第3章·二次根式·期中复习·培优讲义（知识梳理+典例+练习）·2026年湘教版八年级数学上册

第3章·二次根式·期中复习·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026年湘教版八年级数学上册 参考答案与试题解析 🍔 思维导图 🍟 课程目标 · 理解二次根式的概念，掌握二次根式有意义的条件 · 掌握二次根式的性质=|a|，会利用性质化简 · 理解最简二次根式与同类二次根式的概念 · 熟练进行二次根式的加减乘除混合运算 · 掌握分母有理化的方法与技巧 · 能运用二次根式解决几何、代数等综合问题 🍗 知识梳理 ✅️ 1.二次根式的概念 二次根式：形如（a≥0）的式子，被开方数必须是非负数 二次根式有意义的条件：被开方数≥0；与分式结合时还要分母≠0 表示a的算术平方根，具有双重非负性：≥0且(=a 求字母取值范围：由被开方数（或分母）的不等式组确定 概念辨析例题：若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）A．x≥3　B．x>3　C．x≤3　D．x<3 答案：A 解析：二次根式有意义需被开方数非负：x-3≥0，解得x≥3。故选A。 ✅️ 2.二次根式的性质 性质1：=|a|=a（a≥0）或-a（a<0） 性质2：=（a≥0，b≥0） 性质3：=（a≥0，b>0） 化简时注意符号：开方结果必为非负数，含字母时要分类讨论 概念辨析例题：化简：。 答案：3 解析：==3；也可直接用=|a|得|-3|=3。开方结果是算术平方根，一定是非负数。 ✅️ 3.最简二次根式与同类二次根式 最简二次根式：被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数或因式 化简方法：把被开方数分解因数，能开方的部分提到根号外 同类二次根式：化成最简二次根式后被开方数相同 合并同类二次根式：只把系数相加减，根号部分不变 概念辨析例题：下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）A．　B．　C．　D． 答案：C 解析：被开方数含分母，=2、=3被开方数含能开得尽方的因数，都不是最简二次根式；符合最简条件。故选C。 ✅️ 4.二次根式的运算 加减：先化最简，再合并同类二次根式 乘法：=，注意a≥0、b≥0 除法：=，分母有理化把分母化为整数 混合运算：按运算顺序，可借助乘法公式（平方差、完全平方）简化 概念辨析例题：计算：。 答案： 解析：=2，=，=3，原式=2=。先化简再合并。 ✅️ 5.二次根式的应用 非负性应用：算术平方根、绝对值、偶次幂三项非负和为0时各项都为0 几何应用：利用勾股定理、三角形三边关系建立含根号的等量关系 代数综合：分母有理化后代入求值，运用乘法公式化简 规律探索：观察算式结构，归纳一般规律并验证 概念辨析例题：已知+|b-3|=0，求a+b的值。 答案：5 解析：≥0且|b-3|≥0，两者和为0则分别为0：a-2=0得a=2，b-3=0得b=3，所以a+b=5。 🧀 知识总结表 核心概念 定义/性质 注意事项 二次根式 a≥0才有意义 被开方数非负 =|a| 结果非负 最简二次根式 不含分母/开得尽方 化简后判断同类 同类二次根式 最简后被开方数相同 合并只动系数 分母有理化 乘共轭因式 乘后分子同步变化 📩 核心考点 【考点1】二次根式的概念与有意义条件（第1-16题） · 被开方数≥0是核心条件 · 与分式结合时同时考虑分母≠0 · 与不等式结合时解不等式组 1．（24-25九年级上·四川宜宾·阶段检测）已知x，y为实数，且，则的值为（   ） A． B．9 C． D．18 【答案】B 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，根据二次根式有意义的条件求出，由此得到y的值，再进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 2．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段检测）使有意义的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次根式有意义的条件、分式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式有意义以及分母不为0，据此即可列式作答． 【详解】解：依题意，由可得 解得 故选：B 3．（25-26八年级下·山东潍坊·期中）在实数范围内有意义，则x的值不可能是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】先根据条件求出x的取值范围，再判断哪个选项不符合范围即可得到答案． 【详解】解：∵在实数范围内有意义时，被开方数为非负数， ∴， 解得， ∵选项中只有，不满足条件， ∴x的值不可能是2． 4．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）下列二次根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二次根式有意义的条件、利用二次根式的性质化简、最简二次根式的判断 【分析】本题考查了最简二次根式，二次根式有意义的条件，二次根式的化简，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据最近二次根式的定义，二次根式有意义的条件，二次根式的化简，一一判断即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，故符合题意； B、没有意义，故不符合题意； C、不是最简二次根式，故不符合题意； D、，故不符合题意； 故选：A． 5．（25-26八年级下·河南开封·期末）若有意义，则的取值范围是__________． 【答案】且 【知识点】二次根式有意义的条件、求不等式组的解集、分式有意义的条件 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，列出不等式组，求解后取交集即可得到的取值范围． 【详解】解：要使有意义，需同时满足二次根式被开方数为非负数，且分式分母不为零． 列不等式组得 解得且， 则的取值范围是且． 6．（2025·江苏扬州·三模）若在实数范围内有意义，则的取值范围是____． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件、分式有意义的条件 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握“二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为零”是解本题的关键． 根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件得到，再求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 7．（24-25八年级下·天津·阶段检测）若有意义，则x的取值范围是________． 【答案】且 【知识点】二次根式有意义的条件、分式有意义的条件 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件、分式有意义的条件．根据二次根式中的被开方数是非负数、分式分母不为0列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：由题意得，，， 解得，且， 故答案为：且． 8．（2023·广西北海·一模）若在实数范围内有意义，则x____． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件、分式有意义的条件 【分析】本题考查了分式有意义的条件及二次根式有意义的条件，解题时要能根据题意列式并求解．由题意：分式的分母不为0，被开方数大于或等于0，即可得解． 【详解】根据题意知， 则， 故答案为：． 9．（25-26八年级上·四川成都·期中）要使二次根式有意义，则实数的取值范围为______． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，即被开方数必须是非负数，由此建立不等式求解． 【详解】解： 有意义， ， 解得：， 故答案为：． 10．（24-25七年级下·上海徐汇·期末）化简：___________ 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件、利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式的化简等知识，熟练掌握二次根式性质，是解题的关键．根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：根据题意有：，， ∴，即， ∴， 故答案为：． 11．（24-25八年级上·上海·期中）如果在实数范围内有意义，则、的大小关系为__________． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案． 【详解】解：在实数范围内有意义， 则， 总小于0， ， ， 故答案为：． 12．（2023·湖南娄底·一模）若在实数范围内有意义，则的取值范围是_______． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键．直接利用二次根式有意义则被开方数大于或等于零即可得出答案． 【详解】解：在实数范围内有意义， 故， 解得：． 故答案为：． 13．（23-24九年级下·河南鹤壁·期中）写出一个使在实数范围内有意义的x的值：___________． 【答案】1（答案不唯一） 【知识点】二次根式有意义的条件、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，以及解不等式，熟练掌握被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式有意义得到求解，取恰当的值即可． 【详解】解：由题意得，， 解得， 故答案为：1（答案不唯一）． 14．（25-26八年级下·安徽芜湖·期中）已知，则______． 【答案】1 【知识点】二次根式有意义的条件、有理数的乘方运算、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】根据二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数，求出的值，再代入原式求出的值即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得， ∴， ∴． 15．（24-25八年级下·福建莆田·阶段检测）若，则的值为______________． 【答案】3 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件求出x的值，即可得出y的值，再计算即可． 【详解】解：根据题意得， 解得， ∴， ∴， 故答案为：3． 16．（26-27八年级上·辽宁辽阳·阶段检测）已知：，则x的值______． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件、求二次根式中的参数 【分析】两个根号里的式子都要非负，联立不等式组，取公共解． 【详解】解：二次根式有意义的条件 由，得 由，得 同时满足两个条件的． 【考点2】最简二次根式与性质化简（第17-28题） · 化简先分解因数，能开方提到根号外 · =|a|注意符号 · 判断最简看被开方数 17．（25-26八年级上·广东惠州·期末）下列式子中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】本题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义（被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式），逐一判断选项即可． 【详解】解：A、，故不属于最简二次根式，不符合题意； B、属于最简二次根式，符合题意； C、，故不属于最简二次根式，不符合题意； D、，故不属于最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 18．（25-26八年级下·陕西安康·阶段检测）计算：（   ）． A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据进行化简计算，即可作答． 【详解】解：． 19．（24-25八年级下·湖北荆州·期中）下列二次根式中，能与合并的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】同类二次根式、化为最简二次根式、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了同类二次根式，二次根式的性质，最简二次根式，判断二次根式能否合并，需化简为最简二次根式后，若被开方数相同即可合并，据此进行分析即可作答． 【详解】解：A、已是最简形式，被开方数为6，与的被开方数2不同，不能合并； B、，被开方数为3，与2不同，不能合并； C、，被开方数为2，与相同，可以合并； D、，被开方数为6，与2不同，不能合并； 故选：C 20．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段检测）下列根式中，是最简二次根式的为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】化为最简二次根式、最简二次根式的判断 【分析】本题考查最简二次根式概念以及性质，理解概念是解答的关键．根据最简二次根式的概念进行判断即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，是最简二次根式，符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、不是最简二次根式，不符合题意． 故选：B． 21．（23-24八年级下·北京密云·期末）下列化简正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求一个数的算术平方根、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查二次根式的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．利用二次根式的性质逐项检验即可． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：C． 22．（23-24九年级上·湖南衡阳·期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】本题考查了最简二次根式的概念，掌握满足最简二次根式的条件：被开方数的因数是整数，因式是整式，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是关键．利用最简二次根式的概念判断每个选项即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B、是最简二次根式，故本选项符合题意； C、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 故选：B． 23．（24-25八年级下·全国·随堂练习）已知m为正整数，若是整数，则根据可知m有最小值．设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最小值为______． 【答案】3 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的乘法、二次根式的除法 【分析】本题考查二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，解题的关键是读懂题意，根据关键词“整数”进行求解． 先将化简为10，可得n最小为3，即可求解． 【详解】解：∵10，且为整数， ∴n最小为3. 故答案为：3． 24．（25-26八年级下·山东滨州·期末）已知一个正方形的面积为，则其边长为________． 【答案】 【知识点】化为最简二次根式、算术平方根的实际应用 【分析】根据正方形面积公式得到边长的平方等于已知面积，利用算术平方根的定义即可求出正方形的边长． 【详解】解：∵一个正方形的面积为， ∴其边长为． 25．（2024·江苏苏州·三模）计算：的结果是_________． 【答案】/ 【知识点】运用平方差公式进行运算、有理数的乘方运算、二次根式的乘法、积的乘方的逆用 【分析】本题考查了积的乘方逆用，二次根式的乘法运算以及平方差公式，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．把原式变形为，逆用积的乘方计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 26．（25-26八年级下·河南新乡·期中）将按如图方式排列，若规定表示第m行从左向右数的第n个数，则表示的数是______． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简、数字类规律探索 【分析】本题考查了规律探索的数字变化类，根据图形得出所表示的数为图形中的第个数，再根据，得到相应的数即可求解． 【详解】解：由图可得， 第排个数， 第排个数， 第排个数， ， 第排个数， ∴第排到第排共有个数， ∴表示的数为第个数， ∵ ∴第个数为． 27．（26-27八年级上·安徽宿州·阶段检测）【阅读材料】先来看一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，数字2称为“穿墙”数，具有这种现象的数还有许多，例如：，等． 【猜想】 （1）__________； （2）按此规律，若（a，b为正整数），__________． 【答案】 89 【知识点】利用二次根式的性质化简、与实数运算相关的规律题 【分析】（1）根据题意可得规律（n为大于等于2的正整数），据此可得答案； （2）根据（1）的规律可得，据此求解即可． 【详解】解：（1）， ， ， ……， 以此类推可知，（n为大于等于2的正整数） ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴． 28．（23-24八年级上·广东佛山·期末）计算： 【答案】 【知识点】二次根式的加减运算、利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了二次根式的加减混合运算，先根据二次根式的性质化简二次根式，然后再进行加减运算即可． 【详解】解： ． 考点3：二次根式的运算 29．（24-25九年级下·云南大理·阶段检测）下列运算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次根式的加减运算、幂的乘方运算 【分析】本题考查二次根式的化简，幂的乘方，根据有关知识点逐个计算即可． 【详解】解：A、和不是同类项，不能合并，选项错误； B、，原计算错误，选项不符合题意； C、，原计算错误，选项不符合题意； D、，原计算正确，选项符合题意； 故选：D． 30．（23-24七年级下·四川广元·期末）下列各式中正确的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求一个数的立方根、求一个数的算术平方根、二次根式的加减运算 【分析】本题考查二次根式的加减，算术平方根，立方根，逐项计算即可得出答案 【详解】解：A. ，错误，该选项不符合题意； B. ，错误，该选项不符合题意； C. ，错误，该选项不符合题意； D. ，正确，该选项符合题意； 故选：D 31．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次根式的加减运算、利用二次根式的性质化简、二次根式的乘法、二次根式的除法 【分析】本题主要考查了二次根式的化简和二次根式的运算，解题的关键是熟练掌握二次根式化简和运算的法则． 利用二次根式化简和运算的法则，逐一验证各选项的正确性即可． 【详解】解：A．，而，该选项错误，不符合题意； B．，而，该选项错误，不符合题意； C．，而，该选项错误，不符合题意； D．，结果与等式右侧一致，该选项正确，符合题意； 故选：D． 32．（24-25八年级下·重庆渝北·期中）估计的值在（    ） A．4到5之间 B．5到6之间 C．6到7之间 D．7到8之间 【答案】A 【知识点】二次根式的乘法、无理数的大小估算 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、无理数的估算等知识点，掌握二次根式的混合运算法则成为解题的关键． 先根据二次根式的混合运算法则化简，然后再运用“夹逼法”估算即可． 【详解】解：， ∵， ∴， 故选：A． 33．（24-25八年级上·内蒙古包头·期中）下列计算结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的混合运算法则一一计算判断即可得到答案； 【详解】解：A、，本选项错误，不符合题意； B、，本选项正确，符合题意； C、，本选项错误，不符合题意； D、，本选项错误，不符合题意． 故选：B． 34．（26-27九年级上·河南驻马店·阶段检测）新考向  我们把形如（a，b为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如：是型无理数，则是（     ） A．型无理数 B．型无理数 C．型无理数 D．型无理数 【答案】A 【知识点】新定义下的实数运算、利用二次根式的性质化简、运用完全平方公式进行运算、二次根式的混合运算 【详解】解：． ∵ ，为有理数，是最简二次根式， ∴ 该数是型无理数． 35．（25-26八年级下·山东菏泽·期中）计算的结果是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【知识点】运用平方差公式进行运算、二次根式的混合运算、积的乘方的逆用 【分析】利用积的乘方逆运算将原式变形再结合平方差公式进行计算． 【详解】解：原式 ． 36．（23-24八年级下·重庆开州·期中）已知，将的整数部分加上的小数部分的倒数得到，再将的整数部分加上的小数部分的倒数得到，以此类推可得到，，…，．如的整数部分为2，小数部分为．所．根据以上信息，下列说法正确的有（    ） ①；②的小数部分为；③； ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】无理数整数部分的有关计算、数字类规律探索、二次根式的混合运算 【分析】根据定义总结的规律，再利用无理数的估算和二次根式的混合运算进行判断即可． 【详解】解：由题意得，，整数部分为6，小数部分为， ，整数部分为10，小数部分为， ，整数部分为14，小数部分为， ，整数部分为18，小数部分为， ，整数部分为22，小数部分为， ，整数部分为26，小数部分为， ∴，小数部分是， ∴①，正确； ②的小数部分为，正确； ③，错误； ④ ，正确； 故选：C． 【点睛】本题考查数字规律型、估算无理数的大小、二次根式的混合运算，根据定义总结的规律是解题的关键． 37．（23-24八年级下·四川绵阳·期中）有下列四个算式：①；②；③；④．其中正确的是（    ）． A．①④ B．③④ C．②③ D．①③ 【答案】C 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查二次根式的加减法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 利用二次根式的加减法的法则进行运算即可． 【详解】解：①与不属于同类二次根式，不能运算，故①不符合题意； ②，故②符合题意； ③ ，故③符合题意； ④ ，故④不符合题意； 故选：C． 38．（25-26九年级上·重庆沙坪坝·期中）估计的值应在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】B 【知识点】二次根式的混合运算、无理数的大小估算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．将原表达式化简为，再根据，即可求解． 【详解】解： ， ∵，， ∴ ∴， ∴ 故选：B． 39．（23-24八年级上·上海青浦·期中）若等腰三角形的两条边分别长，，则此三角形周长为__________． 【答案】/ 【知识点】等腰三角形的定义、二次根式的加减运算、三角形三边关系的应用 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形的三边关系及二次根式的运算，根据题意可分两种情况进行求解，即当腰长为，底边为和当腰长为，底边长为，然后再根据三角形的三边关系再进一步判断求解即可．熟练掌握等腰三角形的性质、三角形的三边关系及二次根式的运算是解题的关键． 【详解】解：由题意得： ①当腰长为，底边为时， ∵， ∵ ∴， ∴围不成三角形，不符合题意， ②当腰长为，底边长为时， ∵，符合题意， ∴此三角形周长为． 综上所述：这个三角形的周长为． 故答案为：． 40．（26-27八年级上·上海金山·阶段检测）若 ，那么 ________________ 【答案】 / 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、已知字母的值 ，求代数式的值、分母有理化、绝对值非负性 【分析】根据算术平方根和绝对值的非负性，分别求出和的值，再代入所求代数式化简计算． 【详解】解：∵，，且， ∴，， 解得：，， 将，代入得：． 41．（24-25八年级上·上海·期中）假设长方形的面积为，相邻两边长分别为，，已知，，则__________． 【答案】/ 【知识点】二次根式的除法 【分析】本题考查了二次根式的乘除法，掌握分母有理化是解题的关键．根据题意得：，将，代入即可得到的值． 【详解】解：长方形的面积为，相邻两边长分别为，， ， ，， ， 故答案为：． 42．（2026·天津红桥·三模）计算的结果为________． 【答案】6 【知识点】运用完全平方公式进行运算、二次根式的混合运算 【详解】解： ． 43．（25-26八年级下·湖南湘西·阶段检测）已知，，则的值为________． 【答案】 【知识点】求一个数的平方根、通过对完全平方公式变形求值、二次根式的混合运算 【分析】利用完全平方公式变形，将其化为含有和的形式，再整体代入求出的值，然后开方即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∴． 44．（24-25八年级下·辽宁鞍山·期中）利用平方与开平方互为逆运算的关系，可以将某些无理数进行如下操作： 例如：时，移项得，两边平方得，所以，即得到整系数方程：． 仿照上述操作方法，若，计算：________． 【答案】 【知识点】二次根式的混合运算、已知字母的值，化简求值 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，代数式求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据已知可得，然后利用完全平方公式得到的整系数方程为：，可得，然后代入式子中进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴， ∴得到的整系数方程为：， ∴， ∴ 故答案为：． 考点4：二次根式的应用与综合 45．（24-25七年级下·全国·课后作业）如果a满足，那么的值为（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】C 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、利用二次根式的性质化简、绝对值非负性、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、绝对值的化简，掌握二次根式的被开方数是非负数，根据取值范围化简绝对值是解题的关键． 本题由方程中的可知，从而，代入原方程化简后平方求解，再计算的值． 【详解】解：∵有意义 ∴，即 ∵ ∴ 代入原方程： 化简得： 两边平方： ∴． ∴． 故选：C． 46．（23-24七年级下·浙江温州·期中）将一张周长为的长方形纸条按图1所示进行折叠，得到一个“爱心”图案（如图2）．若“爱心”的水平宽度比竖直高度大，则图1中的长为________，图2中“爱心”的周长为________． 【答案】 【知识点】二次根式的应用、几何问题(一元一次方程的应用)、用勾股定理解三角形、折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，一元一次方程，解题的关键是掌握折叠的性质．设，，则，得到长方形的长为，宽为，根据长方形的周长为，列方程求出，可得到的值；设与交于点，根据折叠的性质和勾股定理求出、、即可求解． 【详解】解：设，，则， 长方形的长为：， 由折叠可知：， 长方形的宽为：， 长方形的周长为， ， 解得：， ； 设与交于点， 则，， ， ， ，， “爱心”的周长为：， 故答案为：，． 47．（25-26九年级下·湖南娄底·期中）魏晋时期刘徽在其撰写的《九章算术注》中提到了“不加借算”开平方的方法：．当取正整数且最小时，用“不加借算”的方法计算约为___________，用“不加借算”的方法计算面积为的等边三角形区域的边长约为___________．（精确到0.1） 【答案】 【知识点】二次根式的应用、求一个数的算术平方根 【分析】根据题目给出的“不加借算”开平方规则，先按公式计算，再结合等边三角形面积公式得到边长的平方，最后利用“不加借算”方法计算边长． 【详解】解：根据题意计算： ，此时取正整数，最小，代入公式得 ，精确到得． 设等边三角形的边长为，由等边三角形的性质可得其高为，因此面积为： ∵，代入得 ∴， ∴． ，此时取正整数，最小， 代入公式得， 精确到得． 48．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）比较大小：________（选填“”，“”，“”） 【答案】 【知识点】实数的大小比较、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了无理数的大小比较，二次根式的运算，熟练掌握作差法比较大小是解题的关键． 利用作差法可得，然后通过，，再次利用作差法比较和的大小，从而得到，即可得出答案． 【详解】解： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴, ∴， ∴． 故答案为：． 49．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段检测）计算． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一个数的立方根、二次根式的加减运算、求一个数的绝对值 【分析】本题考查了实数的运算， （1）原式利用平方根、立方根定义计算即可得到结果； （2）原式利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果． 熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】（1）解：原式； （2）原式 50．（24-25八年级上·陕西西安·期末）计算：． 【答案】 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据运算顺序先算除法，再算加减，解决此题的关键是正确的计算． 【详解】解：原式 ． 51．（24-25八年级下·内蒙古通辽·期中）计算： (1)； (2)． (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】二次根式的乘除混合运算、二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的加减运算法则计算； （2）先计算二次根式的乘除法，再进行加减计算； （3）根据二次根式的加减运算法则计算； （4）利用完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 52．（24-25八年级上·广东深圳·期中）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】求一个数的立方根、求一个数的算术平方根、二次根式的混合运算、求一个数的绝对值 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键； （1）先根据绝对值、有理数的乘方、算术平方根、立方根的定义计算，再合并即可； （2）先根据二次根式的乘法计算，再根据二次根式的性质化简，最后合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 📊 课后巩固 🍬 复习建议 · 二次根式有意义条件是被开方数非负，含分式时还要分母非零 · 化简用性质=|a|，注意符号处理 · 运算前先化简，同类合并只动系数 · 分母有理化乘共轭因式，分子同步变化 · 综合应用注意非负性和几何等量关系 【作业1】（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知，求___________． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件和化简二次根式，解题的关键熟知二次根式有意义的条件． 根据二次根式的定义，被开方数必须为非负数，由此确定的取值范围，进而求出和的值，再计算． 【详解】解：根据题意可知，， 解得， 将代入，得， ∴． 故答案为：． 【作业2】（2026·上海·三模）若，，则________． 【答案】 【知识点】二次根式的混合运算 【详解】解：∵，， ∴． 【作业3】（23-24八年级上·江苏无锡·阶段检测）已知，求的平方根． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件、求一个数的平方根 【分析】本题考查二次根式的性质，求一个数的平方根，根据二次根式的被开方数为非负数，求出，进而求出，再进行求解即可．掌握二次根式的非负性和平方根的定义，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根为． 【作业4】（23-24八年级下·浙江绍兴·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的乘法、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解题的关键． （1）先把化简，然后合并同类二次根式即可； （2）先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘法运算，然后合并同类二次根式即可． 【详解】（1）原式 ． （2）原式 ． 【作业5】（25-26八年级上·上海金山·期中）解方程：． 【答案】 【知识点】分母有理化、解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题考查了一元一次方程，分母有理化，先去括号再移项，合并同类项，系数化1，最后进行分母有理化，即可作答． 【详解】解：， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1，得． 【作业6】（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）计算题 (1)计算：． (2)计算：． (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求一个数的立方根、二次根式的加减运算、实数的混合运算、二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查了实数混合运算，二次根式混合运算，熟练掌握二次根式性质和混合运算法则，是解题的关键． （1）根据二次根式性质进行化简，然后根据二次根式加减混合运算法则进行计算即可； （2）根据平方差公式和完全平方公式，结合二次根式混合运算法则进行计算即可； （3）根据零指数幂运算法则，二次根式性质，立方根定义进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； 【作业7】（24-25八年级下·四川自贡·期末）计算：． 【答案】 【知识点】二次根式的加减运算、二次根式的乘法 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先计算二次根式的乘法，再进行加减计算． 【详解】解： ． 【作业8】（23-24八年级下·河南商丘·期末）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质，以及平方差公式和完全平方公式． （1）先将二次根式化简，最后合并同类二次根式即可； （2）根据平方差公式和完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 【作业9】（24-25八年级上·福建三明·期中）计算： (1)； (2) 【答案】(1)5 (2) 【知识点】化为最简二次根式、二次根式的加减运算、二次根式的乘法 【分析】本题考查二次根式混合运算，最简二次根式，掌握二次根式混合运算法则和顺序是解题关键． （1）利用乘法分配律进行计算即可； （2）先化简，再进行合并计算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【作业10】（23-24八年级下·全国·单元测试）已知满足． (1)求 的值； (2)试问以为边长能否构成三角形？若能构成，求出三角形的周长；若不能构成三角形，请说明理由． 【答案】(1)，，． (2)能构成三角形，周长为 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、二次根式的加减运算、绝对值非负性、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：绝对值、偶次方、二次根式（算术平方根），熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据非负数的性质可求出的值； （2）根据，，，可得，即可根据三角形三边关系，得出以为边长能构成三角形，再把三角形三边相加即可求得周长． 【详解】（1）解：由题意得：，，， 解得：，，． （2）解：∵，，． ∴， ∵，， ∴， ∴以为边长能构成三角形， ∴此时三角形的周长为． 【作业11】（24-25八年级上·广东深圳·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)10 【知识点】二次根式的加减运算、二次根式的混合运算 【分析】（1）先根据二次根式性质进行化简，然后按照二次根式加减运算法则进行计算即可； （2）根据平方差公式和二次根式除法运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【作业12】（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，熟知二次根式的相关计算法则是解题的关键． （1）先计算二次根式乘法，再化简二次根式，最后计算加减法即可得到答案； （2）先计算二次根式乘法，再计算加减法即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【作业13】（24-25八年级下·江西赣州·期中）【特例感知】 化简：； 解：． （1）请在横线上直接写出化简的结果： ①__________； ②__________． 【观察发现】（2）第n个式子是（n为正整数），请求出该式子化简的结果（需要写出推理步骤）． 【拓展应用】（3）从上述结果中找出规律，并利用这一规律计算：． 【答案】（1）①；②； （2）， ， ∴的化简结果为． （3）2023 【知识点】运用平方差公式进行运算、分母有理化、数字类规律探索、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了分母有理化，平方差公式，二次根式的混合运算，熟练掌握分母有理化，平方差公式，二次根式的混合运算是解题的关键． （1）利用分母有理化求解作答即可； （2）根据，求解作答即可； （3）①利用（2）的结论，结合平方差公式计算即可；②先分母有理化，再逆用同分母的加减法则变形后，结合互为相反数的和为零，计算即可． 【详解】（1）①解：． 故答案为：． ②解：． 故答案为：． （2） 略 （3）解： ． 【作业14】（25-26八年级下·全国·期末）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的混合运算 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【作业15】（18-19八年级下·甘肃平凉·期中）计算： (1)． (2) (3)先化简，再求值： ，其中． 【答案】(1)0 (2)21 (3)， 【知识点】运用平方差公式进行运算、利用二次根式的性质化简、二次根式的混合运算、分式化简求值 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，二次根式的混合运算，分式的化简求值等，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）先对二次根式进行化简，再进行加减运算； （2）利用平方差公式进行计算即可； （3）先对分式进行因式分解，再进行约分，最后进行加减运算，代数求值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ， 将代入上式得， 原式． 【作业16】（25-26八年级下·湖北襄阳·阶段检测）计算题： (1) (2) 【答案】(1) (2)3 【知识点】零指数幂、利用二次根式的性质化简、二次根式的混合运算、负整数指数幂 【分析】（1）先利用二次根式的性质化简，再进行加减运算即可求解； （2）先进行绝对值、零指数幂、二次根式的除法和负整数指数幂运算，再进行加减运算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【作业17】（23-24八年级下·青海海东·阶段检测）在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题： 已知，求的值． 他是这样解答的： 因为， 所以， 所以，， 所以， 所以． (1)化简：______； (2)化简：； (3)比较大小：与的大小； (4)若，按照小明的做法求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】分母有理化、利用二次根式的性质化简、二次根式的混合运算 【分析】(1)利用分母有理化计算； (2)先分母有理化，然后合并即可； (3)先分母有理化，再比较分母的大小即可； (4)先利用得到，两边平方得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】（1） （2）原式 ． （3），         ，         ∵， ∴， ∴． （4）∵， ∴，         则， 左右同时平方可得：， ∴， 所以原式． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值.二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰. 【作业18】（23-24八年级上·上海·期中）先化简，再求值：，其中：，． 【答案】 ， 【知识点】二次根式的乘除混合运算、二次根式的混合运算、已知字母的值，化简求值 【分析】先对括号内式子通分，再将除法转化为乘法，利用平方差公式化简后，代入、的值计算即可． 【详解】解：原式 ； 当，代入得： 原式． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章·二次根式·期中复习·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026年湘教版八年级数学上册 🍔 思维导图 🍟 课程目标 · 理解二次根式的概念，掌握二次根式有意义的条件 · 掌握二次根式的性质=|a|，会利用性质化简 · 理解最简二次根式与同类二次根式的概念 · 熟练进行二次根式的加减乘除混合运算 · 掌握分母有理化的方法与技巧 · 能运用二次根式解决几何、代数等综合问题 🍗 知识梳理 ✅️ 1.二次根式的概念 二次根式：形如（a≥0）的式子，被开方数必须是非负数 二次根式有意义的条件：被开方数≥0；与分式结合时还要分母≠0 表示a的算术平方根，具有双重非负性：≥0且(=a 求字母取值范围：由被开方数（或分母）的不等式组确定 概念辨析例题：若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）A．x≥3　B．x>3　C．x≤3　D．x<3 答案：A 解析：二次根式有意义需被开方数非负：x-3≥0，解得x≥3。故选A。 ✅️ 2.二次根式的性质 性质1：=|a|=a（a≥0）或-a（a<0） 性质2：=（a≥0，b≥0） 性质3：=（a≥0，b>0） 化简时注意符号：开方结果必为非负数，含字母时要分类讨论 概念辨析例题：化简：。 答案：3 解析：==3；也可直接用=|a|得|-3|=3。开方结果是算术平方根，一定是非负数。 ✅️ 3.最简二次根式与同类二次根式 最简二次根式：被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数或因式 化简方法：把被开方数分解因数，能开方的部分提到根号外 同类二次根式：化成最简二次根式后被开方数相同 合并同类二次根式：只把系数相加减，根号部分不变 概念辨析例题：下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）A．　B．　C．　D． 答案：C 解析：被开方数含分母，=2、=3被开方数含能开得尽方的因数，都不是最简二次根式；符合最简条件。故选C。 ✅️ 4.二次根式的运算 加减：先化最简，再合并同类二次根式 乘法：=，注意a≥0、b≥0 除法：=，分母有理化把分母化为整数 混合运算：按运算顺序，可借助乘法公式（平方差、完全平方）简化 概念辨析例题：计算：。 答案： 解析：=2，=，=3，原式=2=。先化简再合并。 ✅️ 5.二次根式的应用 非负性应用：算术平方根、绝对值、偶次幂三项非负和为0时各项都为0 几何应用：利用勾股定理、三角形三边关系建立含根号的等量关系 代数综合：分母有理化后代入求值，运用乘法公式化简 规律探索：观察算式结构，归纳一般规律并验证 概念辨析例题：已知+|b-3|=0，求a+b的值。 答案：5 解析：≥0且|b-3|≥0，两者和为0则分别为0：a-2=0得a=2，b-3=0得b=3，所以a+b=5。 🧀 知识总结表 核心概念 定义/性质 注意事项 二次根式 a≥0才有意义 被开方数非负 =|a| 结果非负 最简二次根式 不含分母/开得尽方 化简后判断同类 同类二次根式 最简后被开方数相同 合并只动系数 分母有理化 乘共轭因式 乘后分子同步变化 📩 核心考点 【考点1】二次根式的概念与有意义条件（第1-16题） · 被开方数≥0是核心条件 · 与分式结合时同时考虑分母≠0 · 与不等式结合时解不等式组 1．（24-25九年级上·四川宜宾·阶段检测）已知x，y为实数，且，则的值为（   ） A． B．9 C． D．18 2．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段检测）使有意义的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·山东潍坊·期中）在实数范围内有意义，则x的值不可能是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 4．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）下列二次根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·河南开封·期末）若有意义，则的取值范围是__________． 6．（2025·江苏扬州·三模）若在实数范围内有意义，则的取值范围是____． 7．（24-25八年级下·天津·阶段检测）若有意义，则x的取值范围是________． 8．（2023·广西北海·一模）若在实数范围内有意义，则x____． 9．（25-26八年级上·四川成都·期中）要使二次根式有意义，则实数的取值范围为______． 10．（24-25七年级下·上海徐汇·期末）化简：___________ 11．（24-25八年级上·上海·期中）如果在实数范围内有意义，则、的大小关系为__________． 12．（2023·湖南娄底·一模）若在实数范围内有意义，则的取值范围是_______． 13．（23-24九年级下·河南鹤壁·期中）写出一个使在实数范围内有意义的x的值：___________． 14．（25-26八年级下·安徽芜湖·期中）已知，则______． 15．（24-25八年级下·福建莆田·阶段检测）若，则的值为______________． 16．（26-27八年级上·辽宁辽阳·阶段检测）已知：，则x的值______． 【考点2】最简二次根式与性质化简（第17-28题） · 化简先分解因数，能开方提到根号外 · =|a|注意符号 · 判断最简看被开方数 17．（25-26八年级上·广东惠州·期末）下列式子中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 18．（25-26八年级下·陕西安康·阶段检测）计算：（   ）． A．2 B． C．4 D． 19．（24-25八年级下·湖北荆州·期中）下列二次根式中，能与合并的是（   ） A． B． C． D． 20．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段检测）下列根式中，是最简二次根式的为（      ） A． B． C． D． 21．（23-24八年级下·北京密云·期末）下列化简正确的是（   ） A． B． C． D． 22．（23-24九年级上·湖南衡阳·期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（       ） A． B． C． D． 23．（24-25八年级下·全国·随堂练习）已知m为正整数，若是整数，则根据可知m有最小值．设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最小值为______． 24．（25-26八年级下·山东滨州·期末）已知一个正方形的面积为，则其边长为________． 25．（2024·江苏苏州·三模）计算：的结果是_________． 26．（25-26八年级下·河南新乡·期中）将按如图方式排列，若规定表示第m行从左向右数的第n个数，则表示的数是______． 27．（26-27八年级上·安徽宿州·阶段检测）【阅读材料】先来看一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，数字2称为“穿墙”数，具有这种现象的数还有许多，例如：，等． 【猜想】 （1）__________； （2）按此规律，若（a，b为正整数），__________． 28．（23-24八年级上·广东佛山·期末）计算： 考点3：二次根式的运算 29．（24-25九年级下·云南大理·阶段检测）下列运算正确的是（  ） A． B． C． D． 30．（23-24七年级下·四川广元·期末）下列各式中正确的是 （    ） A． B． C． D． 31．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 32．（24-25八年级下·重庆渝北·期中）估计的值在（    ） A．4到5之间 B．5到6之间 C．6到7之间 D．7到8之间 33．（24-25八年级上·内蒙古包头·期中）下列计算结果正确的是（　　） A． B． C． D． 34．（26-27九年级上·河南驻马店·阶段检测）新考向  我们把形如（a，b为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如：是型无理数，则是（     ） A．型无理数 B．型无理数 C．型无理数 D．型无理数 35．（25-26八年级下·山东菏泽·期中）计算的结果是（    ） A．1 B． C． D． 36．（23-24八年级下·重庆开州·期中）已知，将的整数部分加上的小数部分的倒数得到，再将的整数部分加上的小数部分的倒数得到，以此类推可得到，，…，．如的整数部分为2，小数部分为．所．根据以上信息，下列说法正确的有（    ） ①；②的小数部分为；③； ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 37．（23-24八年级下·四川绵阳·期中）有下列四个算式：①；②；③；④．其中正确的是（    ）． A．①④ B．③④ C．②③ D．①③ 38．（25-26九年级上·重庆沙坪坝·期中）估计的值应在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 39．（23-24八年级上·上海青浦·期中）若等腰三角形的两条边分别长，，则此三角形周长为__________． 40．（26-27八年级上·上海金山·阶段检测）若 ，那么 ________________ 41．（24-25八年级上·上海·期中）假设长方形的面积为，相邻两边长分别为，，已知，，则__________． 42．（2026·天津红桥·三模）计算的结果为________． 43．（25-26八年级下·湖南湘西·阶段检测）已知，，则的值为________． 44．（24-25八年级下·辽宁鞍山·期中）利用平方与开平方互为逆运算的关系，可以将某些无理数进行如下操作： 例如：时，移项得，两边平方得，所以，即得到整系数方程：． 仿照上述操作方法，若，计算：________． 考点4：二次根式的应用与综合 45．（24-25七年级下·全国·课后作业）如果a满足，那么的值为（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 46．（23-24七年级下·浙江温州·期中）将一张周长为的长方形纸条按图1所示进行折叠，得到一个“爱心”图案（如图2）．若“爱心”的水平宽度比竖直高度大，则图1中的长为________，图2中“爱心”的周长为________． 47．（25-26九年级下·湖南娄底·期中）魏晋时期刘徽在其撰写的《九章算术注》中提到了“不加借算”开平方的方法：．当取正整数且最小时，用“不加借算”的方法计算约为___________，用“不加借算”的方法计算面积为的等边三角形区域的边长约为___________．（精确到0.1） 48．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）比较大小：________（选填“”，“”，“”） 49．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段检测）计算． (1)； (2)． 50．（24-25八年级上·陕西西安·期末）计算：． 51．（24-25八年级下·内蒙古通辽·期中）计算： (1)； (2)． (3)； (4) 52．（24-25八年级上·广东深圳·期中）计算 (1) (2) 📊 课后巩固 🍬 复习建议 · 二次根式有意义条件是被开方数非负，含分式时还要分母非零 · 化简用性质=|a|，注意符号处理 · 运算前先化简，同类合并只动系数 · 分母有理化乘共轭因式，分子同步变化 · 综合应用注意非负性和几何等量关系 【作业1】（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知，求___________． 【作业2】（2026·上海·三模）若，，则________． 【作业3】（23-24八年级上·江苏无锡·阶段检测）已知，求的平方根． 【作业4】（23-24八年级下·浙江绍兴·期中）计算： (1)； (2)． 【作业5】（25-26八年级上·上海金山·期中）解方程：． 【作业6】（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）计算题 (1)计算：． (2)计算：． (3)计算：． 【作业7】（24-25八年级下·四川自贡·期末）计算：． 【作业8】（23-24八年级下·河南商丘·期末）计算： (1)． (2)． 【作业9】（24-25八年级上·福建三明·期中）计算： (1)； (2) 【作业10】（23-24八年级下·全国·单元测试）已知满足． (1)求 的值； (2)试问以为边长能否构成三角形？若能构成，求出三角形的周长；若不能构成三角形，请说明理由． 【作业11】（24-25八年级上·广东深圳·期末）计算： (1)； (2)． 【作业12】（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）计算： (1)； (2)． 【作业13】（24-25八年级下·江西赣州·期中）【特例感知】 化简：； 解：． （1）请在横线上直接写出化简的结果： ①__________； ②__________． 【观察发现】（2）第n个式子是（n为正整数），请求出该式子化简的结果（需要写出推理步骤）． 【拓展应用】（3）从上述结果中找出规律，并利用这一规律计算：． 【作业14】（25-26八年级下·全国·期末）计算： (1)； (2)； (3)． 【作业15】（18-19八年级下·甘肃平凉·期中）计算： (1)． (2) (3)先化简，再求值： ，其中． 【作业16】（25-26八年级下·湖北襄阳·阶段检测）计算题： (1) (2) 【作业17】（23-24八年级下·青海海东·阶段检测）在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题： 已知，求的值． 他是这样解答的： 因为， 所以， 所以，， 所以， 所以． (1)化简：______； (2)化简：； (3)比较大小：与的大小； (4)若，按照小明的做法求的值． 【作业18】（23-24八年级上·上海·期中）先化简，再求值：，其中：，． 学科网（北京）股份有限公司 $