项(s为正整数)中,所有的奇数项和为85,所有的偶数 项和为170,a10=()。 A.32 B.64 C.512 D.1024 【答案】C。 设给定统计段为前2s项,公比为q。相邻配对的偶数项都等于前一奇数项的q倍,故170=85q, 得q=2。于是延续等比规律,有a10=a19=29=512。 补充检验:给出的奇数项和为1+4+ +4s-1=85,解得4=256,即s=4,统计段恰为前8 项。所求第10项按同一等比数列的通项公式确定。 ab 6.已知直线ar+b则-1=0(a>0,6>0)平分圆C:2+2-2x-g-2017=0.则。中6的 最大值为()。 A.3+2V2 B.3-2√2 C.v② 8 D. 【答案】B。 圆心为1,2)。平分圆的直线通过圆心,所以Q+26=1。令u三>0,得61 u u+2 a=u+2 从而 ab u 1 a+6=(u+10u+2u+3+ 2 u 由u+2≥2V2,得原式不大于 1 1. 3+2W2=3-2W2。当u=V2时等号成立,对应a=V2-1>0 、6=1、 2>0,满足a+26=1,所以最大值可取到。 2 7.已知圆x2+=2(r>0)上到直线x+V3g-2=0的距离为1的点有且仅有3个,则? 的值为()。 A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B。 到给定直线距离为1的点满足+B测-召-1,即位于直线+V3g=0或工十V3=4上。 2 第一条直线通过圆心,与半径为正的圆必有2个交点。要使总共有3个点,第二条直线必须与圆相 机。原点到第二条直线的距离为√十2,所以=2。两条平行线无公共点,交点数可以耳接相 加。 高二数学第6页共12页 8.过点(-1,-2)的直线1与曲线y=-V4一x2有且仅有两个不同的交点,则1的斜率的取值范 围为()。 4( B.-2 21 4 D.[-2,0) 【答案】C。 曲线是圆x2+y2=4的下半圆,含端点(-2,0)、(2,0)。竖直直线x=-1与该下半圆只有一个交 点,故满足要求的直线斜率存在,设y=(x+1)-2。 与整个圆联立得(1+2)x2+2k(k-2)x+k2-4k=0。有两个不同的圆上交点要求判别式 = 48站+到>0即k<号或k>0. 0时,若k>3,直线在:=2处的纵坐标为3-2>0,两个圆上交点有一个 圆:0<k≤3时两个交点均在下半圆。可由交点纵坐标的和2-2<0、积4-4级-3 2 1+k2 -≥0作 1+k2 代数核对。 4 与当前范围取交集得一2≤<-1。 因此范围为 2-)u(引k=-2号时分别含个平圆端点:仍有两个不同交点,微取等, 4 k=一30为相切情形,排除。 9.已知直线1:(m+2)-y+m-2=0,下列说法正确的是()。 A.若m=-3,则直线1的倾斜角为135 B.若直线1在两坐标轴的截距相等,则m=一3 C.直线1与直线x+y=0垂直,则m=-1 D.若直线1不过第二象限,则m∈(-2,2) 【答案】AC。 由方程知y=(m+2)x+m-2. A:m=-3时斜率为-1,倾斜角为135 ,正确。 B:m=-2时直线为y=-4,没有横截距;其余情形由2二m m+2=m-2,得(m-2m+3)=0。 所以m=2或-3。m=2时直线经过原点,两个截距都为0,也相等,故B漏解,错误。 C:x+y=0的斜率为-1。两直线垂直要求(m+2)(-1)=-1,得m=-1,正确。 D:对所有x<0,要求(m+2)x+m-2≤0,等价于m+2≥0且m-2≤0,即m∈[-2,2。 端点m=-2、2均符合,D把端点排除,错误。 高二数学第7页共12页 10.已知等差数列{an}的首项为a1,公差为d,前n项和为Sn,若S5>S13>S14,则下列结 论正确的有()。 A.a1>0,d<0 B.当n=14时,Sm最小 C.使得Sm>0成立的最小自然数n=28 D.a13+a14<la15+a16l 【答案】BCD. 由S13>S14得a14<0,由S15>S13得a14+a15>0,故a15>-a14>0。所以d=a15-a14>0 ,a1=a14-13d<0,A错误。 B:an≤a14<0(n≤14),an≥a15>0(n≥15)。因此前14次求和持续减少,之后持续增加, S14最小,正确。 C:S7=27a,+a2l-27a4<0,而S28=14a4+a5)>0。结合前述和的单调变化,首次变为正 2 数在n=28,正确。 D:令a14=-p、a15=9,则q>p>0,d=p+q。于是a13=-2p-q,a16=p+2q,从而la13十 a14=3p+q,a15+a16=p+3q。后者减前者等于2(g-p)>0,所以D正确。 11.设圆C:(x-1)2+(g-1)2=3,直线1:3c+4y+3=0,P为1上的动点,过点P作圆C 的两条切线PA、PB,切点为A、B两点,则下列说法中正确的有()。 A.PA的取值范围是[1,+∞) B.四边形PACB面积的最小值为2√3 C.满足∠APB=60 的点P有两个 D. ABC的面积最大值为 3 【答案】ACD。 圆心为CL,1少,半径为r=V3。圆心到直线1的距离为3+4+3=2,所以令g=PC,则 5 s∈2,十∞),直线上所有点均在圆外,均可作两条切线。 A:由切线与半径垂直,PA=√s2-2=√s2-3,其范围为[1,十o∞),正确。 B:四边形由两个直角三角形PAC、PBC组成,面积为PA+PB=V③PA,最小为V5 ,不是2W3,错误。 C:直角三角形PAC与PBC由斜边PC及直角边CA=CB对应相等,可知PC平分∠APB 。若∠APB=60,则m30三3得8=2W3。以C为圆心、半径2V3的圆与距离C为2 的直线1有两个交点,所以这样的P有两个,正确。 D:设0=∠ACP。上述两个直角三角形对称,PC平分∠ACB,且0<0<90 ,所以S 4Bc= 2n(2)≤多,当0=45时取等,对应8=rV2=V6。因为V6>2,直线1上存在这样的 ,所以最大值确为多D正确。 高二数学第8页共12页 12.己知线段AB的端点坐标分别为A(-2,4)、B(4,2),过点P(0,-2)的直线1与线段AB相 交,则直线1的斜率的取值范围是 0 【答案】(-o,-3U[1,+∞) 线段AB所在直线为y=专+号。令交点Q)EAB.则-2≤2≤4当240时,PQ的 斜率为 k-2=有+ 当-2≤x<0时,k∈(-∞,-3:当0<x≤4时,k∈[1,+o∞)。两段的有限端点分别对应交于A 、B,可以取到。 另有直线x=0也与线段相交,但斜率不存在,不计入“斜率取值范围”。 13.已知直线1:(2m+3)x+(m+4)y+2(m-1)=0(m∈R),则点A(4,-1)到直线1的距离 的最大值为 【答案】3V5。 将直线写成m(2x+y+2)+(3x+4划-2)=0,由2x+y+2=0与3x+4y-2=0得公共定点 Q(-2,2)。任一该族直线通过Q,所以点A到它的距离不超过AQ1=√62+(-3)乎=3√5。 当直线垂直于AQ时可取等。AQ的斜率为方所需直线斜率为2,令一-2,得m m+4 ,此时m+4≠0,确属于该直线族,故最大值可取到,为3 14.给定有穷数列A:a1,2,.,an(n≥3,n∈N*),定义数列A的绝对差分数列B: b1,b2,,bn-1,其中bk=a+1-ak(1≤k≤n-1,k∈N*)。若数列B是单调不减的,即b1≤ b2≤…≤bn-1,则称数列A是X数列。已知各项均为整数的X数列A:a1,a2,,a10满足 a1≤a2≤ ≤a10,并且其差分数列是等差数列,若a1=3,a4=6,则a10的所有可能值为 【答案】12或39。 原数列单调不减,所以b=ak+1一ak都是非负整数。设差分数列首项为u,公差为v。因为它等差 且单调不减,u,v均为非负整数。 由a4-a1=b1+b2+bg=3u+3v=3,得u+v=1。非负整数解只有(u,v)=(1,0)或(0,1) 又a10=a1+∑-1b=3+9u+36u,两种情况分别得到12、39:对应差分分别为常数1,或 0,1, ,8,均满足题设,因此两值都可取。 高二数学第9页共12页 15.已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=3m-1,数列{bn}是等差数列,且b1=a1,b2=a2 (1)求数列{an}和{bn}的通项公式。 (2)设cn=an+bn,求数列{cn}的前n项和Tn。 【答案】(1)an=2.3m-1,bn=4n-2。(2)Tm=3m-1+2n2。 (1)当n=1时,a1=S1=2;当n≥2时,an=Sm-Sm-1=(3m-1)-(3n-1-1)=2.3m-1。该 式在n=1时也成立,所以am=2 3m-1(n∈N*)。 于是b1=a1=2,b2=a2=6,公差为4,故bn=2+4(n-1)=4n-2。 (2)分别求和再相加: Z.=∑a4+∑s=g”-1)+2+-2到别=3"-1+2n2 2 k=1k=1 16.己知直线l1:ax+3y+1=0,2:x+(a-2)y-1=0。 (1)当l∥l2时,求a的值。 (2)当a=2时,1、l2的交点为P,设A(3,0)。若直线1过点P,且点A到直线1的距离等 于2,求直线1的方程。 【答案】(1)a=3。(2)x=1或3x+4y+1=0。 (1)两直线方向平行的必要条件是法向量成比例,即a(a-2)-3=0,解得a=3或a=-1。 当a=-1时,1:-x+3y+1=0,l2:x-3y-1=0,实为同一条直线,应排除。当a=3时,两 直线分别为3x+3y+1=0、x+y-1=0,平行且不重合,故a=3。 (2)a=2时,l2:x=1,代入l1:2x+3y+1=0得P(1,-1) 若1为竖直线,则1:x=1,点A(3,0)到它的距离为2,符合要求。 若斜率存在,设1:y+1=k(x-1),即kx-y-k-1=0。由距离公式得 2k-1 =2,平方化简 2+1 为42-4k+1-42+4,得k-子故1:3z+4知+1-0。代回距离为 10 =2,符合要求,两 解齐全。 17.已知数列(a+1-a}是以号为首项、4为公比的等比数列,且a1 2 (1)求数列{an}的通项公式。 (2)设bn=log2(3an-1),求数列{bn 3"}的前n项和Sn 【答案】(1)am= 4"-1+2 。(2)Sm=(n-2)3+1+6。 6 1 (1)由题意,am+1-a,=24-1。n之2时累加得 m-1 an=a1+∑(ak+1-a)= 114-1-1_40-1+2 6 k=1 2+24-11 该式在n-1时等于方所以对全部正整数n成立。 高二数学第10页共12页 (2)0-1==2咖3>0,对数给终有意义,,=2n-3 于是Sm=-3+1 32+3 33+ +(2n-3)3”。两边乘3后相减,得到 n -25m=-3+23k-(2n-3)3+1. k=2 利用∑3*=9(n=1时按空和为0理解,右式同为0),化简得-28。=-12+4- 2 2m)3+1,所以Sn=(n-2)3+1+6。当n=1时为-3,与首项一致。 18.己知圆C的半径为√2,圆心C在直线x=2上,且直线x+y-2=0与圆C相切。 (1)求圆C的标准方程。 (2)若圆心C位于第一象限内,直线x-3测-m=0被圆C截得的弦AB的长度为v而, 5,求 实数m的值。 (3)若圆心C位于第四象限内,过D(-2,t)作圆C的两条切线,t为实数,设这两条切线与y 轴分别交于M、N两点,求MN的最小值。 【答案】(1)(x-2)2+(y-2)2=2或(x-2)2+(y+2)2=2。(2)m=-2或-6。(3)最小值 为4。 (1)设圆心C2,由相切条件2+”2=V,得网=2,所以u=2或-2,圆的方程如 v② 上。 (2)此时圆心为(2,2)。设圆心到截线的距离为h。由半弦、半径及垂距组成的直角三角形,得 2 2/10 2 h2=2 5 6 又h= 2-6-m-m+4,所以(m十4?=4,解得m=-2或-6:两者都有h<V2,均截 √10 V10 得所需弦。 (3)圆心为C(2,-2)。1CD2=16+(t+2)2>2,所以对每个实数t,点D都在圆外,可以作两条 不同切线。过D的竖直线x=一2距圆心为4,不相切,故两切线的斜率均存在。 设切线为y=(x+2)+t。由圆心到切线距离等于半径,得 |2k+t+2 =2, Vk2+1 整理为2k2+4(t+2)k+(t+2)2-2=0。其判别式 =8(t+2)2+16>0,两根1,2正好对应两 条切线。它们的纵截距分别为2%+t、22+t,故 1wN=2h1-=2.公=V8G+2p+16≥4 当且仅当t=-2时等号成立,因此最小值为4。 高二数学第11页共12页 19.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,数列{bn}是等比数列,a1=b=1,2a3十a6=21, S12=16(b4+1)。 (1)求数列{an}和{bn}的通项公式。 30n (2)对任意的正整数n,设c (6+1)6+2+1)' n为奇数,求数列{c}的前2n项和 (-1)m+1an+(-1)ran+2,n为偶数, T2n (3)若对于数列{an},在ak和ak+1之间插入bk+1个1(k∈N*),组成一个新的数列{dn}, 求数列{d}的前2026项和。 】1)a=2m-1,b=20-1。(2)2n=4n十5-m1。(3)前2026项和为 (1)设等差数列公差为d,则2a3+a6=2(1+2d)+(1+5d)=3+9d=21,得d=2,故an= 1+2(n-1)=2m-1。 由S2=121+23)=14=166,十1),得64=8。设公比为g,由61=1得?=8,在实数范围 2 内q=2,故bn=2n-1。 (2)对奇数项,因bm+2=46n,有 11 (6n+1)(6n+2+1)6n+16n+2+1 所以前2项中的奇数项之和裂项相消,等于 1111 ∑w-1=十1+=i4+i j=1 偶数项的两个符号分别为-1和1,故c2=-a2+2j+2=4,共n项,和为4n。两部分相加,得 1 1 T2m=4n+2-4n+1 (3)每个ak后面有b+1=2k个1。把“ak及紧随其后的这些1”看作第k段,前?段的总项 数为 Ln=(1+2)=r+2+1-2. =1 Lg=1031,L10=2056,所以第2026项在第10段内:前2026项包含a1至a10这10项,以及 2026-10=2016个插入的1,不含a11。 又∑1101与19-10,放所求和为10+2016=216. 2 高二数学第12页共12页