立体几何小题（空间角、体积距离、球、动点、截面）专项训练-2027届高三数学二轮复习

专题复习——立体几何小题 一、 空间角 2 二、求体积、距离的方法 4 三、外接球 6 类型一 对棱相等的三棱锥 7 类型二 共斜边模型 7 类型二 侧棱垂直底面的几何体 8 类型三 各侧棱相等的锥体 8 类型四 台体 9 类型五 非常规类 10 四、内切球 11 类型一 与各面均相切 12 类型二 不完全相切 12 类型三 多个球相切 12 五、动点轨迹问题 14 类型一 垂直类 14 类型二 平行类 15 类型三 空间角、距离类 16 六、截面问题 17 1、 空间角 【知识点回顾】 1.求直线与平面所成角的一般步骤 （1）作图：作（或找）出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算. （2）证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角. （3）计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算. 2.求二面角的大小的一般步骤 （1）如何找二面角的平面角： 方法一：定义法，在二面角的棱上任取一点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角； 方法二：三垂线定理法，过一个半平面内的一点作另一个半平面的垂线，垂足与棱上一点连接后作棱的垂线，结合三垂线定理可找到平面角； 方法三：向量法，分别求出两个半平面的法向量，通过计算法向量的夹角来得到二面角的大小，注意判断法向量夹角与二面角是相等还是互补关系。 （2）证明所作的角是二面角的平面角. （3）计算：将作出的平面角放在对应的三角形中，通过解三角形（常利用直角三角形的边角关系、余弦定理等）计算出角的大小，同时要注意二面角的取值范围是[0,π]，根据图形实际情况确定最终结果。 【题型演练】 1．如图，在正四棱锥中，若的面积与正四棱锥的侧面面积之和的比为，则侧面与底面所成的二面角为（    ）    A． B． C． D． 2.已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 3．（多选）在空间中，，为两个定点，动点到直线的距离为2，动点到直线的距离为1．若二面角为，则（     ） A． B． C．当时，平面 D．当平面时， 4. 已知菱形的边长为2，且，将菱形沿对角线翻折成直二面角，则异面直线与所成角的余弦值是__________；二面角的余弦值是__________． 二、求体积、距离的方法 【知识点回顾】 1.常见几何体的体积公式： 柱体的体积V＝Sh；锥体的体积V＝Sh；台体的体积V＝(S上＋S下＋)h；球的体积V＝πR3. 2.等积法包括等面积法和等体积法： 等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高. 3.割补法（又叫分割与拼补法）是计算复杂几何体体积的常用方法. 割：把一个不规则的立体图形分割成若干个规则、易求体积的部分，分别计算它们的体积，再相加. 补：把一个不规则的立体图形补全成一个规则、易求体积的整体，先算整体体积，再减去补上去的部分的体积. 用公式可表示为： 分割法：V总​=V1​+V2​+⋯+Vn.​ 补全法：V原​=V整体​−V补. 【题型演练】 1．已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，，为圆锥的母线，，且二面角为.若的面积等于，则圆锥的体积为______. 2．已知正三棱柱的所有棱长均为1，E为棱的中点，，那么三棱锥的体积为（ ） A． B． C． D． 3．如图，在几何体中，是边长为2的等边三角形，侧棱均垂直于底面，，，，则该几何体的体积是（    ）. A． B． C． D． 4．已知长方体中，，直线与平面所成角的正切值为，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 5．在四边形中，．沿直线将折起，形成三棱锥．已知二面角的大小为，则三棱锥的体积为_____． 三、外接球 【知识点回顾】 正方体的外接球:外接球半径等于棱长的倍; 长方体的外接球:设长方体棱长 a，b，c，外接球半径等于棱长的倍; 圆柱的外接球（圆柱模型）:圆柱的高 h，底面半径 r，外接球半径等于;此公式适用于一切侧棱垂直于底面的几何体； 圆锥的外接球（圆锥模型）:圆锥的高 h，底面半径 r，外接球半径等于;此公式适用于侧棱相等的锥体； 正棱锥的外接球:正棱锥的外接球球心在棱锥的高所在直线上，高为h，底面外接圆半径R，外接球半径等于； 正四面体的外接球:棱长为 的正四面体的外接球半径等于; 圆台的外接球:设上底面半径，下底面半径()，高为h，外接球半径等于； 正棱台的外接球:设上底面外接圆半径为 ，下底面外接圆半径为 ()，高为 h，外接球半径等于. 【题型演练】 类型一 对棱相等的三棱锥 1．已知四边形为平行四边形，，，现将沿直线BD翻折，得到三棱锥，若，则三棱锥的外接球表面积为________． 类型二 共斜边模型 2．在矩形中，，，沿对角线将折起，折至，则四面体的外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 3．已知矩形中，，将沿折起至，使二面角是直二面角，则三棱锥的外接球的表面积等于（    ） A． B． C． D． 4.已知球O的直径，，是球的球面上两点，，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 类型二 侧棱垂直底面的几何体 5．若高为1的正三棱柱的顶点都在半径为1的球面上，则该正三棱柱的体积为（    ） A． B． C． D． 6．在三棱柱中，已知底面，侧棱，，，且该三棱柱的6个顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（   ） A． B． C． D． 类型三 各侧棱相等的锥体 7．已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的最大值是（ ） A． B． C． D． 8.已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为 A． B． C． D． 9．如图所示，已知在三棱锥中，二面角为直二面角，，，，若三棱锥的各个顶点都在同一个球面上，则该球的体积为_____. 类型四 台体 10．已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，体积为，则该圆台的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 11．已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 12．已知圆台的上、下底面半径之比为，母线长为，该圆台的上、下底面圆周都在球的球面上，球的表面积为，则该圆台的体积为______. 类型五 非常规类 13．在三棱锥中，若，二面角为，则三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 14．在平面四边形中，．将沿翻折到，若三棱锥的外接球半径是2，则二面角的正弦值是___________． 15．在中为BC中点，若将沿着直线AD翻折至，使得四面体的外接球半径为，则直线AN与平面ABD所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 16．已知四面体ABCD的四个顶点都在同一球面上，，，平面平面当该球的体积最小时，四面体 ABCD体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 17．如图左，是由一个四边形和两个三角形构成的平面图形，已知四边形为矩形，和都是边长为的等边三角形，将和分别沿直线 和折起，连接，得到几何体，如图右，在这个几何体中， ，若几何体的顶点都在球的球面上，则球的表面积为____. 四、内切球 【知识点回顾】 1.如果一个棱柱有内切球，它的底面必须是圆外切多边形，并且内切圆的半径等于棱柱的高的一半.圆柱的内切球是指一个球能够完全放入圆柱内部，与圆柱的上、下底面和侧面都相切. 2.“锥体的内切球”是指一个球完全在锥体内部，并且与锥体的所有面（包括底面和所有侧面）都相切.锥体可以是圆锥或棱锥. 3.“台体的内切球”是指一个球完全在台体内部，并且与台体的所有面（上底面、下底面、所有侧面）都相切.台体分为圆台和棱台.要存在内切球，几何条件比较严格.不是所有台体都有内切球. 【题型演练】 类型一 与各面均相切 1．正四面体的棱长为，则该几何体的内切球的表面积为（ ） A． B． C． D． 2．已知侧棱长为，底面边长为的正三棱锥，其内切球球心为，球与球以及三棱锥的三个侧面均相切，则（   ） A． B． C． D． 3．正三棱台的上、下底边长分别为6，12，该正三棱台内部有一个内切球（与上、下底面和三个侧面都相切），则正三棱台的高为（    ） A． B． C． D． 类型二 不完全相切 4.已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为2，8，侧棱长为，则该正四棱台内半径最大的球的表面积为（    ） A． B． C． D． 类型三 多个球相切 【知识点回顾】几何体内的多个球问题，一般涉及球与球相切，球与几何体的面相切，需要注意切点、球心的位置，常常用到三角形相似、勾股定理. 5．如图，已知圆锥PO的底面半径OA的长度为1，母线PA的长度为2，半径为的球与的圆锥侧面相切，并与底面相切于点O，若球与球、圆锥的底面和侧面均相切，则球的表面积为______． 6.一个底面半径为，高为的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为____________． 五、动点轨迹问题 【题型演练】 类型一 垂直类 1．如图，正方体的棱长为，点是棱的中点，点是正方体表面上的动点．若，则点在正方体表面上运动所形成的轨迹的长度为（    ）    A． B． C． D． 2．如图，在棱长为的正方体中，为棱的中点，与相交于点，是底面内（含边界）的动点，总有，则动点的轨迹的长度为（    ）    A． B． C． D． 类型二 平行类 1.如图，在棱长为2的正方体中，为线段上的动点，若为线段上的动点，且平面，则的最小值为_______. 2.如图，在棱长为1的正方体中，，分别为线段，上的动点（包括端点），点在底面内运动（包括边界），若为线段的中点，且平面，则动点的轨迹的长度为_________. 类型三 空间角、距离类 1.如图，点是棱长为2的正方体表面上的一个动点，直线与平面所成的角为45°，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 2．在棱长为1的正方体中，点P在侧面上运动．若点P到点A的距离为，则动点P的轨迹在正方形内的一段曲线长为（    ） A． B． C． D． 3．（多选）在正棱柱中，，点满足，其中，，则（    ） A．当时，三棱锥的体积为定值 B．当时，不存在点，使得 C．当时，点的轨迹为长度为的线段 D．当时，点的轨迹所构成图形的面积为 六、截面问题 【知识点回顾】 截面的概念：在立体几何中，用一个平面去截几何体（包括圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥、长方体、正方体等），此平面与几何体的交集叫做这个几何体的截面，利用平面的性质确定截面形状是解决截面问题的关键． 确定截面的主要依据： （1）平面的四个公理及推论． （2）直线和平面平行的判定和性质． （3）两个平面平行的性质． （4）球的截面的性质． 【题型演练】 1.如图，正方体的棱长为1，为的中点，为线段上的动点，过点，，的平面截该正方体所得的截面记为，则下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）． ①当时，为四边形 ②当时，为等腰梯形 ③当时，与的交点满足 ④当时，为六边形 ⑤当时，的面积为． 2.如图所示，在棱长为6的正方体中，点，分别是棱，的中点，过，，三点作该正方体的截面，则截面的周长为_____. 3．如图，在棱长为2的正方体中，已知分别是棱的中点，则平面截正方体所得的截面面积为    4．已知正方体 的体积为1，点 在棱 上（点 异于 ， 两点）， 为 的中点，若平面 截正方体 所得的截面为五边形，则的长的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（多选）在棱长为4的正方体中，点E为棱的中点，点F是正方形内一动点（含边界），则下列说法中正确的是（    ） A．直线与直线夹角为 B．平面截正方体所得截面的面积为 C．若则动点F的轨迹长度为 D．若平面，则动点F的轨迹长度为 6．（多选）如图，正方体的棱长为3，E为AB的中点，，动点M在侧面内运动（含边界），则（    ） A．若∥平面，则点M的轨迹长度为 B．平面与平面ABCD的夹角的正切值为 C．平面截正方体所得的截面多边形的周长为 D．不存在一条直线l，使得l与正方体的所有棱所成的角都相等 7．正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，所有棱长均为2，点E，F分别为棱BB1，A1C1的中点，若过点A，E，F作一截面，则截面的周长为（　　） A．2+2 B． C． D． 8.已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°．以为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题复习——立体几何小题 一、 空间角 1 二、求体积、距离的方法 8 三、外接球 14 类型一 对棱相等的三棱锥 15 类型二 共斜边模型 16 类型二 侧棱垂直底面的几何体 19 类型三 各侧棱相等的锥体 20 类型四 台体 23 类型五 非常规类 26 四、内切球 32 类型一 与各面均相切 33 类型二 不完全相切 36 类型三 多个球相切 37 五、动点轨迹问题 38 类型一 垂直类 38 类型二 平行类 41 类型三 空间角、距离类 44 六、截面问题 48 1、 空间角 【知识点回顾】 1.求直线与平面所成角的一般步骤 （1）作图：作（或找）出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算. （2）证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角. （3）计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算. 2.求二面角的大小的一般步骤 （1）如何找二面角的平面角： 方法一：定义法，在二面角的棱上任取一点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角； 方法二：三垂线定理法，过一个半平面内的一点作另一个半平面的垂线，垂足与棱上一点连接后作棱的垂线，结合三垂线定理可找到平面角； 方法三：向量法，分别求出两个半平面的法向量，通过计算法向量的夹角来得到二面角的大小，注意判断法向量夹角与二面角是相等还是互补关系。 （2）证明所作的角是二面角的平面角. （3）计算：将作出的平面角放在对应的三角形中，通过解三角形（常利用直角三角形的边角关系、余弦定理等）计算出角的大小，同时要注意二面角的取值范围是[0,π]，根据图形实际情况确定最终结果。 【题型演练】 1．如图，在正四棱锥中，若的面积与正四棱锥的侧面面积之和的比为，则侧面与底面所成的二面角为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】棱锥表面积的有关计算、求二面角 【分析】根据正四棱锥的结构特征，作出侧面与底面所成的二面角的平面角，解直角三角形即可得答案. 【详解】如图，设正四棱锥底面对角线的交点为，的中点为， 连接、、，则底面， 则为在底面上的射影，且，， 故即为正四棱锥侧面与底面所成的二面角的平面角，    设正方形的边长为，高，， 则由的面积与正四棱锥的侧面面积之和的比为， 得，解得， 故在中，， 又因为为锐角，故， 即正四棱锥侧面与底面所成的二面角为. 故选：B. 2.已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】锥体体积的有关计算、台体体积的有关计算、求线面角 【分析】解法一：根据台体的体积公式可得三棱台的高，做辅助线，结合正三棱台的结构特征求得，进而根据线面夹角的定义分析求解；解法二：将正三棱台补成正三棱锥，与平面ABC所成角即为与平面ABC所成角，根据比例关系可得，进而可求正三棱锥的高，即可得结果. 【详解】解法一：分别取的中点，则， 可知， 设正三棱台的为， 则，解得， 如图，分别过作底面垂线，垂足为，设， 则，， 可得， 结合等腰梯形可得, 即，解得， 所以与平面ABC所成角的正切值为； 解法二：将正三棱台补成正三棱锥， 则与平面ABC所成角即为与平面ABC所成角， 因为，则， 可知，则， 设正三棱锥的高为，则，解得， 取底面ABC的中心为，则底面ABC，且， 所以与平面ABC所成角的正切值. 故选：B. 3．（多选）在空间中，，为两个定点，动点到直线的距离为2，动点到直线的距离为1．若二面角为，则（     ） A． B． C．当时，平面 D．当平面时， 【答案】BC 【难度】0.6 【知识点】证明线面垂直、求二面角 【分析】做出满足条件的图，过点作，为垂足，过点作，为垂足，过点作，由条件可得，解三角形可得，由此判断B，当点与点的距离无限大时，可得趋向于，排除A，先证明平面，结合，证明 重合，由此证明平面，由平面推出点与点重合，点与点重合，判断D. 【详解】不失一般性作图如下， 过点作，为垂足，过点作，为垂足， 过点作，，连接， 则，因为二面角为， 所以，由已知， 所以，所以， 故，，B正确； 当点与点的距离无限大时，，无限大，无限靠近， 此时趋向于，A错误； 因为，，平面， 所以平面，又平面，所以， 若，不重合，结合，平面， 可得平面，平面， 所以，矛盾，所以重合， 因为，，，平面， 所以平面， 故平面，C正确； 因为平面，若平面， 则平面与平面重合，此时点与点重合，点与点重合， 故与的夹角为，D错误， 4．已知菱形的边长为2，且，将菱形沿对角线翻折成直二面角，则异面直线与所成角的余弦值是__________；二面角的余弦值是__________． 【答案】 /0.75 【难度】0.4 【知识点】余弦定理解三角形、求异面直线所成的角、求二面角、由二面角大小求线线角或线面角 【分析】空1：作出空间图形，找到异面直线夹角或其补角，结合题意和余弦定理先求出即可；空2：作出二面角的平面角，利用余弦定理即可求解. 【详解】如下图，过点作，连接， 结合题意可知为的中点，且， 所以即为二面角的平面角，由题意可知，. 因为，，所以，， 所以，且，进而得到， 因为，则异面直线与所成角即为或其补角， 在中，由余弦定理可得， 则异面直线与所成角的余弦值是； 取的中点，连接，因为，， 所以，，则即为所求二面角的平面角， 在中，因为，， 所以，同理， 在中，由余弦定理可得， 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题第二空的关键是作出二面角所表示的平面角，再结合勾股定理和余弦定理即可. 二、求体积、距离的方法 【知识点回顾】 1.常见几何体的体积公式： 柱体的体积V＝Sh；锥体的体积V＝Sh；台体的体积V＝(S上＋S下＋)h；球的体积V＝πR3. 2.等积法包括等面积法和等体积法： 等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高. 3.割补法（又叫分割与拼补法）是计算复杂几何体体积的常用方法. 割：把一个不规则的立体图形分割成若干个规则、易求体积的部分，分别计算它们的体积，再相加. 补：把一个不规则的立体图形补全成一个规则、易求体积的整体，先算整体体积，再减去补上去的部分的体积. 用公式可表示为： 分割法：V总​=V1​+V2​+⋯+Vn.​ 补全法：V原​=V整体​−V补. 【题型演练】 1．已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，，为圆锥的母线，，且二面角为.若的面积等于，则圆锥的体积为______. 【答案】 【难度】0.64 【知识点】锥体体积的有关计算、求二面角、三角形面积公式及其应用 【分析】作，垂足为，则为的中点，根据二面角的定义得到为二面角的平面角，设， 由的面积建立的等式得到的值，从而得到圆锥的高的值，底面圆的半径的值，求出圆的面积，利用圆锥的体积公式求出体积. 【详解】如图，作，垂足为，则为的中点， ，，为二面角的平面角， 二面角为，， 在等腰三角形中，， 设，则，， 则， ， 的面积等于，解得， 则，， 圆的面积为， 圆锥的体积为. 故答案为：. 2．已知正三棱柱的所有棱长均为1，E为棱的中点，，那么三棱锥的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】正棱锥及其有关计算、线面平行的性质、锥体体积的有关计算 【分析】应用线面平行转换三棱锥的顶点利用等体积法结合三棱锥体积公式计算可得答案. 【详解】在正三棱柱中， 因为E为棱的中点，，所以，所以， 所以到平面的距离是到平面的距离的，且，所以到平面的距离是， 又， 因为平面， 所以三棱锥的体积等于三棱锥的体积， 所以， 所以三棱锥的体积为. 3．如图，在几何体中，是边长为2的等边三角形，侧棱均垂直于底面，，，，则该几何体的体积是（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】柱体体积的有关计算 【分析】构造一个底面是边长为2的等边三角形，侧棱长为8的正三棱柱，分析知几何体的体积为该正三棱柱的一半，结合三棱柱体积公式即可计算. 【详解】如图所示，构造一个底面是边长为2的等边三角形，侧棱长为8的正三棱柱， 其中，，，， 因此，即， 根据三棱柱体积公式，， 故该几何体的体积是. 故选：B． 4．已知长方体中，，直线与平面所成角的正切值为，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求点面距离、求线面角 【分析】由条件结合线面角的定义求，再利用等体积法求点到平面的距离. 【详解】连接交于，连接， 、 因为平面，所以与平面所成角为， 所以，则， 可得， 由长方体中，，得：平面， 所以， 在中，边长 ，， 得 ， 则 ， 设点 到平面 的距离为 ， 则体积 ， 由，得， 解得： . 故选：A 5．在四边形中，．沿直线将折起，形成三棱锥．已知二面角的大小为，则三棱锥的体积为_____． 【答案】/0.125 【难度】0.4 【知识点】锥体体积的有关计算、由二面角大小求线段长度或距离 【分析】先分析平面图形，作，利用勾股定理求出，结合二面角求出三棱锥的高，进而计算三棱锥的体积. 【详解】没有翻折时，图形为： 因， 则是以为直角的等腰直角三角形，是以为的等腰三角形． 翻折之后，图形为： 假设点到了新的位置，而原来位置记为，过作交于点，连接， 因为，则二面角的平面角为， 故二面角的平面角为的补角，因二面角的大小为， 故，又，则为等边三角形. 由上分析，易得平面，过点作于点，则， 故可得平面，则三棱锥的高为． ，在中，，解得， 从而，于是三棱锥的高为， 又底面的面积为，故三棱锥的体积为 故答案为：. 三、外接球 【知识点回顾】 正方体的外接球:外接球半径等于棱长的倍; 长方体的外接球:设长方体棱长 a，b，c，​​外接球半径等于棱长的倍; 圆柱的外接球（圆柱模型）:圆柱的高 h，底面半径 r，外接球半径等于;此公式适用于一切侧棱垂直于底面的几何体； 圆锥的外接球（圆锥模型）:圆锥的高 h，底面半径 r，外接球半径等于;此公式适用于侧棱相等的锥体； 正棱锥的外接球:正棱锥的外接球球心在棱锥的高所在直线上，高 为h，底面外接圆半径R，外接球半径等于； 正四面体的外接球:棱长为 的正四面体的外接球半径等于; 圆台的外接球:设上底面半径，下底面半径()，高 h，外接球半径等于； 正棱台的外接球:设上底面外接圆半径为 ，下底面外接圆半径为 ()，高为 h，外接球半径等于. 【题型演练】 类型一 对棱相等的三棱锥 1．已知四边形为平行四边形，，，现将沿直线BD翻折，得到三棱锥，若，则三棱锥的外接球表面积为________． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】多面体与球体内切外接问题、球的表面积的有关计算 【分析】根据题意及余弦定理得，由三棱锥的对棱相等，故此三棱锥的三组对棱是一个长方体的六个面的对角线，利用长方体的性质求外接球半径，即可得表面积. 【详解】在中，， 故，即， 则折成的三棱锥中，，，， 即此三棱锥的对棱相等，故此三棱锥的三组对棱是一个长方体的六个面的对角线，如下图， 设长方体从同一个顶点出发的三条棱长分别为a，b，c，则，解得，      此长方体的外接球是三棱锥的外接球， 设外接球的直径，即， 所以. 故答案为： 类型二 共斜边模型 2．在矩形中，，，沿对角线将折起，折至，则四面体的外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】多面体与球体内切外接问题、球的体积的有关计算 【分析】根据四面体的外接球的球心到四个顶点的距离相等可得球心为的中点，从而可得体积. 【详解】因为四边形为矩形， 所以折起后均为直角三角形， 所以的外接圆的圆心均为的中点， 又四面体的外接球的球心到四个顶点的距离相等， 所以球心为的中点，半径， 所以外接球的体积为. 故选：B. 3．已知矩形中，，将沿折起至，使二面角是直二面角，则三棱锥的外接球的表面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】多面体与球体内切外接问题、二面角的概念及辨析、球的表面积的有关计算 【分析】根据矩形的性质可知三棱锥的外接球半径为矩形对角线的一半，由此可求球的表面积. 【详解】 由题意得，. 记矩形的对角线与交于点，则翻折过程中点到四点的距离不变， 即点是三棱锥外接球的球心，所以三棱锥外接球的半径， 所以三棱锥的外接球的表面积. 故选：A. 4.已知球O的直径，，是球的球面上两点，，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】锥体体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】依题意可得，即可求出、、，求出外接圆的半径，利用勾股定理求出球心到平面的距离，从而得到点到平面的距离，最后根据锥体的体积公式计算可得. 【详解】解：因为为球的直径，，是球的球面上两点， 所以，又，， 所以，， 所以为等边三角形且， 设的外接圆的半径为，则，所以， 则球心到平面的距离， 所以点到平面的距离， 又， 所以. 故选：A 类型二 侧棱垂直底面的几何体 5．若高为1的正三棱柱的顶点都在半径为1的球面上，则该正三棱柱的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.5 【知识点】多面体与球体内切外接问题、组合体的切接问题、柱体体积的有关计算、正棱柱及其有关计算 【分析】根据球的截面圆的性质，得到棱柱底面与球的截面圆的半径，进而求得底面三角形的边长为，结合棱柱的体积公式，即可求解. 【详解】由题意可知球的半径， 因为正三棱柱的高为，则球心到三棱柱底面的距离， 根据球的截面圆的性质，可得，即，解得， 棱柱底面与球的截面圆的半径， 三棱柱的底面三角形为截面圆内接正三角形，可得三角形的边长为， 所以三角形的面积为， 该棱柱的体积为. 6．在三棱柱中，已知底面，侧棱，，，且该三棱柱的6个顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】多面体与球体内切外接问题、球的体积的有关计算 【分析】先分析出三棱柱外接球的球心的位置，并求出到上、下底面的距离，由正弦定理求出外接圆的半径，即可根据求出球的半径，再根据球的体积公式计算即可得解. 【详解】设三棱柱外接球的球心为， 分别为和的外心，则. 由对称性可知为的中点，所以到上、下底面的距离. 设外接圆的半径为，则由正弦定理可知，所以. 由球的性质可知球的半径， 所以该三棱柱外接球的体积. 故选：B 类型三 各侧棱相等的锥体 7．已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的最大值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】多面体与球体内切外接问题、三元基本（均值）不等式、锥体体积的有关计算 【分析】求出球的半径，设正四棱锥的底面边长为，高为，利用勾股定理得出，，再化简体积，结合基本不等式求最值. 【详解】设球的半径为，正四棱锥的底面边长为，高为， 因为球的体积为，所以球的半径， 由勾股定理得，， 两式相减得，则， 所以正四棱锥的体积， 所以 ，等号成立时， 则该正四棱锥体积的最大值是. 故选：C． 8.已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为 A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】球的表面积的有关计算 【分析】先证得平面，再求得，从而得为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解. 【详解】解法一:为边长为2的等边三角形，为正三棱锥， ，又，分别为、中点， ，，又，平面，平面，，为正方体一部分，，即 ，故选D． 解法二: 设，分别为中点， ，且，为边长为2的等边三角形， 又 中余弦定理，作于，， 为中点，，， ，，又，两两垂直，，，，故选D. 【点睛】本题考查学生空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决． 9．如图所示，已知在三棱锥中，二面角为直二面角，，，，若三棱锥的各个顶点都在同一个球面上，则该球的体积为_____. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】多面体与球体内切外接问题、球的体积的有关计算 【分析】取的中点，由面面垂直的性质定理可得平面，可得，外接球的球心在上，设为，利用求出外接球的半径可得答案. 【详解】取的中点，连接， 因为，所以， 因为二面角为直二面角， 平面平面，平面， 所以平面， 因为，，所以，， ，所以，， 因为，所以外接球的球心在上，设为，连接， 则， 可得，其中， 解得，即外接球的半径为， 所以该球的体积为. 类型四 台体 10．已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，体积为，则该圆台的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】多面体与球体内切外接问题 【分析】利用圆台体积公式可得其高为，结合圆台的几何性质确定轴截面从而可得外接球半径，即可得所求． 【详解】根据题意可知，圆台上底面面积为，下底面面积为， 设圆台的高为，由体积可得， 解得， 圆台的轴截面如下：上底面圆心为，下底面圆心为，设球心在直线上，连接， 设，则， 则该圆台的外接球半径为， 由勾股定理可得：，解得，所以， 则该圆台的外接球表面积为. 故选：C. 11．已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积． 【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为． 故选：A．    12．已知圆台的上、下底面半径之比为，母线长为，该圆台的上、下底面圆周都在球的球面上，球的表面积为，则该圆台的体积为______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】多面体与球体内切外接问题、台体体积的有关计算、球的表面积的有关计算 【分析】由题中条件得到球的半径为5，设出圆台的底面半径及圆台的高，再分圆台的两个底面在球心异侧与同侧两种情况，列方程求解底面圆的半径和圆台的高，代入圆台体积公式求解即可. 【详解】设球的半径为，由题意球的表面积为，所以. 设圆台的上底面圆的半径为，则下底面圆的半径为， 当球的球心在圆台外时，设圆台的高为，    则，消去和得， 平方化简得，平方化简得，解得，此时， 此时圆台的体积为； 当球的球心在圆台内时，    则，消去和得， 平方化简得，解得可得与矛盾， 综上，该圆台的体积为. 故答案为： 类型五 非常规类 13．在三棱锥中，若，二面角为，则三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.25 【知识点】多面体与球体内切外接问题、球的截面的性质及计算、球的表面积的有关计算、由二面角大小求线段长度或距离 【分析】取中点，连接，，结合已知条件即可得到即为二面角的平面角；判断出外接球球心在平面上，且在过和外心且垂直于各自平面的直线上，设和外心分别为，，连接，，，，结合三角形外心性质及直角三角形即可求出半径，代入球的面积公式求解即可. 【详解】取中点，连接，. 在等边中，为中点，所以，. 在等边中，为中点，所以，. 所以即为二面角的平面角，所以. 设外接球的球心为，则球心在平面上，且在过和外心且垂直于各自平面的直线上. 设和外心分别为，，连接，，，. 则平面，，；平面，，. 所以，所以. 在中，. 在中，，. 即三棱锥外接球的半径为， 所以. 14．在平面四边形中，．将沿翻折到，若三棱锥的外接球半径是2，则二面角的正弦值是___________． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】多面体与球体内切外接问题、求二面角、球的截面的性质及计算 【分析】根据给定条件，确定三棱锥外接球球心，利用球面的性质及二面角的定义求解. 【详解】在三棱锥中，取中点，为的外心， 由，得，在线段上，且， 由，得是的外心，令三棱锥的外接球球心为， 则平面，平面，而，则， 显然平面，则平面， 令平面平面，则是二面角的平面角， 且，而，则， 所以二面角的正弦值是. 15．在中为BC中点，若将沿着直线AD翻折至，使得四面体的外接球半径为，则直线AN与平面ABD所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】多面体与球体内切外接问题、锥体体积的有关计算、求线面角 【分析】若是的外接圆圆心，根据已知确定的外接球球心为，作平面于，求得，再由等体积法求得，求线面角的正弦值，进而求其余弦值. 【详解】由题设，若是的外接圆圆心，，，， 所以的外接圆半径， 又四面体的外接球半径为， 所以的外接球球心与的外接圆圆心重合，即为，      作平面于，且是边长为2的等边三角形， 又是的球心，则为的中心， 故，而，则， 由是边长为2的等边三角形，且， 易知到平面的距离， 由，故直线AN与平面ABD所成角正弦值为，故余弦值为. 故选：B 16．已知四面体ABCD的四个顶点都在同一球面上，，，平面平面当该球的体积最小时，四面体 ABCD体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】多面体与球体内切外接问题、面面垂直证线面垂直、锥体体积的有关计算 【分析】分析可知四面体ABCD的外接球的体积最小时，球心即为的外接圆的圆心，进而求三棱锥的高和体积. 【详解】因为平面平面BCD，所以点A在平面BCD的射影E落在BD上， 当点E为BD的中点时，AE最大，此时四面体ABCD的体积取最大， 如图所示： 在中，设其外接圆的圆心为O，取BC的中点F，连接DF，则点O在DF的直线上， 由余弦定理得，， 且，则， 设外接圆的半径为r，则，得， 当四面体ABCD的外接球的体积最小时，此时球心应为点O， 则，且， 得，， 此时四面体ABCD体积的最大值为： 故选：B. 【点睛】方法点睛：多面体与球切、接问题的求解方法 1.涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解； 2.若球面上四点P、A、B、C构成的三条线段PA、PB、PC两两垂直，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体求解； 3.正方体的内切球的直径为正方体的棱长； 4.球和正方体的棱相切时，球的直径为正方体的面对角线长； 5.利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解． 17．如图左，是由一个四边形和两个三角形构成的平面图形，已知四边形为矩形，和都是边长为的等边三角形，将和分别沿直线 和折起，连接，得到几何体，如图右，在这个几何体中， ，若几何体的顶点都在球的球面上，则球的表面积为____. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】多面体与球体内切外接问题、球的表面积的有关计算 【分析】找到球心及球心在平面上的投影，根据各边长度，设出，利用半径构造直角三角形列出方程，求出半径，即可得到球的表面积. 【详解】连接交于点，因为四边形为矩形， 则点为矩形的外接圆圆心，连接，则平面， 取的中点，连接， 平面，平面，平面平面， 所以，可得， 因为和为等边三角形，则， ，，，平面，平面，所以平面， 且平面，可得平面平面， 因为平面，且平面，所以平面， 设，所以到平面的距离， 设，外接球的半径为，因为， 则，， 且，， 则，解得， 所以， 故球的表面积为. 四、内切球 【知识点回顾】 1.如果一个棱柱有内切球，它的底面必须是圆外切多边形，并且内切圆的半径等于棱柱的高的一半.圆柱的内切球是指一个球能够完全放入圆柱内部，与圆柱的上、下底面和侧面都相切. 2.“锥体的内切球”是指一个球完全在锥体内部，并且与锥体的所有面（包括底面和所有侧面）都相切.锥体可以是圆锥或棱锥. 3.“台体的内切球”是指一个球完全在台体内部，并且与台体的所有面（上底面、下底面、所有侧面）都相切.台体分为圆台和棱台.要存在内切球，几何条件比较严格.不是所有台体都有内切球. 【题型演练】 类型一 与各面均相切 1．正四面体的棱长为，则该几何体的内切球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】多面体与球体内切外接问题、球的表面积的有关计算 【分析】利用等体积法，结合锥体的体积公式、球的表面积公式进行求解即可. 【详解】 设该正四面体内切球的半径， 设是的中点， 因为四面体是正四面体，所以， 因此， 设点在底面的射影为点，则点在线段上， 因为正四面体的棱长为， 所以，所以， 因为， 得， 故选：B 2．已知侧棱长为，底面边长为的正三棱锥，其内切球球心为，球与球以及三棱锥的三个侧面均相切，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】正棱锥及其有关计算、多面体与球体内切外接问题、锥体体积的有关计算 【分析】设球的半径为，三棱锥的表面积为，根据体积分割法，求得，设在底面内的射影为，在上取点，使得，过作平面的平行平面，求得，设球的半径为，求得，进而求得的长. 【详解】设球的半径为，三棱锥的表面积为， 则， 解得， 又由，且， 可得， 设在底面内的射影为， 因为在上，在上取点，使得， 过作平面的平行平面，交，，于点G，T，H， 如图所示，则也是正三棱锥，球即为该三棱锥的内切球， 又因为， 设球的半径为，则，所以， 所以. 故选：B. 3．正三棱台的上、下底边长分别为6，12，该正三棱台内部有一个内切球（与上、下底面和三个侧面都相切），则正三棱台的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】多面体与球体内切外接问题、棱台的结构特征和分类、球的结构特征辨析、正棱台及其有关计算 【分析】由几何体结构特征，得到内切球与上、下底面切点为上下底的重心，作截面图，结合圆的切线性质求得到正三棱台的高. 【详解】由正三棱台的上、下底边长分别为和， 得上下底正三角形的高分别为，， 由几何体结构特征，得内切球与上、下底面切点为上下底的重心， 为侧面等腰梯形上下底边中点，则， 设内切球半径为r，所以正三棱台的高. 故选：B 类型二 不完全相切 4.已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为2，8，侧棱长为，则该正四棱台内半径最大的球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】先求出正四棱台的高，再分析出最大内切球与四侧面及下底面相切，再根据三角函数得到其半径大小，最后利用球的表面积公式即可. 【详解】作出如图所示正四棱台，其中为正四棱台的高，为其斜高，    因为正四棱台的上、下底面边长分别为2，8，侧棱长为， 则，，， 因为，故半径最大的球不与上下底面同时相切， ，则，则， 过作正四棱台的截面，截球得大圆，则该圆与等腰梯形两腰和下底相切，则， 则，则更确定最大内切球与四侧面及下底面相切，    即该正四棱台内半径最大的球半径，球的表面积为. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是得到正四棱台内半径的最大的球是与侧面和底面同时相切的，再求出其高，得到侧棱与底面夹角，作出轴截面图形，再求出最大球半径. 类型三 多个球相切 【知识点回顾】几何体内的多个球问题，一般涉及球与球相切，球与几何体的面相切，需要注意切点、球心的位置，常常用到三角形相似、勾股定理. 5．如图，已知圆锥PO的底面半径OA的长度为1，母线PA的长度为2，半径为的球与的圆锥侧面相切，并与底面相切于点O，若球与球、圆锥的底面和侧面均相切，则球的表面积为______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】多面体与球体内切外接问题、球的表面积的有关计算 【分析】先求球半径，再求半径后求解 【详解】由题意得为边长为2的等边三角形，故， 则，而，即， 解得，球的表面积． 故答案为： 6.一个底面半径为，高为的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为____________． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】圆柱的结构特征辨析、球的截面的性质及计算 【分析】根据圆柱与球的性质以及球的体积公式可求出球的半径； 【详解】 圆柱的底面半径为，设铁球的半径为r，且， 由圆柱与球的性质知， 即，， 故答案为：. 五、动点轨迹问题 【题型演练】 类型一 垂直类 1．如图，正方体的棱长为，点是棱的中点，点是正方体表面上的动点．若，则点在正方体表面上运动所形成的轨迹的长度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】判断正方体的截面形状、证明线面垂直 【分析】取的中点，的中点，连接、、、、，设，证明出平面，可知点在正方体表面上运动所形成的轨迹为的三边，求出的周长即可得解. 【详解】取的中点，的中点，连接、、、、， 设，如下图所示．    因为四边形是正方形，又点是棱的中点，点是的中点， 则，，， 所以，，所以，， 所以，， 所以，，即． 在正方体中，平面， 又平面，所以， 又，、平面，所以平面， 又平面，所以，同理可得，， 又，、平面，所以，平面． 所以点在正方体表面上运动所形成的轨迹为的三边， 因为正方体的棱长为， 由勾股定理可得，同理可得，， 所以的周长为． 故选：C． 2．如图，在棱长为的正方体中，为棱的中点，与相交于点，是底面内（含边界）的动点，总有，则动点的轨迹的长度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】证明异面直线垂直、证明线面垂直 【分析】连接，由正方体的性质易知，平面，进而得点的轨迹线段，进而计算长度即可. 【详解】解：如图，连接，因为与相交于点， 所以点是的中点， 又因为为棱的中点， 所以 由正方体的性质易知, 所以平面，所以， 同理可证，由于， 所以平面，故平面， 此时当时，总有， 所以点的轨迹线段， 因为正方体的棱长为， 所以点的轨迹线段的长度为. 故选：C    类型二 平行类 1.如图，在棱长为2的正方体中，为线段上的动点，若为线段上的动点，且平面，则的最小值为_______. 【答案】 【难度】0.65 【分析】过作于点，连接，则，从而平面，再由平面，得到平面平面，从而平面求解. 【详解】过作于点，连接， 则，平面，平面，所以平面， 又平面，，，平面， 所以平面平面，则平面， 又平面，平面平面，所以. 设，则，，且， 所以， 2.如图，在棱长为1的正方体中，，分别为线段，上的动点（包括端点），点在底面内运动（包括边界），若为线段的中点，且平面，则动点的轨迹的长度为_________. 【答案】 【难度】0.65 【详解】为线段的中点时，过作与平面平行的截面， 与底面的交线为中的中位线，即为动点的轨迹，其长度为， 3．已知正方体的棱长为2，为的中点，且点在四边形内部及其边界上运动，（1）若总是保持平面，则动点的轨迹长度为______；（2）若总是保持与的夹角为，则动点的轨迹长度为______. 【答案】 2 【难度】0.4 【知识点】证明面面平行、立体几何中的轨迹问题 【分析】分别取的中点，连接，可证得平面∥平面，从而可得点的轨迹是，进而可求出其长度，由可得，则得点的轨迹是以为圆心，为半径的一段弧，且圆心角为直角，从而可求出其长度. 【详解】分别取的中点，连接，则， 因为∥，，所以∥，， 所以四边形为平行四边形，所以∥， 因为为的中点，所以∥， 因为平面，平面， 所以∥平面，∥平面， 因为，所以平面∥平面， 因为平面平面，点在四边形内部及其边界上运动，平面， 所以点的轨迹是， 因为，所以动点的轨迹长度为2， 因为平面，平面，所以， 在中，，则， 所以， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的一段弧，且圆心角为直角， 所以动点的轨迹长度为， 故答案为：2， 【点睛】关键点点睛：此题考查面面平行的判定，考查求立体图形中的轨迹长度问题，解题的关键是根据题意求出动点的轨迹，考查空间想象能力和推理能力，属于较难题. 类型三 空间角、距离类 1.如图，点是棱长为2的正方体表面上的一个动点，直线与平面所成的角为45°，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】立体几何中的轨迹问题、线面角的概念及辨析 【分析】先利用直线与平面所成的角为45°求得点的轨迹，进而求得点的轨迹长度. 【详解】若点P在正方形内， 过点P作平面于，连接. 则为直线与平面所成的角，则， 又，则，则， 则点的轨迹为以为圆心半径为2的圆（落在正方形内的部分）， 若点P在正方形内或内，轨迹分别为线段， 因为点P不可能落在其他三个正方形内， 所以点的轨迹长度为. 故选：A 2．在棱长为1的正方体中，点P在侧面上运动．若点P到点A的距离为，则动点P的轨迹在正方形内的一段曲线长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】球的截面的性质及计算 【分析】由题意得动点P的轨迹在正方形内的一段曲线为四分之一圆弧，求出截面半径后即可得解. 【详解】由题意得动点P的轨迹是以 A 为球心，半径为的球面被平面截得的圆，落在正方形内的曲线即为四分之一圆弧， 截面半径为， 故这段弧长为. 故选：D. 【点睛】本题考查了球的截面，考查了空间想象能力，属于中档题. 3．（多选）在正棱柱中，，点满足，其中，，则（    ） A．当时，三棱锥的体积为定值 B．当时，不存在点，使得 C．当时，点的轨迹为长度为的线段 D．当时，点的轨迹所构成图形的面积为 【答案】AD 【难度】0.4 【知识点】空间向量数乘运算的几何表示、立体几何中的轨迹问题、锥体体积的有关计算、空间向量垂直的坐标表示 【分析】由线面平行的性质可知点到平面的距离为定值，再利用锥体的体积公式可判断A选项；取的中点，连接，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断B选项；当时，分析出点的轨迹为线段，可判断C选项；设点，利用空间中两点间的距离公式分析出点的轨迹，结合圆的面积公式可判断D选项. 【详解】对于A，当时，点在上，在正三棱柱中，， 因为平面，平面，则平面， 所以点到平面的距离为定值， 又，故三棱锥的体积为定值，故A正确； 对于B，当时，在正三棱柱中，取的中点，连接，则， 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、， ， ， 由可得， 所以，当时，存在点，使得，故B错误； 对于C，当时，由， 可得，则，其中， 又因为、有公共点，则、、三点共线， 故点的轨迹为线段，其长度为，故C错误； 对于D，设点，其中，， 由， 可得， 所以，点的轨迹是以点为圆心，半径为的半圆及其内部， 其面积为，故D正确. 故选：AD. 【点睛】方法点睛：求空间几何体体积的方法如下： （1）求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解； （2）若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解． 六、截面问题 【知识点回顾】 截面的概念：在立体几何中，用一个平面去截几何体（包括圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥、长方体、正方体等），此平面与几何体的交集叫做这个几何体的截面，利用平面的性质确定截面形状是解决截面问题的关键． 确定截面的主要依据：（1）平面的四个公理及推论． （2）直线和平面平行的判定和性质． （3）两个平面平行的性质． （4）球的截面的性质． 【题型演练】 1.如图，正方体的棱长为1，为的中点，为线段上的动点，过点，，的平面截该正方体所得的截面记为，则下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）． ①当时，为四边形 ②当时，为等腰梯形 ③当时，与的交点满足 ④当时，为六边形 ⑤当时，的面积为． 【考点】命题的真假判断与应用；棱柱的结构特征 【专题】空间位置关系与距离；简易逻辑 【分析】由题意作出满足条件的图形，由线面位置关系找出截面可判断选项的正误． 【解答】解：如图 当时，即为中点，此时可得，， 故可得截面为等腰梯形，故②正确； 由上图当点向移动时，满足，只需在上取点满足， 即可得截面为四边形，故①正确； ③当时，如图， 延长至，使，连接交于，连接交于，连接， 可证，由，可得，故可得，故正确； ④由③可知当时，只需点上移即可，此时的截面形状仍然上图所示的，显然为五边形，故错误； ⑤当时，与重合，取的中点，连接，可证，且， 可知截面为为菱形，故其面积为，故正确． 故答案为：①②③⑤． 2.如图所示，在棱长为6的正方体中，点，分别是棱，的中点，过，，三点作该正方体的截面，则截面的周长为_____. 【考点】：棱柱的结构特征 【专题】65：数学运算；64：直观想象；44：数形结合法；39：运动思想；13：作图题；：空间位置关系与距离 【分析】由题意画出截面五边形，再由已知利用勾股定理求得边长得答案． 【解答】解：如图， 延长、 相交于，连接交 于， 延长、 相交于，连接交 于， 可得截面五边形． 是边长为6的正方体，且，分别是棱，的中点， ，，． 截面的周长为． 3．如图，在棱长为2的正方体中，已知分别是棱的中点，则平面截正方体所得的截面面积为    【答案】 4．已知正方体 的体积为1，点 在棱 上（点 异于 ， 两点）， 为 的中点，若平面 截正方体 所得的截面为五边形，则的长的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】判断正方体的截面形状 【分析】分情况讨论，作出截面，结合截面形状可得的范围. 【详解】因为正方体 的体积为1，所以该正方体的棱长为1，则 . 当 时，连接 ， ，则 ， ， ， ， 四点共面，截面为四边形 （如图），不符合题意， 当 时，延长, 交于点， 由与相似可得, 所以，因为，所以在线段上一定存在一点， 使得,即四边形为平行四边形，所以; 过作于，连接，则易知， 所以，即四点共面，所以截面为四边形. 当 时，延长, 交于点， 由与相似可得， 所以，因为，所以在线段的延长线上一定存在一点， 使得,即四边形为平行四边形，所以; 如图，过向的延长线作垂线，交于点，连接，交于， 则易知，所以，即四点共面. 连接交于，连接，即所求截面为五边形. 综上可知，故B正确. 故选：B. 5．（多选）在棱长为4的正方体中，点E为棱的中点，点F是正方形内一动点（含边界），则下列说法中正确的是（    ） A．直线与直线夹角为 B．平面截正方体所得截面的面积为 C．若则动点F的轨迹长度为 D．若平面，则动点F的轨迹长度为 【答案】ACD 【难度】0.4 【知识点】求异面直线所成的角、证明面面平行、立体几何中的轨迹问题 【分析】对A，根据的平行线确定直线与直线夹角即可； 对B，根据面面平行的性质，作出平面截正方体所得截面并求其面积即可； 对C，由题意，动点的轨迹为以为圆心的四分之一圆弧，再根据弧长公式求解即可； 对D，先判断过且平行于平面的平面截正方体的面，再分析的轨迹即可 【详解】对A，连接，可得正，根据正方体的性质，，故直线与直线夹角为直线与直线的夹角为，故A正确； 对B，因为面面，平面面，根据面面平行的性质可得平面截的交线，故平面截的交点为的中点，故，故截面为等腰梯形，在等腰梯形中，高，故截面的面积为，故B错误； 对C，若，则，故动点的轨迹为以为圆心的四分之一圆弧，其长度为，故C正确； 对D，取中点，连接如图，由B知截面为等腰梯形，由四边形为平行四边形得，又面面，所以面，由四边形为平行四边形得，面面，所以 面，由得平面平面，又平面，所以平面，故的轨迹为线段，其长度为，故D正确； 故选：ACD 【点睛】方法点睛：立体几何中与动点轨迹有关的题目归根到底还是对点线面关系的认知，其中更多涉及了平行和垂直的一些证明方法，在此类问题中要么很容易的看出动点符合什么样的轨迹(定义)，要么通过计算(建系)求出具体的轨迹表达式，和解析几何中的轨迹问题并没有太大区别，所求的轨迹一般有四种，即线段型，平面型，二次曲线型，球型. 6．（多选）如图，正方体的棱长为3，E为AB的中点，，动点M在侧面内运动（含边界），则（    ） A．若∥平面，则点M的轨迹长度为 B．平面与平面ABCD的夹角的正切值为 C．平面截正方体所得的截面多边形的周长为 D．不存在一条直线l，使得l与正方体的所有棱所成的角都相等 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】求异面直线所成的角、立体几何中的轨迹问题、证明线面平行、求二面角 【分析】对于A、C项，先作出平面截正方体所得的截面，通过构造面面平行得出M轨迹及截面多边形周长； 对于B项，作出二面角计算即可；对于D项，可知所有与体对角线平行的线与正方体各棱夹角都相等. 【详解】如图所示， 分别延长DC、D1F交于点N，连接NE并延长交DA的延长线于G点，交CB于O点，连接D1G交A1A于H点，则五边形D1FOEH为平面截正方体所得的截面，在侧面中作PQ∥D1H，可得M轨迹为线段PQ， 由已知及平行线分线段成比例可得：， ,所以,即，A正确； ， 故五边形D1FOEH周长为，C正确； 连接BD，交EO于点I，由上计算可得I为GN中点，且D1G=G1N，故DI⊥EO，D1I垂直EO，即为平面与平面ABCD的夹角， 易得，B正确； 对于D存在直线l，如直线与正方体三条棱夹角相等． 故选：ABC． 7．正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，所有棱长均为2，点E，F分别为棱BB1，A1C1的中点，若过点A，E，F作一截面，则截面的周长为（　　） A．2+2 B． C． D． 【答案】B 【难度】0.15 【知识点】余弦定理解三角形、棱柱及其有关计算 【分析】根据题意先作出截面，进而算出截面各边的长度，最后得到答案. 【详解】如图，在正三棱柱中，延长AF与CC1的延长线交于M，连接EM交B1C1于P，连接FP，则四边形AEPF为所求截面. 过E作EN平行于BC交CC1于N，则N为线段CC1的中点，由相似于可得MC1=2，由相似于可得：， 在中，，则， 在中，，则， 在中，，则， 在中，， 由余弦定理：，则， 所以截面周长为：. 故选：B. 【点睛】本题主要考查几何体的截面问题，其中根据空间几何体的结构特征，利用平面的性质作出几何体的截面是问题的关键，平常注意方法的总结和归纳. 8.已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°．以为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________． 【答案】. 【难度】0.65 【知识点】球的截面的性质及计算 【分析】根据已知条件易得，侧面，可得侧面与球面的交线上的点到的距离为，可得侧面与球面的交线是扇形的弧，再根据弧长公式可求得结果. 【详解】如图： 取的中点为，的中点为，的中点为， 因为60°，直四棱柱的棱长均为2，所以△为等边三角形，所以，， 又四棱柱为直四棱柱，所以平面，所以， 因为，所以侧面， 设为侧面与球面的交线上的点，则， 因为球的半径为，，所以， 所以侧面与球面的交线上的点到的距离为， 因为，所以侧面与球面的交线是扇形的弧， 因为，所以， 所以根据弧长公式可得. 故答案为：. 【点睛】本题考查了直棱柱的结构特征，考查了直线与平面垂直的判定，考查了立体几何中的轨迹问题，考查了扇形中的弧长公式，属于中档题. 学科网（北京）股份有限公司 $