期中综合复习一·培优提高讲义（第1～3章）（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年湘教版八年级数学上册

期中综合复习一·培优提高讲义（第1~3章） （知识梳理+典例+练习）·2026年湘教版八年级数学上册 参考答案与试题解析 🍔 思维导图 🍟 课程目标 · 理解因式分解的概念，掌握提公因式法、公式法、十字相乘法等基本方法 · 掌握分式的基本性质，熟练进行分式的约分、通分与加减乘除运算 · 会解可化为一元一次方程的分式方程，理解增根与无解问题 · 掌握二次根式的概念与性质，会进行二次根式的化简与混合运算 · 理解零指数幂与负整数指数幂的意义，会用科学记数法表示数 · 能综合运用本章知识解决化简求值、实际应用等问题 🍗 知识梳理 ✅️ 1.因式分解 因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，与整式乘法互为逆变形 提公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c)，公因式取各项系数的最大公因数与相同字母最低次幂的积 公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)；a2±2ab+b2=(a±b)2 十字相乘法：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)；分组分解法：适当分组后提公因式或套公式 概念辨析例题：把多项式x3-4x分解因式。 答案：x(x+2)(x-2) 解析：先提公因式x，得x(x2-4)，再用平方差公式分解，x2-4=(x+2)(x-2)，所以原式=x(x+2)(x-2)。分解因式时必须分解到不能再分解为止。 ✅️ 2.分式 分式：一般地，如果A、B表示两个整式，且B中含有字母，那么形如的式子叫做分式 分式有意义的条件：分母不为0；分式值为0的条件：分子为0且分母不为0 分式基本性质：=（C≠0），据此进行约分与通分 分式运算：同分母直接相加减，异分母先通分；分式乘除转化为乘法约分 概念辨析例题：先化简，再求值：÷，其中a=-1。 答案：原式=，当a=-1时，值为- 解析：分子分母先分解因式，a2-4=(a+2)(a-2)，a2+4a+4=(a+2)2，除法变乘法并约分，得；代入a=-1，得=-。 ✅️ 3.二次根式 二次根式：形如（a≥0）的式子，被开方数必须是非负数 性质：=|a|；=（a≥0，b≥0）；=（a≥0，b>0） 最简二次根式：被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数或因式 同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，可以合并 概念辨析例题：计算：。 答案：2 解析：先化为最简二次根式：=3，=2，原式=3=2。合并同类二次根式时只把系数相加减，根号部分不变。 ✅️ 4.幂运算与科学记数法 零指数幂：a0=1（a≠0）；负整数指数幂：a-n=（a≠0，n为正整数） 同底数幂：am·an=am+n；am÷an=am-n（a≠0）；(am)n=amn；(ab)n=an·bn 科学记数法表示绝对值小于1的数：a×10-n（1≤a<10，n为正整数） 还原科学记数法表示的小数：指数为负n时，小数点向左移动n位 概念辨析例题：计算：(-)-2+(π-3.14)0-(-1)2026。 答案：6 解析：(-)-2=4（负指数幂取倒数再乘方），(π-3.14)0=1，(-1)2026=1，原式=4+1-(-1)=6。注意负数的偶次幂为正。 🧀 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 因式分解 多项式→整式积，与乘法互逆 必须分解到不能再分解 分式有意义 分母≠0 值为0须分子0且分母≠0 二次根式 a≥0；=|a| 化简到最简二次根式 零/负指数幂 a0=1；a-n=1/an 底数均须不为0 科学记数法 a×10n（1≤a<10） 小数用负指数表示 📩 核心考点 【考点1】因式分解（第1-12题） · 先观察有无公因式，有则先提公因式 · 两项用平方差公式，三项用完全平方公式，二次三项式用十字相乘 · 四项及以上考虑分组分解法 · 分解后检查每个因式是否还能继续分解 1．（23-24八年级下·四川成都·期中）下列等式从左到右的变形，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】根据因式分解的定义，逐一分析每个选项从左到右的变形是否将多项式化为几个整式积的形式．本题主要考查了因式分解的定义，熟练掌握因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式是解题的关键． 【详解】解：A、等式的右边不是多项式的乘积的形式，不是因式分解，此项不符合题意； B、等式的右边不是多项式的乘积的形式，不是因式分解，此项不符合题意； C、等式的右边不是乘积的形式，不是因式分解，此项不符合题意； D、等式的右边是乘积的形式，且左右两边相等，是因式分解，此项符合题意． 故选：D． 2．（25-26八年级下·山西晋中·期中）下列多项式中，不能用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】平方差公式为 ．能用平方差公式分解因式的多项式需满足是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反，据此逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵选项A： ，符合平方差公式的使用条件，能用平方差公式分解，不符合题意； ∵选项B：，两项符号相同，不符合平方差公式的使用条件，不能用平方差公式分解，符合题意； ∵选项C：，符合平方差公式的使用条件，能用平方差公式分解，不符合题意； ∵选项D：是两个平方项且符号相反，符合平方差公式的使用条件，能用平方差公式分解，不符合题意； 3．（24-25八年级上·山东烟台·期中）将分解因式，正确的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】十字相乘法 【分析】本题考查因式分解，利用十字相乘法求解即可． 【详解】解： 故选：D． 4．（25-26八年级上·福建泉州·阶段检测）下列各多项式中，可以用完全平方公式分解因式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】本题考查了用完全平方公式进行因式分解的能力，解题的关键是了解完全平方公式的结构特点，准确记忆公式，会根据公式的结构判定多项式是否是完全平方式． 可以用完全平方公式分解因式的多项式必须是完全平方式，符合结构，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、中，，中间项应为，而非，不符合完全平方式结构，故该选项不符合题意； B、中，，，中间项应为，而非，不符合完全平方式结构，故该选项不符合题意； C、，符合完全平方式结构，故该选项符合题意； D、中，为负项，不满足完全平方式中两个平方项同号的要求，不符合结构，故该选项不符合题意； 故选：C． 5．（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）下列多项式是完全平方式的有（   ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】本题考查了完全平方式，解题关键是掌握完全平方式并能运用求解． 根据完全平方式，对5个式子逐一分析，再作判断． 【详解】解：，是完全平方式，故①符合； ，因为首项，末项，而中间项应为，不等于题目中的，不是完全平方式，故②不符合； ，是完全平方式，故③符合； 不是完全平方式，故④不符合； ，是完全平方式，故⑤符合， 其中①、③、⑤是完全平方式的共有3个， 故选：C． 6．（24-25八年级上·山西长治·期末）已知的三边长a，b，c都是正整数，且满足，则的周长为_____． 【答案】 【知识点】三角形三边关系的应用、完全平方公式分解因式 【分析】本题考查了利用完全平方公式分解因式，三角形三边关系的应用．熟练掌握完全平方公式的应用，三角形三边关系的应用是解题的关键．由，可得，可求，由三角形三边关系可求，由是正整数，可得，进而可求周长． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， 解得，， ∵， ∴， ∵是正整数， ∴， ∴的周长为 ， 故答案为：． 7．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）与的公因式是______． 【答案】 【知识点】平方差公式分解因式、公因式 【分析】本题考查公因式，平方差公式，掌握知识点是解题的关键． 利用平方差公式将进行因式分解，即可解答． 【详解】解：， 与的公因式是， 故答案为：． 8．（2024·湖南·一模）因式分解：__________． 【答案】 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的几种方法是解题的关键．利用平方差公式进行分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 9．（2025·湖南·模拟预测）计算：________． 【答案】 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】本题考查了公式法分解因式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 运用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 10．（25-26八年级下·全国·课后作业）把下列完全平方式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】根据完全平方公式进行分解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 11．（23-24八年级上·全国·单元测试）已知关于，的二次式可分解为两个一次因式的乘积，求的值． 【答案】 【知识点】已知因式分解的结果求参数、加减消元法 【分析】本题考查的是利用待定系数法分解因式，设 ，再整理可得，从而可得答案. 【详解】解：， 且 ， 设 ， 整理得：， 由对应项系数得： ， 解得 ，， ， 的值为 12．（24-25七年级上·上海松江·期中）因式分解：； 【答案】 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 利用完全平方公式因式分解即可． 【详解】 ． 【考点2】分式运算（第13-23题） · 分式有意义看分母，值为0看分子且分母非0 · 异分母加减先通分，乘除先分解因式再约分 · 混合运算按先乘除后加减的顺序，注意符号 13．（26-27八年级上·全国·课后作业）若，，则的值为（     ） A．6 B．5 C．4 D．2 【答案】A 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、约分、通过对完全平方公式变形求值 【分析】将所求分式的分子用完全平方公式展开，代入已知条件化简求值． 【详解】解：∵ ， 又∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ． 14．（2025·河南周口·二模）化简的结果是（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】B 【知识点】同分母分式加减法 【分析】本题主要考查了同分母分式加减法，熟练掌握同分母分式加减法法则是解题的关键． 根据同分母分式的加减法法则进行计算即可． 【详解】解：， 故选：B． 15．（25-26八年级上·全国·课后作业）有下列方程：①；②；③；④．其中是分式方程的是（    ） A．③④ B．①② C．①③ D．②④ 【答案】B 【知识点】分式方程的定义 【分析】本题考查的是分式方程的定义，熟知分母中含有未知数的方程叫做分式方程是解答此题的关键． 根据分式方程的定义对各方程进行逐一分析即可． 【详解】解：①是分式方程，符合题意；②是分式方程，符合题意；③是整式方程，不符合题意；④是整式方程，不符合题意． 其中是分式方程的是①②， 故选：B． 16．（24-25八年级上·内蒙古赤峰·期末）商店通常用以下方法来确定两种糖混合而成的什锦糖的价格：设A种糖的单价为x元/千克，B种糖的单价为y元/千克，则m千克A种糖和n千克B种糖混合而成的什锦糖的单价为元/千克（平均价）．现有甲、乙两种什锦糖，均由A，B两种糖混合而成．其中甲种什锦糖由10千克A种糖和10千克B种糖混合而成；乙种什锦糖由10元A种糖和10元B种糖混合而成．你认为（   ）的单价较高． A．甲种什锦糖 B．乙种什锦糖 C．甲、乙两种一样高 D．无法确定 【答案】A 【知识点】分式加减的实际应用 【分析】本题考查了分式的加减法及比较分式值的大小，准确计算是正确解决本题的关键． 根据单价总价数量分别求出甲糖单价和乙糖单价；根据作差法比较大小即可求解． 【详解】解∶甲糖单价为∶ (元/)， 乙糖单价为∶ (元)； ， 甲、乙两种什锦糖，均由A，B两种单价不同的糖混合而成， ． 甲糖的单价较高． 故选：A． 17．（25-26八年级上·北京·课后作业）下列分式中，当时，有意义的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分式有意义的条件 【分析】此题主要考查了分式有意义的条件．当分母不为0时，分式有意义，直接利用分式的有意义的条件依次分析，即可． 【详解】解：当时，，，， 选项A C D中分母都为0，故选项A C D都不符合题意； 当时，，选项B符合题意； 故选：B． 18．（24-25八年级上·重庆大足·期末）要使分式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分式有意义的条件 【分析】本题考查了分式有意义的条件，由分式有意义的条件得，即可求解；理解“分式有意义的条件：．”是解题的关键． 【详解】解：要使分式有意义， ， 解得：； 故选：D． 19．（2026·湖北襄阳·三模）计算：______． 【答案】/ 【知识点】分式加减乘除混合运算 【详解】解： 20．（23-24八年级上·山东潍坊·期末）对于代数式，，定义运算“”：，例如：，若，则______． 【答案】5 【知识点】异分母分式加减法、加减消元法 【分析】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的加减混合运算顺序和运算法则．由※、，从而得出，求出，代入可得答案． 【详解】解：※， ， 由题意，得：， 解得：， ∴． 故答案为：5． 21．（10.4分式的乘除（2）八年级数学下册苏科版）填空题： （1）____________； （2）____________． 【答案】 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】本题考查分式的混合运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键： （1）先通分计算括号内，除法变乘法，进行约分化简即可； （2）除法变乘法，约分后，再通分进行计算即可． 【详解】解：（1）原式； 故答案为：； （2）； 故答案为：． 22．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2)1 (3) (4) 【知识点】异分母分式加减法 【分析】本题考查了初中数学中的分式加减运算、通分、因式分解等知识点，解题的关键在于正确确定公分母、进行通分和化简，同时注意符号处理和约分，确保每一步运算的准确性． （1）先通分，再进行同分母分式的加法运算； （2）先通分，再进行同分母分式的加法运算； （3）先通分，再进行同分母分式的加法运算； （4）先把分解因式，再通分，然后进行同分母分式的加法运算； 【详解】【小题1】解：原式； 【小题2】原式； 【小题3】原式； 【小题4】原式． 23．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知A，B，为整数，求证：． 【答案】 证明： ， ∴． 【知识点】异分母分式加减法 【分析】证明即可． 【详解】略 【考点3】分式方程（第24-29题） · 去分母化为整式方程，注意公分母不为0 · 解出整式方程后必须检验（代入最简公分母） · 无解问题：整式方程无解或增根两种情况都要考虑 24．（24-25八年级下·吉林长春·阶段检测）定义一种新运算“”为：，则方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】解分式方程（化为一元一次）、新定义下的实数运算 【分析】此题考查新定义运算和解分式方程，根据新运算列出方程，求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 去分母得， 解得， 经检验，是原分式方程的解． 故选：A． 25．（24-25七年级上·上海松江·阶段检测）已知关于x的方程有增根，那么___________． 【答案】1 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题考查了分式方程的增根问题，熟练掌握分式方程的解法是解题关键．先解分式方程可得，再根据分式方程有增根可得，则，由此即可得． 【详解】解：， 方程两边同乘以得：， 解得， ∵关于的方程有增根， ∴，即， ∴， 解得， 故答案为：1． 26．（25-26八年级上·山东青岛·期末）解分式方程时，去分母后可得到_____ ． 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查了解分式方程，去分母时，方程两边同时乘以最简公分母，将分式方程转化为整式方程，即可作答． 【详解】解：∵方程， ∴最简公分母为， 则两边同时乘以，得， 故答案为：． 27．（25-26八年级上·河南新乡·期末）下面是某同学化简分式的部分运算过程： (1)下面的解题过程从第 步开始出现错误； 解：原式    第一步     第二步     第三步     第四步     第五步     第六步 (2)写出正确的化简运算过程； (3)从，0，3，1中选择一个合适的数作为x的值代入求值． 【答案】(1)五 (2) 解：原式 ； (3)， 【知识点】分式化简求值、分式加减乘除混合运算 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键： （1）第五步分子相减时，变号错误； （2）根据混合运算的法则进行计算即可； （3）根据分式的分母不能为0，选择，进行计算即可． 【详解】（1）解：第五步分式减法中，出现变号错误； 故答案为：五 （2）略 （3）解：∵， ∴， ∴当时，． 28．（25-26八年级上·福建福州·期末），两种机器人都被用来搬运化工原料，型机器人比型机器人每小时少搬运，型机器人搬运所用时间与型机器人搬运所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少的化工原料？ 【答案】型机器人每小时搬运，型机器人每小时搬运． 【知识点】分式方程和差倍分问题 【分析】本题考查分式方程的应用，正确找出等量关系是解题关键．设型机器人每小时搬运原料，则型机器人每小时搬运原料，根据型机器人搬运所用时间与型机器人搬运所用时间相等，列分式方程求解即可． 【详解】解：设型机器人每小时搬运原料，则型机器人每小时搬运原料， ∵型机器人搬运所用时间与型机器人搬运所用时间相等， ∴， 解得：． 经检验：是分式方程的解，且符合题意， ， 答：型机器人每小时搬运，型机器人每小时搬运． 29．（24-25七年级下·安徽六安·期末）关于的方程． (1)当时，求该方程的解； (2)若该方程无解，求的值． 【答案】(1) (2)2或1 【知识点】解分式方程（化为一元一次）、根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查解分式方程，根据分式方程的解的情况求参数： （1）先将分式方程化为整式方程，求出解后代入检验即可； （2）先解方程，用含k的式子表示出x，，若该方程无解，则或，分别求解即可． 【详解】（1）解：时，关于的方程为， 化为整式方程，得：， 去括号，得：， 移项，合并同类项，得：， 解得， 当时，， 因此该方程的解为； （2）解：， 等号两边同时乘以，得：， 解得， 若该方程无解，有两种情况： ，解得； ，即，解得，经检验符合， 综上可知，的值为2或1． 【考点4】幂运算与科学记数法（第30-36题） · 负整数指数幂先取倒数再乘方 · 混合运算先算乘方再算乘除最后算加减 · 科学记数法的小数形式还原时数清小数位数 30．（24-25八年级下·福建泉州·阶段检测）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】负整数指数幂、零指数幂 【分析】本题考查了零指数幂、负整数指数幂．根据零指数幂、负整数指数幂的性质化简，再计算加减即可． 【详解】解：， 故选：C． 31．（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）若，□，则“□”内应填的运算符号为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】同底数幂的除法运算 【分析】本题考查了同底数幂的除法，解题的关键是掌握同底数幂的除法运算法则．利用同底数幂的除法运算法则计算即可． 【详解】解：若，， 则“□”内应填的运算符号为， 故选：C． 32．（25-26九年级上·重庆开州·期中）计算：_______． 【答案】 10 【知识点】负整数指数幂、实数的混合运算、零指数幂、求一个数的绝对值 【分析】本题考查实数的混合运算，包括负整数指数幂、零指数幂和绝对值的计算．正确计算是解题的关键．先计算负整数指数幂、零指数幂、绝对值，然后进行加减运算． 【详解】计算：， ， ． 因此，原式故答案为：10. 33．（25-26八年级下·吉林长春·期中）计算：______． 【答案】 【知识点】负整数指数幂 【分析】根据负整数指数幂的运算法则直接计算即可. 【详解】解：. 34．（2023·吉林长春·模拟预测）一种细胞的直径为厘米，将写成小数为______ ． 【答案】 【知识点】还原用科学记数法表示的小数 【分析】本题考查科学记数法还原．根据题意利用科学记数法表示方法即可得到本题答案． 【详解】解：， 故答案为：． 35．（24-25七年级下·河南郑州·阶段检测）________． 【答案】 【知识点】负整数指数幂 【分析】本题考查了负整数指数幂．根据负整数指数幂的性质求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 36．（26-27八年级上·全国·课后作业）课堂上老师设计了一种运算：．例如．已知为非零实数，计算：． 【答案】 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算、零指数幂、新定义下的实数运算 【详解】解：原式． 【考点5】二次根式基础（第37-44题） · 二次根式有意义：被开方数≥0，与分式结合时同时考虑分母≠0 · 化简用=|a|，注意符号 · 化为最简二次根式后判断同类项 37．（23-24八年级下·河南漯河·阶段检测）要使代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D． 【答案】A 【知识点】二次根式有意义的条件、分式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数，分式分母不为零．根据二次根式有意义的条件可得，根据分式有意义的条件可得，即可求解． 【详解】解：由题意得：，且， 解得：，且． 故选：A． 38．（23-24八年级上·山西太原·期中）将化成最简二次根式的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】化为最简二次根式 【分析】本题考查了最简二次根式，如果一个二次根式符合下列两个条件：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式，那么，这个根式叫做最简二次根式，根据最简二次根式的定义化简即可得到答案． 【详解】解：将化成最简二次根式的结果为， 故选：A． 39．（25-26八年级下·全国·课后作业）若，则_____，_____． 【答案】 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、二次根式有意义的条件 【分析】本题主要考查了算术平方根的非负性及非负数的性质，熟练掌握几个非负数的和为，则每个非负数都为是解题的关键．利用算术平方根的非负性，结合几个非负数的和为零，则每个非负数均为零的性质，分别列出方程求解和的值． 【详解】解：因为且，且， 所以且． 由得，即； 由得，即． 故答案为：，． 40．（24-25九年级上·四川巴中·期末）使式子有意义的的取值范围是___________． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件、分式有意义的条件 【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，直接利用二次根式被开方数非负、分式分母不为0分析得出答案． 【详解】解：∵有意义， ∴，解得， 故答案为：． 41．（25-26八年级上·湖南邵阳·期中）已知实数在数轴上的对应点位置如图所示，则化简_____． 【答案】1 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、利用二次根式的性质化简、实数与数轴 【分析】本题主要考查了实数和数轴，二次根式和绝对值的化简，解题的关键是掌握二次根式和绝对值的化简法则． 通过数轴得出的取值范围，然后利用二次根式和绝对值的化简法则进行化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：1． 42．（23-24八年级下·全国·课堂例题）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则值为___． 【答案】 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、利用二次根式的性质化简、整式的加减运算、实数与数轴、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【详解】解：由数轴可知，，且， ， 则 ． 43．（23-24八年级下·吉林·期中）计算：______． 【答案】10 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的性质化简，再计算加法即可． 【详解】解：， 故答案为：10． 44．（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是_______ ． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简、实数与数轴、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】本题考查了二次根式的性质、实数与数轴等知识点，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 由数轴得，继而得出，再根据二次根式的性质和绝对值化简即可． 【详解】解：由数轴得， ∴， ∴ ． 故答案为：． 【考点6】二次根式运算（第45-52题） · 乘除用=，= · 加减先化简再合并同类二次根式 · 混合运算按运算顺序，注意分母有理化技巧 45．（2025·四川绵阳·三模）如图，将1，三个数按图中方式排列；若规定表示第a排第b列的数，则与表示的两个数的积是（    ）                                   1       第1排                                      第2排                            1        第3排              1             1        第4排    ……   第4列 第3列 第2列  第1列 …… A． B． C． D．1 【答案】A 【知识点】二次根式的乘法、数字类规律探索 【分析】由题意可得，每三个数一循环，分别为1，．第一排有1个数，第二排有2个数，第三排有3个数，……，第n排有n个数，且每—排的数是从右往左排列的，可得表示第5排第4列的数，表示第5l排第30列的数，进而找到循环规律得到相应的数，再计算乘积即可． 【详解】解：由题意可得，每三个数一循环，分别为1，．第一排有1个数，第二排有2个数，第三排有3个数，……，第n排有n个数，且每—排的数是从右往左排列的． ∴表示第5排第4列的数，表示第5l排第30列的数， ∵前4排共有个数， ∴第5排第4列的数是第个， ∵， ∴表示的数是； 前50排共有个数， ∴第5l排第30列的数是第个数， ∵， ∴表示的数是， ∴与表示的两个数的积是； 故选：A. 46．（25-26九年级上·重庆·阶段检测）估计的值在（    ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】C 【知识点】二次根式的乘法、无理数的大小估算 【分析】本题考查了估算无理数的大小，二次根式的运算，先通过二次根式的乘法法则进行化简，然后通过估算无理数的大小的方法解答即可，解题的关键在于掌握二次根式的运算方法以及估算无理数大小的方法． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴的值在和之间， 故选：． 47．（24-25八年级下·湖北宜昌·期中）下列各式从左到右的变形正确的有（　　） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】二次根式的乘法、二次根式的除法 【分析】根据二次根式的性质，逐一分析各式的成立条件解答即可． 本题考查了二次根式的公式计算的使用条件，熟练掌握条件是解题的关键． 【详解】解：① ：当且时成立， 故①错误； ② ：当且时成立， 故②错误； ③ ：当左边有意义时（即，），右边必然有意义且等式成立；故③正确； ④ ：当左边有意义时（即，），右边必然有意义且等式成立， 故④正确． 综上，正确的有③和④，共2个． 故选：B． 48．（25-26八年级下·全国·课后作业）三角形的面积为，底边长为，则底边上的高为__________． 【答案】 【知识点】二次根式的除法、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查了二次根式乘除法的应用，三角形的面积公式，掌握二次根式的乘除法的运算法则是解题的关键． 利用三角形面积公式求解即可. 【详解】解：设底边上的高为 ， 由题意，得 ， 化简得 ， 解得 . 故答案为：. 49．（24-25八年级下·河南商丘·阶段检测）计算的结果为________． 【答案】/ 【知识点】运用平方差公式进行运算、二次根式的混合运算 【分析】本题考查二次根式的混合运算，利用同底数幂的乘法逆运算和积的乘法逆运算法则变形为，再利用平方差公式计算括号内的式子，最后利用二次根式乘法计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 50．（25-26八年级下·广东惠州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的加减运算 【分析】（1）先利用二次根式的性质进行化简，再计算加减即可得出结果； （2）先去括号，再计算加减即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 51．（23-24九年级上·山西长治·期中）下面是小华同学进行二次根式混合运算的解答过程，请认真阅读并完成相应任务． 计算：． 解：原式    第一步      第二步 ．    第三步 (1)上述解答过程中，第一步中出现了____________处错误； (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)两 (2) ． 【知识点】二次根式的乘法、二次根式的加减运算 【分析】本题考查了二次根式的乘法，二次根式的减法，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键； （1）由二次根式的乘法和二次根式的减法即可看出错误； （2）根据二次根式的乘法和二次根式的减法求解即可． 【详解】（1）解：，， 第一步中出现了两处错误； （2）略 52．（23-24八年级下·云南大理·期中）先化简，再求值： 其中 ． 【答案】， 【知识点】分式化简求值、二次根式的混合运算 【分析】本题考查的是分式的化简求值及二次根式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把的值代入进行计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式 ． 📊 课后巩固 🍬 复习建议 · 复习时先梳理三章知识框架，明确因式分解、分式、二次根式的内在联系 · 因式分解多练多总结，熟练识别公式结构与十字相乘模型 · 分式与二次根式的运算步骤多，建议分步书写，避免跳步出错 · 分式方程务必检验，理解增根与无解的判别方法 · 幂运算与科学记数法注意符号和指数法则，混合运算先乘方再乘除后加减 【作业1】（24-25八年级下·辽宁阜新·期中）将下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了提公因式法因式分解，公式法因式分解，熟练掌握其运算规则是解题的关键． （1）利用提公因式法解题即可； （2）先提公因式，然后再用完全平方公式因式分解即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 【作业2】（25-26七年级下·全国·课后作业）把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了综合提公因式与完全平方公式的因式分解，掌握知识点是解题的关键． （1）先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可； （2）先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可； （3）先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可； （4）先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可； 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 【作业3】（23-24七年级上·上海浦东新·期中）因式分解：． 【答案】 【知识点】十字相乘法、平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】本题主要考查了分解因式．先利用十字相乘法分解因式，再利用完全平方公式十字相乘法继续分解因式即可． 【详解】解； ． 【作业4】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算：_________． 【答案】 【知识点】含乘方的分式乘除混合运算 【分析】在计算过程中需要注意的是运算顺序．分式的乘除运算实际就是分式的约分． 分式的运算首先要分清运算顺序，在这个题目中，首先进行乘方运算，然后统一成乘法运算，最后进行约分运算． 【详解】解：， 故答案为：． 【作业5】（26-27八年级上·北京·课堂例题）、、的公分母是____________． 【答案】 【知识点】最简公分母 【分析】此题考查了最简公分母的取法，确定最简公分母的方法有三步，分别为：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，三步得到的因式的积即为最简公分母．根据确定最简公分母的方法进行解答即可． 【详解】解：、、， 系数的最小公倍数是12； x的最高次数是2； y与的最高次数是1； 所以最简公分母是． 故答案为：． 【作业6】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算：． 【答案】 【知识点】分式乘法 【分析】本题考查了分式的乘法，先确定结果符号，再计算乘法即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：． 【作业7】（24-25八年级上·山东威海·期中）若关于x的方程有增根，则___________． 【答案】3 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查的是分式方程的增根问题，理解分式方程的增根的含义是解本题的关键．把分式方程的增根代入去分母后的整式方程即可得到答案． 【详解】解： 方程两边都乘，得． ∵原方程有增根， ∴最简公分母， 解得， 当时，． 故答案为：3． 【作业8】（25-26八年级下·吉林长春·期末）有这样一道题：工程队检修一条长自来水管道，计划用若干小时完成，在实际检修过程中，工程队每小时检修管道长度是原计划的倍，结果提前小时完成任务．求工程队原计划每小时检修管道多少米．聪聪和小明的部分解答过程如下： 聪聪 小明 解：设工程队原计划每小时检修管道x米． 根据题意，得： … 解：设 ． 根据题意，得： … (1)根据表格信息回答问题：聪聪所列方程中的 表示的是 ，小明所设未知数y表示的是 ； (2)选择一种方法并写出完整的解答过程． 【答案】(1)实际检修所用时间；工程队原计划完成自来水管道检修任务的时间； (2)选聪聪解法： 解：设原计划每小时检修米 两边同乘： 解得， 检验：时，是分式方程的解， 答：原计划每小时检修管道50米； 选小明解法： 解：设原计划用小时完成，则实际用小时， 根据题意，得 解得， 检验：时，是分式方程的解， （米） 答：原计划每小时检修管道50米； 【知识点】解分式方程（化为一元一次）、分式方程的工程问题 【分析】（1）根据时间等于工作量除以工作效率，解答即可； （2）根据解分式方程的基本步骤求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 【作业9】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算的结果为_______． 【答案】 【知识点】同底数幂的除法运算 【分析】本题考查同底数幂的除法，解题关键是熟知同底数幂的除法的计算法则． 变形后根据同底数幂的除法法则计算即可； 【详解】解：， 故答案为：． 【作业10】（24-25七年级下·全国·课后作业）用科学记数法表示下列各数： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数，正确确定和的值是解题关键．用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为整数． （1）将原数写成的形式，即可求解； （2）将原数写成的形式，即可求解； （3）将原数写成的形式，即可求解． 【详解】（1）解： ． （2） ． （3） 【作业11】（25-26九年级上·河南新乡·期末）使代数式 有意义的x的值可以是（   ） A．0 B．1 C．3 D．5 【答案】D 【知识点】二次根式有意义的条件、求不等式组的解集、分式有意义的条件 【分析】本题考查二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，要使给定代数式有意义，需同时满足二次根式被开方数非负和分式分母不为0的条件，据此确定x的取值范围，再匹配选项即可． 【详解】解：∵代数式有意义 ∴ 解不等式，得 解不等式，得 ∴x的取值范围是且， 选项中只有5满足该范围， 故选：D． 【作业12】（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）在进行二次根式化简时，有时会遇到形如这样的式子，我们可以用如下的方法将其进一步化简：，这种方法叫做分母有理化；请仿照上述过程，将代数式化简为________． 【答案】/ 【知识点】分母有理化 【分析】本题考查二次根式的分母有理化，分子分母同时乘以，即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 【作业13】（2025·安徽合肥·二模）要使有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数列出不等式解答即可求解，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：要使有意义，则， ∴， 故答案为：． 【作业14】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知a，b为有理数，且，求的值． 【答案】 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、已知式子的值，求代数式的值、二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、非负数的性质，掌握二次根式的被开方数是非负数、几个非负数的和为 0，则每个非负数都为 0是解题的关键． 先确定二次根式中被开方数的取值范围，再整理原式，利用非负数的和为0时，每个非负数都为 0的性质求出的值，最后代入计算式子的值． 【详解】解：∵， ∴． ∵由题意得且， ∴且， ∵， ∴且， 故且 解得，， ∴． 【作业15】（2.7 课时2 二次根式的运算）下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次根式的乘法、二次根式的除法、二次根式的加减运算 【分析】本题考查了二次根式的加减乘除运算．根据二次根式的加减、乘除法则计算，判断即可．注意二次根式的加减可以类比合并同类项法则，化简后只有被开方数相同才能进行合并． 【详解】与不能合并，故A项错误； ，故B项错误； ，故C项错误； ，故D项正确； 故选D． 【作业16】（22-23八年级下·广东东莞·阶段检测）当_____时，最简二次根式与可以合并． 【答案】6 【知识点】同类二次根式、二次根式的加减运算 【分析】本题考查了同类二次根式和最简二次根式的定义，两个最简二次根式可以合并，则它们是同类二次根式，根据同类二次根式的定义可得到，然后解方程即可． 【详解】解：∵最简二次根式与， ∴最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得：． 故答案为：6 【作业17】（24-25八年级上·辽宁沈阳·单元测试）在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题： 已知，求的值，他是这样解答的； (1) ； (2)化简：； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)4 【知识点】已知字母的值，化简求值、二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】（1）利用分母有理化计算即可； （2）先将每一项分母有理化，然后合并即可； （3）先根据分母有理化得出，两边平方得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： = ； （3）解： ， ， ，即， ， ． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，解答时一定要先化简再代入求值．二次根式运算到最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰． 【作业18】（25-26八年级上·山西太原·阶段检测）阅读与思考：下面是小美的阅读笔记，请认真阅读，并完成相应任务． 关于二次根式的化简 概念1：裂项相消求和：将求和中的每一项进行分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的． 例如：． 概念2：有理化因式：两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的乘积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如：． 我们称的一个有理化因式是的一个有理化因式是． 概念3：分母有理化：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫作分母有理化，也称“有理化分母” 例如：． 典例1： 典例2： 请完成以下任务： (1)写出的一个有理化因式：______；将分母有理化的结果是_______． (2)猜想：_______（n为正整数）． (3)计算：______． (4)计算：_______． 【答案】(1)； (2) (3)2025 (4) 【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】本题考查了有理化因式和分母有理化的概念，熟练掌握有理化因式和分母有理化的概念是解决本题的关键． （1）根据有理化因式与分母有理化的概念求解即可． （2）将分母变为，再结合分母有理化的概念，求解即可． （3）先进行分母有理化，结合裂项相消求和，再使用平方差公式求解即可． （4）先进行分母有理化，结合裂项相消求和求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的一个有理化因式：； ； 故答案为：；． （2）解： ； 故答案为：． （3）解：， ， ， ， ∴ ， ∴ ． （4）解：由（2）知，， ∴， ∴，， ，， ∴ ． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中综合复习一·培优提高讲义（第1~3章） （知识梳理+典例+练习）·2026年湘教版八年级数学上册 🍔 思维导图 🍟 课程目标 · 理解因式分解的概念，掌握提公因式法、公式法、十字相乘法等基本方法 · 掌握分式的基本性质，熟练进行分式的约分、通分与加减乘除运算 · 会解可化为一元一次方程的分式方程，理解增根与无解问题 · 掌握二次根式的概念与性质，会进行二次根式的化简与混合运算 · 理解零指数幂与负整数指数幂的意义，会用科学记数法表示数 · 能综合运用本章知识解决化简求值、实际应用等问题 🍗 知识梳理 ✅️ 1.因式分解 因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，与整式乘法互为逆变形 提公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c)，公因式取各项系数的最大公因数与相同字母最低次幂的积 公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)；a2±2ab+b2=(a±b)2 十字相乘法：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)；分组分解法：适当分组后提公因式或套公式 概念辨析例题：把多项式x3-4x分解因式。 答案：x(x+2)(x-2) 解析：先提公因式x，得x(x2-4)，再用平方差公式分解，x2-4=(x+2)(x-2)，所以原式=x(x+2)(x-2)。分解因式时必须分解到不能再分解为止。 ✅️ 2.分式 分式：一般地，如果A、B表示两个整式，且B中含有字母，那么形如的式子叫做分式 分式有意义的条件：分母不为0；分式值为0的条件：分子为0且分母不为0 分式基本性质：=（C≠0），据此进行约分与通分 分式运算：同分母直接相加减，异分母先通分；分式乘除转化为乘法约分 概念辨析例题：先化简，再求值：÷，其中a=-1。 答案：原式=，当a=-1时，值为- 解析：分子分母先分解因式，a2-4=(a+2)(a-2)，a2+4a+4=(a+2)2，除法变乘法并约分，得；代入a=-1，得=-。 ✅️ 3.二次根式 二次根式：形如（a≥0）的式子，被开方数必须是非负数 性质：=|a|；=（a≥0，b≥0）；=（a≥0，b>0） 最简二次根式：被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数或因式 同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，可以合并 概念辨析例题：计算：。 答案：2 解析：先化为最简二次根式：=3，=2，原式=3=2。合并同类二次根式时只把系数相加减，根号部分不变。 ✅️ 4.幂运算与科学记数法 零指数幂：a0=1（a≠0）；负整数指数幂：a-n=（a≠0，n为正整数） 同底数幂：am·an=am+n；am÷an=am-n（a≠0）；(am)n=amn；(ab)n=an·bn 科学记数法表示绝对值小于1的数：a×10-n（1≤a<10，n为正整数） 还原科学记数法表示的小数：指数为负n时，小数点向左移动n位 概念辨析例题：计算：(-)-2+(π-3.14)0-(-1)2026。 答案：6 解析：(-)-2=4（负指数幂取倒数再乘方），(π-3.14)0=1，(-1)2026=1，原式=4+1-(-1)=6。注意负数的偶次幂为正。 🧀 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 因式分解 多项式→整式积，与乘法互逆 必须分解到不能再分解 分式有意义 分母≠0 值为0须分子0且分母≠0 二次根式 a≥0；=|a| 化简到最简二次根式 零/负指数幂 a0=1；a-n=1/an 底数均须不为0 科学记数法 a×10n（1≤a<10） 小数用负指数表示 📩 核心考点 【考点1】因式分解（第1-12题） · 先观察有无公因式，有则先提公因式 · 两项用平方差公式，三项用完全平方公式，二次三项式用十字相乘 · 四项及以上考虑分组分解法 · 分解后检查每个因式是否还能继续分解 1．（23-24八年级下·四川成都·期中）下列等式从左到右的变形，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·山西晋中·期中）下列多项式中，不能用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·山东烟台·期中）将分解因式，正确的结果是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·福建泉州·阶段检测）下列各多项式中，可以用完全平方公式分解因式的是（　　） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）下列多项式是完全平方式的有（   ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（24-25八年级上·山西长治·期末）已知的三边长a，b，c都是正整数，且满足，则的周长为_____． 7．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）与的公因式是______． 8．（2024·湖南·一模）因式分解：__________． 9．（2025·湖南·模拟预测）计算：________． 10．（25-26八年级下·全国·课后作业）把下列完全平方式因式分解： (1)； (2)． 11．（23-24八年级上·全国·单元测试）已知关于，的二次式可分解为两个一次因式的乘积，求的值． 12．（24-25七年级上·上海松江·期中）因式分解：； 【考点2】分式运算（第13-23题） · 分式有意义看分母，值为0看分子且分母非0 · 异分母加减先通分，乘除先分解因式再约分 · 混合运算按先乘除后加减的顺序，注意符号 13．（26-27八年级上·全国·课后作业）若，，则的值为（     ） A．6 B．5 C．4 D．2 14．（2025·河南周口·二模）化简的结果是（   ） A．0 B．1 C． D． 15．（25-26八年级上·全国·课后作业）有下列方程：①；②；③；④．其中是分式方程的是（    ） A．③④ B．①② C．①③ D．②④ 16．（24-25八年级上·内蒙古赤峰·期末）商店通常用以下方法来确定两种糖混合而成的什锦糖的价格：设A种糖的单价为x元/千克，B种糖的单价为y元/千克，则m千克A种糖和n千克B种糖混合而成的什锦糖的单价为元/千克（平均价）．现有甲、乙两种什锦糖，均由A，B两种糖混合而成．其中甲种什锦糖由10千克A种糖和10千克B种糖混合而成；乙种什锦糖由10元A种糖和10元B种糖混合而成．你认为（   ）的单价较高． A．甲种什锦糖 B．乙种什锦糖 C．甲、乙两种一样高 D．无法确定 17．（25-26八年级上·北京·课后作业）下列分式中，当时，有意义的是（    ） A． B． C． D． 18．（24-25八年级上·重庆大足·期末）要使分式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 19．（2026·湖北襄阳·三模）计算：______． 20．（23-24八年级上·山东潍坊·期末）对于代数式，，定义运算“”：，例如：，若，则______． 21．（10.4分式的乘除（2）八年级数学下册苏科版）填空题： （1）____________； （2）____________． 22．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 23．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知A，B，为整数，求证：． 【考点3】分式方程（第24-29题） · 去分母化为整式方程，注意公分母不为0 · 解出整式方程后必须检验（代入最简公分母） · 无解问题：整式方程无解或增根两种情况都要考虑 24．（24-25八年级下·吉林长春·阶段检测）定义一种新运算“”为：，则方程的解为（    ） A． B． C． D． 25．（24-25七年级上·上海松江·阶段检测）已知关于x的方程有增根，那么___________． 26．（25-26八年级上·山东青岛·期末）解分式方程时，去分母后可得到_____ ． 27．（25-26八年级上·河南新乡·期末）下面是某同学化简分式的部分运算过程： (1)下面的解题过程从第 步开始出现错误； 解：原式    第一步     第二步     第三步     第四步     第五步     第六步 (2)写出正确的化简运算过程； (3)从，0，3，1中选择一个合适的数作为x的值代入求值． 28．（25-26八年级上·福建福州·期末），两种机器人都被用来搬运化工原料，型机器人比型机器人每小时少搬运，型机器人搬运所用时间与型机器人搬运所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少的化工原料？ 29．（24-25七年级下·安徽六安·期末）关于的方程． (1)当时，求该方程的解； (2)若该方程无解，求的值． 【考点4】幂运算与科学记数法（第30-36题） · 负整数指数幂先取倒数再乘方 · 混合运算先算乘方再算乘除最后算加减 · 科学记数法的小数形式还原时数清小数位数 30．（24-25八年级下·福建泉州·阶段检测）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 31．（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）若，□，则“□”内应填的运算符号为（    ） A． B． C． D． 32．（25-26九年级上·重庆开州·期中）计算：_______． 33．（25-26八年级下·吉林长春·期中）计算：______． 34．（2023·吉林长春·模拟预测）一种细胞的直径为厘米，将写成小数为______ ． 35．（24-25七年级下·河南郑州·阶段检测）________． 36．（26-27八年级上·全国·课后作业）课堂上老师设计了一种运算：．例如．已知为非零实数，计算：． 【考点5】二次根式基础（第37-44题） · 二次根式有意义：被开方数≥0，与分式结合时同时考虑分母≠0 · 化简用=|a|，注意符号 · 化为最简二次根式后判断同类项 37．（23-24八年级下·河南漯河·阶段检测）要使代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D． 38．（23-24八年级上·山西太原·期中）将化成最简二次根式的结果为（    ） A． B． C． D． 39．（25-26八年级下·全国·课后作业）若，则_____，_____． 40．（24-25九年级上·四川巴中·期末）使式子有意义的的取值范围是___________． 41．（25-26八年级上·湖南邵阳·期中）已知实数在数轴上的对应点位置如图所示，则化简_____． 42．（23-24八年级下·全国·课堂例题）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则值为___． 43．（23-24八年级下·吉林·期中）计算：______． 44．（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是_______ ． 【考点6】二次根式运算（第45-52题） · 乘除用=，= · 加减先化简再合并同类二次根式 · 混合运算按运算顺序，注意分母有理化技巧 45．（2025·四川绵阳·三模）如图，将1，三个数按图中方式排列；若规定表示第a排第b列的数，则与表示的两个数的积是（    ）                                   1       第1排                                      第2排                            1        第3排              1             1        第4排    ……   第4列 第3列 第2列  第1列 …… A． B． C． D．1 46．（25-26九年级上·重庆·阶段检测）估计的值在（    ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 47．（24-25八年级下·湖北宜昌·期中）下列各式从左到右的变形正确的有（　　） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 48．（25-26八年级下·全国·课后作业）三角形的面积为，底边长为，则底边上的高为__________． 49．（24-25八年级下·河南商丘·阶段检测）计算的结果为________． 50．（25-26八年级下·广东惠州·期中）计算： (1)； (2)． 51．（23-24九年级上·山西长治·期中）下面是小华同学进行二次根式混合运算的解答过程，请认真阅读并完成相应任务． 计算：． 解：原式    第一步      第二步 ．    第三步 (1)上述解答过程中，第一步中出现了____________处错误； (2)请写出正确的解答过程． 52．（23-24八年级下·云南大理·期中）先化简，再求值： 其中 ． 📊 课后巩固 🍬 复习建议 · 复习时先梳理三章知识框架，明确因式分解、分式、二次根式的内在联系 · 因式分解多练多总结，熟练识别公式结构与十字相乘模型 · 分式与二次根式的运算步骤多，建议分步书写，避免跳步出错 · 分式方程务必检验，理解增根与无解的判别方法 · 幂运算与科学记数法注意符号和指数法则，混合运算先乘方再乘除后加减 【作业1】（24-25八年级下·辽宁阜新·期中）将下列各式因式分解： (1)； (2)． 【作业2】（25-26七年级下·全国·课后作业）把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【作业3】（23-24七年级上·上海浦东新·期中）因式分解：． 【作业4】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算：_________． 【作业5】（26-27八年级上·北京·课堂例题）、、的公分母是____________． 【作业6】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算：． 【作业7】（24-25八年级上·山东威海·期中）若关于x的方程有增根，则___________． 【作业8】（25-26八年级下·吉林长春·期末）有这样一道题：工程队检修一条长自来水管道，计划用若干小时完成，在实际检修过程中，工程队每小时检修管道长度是原计划的倍，结果提前小时完成任务．求工程队原计划每小时检修管道多少米．聪聪和小明的部分解答过程如下： 聪聪 小明 解：设工程队原计划每小时检修管道x米． 根据题意，得： … 解：设 ． 根据题意，得： … (1)根据表格信息回答问题：聪聪所列方程中的 表示的是 ，小明所设未知数y表示的是 ； (2)选择一种方法并写出完整的解答过程． 【作业9】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算的结果为_______． 【作业10】（24-25七年级下·全国·课后作业）用科学记数法表示下列各数： (1)； (2)； (3)． 【作业11】（25-26九年级上·河南新乡·期末）使代数式 有意义的x的值可以是（   ） A．0 B．1 C．3 D．5 【作业12】（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）在进行二次根式化简时，有时会遇到形如这样的式子，我们可以用如下的方法将其进一步化简：，这种方法叫做分母有理化；请仿照上述过程，将代数式化简为________． 【作业13】（2025·安徽合肥·二模）要使有意义，则的取值范围是______． 【作业14】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知a，b为有理数，且，求的值． 【作业15】（2.7 课时2 二次根式的运算）下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 【作业16】（22-23八年级下·广东东莞·阶段检测）当_____时，最简二次根式与可以合并． 【作业17】（24-25八年级上·辽宁沈阳·单元测试）在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题： 已知，求的值，他是这样解答的； (1) ； (2)化简：； (3)若，求的值． 【作业18】（25-26八年级上·山西太原·阶段检测）阅读与思考：下面是小美的阅读笔记，请认真阅读，并完成相应任务． 关于二次根式的化简 概念1：裂项相消求和：将求和中的每一项进行分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的． 例如：． 概念2：有理化因式：两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的乘积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如：． 我们称的一个有理化因式是的一个有理化因式是． 概念3：分母有理化：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫作分母有理化，也称“有理化分母” 例如：． 典例1： 典例2： 请完成以下任务： (1)写出的一个有理化因式：______；将分母有理化的结果是_______． (2)猜想：_______（n为正整数）． (3)计算：______． (4)计算：_______． 学科网（北京）股份有限公司 $