专题08 一元一次方程23大题型69题（期中专项训练）七年级数学上学期新教材苏科版

专题08 一元一次方程（23大题型69题） 基础·固本强基 题型1 等式的性质 题型2 方程与方程的解 题型3 一元一次方程的定义 题型4 解一元一次方程 题型5 一元一次方程的简单含参问题 题型6 一元一次方程的实际应用 提升·进阶突破 题型7 已知方程的解求参数（重点） 题型8 解复杂的一元一次方程（重点） 题型9 已知一元一次方程的解求参数（重点） 题型10 一元一次方程解的关系（重点） 题型11 绝对值方程（重点） 题型12 配套问题（重点） 题型13 销售盈亏问题（重点） 题型14 方案选择问题（重点） 题型15 几何问题（重点） 题型16 水电费问题（重点） 题型17 古代问题 题型18 日历问题 拔高·压轴破难 题型19 一元一次方程的含参综合（难点） 题型20 解绝对值方程（难点） 题型21 一元一次方程的实际应用压轴（难点） 题型22 一元一次方程的动点问题（难点） 题型23 一元一次方程的新定义问题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 等式的性质（共3小题） 1．（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期中）下列变形符合等式性质的是 （    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【分析】本题考查等式的基本性质，利用等式性质1和等式性质2，逐一判断各选项的变形是否正确即可． 【详解】解：A：若，两边同时加3，得，本选项变形错误； B：若，两边同时加2，得，本选项变形错误； C：若，两边同时除以，得，本选项变形错误； D：若，两边同时乘以，得，本选项变形正确． 2．（25-26七年级下·福建泉州·期中）下列是根据等式的性质进行变形，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据等式性质逐项判断即可． 【详解】解：对于A，∵，等式两边需同时加或减同一个数，等式才成立，∴应为，故A错误． 对于B，∵，等式两边同时加得，只有时才有，故B错误． 对于C，∵，当时，无论取何值等式都成立，无法推出，故C错误． 对于D，∵，，等式两边同乘可得，故D正确． 3．（25-26七年级下·湖南衡阳·期中）在中，用含的代数式表示，可得______． 【答案】（或） 【分析】本题考查等式的性质，利用等式的性质对方程变形即可得到结果，熟练掌握等式的性质是解题的关键. 【详解】解：已知方程 移项得： 等式两边同时除以，得： 题型2 方程与方程的解（共3小题） 4．（2025七年级上·江苏连云港·专题练习）是关于x的一元一次方程，则m的取值范围__________ ． 【答案】 【分析】根据题意，方程是关于的方程，故的系数不能为零，解答即可． 本题考查了方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：由方程 是关于 的方程， 故 ， 解得 ， 故答案为：． 5．（25-26七年级上·全国·单元复习）有下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，x＝2是其解的方程有_______．（填序号） 【答案】②④⑤⑥ 【分析】本题考查了方程的解，掌握方程的解的定义是解题的关键． 根据方程的解是使方程成立的未知数的值，可得答案． 【详解】解：当时，①的左边，右边，左边右边，所以不是①的解； 当时，②的左边，右边，左边右边，所以是②的解； 当时，③的左边，右边，左边右边，所以不是③的解； 当时，④的左边，右边，左边右边，所以是④的解； 当时，⑤的左边，右边，左边右边，所以是⑤的解； 当时，⑥的左边，左边右边，所以是⑥的解； 故答案为：②④⑤⑥． 6．（24-25七年级上·江苏常州·期末）下列数中，是方程的解的是（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了方程的解，使方程两边相等的未知数的值；熟知方程解的含义是解题的关键．根据方程的解定义逐项判断即可． 【详解】解：当时，左边右边， 当时，左边右边， 当时，左边右边， 当时，左边右边， ∴是方程的解； 故选：B． 题型3 一元一次方程的定义（共3小题） 7．（25-26七年级下·吉林长春·期中）已知是关于的一元一次方程，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义，未知数的次数为且一次项系数不为，据此列出等式求解即可． 【详解】解：由题意得，，且． 解得，即或． 又． 因此． 8．（25-26七年级下·河南周口·期中）下列各式中，属于一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的定义，根据“只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程是一元一次方程”，逐一判断各选项即可求解． 【详解】解： A选项含有两个未知数，不符合一元一次方程定义； B选项中未知数的最高次数为2，不符合一元一次方程定义； C选项只含一个未知数，未知数最高次数为1，且是整式方程，符合一元一次方程定义； D选项分母中含有未知数，不是整式方程，不符合一元一次方程定义． 9．（25-26七年级上·河北唐山·期末）已知方程是关于x的一元一次方程，则m的值是______． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次方程的定义，熟练掌握其定义是做题的关键．根据一元一次方程的定义，未知数的指数必须为1，且系数不为零，即可求出答案． 【详解】解：由题意得， ，且， 解得，． 故答案为：． 题型4 解一元一次方程（共3小题） 10．（25-26七年级上·江苏南京·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】根据解一元一次方程的步骤进行解答即可． 【详解】（1）解： （2）解： 11．（2026七年级上·江苏淮安·专题练习）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的步骤． （1）按照解一元一次方程的步骤：去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可解答； （2）按照解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ． 12．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的步骤． （1）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可． 【详解】（1）解：去括号得： 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得； （2）解：去分母，得 去括号，得 移项、合并同类项，得 系数化为1，得 题型5 一元一次方程的简单含参问题（共3小题） 13．（25-26七年级上·四川广元·期末）已知关于的方程的解是，则的值为________． 【答案】 【分析】将代入原方程，解关于的一元一次方程即可得到结果． 【详解】解：∵方程的解是， ∴把代入原方程，得：， 整理得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：． 14．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）若是关于的一元一次方程的解，则________． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程解的定义； 根据方程解的定义，将代入方程，解关于的方程即可． 【详解】解：将代入方程，得， 即， 解得：， 故答案为：． 15．（25-26七年级上·辽宁铁岭·期末）小明在做作业时不小心将方程中的一个常数污染了，他翻开书后的答案，得知该方程的解是，则“”处被污染的常数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查方程的解、解一元一次方程，理解方程的解满足方程是解答的关键． 将已知解代入原方程，直接计算被污染的常数即可． 【详解】解：∵方程的解为， ∴，即，即， ∴． 故选：A． 题型6 一元一次方程的实际应用（共3小题） 16．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）某地居民用水收费标准如下表： 家庭每年用水量 收费标准 不超过的部分 3元 超过但不超过的部分 4元 超过的部分 6元 小亮家去年缴水费980元，他家去年实际用水量是多少？ 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程．根据题意得到小亮家去年实际用水量应为“超过但不超过”，然后列出方程求解即可． 【详解】解：（元） （元） （元） ， 小亮家去年实际用水量应为“超过但不超过”这种情况． 设小亮家去年实际用水量为，根据题意可知： 解得 答：小亮家去年的实际用水量是． 17．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）三阶幻方又叫九宫格，它是由九个数字组成的一个三行三列的矩阵．三阶幻方有“和幻方”和“积幻方”之分．“和幻方”，指其每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数字之和均相等；“积幻方”，指其每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数字之积均相等． (1)如图1是一个“和幻方”，则_____，_____； 2 6 5 8   图1 (2)如图2是一个“积幻方”，求的值． 2 2 m n    图2 【答案】(1)1，7 (2) 【分析】本题考查了数字规律，一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，结合题干要求进行列式计算，即可得出，． （2）理解题意，结合题干要求进行列式计算，即可得出，，再求出，即可作答． 【详解】（1）解：根据题意得：，， 整理得，， 解得：，． 故答案为：1，7； （2）解：根据题意得：，， 解得：，， ∴ 18．（2024七年级上·江苏徐州·专题练习）甲乙两地相距60千米，小明8点乘车从甲地出发去乙地，前一半时间平均速度是每分钟1千米，后一半时间平均速度是每分钟0.8千米，小明经过多少分钟到达乙地？ 【答案】小明经过分钟到达乙地． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设一半的时间是x分钟，那么前一半时间行驶的路程是x千米，后一半时间行驶的路程是千米；把这两部分路程加在一起就是全程60千米，由此求解． 【详解】解：设一半的时间是x分钟，由题意得： ， 解得， （分钟）， 答：小明经过分钟到达乙地． 提升·进阶突破 题型7 已知方程的解求参数（共3小题） 19．（25-26七年级上·山东济宁·期末）某书上有一道解方程的题：，■处在印刷时被油墨盖住了，查后面的答案知这个方程的解是，那么■处的数字是______． 【答案】1 【分析】本题考查一元一次方程的解，将解代入原方程是解题的关键． 将已知解 代入方程，解出 ■ 的值． 【详解】解：将 代入方程 ，得 ． 移项得 ． 两边乘以 3 得 ． 移项得 ． 解得 ． 故答案为1． 20．（25-26七年级上·河北邯郸·期末）已知方程的解满足，则的值为（　　）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查已知一元一次方程的解求参数，绝对值的性质，掌握好相关知识是关键． 先根据绝对值的性质求出的值，再将代入原方程求出的值，最后计算即可. 【详解】解：∵， ∴，即， 将代入方程，得， ， 解得， ∴． 故选：B． 21．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）下图是苏科版教材七年级数学上册的部分内容． 求代数式的值，其中，． 卡通人物的话语中体现了“整体代换”的数学思想方法．“整体代换”能帮助我们把复杂的式子“打包”成一个整体，让运算变得简单清晰．请运用“整体代换”的思想方法解决以下问题． (1)解决上图中的问题； (2)当时，．当时，求代数式的值； (3)若关于的方程的解是，则关于的方程的解是______． 【答案】(1)代数式的值为； (2)代数式的值为； (3)． 【分析】本题主要考查了代数式求值，一元一次方程的解，根据已知条件进行整体代入法求解是解题的关键． （）把看成整体，利用合并同类项法则进行化简，然后把，代入即可； （）先求出，然后把代入，然后整体代入即可求解； （）由得，然后通过题意可得，从而求解． 【详解】（1）解： ， 当， 原式 ； （2）解：当时，， 整理得：， ∴当时， ， ； （3）解：由得， ∵关于的方程的解是， ∴关于的方程的解是， 解得：， 故答案为：． 题型8 解复杂的一元一次方程（共3小题） 22．（25-26七年级上·河南郑州·期中）解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 系数化为1得：； （2）解：移项得：， 整理得：， 去括号得：， 移项并合并同类项得：． 23．（25-26七年级下·辽宁盘锦·期中）解方程： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 24．（25-26六年级下·山东泰安·期中）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可； （3）先把分母化成整数，然后按去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可； （4）先化简方程，然后按去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ， ， ． （3）解：， ， ， ， ， ， ． （4）解：， ，     ， ， ， ． 题型9 已知一元一次方程的解求参数（共3小题） 25．（25-26七年级下·重庆·期中）已知代数式，，解答下列问题： (1)若，则为何值时，代数式与相等？ (2)若关于的方程的解使得，两个代数式的值互为相反数，求的值． 【答案】(1)的值为8时，这两个代数式的值相等 (2)的值为9 【分析】（1）根据题意，列出方程，即可求解； （2）先解出关于x的方程，再根据关于x的方程的解使得，两个代数式的值互为相反数，可得到关于m的方程，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，得． 解这个方程，得．             答：的值为8时，这两个代数式的值相等． （2）解：解方程，得．             由代数式和的值互为相反数，得：．    将代入上式中，得 ．         解这个方程，得．             答：的值为9． 26．（25-26七年级下·山西晋城·期末）阅读与思考 请认真阅读并完成相应的任务． 规定：如果将两个一元一次方程的解相减，差的绝对值为Q，我们称这两个方程为“值Q方程”． 例题分析：例如：方程的解是， 方程的解是， ∵， ∴方程与方程是“值3方程”． 任务： (1)①方程和方程是不是“值1方程”？________________（选填“是”或“不是”）； ②方程和方程是“值________________方程”． (2)若关于x的一元一次方程和是“值2方程”，求a的值． 【答案】(1)①是；②6 (2)34或18 【分析】（1）①先求出各个方程的解，再根据“值1方程”的定义进行判断即可； ②先求出各个方程的解，再根据“值Q方程”的定义进行判断即可； （2）根据“值2方程”的定义得出，去掉绝对值符号求出a的值即可． 【详解】（1）①解：方程的解为，方程的解为， ， ∴方程和方程是 “值1方程”． ②解：方程的解为，的解为， ， ∴方程和方程是 “值6方程”． （2）解：∵， ∴． 解得． ∵，解得． ∵关于x的一元一次方程和是“值2方程”， ∴． ∴． 当时，． 当时，． ∴a的值为34或18． 27．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）若关于的方程的解是负整数，且也是整数，则满足条件的所有的值为_________． 【答案】， 【分析】先解关于的一元一次方程，用含的代数式表示出，根据方程的解是负整数，为整数，可知是的负因数，进而求出所有满足条件的的值． 【详解】解： 去分母，得 去括号，得 移项合并同类项，得 解得 方程的解是负整数，是整数 是的负因数，即或 当时， 解得，符合题意 当时， 解得，符合题意 故满足条件的所有的值为，． 题型10 一元一次方程解的关系（共3小题） 28．（2026·江苏苏州·二模）定义：若两个一元一次方程的解之和为3，我们就称这两个方程互为“方程”，其中一个方程是另一个方程的“方程”．请写出方程的一个“方程”：__________． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】先求解已知方程，再根据“方程”的定义得到所求方程的解，即可构造出符合要求的方程． 【详解】解：解方程得， 互为“方程”的两个一元一次方程的解之和为， 方程的“方程”的解为， 满足条件的一个“方程”为（答案不唯一）． 29．（25-26七年级下·四川宜宾·期中）若关于x的一元一次方程的解为，则关于t的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的解，利用换元思想，将待求解的方程变形为与已知方程结构相同的形式，再利用已知方程的解求解． 【详解】解：整理待求解方程， 移项得， 将变形为，代入得： ， 移项整理得：， 设，则该方程与已知方程结构相同， ∵已知方程的解为， ∴， 解得． 30．（25-26七年级上·湖南益阳·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为0，我们就称这两个方程为“互补方程”，例如：和为“互补方程”． (1)方程与方程_____“互补方程”．(请填入“是”或“不是”) (2)若关于的方程与方程是“互补方程”，求的值． (3)若关于的方程与是“互补方程”，求的值，及关于的方程的解． 【答案】(1)是； (2)； (3)， 【分析】本题考查一元一次方程的解法及“互补方程”的定义，核心是先求解方程的解，再根据“两个方程的解之和为0”的条件进行推导计算． （1）分别求解两个方程的解，计算解的和是否为0，以此判断是否为互补方程； （2）先求出已知方程的解，根据互补方程的定义得到另一个方程的解，将解代入方程求解的值； （3）用含的代数式表示两个方程的解，根据解之和为0列关于的一元一次方程，求出后再代入关于的方程求解． 【详解】（1）解：解方程，得； 解方程，得； ， 这两个方程是“互补方程”． 故答案为：是． （2）解：解方程，得； 方程与是“互补方程”， 方程的解为； 将代入，得， 解得； （3）解：解方程，得； 解方程，得； 两个方程是“互补方程”， ， 解得； 将代入关于的方程，得，解得； 故的值为0，关于的方程的解为． 题型11 绝对值方程（共3小题） 31．（2026七年级上·江苏·专题练习）解方程： 【答案】或 【分析】本题主要考查了绝对值方程，根据绝对值的定义从最外层绝对值开始，逐步根据绝对值的定义去掉绝对值符号，分情况讨论并排除无解的情况，最终求解x的值． 【详解】解：， 或， ∴或（不合题意，舍去）， 则， 或， 或（不合题意，舍去）， 故或． 32．（25-26七年级下·全国·单元复习）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】利用绝对值的性质：若（），则，将绝对值方程转化为一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：对于方程， 由绝对值的性质可得， 当时，解得， 当时，解得， 即原方程的解为或． （2）解：对于方程， 两边同乘，得， 由绝对值的性质可得， 当时，解得， 当时，解得， 即原方程的解为或． 33．（25-26七年级下·山西临汾·期中）阅读与思考阅读下列材料，完成后面任务． 我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”． 如：，，…都是含有绝对值的方程．怎样求含有绝对值的方程的解呢？ 基本思路：含有绝对值的方程→不含有绝对值的方程． [例]解方程：． 解：根据绝对值的意义，得或． 解这两个一元一次方程，得或． 任务： (1)解方程：． (2)解方程：． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（）仿照题干作答即可； （）对于形如的方程，等价于或，因此，对于方程，可变形为；因此，解方程 ，只需解与 即可. 【详解】（1）解：根据绝对值的意义，得或， 解得或． （2）解：， 原方程可化为， 由绝对值的意义得：或， 解得或． 题型12 配套问题（共3小题） 34．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知一个水分子模型教具需要一个氧原子模型和两个氢原子模型组装配套，某工厂现有20名工人，每人每小时平均生产60个氧原子模型或80个氢原子模型．若使每小时生产出的氧原子模型和氢原子模型组装配套，则生产氧原子模型的工人有________名． 【答案】 【分析】根据配套要求确定氢原子模型与氧原子模型的数量关系，设未知数列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：设生产氧原子模型的工人有名，则生产氢原子模型的工人有名． 根据组装配套要求，氢原子模型总数为氧原子模型总数的倍， 列方程得， 解得． 35．（25-26七年级下·海南海口·期中）某眼镜厂家的一个车间共有22名工人生产镜片和镜架，每人每天生产12个镜架或20片镜片，一副镜架要配两个镜片，此车间为了使每天生产的产品刚好配套． (1)应该如何分配工人才能使每天生产的镜架和镜片恰好配套？ (2)若每副眼镜的成本为150元，该车间每天生产的眼镜的总成本为多少元？ 【答案】(1)生产镜架10人，生产镜片12人 (2)18000元 【分析】（1）设分配x名工人生产镜片，名工人生产镜架，根据“一副镜架要配两个镜片”列方程求解； （2）根据题意列式求解即可． 【详解】（1）解：设分配x名工人生产镜片，名工人生产镜架， 根据题意得：， 解得：， ∴， 答：生产镜架10人，生产镜片12人． （2）解：由（1）可知，每天生产的镜架数量为（个）， 即每天生产120副眼镜， 故总成本为（元） 答：该车间每天生产的眼镜的总成本为18000元． 36．（25-26六年级下·山东东营·期末）材料题 问题背景 某水果加工厂收购了29吨黄桃，经市场预测，销售方式及利润如表： 销售方式 包装销售 制成罐头销售 每吨利润（万元） 0.4 0.6 加工能力 每天可包装5吨或制成罐头3吨（包装和加工前后质量不变），同一天内两种加工方式不可同时进行．部分制成罐头，其余进行直接包装售卖，并恰好7天完成． 公司费用 该加工厂计划将罐头运输到市场售卖．运输公司费用如下： 运输公司 运输单价 每吨装卸费 甲 每吨每千米5元 50元 乙 每吨每千米6元 30元 问题解决 (1)该工厂有多少吨黄桃制成罐头？ (2)若乙公司总费用比甲公司多243元，则水果加工厂到市场的距离为多少千米． 【答案】(1)该工厂有9吨黄桃制成罐头 (2)水果加工厂到市场的距离为47千米 【分析】（1）设该工厂有x吨黄桃制成罐头，构造方程即可求解； （2）设加工厂到市场的距离为y千米，构造方程即可求解． 【详解】（1）解：设该工厂有x吨黄桃制成罐头，则吨进行直接包装， 根据题意得： 解得： 答：该工厂有9吨黄桃制成罐头， （2）解：设加工厂到市场的距离为y千米， 根据题意得： 解得： 答：水果加工厂到市场的距离为47千米． 题型13 销售盈亏问题（共3小题） 37．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）某水果店用2700元购进香水梨、大枣两种水果共300千克．这两种水果的进价、标价如表所示： 品种 香水梨 大枣 进价（元/千克） 7 10 标价（元/千克） 10 14 (1)这两种水果各购进多少千克？ (2)若香水梨按标价的八折出售，大枣也减价出售，则这两种水果全部售出后，在不损耗的前提下，想要获利，大枣每千克应降价多少元出售？ 【答案】(1)购进香水梨千克，购进大枣千克 (2)大枣每千克应降价元 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，理解题意并根据等量关系列方程是解题关键． （1）设购进香水梨千克，则购进大枣千克，根据题意列方程，解方程求出的值即可； （2）设大枣每千克降价元出售，根据题意列方程：，解方程求出的值即可． 【详解】（1）解：设购进香水梨千克，则购进大枣千克， 根据题意列方程：， 解得，， ∴购进大枣千克； 答：购进香水梨千克，购进大枣千克． （2）解：设大枣每千克降价元出售， 根据题意列方程：， 化简，得， 解得，； 答：大枣每千克应降价元． 38．（25-26七年级上·河北廊坊·期末）某商场从厂家购进了甲、乙两种商品，甲种商品的每件进价比乙种商品的每件进价少30元．若购进甲种商品4件，乙种商品5件，需要870元． (1)求甲、乙两种商品的每件进价分别是多少元？ (2)该商场从厂家购进了甲、乙两种商品共50件，所用资金恰好为4600元．在销售时，甲种商品的每件售价为100元，要使得这50件商品全部售出后，所获利润是总进价的．①求甲、乙两种商品各多少件？②求出乙种商品的每件售价为多少元？ 【答案】(1)甲种商品的每件进价为80元，乙种商品的每件进价为110元 (2)①进甲种商品30件，则乙种商品为20件；②乙种商品的每件售价为元． 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用． （1）设甲种商品的每件进价为x元，则乙种商品的每件进价为元，根据购进甲种商品4件，乙种商品5件，需要870元的等量关系列出方程即可求解； （2）①先设购进甲种商品y件，则乙种商品为件，根据等量关系列出方程求得甲乙两种商品的个数， ②设乙种商品的每件售价为z元，根据条件列出关于z的一元一次方程即可求解． 【详解】（1）解：设甲种商品的每件进价为x元，则乙种商品的每件进价为元， 由题意得：， 解得（元）， 则（元）， 答：甲种商品的每件进价为80元，乙种商品的每件进价为110元； （2）解：①设购进甲种商品y件，则乙种商品为件， 由题意得：， 解得：， ∴， ∴进甲种商品30件，则乙种商品为20件； ②设乙种商品的每件售价为z元， 由题意得：， 解得（元）． 答：乙种商品的每件售价为元． 39．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）我市某水果批发市场苹果的价格如下表： 购买苹果（千克） 不超过20千克 20千克以上但不超过40千克 40千克以上 每千克的价格 6元 5元 4元 (1)李明分两次共购买苹果40千克，第二次购买的数量多于第一次购买的数量，共付216元，若设第一次购买千克，列出正确的方程是_____________________． A．             B． C．             D． (2)张强分两次共购买苹果100千克，第二次购买的数量多于第一次购买的数量，且两次购买每千克苹果的单价不相同，共付出432元，请问张强第一次，第二次分别购买苹果多少千克？（列方程解应用题） 【答案】(1)C (2) 第一次购买千克的苹果，第二次购买千克苹果或者第一次购买千克的苹果，第二次购买千克苹果． 【分析】本题考查一元一次方程的应用．根据题意，正确的列出方程，是解题的关键． （1）根据第二次购买的数量多于第一次购买的数量，得到第一次购买的数量小于千克，第二次购买的数量大于20千克，小于40千克，根据两次购买共付216元，列出方程即可； （2）设第一次购买的苹果数量为千克，根据第二次购买的数量多于第一次购买的数量，且两次购买每千克苹果的单价不相同，分第一次购买不超过20千克，和20千克以上但不超过40千克，两种情况，列出方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵第二次购买的数量多于第一次购买的数量， ∴， ∴， ∴， ∴， 由题意，得：； 故答案为：C； （2）解：设第一次购买的苹果数量为千克，则：第二次购买的数量为千克， ∵第二次购买的数量多于第一次购买的数量， ∴，即：， ∴； ①当时：此时， 由题意，得：， 解得：， 则：（千克）； ②当时：此时， 由题意，得：， 解得：， 则：（千克）； ③当，此时两次的价格相同，不符合题意； 答：第一次购买千克的苹果，第二次购买千克苹果或者第一次购买千克的苹果，第二次购买千克苹果． 题型14 方案选择问题（共3小题） 40．（25-26七年级上·全国·期中）学校组织同学们春游，若每辆汽车坐45人，则有28人没有座位；若每辆汽车坐50人，则只有1辆汽车空12个座位无人坐，其余车辆全部坐满．共有________辆汽车，共有________人春游． 【答案】 8 388 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找出题目中的相等关系； 设有辆汽车，根据人数不变，列出一元一次方程，即可求解． 【详解】解：设有辆汽车，根据“若每辆汽车坐人，则有人没有座位”，可知学生总数为人， 根据“若每辆汽车坐人，则只有一辆车空个座位无人坐，其余车辆全部坐满”，可知学生总数为人， 因学生总数不变，可列方程：， 解得：， 学生总数为人， 故答案为：． 41．（24-25七年级上·福建福州·期末）根据下表素材，完成表中的任务． 探究优惠购物问题 素材1 某校重视学生的课外体育活动，打算在某商店采购一批篮球和跳绳，已知篮球的单价比跳绳的单价的5倍多10元，购买2个篮球与购买11条跳绳所花的钱一样多． 素材2 该商店给学校提供以下两种优惠方案： 方案①：篮球和跳绳都按单价的折付款； 方案②：买一个篮球送一条跳绳． 现学校要购买篮球30个，跳绳条． 问题解决 任务1 求篮球的单价与跳绳的单价各是多少？ 任务2 当跳绳a购买多少条时，使用方案①，方案②购买篮球和跳绳的总费用相同？ 任务3 若两种优惠方案可同时使用，当时，请你通过计算给出更省钱的购买方案． 【答案】任务1：篮球的单价是110元，跳绳的单价是20元；任务2：当跳绳购买35条时，使用方案①和方案②购买的总费用相同；任务3：先使用方案②买30个篮球即送30条跳绳，再使用方案①单独买30条跳绳更省钱 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、列代数式、有理数混合运算法则的应用等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）设跳绳的单价是x元，则篮球的单价是元，然后根据题意列一元一次方程求解即可； （2）先根据两种方案列出代数式，然后根据“总费用相同”列一元一次方程求解即可； （3）先分别求出三种方案的花费，然后比较即可解答． 【详解】解：任务1：设跳绳的单价是x元，则篮球的单价是元， 依题意得：， 解得，且符合题意， 所以（元）． 答：篮球的单价是110元，跳绳的单价是20元． 任务2：使用方案①购买花费：元 使用方案②购买花费：元 因为使用方案①，方案②购买的总费用相同 所以 解得： 答：当跳绳购买35条时，使用方案①和方案②购买的总费用相同． 任务3：当时， （1）单独使用方案①购买花费：元 （2）单独使用方案②购买花费：元 （3）先使用方案②购买30个篮球即送30条跳绳，再使用方案①单独购买30条跳绳花费：元． 因为，所以第（3）种购买方案更省钱． 答：先使用方案②买30个篮球即送30条跳绳，再使用方案①单独买30条跳绳更省钱． 42．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）为持续深入推进“双减”工作，拓展丰富课后服务资源，满足学生兴趣特长发展需求，某校决定购买一批篮球和排球供学生兴趣课使用．每个排球比篮球便宜30元，4只篮球与6只排球的费用一样． (1)求出篮球和排球的单价； (2)经市场调查发现：甲商场优惠方案是：每购买10只篮球送一个排球；乙商场优惠方案是：若购买篮球超过50只，则购买排球打八折．若该校购买100只篮球和a只排球（其中且为整数），则当购买的排球数a为何值时，在两家商场购买所需的费用一样． 【答案】(1)篮球的单价为90元，排球的单价为60元 (2)当购买的排球数为50的时候，费用一样 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设篮球的单价为x元，排球的单价为元，根据4只篮球与6只排球的费用一样，可列出关于的一元一次方程，即可求解； （2）利用总价单价数量，结合在两家商场购买所需的费用一样，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设篮球的单价为x元，排球的单价为元， 由题意得： 解之得：， 答：篮球的单价为90元，排球的单价为60元． （2）由题意得：， 解得： 答：当购买的排球数为50的时候，费用一样． 题型15 几何问题（共3小题） 43．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）如图，在长方形中，，，，点在边上，且，动点从点出发，以1个单位/秒的速度沿路径运动，同时动点从点出发，以2个单位/秒的速度沿路径运动，当其中一点停止时，另一个点也随之停止，设点、运动的时间为秒． (1)当秒时，线段______； (2)当点在边上运动时，若，求的值； (3)在点、运动过程中，是否存在某一时刻，使得四边形的面积为15？若存在，求出所有符合条件的的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2 (2) (3)或 【分析】本题考查了长方形内的动点问题，涉及到的知识点包括路程、速度与时间的关系，以及三角形和四边形的面积计算．解题的关键在于能够准确地根据题目条件建立数学模型，特别是正确地表示出动点P和Q的位置随时间变化的关系，并能够分情况讨论点Q在不同位置时四边形面积的计算方法．通过设立方程或不等式解决问题，体现了方程思想和分类讨论的思想方法． （1）根据点Q的运动速度和路径，先求出，再用得到； （2）根据点Q在上时的运动情况表示出，点P在上时表示出，再根据列方程求解； （3）分点Q在上和点Q在上两种情况，分别根据四边形面积公式列方程求解． 【详解】解：（1）当秒，， ， ，即． 故答案为：2．　　 （2）点Q在边上运动， ，则； 点P在边上运动，，， ， ， ， 解得， （3）存在，理由如下： 当点Q在上（） ，，， ， 令，解得，，符合题意； 当点Q在上（）， ，，，，，，， ， 令，解得，，不合题意，舍去； 当点Q在上（） ，，，， , ， 令， 解得，，符合题意． 综上，存在某一时刻，使得四边形的面积是15，此时或． 44．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）如图1，在数轴上有A，B两点，点A表示的数为4，点B在A点的左边，且，若有一动点P从数轴上点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动．若点P，Q分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t秒． (1)写出数轴上点B表示的数为________，P所表示的数为________（用含t的代数式表示）． (2)点P运动多少秒与Q相距3个单位长度？ (3)如图2，分别以和为边，在数轴上方作正方形和正方形，如图所示，求当t为何值时，两个正方形的重叠部分面积是正方形面积的一半？ 【答案】(1)； (2)3或5秒 (3)4.8或24 【分析】（1）根据两点间的距离可确定点表示的数，根据的运动规律可表示出点表示的数； （2）分别根据、两点的运动规律，用变量表示这两点所表示的数，求两点间距离即把右边点表示的数减去左边点表示的数，分情况列一次方程即可求得； （3）由点的运动到边的变化进而到正方形面积的变化，找到符合题意的运动位置画出图形进行分类讨论，由面积之间的关系列方程即可求得． 【详解】（1）解：点在点的左边，，点表示4， 点表示的数为， 动点从数轴上点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，则点表示的数为， 故答案为：；； （2）解：依题意得，点表示的数为，点表示的数为， 若点在点右侧时：， 解得：； 若点在点左侧时：， 解得：； 综上所述，点运动3秒或5秒时与相距3个单位长度； （3）解：如图1，均在线段上， 两正方形有重叠部分， 点在点的左侧， ， ， 重叠部分面积， 重叠部分的面积为正方形面积的一半， ， ∵， ， 解得：； 如图2，均在线段外， ， 重叠部分面积， ， ∵， ， 解得：， 故答案为：4.8或24． 【点睛】本题主要考查了数轴上求点表示的数及动点和由运动产生图形面积变化的题型，重点在于把握清楚运动的规律，善于想象抓住根本，善于运用数形结合思想是解题的关键． 45．（24-25七年级上·浙江金华·期末）已知正方形甲和长方形乙的周长相等，将它们分别按下图方式放置在同一个大长方形内（两种方式均有重叠）．按图1放置时，阴影部分①和②的周长之和为；按图2放置时，阴影部分③和④的周长之和为．若，，则正方形甲的边长为（    ） A． B．7 C．7.5 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了整式加减和一元一次方程的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．首先，我们需要分别表示出图1中阴影部分①和②的周长之和m以及图2中阴影部分③和④的周长之和n，然后根据以及正方形甲和长方形乙周长相等这两个条件建立方程，进而求出正方形甲的边长． 【详解】设正方形甲的边长为x，长方形乙的长为a，宽为b，， ∵正方形甲和长方形乙的周长相等， ∴， 阴影部分①的周长， 阴影部分②的周长， ∴ n=阴影③的周长+阴影④的周长， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴正方形甲的边长为7． 故选：B． 题型16 水电费问题（共3小题） 46．（25-26七年级上·甘肃定西·期末）某县政府今年对居民用水实行分层收费如下表： 每户每月用水量 水费/（元/立方米） 不超过22立方米 2.3 超过22立方米且不超过30立方米的部分 a 超过30立方米的部分 4.6 (1)若小华家今年1月份用水量是20立方米，则他家应缴费______元．（直接填写答案即可） (2)若小华家今年2月份用水量是26立方米，缴费62.6元，请求出用水量在22~30立方米之间的收费标准a元/立方米． (3)在（2）的条件下，若小华家今年8月份用水量增大，共缴费97.6元，则他家8月份用水量是多少立方米？ 【答案】(1)46 (2)用水在立方米之间的收费标准3元立方米； (3)他家8月份的月水量是35立方米． 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，理解三级阶梯水价收费标准是重点，根据等量关系列方程求解是关键． （1）因为20立方米不超过22立方米，所以直接按2.3元计算即可； （2）因为26立方米超过22立方米且不超过30立方米，所以，根据方程即可求出的值； （3）先根据第（2）问中得出的结果计算30立方米的费用，从而确定属于第几个阶梯，再列方程解决． 【详解】（1）解：（元）． 故答案为：46； （2）解：根据题意，得， 解得． 答：用水在立方米之间的收费标准3元立方米； （3）解：设他家8月份的月水量是立方米． ， ， 可列方程：， 解得． 答：他家8月份的月水量是35立方米． 47．（25-26七年级下·山东济南·期中）某地政府为鼓励节约用电，采用阶梯式电价计量标准．根据每户居民每月的用电量（用电量均为整数，单位：千瓦·时）分为三档进行收费（第一档：月用电量不高于240千瓦·时．第二档： 月用电量为千瓦·时，第三档： 月用电量超过 400 千瓦·时）．设居民每月应交电费y（元） ，用电量为x（千瓦·时） 用电量（千瓦·时） 收费（元） 不超过 240 千瓦·时 每千瓦·时 元 千瓦·时 每千瓦·时 元 超过 400千瓦·时 超过的部分每千瓦·时 元 (1)①每月用电量不超过240千瓦·时，y= ； ②每月用电量超过 400千瓦·时，y= ． (2)若某户居民用电量为210千瓦·时，则应交电费多少元? (3)若某户居民某月交费210元，则该户居民用电多少千瓦·时? 【答案】(1)①；② (2)（元） (3)本月用电344度 【分析】(1) ①根据费用=单价乘以用电量，列式计算即可． ②根据费用=单价乘以用电量，列式计算即可． (2)根据(1)求得的结果，讨论x的值，得出的结论． （3）根据当时，最多费用为元；当时，最多费用为元；当时，费用大于元；根据分档计算即可． 本题考查了一元一次方程的生活实际应用，正确理解分档的界点是解题的关键． 【详解】（1）①根据时，每千瓦·时 元， 故， 故答案为：． ②根据时，每千瓦·时 元， 故 ， 故答案为：． （2）根据时，每千瓦·时 元， 故， 由， 故当时， (元)． 答：应交电费元． （3）根据题意，当时，最多费用为元； 当时，最多费用为元； 当时，费用大于元； ∵， ∴用电量满足， 设用电x度，根据题意，得， 解得， 答：本月用电344度． 48．（25-26七年级下·江苏南京·期末）某地天然气收费方案如下： 阶梯 年用气量 价格 补充说明 第一阶梯 （含400）的部分 3元/ 当家庭人口超过3人时，每增加1人，第一、二阶梯年用气量上限将分别增加，同时，第二、三阶梯年用气量下限随之调整，每一阶梯的价格保持不变． 第二阶梯 （含800）的部分 4元/ 第三阶梯 以上的部分 5元/ (1)某家庭当年用气量为．若该家庭人口为3人，则需缴纳燃气费用______元；若该家庭人口为4人，则需缴纳燃气费用______元． (2)甲户家庭人口为3人，乙户家庭人口为4人．某年甲、乙两户年用气量之和为，甲户年用气量大于乙户年用气量．已知甲、乙两户一共缴纳燃气费用3200元，求甲、乙两户年用气量分别是多少？ (3)某公司共有22名员工，员工宿舍有3人间和4人间两种类型的房间可供选择，且员工所选择的房间必须住满．结算天然气费用时，将每间宿舍视作一户家庭，收费标准按上表进行收费．假定每位员工的年用气量为，要使该公司员工宿舍当年总天然气费最低，则3人间的房间数为______间． 【答案】(1)1600，1500 (2)甲、乙两户分别用天然气 (3)6 【分析】本题考查一元一次方程的应用．理解阶梯收费的计算方法是解决本题的关键． （1）若该家庭人口为3人，需要缴纳费用为：超过400立方米的立方数；若该家庭人口为4人，需要缴纳费用为：； （2）设甲户年用气量为，则乙户年用气量为(，根据甲户年用气量大于乙户年用气量可得甲户年用气量超过，那么乙户年用气量不足，进而根据甲、乙两户一共缴纳燃气费用3200元，列出方程求解即可； （3）设3人间有间，则4人间有间．根据为正整数，可得可能的整数值，那么可得3人间房间数和4人间房间数，根据用气标准得到3人间的年用气量和4人间的年用气量，进而判断出不同情况下的付费情况，比较后可得费用最低的宿舍分配方案． 【详解】（1）解：∵某家庭当年用气量为．该家庭人口为3人， ∴需缴纳燃气费用：(元)． ∵某家庭当年用气量为．该家庭人口为4人， ∴需缴纳燃气费用：(元)． 故答案为：1600，1500； （2）设甲用户的用气量为，则乙用户的用气量为． ∵甲户年用气量大于乙户年用气量， ， 解得：． ， ， 解得：． ， 答：甲、乙两户年用气量分别是； （3）设3人间有间，则4人间有间． ∵为正整数， ∴或． ∴人间有4间或1间． 3人间煤气用量为：， 4人间煤气用量为：． 3人间2间，4人间4间． 需缴纳燃气费用：(元)． 3人间6间，4人间1间． 需缴纳燃气费用：(元)． ， ∴要使该公司员工宿舍当年总天然气费最低，则3人间的房间数为6间． 故答案为：6． 题型17 古代问题（共3小题） 49．（2026·贵州贵阳·一模）《九章算术》“盈不足”章中有这样一个问题：“今有共买缣（jiān），人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、缣价各几何？”意思是：几个人打算合伙买缣（一种丝织品），如果每人出8钱，会多出3钱；如果每人出7钱，会少4钱．问合伙人数和缣的总价各是多少？设有x人合伙买缣，根据题意，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】等量关系是缣的总价不变，分别用表示出两种出钱方式下缣的总价，再令二者相等即可得到方程． 【详解】解：设有人合伙买缣， ∵每人出钱，多出钱， ∴缣的总价为 ． ∵每人出钱，还差钱， ∴缣的总价为 ． ∵总价相等， ∴可列方程 ． 50．（2026·辽宁丹东·二模）中国古代数学著作《九章算术》中有一道著名的“河上荡杯”题：“今有妇人河上荡杯，津吏问曰：杯何以多？妇人曰：家有客．津吏曰：客几何？”妇人曰：二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五，不知客几何？其大意是：一位农妇在河边洗碗，渡口的官员问：“你家里来了多少客人，要用这么多碗？”她答道：“客人每两位合用一只饭碗，每三位合用一只汤碗，每四位合用一只肉碗，一共洗了65只．”请问：她家里究竟来了多少位客人？设来了x位客人，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意分别求出三种碗的数量，根据总碗数为65只列出方程即可． 【详解】解：∵设来了位客人， 又∵客人每两位合用一只饭碗， 饭碗总数为只； ∵每三位合用一只汤碗， 汤碗总数为只； ∵每四位合用一只肉碗， 肉碗总数为只； ∵总碗数是65只，即三种碗的数量和为65， 可列方程 ． 51．（25-26七年级下·山西临汾·期中）有这样一道题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多三尺；若将绳四折测之，绳多一尺，问绳长、井深各几何？”题意：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳三尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺．问绳长和井深各多少尺？假设绳子长为x尺，则符合题意的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设绳长为尺，根据井深长度保持不变的等量关系，即可列出一元一次方程． 【详解】解：∵设绳子长为尺，将绳子折成三等份时，每等份长度为，每等份井外余绳尺， ∴井深可表示为， 同理，将绳子折成四等份时，每等份长度为，每等份井外余绳尺， ∴井深可表示为， ∵井深固定不变， ∴． 题型18 日历问题（共3小题） 52．（26-27七年级上·江苏镇江·期中）如图1是2025年12月的月历，数学老师在数学活动课上开展月历中的数学游戏． (1)任意框出图1某一列中相邻的3个数和为60，则中间的数为____________ (2)用图2框出图1中的3个数，若这3个数的和为48，则这3个数分别是______________； (3)用图3框出图1中的4个数，是否有可能这4个数的和是68？若有可能，求出这4个数：若不可能，请说明理由． 【答案】(1)20 (2)10，16，22 (3)解：这4个数的和不可能是68，理由如下： 设图3中左上角的数为t，则其他三个数分别为， 当时， 解得，不是整数， ∴这4个数的和不可能是68． 【分析】（1）设出中间的数，表示出其他两个数，再根据三个数的和为60建立方程求解即可； （2）设出中间的数，表示出其他两个数，再根据三个数的和为48建立方程求解即可； （3）设出左上角的数，表示出其他三个数，再根据四个数的和为68建立方程求解判断即可． 【详解】（1）解：设中间的数为x，则其他两个数分别为， 由题意得， 解得， ∴中间的数为20； （2）解：设图2中中间的数为y，则其他两个数分别为， 由题意得， 解得， ∴ ∴这三个数分别为10，16，22； （3）略 53．（25-26七年级上·辽宁大连·期末）生活中处处有数学，图1是2010年1月的月历，用一个正方形框出九个数． (1)在图1中用正方形框出和最大的九个数； (2)若框出的九个数之和是108，请求出最中间的数； (3)将自然数1至2010按图2的方式排列，按以上方式框出九个数，其和能为2010吗？若能，求出其中最小的数；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)解：不能，理由如下： 设框中最中间的数为x， 通过观察数字的排列规律可将一个框内的数写为 ， ∴一个框内所有数字之和为， 令，解得， ∵x为整数，故不符合题意， 故按以上方式框出九个数，其和不能为2010． 【分析】（1）找到一个框中所有数之和的规律，判断出和最大时框的位置． （2）找到一个框中所有数之和的规律，再结合和为列出方程即可． （3）找到一个框中所有数之和的规律，再结合和为列出方程，判断解是否符合题意即可． 【详解】（1）解：要求用一个正方形框出九个数，则最中间的数字应在第三行和第四行且不在第一列和第七列， 设最中间的数为x， 通过观察数字的排列规律可将一个框内的数写为 ， ∴一个框内所有数字之和为， 又∵（x为整数）， ∴当时框中所有数之和最大，即框中间的数为22， 图略； （2）解：由（1）得，令，解得，即最中间的数为12． （3）略. 54．（25-26七年级上·四川成都·期中）幻方起源于中国，月历常用于生活，它们有很多奥秘，探究并完成填空． 【主题】探究月历与幻方的奥秘 【活动一】 图1是某月的月历，用方框选取了其中的9个数． (1)移动方框，若方框中的部分数如图2所示，则b是______； (2)移动方框，若方框中的部分数如图3所示，则d是______；（用含n的式子表示d．） 【活动二】移动方框选取月历中的9个数，调整它们的位置，使其满足“三阶幻方”分布规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等． (3)若方框选取的数如图4所示，调整后，部分数的位置如图5所示，则e是______，f是______； (4)若方框选取的数中最小的数是n，调整后，部分数的位置如图6所示，则g是______（用含n的式子表示g）． 【活动三】对于三阶幻方，我们可以做进一步探索研究． (5)如图7，是一个未完成的“三阶幻方”，则______． (6)如图8，是一个未完成的“三阶幻方”，则______． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）根据月历中同一列相邻两数相差7求解； （2）根据月历中同一列相邻两数相差7求解； （3）根据图5第二列求出幻和，利用幻和列方程求解； （4）表示出9个数的和，求出幻和，利用第二行和等于幻和列方程求解； （5）利用三阶幻方的性质求解； （6）设中心数为，利用第三行和等于第三列和求出右上角的数，再利用副对角线和等于幻和求出中心数，进而求出和； 【详解】（1）解：由图1可知，月历中同一列相邻两个数相差7， ； （2）解：由图1可知，月历中同一列相邻两个数相差7， ； （3）解：图5中第二列三个数之和为， 幻方中每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都等于30， 由图5可知，第一行， 解得， 主对角线， 解得； （4）解：这9个数分别为， 它们的和为， 幻和为， 由图6可知，第二行， 解得； （5）解：设中心数为， ， ， ； （6）解：设中心数为，则幻和为，设右上角的数为， 第三行的和等于第三列的和， ， 解得， 副对角线上的三个数之和等于幻和， ， 解得， 幻和为， ，解得， 主对角线上的三个数之和等于幻和， ，解得， ． 拔高·压轴破难 题型19 一元一次方程的含参综合（共3小题） 55．（25-26七年级上·陕西西安·期末）已知关于的方程有整数解，且是整数，则所有满足条件的值的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的整数解问题，关键是分情况讨论的取值；先将方程的解用含的式子表示，再根据为整数、为整数的条件，确定是的约数，进而找出所有符合条件的值并求和． 【详解】解：∵， ∴去括号得：， 移项合并同类项得：， ∴， ∵是整数，是整数， ∴是的整数约数，即， ①当时，，解得（整数，符合条件）； ②当时，，解得（非整数，舍去）； ③当时，，解得（非整数，舍去）； ④当时，，解得（整数，符合条件）； ∴满足条件的值为和，其和为， 故选：C． 56．（25-26七年级上·天津南开·期中）定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为美好方程．若关于x的方程与是“美好方程”，则关于y的方程的解是（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程．先求出两个方程的解，然后根据“美好方程”的定义将关于y的方程变形，即可求解． 【详解】解：， 解得：， ， 方程与是“美好方程”， ∴方程的解是， 可化为：， ， ， 故选：B． 57．（25-26七年级上·山东青岛·期中）如果两个一元一次方程的解相同，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．若无论k取任何有理数，关于x的方程（a、b为常数）与方程为“美好方程”，则的值为（        ） A．12 B． C．20 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的解．先求出方程的解，然后代入另一个方程，利用恒成立条件求出和的值． 【详解】解：解方程得． ∵无论取任何有理数，方程与方程均为“美好方程”， ∴对于所有有理数，方程的解均为． 将代入方程：， 化简得：， 两边同乘6：， 即：， 移项：， 整理：， ∵该式对任意有理数恒成立， ∴且， 解得：，， ∴． 故选：B． 题型20 解绝对值方程（共3小题） 58．（25-26九年级上·浙江宁波·自主招生）关于的方程恰好有三个根，则实数的值为（   ） A． B．3 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查含绝对值的方程，通过分析方程的解的情况，根据绝对值方程的性质，讨论参数的取值对根数量的影响． 【详解】解：由题意得， ∴， ∵方程恰好有三个根， ∴或， 当时，原方程化为或。 方程无解，方程有一解，故原方程只有1个根，不合题意； 当时，原方程化为或。 由得或；由得，故原方程有3个根，符合题意； 综上，， 故选：D． 59．（25-26九年级下·广东东莞·自主招生）关于的方程所有解的和为________． 【答案】 【分析】根据绝对值的性质，从外层开始逐层去掉绝对值，利用绝对值的非负性舍去不符合条件的结果，最终得到（），计算两个解的和即可． 【详解】解：原方程，由绝对值等于零的性质，得， 逐层去绝对值，根据绝对值的非负性，每一步取正号，对任意第步（），去掉绝对值后可得前一层表达式的值为， 因为，不符合绝对值的非负性，舍去， 仅保留正结果， 最终推得， 设，则， 解得，， 所有解的和为． 60．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）已知，则___． 【答案】8 【分析】本题考查解绝对值方程，分与两种情况，根据绝对值的意义将方程转化为一元一次方程，求解并检验即可． 【详解】解：当时，原方程可化为， 解得， 当时，原方程可化为， 解得， 此时，不符合， 所以不符合题意，舍去， 所以x的值为8． 故答案为：8． 题型21 一元一次方程的实际应用压轴（共3小题） 61．（25-26七年级下·河南南阳·期中）如图，在长方形中，，E是的中点，动点P从D点出发，以每秒的速度沿运动，最终到达点E．若点P运动的时间为x秒，那么当的面积等于时，x的值为______． 【答案】4或 【分析】分三种情况：当点P在边上，当点P在边上时，当点P在边上时，解答即可． 【详解】解：∵在长方形中，， ∴， ∵E是的中点， ∴， 当点P在边上，，则，此时， ， ∵的面积等于 ∴， 解得：； 当点P在边上时，，此时， ， ∵的面积等于 ∴， 解得：； 当点P在边上时，，此时， ， ∵的面积等于 ∴， 解得：（不符合题意）； 综上所述，x的值为4或． 62．（25-26七年级上·山西吕梁·期末）综合与探究 七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”． 探究“折线数轴” 素材 如图，将一条数轴在原点、点、点处折一下，得到一条“折线数轴”（原对应关系不变）．图中点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是．在“折线数轴”上，两点之间的“友好距离”定义为这两点表示数之差的绝对值，如：点与点在“折线数轴”上的“友好距离”为：，并表示为，计算距离是沿折线路径累加，而非直线距离．    素材 动点从点出发，以个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动，当运动到点与点之间时，速度变为初始速度的，当运动到点与点之间时，速度变为初始速度的倍，经过点后立刻恢复初始速度． 素材 在动点运动的同时，动点从点出发，以个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向负方向运动，且经过折点，，时速度始终保持不变． 问题解决 (1)探究 与点的“友好距离”等于的点在线段 上．动点从点运动至点需要多少时间？ (2)探究 动点从点出发，运动秒至点和点之间时，求点表示的数．（用含的代数式表示） (3)探究 当，两点分别同时从点、点出发，求，两点正好相遇时的时间，并且直接写出此时相遇点在数轴上所表示的数． 【答案】(1)或； (2) (3)，两点正好相遇时的时间为秒，此时相遇点在数轴上所表示的数为 【分析】（1）设该点表示的数为，则，解得或，再结合题意分析即可得出结果；根据速度路程时间，计算即可得出结果； （2）由（1）可得，当点从点出发时，运动时间为秒，由此即可表示出点表示的数； （3）分情况讨论，根据题意列出关于的一元一次方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：设该点表示的数为，则， 解得或， ∵点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是， ∴在线段上，在线段上， ∴与点的“友好距离”等于的点在线段或上； ∵动点从点出发，以个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动，当运动到点与点之间时，速度变为初始速度的， ∴动点从点运动至点需要（秒）； （2）解：∵动点从点出发，以个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动，当运动到点与点之间时，速度变为初始速度的，当运动到点与点之间时，速度变为初始速度的倍， ∴由（1）可得， ∴当点从点出发时，运动时间为秒， ∴点表示的数为； （3）解：当时，点在上运动，点在上运动，不会相遇； 当时，点在上运动，点在上运动，不会相遇； 当时，点在上运动，点在上运动，会相遇； 由（2）可得点表示的数为， ∵动点从点出发，以个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向负方向运动，且经过折点，，时速度始终保持不变， ∴此时点表示的数为， ∴， 解得， 此时相遇点在数轴上所表示的数为； 当时，点在上运动，点在或或上运动，不会相遇； 综上所述，，两点正好相遇时的时间为秒，此时相遇点在数轴上所表示的数为． 63．（26-27七年级·全国·小升初衔接）一水果店主分两批购进某一种水果．第一批所用资金为2400元，因天气原因水果涨价，第二批所用资金是2700元．由于第二批每箱单价比第一批单价多10元，以致购买的数量比第一批少． (1)该水果店主购进两批水果的单价分别是多少元？ (2)该水果店主计划两批水果的售价均定为每箱40元，实际销售时按计划无损耗售完第一批后，发现第二批水果品质不如第一批，于是该店主将售价下降销售，结果还是出现了的损耗，但这两批水果销售完后仍赚了1716元，求a的值． 【答案】(1)第一批水果的单价是20元，第二批水果的单价是30元． (2)30 【分析】（1）设第一批购进每箱单价为元，则第二批每箱单价为元，根据第二批数量比第一批少，列方程求解． （2）先根据（1）中的单价得出第一批的数量是120箱，且第一批无损耗则收入是4800元；第二批的数量90箱，但是出现了的损耗，即售出数量为购进数量的，则只能卖出72箱．售价下降，即售价为元．总收入减去总成本等于利润1716元，列方程求解． 【详解】（1）解：设第一批购进每箱单价为元，则第二批每箱单价为元， 根据题意可得：，即， 解得：， 第二批单价：（元）， 答：第一批水果的单价是20元，第二批水果的单价是30元． （2）解：第一批水果的购买数量：（箱）， 第一批水果的无损耗收入：（元）， 第二批水果的购买数量：（箱）， 第二批水果的售出数量：（箱）， 成本：（元）， 根据题意可得：， 解得：， 答：的值是30． 题型22 一元一次方程的动点问题（共3小题） 64．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图①，点为数轴原点，，正方形的边长为，边在数轴上．点从点出发，沿射线方向运动，速度为每秒个单位长度，设运动时间为秒，回答下列问题． (1)点对应的数为________，点对应的数为________； (2)如图②，在点运动过程中，在数轴上作线段，点在点右侧，以为边向上作正方形，连结、． ①点对应的数为________；（用含的式子表示） ②当的面积为时，求的值； ③当正方形与正方形重叠面积为的面积倍，直接写出的值． 【答案】(1)2，8 (2)①②或③或 【分析】（1）根据题意可知点对应的数，结合正方形的边长即可知，由即可求得点对应的数； （2）①根据题意知，结合即可； ②由正方形得知，那么，解得，分当点在点左侧时，，当点在点右侧时，，分别求得即可； ③由正方形得，分当点在点左侧和右侧，分别求得，进一步求得，再次求得重叠部分的宽度，则有正方形与正方形重叠面积，结合题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴点对应的数为2， ∵正方形的边长为， ∴， ∴， 则点对应的数为8； （2）解：①根据题意知，， ∵， ∴， ②∵正方形的边长为， ∴， ∵的面积为， ∴，解得， 当点在点左侧时，，解得； 当点在点右侧时，，解得； ③∵正方形， ∴， 当点在点左侧时，，则， 重叠部分的宽度为， 则正方形与正方形重叠面积为， ∵正方形与正方形重叠面积为的面积倍， ∴，解得； 当点在点右侧时，，则， 重叠部分的宽度为， 则正方形与正方形重叠面积为， ∵正方形与正方形重叠面积为的面积倍， ∴，解得． 65．（25-26七年级上·陕西西安·期中）如图，在数轴上点O是数轴原点，A到O的距离为10，B到O的距离为6． (1)点A表示的数为________，点B表示的数为________，A，B两点之间的距离为________． (2)点C是数轴上一点，且满足点A与点C之间的距离是点B与点C之间距离的2倍，则点C在数轴上表示的数为________． (3)在点B处有两只电子蚂蚁P、Q，蚂蚁P以每秒2个单位长度的速度向右移动，当蚂蚁P移动到O点时，蚂蚁Q才从B点出发，并以每秒4个单位长度的速度向右移动，设蚂蚁P移动的时间为t秒，问：当t为多少时，P、Q两只蚂蚁相距4个单位长度？ 【答案】(1)点A表示的数为10，点B表示的数为，A，B两点之间的距离为16 (2)C在数轴上表示的数为或 (3)当为秒、秒或秒时，P、Q相距4个单位长度 【分析】（1） 根据点在原点左右直接读出数值，用距离公式算AB长度； （2）设C表示数，由距离倍数关系列绝对值方程分三种情况求解； （3） 先求出到的时间，分（未出发）、（已出发）两段，写出P，Q对应数，根据距离为 4 列方程计算． 【详解】（1）解：∵ A在原点右侧，， 表示10； 在原点左侧，， 表示； ． ∴点A表示的数为10，点B表示的数为，A，B两点之间的距离为16． （2）解：设点表示的数为，由题意得 ． ① 当时：， ， ∴； ② 当时：， ， ， ∴； ③ 当时：， ， （舍去，不在此区间）． 故C在数轴上表示的数为或． （3）解：从到用时：秒，分两段讨论． 秒时，对应的数：． ① ，未出发，在： ， ， （）， ∴； ② ，出发时长为秒，对应数：， ， ， 或 ， 解得：或 综上，当为秒、秒或秒时，P、Q相距4个单位长度． 66．（25-26七年级上·江苏南通·期中）如图，数轴上有，两点，，之间距离为12，原点在，之间，到的距离是到距离的两倍，则 (1)点表示的数为_____________，表示的数为_____________； (2)若点是，之间的一点，且满足到原点的距离与到的距离之和等于到的距离，则点所表示的数为_____________； (3)若动点，分别从，同时出发，向右运动，点的速度为每秒2个单位长度，点的速度为每秒1个单位长度，设运动时间为秒，当点与点重合时，，两点停止运动． ①设到的距离为，到的距离为，当为何值时，； ②当点到达点时，动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度也向右运动，当点追上点后立即返回，以同样的速度向点运动，遇到点后再立即返回，以同样的速度向点运动，如此往返，直到点，停止时，点也停止运动，求在此过程中，点行驶的总路程和点最后位置在数轴上对应的数． 【答案】(1)，4 (2) (3)①1.6秒或8秒；②点M行驶的总路程为24和点M最后位置在数轴上对应的实数为16 【分析】（1）由可知，将12平均分成三份，占两份为8，占一份为4，由图可知，A在原点的左边，B在原点的右边，从而得出结论； （2）分两种情况：①点C在原点的左边，即在线段上时，②点C在原点的右边，即在线段上时，分别根据列式即可； （3）①分两种情况：点P在原点的左侧和右侧时，表示的代数式为：（左侧）或（右侧），，分别代入列式即可求出t的值； ②点M运动的时间就是点P从点O开始到追到点Q的时间，设点M运动的时间为t秒，列式为，解出即可解决问题． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴A点所表示的实数为，B点所表示的实数为4； （2）解：设C点所表示的实数为x， 分两种情况：①点C在线段上时，则，如图1， ∵， ∴， 解得：； ②点C在线段上时，则，如图2， ∵， ∴， 解得（不符合题意，舍去）； 综上所述，C点所表示的实数是； （3）解：①当时，如图3， ，，，， ∵， ∴， 解得：， 当点P与点Q重合时，如图4， ，， 当时，如图5， ，， 则， 解得：， 综上所述，当t为1.6秒或8秒时，； ②当点P到达点O时，，此时，，即点Q所表示的实数为8， 如图6，设点M运动的时间为t秒， 由题意得：， 解得：， 此时，点P表示的实数为，所以点M表示的实数也是16， ∴点M行驶的总路程为：， 答：点M行驶的总路程为24和点M最后位置在数轴上对应的实数为16． 题型23 一元一次方程的新定义问题（共3小题） 67．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）定义：若关于的方程的解为，则称这样的方程为“元宵方程”．例如：的解为，而．则方程为“元宵方程”． (1)方程是“元宵方程”吗？请说明理由． (2)若，有符合要求的“元宵方程”吗？若有，求出该方程的解；若没有，请说明理由． (3)若关于的方程为“元宵方程”，请解关于的方程：． 【答案】(1)方程是“元宵方程”， 解：解方程，得， 又∵， ∴方程是“元宵方程”． (2)有，该方程的解为 (3) 【分析】本题根据“元宵方程”的定义解题，核心思路为：对于，若方程的解满足，则为元宵方程． （1）先求解给定方程，再计算，对比验证即可； （2）根据元宵方程的定义建立关于的等式，代入求出，再得到方程的解； （3）先根据元宵方程的定义推导出，代入关于的方程化简求解． 【详解】（1）略 （2）解：若是“元宵方程”，则满足方程的解， 又∵的解为， ∴代入得：， 解得，因此存在符合要求的“元宵方程”， ∴方程的解为． （3）解：∵是“元宵方程”， ∴，整理得， 将代入关于的方程得：， 解得． 68．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）定义：若，分别是关于x的方程P、方程Q的解，且（n为非零常数），则称方程P是方程Q的“n阶伴生方程”．例如：方程的解是，方程的解是，且，则称方程是方程的“1阶伴生方程”． (1)下列方程中是的“2阶伴生方程”的是________（填写序号即可）； ①；②；③； (2)若方程是关于x的方程的“4阶伴生方程”，求k的值； (3)对任意满足的值，关于x的方程都是方程的“n阶伴生方程”，试判断的值是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1)① (2) (3)的值是定值，定值为 【分析】（1）先求出方程的解，再根据“2阶伴生方程”的定义求出对应方程的解，逐一验证； （2）分别求出两个方程的解，再根据“4阶伴生方程”的定义列方程求的值； （3）分别求出两个方程的解，根据“n阶伴生方程”的定义得到关于、的等式，进而判断是否为定值． 【详解】（1）解：∵， ∴． 由“2阶伴生方程”定义，得，则． ①解 ， ，符合； ② ， ，不符合； ③ ， ，不符合． 故答案为：①； （2）解：∵， ∴． ∵，， ∴． 由“4阶伴生方程”定义，得， 解得； （3）解：， 去分母：， ∴． ， ， ， ， ∵， ∴． 由题意，（为定值） ， ， ， 则． 由，得，代入， ， ， ， 故当任意满足的值，的值是定值，定值为． 69．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”． 例如：方程和为“和谐方程”． (1)若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值； (2)若“和谐方程”的两个解的差为4，其中一个解为，求的值； (3)若无论取任何有理数，关于的方程（，为常数）与关于的方程都是“和谐方程”，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查一元一次方程，解题的关键是根据“和谐方程”的定义，一元一次方程的解，进行解答即可． （1）解出和的解，再根据“和谐方程”的定义列式即可． （2）根据“和谐方程”的定义，则一个方程的解为：；另一个方程的解为：，分成两种情况即可求解． （3）先解出的解，再根据“和谐方程”的定义可得，即可列式求解和的值，代入即可求解． 【详解】（1）解：∵， 解得：， ∵， ∴， ∵与方程是“和谐方程”， ∴， ∴． （2）解：∵“和谐方程”的两个解的差为，其中一个解为， ∴另一个方程的解为：， ∴或， 解得：或， ∴的值为或． （3）解：∵， ∴， ∴方程的解为：， ∴， ∴， ∴， ∵取任何有理数上式都成立， ∴， 解得：， ∴． $ 专题08 一元一次方程（23大题型69题） 基础·固本强基 题型1 等式的性质 题型2 方程与方程的解 题型3 一元一次方程的定义 题型4 解一元一次方程 题型5 一元一次方程的简单含参问题 题型6 一元一次方程的实际应用 提升·进阶突破 题型7 已知方程的解求参数（重点） 题型8 解复杂的一元一次方程（重点） 题型9 已知一元一次方程的解求参数（重点） 题型10 一元一次方程解的关系（重点） 题型11 绝对值方程（重点） 题型12 配套问题（重点） 题型13 销售盈亏问题（重点） 题型14 方案选择问题（重点） 题型15 几何问题（重点） 题型16 水电费问题（重点） 题型17 古代问题 题型18 日历问题 拔高·压轴破难 题型19 一元一次方程的含参综合（难点） 题型20 解绝对值方程（难点） 题型21 一元一次方程的实际应用压轴（难点） 题型22 一元一次方程的动点问题（难点） 题型23 一元一次方程的新定义问题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 等式的性质（共3小题） 1．（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期中）下列变形符合等式性质的是 （    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 2．（25-26七年级下·福建泉州·期中）下列是根据等式的性质进行变形，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（25-26七年级下·湖南衡阳·期中）在中，用含的代数式表示，可得______． 题型2 方程与方程的解（共3小题） 4．（2025七年级上·江苏连云港·专题练习）是关于x的一元一次方程，则m的取值范围__________ ． 5．（25-26七年级上·全国·单元复习）有下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，x＝2是其解的方程有_______．（填序号） 6．（24-25七年级上·江苏常州·期末）下列数中，是方程的解的是（   ） A． B．2 C． D．1 题型3 一元一次方程的定义（共3小题） 7．（25-26七年级下·吉林长春·期中）已知是关于的一元一次方程，则的值为__________． 8．（25-26七年级下·河南周口·期中）下列各式中，属于一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 9．（25-26七年级上·河北唐山·期末）已知方程是关于x的一元一次方程，则m的值是______． 题型4 解一元一次方程（共3小题） 10．（25-26七年级上·江苏南京·期中）解方程： (1)； (2)． 11．（2026七年级上·江苏淮安·专题练习）解方程： (1)； (2)． 12．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）解方程： (1)； (2)． 题型5 一元一次方程的简单含参问题（共3小题） 13．（25-26七年级上·四川广元·期末）已知关于的方程的解是，则的值为________． 14．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）若是关于的一元一次方程的解，则________． 15．（25-26七年级上·辽宁铁岭·期末）小明在做作业时不小心将方程中的一个常数污染了，他翻开书后的答案，得知该方程的解是，则“”处被污染的常数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型6 一元一次方程的实际应用（共3小题） 16．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）某地居民用水收费标准如下表： 家庭每年用水量 收费标准 不超过的部分 3元 超过但不超过的部分 4元 超过的部分 6元 小亮家去年缴水费980元，他家去年实际用水量是多少？ 17．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）三阶幻方又叫九宫格，它是由九个数字组成的一个三行三列的矩阵．三阶幻方有“和幻方”和“积幻方”之分．“和幻方”，指其每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数字之和均相等；“积幻方”，指其每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数字之积均相等． (1)如图1是一个“和幻方”，则_____，_____； 2 6 5 8   图1 (2)如图2是一个“积幻方”，求的值． 2 2 m n    图2 18．（2024七年级上·江苏徐州·专题练习）甲乙两地相距60千米，小明8点乘车从甲地出发去乙地，前一半时间平均速度是每分钟1千米，后一半时间平均速度是每分钟0.8千米，小明经过多少分钟到达乙地？ 提升·进阶突破 题型7 已知方程的解求参数（共3小题） 19．（25-26七年级上·山东济宁·期末）某书上有一道解方程的题：，■处在印刷时被油墨盖住了，查后面的答案知这个方程的解是，那么■处的数字是______． 20．（25-26七年级上·河北邯郸·期末）已知方程的解满足，则的值为（　　）． A． B． C． D． 21．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）下图是苏科版教材七年级数学上册的部分内容． 求代数式的值，其中，． 卡通人物的话语中体现了“整体代换”的数学思想方法．“整体代换”能帮助我们把复杂的式子“打包”成一个整体，让运算变得简单清晰．请运用“整体代换”的思想方法解决以下问题． (1)解决上图中的问题； (2)当时，．当时，求代数式的值； (3)若关于的方程的解是，则关于的方程的解是______． 题型8 解复杂的一元一次方程（共3小题） 22．（25-26七年级上·河南郑州·期中）解下列方程： (1) (2) 23．（25-26七年级下·辽宁盘锦·期中）解方程： (1) (2)． 24．（25-26六年级下·山东泰安·期中）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型9 已知一元一次方程的解求参数（共3小题） 25．（25-26七年级下·重庆·期中）已知代数式，，解答下列问题： (1)若，则为何值时，代数式与相等？ (2)若关于的方程的解使得，两个代数式的值互为相反数，求的值． 26．（25-26七年级下·山西晋城·期末）阅读与思考 请认真阅读并完成相应的任务． 规定：如果将两个一元一次方程的解相减，差的绝对值为Q，我们称这两个方程为“值Q方程”． 例题分析：例如：方程的解是， 方程的解是， ∵， ∴方程与方程是“值3方程”． 任务： (1)①方程和方程是不是“值1方程”？________________（选填“是”或“不是”）； ②方程和方程是“值________________方程”． (2)若关于x的一元一次方程和是“值2方程”，求a的值． 27．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）若关于的方程的解是负整数，且也是整数，则满足条件的所有的值为_________． 题型10 一元一次方程解的关系（共3小题） 28．（2026·江苏苏州·二模）定义：若两个一元一次方程的解之和为3，我们就称这两个方程互为“方程”，其中一个方程是另一个方程的“方程”．请写出方程的一个“方程”：__________． 29．（25-26七年级下·四川宜宾·期中）若关于x的一元一次方程的解为，则关于t的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 30．（25-26七年级上·湖南益阳·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为0，我们就称这两个方程为“互补方程”，例如：和为“互补方程”． (1)方程与方程_____“互补方程”．(请填入“是”或“不是”) (2)若关于的方程与方程是“互补方程”，求的值． (3)若关于的方程与是“互补方程”，求的值，及关于的方程的解． 题型11 绝对值方程（共3小题） 31．（2026七年级上·江苏·专题练习）解方程： 32．（25-26七年级下·全国·单元复习）解下列方程： (1)； (2)． 33．（25-26七年级下·山西临汾·期中）阅读与思考阅读下列材料，完成后面任务． 我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”． 如：，，…都是含有绝对值的方程．怎样求含有绝对值的方程的解呢？ 基本思路：含有绝对值的方程→不含有绝对值的方程． [例]解方程：． 解：根据绝对值的意义，得或． 解这两个一元一次方程，得或． 任务： (1)解方程：． (2)解方程：． 题型12 配套问题（共3小题） 34．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知一个水分子模型教具需要一个氧原子模型和两个氢原子模型组装配套，某工厂现有20名工人，每人每小时平均生产60个氧原子模型或80个氢原子模型．若使每小时生产出的氧原子模型和氢原子模型组装配套，则生产氧原子模型的工人有________名． 35．（25-26七年级下·海南海口·期中）某眼镜厂家的一个车间共有22名工人生产镜片和镜架，每人每天生产12个镜架或20片镜片，一副镜架要配两个镜片，此车间为了使每天生产的产品刚好配套． (1)应该如何分配工人才能使每天生产的镜架和镜片恰好配套？ (2)若每副眼镜的成本为150元，该车间每天生产的眼镜的总成本为多少元？ 36．（25-26六年级下·山东东营·期末）材料题 问题背景 某水果加工厂收购了29吨黄桃，经市场预测，销售方式及利润如表： 销售方式 包装销售 制成罐头销售 每吨利润（万元） 0.4 0.6 加工能力 每天可包装5吨或制成罐头3吨（包装和加工前后质量不变），同一天内两种加工方式不可同时进行．部分制成罐头，其余进行直接包装售卖，并恰好7天完成． 公司费用 该加工厂计划将罐头运输到市场售卖．运输公司费用如下： 运输公司 运输单价 每吨装卸费 甲 每吨每千米5元 50元 乙 每吨每千米6元 30元 问题解决 (1)该工厂有多少吨黄桃制成罐头？ (2)若乙公司总费用比甲公司多243元，则水果加工厂到市场的距离为多少千米． 题型13 销售盈亏问题（共3小题） 37．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）某水果店用2700元购进香水梨、大枣两种水果共300千克．这两种水果的进价、标价如表所示： 品种 香水梨 大枣 进价（元/千克） 7 10 标价（元/千克） 10 14 (1)这两种水果各购进多少千克？ (2)若香水梨按标价的八折出售，大枣也减价出售，则这两种水果全部售出后，在不损耗的前提下，想要获利，大枣每千克应降价多少元出售？ 38．（25-26七年级上·河北廊坊·期末）某商场从厂家购进了甲、乙两种商品，甲种商品的每件进价比乙种商品的每件进价少30元．若购进甲种商品4件，乙种商品5件，需要870元． (1)求甲、乙两种商品的每件进价分别是多少元？ (2)该商场从厂家购进了甲、乙两种商品共50件，所用资金恰好为4600元．在销售时，甲种商品的每件售价为100元，要使得这50件商品全部售出后，所获利润是总进价的．①求甲、乙两种商品各多少件？②求出乙种商品的每件售价为多少元？ 39．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）我市某水果批发市场苹果的价格如下表： 购买苹果（千克） 不超过20千克 20千克以上但不超过40千克 40千克以上 每千克的价格 6元 5元 4元 (1)李明分两次共购买苹果40千克，第二次购买的数量多于第一次购买的数量，共付216元，若设第一次购买千克，列出正确的方程是_____________________． A．             B． C．             D． (2)张强分两次共购买苹果100千克，第二次购买的数量多于第一次购买的数量，且两次购买每千克苹果的单价不相同，共付出432元，请问张强第一次，第二次分别购买苹果多少千克？（列方程解应用题） 题型14 方案选择问题（共3小题） 40．（25-26七年级上·全国·期中）学校组织同学们春游，若每辆汽车坐45人，则有28人没有座位；若每辆汽车坐50人，则只有1辆汽车空12个座位无人坐，其余车辆全部坐满．共有________辆汽车，共有________人春游． 41．（24-25七年级上·福建福州·期末）根据下表素材，完成表中的任务． 探究优惠购物问题 素材1 某校重视学生的课外体育活动，打算在某商店采购一批篮球和跳绳，已知篮球的单价比跳绳的单价的5倍多10元，购买2个篮球与购买11条跳绳所花的钱一样多． 素材2 该商店给学校提供以下两种优惠方案： 方案①：篮球和跳绳都按单价的折付款； 方案②：买一个篮球送一条跳绳． 现学校要购买篮球30个，跳绳条． 问题解决 任务1 求篮球的单价与跳绳的单价各是多少？ 任务2 当跳绳a购买多少条时，使用方案①，方案②购买篮球和跳绳的总费用相同？ 任务3 若两种优惠方案可同时使用，当时，请你通过计算给出更省钱的购买方案． 42．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）为持续深入推进“双减”工作，拓展丰富课后服务资源，满足学生兴趣特长发展需求，某校决定购买一批篮球和排球供学生兴趣课使用．每个排球比篮球便宜30元，4只篮球与6只排球的费用一样． (1)求出篮球和排球的单价； (2)经市场调查发现：甲商场优惠方案是：每购买10只篮球送一个排球；乙商场优惠方案是：若购买篮球超过50只，则购买排球打八折．若该校购买100只篮球和a只排球（其中且为整数），则当购买的排球数a为何值时，在两家商场购买所需的费用一样． 题型15 几何问题（共3小题） 43．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）如图，在长方形中，，，，点在边上，且，动点从点出发，以1个单位/秒的速度沿路径运动，同时动点从点出发，以2个单位/秒的速度沿路径运动，当其中一点停止时，另一个点也随之停止，设点、运动的时间为秒． (1)当秒时，线段______； (2)当点在边上运动时，若，求的值； (3)在点、运动过程中，是否存在某一时刻，使得四边形的面积为15？若存在，求出所有符合条件的的值；若不存在，请说明理由． 44．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）如图1，在数轴上有A，B两点，点A表示的数为4，点B在A点的左边，且，若有一动点P从数轴上点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动．若点P，Q分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t秒． (1)写出数轴上点B表示的数为________，P所表示的数为________（用含t的代数式表示）． (2)点P运动多少秒与Q相距3个单位长度？ (3)如图2，分别以和为边，在数轴上方作正方形和正方形，如图所示，求当t为何值时，两个正方形的重叠部分面积是正方形面积的一半？ 45．（24-25七年级上·浙江金华·期末）已知正方形甲和长方形乙的周长相等，将它们分别按下图方式放置在同一个大长方形内（两种方式均有重叠）．按图1放置时，阴影部分①和②的周长之和为；按图2放置时，阴影部分③和④的周长之和为．若，，则正方形甲的边长为（    ） A． B．7 C．7.5 D．8 题型16 水电费问题（共3小题） 46．（25-26七年级上·甘肃定西·期末）某县政府今年对居民用水实行分层收费如下表： 每户每月用水量 水费/（元/立方米） 不超过22立方米 2.3 超过22立方米且不超过30立方米的部分 a 超过30立方米的部分 4.6 (1)若小华家今年1月份用水量是20立方米，则他家应缴费______元．（直接填写答案即可） (2)若小华家今年2月份用水量是26立方米，缴费62.6元，请求出用水量在22~30立方米之间的收费标准a元/立方米． (3)在（2）的条件下，若小华家今年8月份用水量增大，共缴费97.6元，则他家8月份用水量是多少立方米？ 47．（25-26七年级下·山东济南·期中）某地政府为鼓励节约用电，采用阶梯式电价计量标准．根据每户居民每月的用电量（用电量均为整数，单位：千瓦·时）分为三档进行收费（第一档：月用电量不高于240千瓦·时．第二档： 月用电量为千瓦·时，第三档： 月用电量超过 400 千瓦·时）．设居民每月应交电费y（元） ，用电量为x（千瓦·时） 用电量（千瓦·时） 收费（元） 不超过 240 千瓦·时 每千瓦·时 元 千瓦·时 每千瓦·时 元 超过 400千瓦·时 超过的部分每千瓦·时 元 (1)①每月用电量不超过240千瓦·时，y= ； ②每月用电量超过 400千瓦·时，y= ． (2)若某户居民用电量为210千瓦·时，则应交电费多少元? (3)若某户居民某月交费210元，则该户居民用电多少千瓦·时? 48．（25-26七年级下·江苏南京·期末）某地天然气收费方案如下： 阶梯 年用气量 价格 补充说明 第一阶梯 （含400）的部分 3元/ 当家庭人口超过3人时，每增加1人，第一、二阶梯年用气量上限将分别增加，同时，第二、三阶梯年用气量下限随之调整，每一阶梯的价格保持不变． 第二阶梯 （含800）的部分 4元/ 第三阶梯 以上的部分 5元/ (1)某家庭当年用气量为．若该家庭人口为3人，则需缴纳燃气费用______元；若该家庭人口为4人，则需缴纳燃气费用______元． (2)甲户家庭人口为3人，乙户家庭人口为4人．某年甲、乙两户年用气量之和为，甲户年用气量大于乙户年用气量．已知甲、乙两户一共缴纳燃气费用3200元，求甲、乙两户年用气量分别是多少？ (3)某公司共有22名员工，员工宿舍有3人间和4人间两种类型的房间可供选择，且员工所选择的房间必须住满．结算天然气费用时，将每间宿舍视作一户家庭，收费标准按上表进行收费．假定每位员工的年用气量为，要使该公司员工宿舍当年总天然气费最低，则3人间的房间数为______间． 题型17 古代问题（共3小题） 49．（2026·贵州贵阳·一模）《九章算术》“盈不足”章中有这样一个问题：“今有共买缣（jiān），人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、缣价各几何？”意思是：几个人打算合伙买缣（一种丝织品），如果每人出8钱，会多出3钱；如果每人出7钱，会少4钱．问合伙人数和缣的总价各是多少？设有x人合伙买缣，根据题意，可列方程为（     ） A． B． C． D． 50．（2026·辽宁丹东·二模）中国古代数学著作《九章算术》中有一道著名的“河上荡杯”题：“今有妇人河上荡杯，津吏问曰：杯何以多？妇人曰：家有客．津吏曰：客几何？”妇人曰：二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五，不知客几何？其大意是：一位农妇在河边洗碗，渡口的官员问：“你家里来了多少客人，要用这么多碗？”她答道：“客人每两位合用一只饭碗，每三位合用一只汤碗，每四位合用一只肉碗，一共洗了65只．”请问：她家里究竟来了多少位客人？设来了x位客人，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 51．（25-26七年级下·山西临汾·期中）有这样一道题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多三尺；若将绳四折测之，绳多一尺，问绳长、井深各几何？”题意：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳三尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺．问绳长和井深各多少尺？假设绳子长为x尺，则符合题意的方程为（   ） A． B． C． D． 题型18 日历问题（共3小题） 52．（26-27七年级上·江苏镇江·期中）如图1是2025年12月的月历，数学老师在数学活动课上开展月历中的数学游戏． (1)任意框出图1某一列中相邻的3个数和为60，则中间的数为____________ (2)用图2框出图1中的3个数，若这3个数的和为48，则这3个数分别是______________； (3)用图3框出图1中的4个数，是否有可能这4个数的和是68？若有可能，求出这4个数：若不可能，请说明理由． 53．（25-26七年级上·辽宁大连·期末）生活中处处有数学，图1是2010年1月的月历，用一个正方形框出九个数． (1)在图1中用正方形框出和最大的九个数； (2)若框出的九个数之和是108，请求出最中间的数； (3)将自然数1至2010按图2的方式排列，按以上方式框出九个数，其和能为2010吗？若能，求出其中最小的数；若不能，请说明理由． 54．（25-26七年级上·四川成都·期中）幻方起源于中国，月历常用于生活，它们有很多奥秘，探究并完成填空． 【主题】探究月历与幻方的奥秘 【活动一】 图1是某月的月历，用方框选取了其中的9个数． (1)移动方框，若方框中的部分数如图2所示，则b是______； (2)移动方框，若方框中的部分数如图3所示，则d是______；（用含n的式子表示d．） 【活动二】移动方框选取月历中的9个数，调整它们的位置，使其满足“三阶幻方”分布规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等． (3)若方框选取的数如图4所示，调整后，部分数的位置如图5所示，则e是______，f是______； (4)若方框选取的数中最小的数是n，调整后，部分数的位置如图6所示，则g是______（用含n的式子表示g）． 【活动三】对于三阶幻方，我们可以做进一步探索研究． (5)如图7，是一个未完成的“三阶幻方”，则______． (6)如图8，是一个未完成的“三阶幻方”，则______． 拔高·压轴破难 题型19 一元一次方程的含参综合（共3小题） 55．（25-26七年级上·陕西西安·期末）已知关于的方程有整数解，且是整数，则所有满足条件的值的和为（   ） A． B． C． D． 56．（25-26七年级上·天津南开·期中）定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为美好方程．若关于x的方程与是“美好方程”，则关于y的方程的解是（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 57．（25-26七年级上·山东青岛·期中）如果两个一元一次方程的解相同，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．若无论k取任何有理数，关于x的方程（a、b为常数）与方程为“美好方程”，则的值为（        ） A．12 B． C．20 D． 题型20 解绝对值方程（共3小题） 58．（25-26九年级上·浙江宁波·自主招生）关于的方程恰好有三个根，则实数的值为（   ） A． B．3 C．2 D． 59．（25-26九年级下·广东东莞·自主招生）关于的方程所有解的和为________． 60．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）已知，则___． 题型21 一元一次方程的实际应用压轴（共3小题） 61．（25-26七年级下·河南南阳·期中）如图，在长方形中，，E是的中点，动点P从D点出发，以每秒的速度沿运动，最终到达点E．若点P运动的时间为x秒，那么当的面积等于时，x的值为______． 62．（25-26七年级上·山西吕梁·期末）综合与探究 七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”． 探究“折线数轴” 素材 如图，将一条数轴在原点、点、点处折一下，得到一条“折线数轴”（原对应关系不变）．图中点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是．在“折线数轴”上，两点之间的“友好距离”定义为这两点表示数之差的绝对值，如：点与点在“折线数轴”上的“友好距离”为：，并表示为，计算距离是沿折线路径累加，而非直线距离．    素材 动点从点出发，以个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动，当运动到点与点之间时，速度变为初始速度的，当运动到点与点之间时，速度变为初始速度的倍，经过点后立刻恢复初始速度． 素材 在动点运动的同时，动点从点出发，以个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向负方向运动，且经过折点，，时速度始终保持不变． 问题解决 (1)探究 与点的“友好距离”等于的点在线段 上．动点从点运动至点需要多少时间？ (2)探究 动点从点出发，运动秒至点和点之间时，求点表示的数．（用含的代数式表示） (3)探究 当，两点分别同时从点、点出发，求，两点正好相遇时的时间，并且直接写出此时相遇点在数轴上所表示的数． 63．（26-27七年级·全国·小升初衔接）一水果店主分两批购进某一种水果．第一批所用资金为2400元，因天气原因水果涨价，第二批所用资金是2700元．由于第二批每箱单价比第一批单价多10元，以致购买的数量比第一批少． (1)该水果店主购进两批水果的单价分别是多少元？ (2)该水果店主计划两批水果的售价均定为每箱40元，实际销售时按计划无损耗售完第一批后，发现第二批水果品质不如第一批，于是该店主将售价下降销售，结果还是出现了的损耗，但这两批水果销售完后仍赚了1716元，求a的值． 题型22 一元一次方程的动点问题（共3小题） 64．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图①，点为数轴原点，，正方形的边长为，边在数轴上．点从点出发，沿射线方向运动，速度为每秒个单位长度，设运动时间为秒，回答下列问题． (1)点对应的数为________，点对应的数为________； (2)如图②，在点运动过程中，在数轴上作线段，点在点右侧，以为边向上作正方形，连结、． ①点对应的数为________；（用含的式子表示） ②当的面积为时，求的值； ③当正方形与正方形重叠面积为的面积倍，直接写出的值． 65．（25-26七年级上·陕西西安·期中）如图，在数轴上点O是数轴原点，A到O的距离为10，B到O的距离为6． (1)点A表示的数为________，点B表示的数为________，A，B两点之间的距离为________． (2)点C是数轴上一点，且满足点A与点C之间的距离是点B与点C之间距离的2倍，则点C在数轴上表示的数为________． (3)在点B处有两只电子蚂蚁P、Q，蚂蚁P以每秒2个单位长度的速度向右移动，当蚂蚁P移动到O点时，蚂蚁Q才从B点出发，并以每秒4个单位长度的速度向右移动，设蚂蚁P移动的时间为t秒，问：当t为多少时，P、Q两只蚂蚁相距4个单位长度？ 66．（25-26七年级上·江苏南通·期中）如图，数轴上有，两点，，之间距离为12，原点在，之间，到的距离是到距离的两倍，则 (1)点表示的数为_____________，表示的数为_____________； (2)若点是，之间的一点，且满足到原点的距离与到的距离之和等于到的距离，则点所表示的数为_____________； (3)若动点，分别从，同时出发，向右运动，点的速度为每秒2个单位长度，点的速度为每秒1个单位长度，设运动时间为秒，当点与点重合时，，两点停止运动． ①设到的距离为，到的距离为，当为何值时，； ②当点到达点时，动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度也向右运动，当点追上点后立即返回，以同样的速度向点运动，遇到点后再立即返回，以同样的速度向点运动，如此往返，直到点，停止时，点也停止运动，求在此过程中，点行驶的总路程和点最后位置在数轴上对应的数． ∵， ∴， 解得：； ∵， ∴， 解得（不符合题意，舍去）； 由题意得：， 解得：， 题型23 一元一次方程的新定义问题（共3小题） 67．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）定义：若关于的方程的解为，则称这样的方程为“元宵方程”．例如：的解为，而．则方程为“元宵方程”． (1)方程是“元宵方程”吗？请说明理由． (2)若，有符合要求的“元宵方程”吗？若有，求出该方程的解；若没有，请说明理由． (3)若关于的方程为“元宵方程”，请解关于的方程：． 68．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）定义：若，分别是关于x的方程P、方程Q的解，且（n为非零常数），则称方程P是方程Q的“n阶伴生方程”．例如：方程的解是，方程的解是，且，则称方程是方程的“1阶伴生方程”． (1)下列方程中是的“2阶伴生方程”的是________（填写序号即可）； ①；②；③； (2)若方程是关于x的方程的“4阶伴生方程”，求k的值； (3)对任意满足的值，关于x的方程都是方程的“n阶伴生方程”，试判断的值是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． 69．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”． 例如：方程和为“和谐方程”． (1)若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值； (2)若“和谐方程”的两个解的差为4，其中一个解为，求的值； (3)若无论取任何有理数，关于的方程（，为常数）与关于的方程都是“和谐方程”，求的值． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $