专题02 抽样方法（高效培优专项训练）数学沪教版2020必修第三册

专题02 抽样方法 题型一：简单随机抽样 一、单选题 1．下列说法错误的是（   ） A．为了解我国中学生的视力情况，应采取抽样调查的方式 B．频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值 C．抽签法和随机数法是两种常用的简单随机抽样的方法 D．某种疾病的治愈率为10%，若前9个病人没有被治愈，则第10个病人一定被治愈 【答案】D 【分析】根据抽样调查的概念判断，再根据频率与概率关系，抽样的概念的，再根据概率的定义求解. 【详解】抽样调查适用于调查对象数量庞大，耗时耗力，我国中学生的数量庞大，全面调查不适用，故A正确； 根据频率与概率的关系，频率随试验次数增加趋于稳定，这个稳定值即为概率，故B正确； 抽签法和随机数法是简单随机抽样的两种基础方法，符合定义，故C正确； 独立事件的概率互不影响，治愈率为10%意味每次治疗结果独立，前人未治愈不影响第人的概率，治愈率仍为10%，故D错误. 故选：D. 2．为预估某棋手三次对弈的胜局情况，进行随机模拟实验：在一局比赛中，设定随机数1、2、3、4表示对弈获胜，5、6、7、8、9、0表示对弈失败.计算机模拟生成12组随机数：137 960 197 925 271 815 952 683 829 436 730 257，每组随机数代表三次对弈结果.据此估计，该棋手三次对弈恰有两次获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】找出12组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的数据，由此计算所求的概率值． 【详解】用1、2、3、4表示命中，5、6、7、8、9、0表示不命中， 模拟产生了的12组随机数为：137 960 197 925 271 815 952 683 829 436 730 257， 表示运动员三次投篮恰有两次命中的是：137，271，436， 故所求的概率值为． 故选：A． 3．某校从500名同学中用随机数法抽取30人参加这一项调查．将这500名同学编号为001，002，…500，假设从第1行第4列的数字开始，则第5个被抽到的同学的编号为（    ） 3484 4217 5572 1754 5560 8331 0474 4767 2176 3350 2583 9212 0676 6301 6378 5916 9555 6719 A．331 B．047 C．447 D．672 【答案】B 【分析】根据随机数表的读取规则，逐一选取即可. 【详解】由题知，选取的同学编号分别是442,175,572,175,455,608,331,047， 剔除重复数据，超过500的数据，符合条件的是442,175,455,331,047，第五个是047. 故选：B. 二、填空题 4．用简单随机抽样的方法从含有6个个体的总体中，抽取一个样本量为2的样本，某一个个体a“第一次被抽到的概率”、“第二次被抽到的概率”、“在整个抽样过程中被抽到的概率”分别是 、 、 . 【答案】 【分析】根据简单随机抽样等可能抽取的特点计算即可. 【详解】从6个个体中抽1个个体，每个个体被抽到的概率均为，与抽取的次数无关，第二次被抽到的概率仍为.但由于在整个抽样过程中是从6个个体中抽2个样本，故个体a被抽到的概率为. 故答案为：；；. 5．若一个口袋中有20个大小、质地完全相同的小球，从中不放回地任取5个小球，则某一个特定的小球被抽到的可能性是 ；第三次抽取时，剩余的每个小球被抽到的可能性是 ． 【答案】 【分析】根据简单随机抽样的等可能性即可求解. 【详解】因为简单随机抽样过程中，每个个体被抽到的可能性是相等的，均为，因此某一个特定的小球被抽到的可能性是，由于本题中的抽样是不放回抽样，所以第一次抽取时每个个体被抽到的可能性为，第二次抽取时还剩19个小球，每个个体被抽到的可能性为，第三次抽取时，还剩下18个小球，因此每个个体被抽到的可能性为． 故答案为：， 6．某学校有1200名学生，随机抽出300名进行调查研究，调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全相同的10个红球、10个绿球和10个白球的袋子．调查中有两个问题： 问题1：你的阳历生日月份是不是奇数？ 问题2：你是否抽烟？ 每个被调查者随机从袋中摸出1个球（摸出后再放回袋中）．若摸到红球就如实回答第一个问题；若摸到绿球，则不回答任何问题：若摸到白球，则如实回答第二个问题．所有回答“是”的调查者只需往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的被调查者什么也不用做．最后收集回来53个小石子，估计该学校吸烟的人数为 ． 【答案】36 【分析】根据题意估计出该校吸烟人数的比例，再用总人数乘以该比例即可得到答案. 【详解】由题意可知，每个学生从袋中摸出1个红球或1个绿球或1个白球的概率都是， 即大约有（人）回答了第一个问题，（人）不回答任何问题，（人）回答了第二个问题． 因为阳历生日月份是奇数的概率是， 所以回答第一个问题的100人中，大约有50人回答了“是”． 所以我们能推出，在回答第二个问题的100人中，大约有3人回答了“是”， 即估计该学校大约有3%的学生抽烟，也就是全校大约有36人抽烟． 故答案为：36. 7．省农科站要检测某品牌种子的发芽率，计划采用随机数表法从该品牌800粒种子中抽取60粒进行检测，现将这800粒种子编号如下001，002，…，800，若从随机数表第8行第7列的数7开始向右读，则所抽取的第4粒种子的编号是 .（如下是随机数表第8行至第9行） 63  01  63  78  59  16  95  55  67  19  98  10  50  71  75  12  86  73  58  07  44  39  52  38  79  33  21  12  34  29  78  64  56  07  82  52  42  07  44  38  15  51  0  13  42  99  66  02  79  54 【答案】507 【分析】根据随机数表法读取数据即可. 【详解】由题意，依次读取的种子的编号为： 785，916（舍去），955（舍去），567，199，810（舍去），507. 故所抽取的第4粒种子的编号为507. 故答案为：507 8．欲利用随机数表从00，01，02，……，59这些编号中抽取一个容量为6的样本，抽取方法是从下面的随机数表的第1行第11列开始向右读取，每次读取两位，直到取足样本，则第5个被抽取的样本的编号为 . 63 01 63 78 59  16 95 55 67 19  98 19 50 71 75  12 86 73 58 07  44 39 52 38 79 33 21 12 34 29  78 64 56 07 82  52 42 07 44 38  15 51 00 13 42  99 66 02 79 54 【答案】12 【分析】首先确定随机数表的读取规则，然后确定起始位置并开始读取，选取在编号中的数字并剔除重复数字，确定第5个被抽取的样本编号. 【详解】随机数表中第1行第11列的数字为1，每次读取两位，分别取出的编号为：16，55，19，50，12，58. 第5个被抽取的样本的编号为：12. 故答案为：12 9．某次九省联考考试结束后，相关部门为了分析考生的数学成绩，采用随机抽样的方式从某地区抽取了3000名高三学生的数学成绩，则此次抽样的样本为 ． 【答案】某地区3000名高三学生的数学成绩 【分析】根据随机抽样样本的定义判断. 【详解】总体为所有参加此次考试考生的数学成绩；样本为某地区3000名高三学生的数学成绩. 故答案为：某地区3000名高三学生的数学成绩． 三、解答题 10．下列抽取样本的方法是简单随机抽样吗？判断并简要说明理由． (1)某在线商城在网站首页发布问卷调查，调查登录该网站的客户对于该商城的满意度，访问该网站者可以自愿点击填写； (2)检验员抽检一箱零件，每次检验时抽取1个零件，检验后放回箱子里，再进行第二次检验，一共检验了10次． 【答案】(1)不是 (2)不是 【分析】根据简单随机抽样的定义即可判断. 【详解】（1）不是简单随机抽样，因为被抽取的样本个数的总体的个数是无限的， 而简单随机抽样被抽取的样本个数的总体的个数是有限的； （2）不是简单随机抽样，这是有放回抽样，简单随机抽样是不放回抽样. 11．某单位拟从40名员工中选5人赠送电影票，可采用下面两种选法： 选法一：将这40名员工按1至40进行编号，并相应地制作号码为1至40的40个号签，把这40个号签放在一个暗箱中搅匀，最后随机地从中抽取5个号签，与这个号签编号一致的员工是幸运人选； 选法二：将35个白球与5个红球（除颜色外，其他完全相同）混合放在一个暗箱中搅匀，让40名员工逐一从中不放回地摸取1个球，则摸到红球的员工是幸运人选，试问： (1)这两种选法是否都是抽签法，为什么？ (2)这两种选法中每名员工被选中的可能是否相等？ 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【详解】（1）选法一满足抽签法的特征，是抽签法，选法二不是抽签法，因为抽签法要求所有的号签编号互不相同，而选法二中的35个白球，5个红球均无法相互区分． （2）由于选法一中抽取每个号签和选法二中摸到每个球都是等可能的，因此这两种选法中每名员工被选中的可能性相等． 12．某家具厂主动与该市某中学联系，无偿为高一年级学生制作新课桌椅，用实际行动支援学校．他们要事先了解全体高一年级学生的平均身高，以便设定可调节课桌椅的标准高度．已知该中学高一有865名学生，如果通过简单随机抽样的方法调查学生的平均身高，需抽取16人，应怎样抽取？ 【答案】答案见解析 【详解】根据高一有865名学生，人数较多，如果采取抽签法，搅拌均匀难度较大，故选取随机数表法进行抽样； ①先给865名学生编号，如编号为001～865； ②准备10个大小、质地一样的小球，小球上分别写上数字0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，把它们放入一个不透明的袋中； ③从袋中有放回地摸取三次，每次摸取前充分搅拌，并把第一、二、三次摸到的数字分别作为百、十、个位数，这样就生成一个三位随机数； 如果这个三位数在001～865范围内，就代表对应编号的学生被抽中，如果编号有重复或不在范围内就剔除编号并重新产生随机数，直到产生的不同编号个数等于样本所需要的人数； ④将符合条件的编号对应的学生抽取出，测量他们的身高，即组成一个样本． 题型二：分层抽样 一、单选题 1．某高中三个年级共有学生1200人，其中高一500人，高二400人，高三300人，该校为了解学生睡眠情况，准备从全校学生中抽取60人进行访谈，若采取按比例分配的分层抽样，且按年级来分层，则高二年级应抽取的人数是（   ） A．20 B．25 C．30 D．35 【答案】A 【分析】按照分层抽样计算规则计算可得. 【详解】依题意，高二年级应抽取的人数是：人. 故选：A 2．某校高一年级有720名学生，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为48的样本，其中身高在175cm以下的学生人数为32，则该校高一年级身高在175cm以下的学生人数为（    ） A．320 B．360 C．420 D．480 【答案】D 【分析】根据分层抽样定义计算即可. 【详解】由比例分配的分层抽样方法可得高一年级身高在175cm以下的学生人数为. 故选：D. 3．某校高一年级有男生160人，女生120人，现需抽调人参与学校“5.4”文艺汇演志愿者工作.若按性别分层，采用比例分配的分层随机抽样.已知男生抽取16人，则（   ） A．27 B．28 C．29 D．30 【答案】B 【分析】根据男生抽取人数求出抽取的比例，再利用分层抽样即可求解. 【详解】由抽取男生人数16人，所以抽取比例为，所以抽取人数为， 故选：B. 4．某企业三个分厂生产同一种电子产品共2000件，用分层随机抽样方法从三个分厂共抽取100件此产品做使用寿命的测试，其中来自第二分厂20件，来自第三分厂30件，则第一分厂生产的电子产品件数为（   ） A．400件 B．600件 C．1000件 D．1200件 【答案】C 【分析】借助分层随机抽样的定义计算即可得. 【详解】设第一分厂生产的电子产品件数为件， 则有，故， 即第一分厂生产的电子产品件数为件. 故选：C. 二、填空题 5．某高中针对学生发展要求，开设了富有地方特色的“泥塑”与“剪纸”两个社团，已知报名参加这两个社团的学生共有人，按照要求每人只能参加一个社团，各年级参加社团的人数情况如下表： 高一年级 高二年级 高三年级 泥塑 剪纸 其中，且“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的，为了了解学生对两个社团活动的满意程度，按分层抽样的方法抽取一个人的样本进行调查，则从高二年级“剪纸”社团的学生中应抽取 人． 【答案】 【分析】求出的值，结合分层抽样可求得结果. 【详解】由题意可知，“泥塑”社团的人数为，“剪纸”社团的学生人数为， 所以， 所以按分层抽样的方法抽取一个人的样本进行调查， 则从高二年级“剪纸”社团的学生中应抽取的人数为人. 故答案为：. 6．浦东某学校有学生2000人，为了加强学生的锻炼意识，学校举行了跑步和登山比赛，每人都参加且只能参加其中一项比赛，各年级参加比赛的人数情况如下表所示： 高一年级 高二年级 高三年级 跑步人数（单位：人） a b c 登山人数（单位：人） x y z 其中，参加登山的人数占总人数的.为了解学生对本次比赛的满意程度，按分层抽样的方式从中抽取一个200人的样本进行调查，则高三年级参加跑步的学生中应抽取 人. 【答案】45 【分析】由题意可先将参加登山的总人数求出，即可得到参加跑步的总人数，再根据可求出每个年级参加跑步的人数，最后根据分层抽样的原理，先求出应抽出的跑步的总人数，再根据高三年级参加跑步的人占所有参加跑步人数的比例求出应抽取多少高三参加跑步的学生人数. 【详解】由题意得，因为加登山的人数占总人数的， 所以参加登山的人数为人，参加跑步的人为1500人. 又由得，高三年级参加跑步的人数为人. 根据分层抽样的方法，应抽取的跑步总人数为人， 所以高三年级应抽取人. 故答案为：45. 7．某校按分层随机抽样的方法从高中三个年级抽取部分学生进行调查，从三个年级中抽取的人数比为如图所示的扇形面积比，已知高二年级共有学生1200人，并从中抽取了40人，则从高一年级中抽取 人．    【答案】 【分析】设总人数为，得到，求得，再结合分层抽样的计算方法，即可求解. 【详解】由题图中数据可知高二年级所占的角度为，设总人数为， 则，可知，故该校的总人数为， 由高一、高二、高三年级人数的比为， 可知高一年级人数为， 则抽样时应从高一年级抽(人). 故答案为：. 8．2023年6月4日清晨，在金色朝霞映衬下，神舟十五号载人飞船返回舱在胡杨大漠凯旋，神舟十五号航天员安全返回地球.某高中为了解学生对这一重大新闻的关注度，利用分层抽样的方法从高中三个年级中抽取36人进行问卷调查，其中高一年级抽取15人，高二抽取12人，已知高三年级共有学生900人，则该高中所有学生总数为 人. 【答案】3600 【分析】求出高三抽取的人数，计算抽样比，即可得出答案. 【详解】由已知可得，高三学生抽取的人数为， 抽样比为， 所以，该高中所有学生总数为. 故答案为：3600. 9．目前，全国多数省份已经开始了新高考改革.改革后，考生的高考总成绩由语文、数学、外语3门全国统一考试科目成绩和3门选择性科目成绩组成.某校高一年级选择“物理、化学、生物”，“物理、化学、地理”和“历史、政治、地理”组合的学生人数分别是900，540，360.现采用分层抽样的方法从上述学生中选出100位学生进行调查，则从选择“物理、化学、生物”组合的学生中应抽取的人数是 . 【答案】50 【分析】先求出抽取比例，再根据分层抽样计算选择“物理、化学、生物”组合的学生人数即可. 【详解】因为， 所以选择“物理、化学、生物”组合的学生人数为. 故答案为：50 10．一个总体分为两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为的样本．已知层中每个个体被抽到的概率都是 ，则总体中的个体数为 ． 【答案】 【分析】根据分层抽样每个个体抽到的概率相等，即可求出结论 【详解】因为用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为的样本． 由层中每个个体被抽到的概率都为 ，知道在抽样过程中每个个体被抽到的概率是， 所以总体中的个体数为． 故答案为：. 11．有甲、乙两种产品共120件，现按比例分配的分层随机抽样的方法抽取10件进行产品质量调查，如果所抽取的甲产品的数量是乙产品数量的2倍还多1件，那么甲产品共有 件，乙产品共有 件． 【答案】 84 36 【分析】所抽取的甲、乙产品的数量为、，则，求出的值，由分层抽样的定义即可求出答案. 【详解】设所抽取的乙产品的数量为， 因为所抽取的甲产品的数量是乙产品数量的2倍还多1件， 所以甲产品数量为，则，解得：. 所以， 所以甲产品共有件， 乙产品共有件. 故答案为：；. 三、解答题 12．有以下两个案例： 案例一：从同一批次同类型号的10袋牛奶中抽取3袋分别检测三聚氰胺的含量； 案例二：某公司有员工800人，其中具有高级职称的有160人，具有中级职称的有320人，具有初级职称的有200人，其他人员120人，从中抽取容量为40的样本，了解他们的收入情况． (1)你认为这两个案例分别应采用怎样的抽样方式较为合适？ (2)在你使用的分层抽样案例中写出抽样过程． 【答案】(1)案例一用简单随机抽样，案例二用分层抽样 (2)答案见解析 【分析】（1）由分层抽样和简单随机抽样的定义即可得出答案； （2）按照分层、确定抽样比、确定各层样本数、按简单随机抽样方式在各层确定相应的样本、汇总构成一个容量为40的样本的过程求解即可. 【详解】（1）案例一用简单随机抽样，案例二用分层抽样． （2）①分层，将总体分为具有高级职称、中级职称、初级职称及其他人员四层； ②确定抽样比； ③按抽样比确定各层应分别抽取的人数为8，16，10，6； ④按简单随机抽样的方法在各层确定相应的样本； ⑤汇总构成一个容量为40的样本． 13．为了考察某学校的教学水平，将抽取这个学校高三年级的部分学生本学年的考试成绩进行统计分析，为了全面反映实际情况，采取以下方式进行抽查（已知该学校高三年级共有20个教学班，并且每个班内的学生按随机方式编好了学号，假定该校每班学生人数都相同）： ①从全年级20个班中任意抽取一个班，再从该班任意抽取20人，考察他们的学习成绩； ②把学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别，从中共抽取100名学生进行考察（已知若按成绩分，该校高三学生中优秀生共150人，良好生共600人，普通生共250人）. 根据上面的叙述，回答下列问题： (1)上面两种抽取方式中，其总体、个体、样本分别指什么？每一种抽取方式抽取的样本中，其样本容量分别是多少？ (2)上面两种抽取方式中各自采用何种抽样方法？ 【答案】(1)答案见解析 (2)第一种方式采用的是简单随机抽样法；第二种方式采用的是分层抽样法和简单随机抽样法 【分析】（1）由随机抽样的相关概念作答； （2）由简单随机抽样和分层抽样法的相关特点作答. 【详解】（1）两种抽取方式中，其总体都是高三全体学生本学年的考试成绩， 个体都是指高三年级每个学生本学年的考试成绩. 第一种抽取方式中，样本为所抽取的20名学生本学年的考试成绩，样本容量为20； 第二种抽取方式中，样本为所抽取的100名学生本学年的考试成绩，样本容量为100. （2）第一种方式采用的是简单随机抽样法； 第二种方式采用的是分层抽样法和简单随机抽样法. 14．习近平总书记对制止餐饮浪费行为作出重要指示，要求进一步加强宣传教育，切实培养节约习惯，在全社：会营造浪费可耻、节约光荣的氛围．为贯彻总书记指示，某学校食堂从学生中招募志愿者，协助食堂宣传节约粮食的相关活动．现有高一120人、高二80人，高三40人报名参加志愿活动.根据活动安排，拟按年级采用分层抽样的方法，从已报名的志愿者中抽取12名志愿者，参加为期20天的第一期志愿活动． (1)第一期志愿活动需从高一、高二、高三报名的学生中各抽取多少人？ (2)现在要从第一期志愿者中的高二、高三学生中抽取2人粘贴宣传标语，求抽取的两人都是高二学生的概率 【答案】(1)6；4；2 (2) 【分析】（1）根据分层抽样方法，利用抽样比，易得各年级抽取的人数； （2）根据古典概率模型，分别列举出试验“从第一期志愿者中的高二、高三学生中抽取2人”包含的基本事件和事件“两人都是高二学生”所含的基本事件，即可求得概率. 【详解】（1）根据题意，报名的学生共有人， 则抽取高一人数为；抽取高二人数为；抽取高三的人数为． （2）（2）记高二抽取的4位学生为a、b、c、d，高三抽取的2位学生为E、F，则从中抽取2人的基本事件有： ，，，，，，，，，，，，，，，共15个基本事件， 其中抽取的两人都是高二学生的有：，，，，，，共6个基本事件， 抽取的两人都是高二学生的概率为． 题型一：简单随机抽样 一、单选题 1．从101个人进行一次抽样时，先采用抽签法从中剔除1个人，再在剩余的100个人中采用随机数表法抽取10个人，那么下列说法正确的是（    ） A．这是一种科学的抽样方法 B．这种抽样方法对于被剔除的个体是不公平的，因为他们失去了被抽到的机会 C．由于采用了两步进行抽样，所以无法判断每个人被抽到的可能性是多少 D．每个人被抽到的可能性不相等 【答案】A 【分析】先说明采用抽签法每个人被剔除概率都相等，都是，不被剔除的概率也相等，都是，即可判断B；然后采用随机数表法，在没被剔除的100人中被抽到概率都是，即可判断C，综合B，C，即可判断D；综和B，C，D即可判断A. 【详解】由于先采用抽签法，从101个人中剔除1个人， 对101个人中的每个人来说被抽到（即被剔除）概率都相等，都是， 不被剔除的概率也相等，都是，故B错误； 然后采用随机数表法，在剩余的100个人中抽取10个人， 如果被抽到，概率为，也是相等的，故C错误； 所以由B,C可知，每个人被剔除的概率都是相等的，都是； 没被剔除，然后被抽到的概率也是相等的，都是，故D错误； 所以综上可知这是一种科学的抽样方法，故A正确. 故选：A 2．有下列说法： ①用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率是； ②数据的方差为0，则所有的都相同； ③ 某运动员连续进行两次飞碟射击练习，事件“两次射击都命中”的概率为； ④从3个红球和2个白球中任取两个球，记事件“取出的两球均为红球”，事件“取出的两个球颜色不同”，则事件与互斥但不对立． 则上述说法中，所有正确说法的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据简单随机抽样的特征可判断①，根据方差公式可判断②，对于③，不知道运动员每次飞碟射击命中的概率，从而无法得到“两次射击都命中”的概率，由基本事件与互斥事件和对立事件的概念，即可判断④ 【详解】对于①，根据简单随机抽样的特征每个个体有相同机会被抽中，得到个体被抽到的概率是，故①正确 对于②，根据方差公式，可知若一组数据的方差为0，则，故②正确； 对于③，不知道运动员每次飞碟射击命中的概率，则无法计算“两次射击都命中”的概率，故③不正确； 对于④，从3个红球和2个白球中任取两个球，基本事件有“取出的两球为红球”，“取出的两球为白球”，“取出的球一个红球和一个白球”，因此事件与互斥但不对立，则④正确； 故选：C 3．二战期间，为估计德军坦克的月生产能力，盟军请统计学家参与情报的收集和分析，统计学家从缴获的德军坦克中，随机抽取某月生产的坦克编号作为样本来估计坦克月生产量.抽取的坦克编号从小到大依次为，假设坦克的月生产量为，将区间分成个小区间：，，……，，，统计学家利用前个区间的平均长度来估计所有个区间的平均长度，进而得到的估计值.若抽取的某月生产的坦克编号为2，13，41，75，107，118，159，194，206，230，则的估计值为（    ） A．236 B．253 C．360 D．420 【答案】B 【分析】根据题意列出等式即可求解. 【详解】因为统计学家利用前个区间的平均长度来估计所有个区间的平均长度， 已知某月生产的坦克编号为2，13，41，75，107，118，159，194，206，230， 所以， 此时，解得. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：理解统计学家利用前个区间的平均长度来估计所有个区间的平均长度，这一句话是解决本题的关键. 4．现要用随机数表法从总体容量为240(编号为001到240)的研究对象中挑选出50个样本，则在下列数表中按从左至右的方式抽取到的第四个对象的编号为（    ） 32451 74491 14562 16510 02456 89640 56816 55464 41630 85621 05214 84513 12541 02145 A．5 B．44 C．165 D．210 【答案】D 【分析】由随机数表抽样方法可知答案. 【详解】由随机数表抽样方法可知，以3个数字为单位抽取数字，且数字不能大于240，且要去掉重复数字，据此第一个数字为114，第二个为165，第三个为100，第4个为210. 故选：D 5．某校高二（3）班举行迎新活动有十个不同的三等奖品，编号为01，02，…，10，现用抽签法从中抽取3个奖品与高二（4）班进行奖品对换，设编号为02的奖品被抽到的可能性为，编号为03的奖品被抽到的可能性为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】由抽签法，只需3次抽签中任意一次抽到对应编号奖品即可，结合互斥事件加法、独立乘法公式求概率. 【详解】02、03奖品被抽到，只需3次抽签中任意一次抽到即可， 所以它们被抽到的概率均为，即，. 故选：B 二、填空题 6．炎炎夏日，冰淇淋成为许多人的热宠，现用简单随机抽样的方法检测某品牌冰淇淋是否符合食品安全标准，若从21个冰淇淋中逐个抽取一个容量为3的样本，则其中某一个体A“第一次被抽到”的可能性是 ，“第二次被抽到”的可能性是 ． 【答案】 【分析】根据在抽样过程中，个体A每一次被抽到的可能性是相等的可得答案. 【详解】在抽样过程中，个体A每一次被抽到的可能性是相等的，因为总体容量为21，所以个体A“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性均为． 故答案为：①②. 三、解答题 7．下面的抽样方法是简单随机抽样吗？为什么？ (1)从无数个个体中抽取50个个体作为样本； (2)仓库中有1万支奥运火炬，从中一次性抽取100支火炬进行质量检查； (3)某学校，从1000名高一学生中，挑选出20名最优秀的学生参加县级数学竞赛； (4)一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽出6个号签． 【答案】(1)不是，理由见解析 (2)是，理由见解析 (3)不是，理由见解析 (4)是，理由见解析 【分析】根据简单随机抽样的概念判断即可. 【详解】（1）不是简单随机抽样．因为简单随机抽样要求被抽取样本的总体中的个数是有限的． （2）是简单随机抽样．“一次性抽取”和“逐个不放回的抽取”等价，符合简单随机抽样的要求． （3）不是简单随机抽样．因为这20名学生是从中挑选出来的，是最优秀的，每个个体被抽到的可能性不同，不符合简单随机抽样中“等可能抽样”的要求． （4）是简单随机抽样．因为总体中的个体数是有限的，并且是从总体中逐个进行抽取的，是不放回、等可能的抽样． 8．某市质监局要检查某公司某个时间段生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从500袋牛奶中抽取10袋进行检验． (1)利用随机数法抽取样本时，应如何操作？ (2)如果用随机数法生成部分随机数如下所示，据此写出应抽取的袋装牛奶的编号； 162，277，943，949，545，354，821，737，932，354，873，520，964，384，263，491，648，642，175，331，572，455，068，877，047，447，672，172，065，025，834，216，337，663，013，785，916，955，567，199，810，507，175，128，673，580，667. (3)质监局对该公司生产的袋装牛奶检验的质量指标有两种：一是每袋牛奶的质量满足500±5 g，二是10袋质量的平均数≥500 g，同时满足这两个指标，才认为公司生产的牛奶为合格，否则为不合格．经过检测得到10袋袋装牛奶的质量(单位：g)如下： 502，500，499，497，503，499，501，500，498，499. 计算这个样本的平均数，并按照以上标准判断该公司的牛奶质量是否合格； (4)该公司对质监局的这种检验方法并不认可，公司质监部门抽取了100袋牛奶按照(3)检验标准，统计得到这100袋袋装牛奶的质量都满足500±5 g，平均数为500.4 g，你认为质监局和公司质监部门的检验结果哪一个更可靠？为什么？ (5)为进一步加强公司袋装牛奶的质量，规定袋装牛奶的质量变量值为Yi＝公司质监部门又抽取了一个容量为50的样本，其质量变量值如下： 1　1　1　0　1　1　1　1　0　0 1　0　1　0　1　0　1　0　1　0 1　1　1　1　0　1　0　1　1　1 0　0　0　1　0　1　0　1　0　0 1　0　0　1　0　1　0　1　0　1 据此估计该公司生产的袋装牛奶质量不低于500 g的比例． 【答案】(1)答案见解析 (2)162，277，354，384，263，491，175，331，455，068. (3)499.8，不合格 (4)该公司的质监部门的检验结果更可靠，理由见解析 (5)0.56 【分析】（1）根据题意，按随机数法的基本步骤依次分析，可得答案； （2）依据（1）中步骤抽取即可； （3）求出样本中10袋牛奶的平均数，与指标比较大小即可； （4）根据样本量的大小对反映总体的影响进行说明即可； （5）计算样本平均数，由样本估计总体即可. 【详解】（1）第一步，将500袋牛奶编号为1，2，…，500； 第二步，用随机数工具产生1～500范围内的随机数； 第三步，把产生的随机数作为抽中的编号，使编号对应的袋装牛奶进入样本； 第四步，重复上述过程，直到产生的不同编号等于样本所需要的数量． （2）应抽取的袋装牛奶的编号为162，277，354，384，263，491，175，331，455，068. （3），所以该公司的牛奶质量不合格. （4）该公司的质监部门的检验结果更可靠．因为质监局抽取的样本量较小，不能很好地反映总体，该公司的质监部门抽取的样本量较大，一般来说，样本量大的估计效果会好于样本量小的．尤其是样本量不大时，增加样本量可以较好地提高估计的效果． （5）由样本观测数据，计算可得样本平均数为，据此估计该公司生产的袋装牛奶质量不低于500 g的比例约为0.56. 9．2020年某地爆发了新冠疫情，检疫人员为某高风险小区居民进行检测. (1)假设A，B，C，D，E，F，G，H，I，J这10人的检测标本中有1份呈阳性，且这10人中恰有1人感染，请设计一种最多只需做4次检测，就能确定哪一位居民被感染的方案，并写出设计步骤； (2)已知A，B，C，D，E这5人是密切接触者，要将这5人分成两组，一组2人，另一组3人，分派到两个酒店隔离，求A，B两人在同一组的概率. 【答案】(1)答案见解析； (2). 【分析】(1)先把10份样本平均分成两组，检测一次可确定有阳性的一组，再将这组分成2份和3份的两组即可. (2)根据给定条件列出所有可能结果，确定A，B两人在同一组的结果数计算作答. 【详解】（1）第一步，将10人的样本随机5份作为一组，剩余5份作为另一组，任取一组，若呈阳性， 则该组记为Ⅰ组；若呈阴性，则另一组记为Ⅰ组， 第二步，将Ⅰ组的样本随机分为2组，2人一组记为Ⅱ组，3人一组记为Ⅲ组， 第三步，将Ⅱ组样本进行检验，若呈阳性，再任取这两人中的一人进行检验即可得知患病人员，因此， 共检测3次；若呈阴性，则阳性样本必在Ⅲ组内，再逐一检验，最多2次即可得知患病人员，因此，最多检测4次， 或者先将Ⅲ组样本进行检验，若呈阳性，再逐一检验，最多2次即可得知患病人员，因此最多检测4次； 若呈阴性，则将Ⅱ组样本任取一人检验，即可得知患病人员，因此，共检测3次， 综上所述，最多只需做4次检测. （2）将A，B，C，D，E按要求分成两组，(AB，CDE)，(AC，BDE)，(AD，BCE)，(AE，BCD)， (BC，ADE)，(BD，ACE)，(BE，ACD)，(CD，ABE)，(CE，ABD)，(DE，ABC)，共有10种情况， 其中A，B两人在同一组的共有4种， 所以A，B两人在同一组的概率为. 题型二：分层抽样 一、单选题 1．在一次全班52人均参考的数学考试中，平均分为100，方差为100，去掉一个最高分140，去掉一个最低分80，则剩下50名学生成绩的方差为（   ） A． B． C． D．101 【答案】B 【分析】解法一：去除后余下50名学生的成绩看作另一个层，求出平均分、方差，代入分层抽样方差公式可得答案；解法二：去除最高分和最低分后，求出剩余学生的新均值、新方差可得答案. 【详解】解法一：一个班级有52名学生，设数学考试的平均分为，方差为． 去除的最高分140和最低分80看作一个层，平均分为， 方差为． 去除后余下50名学生的成绩看作另一个层， 平均分为，方差为． 由分层抽样方差公式， 带入数据得，； 解法二：一个班级有52名学生，数学考试的平均分为100，方差为100． 则方差， 其中，，， 由方差公式：， 解得，． 去除最高分140和最低分80后，剩余学生， 新总和：， 新平方和：， 新均值， 新方差， 由得． 故选：B. 2．国内某优秀新能源电池制造企业在锂电池单位能量密度技术上取得了重大突破，该制造企业内的某车间有两条生产线，分别生产高能量密度锂电池和低能量密度锂电池，总产量为400个锂电池．质检人员采用分层随机抽样的方法随机抽取了一个容量为80的样本进行质量检测，已知样本中高能量密度锂电池有35个，则估计低能量密度锂电池的总产量为（    ）． A．325个 B．300个 C．225个 D．175个 【答案】C 【分析】根据分层抽样计算规则计算可得. 【详解】根据分层随机抽样可知低能量密度锂电池的产量为（个）． 故选：C 3．在哈尔滨市2024年第一次市模考试中，三所学校高三年级的参考人数分别为、.现按比例分层抽样的方法从三个学校高三年级中抽取样本，经计算得三所学校高三年级数学成绩的样本平均数分别为，则三所学校学生数学成绩的总平均数约为（    ） A．101 B．100 C．99 D．98 【答案】B 【分析】利用分层抽样的均值公式求解即可. 【详解】由题意得可供参考的总人数为人， 故三所学校学生数学成绩的总平均数约为， 故选：B 4．某公司为了调查员工的健康状况，由于女员工所占比重大，按性别分层，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取样本，已知所抽取的所有员工的体重的方差为120，女员工的平均体重为，标准差为6，男员工的平均体重为，标准差为4.若样本中有21名男员工，则女员工的人数为（    ） A．28 B．35 C．39 D．48 【答案】C 【分析】设女、男员工的权重分别为和，根据方差公式可求出结果. 【详解】由题意，记样本中女员工的平均体重和标准差分别为，，所占权重为， 男员工的平均体重和标准差分别为，，所占权重为， 所以样本中全部员工的平均体重为，方差 ， 化简得，即， 解得或（舍）， 所以女员工的人数为：， 故选：C. 5．某班50名学生骑自行车，骑电动车到校所需时间统计如下： 到校方式 人数 平均用时（分钟） 方差 骑自行车 20 30 36 骑电动车 30 20 16 则这50名学生到校时间的方差为（    ） A．48 B．46 C．28 D．24 【答案】A 【分析】根据分层随机抽样的总样本的平均数和方差公式进行求解. 【详解】由已知可得，骑自行车平均用时（分钟）：，方差； 骑电动车平均用时（分钟）：，方差； 骑自行车人数占总数的，骑电动车人数占总数的. 这50名学生到校时间的平均数为， 方差为. 故选：A. 6．某学校老师中，型血有36人、型血有24人、型血有12人，现需要从这些老师中抽取一个容量为的样本.如果采用系统抽样和分层抽样方法抽取，都不用剔除个体；如果样本容量减少一个，则在采用系统抽样时，需要在总体中剔除2个个体，则样本容量可能为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据系统抽样和分层抽样方法特点确定样本容量需满足条件，再比较选项确定结果. 【详解】因为采用系统抽样和分层抽样方法抽取，都不用剔除个体， 所以样本容量为的约数， 因为， 所以样本容量为的倍数，因此舍去B、D， 因为如果样本容量减少一个，则在采用系统抽样时，需要在总体中剔除2个个体， 所以样本容量为的约数加1， 综上，满足要求只有C. 故选：C 二、填空题 7．以“塑造软件新生态，赋能发展新变革”为主题的第二十五届中国国际软件博览会于2023年8月31日在天津开幕.本次参会人员分不同区域落座，其中某个区域的男性参会人员有25人，女性参会人员有15人，现按性别比例进行分层抽样，若从该区域随机抽取16位参会人员，则女性参会人员应抽取的人数为 . 【答案】6 【分析】利用分层抽样的分层比直接计算即可. 【详解】由题意得分层比为，则女性参会人员应抽取的人数为. 故答案为：6 8．某校共有师生2400人，其中教师200人，男学生1200人，已知从女学生中抽取的人数为80，那么 ． 【答案】192 【分析】先求三层的比例，然后求得女学生中抽取总人数的比例，从而求出抽取样本容量． 【详解】由题意，因为教师，男学生，女学生人数之比为，所以女学生中抽取总人数的， 故． 故答案为：192． 9．某学校为了解高一学生每天阅读时长，从高一男生和女生中采用分层抽样的方法抽取部分学生进行调查分析．已知该学校高一学生中男生和女生的比例是，在抽取的学生中男生比女生多24人，则被抽取的学生人数是 ． 【答案】168 【分析】根据分层抽样的概念列式求解． 【详解】设抽取的学生中男生人数为a，女生人数为b， 则，且，解得a＝96，b＝72， 则被抽取的学生人数是96＋72＝168． 故答案为：168． 三、解答题 10．某区，，三所学校有意愿报考名校自招的人数分别为40，40，20人，受疫情因素影响，该区用分层随机抽样的方法从三所学校中抽取了5名学生，参加了该区统一举办的现场小范围自招推介说明会. (1)从这5名中随机抽取2名学生进行座谈和学情调查，求这2名学生来自不同学校的概率； (2)若考生小张根据自身实际，报考了甲乙两所名校的自招，设通过甲校自招资格审核的概率为，通过乙校自招资格审核的概率为，已知通过两所学校自招资格审核与否是相互独立的，求小张至少能通过一所学校自招资格审核的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先确定三所学校被抽到的人数，再利用编号，列举的方法，即可所求概率； （2）首先求两所学校都没有通过的概率，再利用对立事件概率公式，即可求解. 【详解】（1）用分层随机抽样的方法从三个学校中一共抽取了5名选手参加全市集训，现三所学校应该抽取的人数分别为2，2，1 设来自学校的为，；来自学校的学生为，； 来自学校的两名学生分别为， 从这5名中随机抽取2名学生进行座谈和学情调查， 样本空间 共包含10个样本点，记这2名学生来自不同学校为事件， 事件含8个样本点， 所以 （2）记小张至少能通过一所学校自招资格审核为事件， 通过甲学校自招资格审核为事件，通过乙学校自招资格审核为事件， 则事件“至少通过一所学校自招资格审核”的对立事件是“两所学校都通不过”， 因为与相互独立，所以与相互独立， 所以， 故小张至少能通过一所学校自招资格审核的概率为 11．统计学家将战争中摧毁敌军的战机序列号作为样本，用样本估计总体的方法推断敌军每年生产的战机数量.假设敌军某年生产的战机数量为，摧毁某年生产的架战机编号从小到大为，，，…，，最大的编号为，摧毁敌军战机是随机的，摧毁战机的编号，，，…，，相当于从中随机抽取的个整数，这个数将区间分成个小区间（如下图），可以用前个区间的平均长度估计所有个区间的平均长度进而得到的估计值. 已知在某次战斗中摧毁敌军的战机编号为：2，5，7，13，15，17，21，据此回答下列问题. (1)根据材料估计敌军生产的战机数量； (2)已知敌军所有现役战机分为三个等级（四代战机，四代半战机，五代机），通过分层抽样调查三类战机的飞行高度，得到各个等级飞行高度的样本平均数为，，. （ⅰ）根据上述信息是否可以估计敌军所有现役战机的平均飞行高度？若不能，还需要什么条件，请补充条件并写出估计式； （ⅱ）若敌军现役战机是按照比例生产的，四代战机，四代半战机，五代机的战机数量分别为，，，样本量分别为，，，据此证明： 【答案】(1)24架； (2)（ⅰ）不能，需要知道这三个等级战机具体的个体数量，，，或者抽取样本的数量，，，估计式见解析；（ⅱ）证明见解析. 【分析】（1）由题设得求参数，即可得； （2）（i）根据题意需要知道这三个等级战机具体的个体数量，，，或者抽取样本的数量，，，进而写出公式；（ii）按比例在各层抽取的且各层抽取的样本量分别为、、，得，应用分层等比例性质即可证. 【详解】（1）因为可用估计，所以，得，故敌军每年生产战机24架. （2）（ⅰ）不能估计敌军所有现役战机的平均飞行高度， 需要知道这三个等级战机具体的个体数量，，，或者抽取样本的数量，，， 估计式为或 （ⅱ）因为样本是按比例在各层抽取的且各层抽取的样本量分别为、、， 所以，则， 所以，，， 又因为样本平均数为， 所以. 12．某校组织学生进行跳绳比赛，以每分钟跳绳个数作为比赛成绩（单位：个）．为了解参赛学生的比赛成绩，从参赛学生中随机抽取50名学生的比赛成绩作为样本，整理数据并按比赛成绩，分成这6组，得到的频率分布直方图如图所示． (1)估计该校学生跳绳比赛成绩的中位数； (2)现采用分层抽样的方法从跳绳比赛成绩在和内的学生中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求这2人的比赛成绩不在同一组的概率． 【答案】(1)111.25 (2) 【分析】（1）首先判断中位数在内，设中位数为，再列出方程求解即可； （2）由分层抽样的定义求得5人中，比赛成绩在内的学生有4人，分别记为，比赛成绩在内有1人，记为，然后利用列举法求概率即可. 【详解】（1）因为， 所以该校学生跳绳比赛成绩的中位数在内， 设该校学生跳绳比赛成绩的中位数为，则， 解得，即该校学生跳绳比赛成绩的中位数为111.25． （2）由频率分布直方图可知该校学生跳绳比赛成绩在和内的频率分别为0.16和0.04， 则被抽取5人中，比赛成绩在内的学生有4人，分别记为，比赛成绩在内有1人，记为， 从这5人中随机抽取2人的情况有，共10种， 其中符合条件的情况有，共4种， 则所求概率． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 抽样方法 题型一：简单随机抽样 一、单选题 1．下列说法错误的是（   ） A．为了解我国中学生的视力情况，应采取抽样调查的方式 B．频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值 C．抽签法和随机数法是两种常用的简单随机抽样的方法 D．某种疾病的治愈率为10%，若前9个病人没有被治愈，则第10个病人一定被治愈 2．为预估某棋手三次对弈的胜局情况，进行随机模拟实验：在一局比赛中，设定随机数1、2、3、4表示对弈获胜，5、6、7、8、9、0表示对弈失败.计算机模拟生成12组随机数：137 960 197 925 271 815 952 683 829 436 730 257，每组随机数代表三次对弈结果.据此估计，该棋手三次对弈恰有两次获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 3．某校从500名同学中用随机数法抽取30人参加这一项调查．将这500名同学编号为001，002，…500，假设从第1行第4列的数字开始，则第5个被抽到的同学的编号为（    ） 3484 4217 5572 1754 5560 8331 0474 4767 2176 3350 2583 9212 0676 6301 6378 5916 9555 6719 A．331 B．047 C．447 D．672 二、填空题 4．用简单随机抽样的方法从含有6个个体的总体中，抽取一个样本量为2的样本，某一个个体a“第一次被抽到的概率”、“第二次被抽到的概率”、“在整个抽样过程中被抽到的概率”分别是 、 、 . 5．若一个口袋中有20个大小、质地完全相同的小球，从中不放回地任取5个小球，则某一个特定的小球被抽到的可能性是 ；第三次抽取时，剩余的每个小球被抽到的可能性是 ． 6．某学校有1200名学生，随机抽出300名进行调查研究，调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全相同的10个红球、10个绿球和10个白球的袋子．调查中有两个问题： 问题1：你的阳历生日月份是不是奇数？ 问题2：你是否抽烟？ 每个被调查者随机从袋中摸出1个球（摸出后再放回袋中）．若摸到红球就如实回答第一个问题；若摸到绿球，则不回答任何问题：若摸到白球，则如实回答第二个问题．所有回答“是”的调查者只需往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的被调查者什么也不用做．最后收集回来53个小石子，估计该学校吸烟的人数为 ． 7．省农科站要检测某品牌种子的发芽率，计划采用随机数表法从该品牌800粒种子中抽取60粒进行检测，现将这800粒种子编号如下001，002，…，800，若从随机数表第8行第7列的数7开始向右读，则所抽取的第4粒种子的编号是 .（如下是随机数表第8行至第9行） 63  01  63  78  59  16  95  55  67  19  98  10  50  71  75  12  86  73  58  07  44  39  52  38  79  33  21  12  34  29  78  64  56  07  82  52  42  07  44  38  15  51  0  13  42  99  66  02  79  54 8．欲利用随机数表从00，01，02，……，59这些编号中抽取一个容量为6的样本，抽取方法是从下面的随机数表的第1行第11列开始向右读取，每次读取两位，直到取足样本，则第5个被抽取的样本的编号为 . 63 01 63 78 59  16 95 55 67 19  98 19 50 71 75  12 86 73 58 07  44 39 52 38 79 33 21 12 34 29  78 64 56 07 82  52 42 07 44 38  15 51 00 13 42  99 66 02 79 54 9．某次九省联考考试结束后，相关部门为了分析考生的数学成绩，采用随机抽样的方式从某地区抽取了3000名高三学生的数学成绩，则此次抽样的样本为 ． 三、解答题 10．下列抽取样本的方法是简单随机抽样吗？判断并简要说明理由． (1)某在线商城在网站首页发布问卷调查，调查登录该网站的客户对于该商城的满意度，访问该网站者可以自愿点击填写； (2)检验员抽检一箱零件，每次检验时抽取1个零件，检验后放回箱子里，再进行第二次检验，一共检验了10次． 11．某单位拟从40名员工中选5人赠送电影票，可采用下面两种选法： 选法一：将这40名员工按1至40进行编号，并相应地制作号码为1至40的40个号签，把这40个号签放在一个暗箱中搅匀，最后随机地从中抽取5个号签，与这个号签编号一致的员工是幸运人选； 选法二：将35个白球与5个红球（除颜色外，其他完全相同）混合放在一个暗箱中搅匀，让40名员工逐一从中不放回地摸取1个球，则摸到红球的员工是幸运人选，试问： (1)这两种选法是否都是抽签法，为什么？ (2)这两种选法中每名员工被选中的可能是否相等？ 12．某家具厂主动与该市某中学联系，无偿为高一年级学生制作新课桌椅，用实际行动支援学校．他们要事先了解全体高一年级学生的平均身高，以便设定可调节课桌椅的标准高度．已知该中学高一有865名学生，如果通过简单随机抽样的方法调查学生的平均身高，需抽取16人，应怎样抽取？ 题型二：分层抽样 一、单选题 1．某高中三个年级共有学生1200人，其中高一500人，高二400人，高三300人，该校为了解学生睡眠情况，准备从全校学生中抽取60人进行访谈，若采取按比例分配的分层抽样，且按年级来分层，则高二年级应抽取的人数是（   ） A．20 B．25 C．30 D．35 2．某校高一年级有720名学生，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为48的样本，其中身高在175cm以下的学生人数为32，则该校高一年级身高在175cm以下的学生人数为（    ） A．320 B．360 C．420 D．480 3．某校高一年级有男生160人，女生120人，现需抽调人参与学校“5.4”文艺汇演志愿者工作.若按性别分层，采用比例分配的分层随机抽样.已知男生抽取16人，则（   ） A．27 B．28 C．29 D．30 4．某企业三个分厂生产同一种电子产品共2000件，用分层随机抽样方法从三个分厂共抽取100件此产品做使用寿命的测试，其中来自第二分厂20件，来自第三分厂30件，则第一分厂生产的电子产品件数为（   ） A．400件 B．600件 C．1000件 D．1200件 二、填空题 5．某高中针对学生发展要求，开设了富有地方特色的“泥塑”与“剪纸”两个社团，已知报名参加这两个社团的学生共有人，按照要求每人只能参加一个社团，各年级参加社团的人数情况如下表： 高一年级 高二年级 高三年级 泥塑 剪纸 其中，且“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的，为了了解学生对两个社团活动的满意程度，按分层抽样的方法抽取一个人的样本进行调查，则从高二年级“剪纸”社团的学生中应抽取 人． 6．浦东某学校有学生2000人，为了加强学生的锻炼意识，学校举行了跑步和登山比赛，每人都参加且只能参加其中一项比赛，各年级参加比赛的人数情况如下表所示： 高一年级 高二年级 高三年级 跑步人数（单位：人） a b c 登山人数（单位：人） x y z 其中，参加登山的人数占总人数的.为了解学生对本次比赛的满意程度，按分层抽样的方式从中抽取一个200人的样本进行调查，则高三年级参加跑步的学生中应抽取 人. 7．某校按分层随机抽样的方法从高中三个年级抽取部分学生进行调查，从三个年级中抽取的人数比为如图所示的扇形面积比，已知高二年级共有学生1200人，并从中抽取了40人，则从高一年级中抽取 人．    8．2023年6月4日清晨，在金色朝霞映衬下，神舟十五号载人飞船返回舱在胡杨大漠凯旋，神舟十五号航天员安全返回地球.某高中为了解学生对这一重大新闻的关注度，利用分层抽样的方法从高中三个年级中抽取36人进行问卷调查，其中高一年级抽取15人，高二抽取12人，已知高三年级共有学生900人，则该高中所有学生总数为 人. 9．目前，全国多数省份已经开始了新高考改革.改革后，考生的高考总成绩由语文、数学、外语3门全国统一考试科目成绩和3门选择性科目成绩组成.某校高一年级选择“物理、化学、生物”，“物理、化学、地理”和“历史、政治、地理”组合的学生人数分别是900，540，360.现采用分层抽样的方法从上述学生中选出100位学生进行调查，则从选择“物理、化学、生物”组合的学生中应抽取的人数是 . 10．一个总体分为两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为的样本．已知层中每个个体被抽到的概率都是 ，则总体中的个体数为 ． 11．有甲、乙两种产品共120件，现按比例分配的分层随机抽样的方法抽取10件进行产品质量调查，如果所抽取的甲产品的数量是乙产品数量的2倍还多1件，那么甲产品共有 件，乙产品共有 件． 三、解答题 12．有以下两个案例： 案例一：从同一批次同类型号的10袋牛奶中抽取3袋分别检测三聚氰胺的含量； 案例二：某公司有员工800人，其中具有高级职称的有160人，具有中级职称的有320人，具有初级职称的有200人，其他人员120人，从中抽取容量为40的样本，了解他们的收入情况． (1)你认为这两个案例分别应采用怎样的抽样方式较为合适？ (2)在你使用的分层抽样案例中写出抽样过程． 13．为了考察某学校的教学水平，将抽取这个学校高三年级的部分学生本学年的考试成绩进行统计分析，为了全面反映实际情况，采取以下方式进行抽查（已知该学校高三年级共有20个教学班，并且每个班内的学生按随机方式编好了学号，假定该校每班学生人数都相同）： ①从全年级20个班中任意抽取一个班，再从该班任意抽取20人，考察他们的学习成绩； ②把学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别，从中共抽取100名学生进行考察（已知若按成绩分，该校高三学生中优秀生共150人，良好生共600人，普通生共250人）. 根据上面的叙述，回答下列问题： (1)上面两种抽取方式中，其总体、个体、样本分别指什么？每一种抽取方式抽取的样本中，其样本容量分别是多少？ (2)上面两种抽取方式中各自采用何种抽样方法？ 14．习近平总书记对制止餐饮浪费行为作出重要指示，要求进一步加强宣传教育，切实培养节约习惯，在全社：会营造浪费可耻、节约光荣的氛围．为贯彻总书记指示，某学校食堂从学生中招募志愿者，协助食堂宣传节约粮食的相关活动．现有高一120人、高二80人，高三40人报名参加志愿活动.根据活动安排，拟按年级采用分层抽样的方法，从已报名的志愿者中抽取12名志愿者，参加为期20天的第一期志愿活动． (1)第一期志愿活动需从高一、高二、高三报名的学生中各抽取多少人？ (2)现在要从第一期志愿者中的高二、高三学生中抽取2人粘贴宣传标语，求抽取的两人都是高二学生的概率 题型一：简单随机抽样 一、单选题 1．从101个人进行一次抽样时，先采用抽签法从中剔除1个人，再在剩余的100个人中采用随机数表法抽取10个人，那么下列说法正确的是（    ） A．这是一种科学的抽样方法 B．这种抽样方法对于被剔除的个体是不公平的，因为他们失去了被抽到的机会 C．由于采用了两步进行抽样，所以无法判断每个人被抽到的可能性是多少 D．每个人被抽到的可能性不相等 2．有下列说法： ①用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率是； ②数据的方差为0，则所有的都相同； ③ 某运动员连续进行两次飞碟射击练习，事件“两次射击都命中”的概率为； ④从3个红球和2个白球中任取两个球，记事件“取出的两球均为红球”，事件“取出的两个球颜色不同”，则事件与互斥但不对立． 则上述说法中，所有正确说法的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．二战期间，为估计德军坦克的月生产能力，盟军请统计学家参与情报的收集和分析，统计学家从缴获的德军坦克中，随机抽取某月生产的坦克编号作为样本来估计坦克月生产量.抽取的坦克编号从小到大依次为，假设坦克的月生产量为，将区间分成个小区间：，，……，，，统计学家利用前个区间的平均长度来估计所有个区间的平均长度，进而得到的估计值.若抽取的某月生产的坦克编号为2，13，41，75，107，118，159，194，206，230，则的估计值为（    ） A．236 B．253 C．360 D．420 4．现要用随机数表法从总体容量为240(编号为001到240)的研究对象中挑选出50个样本，则在下列数表中按从左至右的方式抽取到的第四个对象的编号为（    ） 32451 74491 14562 16510 02456 89640 56816 55464 41630 85621 05214 84513 12541 02145 A．5 B．44 C．165 D．210 5．某校高二（3）班举行迎新活动有十个不同的三等奖品，编号为01，02，…，10，现用抽签法从中抽取3个奖品与高二（4）班进行奖品对换，设编号为02的奖品被抽到的可能性为，编号为03的奖品被抽到的可能性为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 二、填空题 6．炎炎夏日，冰淇淋成为许多人的热宠，现用简单随机抽样的方法检测某品牌冰淇淋是否符合食品安全标准，若从21个冰淇淋中逐个抽取一个容量为3的样本，则其中某一个体A“第一次被抽到”的可能性是 ，“第二次被抽到”的可能性是 ． 三、解答题 7．下面的抽样方法是简单随机抽样吗？为什么？ (1)从无数个个体中抽取50个个体作为样本； (2)仓库中有1万支奥运火炬，从中一次性抽取100支火炬进行质量检查； (3)某学校，从1000名高一学生中，挑选出20名最优秀的学生参加县级数学竞赛； (4)一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽出6个号签． 8．某市质监局要检查某公司某个时间段生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从500袋牛奶中抽取10袋进行检验． (1)利用随机数法抽取样本时，应如何操作？ (2)如果用随机数法生成部分随机数如下所示，据此写出应抽取的袋装牛奶的编号； 162，277，943，949，545，354，821，737，932，354，873，520，964，384，263，491，648，642，175，331，572，455，068，877，047，447，672，172，065，025，834，216，337，663，013，785，916，955，567，199，810，507，175，128，673，580，667. (3)质监局对该公司生产的袋装牛奶检验的质量指标有两种：一是每袋牛奶的质量满足500±5 g，二是10袋质量的平均数≥500 g，同时满足这两个指标，才认为公司生产的牛奶为合格，否则为不合格．经过检测得到10袋袋装牛奶的质量(单位：g)如下： 502，500，499，497，503，499，501，500，498，499. 计算这个样本的平均数，并按照以上标准判断该公司的牛奶质量是否合格； (4)该公司对质监局的这种检验方法并不认可，公司质监部门抽取了100袋牛奶按照(3)检验标准，统计得到这100袋袋装牛奶的质量都满足500±5 g，平均数为500.4 g，你认为质监局和公司质监部门的检验结果哪一个更可靠？为什么？ (5)为进一步加强公司袋装牛奶的质量，规定袋装牛奶的质量变量值为Yi＝公司质监部门又抽取了一个容量为50的样本，其质量变量值如下： 1　1　1　0　1　1　1　1　0　0 1　0　1　0　1　0　1　0　1　0 1　1　1　1　0　1　0　1　1　1 0　0　0　1　0　1　0　1　0　0 1　0　0　1　0　1　0　1　0　1 据此估计该公司生产的袋装牛奶质量不低于500 g的比例． 9．2020年某地爆发了新冠疫情，检疫人员为某高风险小区居民进行检测. (1)假设A，B，C，D，E，F，G，H，I，J这10人的检测标本中有1份呈阳性，且这10人中恰有1人感染，请设计一种最多只需做4次检测，就能确定哪一位居民被感染的方案，并写出设计步骤； (2)已知A，B，C，D，E这5人是密切接触者，要将这5人分成两组，一组2人，另一组3人，分派到两个酒店隔离，求A，B两人在同一组的概率. 题型二：分层抽样 一、单选题 1．在一次全班52人均参考的数学考试中，平均分为100，方差为100，去掉一个最高分140，去掉一个最低分80，则剩下50名学生成绩的方差为（   ） A． B． C． D．101 2．国内某优秀新能源电池制造企业在锂电池单位能量密度技术上取得了重大突破，该制造企业内的某车间有两条生产线，分别生产高能量密度锂电池和低能量密度锂电池，总产量为400个锂电池．质检人员采用分层随机抽样的方法随机抽取了一个容量为80的样本进行质量检测，已知样本中高能量密度锂电池有35个，则估计低能量密度锂电池的总产量为（    ）． A．325个 B．300个 C．225个 D．175个 3．在哈尔滨市2024年第一次市模考试中，三所学校高三年级的参考人数分别为、.现按比例分层抽样的方法从三个学校高三年级中抽取样本，经计算得三所学校高三年级数学成绩的样本平均数分别为，则三所学校学生数学成绩的总平均数约为（    ） A．101 B．100 C．99 D．98 4．某公司为了调查员工的健康状况，由于女员工所占比重大，按性别分层，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取样本，已知所抽取的所有员工的体重的方差为120，女员工的平均体重为，标准差为6，男员工的平均体重为，标准差为4.若样本中有21名男员工，则女员工的人数为（    ） A．28 B．35 C．39 D．48 5．某班50名学生骑自行车，骑电动车到校所需时间统计如下： 到校方式 人数 平均用时（分钟） 方差 骑自行车 20 30 36 骑电动车 30 20 16 则这50名学生到校时间的方差为（    ） A．48 B．46 C．28 D．24 6．某学校老师中，型血有36人、型血有24人、型血有12人，现需要从这些老师中抽取一个容量为的样本.如果采用系统抽样和分层抽样方法抽取，都不用剔除个体；如果样本容量减少一个，则在采用系统抽样时，需要在总体中剔除2个个体，则样本容量可能为（  ） A． B． C． D． 二、填空题 7．以“塑造软件新生态，赋能发展新变革”为主题的第二十五届中国国际软件博览会于2023年8月31日在天津开幕.本次参会人员分不同区域落座，其中某个区域的男性参会人员有25人，女性参会人员有15人，现按性别比例进行分层抽样，若从该区域随机抽取16位参会人员，则女性参会人员应抽取的人数为 . 8．某校共有师生2400人，其中教师200人，男学生1200人，已知从女学生中抽取的人数为80，那么 ． 9．某学校为了解高一学生每天阅读时长，从高一男生和女生中采用分层抽样的方法抽取部分学生进行调查分析．已知该学校高一学生中男生和女生的比例是，在抽取的学生中男生比女生多24人，则被抽取的学生人数是 ． 三、解答题 10．某区，，三所学校有意愿报考名校自招的人数分别为40，40，20人，受疫情因素影响，该区用分层随机抽样的方法从三所学校中抽取了5名学生，参加了该区统一举办的现场小范围自招推介说明会. (1)从这5名中随机抽取2名学生进行座谈和学情调查，求这2名学生来自不同学校的概率； (2)若考生小张根据自身实际，报考了甲乙两所名校的自招，设通过甲校自招资格审核的概率为，通过乙校自招资格审核的概率为，已知通过两所学校自招资格审核与否是相互独立的，求小张至少能通过一所学校自招资格审核的概率. 11．统计学家将战争中摧毁敌军的战机序列号作为样本，用样本估计总体的方法推断敌军每年生产的战机数量.假设敌军某年生产的战机数量为，摧毁某年生产的架战机编号从小到大为，，，…，，最大的编号为，摧毁敌军战机是随机的，摧毁战机的编号，，，…，，相当于从中随机抽取的个整数，这个数将区间分成个小区间（如下图），可以用前个区间的平均长度估计所有个区间的平均长度进而得到的估计值. 已知在某次战斗中摧毁敌军的战机编号为：2，5，7，13，15，17，21，据此回答下列问题. (1)根据材料估计敌军生产的战机数量； (2)已知敌军所有现役战机分为三个等级（四代战机，四代半战机，五代机），通过分层抽样调查三类战机的飞行高度，得到各个等级飞行高度的样本平均数为，，. （ⅰ）根据上述信息是否可以估计敌军所有现役战机的平均飞行高度？若不能，还需要什么条件，请补充条件并写出估计式； （ⅱ）若敌军现役战机是按照比例生产的，四代战机，四代半战机，五代机的战机数量分别为，，，样本量分别为，，，据此证明： 12．某校组织学生进行跳绳比赛，以每分钟跳绳个数作为比赛成绩（单位：个）．为了解参赛学生的比赛成绩，从参赛学生中随机抽取50名学生的比赛成绩作为样本，整理数据并按比赛成绩，分成这6组，得到的频率分布直方图如图所示． (1)估计该校学生跳绳比赛成绩的中位数； (2)现采用分层抽样的方法从跳绳比赛成绩在和内的学生中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求这2人的比赛成绩不在同一组的概率． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $