精品解析：湖南长沙市实验中学2026-2027学年高三上学期第三次阶段检测数学试题

长沙市实验中学2027届高三第三次阶段检测 数学试卷 命题人： 寻听 审题人：贺建鑫 袁沐阳 本试卷共5页，19题 满分150分 时量120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回. 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1. 已知集合，，则 A. B. C. D. 2. 若复数满足，则在复平面内复数表示的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知随机变量，，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.5 4. 已知a，b为空间不重合的两条直线，为空间不重合的两个平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 若函数的图象关于直线对称，则（ ） A. B. C. -1 D. 6. 已知的图象关于点对称，且对，都有成立，当时，，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，圆为的外接圆，，为边的中点，则（ ） A. 10 B. 13 C. 18 D. 26 8. 对任意，若不等式恒成立（为自然对数的底数），则正实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 下列论述正确的是（ ） A. 已知随机变量，则 B. 数据1，3，9，4，5，16，7，11的下四分位数为3.5 C. 记两个变量的样本相关系数为，若越接近0，线性相关程度越强 D. 对某两个分类变量进行独立性检验时，若，则有的把握能推断零假设成立．其中表示概率值0.05所对应的临界值 10. 设为坐标原点，直线的倾斜角为且过抛物线：的焦点，且与交于，两点，，以为直径画圆与的准线交于点，则（ ） A. 中点的横坐标是 B. C. D. 11. 如图，棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的有（ ） A. 动点轨迹的长度为 B. 三棱锥体积的最小值为 C. 与不可能垂直 D. 当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，若，则实数____. 13. 数列是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，，，.若数列满足，则数列的前项和________. 14. 设函数，若关于的函数恰好有五个零点，则实数的取值范围是__________． 四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15. 记的内角的对边分别为，已知，为边上一点，． （1）求； （2）若平分，求． 16. 设正项数列的前n项和，满足． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 17. 如图，底面为锐角三角形的直棱柱中，，，点在线段上，且满足，点为的中点. （1）当时，证明：平面； （2）若平面与平面所成角的余弦值为，求异面直线与所成角的大小. 18. 在平面直角坐标系中，已知椭圆：的两个焦点分别为，，为椭圆上一动点，设，当时，的面积取得最大值． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线与椭圆交于不同的两点，（点在点，之间）． （i）求的取值范围； （ii）若为椭圆上一点，且，求四边形的面积． 19. 已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）当时. （i）证明：，； （ii）当时，，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长沙市实验中学2027届高三第三次阶段检测 数学试卷 命题人： 寻听 审题人：贺建鑫 袁沐阳 本试卷共5页，19题 满分150分 时量120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回. 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1. 已知集合，，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解方程得出集合A，利用交集的性质即可求出. 【详解】解方程可得 .故选B. 【点睛】本题考查解一元二次方程和交集的性质. 2. 若复数满足，则在复平面内复数表示的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】由复数的除法运算，得到坐标，即可判断 【详解】由， 复平面内复数z表示的点坐标为，在第四象限. 故选：D. 3. 已知随机变量，，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.5 【答案】C 【解析】 【分析】由随机变量得正态曲线关于直线对称，所以且，进一步可得结果. 【详解】因为随机变量，所以正态曲线关于直线对称， 所以，且， 所以， 故选：C. 4. 已知a，b为空间不重合的两条直线，为空间不重合的两个平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据面面平行判定定理可判断A错误，B错误，由线面垂直性质可知C正确，利用线面垂直性质以及线面平行判定可知D 错误. 【详解】对于A，若，当，满足，如下图所示： 但此时相交，即A错误； 对于B，结合A中分析可知当时，满足，如下图所示： 但此时相交，即B错误； 对于C，如下图： 显然当时，成立，即C正确； 对于D，当时，满足，如下图所示： 但此时不成立，即D错误. 故选：C 5. 若函数的图象关于直线对称，则（ ） A. B. C. -1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简得，根据正弦型函数的对称性，求得的表达式，进而求得的值. 【详解】函数. 令，则，则. 故选：D. 6. 已知的图象关于点对称，且对，都有成立，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由图象平移的对称性推出是奇函数，再推导得到函数周期为，最后将转化为已知区间的函数值计算即可。 【详解】因为的图象关于点对称，所以函数的图象关于点对称， 即函数为奇函数，所以，因为对，都有成立， 所以，所以， 所以函数的周期为，因为当时，， 所以. 7. 如图，圆为的外接圆，，为边的中点，则（ ） A. 10 B. 13 C. 18 D. 26 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形外接圆的性质，结合数量积的几何意义求解可得可得与，再根据平面向量的运算可得出结论． 【详解】是边的中点，可得， 是的外接圆的圆心， ， 同理可得， ． 故选：B． 8. 对任意，若不等式恒成立（为自然对数的底数），则正实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把不等式化为恒成立，设，得到函数，只需使得即可，求得函数的导数，分和两种情况讨论，求得函数的额单调性与最小值，列出不等式，即可求解. 【详解】由不等式可化为，即恒成立， 设，其中，由，可得， 所以，只需证明的最小值即可， 可得， ①若时，恒成立，所以在区间上单调递增； 所以的最小值为，解得， 因为，所以的取值范围是. ②若时，当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以的最小值为， 设，其中，可得， 所以在上单调递减， 由，所以当时，解得， 又由，所以实数的取值范围是， 综上可得，实数的取值范围是. 故选：B. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 下列论述正确的是（ ） A. 已知随机变量，则 B. 数据1，3，9，4，5，16，7，11的下四分位数为3.5 C. 记两个变量的样本相关系数为，若越接近0，线性相关程度越强 D. 对某两个分类变量进行独立性检验时，若，则有的把握能推断零假设成立．其中表示概率值0.05所对应的临界值 【答案】AB 【解析】 【分析】根据二项分布的期望公式、下四分位数的定义，结合相关系数的性质、独立性检验原理逐一判断即可. 【详解】A：因为，所以，因此本选项论述正确； B：数据1，3，9，4，5，16，7，11从小到大排列为1，3，4，5，7，9，11 ，16 ， 因为，所以数据1，3，9，4，5，16，7，11的下四分位数为，因此本选项论述正确； C：根据相关系数的性质可知越接近1，线性相关程度越强，所以本选项论述不正确； D：当，有的把握能推断零假设不成立，所以本选项论述不正确， 故选：AB 10. 设为坐标原点，直线的倾斜角为且过抛物线：的焦点，且与交于，两点，，以为直径画圆与的准线交于点，则（ ） A. 中点的横坐标是 B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】依题意设直线的方程为，代入抛物线方程，求出韦达定理，利用弦长公式列方程求得，根据抛物线定义，直线与圆的位置关系判断方法以及三角形面积公式逐一分析计算即可判断. 【详解】因直线的倾斜角为，则其斜率为，又经过抛物线的焦点，故直线的方程可设为， 将其代入消去，整理得， 设，则， 于是，，， 由，解得， 则，， 对于A，中点的横坐标是，故A错误； 对于B，由抛物线的定义，可得， 则，故B正确； 对于C，由A项可知到准线的距离为， 故以为直径的圆与准线相切于点，则轴，于是， ，故C正确； 对于D，，故D错误. 11. 如图，棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的有（ ） A. 动点轨迹的长度为 B. 三棱锥体积的最小值为 C. 与不可能垂直 D. 当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A由平面，联想到存在一个过的平面与平面平行，利用正方体特征找到平面平面,进而得到的轨迹为线段，对B，根据棱锥体积公式分析即可，对C举反例即可；对D，利用勾股定理求出外接球半径即可. 【详解】对A，如图，令中点为,中点为,连接， 又正方体中，为棱的中点，可得,， 平面,平面,又， 且平面，平面平面, 又平面，且平面，平面， 又为正方形内一个动点（包括边界），平面平面，而平面平面， ，即的轨迹为线段. 由棱长为2的正方体得线段的长度为，故选项A正确； 对B，由正方体侧棱底面，所以三棱锥体积为， 所以面积最小时，体积最小，如图，，易得在处时最小， 此时,所以体积最小值为，故选项B正确； 对C，当为线段中点时，由可得,又中点为,中点为, ，而，,故选项C不正确； 对D，如图，当在处时，三棱锥的体积最大时， 由已知得此时,所以在底面的射影为底面外心， ,,,所以底面为直角三角形， 所以在底面的射影为中点，设为，如图，设外接球半径为, 由,,可得外接球半径， 外接球的表面积为，故选项D正确. 故选：ABD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，若，则实数____. 【答案】 【解析】 【详解】由得，解得. 13. 数列是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，，，.若数列满足，则数列的前项和________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，列式求出，进而求出等差数列、等比数列通项，再利用分组求和法求解. 【详解】由，，，得，而，则， 因此，，， 所以. 故答案为： 14. 设函数，若关于的函数恰好有五个零点，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】画出的图象，利用换元法，结合二次函数的知识来求得正确答案. 【详解】作出函数的图象，如图， 令，则方程化为，则或 若关于的函数恰好有五个零点， 则方程和，分别有2和3个根，结合图象可知，有两个根， 则此时 . 故答案为：． 【点睛】方法点睛： 对于复杂函数的零点问题，通过换元法将其转化为二次函数问题是一种常用方法.同时，结合函数图象来分析根的分布情况，能更直观地解决问题. 四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15. 记的内角的对边分别为，已知，为边上一点，． （1）求； （2）若平分，求． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式以及辅助公式化简等式，可得，从而可求出； （2）根据平分，可得，由面积相等得解，再利用余弦定理可求的值． 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得， 则， 即， 因为，所以，所以，即． 又因为，所以． 【小问2详解】 因为平分，所以，即， 由面积相等得， 解得，所以． 由余弦定理得，所以． 16. 设正项数列的前n项和，满足． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据和之间的关系，结合等差数列的定义和通项公式进行求解即可； （2）运用裂项相消法进行求解即可. 【小问1详解】 由得，可知， 两式相减得， 即， ， ∵当时，， 则是首项为1，公差的等差数列， 的通项公式为； 【小问2详解】 ， ， . 17. 如图，底面为锐角三角形的直棱柱中，，，点在线段上，且满足，点为的中点. （1）当时，证明：平面； （2）若平面与平面所成角的余弦值为，求异面直线与所成角的大小. 【答案】（1） 在直棱柱中，令，则是的中点， 由，，得是的中点， 而点为的中点，则， 即，而平面，平面， 平面. （2） 【解析】 【分析】（1）要证明线面平行，首先证明线线平行，即证明； （2）首先以的中点为原点，建立空间直角坐标系，利用坐标法，代入二面角的向量法公式，求边长的关系，再代入异面直线所成的角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 分别取，的中点，， 则。 又平面， 平面，由，得，则直线，，两两垂直， 以点为原点，向量，，的方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系， 令，， 则，，，，，，，，， 设平面与平面的法向量分别为，， 则 令，得， ， 令，得， 由平面与平面所成角的余弦值为， 得， 解得或， 由是锐角三角形，得，即，则，即， 又，则， 而 ，因此， 异面直线与所成的角为. 18. 在平面直角坐标系中，已知椭圆：的两个焦点分别为，，为椭圆上一动点，设，当时，的面积取得最大值． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线与椭圆交于不同的两点，（点在点，之间）． （i）求的取值范围； （ii）若为椭圆上一点，且，求四边形的面积． 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）设，则，设为椭圆的半焦距，则，可求出，求的面积的最大值就是求的最大值，根据的范围可得，由得到，通过解方程组得到的值，从而得到椭圆的标准方程； （2）（i）设直线的方程，直线和椭圆联立方程组，消去，得到的一元二次方程，设的坐标，由题意可知的一元二次方程的，从而解出的取值范围，利用韦达定理求出和，从而得到同号，求出，由和求出，由的范围求出的范围，换元法设，由点在点，之间得到， 由的范围求出的范围，即得到的范围，继而得到的范围即为所求；（ii）得到和四边形为平行四边形，求出即得的坐标，将点代入椭圆的方程求出的值，利用弦长公式求出，设点直线的距离为，利用点到直线的距离公式求出，则代入数集求解即可. 【小问1详解】 设，则，设为椭圆的半焦距，则， ， 当取最大值时，的面积取得最大值时， ，时，取最大值，此时，或， 的最大面积为，的最大面积为， ，此时，则， ，， 又，联立，解得， 椭圆的标准方程； 【小问2详解】 （i）如图，直线的方程为时，不存在，不满足题意， 设直线的方程为， 联立，消去，得到， 整理得， 设，，， 过点的直线与椭圆交于不同的两点，， ，， ，，同号， ， ，同号，， ，， ，，， ， 设，点在点，之间，则， 转化为， ，，，， ，，，， 的取值范围. （ii）如图，作出符合题意的图形， ，， ，，且四边形为平行四边形， ，， ，为椭圆上一点，， ，， ， ，， 设点直线的距离为，， . 19. 已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）当时. （i）证明：，； （ii）当时，，求实数的取值范围. 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为； （2） （i）设，， 则， 因为，所以，， 所以， 所以， 所以在内单调递增，则， 故，； （ii）. 【解析】 【分析】（1）当时求，解不等式，，根据导数与函数的单调性的关系求函数的单调区间； （2）（i）设，利用导数证明函数在内单调递增，结合证明结论； （ii）验证时不等式成立，令，利用导数证明当时，，由此可得此时，当时，设，证明当时，，由此可得，综合考虑可得结论. 【小问1详解】 当时，， 令，解得，， 令解得，， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为， 【小问2详解】 （i）略 （ii）当时，，， 对任意的，不等式成立， 当时，不等式可化为， 令，则， 令，则， 令，则， 当时，，在单调递增， 当时，，在单调递减， 因为，，， 所以存在，使得， 当时，，函数在单调递增， 当时，，函数在单调递减， 又，， 所以当时，，所以单调递增， 所以当时，，则， 当时，设， 因为当时，，所以， 又因为，所以， 所以在上单调递增， 此时， 故当时，，则. 综上，实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $