精品解析：天津外国语大学附属河北外国语中学2026-2027学年上学期九年级第一次阶段学情检测数学试卷

河北小外2026-2027（一）九年级第一次月检测 数学学科 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分） 1. 下列函数中，一定是关于的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 将一元二次方程化成一般式，则一次项系数和常数项分别是（ ） A. 3，5 B. 3， C. ，5 D. 3. 下列抛物线中，对称轴为直线的是（ ） A. B. C. D. 4. 关于x的一元二次方程的一个根是2，则a的值是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 5. 关于抛物线，下列说法正确的是( ) A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标是 D. 可由抛物线向右平移3个单位长度，再向下平移6个单位长度得到 6. 用配方法解方程，则配方正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 8. 已知抛物线，与的部分对应值如表所示，下列说法错误的是（ ）． A. B. 当时，随的增大而减小 C. 顶点坐标为 D. 开口向下 9. 函数y＝ax2﹣1与y＝ax（a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（　　） A. B. C. D. 10. 如图是抛物线，其顶点为，且与轴的一个交点在点和之间，则下列结论正确的有（ ） ①若抛物线与轴的另一个交点为，则； ②；③若时，随的增大而增大，则；④若时，． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分，满分18分） 11. 已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标是，则它与轴的另一个交点坐标是________． 12. 当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣4x+5有最大值m，则m＝_____． 13. 抛物线与轴只有一个交点，求的值． 14. 二次函数与一次函数的图象如图所示，则满足的x的取值范围为______． 15. 如图，抛物线经过坐标原点O，顶点，矩形的顶点A，D在抛物线上，B，C在x轴的正半轴上，点A的纵坐标是，则矩形的周长为______． 16. 如图，在菱形中，，连接． （1）线段的长为_______； （2）点E在边上，点F在的延长线上，与相交于点G，H为的中点．若，则线段的长为_______． 三、解答题 17. 解方程 （1）； （2）． 18. 已知关于x的一元二次方程的一个根为，求该方程的另一个根． 19. 已知二次函数的表达式为：． （1）将该二次函数配方成顶点式； （2）写出图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 20. 抛物线经过（﹣1，3），（2，6）两点． （1）求这条抛物线的解析式； （2）求这条抛物线的顶点坐标； （3）将此抛物线向上平移1个单位长，再向左平移2个单位长，得到抛物线C1，写出抛物线C1的解析式． 21. 某商场将进货单价为40元的商品按50元售出时能卖出500个．经过市场调查发现，若这种商品售价每提高1元，其销售量就会少10个． （1）当售价定为54元时，求该商品销售的个数； （2）商场为了保证经营该商品赚得8000元的利润而又尽量兼顾顾客的利益，售价应提高多少元？ 22. 已知，抛物线经过点和． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上，是否存在点，使的值最小？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由； （3）设点在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北小外2026-2027（一）九年级第一次月检测 数学学科 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分） 1. 下列函数中，一定是关于的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的识别，需根据二次函数的定义：形如（为常数且）的函数，逐一分析各选项判断． 【详解】解：A．当时，，是常数函数，不是二次函数； B．满足，符合二次函数的定义，是二次函数； C．中的次数为1，是一次函数，不是二次函数； D．是反比例函数，不是二次函数； 故选：B． 2. 将一元二次方程化成一般式，则一次项系数和常数项分别是（ ） A. 3，5 B. 3， C. ，5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】一元二次方程的一般式为（），其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项，先将原方程整理为一般式，再确定对应系数即可. 【详解】解：∵方程化成一般式为， ∴一次项系数为，常数项为. 3. 下列抛物线中，对称轴为直线的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质逐项分析即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：A、抛物线的对称轴为直线，故符合题意； B、抛物线的对称轴为轴，故不符合题意； C、抛物线的对称轴为轴，故不符合题意； D、抛物线的对称轴为直线，故不符合题意； 故选：A． 4. 关于x的一元二次方程的一个根是2，则a的值是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，将根代入方程求解a的值即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根是2， ∴，即， ∴ ， 故选：D． 5. 关于抛物线，下列说法正确的是( ) A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标是 D. 可由抛物线向右平移3个单位长度，再向下平移6个单位长度得到 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质及平移规律，关键是掌握抛物线()的相关性质：的正负决定开口方向，对称轴为直线，顶点坐标为；平移遵循“左加右减，上加下减”的规律． 【详解】解：∵抛物线中， ∴抛物线开口向下，A选项错误； 抛物线的对称轴为直线，此抛物线中， ∴对称轴是直线，B选项错误； ∵抛物线的顶点坐标为，此抛物线中，， ∴顶点坐标是，C选项正确； 抛物线向右平移3个单位长度，再向下平移6个单位长度得到的抛物线为，与不符，D选项错误； 故选：C． 6. 用配方法解方程，则配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】移项后，在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配方为完全平方式，即可得到正确结果． 【详解】解： ． 7. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】计算根的判别式，判定，解答即可． 【详解】解：∵一元二次方程为， ∴，，， ∴， ∵， ∴，即， ∴方程有两个不相等的实数根． 8. 已知抛物线，与的部分对应值如表所示，下列说法错误的是（ ）． A. B. 当时，随的增大而减小 C. 顶点坐标为 D. 开口向下 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的图象和性质逐一分析各选项即可． 【详解】解：由表可知，点和的纵坐标相同， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， ∵当时，最大， ∴抛物线开口向下，当时，随的增大而增大， 当与时，到对称轴的距离相等， ∴值相等， ∵时，， ∴时，． 故选：． 9. 函数y＝ax2﹣1与y＝ax（a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题可先通过抛物线与y轴的交点排除C、D，然后根据一次函数y＝ax图象得到a的正负，再与二次函数y＝ax2的图象相比较看是否一致． 【详解】解：由函数y＝ax2﹣1可知抛物线与y轴交于点（0，﹣1），故C、D错误； A、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故A错误； B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＞0，故B正确； 故选：B． 【点睛】此题考查的是一次函数的图象及性质和二次函数的图象及性质，掌握一次函数的图象及性质与系数关系和二次函数的图象及性质与系数关系是解决此题的关键． 10. 如图是抛物线，其顶点为，且与轴的一个交点在点和之间，则下列结论正确的有（ ） ①若抛物线与轴的另一个交点为，则； ②；③若时，随的增大而增大，则；④若时，． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】①根据抛物线的对称性得：，列不等式可得结论； ②将顶点坐标代入抛物线的解析式中，列两式可得结论； ③根据抛物线的对称轴即可判断； ④设，把它看作另一个二次函数，此二次函数过原点，通过计算发现与轴有两个交点，且另一个交点在原点的右侧，由此作判断． 【详解】解：①如图1，设抛物线与轴的交点为和（在的右侧）， 则， ∴， 由对称性得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故①正确； ②∵抛物线的顶点坐标为， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故②正确； ③∵抛物线的对称轴是直线，开口向下， ∴时，随的增大而增大， ∵时，随的增大而增大， ∴； 故③错误； ④由图可知：抛物线开口向下， ∴， ∴抛物线也开口向下，且过原点，如图2所示， 当时，， ， ∴，， ∴当时，， 即当时，； 故④正确； 其中正确结论是：①②④，3个． 二、填空题（每小题3分，满分18分） 11. 已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标是，则它与轴的另一个交点坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】将已知交点坐标代入二次函数解析式求出参数，再令解一元二次方程，即可得到另一个交点的坐标． 【详解】解：把代入， 得， 整理得，解得， 即二次函数解析式为， 令，得， 因式分解得， 解得，， ∵已知图象与轴的一个交点坐标是， ∴它与轴的另一个交点坐标是． 12. 当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣4x+5有最大值m，则m＝_____． 【答案】10 【解析】 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得m的值，本题得以解决． 【详解】∵二次函数y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1， ∴该函数开口向上，对称轴为x＝2， ∵当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣4x+5有最大值m， ∴当x＝﹣1时，该函数取得最大值，此时m＝（﹣1﹣2）2+1＝10， 故答案为：10． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 13. 抛物线与轴只有一个交点，求的值． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查二次函数与x轴交点问题，解题关键是理解抛物线与x轴有两个交点，则；抛物线与x轴有一个交点，则；抛物线与x轴没有交点，则．根据抛物线与轴只有一个交点，则进行解答即可． 【详解】解：∵抛物线与轴只有一个交点， ∴， 解得． 14. 二次函数与一次函数的图象如图所示，则满足的x的取值范围为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与不等式，利用数形结合的思想解决问题是关键．由函数图象可知，当或，二次函数的图象在一次函数的图象下方，进而得到的x的取值范围，即可得到答案． 【详解】解：， ， 由函数图象可知，当或，二次函数的图象在一次函数的图象下方， 的x的取值范围为或， 的x的取值范围为或， 故答案为：或． 15. 如图，抛物线经过坐标原点O，顶点，矩形的顶点A，D在抛物线上，B，C在x轴的正半轴上，点A的纵坐标是，则矩形的周长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握其性质并能正确求出二次函数解析式是解决此题的关键．先由题意得出抛物线的解析式为，然后将点A的纵坐标代入解析式得到两点的坐标，进而即可得解． 【详解】解：设抛物线的解析式为， ∵抛物线经过坐标原点O， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∵点A的纵坐标是， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴矩形的周长， 故答案为： ． 16. 如图，在菱形中，，连接． （1）线段的长为_______； （2）点E在边上，点F在的延长线上，与相交于点G，H为的中点．若，则线段的长为_______． 【答案】 ①. 5 ②. 【解析】 【分析】（1）根据菱形性质得，结合，判定为等边三角形，从而得出长； （2）过点E作交于M，连接，过点M作于点N ，构造等边和，根据中位线的性质可得，再利用直角三角形所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理计算出. 【详解】解：（1）∵四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ； （2）如图，过点E作交于点M，连接，过点M作于点N ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， H为的中点， 为的中位线， ， 在菱形中，，， ， ， ，， ， ． 三、解答题 17. 解方程 （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：直接开方得， ∴或， 解得，； 【小问2详解】 解：整理得， 配方得，即， 开方得， 解得，． 18. 已知关于x的一元二次方程的一个根为，求该方程的另一个根． 【答案】该方程的另一个根为2 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系．设该一元二次方程的另一根为t，则根据根与系数的关系得到，由此易求t的值． 【详解】解：设关于x的一元二次方程的另一个根为t，则， 解得． 即该方程的另一个根是2． 19. 已知二次函数的表达式为：． （1）将该二次函数配方成顶点式； （2）写出图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】（1） （2） 图象开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为 【解析】 【分析】（1）利用配方法进行求解即可； （2）根据顶点式直接写出图象的开口方向、对称轴和顶点坐标即可. 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 略 20. 抛物线经过（﹣1，3），（2，6）两点． （1）求这条抛物线的解析式； （2）求这条抛物线的顶点坐标； （3）将此抛物线向上平移1个单位长，再向左平移2个单位长，得到抛物线C1，写出抛物线C1的解析式． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）将两点代入即可求解； （2）由二次函数的性质可得出顶点坐标； （3）利用二次函数的性质“左加右减，上加下减”即可求解； 【详解】解：（1）∵抛物线经过（﹣1，3），（2，6）两点， ∴ ，解得： ， ∴抛物线的解析式为：， （2）由（1）知对称轴为 即y轴， ∴当时， ， ∴抛物线的顶点坐标为 ， （3）向上平移1个单位长得到： ， 再向左平移2个单位长得到： ， 化简得： ， ∴抛物线C1的解析式为. 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，待定系数法，掌握二次函数的图象与性质，待定系数法是解题关键． 21. 某商场将进货单价为40元的商品按50元售出时能卖出500个．经过市场调查发现，若这种商品售价每提高1元，其销售量就会少10个． （1）当售价定为54元时，求该商品销售的个数； （2）商场为了保证经营该商品赚得8000元的利润而又尽量兼顾顾客的利益，售价应提高多少元？ 【答案】（1）460个 （2）售价应提高10元 【解析】 【分析】（1）根据售价涨幅与销售量减少的对应关系，计算实际销售个数； （2）设提价金额为未知数，利用总利润的等量关系列方程，结合兼顾顾客利益的条件选取合适的解． 【小问1详解】 解：售价提高金额为（元）， 销售量减少（个） 此时销售个数为（个）； 【小问2详解】 解：设售价应提高元，单个商品利润为元，销售量为个， 由总利润为8000元，得， 整理得， 解得，， ∵要尽量兼顾顾客的利益，即提价幅度尽可能小， ∴； 答：售价应提高10元． 22. 已知，抛物线经过点和． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上，是否存在点，使的值最小？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由； （3）设点在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点的坐标． 【答案】（1） （2）存在，点的坐标为 （3）、、或 【解析】 【分析】（1）由点、的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）连接交抛物线对称轴于点，此时取最小值，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，由点、的坐标利用待定系数法即可求出直线的解析式，利用配方法可求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点的坐标； （3）设点的坐标为，则，，，分、和三种情况，利用勾股定理可得出关于的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出的值，进而即可得出点的坐标． 【小问1详解】 解：将、代入中， 得：，解得：， 抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：连接交抛物线对称轴于点，此时取最小值，如图1所示． 当时，有， 解得：，， 点的坐标为． 抛物线的解析式为， 抛物线的对称轴为直线． 设直线的解析式为， 将、代入中， 得：，解得：， 直线的解析式为． 当时，， 当的值最小时，点的坐标为． 【小问3详解】 解：设点的坐标为， 则，，． 分三种情况考虑： ①当时，有，即， 解得：，， 点的坐标为或； ②当时，有，即， 解得：， 点的坐标为； ③当时，有，即， 解得：， 点的坐标为． 综上所述：当是直角三角形时，点的坐标为、、或． 【点睛】本题考查待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象的点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及勾股定理，解题的关键是：（1）由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式；（2）由两点之间线段最短结合抛物线的对称性找出点的位置；（3）分、和三种情况，列出关于的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $