精品解析：吉林长春净月高新技术产业开发区华岳学校2026-2027学年第一学期 九年级数学第五次阶段性学情监测

2026-2027学年第一学期 华岳学校（九）年级（数学）学科第五次1-7班 一、单选题 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据最简二次根式的两个判定条件逐一判断各选项，最简二次根式需满足：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：A.的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，满足条件，是最简二次根式，符合题意； B.的被开方数含分母，不满足条件，不是最简二次根式，不符合题意； C.，被开方数含能开得尽方的因数，不满足条件，不是最简二次根式，不符合题意； D.，被开方数含分母，不满足条件，不是最简二次根式，不符合题意． 2. 不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】表示出不等式组的解集，表示在数轴上即可． 【详解】不等式组的解集在数轴上表示正确的是 故选C． 【点睛】考查了在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 3. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据运算法则计算出正确结果，根据计算结果判断正误． 【详解】解：选项A：根据单项式乘以多项式的法则进行计算可得：，故选项A错误.； 选项B：根据完全平方公式计算可得：，故B选项错误； 选项C：根据合并同类项的法则计算可得：，故C选项错误.； 选项D：根据同底数幂的乘法法则计算可得：，故D选项正确． 4. 如图，在中，点D、E分别在、边上，且．若，则的长为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据两边成比例且夹角相等证明相似，再根据相似三角形对应边成比例求解即可． 【详解】解：，， ， ， ． 5. 如图，某山坡的坡面米，坡角，则该山坡的高度是（ ）米 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要题考查了解直角三角形的应用，在中，由，即可得出的长度． 【详解】解：在中，， ∵坡面米，坡角， ∴该山坡的高度， 故选：D． 6. 已知a，b是方程的两个实数根，则的值是（ ） A. 2027 B. 2026 C. 2025 D. 2024 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系计算即可． 【详解】解：∵a，b是方程的两个实数根， ∴， ∴． 7. 如图所示是三位同学的折纸示意图，则依次是的（ ） A. 中线、角平分线、高 B. 角平分线、高、中线 C. 高、中线、角平分线 D. 角平分线、中线、高 【答案】B 【解析】 【分析】角平分线是指将角的两边重合折叠，折痕即为角平分线；高是指将顶点向对边折叠，使折痕与对边垂直，折痕即为高；中线是指将底边的两个端点重合折叠，折痕经过顶点，则折痕与底边的交点为中点，连接顶点与该点的线段即为中线． 【详解】解：观察图①的折纸方式，是将的两边和重合折叠，折痕为． 根据角平分线的定义，折痕平分了， 即 ． 所以，是的角平分线． 观察图②的折纸方式，是将顶点向底边折叠，折痕为． 从图中可以看出，折痕与底边垂直(即)，所以，是的高． 观察图③的折纸方式，是将点折叠到点的位置，图中标注，折痕经过点交于点．这意味着点和点关于折痕对称，即，点是的中点． 根据三角形中线的定义，连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线． 所以，是的中线． 综上所述，依次是的角平分线、高、中线． 8. 护眼台灯亮度调节的原理是台灯内电路的电压为定值，通过控制可变电阻从而调节台灯的亮度，已知台灯的电流是电阻的反比例函数，其函数图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 反比例函数的解析式为 B. 该护眼台灯的电压为 C. 若，则 D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】设电流关于电阻的表达式为，利用待定系数法求出，然后逐项求解判断即可． 【详解】解：设电流关于电阻的表达式为， 将代入得，， 解得， ∴该护眼台灯的电压为，故B错误； ∴反比例函数的解析式为，故A错误； 当时，， 解得， 由图象得，I随R的增大而减小， ∴若，则，故C正确； 当时，，故D错误． 二、填空题 9. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数必须是非负数，列出不等式即可求解的取值范围． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴被开方数需满足非负要求，即， 解得． 10. 如图，，直线、与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若，，，则的长为________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理可得，再代入各个线段的长计算即可得解，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：12． 11. 某公司工业机器人在今年月产值达到万元，预计月产值将增至万元．设该公司、两个月产值的月均增长率为，可列出的方程为_______________ 【答案】 【解析】 【分析】已知5月产值和两个月增长后7月的产值，根据增长率的计算方法表示出7月产值，即可列出方程． 【详解】解：∵5月产值为万元，月均增长率为， ∴6月产值为万元， ∴7月产值为万元， ∵预计7月产值为万元， ∴可列出方程． 12. 如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，且的面积是4，则的面积是_______． 【答案】 9 【解析】 【分析】根据位似图形的性质得到，由求出位似比，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解： ，  ， 与是以点为位似中心的位似图形，  ，， ∴， ∴，  ，   的面积是4，  ，  ． 13. 如图所示，把两块完全相同的等腰直角三角板如图所示的方式摆放，线段在直线上．若点恰好是线段中点，则的大小为______°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线，含的直角三角形，平行线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】过点作的垂线，垂足为，先证明为的中位线，和，再根据直角三角形中所对的直角边为斜边的一半即可得出，继而求出，以及的度数． 过点作的垂线，垂足为，如图： ∵点恰好是线段中点，， ∴， ∴， ∵两块等腰直角三角板完全相同， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在中，点E是边上一点，且，交于点F，P是延长线上一点，给出下面四个结论：①平分；②；③连结，四边形是菱形；④当时，，上述结论中，所有正确结论的序号是_______． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】先由、，利用等腰三角形三线合一得到平分，证明①；再利用平行四边形，内错角相等，推导出，等角对等边得到，证明②；接着由且先判定平行四边形，再结合一组邻边相等得到菱形，证明③；最后设参数，利用平行四边形和三角形面积公式计算面积关系，验证④． 【详解】解：， 是等腰三角形， ， 平分，故①正确； ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ，故②正确； 如图， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形，故③正确； 当时，设，四边形边上的高为，则，， ， ，， ，故④正确． 三、解答题 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 16. 截至2017年年末，某市区汽车保有量约为100万辆，预计到2019年年末市区汽车保有量将达到121万辆．设这两年的汽车保有量的年平均增长率均相同．求2017年底至2019年底该市市区汽车保有量的年平均增长率． 【答案】 【解析】 【分析】设2017年底至2019年底该市市区汽车保有量的年平均增长率为，根据2019年底该市市区汽车保有量年底该市市区汽车保有量年平均增长率建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设2017年底至2019年底该市市区汽车保有量的年平均增长率为， 由题意得：， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：2017年底至2019年底该市市区汽车保有量的年平均增长率为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． 17. 【数据收集】 某市射击队为了从A，B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对A，B两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】 如图①，将A，B两名选手八轮射击成绩绘制成如下统计图． 选手 最小值、四分位数和最大值 最小值 下四分位数 中位数 上四分位数 最大值 A 6 9 ③ B 8 ① ② 【数据分析】 （1）利用平均数、方差进行分析．通过计算平均数， 环，环，可以看出， （填A或B）的平均成绩略高；通过计算方差，，可以看出， （填A或B）的射击水平发挥更稳定； （2）利用四分位数、箱线图（如图②）进行分析，①处应填 环，②处应填 环．③处应填 环；基于四分位数或者箱线图，可以发现选手A射击成绩的中位数等于选手B射击成绩的中位数，且选手A的射击成绩明显比选手B的射击成绩波动 ； 【作出决策】 （3）请你根据八轮射击成绩，从A，B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，并说明理由． 【答案】（1），B，B （2）8，9，，大 （3）解：选B参加比赛，理由：A、B中位数相同，B的平均数更高、方差更小，成绩更稳定，发挥波动小，更适合参赛 【解析】 【分析】（1）先根据平均数公式算出A的平均数，对比平均数、方差，平均数高、方差小的选手成绩更好更稳定； （2）把A、B的成绩排序，按照四分位数规则计算下四分位数、中位数、上四分位数，对比数据范围看出A波动更大； （3）综合平均数、方差、中位数，选择平均数更高、方差更小、发挥更稳定的B参赛． 【小问1详解】 解：，， ， B平均成绩略高； ，方差越小越稳定， B更稳定； 【小问2详解】 解：一共8个数据， 把A的成绩从小到大排序后为，，，，，，，， 把B的成绩从小到大排序后为，，，，，，，， A的数据范围更大，波动更大， 解法一：下四分位数是前半部分的中位数，上四分位数是后半部分的中位数， B的下四分位数，中位数，A的上四分位数， 解法二：，，下四分位数是第2个数据与第3个数据的平均数，上四分位数是第6个数据与第7个数据的平均数， B的下四分位数，中位数，A的上四分位数； 【小问3详解】 略 18. 图①、图②、均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，小正方形的顶点称为格点．点、都在格点上，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中，以为腰作等腰． （2）在图②中，作出，使的面积为，且点不在格点上． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的定义，结合网格的特点作图即可； （2）取格点，连接，取上任意一点（非格点），连接，根据网格的特点可得，与平行，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 某太阳能热水器水箱的最大水量为160升，在没有放水的情况下匀速注水．已知水箱的蓄水量y（升）与注水时间x（分）之间有如表对应关系． x（分） 0 4 8 12 y（升） 20 60 100 140 （1）①建立平面直角坐标系，如图，横轴表示注水时间x，纵轴表示水箱的蓄水量y，描出以表格中数据为坐标的各点． ②观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式，如果不在同一条直线上，说明理由． （2）应用上述发现的规律解决下列问题： ①注水时间达到9分钟，水箱的蓄水量为多少升？ ②按上述速度注满水箱，需要多少分钟？ 【答案】（1）①见解析；②是，y＝10x+20；（2）①110升；②14分钟 【解析】 【分析】（1）①先描点，再连线即可； ②利用待定系数法求解即可； （2）①结合（1）的图象解答即可； ②把y=160代入函数关系式解答即可． 【详解】解：（1）①如图所示： ②观察图象，这些点都在同一条直线上， 所以变量x，y满足一次函数关系式，则设y关于x的函数关系式为y＝kx+b， 根据表格可得：， 解得：， ∴y关于x的函数关系式为y=10x+20； （2）①由图象可知，x=9时，y=10×9+20=110，即注水时间达到9分钟，水箱的蓄水量为110升； ②当10x+20=160时，解得x=14， 即按上述速度注满水箱，需要14分钟． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式的步骤，理解一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 20. 问题提出： 如图1，在四边形中，，E，F分别为，的中点．求证：． 问题探究： （1）小明同学进行了如下的推理：连结并延长，交的延长线于点G． ，，． 又为的中点，． ． 证明过程缺失 请你帮助小明补全上述证明过程 应用： （2）如图2，，点E在线段上且．若，，则线段的长为________． 拓展： （3）如图3，在四边形中，，点F在线段上，且，连结、．若，，与之间的距离为3，则的面积为________． 【答案】（1）证明：，， 点E是的中点，， 为的中位线， ， ， ． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连结并延长，交的延长线于点G，构造，得到，，再根据中位线定理进行等量代换，得出结论； （2）类比（1）中辅助线的做法，连结并延长，交的延长线于点M，利用，得到和，再根据相似三角形的性质得到的长； （3）延长，交的延长线于点M，过点F作，延长交的延长线于点G，根据得到，再根据相似三角形的性质：对应边之比等于对应高之比，得到和，作差得到的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连结并延长，交的延长线于点M， ， ，, ， ， ， ， 即，， ， ，， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：延长，交的延长线于点M，过点F作，延长交的延长线于点G， ， ， ， ， , ，, ， ， ， ， 即，， 与之间的距离为3， ， 即， ，， ，， ， 与之间的距离为3， ， ， ． 21. 如图，在中，，是边上的高，，动点P从点B出发沿折线向点C运动（点P不与的顶点重合），点P在上的速度是每秒，点P在上的速度是每秒，过点P作的垂线交于点Q，以为腰作等腰直角三角形，，且点R、线段在的同侧，设点P运动的时间为t（秒）． （1）求的长； （2）求的长（用含t的代数式表示）； （3）在运动过程中，当与重叠部分的图形是四边形时，求t的取值范围； （4）连接，当与的边或垂直时，直接写出t的值． 【答案】（1） （2）或 （3）或 （4）当与的边或垂直时，的值为或或． 【解析】 【分析】（1）先利用勾股定理求出的长，再求出的长，进而利用勾股定理求出的长即可； （2）分两种情况：当时，点P在上，证明，得到，据此求解即可；当时，点P在上，证明，得到，据此求解即可； （3）分两种临界情况：当点在上且点在上时，当点在上且点在线段上时，画出对应的示意图，求出对应的t的值即可得到答案； （4）分三种情况：当点在上且点在上时，， 当点在上且时， 当点在上且点在线段上时，分别画出示意图讨论求解即可． 【小问1详解】 解：， ∴， ． ． ． 【小问2详解】 解：当时，点P在上， 由题意，得， ，， ， ∴， ， ， ； 当时，点P在上，如图①所示， 由题意，得， ， ， ∴ ， ， ． 综上，的长为或． 【小问3详解】 当点在上且点在上时，如图②． 由（2）知，， ． ， ． ，， ， ∴， ， ， ， 当时，与重叠部分的图形是四边形； 当点在上且点在线段上时，如图③． 由（2）知，． ， ． ，， ， ∴， ， ， 解得， 当时，与重叠部分的图形是四边形． 综上，当与重叠部分的图形是四边形时，的取值范围为或． 【小问4详解】 解：当点在上且点在上时，，如图④． 由（2）知，， ． ， ． ，， ， ∴ ， ， 解得； 当点在上且时，如图⑤． 由（2）知，， ， ． ， ． ， ． ， ， ． ， ， ， ， 解得； 当点在上且点在线段上时，如图⑥． 由（2）知，． ， ． ，， ， ∴， ， ， 解得． 综上，当与的边或垂直时，的值为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期 华岳学校（九）年级（数学）学科第五次1-7班 一、单选题 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，点D、E分别在、边上，且．若，则的长为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 5. 如图，某山坡的坡面米，坡角，则该山坡的高度是（ ）米 A. B. C. D. 6. 已知a，b是方程的两个实数根，则的值是（ ） A. 2027 B. 2026 C. 2025 D. 2024 7. 如图所示是三位同学的折纸示意图，则依次是的（ ） A. 中线、角平分线、高 B. 角平分线、高、中线 C. 高、中线、角平分线 D. 角平分线、中线、高 8. 护眼台灯亮度调节的原理是台灯内电路的电压为定值，通过控制可变电阻从而调节台灯的亮度，已知台灯的电流是电阻的反比例函数，其函数图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 反比例函数的解析式为 B. 该护眼台灯的电压为 C. 若，则 D. 当时， 二、填空题 9. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是___________ 10. 如图，，直线、与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若，，，则的长为________． 11. 某公司工业机器人在今年月产值达到万元，预计月产值将增至万元．设该公司、两个月产值的月均增长率为，可列出的方程为_______________ 12. 如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，且的面积是4，则的面积是_______． 13. 如图所示，把两块完全相同的等腰直角三角板如图所示的方式摆放，线段在直线上．若点恰好是线段中点，则的大小为______°． 14. 如图，在中，点E是边上一点，且，交于点F，P是延长线上一点，给出下面四个结论：①平分；②；③连结，四边形是菱形；④当时，，上述结论中，所有正确结论的序号是_______． 三、解答题 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 截至2017年年末，某市区汽车保有量约为100万辆，预计到2019年年末市区汽车保有量将达到121万辆．设这两年的汽车保有量的年平均增长率均相同．求2017年底至2019年底该市市区汽车保有量的年平均增长率． 17. 【数据收集】 某市射击队为了从A，B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对A，B两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】 如图①，将A，B两名选手八轮射击成绩绘制成如下统计图． 选手 最小值、四分位数和最大值 最小值 下四分位数 中位数 上四分位数 最大值 A 6 9 ③ B 8 ① ② 【数据分析】 （1）利用平均数、方差进行分析．通过计算平均数， 环，环，可以看出， （填A或B）的平均成绩略高；通过计算方差，，可以看出， （填A或B）的射击水平发挥更稳定； （2）利用四分位数、箱线图（如图②）进行分析，①处应填 环，②处应填 环．③处应填 环；基于四分位数或者箱线图，可以发现选手A射击成绩的中位数等于选手B射击成绩的中位数，且选手A的射击成绩明显比选手B的射击成绩波动 ； 【作出决策】 （3）请你根据八轮射击成绩，从A，B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，并说明理由． 18. 图①、图②、均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，小正方形的顶点称为格点．点、都在格点上，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中，以为腰作等腰． （2）在图②中，作出，使的面积为，且点不在格点上． 19. 某太阳能热水器水箱的最大水量为160升，在没有放水的情况下匀速注水．已知水箱的蓄水量y（升）与注水时间x（分）之间有如表对应关系． x（分） 0 4 8 12 y（升） 20 60 100 140 （1）①建立平面直角坐标系，如图，横轴表示注水时间x，纵轴表示水箱的蓄水量y，描出以表格中数据为坐标的各点． ②观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式，如果不在同一条直线上，说明理由． （2）应用上述发现的规律解决下列问题： ①注水时间达到9分钟，水箱的蓄水量为多少升？ ②按上述速度注满水箱，需要多少分钟？ 20. 问题提出： 如图1，在四边形中，，E，F分别为，的中点．求证：． 问题探究： （1）小明同学进行了如下的推理：连结并延长，交的延长线于点G． ，，． 又为的中点，． ． 证明过程缺失 请你帮助小明补全上述证明过程 应用： （2）如图2，，点E在线段上且．若，，则线段的长为________． 拓展： （3）如图3，在四边形中，，点F在线段上，且，连结、．若，，与之间的距离为3，则的面积为________． 21. 如图，在中，，是边上的高，，动点P从点B出发沿折线向点C运动（点P不与的顶点重合），点P在上的速度是每秒，点P在上的速度是每秒，过点P作的垂线交于点Q，以为腰作等腰直角三角形，，且点R、线段在的同侧，设点P运动的时间为t（秒）． （1）求的长； （2）求的长（用含t的代数式表示）； （3）在运动过程中，当与重叠部分的图形是四边形时，求t的取值范围； （4）连接，当与的边或垂直时，直接写出t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $