第13章 统计全章高频重点题型突破（六大高频+三大重难题型，专项训练）高二数学沪教版必修第三册

第13章 统计全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 分层抽样求各层人数（高频） 题型2 读频率分布直方图（高频） 题型3 方差与两层数据合并（高频） 题型4 百分位数（高频） 题型5 用随机数表抽样（高频） 题型6 选择统计图（易错） 核心提升：重难题型归纳 题型1 样本方差与两层合并（重） 题型2 百分位数的位置（重） 题型3 频率分布直方图综合（重） 题型专练：高频重难特训 ◆题型1 分层抽样求各层人数 题型归纳 分层抽样求各层人数 各层抽取比例相同：。先求公共比例，再乘各层人数。 某一层的人数不是整数时，两种就近取整都可以，各层人数之和要等于样本量。 1．（25-26高一下·福建福州·期末）某校义工社团共有80人，其中男生50人．若按男女比例采取分层抽样的方式，抽取24人参加周末的马拉松比赛志愿者工作，则女生应抽取的人数是（     ） A．3 B．5 C．6 D．9 【答案】D 【详解】依题意，义工社团女生总人数为人， 由分层抽样等比例抽取的规则，女生应抽取的人数为. 2．（26-27高二上·河北雄安·开学考试）某研究所为开展海洋生物多样性调查，利用深海探测器在不同深度层采集到生物样本共计6000份，按采集深度分为三层： 分层 样本量/份 浅海层 3000 中海层 2000 深海层 1000 现采用分层随机抽样的方法从全部样本中抽取300份进行DNA序列分析，则抽取的样本中浅海层的样本份数为__________． 【答案】150 【详解】由题意抽样比为 抽取的样本中浅海层的样本份数为． 3．（24-25高一上·江西·期末）已知某医疗队共有医生20人，护士30人，现在要用分层随机抽样的方法从中选取5人组建一个救援小组. (1)求救援小组中医生和护士的人数； (2)若从救援小组中随机选取2人担任组长，求医生和护士各有1人被选中的概率. 【详解】（1）由题可知救援小组中医生的人数为，护士的人数为. （2）由（1）可知救援小组中有2名医生，记为A，B；有3名护士，记为a，b，c. 从中随机选取2人担任组长，所有的结果为，，，，， ，，，，，共有10种可能的结果. 记事件M为“医生和护士各有1人被选中担任组长”，依题意可知事件M包含的样本点 有，，，，，，共有6种可能的结果. 故. ◆题型2 读频率分布直方图 题型归纳 读频率分布直方图 小矩形的高是频率除以组距，面积等于频率，各面积之和为 。 某一组的频数等于样本量乘这一组的频率。组中值是左右端点的平均数。 4．（2024·四川成都·模拟预测）在年巴黎奥运会上，我国网球选手郑钦文历经场比赛，勇夺巴黎奥运会女子网球单打冠军，书写了中国网球新的历史．某学校有名学生，一机构在该校随机抽取了名学生对郑钦文奥运会期间场单打比赛的收看情况进行了调查，将数据分组整理后，列表如下： 观看场次 观看人数占调查 人数的百分比 从表中数据可以得出的正确结论为（   ）． A．表中的数值为 B．观看场次不超过场的学生的比例为 C．估计该校观看场次不超过场的学生约为人 D．估计该校观看场次不低于场的学生约为人 【答案】D 【详解】由表可知，， 解得，选项A错误； 观看场次不超过场的学生的比例为，选项B错误； 观看场次不超过场的学生的比例为， 则观看场次不超过场的学生约为人，选项C错误； 观看场次不低于场的学生的比例为， 则观看场次不低于场的学生约为人，选项D正确． 故选：D 5．（24-25高二上·上海黄浦·期末）已知某校高一年级所有学生的体重（单位：kg），且最大值为98，最小值为44.在制作频率分布直方图时，要对这些体重数据进行分组.若组距为5，则将数据分成______组为宜. 【答案】 【详解】因为最大值为98，最小值为44，则， 又组距为5，则将数据分成组. 故答案为： 6．（25-26高一下·山西太原·期末）为了调查假期期间数学网课学习情况，某校组织高一年级学生进行了数学测试．根据测试成绩（总分100分），将所得数据按照，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示． （每一组中的数据用该组区间的中点值作代表） (1)求图中的值； (2)估计本次数学测试成绩的平均分，中位数和众数 【详解】（1）由频率分布直方图可知每组频率依次为：，，，，，， 则，解得．         （2）由（1）可知每组频率依次为：0.05，0.15，0.3，0.25，0.15，0.1， 估计本次数学测试成绩的平均分为 （分）； 因为，所以估计本次数学测试成绩的中位数为70分． 由频率分布直方图估计本次数学测试成绩的众数为65分． ◆题型3 方差与两层数据合并 题型归纳 方差与两层数据合并 每个数据都加上同一个数，方差不变。每个数据都乘 ，平均数乘 ，方差乘 。 两层合并：，方差的分母是 ，不是 。 7．（25-26高一下·贵州黔西南·阶段检测）若数据 的方差为1，则新数据 的方差为（ ） A．10 B．11 C．100 D．101 【答案】C 【详解】若数据 的方差为1，则新数据 的方差为. 8．（25-26高一下·北京东城·期末）为落实北京市校园体育“班班赛”活动要求，某校高一年级举办了篮球班级联赛．甲、乙两名球员在目前已完赛的比赛中得分（单位：分）如下： 场次 选手 第1场 第2场 第3场 第4场 第5场 第6场 第7场 第8场 甲 15 14 8 15 16 15 15 乙 19 10 11 24 17 6 20 13 若甲打完第8场比赛后，每场得分的平均数恰与乙相等，则甲第8场的得分为________．此时，每场得分的数据方差较小的是________（填“甲”或“乙”）． 【答案】 22 甲 【详解】设甲第8场的得分为，则有， 解得，即甲第8场的得分为22； 所以甲乙两人每场得分的平均数都是15， 甲每场得分的数据方差为， 乙每场得分的数据方差为， ，所以每场得分的数据方差较小的是甲. 9．（25-26高一下·陕西西安·期末）为了调查某市居民对AI的了解情况，随机选取1000名市民参加有奖考核，将考核的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图． (1)在考核成绩为，，的市民中，用分层抽样的方法抽取15人调查反馈，则考核成绩在中的市民应抽取多少人？ (2)若已知样本中考核成绩为的市民的平均成绩是56，方差是5.6，考核成绩为的市民的平均成绩为65，方差是8，求这两组市民整体的平均成绩和方差． 【详解】（1）因为频率分布直方图中，所有矩形的面积和为1（频率和为1），组距为10， 所以，即，解得， 因为：频率，人数， ：频率，人数， ：频率，人数， 三组样本总人数：， 抽样比为：，因此应抽取人数：人． （2）因为与的频率之比为， 又因为落在的市民的平均成绩是56，方差是5.6，落在的市民的平均成绩为65，方差是8，所以这两组市民成绩的平均数是， 这两组市民整体的方差是． ◆题型4 百分位数 题型归纳 百分位数 先把数据从小到大排好，再算 。 是整数时取第 项和第 项的平均；否则向上取整后取那个位置的数。 10．（2026·广东广州·模拟预测）样本数据4，5，9，7，2的第60百分位数是（     ） A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【详解】样本数据为， ， 所以第百分位数为. 11．（25-26高一下·河南郑州·期末）在高一某次数学周测考试时，某学习小组对本组6名同学的考试成绩进行统计，其中试卷上有一道满分为13分的解答题，6名同学的得分按从低到高的顺序排列为，若该组数据的中位数等于这组数据极差，则该组数据上四分位数是______． 【答案】10 【详解】已知数据，数据个数为偶数，所以中位数是中间两个数6和的平均数， 即中位数为． 极差是最大值12减去最小值4，即极差为． 因为该组数据的中位数是这组数据的极差，所以．可得． 此时这组数据为4，5，6，10，10，12．计算6与75%的乘积为4.5，所以从小到大，上四分位数是第5个数，即10． 12．（26-27高二上·宁夏吴忠·开学考试）为点燃同学们对数学的热爱，使其探寻数字背后的文化密码，某校高一年级举办“数学文化”知识竞赛．为了解参赛者的成绩情况，从所有参赛者中随机抽取100人的成绩（百分制）作为样本，并按，，…，分组，作出频率分布直方图如图所示． (1)求的值，并估计样本中成绩不低于60分的人数； (2)估计样本中成绩的上四分位数，众数，平均数及方差； 【详解】（1）根据频率分布直方图，各组频率之和为1，得：，解得：， 则样本中成绩不低于60分的人数为：. （2）上四分位数：前四组的累积频率为：， 前五组的累计频率为：，因为，所以上四分位数位于内， 设上四分位数为，则，解得：，故估计样本中成绩的上四分位数为86； 众数：因为众数为最高矩形的中点，故众数为75； 平均数：； 方差： . ◆题型5 用随机数表抽样 题型归纳 用随机数表抽样 按编号的位数读取。超出编号范围的、以及已经抽到过的，都跳过，继续往后读。 起点按题目给定的行和列，不能自己另选一列。 13．（24-25高一下·河北邯郸·阶段检测）下列说法错误的是（   ） A．为了解我国中学生的视力情况，应采取抽样调查的方式 B．频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值 C．抽签法和随机数法是两种常用的简单随机抽样的方法 D．某种疾病的治愈率为10%，若前9个病人没有被治愈，则第10个病人一定被治愈 【答案】D 【详解】抽样调查适用于调查对象数量庞大，耗时耗力，我国中学生的数量庞大，全面调查不适用，故A正确； 根据频率与概率的关系，频率随试验次数增加趋于稳定，这个稳定值即为概率，故B正确； 抽签法和随机数法是简单随机抽样的两种基础方法，符合定义，故C正确； 独立事件的概率互不影响，治愈率为10%意味每次治疗结果独立，前人未治愈不影响第人的概率，治愈率仍为10%，故D错误. 故选：D. 14．（25-26高二上·上海·阶段检测）现从500袋牛奶中抽取50袋进行检验，将它们编号为000，001，002，…499，利用随机数表抽取样本，从下表第1行第5列的数开始，按3位数依次向右读取，到行末后接着从下一行第一个数继续．则抽出的第三袋牛奶的编号是_______． 35025      83921      20676      63016      47859      16955      56719 98105      07185      12867      35807      44395      23879      33211 【答案】 【详解】根据随机数表，依次被抽取到的编号为：， 所以抽出的第三袋牛奶的编号是. ◆题型6 选择统计图 题型归纳 选择统计图 数据不多时可以用茎叶图，叶是一位数。数据很多时用频率分布直方图。 散点图只看成对的两组数据有没有一起变化的趋势，看不出因果关系。 15．（23-24高一下·广东广州·阶段检测）空气是由多种气体混合而成的，为了简明扼要地介绍空气的组成情况，较好地描述数据，最适合使用的统计图是（　　） A．条形图 B．折线图 C．扇形图 D．频率分布直方图 【答案】C 【详解】根据题意，要直观反映空气的组成情况，即各部分在总体中所占的百分比，结合统计图各自的特点，应选择扇形图． 故选：C. 16．（25-26高一下·河南郑州·期末）为了解两名同学数学成绩的变化情况，下列的统计图使用最方便的是（   ） A．频率分布直方图 B．条形图 C．折线图 D．扇形图 【答案】C 【详解】折线图更易于显示数据的变化趋势． ◆题型1 样本方差与两层合并 题型归纳 样本方差与两层合并 样本方差除以样本量 。估计总体标准差时，教材旁注才用 。 合并方差是 。 1．（25-26高一下·湖北襄阳·期末）某地区举办“机器人创新大赛”，现从参加该比赛的所有参赛者中随机抽取200名参赛者，将这200名参赛者的比赛成绩（单位：分）按，，，，，分成6组，并绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)求a的值； (2)用样本估计总体，估计该地区参加该比赛的所有参赛者比赛成绩的平均数：（每组数据用该区间的中间值作代表） (3)已知落在内比赛成绩的平均数为64.5，方差是14；落在内比赛成绩的平均数是70.5；落在内比赛成绩的方差是4．求落在内比赛成绩的平均数与落在内比赛成绩的方差． 【详解】（1）由，得． （2）估计该地区参加该比赛的所有参赛者比赛成绩的平均数为 ． （3）由图可得的频率与的频率之比为， 的频率与的频率之比为． 设落在内比赛成绩的平均数为，则，解得， 落在内比赛成绩的方差， 所以落在内比赛成绩的平均数为74.5，落在内比赛成绩的方差为32． 2．某中学为了贯彻教育部对学生的五项管理中的体质管理，对高一年级学生身高进行调查，在调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男34人，其平均数和方差分别为170.5和15，抽取了女生16人，其平均数和方差分别为160.5和35． (1)由这些数据计算总样本的平均数； (2)由这些数据计算出总样本的方差，并对高一年级全体学生的身高方差作出估计． 参考数据： 【详解】（1）把男生样本记为，其平均数记为，方差记为； 把女生样本记为，其平均数记为，方差记为； 把总样本数据的平均数记为，方差记为． 则， 故. （2）由分层方差公式可得 . 据此估计高一总方差为. 3．在十四运射击选拔赛中，某代表队甲、乙两人所得成绩如下表所示： 甲 9.8 10.3 10 10.5 9.9 乙 10.2 9.9 10.1 10.2 10.1 (1)分别求出甲、乙两人成绩的平均数与方差； (2)根据（1）的结果，你认为甲、乙两人中谁更适合参加最终比赛？ 【详解】（1）依题意，得， ， ， ． （2）∵， ∴甲、乙两人的平均成绩相等，但乙的成绩更稳定． ∴甲、乙两人中乙更适合参加最终比赛． ◆题型2 百分位数的位置 题型归纳 百分位数的位置 。整数位置取相邻两项的平均，非整数位置向上取整。 中位数是第 百分位数。先排序，再算位置。 4．某个学校抽100名学生，进行某个学科调研测试的分数的频率分布表如下，满分100分. 分数段 频率 0.1 0.3 m 0.13 0.07 (1)求表格中的m的数值； (2)分数段的学生成绩如下：86､80､81､80､81､82､84､87､87､89､84､83､85；求100名学生成绩的86百分位数； (3)的学生成绩的方差为2.2，平均分为67，的学生成绩的方差为3.1，平均分为76，求分数段的学生的总体方差.（结果精确到0.01） 【详解】（1）解：依题意可得，解得 （2）解：由（1）可得，即内一共有人，将分数段的学生成绩按照从小到大的顺序排列为：80、80、81、81、82、83、84、84、85、86、87、87、89，所以整个数据从小到大第86个数为83、第87个数为84， 因为，所以成绩的86百分位数为第86个和第87个数的平均数为 （3）解：由（1）得内有个数据，分别设为， 内有个数据，分别设为， 依题意可得 ，即，所以 ，，所以 ，所以分数段的学生的总体平均数为 分数段的学生的总体方差为 5．为了快速了解某学校学生体重（单位：kg）的大致情况，随机抽取了10名学生称重，得到的数据整理成茎叶图如图所示． (1)估计这个学校学生体重的平均数和方差． (2)求这10名学生的中位数，25%分位数，80%分位数． 【详解】（1）解：由茎叶图知这10名学生的体重为， ∴ 体重的和为， ∴ 体重的平均数为， 方差为 ； （2）解：把10名学生的体重按从小到大的顺序排列为 ， ∴ 中位数为， 第分位数为，第分位数为． 6．某学校400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例、使用分层随机抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数、将数据分成7组：并整理得到如图的频率分布直方图.    (1)求出分数低于50分的频率； (2)估计总体400名学生中分数大于70分的人数； (3)根据该学校规定，把成绩位于后的学生划定为不及格，把成绩位于前的学生划定为优秀.根据频率直方图，确定本次测试的及格分数线与优秀分数线. 【详解】（1）据频率分布直方图可知，样本中分数不小于50的频率为， 所以样本中分数小于50的频率为. （2）据频率分布直方图可知，样本中分数大于70的频率频率为， 所以总体400名学生中分数大于70分的人数约为. （3）设本次测试的及格分数线为，分数小于70的频率为， 分数小于60的频率为， 所以，即，解得，则本次测试的及格分数线为分. 设本次测试的优秀分数线为，分数大于70的频率为， 分数大于80的频率为，所以，即，解得， 则本次测试的优秀分数线为分. ◆题型3 频率分布直方图综合 题型归纳 频率分布直方图综合 先用面积和为 求出未知的高或频率，再用组中值估计平均数。 分层抽取时，各层人数按这一组的频率（或频数）占所抽各组的比例来分。 7．（25-26高二上·四川巴中·期末）某研究机构为了解高二学生课外阅读的情况，随机统计了某校高二年级名学生的一个学期课外阅读时间（单位：小时），所得数据都在内，将所得的数据分成4组：，，，，得到如图所示的频率分布直方图，现知道课外阅读时间在内的有人． (1)求和的值； (2)估计该校学生一个学期课外阅读时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）． 【详解】（1）区间的组距为， 由频率直方图可知频率/组距为， 该区间的频率为， 该区间有人， ； 频率直方图各组频率之和为1，组距均为， ，解得． （2）该校学生一个学期课外阅读时间的平均数为： ． 8．（25-26高一下·江西景德镇·阶段检测）年月日至月日是第三届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“分类齐参与，低碳新时尚”．某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了名学生的竞赛成绩（单位：分，得分取正整数，满分为分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，按，，，，分为组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求图中的值； (2)估计这名学生这次竞赛成绩的中位数； (3)在这名学生中，从这次竞赛成绩在内的学生中采用分层随机抽样的方法抽取名学生进行调查，求这名学生这次竞赛成绩在内被抽取的人数． 【详解】（1）解：由频率分布直方图性质，各矩形面积和为，组距为，可得： ，即，解得. （2）解：设中位数为， 因为，而， 所以中位数在内，根据中位数的定义可得：， 解得. 因此，这名学生这次竞赛成绩的中位数为. （3）解：由的频率为：，可得人数为：人， 由的频率为：，可得人数为：人， 所以内总人数为人，可得分层抽样的比为， 因此，这名学生这次竞赛成绩在内被抽到的人数为人. 一、选择题 1．（26-27高二上·四川泸州·阶段检测）某校举办了数学知识竞赛，并将名学生的竞赛成绩（满分分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法错误的为（    ） A．该校名学生竞赛的平均成绩为分 B．估计这组数据的众数为 C．估计这组数据的第百分位数为 D．估计成绩低于分的有人 【答案】D 【详解】由频率分布直方图得，解得． 对于A，平均成绩为，故A正确； 对于B，由在频率分布直方图中，最高矩形对应的区间为，所以众数为，故B正确； 对于C，由前四组的频率之和为， 前五组的频率之和为， 设这组数据的第百分位数为，则， 解得，故C正确； 对于D，成绩低于分的频率为， 所以成绩低于分的有人，故D错误． 2．（25-26高一下·天津静海·期末）已知一组样本数据，，，，的平均数为2026，则下列叙述中错误的是（     ） A．，，，，，的平均数等于，，，，的平均数 B．，，，，，的方差不大于，，，，的方差 C．，，，，，的中位数等于，，，，的中位数 D．，，，，，的极差等于，，，，的极差 【答案】C 【详解】选项A：新数据的平均数为，与原数据的平均数相等. 选项B：设原数据的方差为，新数据的平均数仍为2026， 故新方差， 显然，即新方差不大于原方差. 选项C：将原数据从小到大排序为， 若原中位数为， 插入后中位数. 选项D：若原数据全相等，则，两组数据极差均为0，相等. 若原数据不全相等，则最小值小于2026小于最大值，极差不变. 二、解答题 3．（25-26高一下·江苏盐城·阶段检测）江苏省阜宁中学积极响应国家号召，举行了一次红色文化知识竞赛．学校在竞赛后，随机抽查了100人的成绩整理后得到如图所示的频率分布直方图． (1)求的值，以及样本的平均数； (2)若本次竞赛中获奖的人数占参赛总人数的，试估计获奖分数线（精确到0.1）； (3)估计这组样本数据的众数和中位数． 【详解】（1）由题意可得， 解得； 设平均数为， 则； （2）因为本次竞赛中获奖的人数占参赛总人数的， 所以不获奖人数占参赛总人数的， 设获奖分数线为， 因为分人数占总人数的；分人数占总人数的； 分人数占总人数的；分人数占总人数的； 而，， 所以， 所以， 解得； （3）由众数的定义可知：此组数据的众数为; 设中位数为， 由（2）可知， 所以. 4．（25-26高一下·浙江金华·阶段检测）学校对高一学生期中考试的数学成绩进行调查，现抽取100人进行数据统计，绘制频率分布直方图如下， (1)求的值和该组数据的中位数： (2)若这100人中有女生40人，且男生平均分106，方差为16；女生平均分101，方差为36，求这100人的数学平均分和方差． 【详解】（1）， ，， 所以中位数在区间内，故． （2），． 所以这100人的数学平均分为，方差为. 5．（25-26高一下·新疆昌吉·期末）据网络平台最新数据，截止到2025年6月5日15时，电影《哪吒之魔童闹海》总票房（含点映、预售及海外票房）已超158.91亿元，成为首部进入全球票房榜前五，登顶动画票房榜榜首的亚洲电影．一团队从观看该电影的所有观众中随机抽取20000人为样本，统计他们的年龄，并绘制如图所示的频率分布直方图． (1)估计观看此电影的观众的年龄的众数、平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)已知落在的平均年龄是27岁，方差是7，落在的平均年龄为36岁，方差是4，求两组年龄合并后的平均数和方差； 附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，．记两组数据总的样本平均数为，则总的样本方差． 【详解】（1）由频率分布直方图可知，最高矩形对应的区间为， 所以众数为该区间的中点值，即. 平均数为： . 因为前两组的频率之和为，前三组的频率之和为， 前四组的频率之和为，所以中位数位于区间内. 设中位数为，则， 解得. 故估计观看此电影的观众的年龄的众数为，平均数为，中位数为. （2）由频率分布直方图可知，落在的频率为，落在的频率为. 设落在的样本量为，落在的样本量为，则，即，则. 由题意知，，；，. 则合并后的平均数. 合并后的方差 . 故两组年龄合并后的平均数为，方差为. 6．（25-26高一下·陕西西安·期末）某家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了近期连续120天苹果的日销售量单位：kg），并绘制频率分布直方图如图所示. (1)请根据频率分布直方图估计该水果店苹果日销售量的众数和平均数（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表； (2)一次进货太多，水果会变得不新鲜;进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能地满足顾客的需求即在10天中，大约有9天可以满足顾客的需求请问每天应该进多少千克苹果? 【详解】（1）由图可知，区间的频率最大，所以众数为； . 该水果店苹果日销售量的众数为85，平均数89.75. （2）日销售量在区间的频率为，日销售量在区间的频率为，故所求的量位于内. 由，得. 每天应该进千克苹果． 7．在某市的一次数学测试中，为了解学生的测试情况，从中随机抽取100名学生的测试成绩，被抽取成绩全部介于40分到100分之间（满分100分），将统计结果按如下方式分成六组：第一组，第二组，，第六组，画出频率分布直方图如图所示. (1)求第三组的频率； (2)估计该市学生这次测试成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）和第25百分位数. 【详解】（1）由频率分布直方图知，第三组的频率为. （2）平均值 ， 因为，， 所以第25百分位数为. 8．某英语老师负责甲、乙两个班的英语课，其中甲班有60名学生，乙班有48名学生：为分析他们的英语成绩，该老师计划用分层随机抽样的方法抽取18名学生，统计他们英语考试的分数． (1)该老师首先在甲班采用随机数法抽取所需要的学生，为此将甲班学生随机编号为01～60，按照以下随机数表，以第2行第21列的数字4为起点，从左到右依次读取数据，每次读取两位随机数，重复的跳过，一行读完之后接下一行左端．求抽出的学生编号的中位数． 7816　6572　0802　6314　0702　4369　9728　0198 3204　9243　4935　8200　3623　4869　6938　7481 2976　3413　2841　4241　2424　1985　9313　2322 8303　9822　5888　2410　1158　2729　6443　2943 (2)已知甲班的样本平均数为，方差为，两班总的样本平均数为，方差为． （i）求乙班的样本平均数和方差； （ii）判断两班学生的英语成绩是否有明显差异．（如果，则认为两班学生的英语成绩有明显差异，否则不认为有明显差异） 【详解】（1）根据分层随机抽样的规则，需要在甲班抽取的样本数为， 在随机数表中依次读取的编号为，48，38，29，34，13，28，41，42，24，19， 编号从小到大依次为，13，19，24，28，29，34，38，41，42，48， 所以抽出的学生编号的中位数为． （2）（i）依题意，样本中甲班学生有10人，乙班学生有8人，由分层随机抽样的平均数和方差的公式， 得，因此， ，即，解得， 所以，. （ii）因为， 因此，所以两班学生的英语成绩有明显差异． 9．为了解A，B两种轮胎的性能，某汽车制造厂分别从这两种轮胎中各随机抽取了8个进行测试，得到每个轮胎行驶的最远里程数（单位：），并制成如图所示的茎叶图. (1)分别计算A，B两种轮胎行驶的最远里程数的中位数、平均数； (2)分别计算A，B两种轮胎行驶的最远里程数的方差，并判断哪种轮胎的性能更加稳定？ 【详解】（1）解：A种轮胎的中位数为， A种轮胎的平均数， B种轮胎的中位数为， B种轮胎的平均数， 所以A，B两种轮胎行驶的最远里程数的中位数均为99，平均数均为100. （2）解：A种轮胎的方差， B种轮胎的方差， ，， 种轮胎的性能更加稳定. 10．一家水果店店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去20天苹果的日销售量（单位：kg），结果如下：83，91，75，94，80，80，80，75，89，74，94，84，85，87，93，85，75，86，85，85. (1)请计算该水果店过去20天苹果日销售量的平均数. (2)一次进货太多，水果会变的不新鲜；进货太少，不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，第80百分位数是比较理想的进货需求，请问，每天应该进多少千克苹果？ 【详解】（1）根据题意，设过去20天苹果日销售量的平均数为， 则 经计算得 所以，该水果店过去20天苹果日销售量的平均数为84. （2）将过去20天苹果的日销售量数据按照从小到大的顺序排列如下： 74，75，75，75，80，80，80，83，84，85，85，85，85，86，87，89，91，93，94，94; 因为，所以第80百分位数是第16位和第17位数的平均值； 即； 所以，每天应该进90千克苹果. 11．（25-26高一下·青海海东·期末）某商场随机选取100名顾客进行调查，发现他们在商场的单次消费金额都在50元至300元之间，进行适当分组后（分组区间为，，，，），画出的频率分布直方图如图所示． (1)求的值； (2)按比例采用分层随机抽样的方法从单次消费金额在内的顾客中选取30人参加商场举行的活动，分别求单次消费金额在，，内参加活动的顾客人数． 【详解】（1）根据频率分布直方图性质可知， 解得． （2）单次消费金额在内的顾客频率为， 在内的顾客频率为， 在内的顾客频率为， 则单次消费金额在内参加活动的顾客人数为， 在内参加活动的顾客人数为， 在内参加活动的顾客人数为． 12．某学校有高中学生500人，其中男生300人，女生200人．有人为了获得该校全体高中学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取样本，并观测样本的指标值（单位：cm），计算得男生样本的均值为175，方差为20，女生样本均值为165，方差为30 (1)如果已知男、女的样本量按比例分配，请计算总样本的均值和方差各为多少? (2)如果已知男、女的样本量都是25，请计算总样本均值和方差各为多少? 【详解】（1）男、女的样本量按比例分配， 总样本的均值为cm， 总样本的方差为； （2）男、女的样本量都是25， 总样本的均值为cm， 总样本的方差为； 13．（23-24高一下·湖北省直辖县级单位·阶段检测）为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求，某市政府积极鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），使居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年200位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图，其中. (1)求直方图中a，b的值； (2)由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数（每组数据用该组区间中点值作为代表）； (3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值，并说明理由. 【详解】（1）由频率分布直方图可得 ， 又，则，. （2）该市居民用水的平均数估计为： （吨）. （3）因的频率为， 的频率为， 故的估计值为（吨）． 所以有的居民每月的用水量不超过标准（吨）． 14．（25-26高一下·江苏泰州·阶段检测）某幼儿园根据部分同年龄段儿童的身高数据绘制了如图所示的频率分布直方图，其中身高（单位：）的变化范围是，样本数据分组为，，，，． (1)求出的值； (2)已知样本中身高小于的人数是60，求出样本容量的数值； (3)根据频率分布直方图提供的数据，现用分层抽样的方法从身高在，，内的儿童中共抽出42名儿童参加活动，求三个组内分别要抽取的儿童数． 【详解】（1） 由频率分布直方图可知，组距为， 根据所有小矩形的面积之和为， 所以 ； （2）身高小于的频率为 . 因为身高小于的人数是， 所以样本容量； （3）身高在，，内的频率分别为，，， 这三组的人数分别为，，. 这三组的总人数为，故抽样比为， 则三个组内分别要抽取的儿童数为： 第一组（名） ，第二组（名） ，第三组（名） ， 故三个组内分别要抽取的儿童数为名. 15．现给出一位同学在7月和8月进行的米短跑测试成绩（单位：秒）： 8月 7月 记7月､8月成绩的样本平均数分别为，，样本方差分别为，. 附：①统计量可在一定程度上说明两组成绩的差异（当时，可认为两组成绩有显著差异）； ②若满足，则可说明成绩有显著提高. (1)判断该同学的两组成绩是否有显著差异，并说明理由； (2)判断该同学的成绩是否有显著提高，并说明理由. 【详解】（1）由已知，根据图表可知， ， ， ， . 所以， 所以，该同学的两组成绩没有显著差异. （2）依题意，， ， ， 所以该同学的成绩是有显著提高. 16．（26-27高二上·河北保定·阶段检测）某学校为了了解学生对交通安全知识的掌握情况，组织了一场交通安全知识考试.从本场考试的全部试卷中随机抽取份试卷作为样本，将样本的成绩（满分为分，成绩均不低于分）分成六组：，，…，，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求出图中的值，并估计样本成绩的第百分位数（保留一位小数）； (2)若从成绩在和的两组中用按比例分配的分层随机抽样法抽取人，求这两组分别抽取的人数； (3)已知落在的平均成绩为，方差为，落在的平均成绩为，方差为，求两组成绩合并后的平均数和方差. 【附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为，，；，，，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差】 【详解】（1）解：因为频率分布直方图中所有组的频率之和为，组距为， 可得，解得， 计算累计频率：的累计频率为， 的累计频率为， 所以第百分位数位于内，且满足， 所以第百分位数为. （2）解：因为成绩在和的频率分别为，， 所以用按比例分配的分层随机抽样法抽取的人中， 其中从组抽取（人），组抽取（人）， 所以从组中抽取人，组中抽取人． （3）解：因为组的频数， 组的频数， 所以合并后的平均数为， 则合并后的方差为： ． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13章 统计全章高频重点题型突破 ◆题型1 分层抽样求各层人数 1．【答案】D 【详解】依题意，义工社团女生总人数为人， 由分层抽样等比例抽取的规则，女生应抽取的人数为. 2．【答案】150 【详解】由题意抽样比为 抽取的样本中浅海层的样本份数为． 3．【详解】（1）由题可知救援小组中医生的人数为，护士的人数为. （2）由（1）可知救援小组中有2名医生，记为A，B；有3名护士，记为a，b，c. 从中随机选取2人担任组长，所有的结果为，，，，， ，，，，，共有10种可能的结果. 记事件M为“医生和护士各有1人被选中担任组长”，依题意可知事件M包含的样本点 有，，，，，，共有6种可能的结果. 故. ◆题型2 读频率分布直方图 4．【答案】D 【详解】由表可知，， 解得，选项A错误； 观看场次不超过场的学生的比例为，选项B错误； 观看场次不超过场的学生的比例为， 则观看场次不超过场的学生约为人，选项C错误； 观看场次不低于场的学生的比例为， 则观看场次不低于场的学生约为人，选项D正确． 故选：D 5．【答案】 【详解】因为最大值为98，最小值为44，则， 又组距为5，则将数据分成组. 故答案为： 6．【详解】（1）由频率分布直方图可知每组频率依次为：，，，，，， 则，解得．         （2）由（1）可知每组频率依次为：0.05，0.15，0.3，0.25，0.15，0.1， 估计本次数学测试成绩的平均分为 （分）； 因为，所以估计本次数学测试成绩的中位数为70分． 由频率分布直方图估计本次数学测试成绩的众数为65分． ◆题型3 方差与两层数据合并 7．【答案】C 【详解】若数据 的方差为1，则新数据 的方差为. 8．【答案】 22 甲 【详解】设甲第8场的得分为，则有， 解得，即甲第8场的得分为22； 所以甲乙两人每场得分的平均数都是15， 甲每场得分的数据方差为， 乙每场得分的数据方差为， ，所以每场得分的数据方差较小的是甲. 9．【详解】（1）因为频率分布直方图中，所有矩形的面积和为1（频率和为1），组距为10， 所以，即，解得， 因为：频率，人数， ：频率，人数， ：频率，人数， 三组样本总人数：， 抽样比为：，因此应抽取人数：人． （2）因为与的频率之比为， 又因为落在的市民的平均成绩是56，方差是5.6，落在的市民的平均成绩为65，方差是8，所以这两组市民成绩的平均数是， 这两组市民整体的方差是． ◆题型4 百分位数 10．【答案】B 【详解】样本数据为， ， 所以第百分位数为. 11．【答案】10 【详解】已知数据，数据个数为偶数，所以中位数是中间两个数6和的平均数， 即中位数为． 极差是最大值12减去最小值4，即极差为． 因为该组数据的中位数是这组数据的极差，所以．可得． 此时这组数据为4，5，6，10，10，12．计算6与75%的乘积为4.5，所以从小到大，上四分位数是第5个数，即10． 12．【详解】（1）根据频率分布直方图，各组频率之和为1，得：，解得：， 则样本中成绩不低于60分的人数为：. （2）上四分位数：前四组的累积频率为：， 前五组的累计频率为：，因为，所以上四分位数位于内， 设上四分位数为，则，解得：，故估计样本中成绩的上四分位数为86； 众数：因为众数为最高矩形的中点，故众数为75； 平均数：； 方差： . ◆题型5 用随机数表抽样 13．【答案】D 【详解】抽样调查适用于调查对象数量庞大，耗时耗力，我国中学生的数量庞大，全面调查不适用，故A正确； 根据频率与概率的关系，频率随试验次数增加趋于稳定，这个稳定值即为概率，故B正确； 抽签法和随机数法是简单随机抽样的两种基础方法，符合定义，故C正确； 独立事件的概率互不影响，治愈率为10%意味每次治疗结果独立，前人未治愈不影响第人的概率，治愈率仍为10%，故D错误. 故选：D. 14．【答案】 【详解】根据随机数表，依次被抽取到的编号为：， 所以抽出的第三袋牛奶的编号是. ◆题型6 选择统计图 15．【答案】C 【详解】根据题意，要直观反映空气的组成情况，即各部分在总体中所占的百分比，结合统计图各自的特点，应选择扇形图． 故选：C. 16．【答案】C 【详解】折线图更易于显示数据的变化趋势． ◆题型1 样本方差与两层合并 1．【详解】（1）由，得． （2）估计该地区参加该比赛的所有参赛者比赛成绩的平均数为 ． （3）由图可得的频率与的频率之比为， 的频率与的频率之比为． 设落在内比赛成绩的平均数为，则，解得， 落在内比赛成绩的方差， 所以落在内比赛成绩的平均数为74.5，落在内比赛成绩的方差为32． 2．【详解】（1）把男生样本记为，其平均数记为，方差记为； 把女生样本记为，其平均数记为，方差记为； 把总样本数据的平均数记为，方差记为． 则， 故. （2）由分层方差公式可得 . 据此估计高一总方差为. 3．【详解】（1）依题意，得， ， ， ． （2）∵， ∴甲、乙两人的平均成绩相等，但乙的成绩更稳定． ∴甲、乙两人中乙更适合参加最终比赛． ◆题型2 百分位数的位置 4．【详解】（1）解：依题意可得，解得 （2）解：由（1）可得，即内一共有人，将分数段的学生成绩按照从小到大的顺序排列为：80、80、81、81、82、83、84、84、85、86、87、87、89，所以整个数据从小到大第86个数为83、第87个数为84， 因为，所以成绩的86百分位数为第86个和第87个数的平均数为 （3）解：由（1）得内有个数据，分别设为， 内有个数据，分别设为， 依题意可得 ，即，所以 ，，所以 ，所以分数段的学生的总体平均数为 分数段的学生的总体方差为 5．【详解】（1）解：由茎叶图知这10名学生的体重为， ∴ 体重的和为， ∴ 体重的平均数为， 方差为 ； （2）解：把10名学生的体重按从小到大的顺序排列为 ， ∴ 中位数为， 第分位数为，第分位数为． 6．【详解】（1）据频率分布直方图可知，样本中分数不小于50的频率为， 所以样本中分数小于50的频率为. （2）据频率分布直方图可知，样本中分数大于70的频率频率为， 所以总体400名学生中分数大于70分的人数约为. （3）设本次测试的及格分数线为，分数小于70的频率为， 分数小于60的频率为， 所以，即，解得，则本次测试的及格分数线为分. 设本次测试的优秀分数线为，分数大于70的频率为， 分数大于80的频率为，所以，即，解得， 则本次测试的优秀分数线为分. ◆题型3 频率分布直方图综合 7．【详解】（1）区间的组距为， 由频率直方图可知频率/组距为， 该区间的频率为， 该区间有人， ； 频率直方图各组频率之和为1，组距均为， ，解得． （2）该校学生一个学期课外阅读时间的平均数为： ． 8．【详解】（1）解：由频率分布直方图性质，各矩形面积和为，组距为，可得： ，即，解得. （2）解：设中位数为， 因为，而， 所以中位数在内，根据中位数的定义可得：， 解得. 因此，这名学生这次竞赛成绩的中位数为. （3）解：由的频率为：，可得人数为：人， 由的频率为：，可得人数为：人， 所以内总人数为人，可得分层抽样的比为， 因此，这名学生这次竞赛成绩在内被抽到的人数为人. 一、选择题 1．D 2．C 二、解答题 3．【详解】（1）由题意可得， 解得； 设平均数为， 则； （2）因为本次竞赛中获奖的人数占参赛总人数的， 所以不获奖人数占参赛总人数的， 设获奖分数线为， 因为分人数占总人数的；分人数占总人数的； 分人数占总人数的；分人数占总人数的； 而，， 所以， 所以， 解得； （3）由众数的定义可知：此组数据的众数为; 设中位数为， 由（2）可知， 所以. 4．【详解】（1）， ，， 所以中位数在区间内，故． （2），． 所以这100人的数学平均分为，方差为. 5．【详解】（1）由频率分布直方图可知，最高矩形对应的区间为， 所以众数为该区间的中点值，即. 平均数为： . 因为前两组的频率之和为，前三组的频率之和为， 前四组的频率之和为，所以中位数位于区间内. 设中位数为，则， 解得. 故估计观看此电影的观众的年龄的众数为，平均数为，中位数为. （2）由频率分布直方图可知，落在的频率为，落在的频率为. 设落在的样本量为，落在的样本量为，则，即，则. 由题意知，，；，. 则合并后的平均数. 合并后的方差 . 故两组年龄合并后的平均数为，方差为. 6．【详解】（1）由图可知，区间的频率最大，所以众数为； . 该水果店苹果日销售量的众数为85，平均数89.75. （2）日销售量在区间的频率为，日销售量在区间的频率为，故所求的量位于内. 由，得. 每天应该进千克苹果． 7．【详解】（1）由频率分布直方图知，第三组的频率为. （2）平均值 ， 因为，， 所以第25百分位数为. 8．【详解】（1）根据分层随机抽样的规则，需要在甲班抽取的样本数为， 在随机数表中依次读取的编号为，48，38，29，34，13，28，41，42，24，19， 编号从小到大依次为，13，19，24，28，29，34，38，41，42，48， 所以抽出的学生编号的中位数为． （2）（i）依题意，样本中甲班学生有10人，乙班学生有8人，由分层随机抽样的平均数和方差的公式， 得，因此， ，即，解得， 所以，. （ii）因为， 因此，所以两班学生的英语成绩有明显差异． 9．【详解】（1）解：A种轮胎的中位数为， A种轮胎的平均数， B种轮胎的中位数为， B种轮胎的平均数， 所以A，B两种轮胎行驶的最远里程数的中位数均为99，平均数均为100. （2）解：A种轮胎的方差， B种轮胎的方差， ，， 种轮胎的性能更加稳定. 10．【详解】（1）根据题意，设过去20天苹果日销售量的平均数为， 则 经计算得 所以，该水果店过去20天苹果日销售量的平均数为84. （2）将过去20天苹果的日销售量数据按照从小到大的顺序排列如下： 74，75，75，75，80，80，80，83，84，85，85，85，85，86，87，89，91，93，94，94; 因为，所以第80百分位数是第16位和第17位数的平均值； 即； 所以，每天应该进90千克苹果. 11．【详解】（1）根据频率分布直方图性质可知， 解得． （2）单次消费金额在内的顾客频率为， 在内的顾客频率为， 在内的顾客频率为， 则单次消费金额在内参加活动的顾客人数为， 在内参加活动的顾客人数为， 在内参加活动的顾客人数为． 12．【详解】（1）男、女的样本量按比例分配， 总样本的均值为cm， 总样本的方差为； （2）男、女的样本量都是25， 总样本的均值为cm， 总样本的方差为； 13．【详解】（1）由频率分布直方图可得 ， 又，则，. （2）该市居民用水的平均数估计为： （吨）. （3）因的频率为， 的频率为， 故的估计值为（吨）． 所以有的居民每月的用水量不超过标准（吨）． 14．【详解】（1） 由频率分布直方图可知，组距为， 根据所有小矩形的面积之和为， 所以 ； （2）身高小于的频率为 . 因为身高小于的人数是， 所以样本容量； （3）身高在，，内的频率分别为，，， 这三组的人数分别为，，. 这三组的总人数为，故抽样比为， 则三个组内分别要抽取的儿童数为： 第一组（名） ，第二组（名） ，第三组（名） ， 故三个组内分别要抽取的儿童数为名. 15．【详解】（1）由已知，根据图表可知， ， ， ， . 所以， 所以，该同学的两组成绩没有显著差异. （2）依题意，， ， ， 所以该同学的成绩是有显著提高. 16．【详解】（1）解：因为频率分布直方图中所有组的频率之和为，组距为， 可得，解得， 计算累计频率：的累计频率为， 的累计频率为， 所以第百分位数位于内，且满足， 所以第百分位数为. （2）解：因为成绩在和的频率分别为，， 所以用按比例分配的分层随机抽样法抽取的人中， 其中从组抽取（人），组抽取（人）， 所以从组中抽取人，组中抽取人． （3）解：因为组的频数， 组的频数， 所以合并后的平均数为， 则合并后的方差为： ． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13章 统计全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 分层抽样求各层人数（高频） 题型2 读频率分布直方图（高频） 题型3 方差与两层数据合并（高频） 题型4 百分位数（高频） 题型5 用随机数表抽样（高频） 题型6 选择统计图（易错） 核心提升：重难题型归纳 题型1 样本方差与两层合并（重） 题型2 百分位数的位置（重） 题型3 频率分布直方图综合（重） 题型专练：高频重难特训 ◆题型1 分层抽样求各层人数 题型归纳 分层抽样求各层人数 各层抽取比例相同：。先求公共比例，再乘各层人数。 某一层的人数不是整数时，两种就近取整都可以，各层人数之和要等于样本量。 1．（25-26高一下·福建福州·期末）某校义工社团共有80人，其中男生50人．若按男女比例采取分层抽样的方式，抽取24人参加周末的马拉松比赛志愿者工作，则女生应抽取的人数是（     ） A．3 B．5 C．6 D．9 2．（26-27高二上·河北雄安·开学考试）某研究所为开展海洋生物多样性调查，利用深海探测器在不同深度层采集到生物样本共计6000份，按采集深度分为三层： 分层 样本量/份 浅海层 3000 中海层 2000 深海层 1000 现采用分层随机抽样的方法从全部样本中抽取300份进行DNA序列分析，则抽取的样本中浅海层的样本份数为__________． 3．（24-25高一上·江西·期末）已知某医疗队共有医生20人，护士30人，现在要用分层随机抽样的方法从中选取5人组建一个救援小组. (1)求救援小组中医生和护士的人数； (2)若从救援小组中随机选取2人担任组长，求医生和护士各有1人被选中的概率. ◆题型2 读频率分布直方图 题型归纳 读频率分布直方图 小矩形的高是频率除以组距，面积等于频率，各面积之和为 。 某一组的频数等于样本量乘这一组的频率。组中值是左右端点的平均数。 4．（2024·四川成都·模拟预测）在年巴黎奥运会上，我国网球选手郑钦文历经场比赛，勇夺巴黎奥运会女子网球单打冠军，书写了中国网球新的历史．某学校有名学生，一机构在该校随机抽取了名学生对郑钦文奥运会期间场单打比赛的收看情况进行了调查，将数据分组整理后，列表如下： 观看场次 观看人数占调查 人数的百分比 从表中数据可以得出的正确结论为（   ）． A．表中的数值为 B．观看场次不超过场的学生的比例为 C．估计该校观看场次不超过场的学生约为人 D．估计该校观看场次不低于场的学生约为人 5．（24-25高二上·上海黄浦·期末）已知某校高一年级所有学生的体重（单位：kg），且最大值为98，最小值为44.在制作频率分布直方图时，要对这些体重数据进行分组.若组距为5，则将数据分成______组为宜. 6．（25-26高一下·山西太原·期末）为了调查假期期间数学网课学习情况，某校组织高一年级学生进行了数学测试．根据测试成绩（总分100分），将所得数据按照，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示． （每一组中的数据用该组区间的中点值作代表） (1)求图中的值； (2)估计本次数学测试成绩的平均分，中位数和众数 ◆题型3 方差与两层数据合并 题型归纳 方差与两层数据合并 每个数据都加上同一个数，方差不变。每个数据都乘 ，平均数乘 ，方差乘 。 两层合并：，方差的分母是 ，不是 。 7．（25-26高一下·贵州黔西南·阶段检测）若数据 的方差为1，则新数据 的方差为（ ） A．10 B．11 C．100 D．101 8．（25-26高一下·北京东城·期末）为落实北京市校园体育“班班赛”活动要求，某校高一年级举办了篮球班级联赛．甲、乙两名球员在目前已完赛的比赛中得分（单位：分）如下： 场次 选手 第1场 第2场 第3场 第4场 第5场 第6场 第7场 第8场 甲 15 14 8 15 16 15 15 乙 19 10 11 24 17 6 20 13 若甲打完第8场比赛后，每场得分的平均数恰与乙相等，则甲第8场的得分为________．此时，每场得分的数据方差较小的是________（填“甲”或“乙”）． 9．（25-26高一下·陕西西安·期末）为了调查某市居民对AI的了解情况，随机选取1000名市民参加有奖考核，将考核的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图． (1)在考核成绩为，，的市民中，用分层抽样的方法抽取15人调查反馈，则考核成绩在中的市民应抽取多少人？ (2)若已知样本中考核成绩为的市民的平均成绩是56，方差是5.6，考核成绩为的市民的平均成绩为65，方差是8，求这两组市民整体的平均成绩和方差． ◆题型4 百分位数 题型归纳 百分位数 先把数据从小到大排好，再算 。 是整数时取第 项和第 项的平均；否则向上取整后取那个位置的数。 10．（2026·广东广州·模拟预测）样本数据4，5，9，7，2的第60百分位数是（     ） A．5 B．6 C．8 D．9 11．（25-26高一下·河南郑州·期末）在高一某次数学周测考试时，某学习小组对本组6名同学的考试成绩进行统计，其中试卷上有一道满分为13分的解答题，6名同学的得分按从低到高的顺序排列为，若该组数据的中位数等于这组数据极差，则该组数据上四分位数是______． 12．（26-27高二上·宁夏吴忠·开学考试）为点燃同学们对数学的热爱，使其探寻数字背后的文化密码，某校高一年级举办“数学文化”知识竞赛．为了解参赛者的成绩情况，从所有参赛者中随机抽取100人的成绩（百分制）作为样本，并按，，…，分组，作出频率分布直方图如图所示． (1)求的值，并估计样本中成绩不低于60分的人数； (2)估计样本中成绩的上四分位数，众数，平均数及方差； ◆题型5 用随机数表抽样 题型归纳 用随机数表抽样 按编号的位数读取。超出编号范围的、以及已经抽到过的，都跳过，继续往后读。 起点按题目给定的行和列，不能自己另选一列。 13．（24-25高一下·河北邯郸·阶段检测）下列说法错误的是（   ） A．为了解我国中学生的视力情况，应采取抽样调查的方式 B．频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值 C．抽签法和随机数法是两种常用的简单随机抽样的方法 D．某种疾病的治愈率为10%，若前9个病人没有被治愈，则第10个病人一定被治愈 14．（25-26高二上·上海·阶段检测）现从500袋牛奶中抽取50袋进行检验，将它们编号为000，001，002，…499，利用随机数表抽取样本，从下表第1行第5列的数开始，按3位数依次向右读取，到行末后接着从下一行第一个数继续．则抽出的第三袋牛奶的编号是_______． 35025      83921      20676      63016      47859      16955      56719 98105      07185      12867      35807      44395      23879      33211 ◆题型6 选择统计图 题型归纳 选择统计图 数据不多时可以用茎叶图，叶是一位数。数据很多时用频率分布直方图。 散点图只看成对的两组数据有没有一起变化的趋势，看不出因果关系。 15．（23-24高一下·广东广州·阶段检测）空气是由多种气体混合而成的，为了简明扼要地介绍空气的组成情况，较好地描述数据，最适合使用的统计图是（　　） A．条形图 B．折线图 C．扇形图 D．频率分布直方图 16．（25-26高一下·河南郑州·期末）为了解两名同学数学成绩的变化情况，下列的统计图使用最方便的是（   ） A．频率分布直方图 B．条形图 C．折线图 D．扇形图 ◆题型1 样本方差与两层合并 题型归纳 样本方差与两层合并 样本方差除以样本量 。估计总体标准差时，教材旁注才用 。 合并方差是 。 1．（25-26高一下·湖北襄阳·期末）某地区举办“机器人创新大赛”，现从参加该比赛的所有参赛者中随机抽取200名参赛者，将这200名参赛者的比赛成绩（单位：分）按，，，，，分成6组，并绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)求a的值； (2)用样本估计总体，估计该地区参加该比赛的所有参赛者比赛成绩的平均数：（每组数据用该区间的中间值作代表） (3)已知落在内比赛成绩的平均数为64.5，方差是14；落在内比赛成绩的平均数是70.5；落在内比赛成绩的方差是4．求落在内比赛成绩的平均数与落在内比赛成绩的方差． 2．某中学为了贯彻教育部对学生的五项管理中的体质管理，对高一年级学生身高进行调查，在调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男34人，其平均数和方差分别为170.5和15，抽取了女生16人，其平均数和方差分别为160.5和35． (1)由这些数据计算总样本的平均数； (2)由这些数据计算出总样本的方差，并对高一年级全体学生的身高方差作出估计． 参考数据： 3．在十四运射击选拔赛中，某代表队甲、乙两人所得成绩如下表所示： 甲 9.8 10.3 10 10.5 9.9 乙 10.2 9.9 10.1 10.2 10.1 (1)分别求出甲、乙两人成绩的平均数与方差； (2)根据（1）的结果，你认为甲、乙两人中谁更适合参加最终比赛？ ◆题型2 百分位数的位置 题型归纳 百分位数的位置 。整数位置取相邻两项的平均，非整数位置向上取整。 中位数是第 百分位数。先排序，再算位置。 4．某个学校抽100名学生，进行某个学科调研测试的分数的频率分布表如下，满分100分. 分数段 频率 0.1 0.3 m 0.13 0.07 (1)求表格中的m的数值； (2)分数段的学生成绩如下：86､80､81､80､81､82､84､87､87､89､84､83､85；求100名学生成绩的86百分位数； (3)的学生成绩的方差为2.2，平均分为67，的学生成绩的方差为3.1，平均分为76，求分数段的学生的总体方差.（结果精确到0.01） 5．为了快速了解某学校学生体重（单位：kg）的大致情况，随机抽取了10名学生称重，得到的数据整理成茎叶图如图所示． (1)估计这个学校学生体重的平均数和方差． (2)求这10名学生的中位数，25%分位数，80%分位数． 6．某学校400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例、使用分层随机抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数、将数据分成7组：并整理得到如图的频率分布直方图.    (1)求出分数低于50分的频率； (2)估计总体400名学生中分数大于70分的人数； (3)根据该学校规定，把成绩位于后的学生划定为不及格，把成绩位于前的学生划定为优秀.根据频率直方图，确定本次测试的及格分数线与优秀分数线. ◆题型3 频率分布直方图综合 题型归纳 频率分布直方图综合 先用面积和为 求出未知的高或频率，再用组中值估计平均数。 分层抽取时，各层人数按这一组的频率（或频数）占所抽各组的比例来分。 7．（25-26高二上·四川巴中·期末）某研究机构为了解高二学生课外阅读的情况，随机统计了某校高二年级名学生的一个学期课外阅读时间（单位：小时），所得数据都在内，将所得的数据分成4组：，，，，得到如图所示的频率分布直方图，现知道课外阅读时间在内的有人． (1)求和的值； (2)估计该校学生一个学期课外阅读时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）． 8．（25-26高一下·江西景德镇·阶段检测）年月日至月日是第三届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“分类齐参与，低碳新时尚”．某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了名学生的竞赛成绩（单位：分，得分取正整数，满分为分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，按，，，，分为组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求图中的值； (2)估计这名学生这次竞赛成绩的中位数； (3)在这名学生中，从这次竞赛成绩在内的学生中采用分层随机抽样的方法抽取名学生进行调查，求这名学生这次竞赛成绩在内被抽取的人数． 一、选择题 1．（26-27高二上·四川泸州·阶段检测）某校举办了数学知识竞赛，并将名学生的竞赛成绩（满分分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法错误的为（    ） A．该校名学生竞赛的平均成绩为分 B．估计这组数据的众数为 C．估计这组数据的第百分位数为 D．估计成绩低于分的有人 2．（25-26高一下·天津静海·期末）已知一组样本数据，，，，的平均数为2026，则下列叙述中错误的是（     ） A．，，，，，的平均数等于，，，，的平均数 B．，，，，，的方差不大于，，，，的方差 C．，，，，，的中位数等于，，，，的中位数 D．，，，，，的极差等于，，，，的极差 二、解答题 3．（25-26高一下·江苏盐城·阶段检测）江苏省阜宁中学积极响应国家号召，举行了一次红色文化知识竞赛．学校在竞赛后，随机抽查了100人的成绩整理后得到如图所示的频率分布直方图． (1)求的值，以及样本的平均数； (2)若本次竞赛中获奖的人数占参赛总人数的，试估计获奖分数线（精确到0.1）； (3)估计这组样本数据的众数和中位数． 4．（25-26高一下·浙江金华·阶段检测）学校对高一学生期中考试的数学成绩进行调查，现抽取100人进行数据统计，绘制频率分布直方图如下， (1)求的值和该组数据的中位数： (2)若这100人中有女生40人，且男生平均分106，方差为16；女生平均分101，方差为36，求这100人的数学平均分和方差． 5．（25-26高一下·新疆昌吉·期末）据网络平台最新数据，截止到2025年6月5日15时，电影《哪吒之魔童闹海》总票房（含点映、预售及海外票房）已超158.91亿元，成为首部进入全球票房榜前五，登顶动画票房榜榜首的亚洲电影．一团队从观看该电影的所有观众中随机抽取20000人为样本，统计他们的年龄，并绘制如图所示的频率分布直方图． (1)估计观看此电影的观众的年龄的众数、平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)已知落在的平均年龄是27岁，方差是7，落在的平均年龄为36岁，方差是4，求两组年龄合并后的平均数和方差； 附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，．记两组数据总的样本平均数为，则总的样本方差． 6．（25-26高一下·陕西西安·期末）某家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了近期连续120天苹果的日销售量单位：kg），并绘制频率分布直方图如图所示. (1)请根据频率分布直方图估计该水果店苹果日销售量的众数和平均数（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表； (2)一次进货太多，水果会变得不新鲜;进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能地满足顾客的需求即在10天中，大约有9天可以满足顾客的需求请问每天应该进多少千克苹果? 7．在某市的一次数学测试中，为了解学生的测试情况，从中随机抽取100名学生的测试成绩，被抽取成绩全部介于40分到100分之间（满分100分），将统计结果按如下方式分成六组：第一组，第二组，，第六组，画出频率分布直方图如图所示. (1)求第三组的频率； (2)估计该市学生这次测试成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）和第25百分位数. 8．某英语老师负责甲、乙两个班的英语课，其中甲班有60名学生，乙班有48名学生：为分析他们的英语成绩，该老师计划用分层随机抽样的方法抽取18名学生，统计他们英语考试的分数． (1)该老师首先在甲班采用随机数法抽取所需要的学生，为此将甲班学生随机编号为01～60，按照以下随机数表，以第2行第21列的数字4为起点，从左到右依次读取数据，每次读取两位随机数，重复的跳过，一行读完之后接下一行左端．求抽出的学生编号的中位数． 7816　6572　0802　6314　0702　4369　9728　0198 3204　9243　4935　8200　3623　4869　6938　7481 2976　3413　2841　4241　2424　1985　9313　2322 8303　9822　5888　2410　1158　2729　6443　2943 (2)已知甲班的样本平均数为，方差为，两班总的样本平均数为，方差为． （i）求乙班的样本平均数和方差； （ii）判断两班学生的英语成绩是否有明显差异．（如果，则认为两班学生的英语成绩有明显差异，否则不认为有明显差异） 9．为了解A，B两种轮胎的性能，某汽车制造厂分别从这两种轮胎中各随机抽取了8个进行测试，得到每个轮胎行驶的最远里程数（单位：），并制成如图所示的茎叶图. (1)分别计算A，B两种轮胎行驶的最远里程数的中位数、平均数； (2)分别计算A，B两种轮胎行驶的最远里程数的方差，并判断哪种轮胎的性能更加稳定？ 10．一家水果店店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去20天苹果的日销售量（单位：kg），结果如下：83，91，75，94，80，80，80，75，89，74，94，84，85，87，93，85，75，86，85，85. (1)请计算该水果店过去20天苹果日销售量的平均数. (2)一次进货太多，水果会变的不新鲜；进货太少，不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，第80百分位数是比较理想的进货需求，请问，每天应该进多少千克苹果？ 11．（25-26高一下·青海海东·期末）某商场随机选取100名顾客进行调查，发现他们在商场的单次消费金额都在50元至300元之间，进行适当分组后（分组区间为，，，，），画出的频率分布直方图如图所示． (1)求的值； (2)按比例采用分层随机抽样的方法从单次消费金额在内的顾客中选取30人参加商场举行的活动，分别求单次消费金额在，，内参加活动的顾客人数． 12．某学校有高中学生500人，其中男生300人，女生200人．有人为了获得该校全体高中学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取样本，并观测样本的指标值（单位：cm），计算得男生样本的均值为175，方差为20，女生样本均值为165，方差为30 (1)如果已知男、女的样本量按比例分配，请计算总样本的均值和方差各为多少? (2)如果已知男、女的样本量都是25，请计算总样本均值和方差各为多少? 13．（23-24高一下·湖北省直辖县级单位·阶段检测）为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求，某市政府积极鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），使居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年200位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图，其中. (1)求直方图中a，b的值； (2)由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数（每组数据用该组区间中点值作为代表）； (3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值，并说明理由. 14．（25-26高一下·江苏泰州·阶段检测）某幼儿园根据部分同年龄段儿童的身高数据绘制了如图所示的频率分布直方图，其中身高（单位：）的变化范围是，样本数据分组为，，，，． (1)求出的值； (2)已知样本中身高小于的人数是60，求出样本容量的数值； (3)根据频率分布直方图提供的数据，现用分层抽样的方法从身高在，，内的儿童中共抽出42名儿童参加活动，求三个组内分别要抽取的儿童数． 15．现给出一位同学在7月和8月进行的米短跑测试成绩（单位：秒）： 8月 7月 记7月､8月成绩的样本平均数分别为，，样本方差分别为，. 附：①统计量可在一定程度上说明两组成绩的差异（当时，可认为两组成绩有显著差异）； ②若满足，则可说明成绩有显著提高. (1)判断该同学的两组成绩是否有显著差异，并说明理由； (2)判断该同学的成绩是否有显著提高，并说明理由. 16．（26-27高二上·河北保定·阶段检测）某学校为了了解学生对交通安全知识的掌握情况，组织了一场交通安全知识考试.从本场考试的全部试卷中随机抽取份试卷作为样本，将样本的成绩（满分为分，成绩均不低于分）分成六组：，，…，，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求出图中的值，并估计样本成绩的第百分位数（保留一位小数）； (2)若从成绩在和的两组中用按比例分配的分层随机抽样法抽取人，求这两组分别抽取的人数； (3)已知落在的平均成绩为，方差为，落在的平均成绩为，方差为，求两组成绩合并后的平均数和方差. 【附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为，，；，，，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差】 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $