第三章函数的概念与性质讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

函数的概念与性质 函数的概念及其表示 这一部分解决三件事：把函数是什么说清楚（概念与三要素）、把函数写清楚（表示法 与分段函数)、把解析式与定义域求出来.全章的入口只有一句话一一切函数题先看定义 域定义域错了，后面的单调性、最值、奇偶性全是废的 1、函数的概念与三要素 1.1定义 设A,B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f,使对于A中的任意一个数 x,在B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，就称f:A→B为从A到B的一个函数，记作 y=f(x),x EA. 三要素：定义域(A)、对应关系（f)、值域(f(x)IxEA}).三要素都相同，两个 函数才是同一个函数 1.2定义里的两句话 「任意一个x」一定义域中的每个x都必须有对应，不能有漏的：「唯一一个f(x)] 个x只能对应一个值，出现「一对多」就不是函数 典型反例：y2=x不是函数(x=4时y=±2，两个值)；y=±Vx也不是函数.判断 某个对应关系是不是函数，就去这两句话上找反例， 1.3判断两个函数是否相同 只看两件事：定义域是否相同、对应关系是否相同.与自变量用什么字母记无关（f(x)= x2与f(t)=t2是同一函数)· 判断步骤：①先求两个函数的定义域，不同就直接否定：②定义域相同时再化简对应 关系，看是否化成同一个式子 1.4例题 例1、下列各组函数中，表示同一函数的是() ①f(x)=x,g(x)=VxZ; ②fx)=x,g()= ③f(x)=xl,g(x)=Vx2: ④f(x)=x,g(x)=1: ⑤f(x)=Vx+3V3-x,g(x)=V9-xZ:⑥f(x)=Vx+I·Vx-1,g(x)=Vx2-1 解：①g(x)=Vx2=x,与f(x)=x的对应关系不同(x<0时两者不等)，不是」 ②g(x)的定义域是{xIx≠0}，f(x)的定义域是R,不同，不是 ③两者定义域都是R,且Vx2=x,是同一函数 ④f(x)=x°的定义域是{xIx≠0}，g(x)=1的定义域是R,不同，不是 @闭=十3g,需满足仔+0即-3三x3,面g的=g-不，需满足 9-x2≥0，即-3≤x≤3，且f(x)=Vx+3V3-x=V9-x2=g(x),所以两个函数的定 义域和对应法则相同，为同一个函数 ⑧对函数y=V收+V一，有+8解得x≥1，则函数y=中V收一的 定义域为{x|x≥1)，对函数y=Vx2-1,有x2-1≥0，解得x≥1或x≤-1， 则其定义域为(-∞，-1]U[1,+∞)，定义域不同，不是同一个函数 答案：③⑤ 注：②④⑥是「化简后看起来一样、定义域不一样」的典型.判断顺序必须是先定义 域、后对应关系，反过来就会被化简后的式子骗过去 1.5分段函数 分段函数是一个函数（不是几个函数），只是按定义域的分段用了不同的解析式.三个固 定动作： ①求值：先看自变量落在哪一段，再代那一段的式子； ②求参：解完方程必须检验解是否落在该段的自变量范围内，不在就舍去； ③画图：各段分别画，接点处注意是实心还是空心（取决于该段是否带等号）· 例2、巴如f阅-去，：8花o=3求实数a 解：按α落在哪一段分两类 (1)若a≤0，则f(a)=a2+1=3,解得a=±V2.但a≤0，故取a=-V2,舍去 v2. (2)若a>0,则f(a)=2a=3,解得a=3满足a>0. 综上，a=-V2或a= 注：第(1)类里V2必须舍去一它虽然满足方程，但不在a≤0这一段内.「解完就 交卷」是分段函数求参最常见的失分点 2、定义域 2.1具体函数的定义域 按规则列不等式组，多个限制取交集： 结构 限制 1 g(x) g(x)≠0 g(x) g(x)≥0 [g(x)]° g(x)≠0 实际问题 由实际意义定（长度为正、人数为整数等） 2.2抽象函数的定义域（重点） 核心只有一句：同一个对应关系f下，括号里那一整块东西的取值范围是一样的 也就是说，f(t)、f(p(x)、f(h(x)三个式子里，t、p(x)、h(x)的取值范围必须相同 都是f的定义域.两种问法： ①已知f(x)的定义域为[a,b],求f(p(x)的定义域：解不等式a≤p(x)≤b,解出的 x的范围就是答案 ②已知f(p(x)的定义域为[m,nl,求f(x)的定义域：先由x∈m,m算出p(x)的取 值范围，这个范围就是f(x)的定义域 方向容易记混，抓一句话即可：问的是谁的定义域，答案就是谁的范围.f(p(x)的定义 域永远指x的范围，不是p(x)的范围 2.3例题 例3、(1)已知f(x)=V-x2+2x+3,求f(3x-2)的定义域； (2)已知f(x2-1)的定义域为[0,3]，求f(x)的定义域； (3)已知fx+1)的定义域为[，2，求fx-1)的定义域 解：(1)先求f的定义域：由-x2+2x+3≥0得x2-2x一3≤0，即-1≤x≤3. 于是f(3x-2)中需-1≤3x-2≤3，解得号≤x≤3故定义域为，引 3 (2)由x∈[0,3]得x2∈[0,9]，故x2-1∈[-1,8]，即f的定义域为[-1,8] (3)由fx+1)的定义域为[-22知xE[-2,2,故x+1[且，3]，即f的定义域为 E.3 再求fx-1)的定义域：需x-1e,3],解得x∈层，4 2.4已知定义域求参数范围 问法形如「若f(x)的定义域为R,求α的取值范围」.翻译规则只有一句：把定义域的 条件变成「对一切实数都成立」的恒成立问题 函数外形 「定义域为R」等价于 g(x) g(x)≥0对一切x成立 1 g(x) g(x)≠0对一切x成立 Vg()且分母有g(x) g(x)>0对一切x成立 g(x)是二次式时，就走「二次不等式恒成立」那一套(a>0且4≤0)，但要先分三 次项系数为0的情形一这一点与第9节的a=0陷阱是同一件事 例4、若函数f(x)=Vax2+ax+1的定义域为R,求实数a的取值范围. 解：定义域为R等价于ax2+ax+1≥0对一切实数x成立 (1)a=0时，左边恒为1≥0，对一切x成立，符合题意 (2)a≠0时，需开口向上且不与x轴相交于两点以下： {.a>0, l△=a2-4a≤0. 由a2-4a≤0得0≤a≤4，结合a>0得0<a≤4. 综上，0≤a≤4. 注：若漏掉a=0,答案就变成0<α≤4，把一个合法解丢了.反过来，若题目问的是 「值域为R」（而不是定义域），那对应的是另一套条件，别混， 2.5易错点 ·抽象函数不问方向就代：把f(x)的定义域直接当成f(x+1)的定义域，是本节第一错 ·换元（或换整体）后忘记写新元的范围，值域随即变大. 4 ·多个限制只取其一：分母与根号同时出现时，两个条件都要列，取交集 ·●实际问题忘写定义域，最后算出负长度、半个人这类结果 3、值域 3.1六种方法对照 方法 适用形状 关键动作与易错 配方法 二次函数或可化为二次的函数 配方后必看顶点是否落在定义域内，不在就取 端点 分离常数法 ax+也型 cx+d 化成m+点由≠0得y≠m 换元法 含Vax+b的复合结构 换元必写新元范围：新元范围错，值域全错 判别式法 a1x2+bx+C型 去分母后按x的二次方程有实根得4≥0：须单 azx2+b2x+c2 独讨论二次项系数为0 单调性法 已能判定单调的函数 单调区间上端点值即最值，最快 基本不等式法 和积型(x+一类) 正、二定、三相等，取等不成立就改单调性 3.2分离常数法：例5 例5、求y=的值域 解：分离常数.把分子凑成分母的倍数： y 2(x-1)+3 =2+ 3 x-1 x-1 由定义域x≠1知名≠0，故y≠2. 所以值域为{yIy≠2. 3.3换元法：例6 例6、求y=x-V1-2x的值域. 解：换元设t=V1-2元，由根号的意义得t≥0，且2=1-2x,即x=代入得 y-12-t=-3cx)1-0+y 由t≥0得e+12≥1，故y≤1- 所以值域为(-∞，力 5 注：这题的关键就是t≥0这个范围.若漏写、把t当成全体实数，就会得出y≤1，值 域被放大一这是换元法最典型的失分。 3.4判别式法：例7 例入、求y=华的值域 解：用判别式法.去分母得yx2-2x+y=0 若y=0,则x=0,成立，故0在值域内. 若y≠0，上式是关于x的二次方程，因x∈R,需 4=4-4y2≥0 解得-1≤y≤1，且y≠0. 两部分合并，值域为[-1,1]。 注：判别式法必须先验「二次项系数为0」那一支（本题是y=0)，,否则容易漏掉一个 值.另外它只适用于x能取遍全体实数的情形：若题目限定了x的范围，判别式法给出的会 是「放大后的」范围，须改用单调性或图像 4、求解析式 4.1四种方法 方法 适用条件 关键动作 待定系数法 已知函数类型（一次、二次、反比例） 设出含参形式，代入条件解方程 换元法 己知f(g(x)的表达式 令t=g(x)反解出x,代入后把t换 回x:必写t的范围 配凑法 己知f(g(x),且右边容易凑成g(x) 的式子 把右边整体改写成只含g(x)的形式 条件里同时出现f(x)与f(-x)(或 解方程组法 用一x(或替换原式中的x,与原 fx)与f)》 式联立消元 4.2例题 例8、已知f(x+1)=x2-1,求f(x) 解：方法一（配凑法） f(x+1)=x2-1=(x+1)2-2(x+1) 把(x+1)整体看成新变量，得f(x)=x2-2x. 6 方法二（换元法）：设t=x+1,则x=t-1,代入得 f(t)=(t-1)2-1=t2-2t 故f(x)=x2-2x,与配凑法一致. 例9、已知fx)+2f(月=x(x≠0)，求f(x) 解：用替换原式中的x,得f(月+2f)- 把它与原式联立，记A=f),B=f(月得{24+B= (A+2B=x, 第二式乘2减去第-式，得3A=子-x,即f)-2二c10) 检验：f目=室-2，放f)+2f日== 3x =x 3x 与题设相符，结果正确。 函数的基本性质 这一部分解决三件事：判断并证明单调性、求最值、判断并运用奇偶性.性质题的通用打 法是定义法一把要证的结论翻译成f(x1)一f(x2)的符号问题；图像与复合规则只是加速 器 5、单调性 5.1定义与三要点 设函数f(x)的定义域为1，区间D∈I:若对任意x1,x2∈D,当x1<x2时都有 f(x1)<f(x2),则称f(x)在D上单调递增，D为增区间；若都有f(x1)>f(x2),则称在D 上单调递减.几何意义：图像在D上从左到右上升（下降），如图1. 单调递增 V 单调递减 f(x) f f <→ 与<→作小>周 图1单调递增的定义：自变量越大，函数值越大 7 定义里有三个要点，每个都对应一种错法： ①x1,x2必须在同一个区间内一跨区间比较没有意义： ②x1,x2是任意取的一取两个特殊值验证不算证明，必须「任取」： ③比较的是f(x1)与f(x2)的大小，不是差的正负罗列. 单调性是局部性质：y=x2在R上不单调，但在(-∞，0]上递减、在[0，+o)上递增.写 单调区间时：端点有意义可写闭区间，无意义必须开区间；两个单调区间之间不能用「U」 连接一y=的减区间要写成(-∞，0)和(0，+o),不能写成(-o,0)U(0,+o). 5.2证明单调性：四步 ①取值：任取x1,x2ED,设x1<x2: ②作差变形：算f(x1)-f(x2),化成因式乘积或平方和； ③定号：结合x1<x2与已知范围，判断差的符号；定不下来就分区间讨论： ④判断：对照定义下结论 等价形式：f(x)在D上递增台对任意七1≠x2ED,f)f>0.用商式比较时要注 x1-X2 意分母的正负，符号判断反而更麻烦，一般只在作差难分解时才用 例10、讨论f(x)=x+(p>0)在(0，+∞)上的单调性 解：任取0<x1<x2,作差： fx)-fx)=-x)+(民)=-x)(1-) (x1-X2)(x1X2-p) X1X2 由x1-x2<0、x1x2>0,只需判断x1x2-p的符号： 当x1,x2∈(0，Vp)时x1x2<p,差的符号为「负×负」为正，即f(x1)>f(x2),递减： 当x1,x2∈[VD,+∞)时x1x2>p,差的符号为「负×正」为负，即f(x1)<f(x2),递增 故f(x)在(0，√可]上递减、在[vP,+o)上递增 注：这题的难点全在「因式分解后x1x2一p的符号不定」，必须按x12与p的大小分 区间讨论—这也是5.2第③步「定不了就分区间」的标准用法 5.3复合函数：同增异减 y=f(g(x)先求定义域，再拆成内层t=g(x)与外层y=f(t),分别判断单调性：内 外同增或同减则复合后递增，一增一减则复合后递减 多层复合时，看减函数出现的次数：偶数次整体递增，奇数次整体递减 8 例11、求f(x)=Vx2-2x-3的单调区间. 解：先求定义域：由x2-2x-3≥0得x≤-1或x≥3. 拆成内层t=x2-2x-3与外层y=Vt: 内层在(-∞，1]上递减、在[1，+∞)上递增： 外层y=V:在[0，+∞)上递增，不改变单调性方向. 把内层的单调区间与定义域取交：内层减区间(-∞，1]与定义域的交是(-o∞，一1]：内层 增区间[1，+o)与定义域的交是[3，十∞)， 故f(x)在(-∞，-1]上递减、在[3，+∞)上递增. 注：本题的关键动作是「先求定义域，再对单调区间取交」.[-1,1]与[1,3]这两段虽然 在内层单调，但根本不在定义域内，不能写进答案 5.4结论：常见函数的单调性 函数 单调性 y=kx+b k>0在R上增：k<0在R上减 y=ax2+bx+c a>0时在(-0，-会]减、在[-品，+)增：a<0相反 k>0时在(-∞，0)、(0，+∞)上分别减：k<0时分别增 y=x+(a>0) 在(0，V凤减、在[Va,+o)增：在[-√a,0)减、在(-oo,-Va回]增 y=xx(>0) 在[0，+o∞)上增 y=x+(a>0)的图像如图2，俗称「对勾函数」：最小值2Wa在x=Va取到，最 大值-2Va在x=-Va取到，两条渐近线是y轴与y=x. ，2)最小值 y=x+2 在0.17上减 -1-2)最大值 在1，+0)上增 图2对勾函数：在(0，√可上减、在[va,+o)上增 9 5.5单调性的运算性质 在公共单调区间上（都为正时另有乘法结论)： 增+增=增：减+减=减：增一减=增：k·增=增(k>0)· 两个增函数相乘未必是增函数（如y=x与y=x在(-∞，0）上都是增，乘积x2却递 减)，这一类不能直接套 若f)在D上递增且f()>0,则高在D上递减 5.6抽象函数的单调性（赋值法） 题目不给解析式、只给一个函数方程(（如f(x+y)=f(x)+f(y))时，用赋值法：先求 特殊值，再把f(x2)-f(x1)表成f(x2-x1)的形式，由已知不等式定号 三步：①令x=y=0(或x=y=1)求出f(0)(或f(1);②令y=-x看奇偶 性；③任取x1<x2,把差写成同一个f的形式后定号 例12、已知f(x)的定义域为R,对任意x,yER都有f(x+y)=f(x)+fy),且当 x>0时f(x)<0.证明f(x)在R上单调递减， 解：第一步，求f(0):令x=y=0,得f(0)=f(0)+f(0),故f(0)=0 第二步，把差化成同一个f:任取x1<x2,在f(x+y)=f(x)+f(y)中令x=x1 y=x2-x1,得f(x2)=f(x1)+f(x2-x1) 即f(x2)-f(x1)=f(x2-x1) 第三步，定号：由x1<x2得x2-x1>0,由己知条件得f(x2-x1)<0,故 f(x2)-f(x1)<0→f(x2)<f(x1) 所以f(x)在R上单调递减. 注：若题目给的是乘法型fx+y)=fx)fy)且fx)>0,则改用商：=fx2- f(x1) x1),再与1比大小.结构不同，思路相同把两个函数值的关系归约到一个函数值 5.7易错点 ·「任意」被偷换成「存在」或「无穷多对」，判定失效 ·用特殊值（只验x=1,2)代替任意性去「证明」单调性， ·复合函数忘记先求定义域，或内外层区间没对应上 ·单调区间写成并集，把不连续的两段连成一段 10 6、最大值与最小值 6.1定义 设f(x)的定义域为I:若存在M使得对任意x∈I都有f(x)≤M,且存在xo∈I使 f(xo)=M,则M是f(x)的最大值最小值同理，不等号反向 两个条件缺一不可：既要「对任意x都不超过」，又要「某一个xo真的取到」.值域一 定存在，最值不一定存在一开区间上的严格单调函数就没有最值 6.2求最值的四条路 ①图像法：读最高、最低点的纵坐标，适用于图像易作的函数： ②单调性法（首选）：判定单调后，[a,b]上增函数的最小、最大值为f(a)、f(b),减 函数相反；先增后减在分界处取最大值，先减后增在分界处取最小值： ③配方法：二次函数或可化为二次的函数，结合闭区间上顶点的位置讨论（见63)： ④基本不等式法：和积型，注意一正、二定、三相等（见6.2求最值的四条路之三） 6.3结论：闭区间上二次函数的最值 设f)=a2+bx+c(a>0)在m,m川上求最值，对称轴x,=-六按对称轴与区 间的相对位置分三种情形（如图3)： ①xo<m（区间全在轴右侧)：f在m,n]上递增，最小值f(m),最大值f(n): ②m≤xo≤n(轴在区间内)：最小值f(xo),最大值是f(m)与f(n)中较大的那个： ③xo>n(区间全在轴左侧)：f在[m,n]上递减，最小值f(m),最大值f(m) y=x2-2x 区间全在轴的左侧 轴落在区间内 区间全在轴的右侧 红色为区间，虚线为对称轴x=1:绿色为最小值点，橙色为最大值点 图3闭区间上二次函数最值的三种情形 记法：最小值只看轴在不在区间内（在就用顶点，不在就用靠近轴的那个端点）：最大 值永远在两端点中比较，与轴的位置无关 11 6.4例题 例13、求f(x)=x2-2ax+1在[0,2]上的最小值g(a) 解：开口向上，对称轴x=a,按轴与[0,2]的位置分三类 若a<0(轴在区间左侧)，f在[0,2]上递增，最小值f(0)=1: 若0≤a≤2（轴在区间内），最小值f(a)=1-a2: 若a>2(轴在区间右侧)，f在[0,2]上递减，最小值f(2)=5-4a 1, a<0, 综上，最小值为g(a) 1 -a2,0≤a≤2， 5-4a, a>2. 注：分类的边界值要单独确认能取到哪一支一α=0时顶点恰在端点x=0,f(0)=1 与第一支结果相同，故放在0≤a≤2里也一致；a=2同理. 7、奇偶性 7.1定义与前提 设f(x)的定义域为L.前提：对任意x∈I都有-x∈I,即定义域关于原点对称 在这个前提下：若f(-x)=f(x)恒成立，则f(x)是偶函数：若f(-x)=-f(x)恒成 立，则f(x)是奇函数 定义域不关于原点对称时，函数直接判定为非奇非偶，不必再算f(-x)(如y=x2,xE [-3,5]).既奇又偶的函数只有一类：f(x)=0,且定义域关于原点对称 7.2性质与运算 ●奇函数若在x=0处有定义，则f(0)=0(由f(0)=-f(0)得)，图像过原点. ·奇函数图像关于原点对称，偶函数图像关于y轴对称；反之亦然，如图4. 奇函数：关于原点对称 偶函数：关于y轴对称 )) P(-x.fx f(-x)=-f(x) f(-x)=f(x) 图4奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称 12 ·运算性质（在公共定义域上)：奇±奇=奇，偶士偶=偶；奇×奇=偶，奇×偶= 奇，偶×偶=偶 ·单调性的联动：奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同：偶函数在关于原点对称 的两个区间上单调性相反.这一条在解抽象不等式时最常用. 7.3结论：对称性的推广 把奇偶性看成「对称轴为y轴」与「对称中心为原点」的特例，可得两条常用结论： ①若对定义域内任意x都有f(a+x)=f(a-x),则图像关于直线x=a对称； ②若对定义域内任意x都有f(a+x)=-f(a-x),则图像关于点(a,0)对称 适用条件：等式对定义域内任意x成立（验一两个点不算）.取α=0即回到偶函数与奇 函数的定义， 7.4做题方法 判断奇偶性：①先求定义域，验证是否关于原点对称；②再算f(-x),化简后与 f(x)、-f(x)比较：③分段函数分段验证，或由图像看对称 由奇偶性求解析式：设所求区间上的x,则一x落在已知区间，代入己知段的表达式， 再用f(-x)=±f(x)解出f(x).注意若原函数在x=0有定义且为奇函数，f(0)=0要单独 补上 例14、已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时f(x)=x2-2x,求f(x)的解析 式 解：x=0在定义域内且f为奇函数，故f(0)=0, 当x<0时，-x>0,代入已知段：f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x 由奇函数定义f(-x)=-f(x),得f(x)=-f(-x)=-x2-2x. 故 x2-2x,x>0, f(x)= 0, x=0, -x2-2x,X<0. 注：f(0)=0这一支最容易漏.若题目只说「f是奇函数」而没给x=0的信息，仍要由 奇函数的定义推出f(0)=0(前提是0在定义域内). 由奇偶性解抽象不等式：先用奇偶性把不等式两边的f统一到同一侧的区间，再用单调 性脱去f:脱f之前必须把自变量限制在定义域内 13 例15、已知f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数，且在(-1,1)上单调递减.解不等式 f(1-a)+f(1-a2)<0. 解：移项得f(1-a)<-f(1-a2) 由奇函数定义-f(1-a2)=f(a2-1),故 f(1-a)<f(a2-1) 由f在(-1,1)上递减，脱去f得 1-a>a2-1 即a2+a-2<0,解得-2<a<1. 但自变量必须在定义域内： -1<1-a<1→0<a<2;-1<1-a2<1→0<a2<2→-V2<a<V2且a≠0 三组条件取交，得0<a<1. 所以不等式的解集为(0,1) 注：这题三步缺一不可一先把f号统一（用奇偶性），再脱f(用单调性，注意递减 要变号)，最后把自变量拉回定义域.只做前两步会得到(-2,1)这个过大的答案 7.5结论：构造奇函数求值 若f(x)=g(x)十c,其中g(x)是奇函数、c是常数，则 f(x)+f(-x)=2c 推导：f(x)+f(-x)=[g(x)+c]+[g(-x)+c]=g(x)-g(x)+2c=2c. 用途：已知f(m)求f(-m)时，不需要求出解析式，只需认出「f减去一个常数后是奇 函数」 例16、已知f(x)=ax3+bx+2(a,b为常数)，且f(1)=3,求f(-1). 解：令g(x)=f(x)-2=ax3+bx,则g(-x)=-ax3-bx=-g(x),即g(x)是奇函 数，故 g(1)+g(-1)=0 而g(1)=f(1)-2=1,故g(-1)=-1,于是 f(-1)=g(-1)+2=1 注：识别信号是「x的奇次项+一个单独的常数」.那个常数就是对称中心的高度c,答 案只需凑f(m)+f(-m)=2c. 14 7.6奇偶性与单调性联合比大小 两步：用奇偶性把两边自变量搬到同一单调区间，再用单调性脱掉f 偶函数有f(a)=f(Ia),取绝对值即把[-t,0]上的自变量镜像到[0，t],两边一同落到 [0,+o) 奇函数无此等式(f(a)≠f(a)，取绝对值反而错；它靠「对称区间上单调性相 同」，半边定整体，直接脱f,两段之间由f(0)=0衔接 脱f就是让f(a)<f(b)变成纯自变量的不等式，方向看单调性： 函数类型 第一步 递增时 递减时 偶函数 两边取绝对值 lal Ibl lal bl 奇函数 不必取 a<b a=b 解题四步 ①定域：两个内层式子都要落进定义域定义域是R可略过，不是R时漏掉必错 ②归一：偶函数两边取绝对值（右边是常数f(m)就写成f(mD)；奇函数不取，先确 认整体单调」 ③脱f:同区间上按增减把函数值的不等号换成自变量的不等号，递增同向、递减反向. ④收解集：解不等式（组），再与①取交集 两个易错 漏取绝对值.偶函数题若直接解2x-1<x+3就错了：题设只给了[0，+∞)上的单调 性，而2x一1可能为负，没资格直接落进该区间：正确做法是先化成f(2x-1)<f(x+ 3)再脱f. 漏写定义域.定义域不是R时不给内层式子加限制，答案多出一截： 例17、已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞)上单调递增.解不等式f(2x- 1)<f(x+3) 解：f为偶函数，故f(x)=f(xD,原不等式化为f(I2x-1)<f(Ix+3), I2x-1|与x+3引都非负，落在[0，+∞)内，而f在此区间递增，故2x-1<x+3引. 两边非负，平方得(2x-1)2<(x+3)2台3x2-10x-8<0←台(3x+2)(x-4)<0, 解得-子<x<4.定义域是R,无额外限制，所以解集为{x1-子<x<4} 例18、已知f(x)是定义在[-2,2]上的奇函数，且在[0,2]上单调递增.解不等式f(x- 1)+f(x)<0. 解：由奇函数得-f(x)=f(-x),原不等式化为f(x-1)-f(-x)<0,即 f(x-1)<f(-x). f)在[-2,2]上递增，故x-1<-x台x<号 两个自变量都要落进定义域：-2≤x一1≤2且-2≤x≤2，即-1≤x≤3且-2≤ x≤2，取交集得-1≤x≤2 再与x<取交集，得-1≤x<子所以解集为{x1-1≤x<引 7.7易错点 ·跳过定义域对称性直接验f(-x),把定义域不对称的函数判成奇偶函数 ●奇函数漏掉f(0)=0(0在定义域内时) 。偶函数在对称区间上单调性写反，导致脱f时不等号方向错」 ·「f(x)是奇函数」与「f(-x)=-f(x)对定义域内一切x成立」是同一件事，验一个点 不够 8、幂函数 8.1定义与三特征 函数y=xa叫幂函数，其中x是自变量、α是常数.三特征：x的系数为1：底数是自 变量：指数是常数 据此判定：y=2x3不是幂函数（系数2≠1）；y=xx不是（指数含变量）；y= (2a+3)xa2-3若为幂函数，必须2a+3=1且a2-3为常数（后者自动满足）. 82五个常见幂函数的图像 y=x、y=x2、y=x3、y=x1/2、y=x1的图像如图5. v-Vx a>0时都过0,0)与1，) a<0时以两条坐标轴为渐近线 16 图5五个常见幂函数的图像 8.3 性质对照表 性质 y=x y=x2 y=x3 y=x1/2 y=x-1 图象 定义域 R R R [0,+0∞) {xIx≠0} 值域 中 [0,+∞) R [0,+0) yIy≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 R上增 (-∞，0]减， (-0,0)、(0,+∞)上 [0,+o)增 R上增 [0,+∞)上增 均减 定点 (0,0),(1,1) (0,0),(1,1) (0,0),(1,1) (0,0),(1,1) (1,1) 8.4一般规律 所有幂函数在(0，+∞)上都有定义，图像都过定点(1,1)：图像最多出现在两个象限，必 过第一象限，永不过第四象限 >0时图像过原点且在[0，+oo)上递增：<0时在(0，+oo)上递减，图像以x轴、y 轴为渐近线 在(1，+∞)上，越大图像越「陡」；在(0,1)上，越大图像越「平」一这一条用来 在图形上快速区分同名点附近的两条幂函数曲线， 8.5比较幂值大小 原则：能同就同，不能同就找中间量 ①同指数：用幂函数y=x“的单调性，比底数： ②同底：用指数函数的性质比指数（第四章内容，此处只作提示)； ③底、指都不同：插入中间量0、1，或插入一个与两者都可比的值，再用传递性」 8.6例题 例19、比较下列各组数的大小： (1)1.52与1.7；(2)0.7与0.8 17 解：(1)两者指数相同，考察幂函数y=x,它在[0，+∞)上递增，而1.5<1.7，故 1.5<1.7方 (2)两者指数相同，考察幂函数y=x三，它在(0，+∞)上递减，而0.7<0.8，故 0.72>0.8 注：第(2)问的坑在于「底数大的反而值小」一幂函数α<0时单调递减，底数与函 数值的大小关系是反的， 8.7易错点 ·幂函数定义中系数不是1(y=2x3)、指数含变量(y=xx)都不是幂函数 ·比较大小忽略α<0时「底大值小」的反向关系 ●y=x2的定义域是[0，+0)，不看定义域直接代负数， ●把幂函数与指数函数混为一谈：幂函数是底数变、指数定，指数函数是底数定、指数变！ 函数图像的变换 这一部分的主线只有一句话：图像变换就是图像上所有点的整体搬家.每条变换规则都能 用「图上一个点跑到了哪里」来检验，规则记不清时跟踪一个点即可现场推出，不必死记.口 诀先行：自变量左加右减，因变量上加下减：对称时「对称谁，谁不变」，关于原点对称则 横纵坐标都要变」 9、图像变换：平移与翻折 图像变换只有两类动作：平移（形状不动，整体挪位）和翻折（把图像的一部分按对称 折过去)，所有复杂函数图像都能靠这两类动作从基本图像拼出来 9.1、平移变换 平移的规律一句话：左加右减、上加下减但这里的「加减」作用的对象不同，这是全部 错误的源头 变换 解析式变化 动的方向 加减作用在谁身上 左右平移 m>0左移m: 作用在单个x上(x y=f(x)→y=f(x+m) m<0右移m 变x+m) 上下平移 n>0上移n: y=f(x)→y=f(x)+n n<0下移n 作用在整个f(x)上 18 左右平移容易错的根本原因：f(x+m)中加减的是x,不是f所以系数必须提出来 f(2x-1)不是「2x减1所以右移1小，而是f2(x-》,右移子再横向压缩为原来的一 半 9.2反比例函数的平移 反比例函数y=的两条渐近线是x=0和y=0.平移后图像形状不变，渐近线跟着平 移—这是作图和读图最可靠的抓手 以y=是y=是y=寻+2为例： a)原图 (6)右移1 (c)再上移2 3 3 = y=-1 +2 y=2 (12 图6反比例函数先右移1再上移2，两条渐近线随之移到x=1与y=2 看图6可读出三条信息： 渐近线.分母为零处得竖直渐近线x=1:水平渐近线y=2.交点(1,2)就是新图像的对 称中心 形状.与y=完全相同，只是整体挪了位置，两支曲线的弯曲程度没变 单调性.仍在(-∞，1)和(1，+0)上各自递减(k=3>0),分界点由x=0换成x=1. 分式函数作图的一般步骤：先分离常数，把分子降次，化成六。+b的形式，再平移.例 如 y= x+1-2x-1）+3=2+3 x-1 x-1 x-1 即y=三右移1、上移2. 9.3二次函数与一般函数的平移 二次函数建议先配方成顶点式y=a(x-h)2+k,顶点(h,k)一定，图像就定了y= x2-2x-3=(x-1)2-4,顶点(1，-4)，向上平移2得y=(x-1)2-2,顶点(1，-2) 19 一般函数y=f(x)平移后，所有特征点同步平移：零点、极值点、与坐标轴的交点、渐 近线，全部按同一个向量(-m,n)移动.所以作图时只需搬动几个特征点，不必逐点描 2、翻折变换 翻折只由绝对值引起，共三种形态，动作完全不同，不能混： 解析式 动作 口诀 y=If(x)I 保留x轴上方，把下方翻到上方 下翻上 y=f(Ixl) 保留y轴右侧，删掉左侧，再把右侧复制到左侧 右翻左 y If(IxDI 先「右翻左」，再「下翻上」 先右翻左，再下翻上 判断依据在绝对值的位置：绝对值套在f外面，改变的是函数值（纵坐标），所以是上 下翻：绝对值套在x上，改变的是自变量（横坐标），所以是左右翻 以f(x)=x2-2x-3为例，四个阶段的图像如下： (a)原图 (6)下翻上 y=f(x) y=If()l (1.4) (c)右翻左 (d)先右翻左，再下翻上 y=f(Lxl) y=If(D)l (-1,-4) 图7二次函数y=x2一2x一3的三种翻折.外绝对值控制上下，内绝对值控制左右 图7()到7(d依次是原图、下翻上、右翻左、三层叠加 20 9.4下翻上：y=f(x)引 图7b):x轴上方部分原样保留，下方部分（这里是xE(-1,3)上的一段)沿x轴翻上 去.原来的最低点(1，-4)翻到(1,4) 这条变换不改变定义域，但可能改变单调性，也可能把「最小值」变成「极大值」上例 中原函数的最小值是一4，翻折后(1,4)处是极大值，最小值变成0（在x=-1,3处取得）. 9.5右翻左：y=f(xD 图7(c):只留y轴右侧(x≥0)，左侧整段删掉，再把右侧沿y轴复制过去.结果一定 关于y轴对称，即成为偶函数 9.6三层叠加：y=f(Ix)川 先做里面（右翻左），再做外面（下翻上）这两步其实可以交换一f(x)川再右翻左得 到f(x)儿，与先右翻左再下翻上结果相同.但建议固定先内后外：先对称再翻折，中间过程 看的始终是同一个函数，不容易看错图 10、常考题型与二级结论 10.1题型一已知变换求解析式：盯住x本身被换成了什么 平移只作用在「括号里的x」上：y=f(2x)右移a个单位，x变成x-a,但括号里的 整体是2x,故得y=f(2(x-a)=f(2x-2a),不是f(2x-a).判断标准只有一个：新图 像上的点(xo+a,f(2xo)必须满足新解析式 10.2题型二分式函数的对称中心：分离常数 形如y=x+d(ad≠bc)的函数，把分子配成含分母的形式再裂项： ax+b cx+d c cb-ad y ax+b a'a(ax+b) 它是由y=(k-)平移得到的双曲线：渐近线x--名、y=:对称中心 a2 (-总，)：定义域为{x1x≠-}，值域为{y1y≠}由图还可直接读出：两支上均为单 调，单调区间以渐近线为界 同理y=ax+b+之。型（对勾函数的平移版）以(a,)为对称中心 例20、把y=的图像向右平移1个单位，求新函数的对称中心与值域 解：对y=分子配凑2x+1=2x-1)+3,故 之 3 y=2+ x-1 右移1个单位得y=2+二2其渐近线为x=2、y=2,故对称中心为(2,2)，值域为 yIy≠2} 10.3题型三含绝对值的不等式：图像法三步 以If(x)l≤a(a>0)为例： ①令f(x)=0解出与坐标轴的交点， ②同一坐标系画y=If(x)川与y=a的图像， ③先解f(x)=α得实根，再利用对称性得翻折后的根，由图读出解集 多绝对值（如x-x1|+x-x2+b型）用零点分段法：以各绝对值的零点为界把定义域 分成若干段，逐段去掉绝对值，每段都是一次函数或常数 例21、解不等式|2x+1川≤5，并解方程|x-1|+x-2=3. 解：|2x+1≤5等价于-5≤2x+1≤5，即-3≤x≤2. (图像验证：y=2x+1是顶点(-，0)、开口向上的V字形，直线y=5与两支交点 的横坐标为-3与2，之间部分低于5.) |x-1|+x-2|=3:零点1、2分三段去绝对值 ●x<1:(1-x)+(2-x)=3-2x=3,得x=0(满足x<1): ●1≤x≤2：(x-1)+(2-x)=1≠3，无解： ●x>2:(x-1)+(x-2)=2x-3=3,得x=3(满足x>2) 故方程的解为x=0或x=3.（几何意义：数轴上到1、2两点距离之和为3的点，恰在 两点的两侧各一个) 10.4题型四对称性的代数刻画（二级结论） ·f(a+x)=f(a-x)(等价于f(x)=f(2a-x)台图像关于直线x=a对称； ·f(a+x)+f(a-x)=2b台图像关于点(a,b)对称. 反过来用：知道了一条对称轴（或一个对称中心）加一个单调区间，就可以把另一侧的 函数值「搬」过来求 例22、定义在R上的函数f(x)满足f(2+x)+f(2-x)=4,且当x≤2时f(x)= (x-2)2+1.求f(5)与f(1)+f(3) 解：条件即f(x)+f(4-x)=4,说明图像关于点(2,2)对称. 22 f(5):5关于2的对称点是-1，故f(5)=4-f(-1)=4-(-1-2)2+1)=4-10= -6 f(1)+f(3):1与3关于2对称，直接由对称式得f(1)+f(3)=4 注：见到f(a+x)士f(a-x)型条件，先翻译成「关于x=a对称/关于(a,b)对称] 再动笔，比设未知数快得多 10.5易错点 ·平移方向记反：y=f(x+a)是左移(x被换成x+a,图像反而向左)，不是右移： ·带系数平移忘乘ω：y=f(2x)右移3应得f(2x-6),误写f(2x-3): •y=f(x)误以为要保留左侧：是右侧保留、左侧镜像，左侧原图直接丢弃： ●y=f(x)误写成把整支翻上去后上方部分也保留两份：原图上方只保留一份，只有下方 翻上来： ·分式函数求对称中心前必须先分离常数，直接看分子分母猜中心十有八九会错； ·用f(a+x)=f(a-x)判对称时，两边的a必须符号相反、常数相同；写成f(a+x)= f(a+x)就成了恒等式，什么也得不到. 23 函数的概念与性质 函数的概念及其表示 这一部分解决三件事：把函数是什么说清楚（概念与三要素）、把函数写清楚（表示法与分段函数）、把解析式与定义域求出来. 全章的入口只有一句话——一切函数题先看定义域. 定义域错了，后面的单调性、最值、奇偶性全是废的. 1、函数的概念与三要素 1.1　定义 设 是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 ，使对于 中的任意一个数 ，在 中都有唯一确定的数 和它对应，就称 为从 到 的一个函数，记作 ，. 三要素：定义域（）、对应关系（）、值域（）. 三要素都相同，两个函数才是同一个函数. 1.2　定义里的两句话 「任意一个 」——定义域中的每个 都必须有对应，不能有漏的；「唯一一个 」——一个 只能对应一个值，出现「一对多」就不是函数. 典型反例： 不是函数（ 时 ，两个值）； 也不是函数. 判断某个对应关系是不是函数，就去这两句话上找反例. 1.3　判断两个函数是否相同 只看两件事：定义域是否相同、对应关系是否相同. 与自变量用什么字母记无关（ 与 是同一函数）. 判断步骤：① 先求两个函数的定义域，不同就直接否定；② 定义域相同时再化简对应关系，看是否化成同一个式子. 1.4　例题 例 1、 下列各组函数中，表示同一函数的是（　） ① ，； ② ，； ③ ，； ④ ，； ⑤，；⑥ 1.5　分段函数 分段函数是一个函数（不是几个函数），只是按定义域的分段用了不同的解析式. 三个固定动作： ① 求值：先看自变量落在哪一段，再代那一段的式子； ② 求参：解完方程必须检验解是否落在该段的自变量范围内，不在就舍去； ③ 画图：各段分别画，接点处注意是实心还是空心（取决于该段是否带等号）. 例 2、 已知 若 ，求实数 . 2、定义域 2.1　具体函数的定义域 按规则列不等式组，多个限制取交集： 结构 限制 实际问题 由实际意义定（长度为正、人数为整数等） 2.2　抽象函数的定义域（重点） 核心只有一句：同一个对应关系 下，括号里那一整块东西的取值范围是一样的. 也就是说，、、 三个式子里，、、 的取值范围必须相同——都是 的定义域. 两种问法： ① 已知 的定义域为 ，求 的定义域：解不等式 ，解出的 的范围就是答案. ② 已知 的定义域为 ，求 的定义域：先由 算出 的取值范围，这个范围就是 的定义域. 方向容易记混，抓一句话即可：问的是谁的定义域，答案就是谁的范围. 的定义域永远指 的范围，不是 的范围. 2.3　例题 例 3、 （1）已知 ，求 的定义域； （2）已知 的定义域为 ，求 的定义域； （3）已知 的定义域为 ，求 的定义域. 2.4　已知定义域求参数范围 问法形如「若 的定义域为 ，求 的取值范围」. 翻译规则只有一句：把定义域的条件变成「对一切实数都成立」的恒成立问题. 函数外形 「定义域为 」等价于 对一切 成立 对一切 成立 且分母有 对一切 成立 是二次式时，就走「二次不等式恒成立」那一套（ 且 ），但要先分二次项系数为 的情形——这一点与第 9 节的 陷阱是同一件事. 例 4、 若函数 的定义域为 ，求实数 的取值范围. 的定义域直接当成 的定义域，是本节第一错. 换元（或换整体）后忘记写新元的范围，值域随即变大. 多个限制只取其一：分母与根号同时出现时，两个条件都要列，取交集. 实际问题忘写定义域，最后算出负长度、半个人这类结果. 3、值域 3.1　六种方法对照 方法 适用形状 关键动作与易错 配方法 二次函数或可化为二次的函数 配方后必看顶点是否落在定义域内，不在就取端点 分离常数法 型 化成 ，由 得 换元法 含 的复合结构 换元必写新元范围；新元范围错，值域全错 判别式法 型 去分母后按 的二次方程有实根得 ；须单独讨论二次项系数为 单调性法 已能判定单调的函数 单调区间上端点值即最值，最快 基本不等式法 和积型（ 一类） 一正、二定、三相等，取等不成立就改单调性 3.2　分离常数法：例 5 例 5、 求 的值域. 的值域. 的值域. 的表达式 令 反解出 ，代入后把 换回 ；必写 的范围 配凑法 已知 ，且右边容易凑成 的式子 把右边整体改写成只含 的形式 解方程组法 条件里同时出现 与 （或 与 ） 用 （或 ）替换原式中的 ，与原式联立消元 4.2　例题 例 8、 已知 ，求 . （），求 . 函数的基本性质 这一部分解决三件事：判断并证明单调性、求最值、判断并运用奇偶性. 性质题的通用打法是定义法——把要证的结论翻译成 的符号问题；图像与复合规则只是加速器. 5、单调性 5.1　定义与三要点 设函数 的定义域为 ，区间 ：若对任意 ，当 时都有 ，则称 在 上单调递增， 为增区间；若都有 ，则称在 上单调递减. 几何意义：图像在 上从左到右上升（下降），如图 1. 图 1　单调递增的定义：自变量越大，函数值越大 定义里有三个要点，每个都对应一种错法： ① 必须在同一个区间内——跨区间比较没有意义； ② 是任意取的——取两个特殊值验证不算证明，必须「任取」； ③ 比较的是 与 的大小，不是差的正负罗列. 单调性是局部性质： 在 上不单调，但在 上递减、在 上递增. 写单调区间时：端点有意义可写闭区间，无意义必须开区间；两个单调区间之间不能用「」连接—— 的减区间要写成 和 ，不能写成 . 5.2　证明单调性：四步 ① 取值：任取 ，设 ； ② 作差变形：算 ，化成因式乘积或平方和； ③ 定号：结合 与已知范围，判断差的符号；定不下来就分区间讨论； ④ 判断：对照定义下结论. 等价形式： 在 上递增 对任意 ，. 用商式比较时要注意分母的正负，符号判断反而更麻烦，一般只在作差难分解时才用. 例 10、 讨论 （）在 上的单调性. 先求定义域，再拆成内层 与外层 ，分别判断单调性：内外同增或同减则复合后递增，一增一减则复合后递减. 多层复合时，看减函数出现的次数：偶数次整体递增，奇数次整体递减. 例 11、 求 的单调区间. 5.4　结论：常见函数的单调性 函数 单调性 在 上增； 在 上减 时在 减、在 增； 相反 时在 、 上分别减； 时分别增 （） 在 减、在 增；在 减、在 增 （） 在 上增 （）的图像如图 2，俗称「对勾函数」：最小值 在 取到，最大值 在 取到，两条渐近线是 轴与 . 图 2　对勾函数：在 (0,] 上减、在 [,+∞) 上增 5.5　单调性的运算性质 在公共单调区间上（都为正时另有乘法结论）： 增 增 增；减 减 减；增 减 增； 增 增（）. 两个增函数相乘未必是增函数（如 与 在 上都是增，乘积 却递减），这一类不能直接套. 若 在 上递增且 ，则 在 上递减. 5.6　抽象函数的单调性（赋值法） 题目不给解析式、只给一个函数方程（如 ）时，用赋值法：先求特殊值，再把 表成 的形式，由已知不等式定号. 三步：① 令 （或 ）求出 （或 ）；② 令 看奇偶性；③ 任取 ，把差写成同一个 的形式后定号. 例 12、 已知 的定义域为 ，对任意 都有 ，且当 时 . 证明 在 上单调递减. ）代替任意性去「证明」单调性. 复合函数忘记先求定义域，或内外层区间没对应上. 单调区间写成并集，把不连续的两段连成一段. 6、最大值与最小值 6.1　定义 设 的定义域为 ：若存在 使得对任意 都有 ，且存在 使 ，则 是 的最大值；最小值同理，不等号反向. 两个条件缺一不可：既要「对任意 都不超过」，又要「某一个 真的取到」. 值域一定存在，最值不一定存在——开区间上的严格单调函数就没有最值. 6.2　求最值的四条路 ① 图像法：读最高、最低点的纵坐标，适用于图像易作的函数； ② 单调性法（首选）：判定单调后， 上增函数的最小、最大值为 、，减函数相反；先增后减在分界处取最大值，先减后增在分界处取最小值； ③ 配方法：二次函数或可化为二次的函数，结合闭区间上顶点的位置讨论（见 6.3）； ④ 基本不等式法：和积型，注意一正、二定、三相等（见 6.2 求最值的四条路之三）. 6.3　结论：闭区间上二次函数的最值 设 （）在 上求最值，对称轴 ，按对称轴与区间的相对位置分三种情形（如图 3）： ① （区间全在轴右侧）： 在 上递增，最小值 ，最大值 ； ② （轴在区间内）：最小值 ，最大值是 与 中较大的那个； ③ （区间全在轴左侧）： 在 上递减，最小值 ，最大值 . 图 3　闭区间上二次函数最值的三种情形 记法：最小值只看轴在不在区间内（在就用顶点，不在就用靠近轴的那个端点）；最大值永远在两端点中比较，与轴的位置无关. 6.4　例题 例 13、 求 在 上的最小值. 7、奇偶性 7.1　定义与前提 设 的定义域为 . 前提：对任意 都有 ，即定义域关于原点对称. 在这个前提下：若 恒成立，则 是偶函数；若 恒成立，则 是奇函数. 定义域不关于原点对称时，函数直接判定为非奇非偶，不必再算 （如 ，）. 既奇又偶的函数只有一类：，且定义域关于原点对称. 7.2　性质与运算 奇函数若在 处有定义，则 （由 得），图像过原点. 奇函数图像关于原点对称，偶函数图像关于 轴对称；反之亦然，如图 4. 图 4　奇函数关于原点对称，偶函数关于 y 轴对称 运算性质（在公共定义域上）：奇 奇 奇，偶 偶 偶；奇 奇 偶，奇 偶 奇，偶 偶 偶. 单调性的联动：奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同；偶函数在关于原点对称的两个区间上单调性相反. 这一条在解抽象不等式时最常用. 7.3　结论：对称性的推广 把奇偶性看成「对称轴为 轴」与「对称中心为原点」的特例，可得两条常用结论： ① 若对定义域内任意 都有 ，则图像关于直线 对称； ② 若对定义域内任意 都有 ，则图像关于点 对称. 适用条件：等式对定义域内任意 成立（验一两个点不算）. 取 即回到偶函数与奇函数的定义. 7.4　做题方法 判断奇偶性：① 先求定义域，验证是否关于原点对称；② 再算 ，化简后与 、 比较；③ 分段函数分段验证，或由图像看对称. 由奇偶性求解析式：设所求区间上的 ，则 落在已知区间，代入已知段的表达式，再用 解出 . 注意若原函数在 有定义且为奇函数， 要单独补上. 例 14、 已知 是定义在 上的奇函数，当 时 ，求 的解析式. 是定义在 上的奇函数，且在 上单调递减. 解不等式 . ，其中 是奇函数、 是常数，则 推导：. 用途：已知 求 时，不需要求出解析式，只需认出「 减去一个常数后是奇函数」. 例 16、 已知 （ 为常数），且 ，求 . . 偶函数有 ，取绝对值即把 上的自变量镜像到 ，两边一同落到 . 奇函数无此等式（），取绝对值反而错；它靠「对称区间上单调性相同」，半边定整体，直接脱 ，两段之间由 衔接. 脱 就是让 变成纯自变量的不等式，方向看单调性： 函数类型 第一步 递增时 递减时 偶函数 两边取绝对值 奇函数 不必取 解题四步 ① 定域：两个内层式子都要落进定义域.定义域是 R 可略过，不是 R 时漏掉必错. ② 归一：偶函数两边取绝对值（右边是常数 就写成 ）；奇函数不取，先确认整体单调. ③ 脱 ：同区间上按增减把函数值的不等号换成自变量的不等号，递增同向、递减反向. ④ 收解集：解不等式（组），再与①取交集. 两个易错 漏取绝对值. 偶函数题若直接解 就错了：题设只给了 上的单调性，而 可能为负，没资格直接落进该区间；正确做法是先化成 再脱 . 漏写定义域. 定义域不是 R 时不给内层式子加限制，答案多出一截. 例17、 已知 是定义在 R 上的偶函数，且在 上单调递增. 解不等式 . 例18、 已知 是定义在 上的奇函数，且在 上单调递增. 解不等式 . ，把定义域不对称的函数判成奇偶函数. 奇函数漏掉 （ 在定义域内时）. 偶函数在对称区间上单调性写反，导致脱 时不等号方向错. 「 是奇函数」与「 对定义域内一切 成立」是同一件事，验一个点不够. 8、幂函数 8.1　定义与三特征 函数 叫幂函数，其中 是自变量、 是常数. 三特征： 的系数为 ；底数是自变量；指数是常数. 据此判定： 不是幂函数（系数 ）； 不是（指数含变量）； 若为幂函数，必须 且 为常数（后者自动满足）. 8.2　五个常见幂函数的图像 、、、、 的图像如图 5. 图 5　五个常见幂函数的图像 8.3　性质对照表 性质 图象 定义域 值域 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 上增 减， 增 上增 上增 、 上均减 定点 8.4　一般规律 所有幂函数在 上都有定义，图像都过定点 ；图像最多出现在两个象限，必过第一象限，永不过第四象限. 时图像过原点且在 上递增； 时在 上递减，图像以 轴、 轴为渐近线. 在 上， 越大图像越「陡」；在 上， 越大图像越「平」——这一条用来在图形上快速区分同名点附近的两条幂函数曲线. 8.5　比较幂值大小 原则：能同就同，不能同就找中间量. ① 同指数：用幂函数 的单调性，比底数； ② 同底：用指数函数的性质比指数（第四章内容，此处只作提示）； ③ 底、指都不同：插入中间量 、，或插入一个与两者都可比的值，再用传递性. 8.6　例题 例 19、 比较下列各组数的大小： （1）与 ；（2） 与 . 8.7　易错点 幂函数定义中系数不是 （）、指数含变量（）都不是幂函数. 比较大小忽略 时「底大值小」的反向关系. 的定义域是 ，不看定义域直接代负数. 把幂函数与指数函数混为一谈：幂函数是底数变、指数定，指数函数是底数定、指数变. 函数图像的变换 这一部分的主线只有一句话：图像变换就是图像上所有点的整体搬家. 每条变换规则都能用「图上一个点跑到了哪里」来检验，规则记不清时跟踪一个点即可现场推出，不必死记. 口诀先行：自变量左加右减，因变量上加下减；对称时「对称谁，谁不变」，关于原点对称则横纵坐标都要变. 9、图像变换：平移与翻折 图像变换只有两类动作：平移（形状不动，整体挪位）和翻折（把图像的一部分按对称折过去）.所有复杂函数图像都能靠这两类动作从基本图像拼出来. 9.1、平移变换 平移的规律一句话：左加右减、上加下减.但这里的「加减」作用的对象不同，这是全部错误的源头. 变换 解析式变化 动的方向 加减作用在谁身上 左右平移 左移 ； 右移 作用在单个 上（ 变 ） 上下平移 上移 ； 下移 作用在整个 上 左右平移容易错的根本原因： 中加减的是 ，不是 .所以系数必须提出来—— 不是「 减 1 所以右移 1」，而是 ，右移 ，再横向压缩为原来的一半. 9.2 反比例函数的平移 反比例函数 的两条渐近线是 和 .平移后图像形状不变，渐近线跟着平移——这是作图和读图最可靠的抓手. 以 为例： 图 6　反比例函数先右移 再上移 ，两条渐近线随之移到 与 看图 6可读出三条信息： 渐近线. 分母为零处得竖直渐近线 ；水平渐近线 .交点 就是新图像的对称中心. 形状. 与 完全相同，只是整体挪了位置，两支曲线的弯曲程度没变. 单调性. 仍在 和 上各自递减（），分界点由 换成 . 分式函数作图的一般步骤：先分离常数，把分子降次，化成 的形式，再平移.例如 即 右移 、上移 . 9.3 二次函数与一般函数的平移 二次函数建议先配方成顶点式 ，顶点 一定，图像就定了.，顶点 ，向上平移 得 ，顶点 . 一般函数 平移后，所有特征点同步平移：零点、极值点、与坐标轴的交点、渐近线，全部按同一个向量 移动.所以作图时只需搬动几个特征点，不必逐点描. 2、翻折变换 翻折只由绝对值引起，共三种形态，动作完全不同，不能混： 解析式 动作 口诀 保留 轴上方，把下方翻到上方 下翻上 保留 轴右侧，删掉左侧，再把右侧复制到左侧 右翻左 先「右翻左」，再「下翻上」 先右翻左，再下翻上 判断依据在绝对值的位置：绝对值套在 外面，改变的是函数值（纵坐标），所以是上下翻；绝对值套在 上，改变的是自变量（横坐标），所以是左右翻. 以 为例，四个阶段的图像如下： 图 7　二次函数 的三种翻折. 外绝对值控制上下，内绝对值控制左右 图 7(a) 到 7(d) 依次是原图、下翻上、右翻左、三层叠加. 9.4 下翻上： 图 7(b)： 轴上方部分原样保留，下方部分（这里是 上的一段）沿 轴翻上去. 原来的最低点 翻到 . 这条变换不改变定义域，但可能改变单调性，也可能把「最小值」变成「极大值」.上例中原函数的最小值是 ，翻折后 处是极大值，最小值变成 （在 处取得）. 9.5 右翻左： 图 7(c)：只留 轴右侧（），左侧整段删掉，再把右侧沿 轴复制过去. 结果一定关于 轴对称，即成为偶函数. 9.6 三层叠加： 先做里面（右翻左），再做外面（下翻上）.这两步其实可以交换—— 再右翻左得到 ，与先右翻左再下翻上结果相同.但建议固定先内后外：先对称再翻折，中间过程看的始终是同一个函数，不容易看错图. 10、常考题型与二级结论 10.1　题型一 已知变换求解析式：盯住 本身被换成了什么 平移只作用在「括号里的 」上： 右移 个单位， 变成 ，但括号里的整体是 ，故得 ，不是 . 判断标准只有一个：新图像上的点 必须满足新解析式. 10.2　题型二 分式函数的对称中心：分离常数 形如 （）的函数，把分子配成含分母的形式再裂项： 它是由 （）平移得到的双曲线：渐近线 、，对称中心 ；定义域为 ，值域为 . 由图还可直接读出：两支上均为单调，单调区间以渐近线为界. 同理 型（对勾函数的平移版）以 为对称中心. 例 20、 把 的图像向右平移 个单位，求新函数的对称中心与值域. （）为例： ① 令 解出与坐标轴的交点， ② 同一坐标系画 与 的图像， ③ 先解 得实根，再利用对称性得翻折后的根，由图读出解集. 多绝对值（如 型）用零点分段法：以各绝对值的零点为界把定义域分成若干段，逐段去掉绝对值，每段都是一次函数或常数. 例 21、 解不等式 ，并解方程 . 10.4　题型四 对称性的代数刻画（二级结论） （等价于 ） 图像关于直线 对称； 图像关于点 对称. 反过来用：知道了一条对称轴（或一个对称中心）加一个单调区间，就可以把另一侧的函数值「搬」过来求. 例 22、 定义在 上的函数 满足 ，且当 时 . 求 与 . 10.5　易错点 平移方向记反： 是左移（ 被换成 ，图像反而向左），不是右移； 带系数平移忘乘 ： 右移 应得 ，误写 ； 误以为要保留左侧：是右侧保留、左侧镜像，左侧原图直接丢弃； 误写成把整支翻上去后上方部分也保留两份：原图上方只保留一份，只有下方翻上来； 分式函数求对称中心前必须先分离常数，直接看分子分母猜中心十有八九会错； 用 判对称时，两边的 必须符号相反、常数相同；写成 就成了恒等式，什么也得不到. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 函数的概念与性质 函数的概念及其表示 这一部分解决三件事：把函数是什么说清楚（概念与三要素）、把函数写清楚（表示法与分段函数）、把解析式与定义域求出来. 全章的入口只有一句话——一切函数题先看定义域. 定义域错了，后面的单调性、最值、奇偶性全是废的. 1、函数的概念与三要素 1.1　定义 设 是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 ，使对于 中的任意一个数 ，在 中都有唯一确定的数 和它对应，就称 为从 到 的一个函数，记作 ，. 三要素：定义域（）、对应关系（）、值域（）. 三要素都相同，两个函数才是同一个函数. 1.2　定义里的两句话 「任意一个 」——定义域中的每个 都必须有对应，不能有漏的；「唯一一个 」——一个 只能对应一个值，出现「一对多」就不是函数. 典型反例： 不是函数（ 时 ，两个值）； 也不是函数. 判断某个对应关系是不是函数，就去这两句话上找反例. 1.3　判断两个函数是否相同 只看两件事：定义域是否相同、对应关系是否相同. 与自变量用什么字母记无关（ 与 是同一函数）. 判断步骤：① 先求两个函数的定义域，不同就直接否定；② 定义域相同时再化简对应关系，看是否化成同一个式子. 1.4　例题 例 1、 下列各组函数中，表示同一函数的是（　） ① ，； ② ，； ③ ，； ④ ，； ⑤，；⑥ 解：① ，与 的对应关系不同（ 时两者不等），不是. ② 的定义域是 ， 的定义域是 ，不同，不是. ③ 两者定义域都是 ，且 ，是同一函数. ④ 的定义域是 ， 的定义域是 ，不同，不是. ⑤，需满足，即，而，需满足，即，且，所以两个函数的定义域和对应法则相同，为同一个函数. ⑥对函数，有，解得，则函数的定义域为，对函数，有，解得或， 则其定义域为，定义域不同，不是同一个函数. 答案：③⑤. 注：②④ ⑥是「化简后看起来一样、定义域不一样」的典型. 判断顺序必须是先定义域、后对应关系，反过来就会被化简后的式子骗过去. 1.5　分段函数 分段函数是一个函数（不是几个函数），只是按定义域的分段用了不同的解析式. 三个固定动作： ① 求值：先看自变量落在哪一段，再代那一段的式子； ② 求参：解完方程必须检验解是否落在该段的自变量范围内，不在就舍去； ③ 画图：各段分别画，接点处注意是实心还是空心（取决于该段是否带等号）. 例 2、 已知 若 ，求实数 . 解：按 落在哪一段分两类. （1）若 ，则 ，解得 . 但 ，故取 ，舍去 . （2）若 ，则 ，解得 ，满足 . 综上， 或 . 注：第（1）类里 必须舍去——它虽然满足方程，但不在 这一段内. 「解完就交卷」是分段函数求参最常见的失分点. 2、定义域 2.1　具体函数的定义域 按规则列不等式组，多个限制取交集： 结构 限制 实际问题 由实际意义定（长度为正、人数为整数等） 2.2　抽象函数的定义域（重点） 核心只有一句：同一个对应关系 下，括号里那一整块东西的取值范围是一样的. 也就是说，、、 三个式子里，、、 的取值范围必须相同——都是 的定义域. 两种问法： ① 已知 的定义域为 ，求 的定义域：解不等式 ，解出的 的范围就是答案. ② 已知 的定义域为 ，求 的定义域：先由 算出 的取值范围，这个范围就是 的定义域. 方向容易记混，抓一句话即可：问的是谁的定义域，答案就是谁的范围. 的定义域永远指 的范围，不是 的范围. 2.3　例题 例 3、 （1）已知 ，求 的定义域； （2）已知 的定义域为 ，求 的定义域； （3）已知 的定义域为 ，求 的定义域. 解：（1）先求 的定义域：由 得 ，即 . 于是 中需 ，解得 ，故定义域为 . （2）由 得 ，故 ，即 的定义域为 . （3）由 的定义域为 知 ，故 ，即 的定义域为 . 再求 的定义域：需 ，解得 . 2.4　已知定义域求参数范围 问法形如「若 的定义域为 ，求 的取值范围」. 翻译规则只有一句：把定义域的条件变成「对一切实数都成立」的恒成立问题. 函数外形 「定义域为 」等价于 对一切 成立 对一切 成立 且分母有 对一切 成立 是二次式时，就走「二次不等式恒成立」那一套（ 且 ），但要先分二次项系数为 的情形——这一点与第 9 节的 陷阱是同一件事. 例 4、 若函数 的定义域为 ，求实数 的取值范围. 解：定义域为 等价于 （1） 时，左边恒为 ，对一切 成立，符合题意. （2） 时，需开口向上且不与 轴相交于两点以下： 由 得 ，结合 得 . 综上，. 注：若漏掉 ，答案就变成 ，把一个合法解丢了. 反过来，若题目问的是「值域为 」（而不是定义域），那对应的是另一套条件，别混. 2.5　易错点 抽象函数不问方向就代：把 的定义域直接当成 的定义域，是本节第一错. 换元（或换整体）后忘记写新元的范围，值域随即变大. 多个限制只取其一：分母与根号同时出现时，两个条件都要列，取交集. 实际问题忘写定义域，最后算出负长度、半个人这类结果. 3、值域 3.1　六种方法对照 方法 适用形状 关键动作与易错 配方法 二次函数或可化为二次的函数 配方后必看顶点是否落在定义域内，不在就取端点 分离常数法 型 化成 ，由 得 换元法 含 的复合结构 换元必写新元范围；新元范围错，值域全错 判别式法 型 去分母后按 的二次方程有实根得 ；须单独讨论二次项系数为 单调性法 已能判定单调的函数 单调区间上端点值即最值，最快 基本不等式法 和积型（ 一类） 一正、二定、三相等，取等不成立就改单调性 3.2　分离常数法：例 5 例 5、 求 的值域. 解：分离常数. 把分子凑成分母的倍数： 由定义域 知 ，故 . 所以值域为 . 3.3　换元法：例 6 例 6、 求 的值域. 解：换元. 设 ，由根号的意义得 ，且 ，即 . 代入得 由 得 ，故 . 所以值域为 . 注：这题的关键就是 这个范围. 若漏写、把 当成全体实数，就会得出 ，值域被放大——这是换元法最典型的失分. 3.4　判别式法：例 7 例 7、 求 的值域. 解：用判别式法. 去分母得 若 ，则 ，成立，故 在值域内. 若 ，上式是关于 的二次方程，因 ，需 解得 ，且 . 两部分合并，值域为 . 注：判别式法必须先验「二次项系数为 」那一支（本题是 ），否则容易漏掉一个值. 另外它只适用于 能取遍全体实数的情形；若题目限定了 的范围，判别式法给出的会是「放大后的」范围，须改用单调性或图像. 4、求解析式 4.1　四种方法 方法 适用条件 关键动作 待定系数法 已知函数类型（一次、二次、反比例） 设出含参形式，代入条件解方程 换元法 已知 的表达式 令 反解出 ，代入后把 换回 ；必写 的范围 配凑法 已知 ，且右边容易凑成 的式子 把右边整体改写成只含 的形式 解方程组法 条件里同时出现 与 （或 与 ） 用 （或 ）替换原式中的 ，与原式联立消元 4.2　例题 例 8、 已知 ，求 . 解：方法一（配凑法）. 把 整体看成新变量，得 . 方法二（换元法）：设 ，则 ，代入得 故 ，与配凑法一致. 例 9、 已知 （），求 . 解：用 替换原式中的 ，得 把它与原式联立，记 ，得 第二式乘 减去第一式，得 ，即 检验：，故 与题设相符，结果正确. 函数的基本性质 这一部分解决三件事：判断并证明单调性、求最值、判断并运用奇偶性. 性质题的通用打法是定义法——把要证的结论翻译成 的符号问题；图像与复合规则只是加速器. 5、单调性 5.1　定义与三要点 设函数 的定义域为 ，区间 ：若对任意 ，当 时都有 ，则称 在 上单调递增， 为增区间；若都有 ，则称在 上单调递减. 几何意义：图像在 上从左到右上升（下降），如图 1. 图 1　单调递增的定义：自变量越大，函数值越大 定义里有三个要点，每个都对应一种错法： ① 必须在同一个区间内——跨区间比较没有意义； ② 是任意取的——取两个特殊值验证不算证明，必须「任取」； ③ 比较的是 与 的大小，不是差的正负罗列. 单调性是局部性质： 在 上不单调，但在 上递减、在 上递增. 写单调区间时：端点有意义可写闭区间，无意义必须开区间；两个单调区间之间不能用「」连接—— 的减区间要写成 和 ，不能写成 . 5.2　证明单调性：四步 ① 取值：任取 ，设 ； ② 作差变形：算 ，化成因式乘积或平方和； ③ 定号：结合 与已知范围，判断差的符号；定不下来就分区间讨论； ④ 判断：对照定义下结论. 等价形式： 在 上递增 对任意 ，. 用商式比较时要注意分母的正负，符号判断反而更麻烦，一般只在作差难分解时才用. 例 10、 讨论 （）在 上的单调性. 解：任取 ，作差： 由 、，只需判断 的符号： 当 时 ，差的符号为「负×负」为正，即 ，递减； 当 时 ，差的符号为「负×正」为负，即 ，递增. 故 在 上递减、在 上递增. 注：这题的难点全在「因式分解后 的符号不定」，必须按 与 的大小分区间讨论——这也是 5.2 第③步「定不了就分区间」的标准用法. 5.3　复合函数：同增异减 先求定义域，再拆成内层 与外层 ，分别判断单调性：内外同增或同减则复合后递增，一增一减则复合后递减. 多层复合时，看减函数出现的次数：偶数次整体递增，奇数次整体递减. 例 11、 求 的单调区间. 解：先求定义域：由 得 或 . 拆成内层 与外层 ： 内层在 上递减、在 上递增； 外层 在 上递增，不改变单调性方向. 把内层的单调区间与定义域取交：内层减区间 与定义域的交是 ；内层增区间 与定义域的交是 . 故 在 上递减、在 上递增. 注：本题的关键动作是「先求定义域，再对单调区间取交」. 与 这两段虽然在内层单调，但根本不在定义域内，不能写进答案. 5.4　结论：常见函数的单调性 函数 单调性 在 上增； 在 上减 时在 减、在 增； 相反 时在 、 上分别减； 时分别增 （） 在 减、在 增；在 减、在 增 （） 在 上增 （）的图像如图 2，俗称「对勾函数」：最小值 在 取到，最大值 在 取到，两条渐近线是 轴与 . 图 2　对勾函数：在 (0,] 上减、在 [,+∞) 上增 5.5　单调性的运算性质 在公共单调区间上（都为正时另有乘法结论）： 增 增 增；减 减 减；增 减 增； 增 增（）. 两个增函数相乘未必是增函数（如 与 在 上都是增，乘积 却递减），这一类不能直接套. 若 在 上递增且 ，则 在 上递减. 5.6　抽象函数的单调性（赋值法） 题目不给解析式、只给一个函数方程（如 ）时，用赋值法：先求特殊值，再把 表成 的形式，由已知不等式定号. 三步：① 令 （或 ）求出 （或 ）；② 令 看奇偶性；③ 任取 ，把差写成同一个 的形式后定号. 例 12、 已知 的定义域为 ，对任意 都有 ，且当 时 . 证明 在 上单调递减. 解：第一步，求 ：令 ，得 ，故 . 第二步，把差化成同一个 ：任取 ，在 中令 、，得 即 第三步，定号：由 得 ，由已知条件得 ，故 所以 在 上单调递减. 注：若题目给的是乘法型 且 ，则改用商：，再与 比大小. 结构不同，思路相同——把两个函数值的关系归约到一个函数值. 5.7　易错点 「任意」被偷换成「存在」或「无穷多对」，判定失效. 用特殊值（只验 ）代替任意性去「证明」单调性. 复合函数忘记先求定义域，或内外层区间没对应上. 单调区间写成并集，把不连续的两段连成一段. 6、最大值与最小值 6.1　定义 设 的定义域为 ：若存在 使得对任意 都有 ，且存在 使 ，则 是 的最大值；最小值同理，不等号反向. 两个条件缺一不可：既要「对任意 都不超过」，又要「某一个 真的取到」. 值域一定存在，最值不一定存在——开区间上的严格单调函数就没有最值. 6.2　求最值的四条路 ① 图像法：读最高、最低点的纵坐标，适用于图像易作的函数； ② 单调性法（首选）：判定单调后， 上增函数的最小、最大值为 、，减函数相反；先增后减在分界处取最大值，先减后增在分界处取最小值； ③ 配方法：二次函数或可化为二次的函数，结合闭区间上顶点的位置讨论（见 6.3）； ④ 基本不等式法：和积型，注意一正、二定、三相等（见 6.2 求最值的四条路之三）. 6.3　结论：闭区间上二次函数的最值 设 （）在 上求最值，对称轴 ，按对称轴与区间的相对位置分三种情形（如图 3）： ① （区间全在轴右侧）： 在 上递增，最小值 ，最大值 ； ② （轴在区间内）：最小值 ，最大值是 与 中较大的那个； ③ （区间全在轴左侧）： 在 上递减，最小值 ，最大值 . 图 3　闭区间上二次函数最值的三种情形 记法：最小值只看轴在不在区间内（在就用顶点，不在就用靠近轴的那个端点）；最大值永远在两端点中比较，与轴的位置无关. 6.4　例题 例 13、 求 在 上的最小值. 解：开口向上，对称轴 ，按轴与 的位置分三类. 若 （轴在区间左侧）， 在 上递增，最小值 ； 若 （轴在区间内），最小值 ； 若 （轴在区间右侧）， 在 上递减，最小值 . 综上，最小值为 注：分类的边界值要单独确认能取到哪一支—— 时顶点恰在端点 ， 与第一支结果相同，故放在 里也一致； 同理. 7、奇偶性 7.1　定义与前提 设 的定义域为 . 前提：对任意 都有 ，即定义域关于原点对称. 在这个前提下：若 恒成立，则 是偶函数；若 恒成立，则 是奇函数. 定义域不关于原点对称时，函数直接判定为非奇非偶，不必再算 （如 ，）. 既奇又偶的函数只有一类：，且定义域关于原点对称. 7.2　性质与运算 奇函数若在 处有定义，则 （由 得），图像过原点. 奇函数图像关于原点对称，偶函数图像关于 轴对称；反之亦然，如图 4. 图 4　奇函数关于原点对称，偶函数关于 y 轴对称 运算性质（在公共定义域上）：奇 奇 奇，偶 偶 偶；奇 奇 偶，奇 偶 奇，偶 偶 偶. 单调性的联动：奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同；偶函数在关于原点对称的两个区间上单调性相反. 这一条在解抽象不等式时最常用. 7.3　结论：对称性的推广 把奇偶性看成「对称轴为 轴」与「对称中心为原点」的特例，可得两条常用结论： ① 若对定义域内任意 都有 ，则图像关于直线 对称； ② 若对定义域内任意 都有 ，则图像关于点 对称. 适用条件：等式对定义域内任意 成立（验一两个点不算）. 取 即回到偶函数与奇函数的定义. 7.4　做题方法 判断奇偶性：① 先求定义域，验证是否关于原点对称；② 再算 ，化简后与 、 比较；③ 分段函数分段验证，或由图像看对称. 由奇偶性求解析式：设所求区间上的 ，则 落在已知区间，代入已知段的表达式，再用 解出 . 注意若原函数在 有定义且为奇函数， 要单独补上. 例 14、 已知 是定义在 上的奇函数，当 时 ，求 的解析式. 解： 在定义域内且 为奇函数，故 . 当 时，，代入已知段：. 由奇函数定义 ，得 . 故 注： 这一支最容易漏. 若题目只说「 是奇函数」而没给 的信息，仍要由奇函数的定义推出 （前提是 在定义域内）. 由奇偶性解抽象不等式：先用奇偶性把不等式两边的 统一到同一侧的区间，再用单调性脱去 ；脱 之前必须把自变量限制在定义域内. 例 15、 已知 是定义在 上的奇函数，且在 上单调递减. 解不等式 . 解：移项得 . 由奇函数定义 ，故 由 在 上递减，脱去 得 即 ，解得 . 但自变量必须在定义域内： 三组条件取交，得 . 所以不等式的解集为 . 注：这题三步缺一不可——先把 号统一（用奇偶性），再脱 （用单调性，注意递减要变号），最后把自变量拉回定义域. 只做前两步会得到 这个过大的答案. 7.5　结论：构造奇函数求值 若 ，其中 是奇函数、 是常数，则 推导：. 用途：已知 求 时，不需要求出解析式，只需认出「 减去一个常数后是奇函数」. 例 16、 已知 （ 为常数），且 ，求 . 解：令 ，则 ，即 是奇函数，故 而 ，故 ，于是 注：识别信号是「 的奇次项 + 一个单独的常数」. 那个常数就是对称中心的高度 ，答案只需凑 . 7.6　奇偶性与单调性联合比大小 两步：用奇偶性把两边自变量搬到同一单调区间，再用单调性脱掉 . 偶函数有 ，取绝对值即把 上的自变量镜像到 ，两边一同落到 . 奇函数无此等式（），取绝对值反而错；它靠「对称区间上单调性相同」，半边定整体，直接脱 ，两段之间由 衔接. 脱 就是让 变成纯自变量的不等式，方向看单调性： 函数类型 第一步 递增时 递减时 偶函数 两边取绝对值 奇函数 不必取 解题四步 ① 定域：两个内层式子都要落进定义域.定义域是 R 可略过，不是 R 时漏掉必错. ② 归一：偶函数两边取绝对值（右边是常数 就写成 ）；奇函数不取，先确认整体单调. ③ 脱 ：同区间上按增减把函数值的不等号换成自变量的不等号，递增同向、递减反向. ④ 收解集：解不等式（组），再与①取交集. 两个易错 漏取绝对值. 偶函数题若直接解 就错了：题设只给了 上的单调性，而 可能为负，没资格直接落进该区间；正确做法是先化成 再脱 . 漏写定义域. 定义域不是 R 时不给内层式子加限制，答案多出一截. 例17、 已知 是定义在 R 上的偶函数，且在 上单调递增. 解不等式 . 解： 为偶函数，故 ，原不等式化为 与 都非负，落在 内，而 在此区间递增，故 两边非负，平方得 解得 . 定义域是 R，无额外限制，所以解集为 . 例18、 已知 是定义在 上的奇函数，且在 上单调递增. 解不等式 . 解：由奇函数得 ，原不等式化为 ，即 在 上递增，故 两个自变量都要落进定义域： 且 ，即 且 ，取交集得 . 再与 取交集，得 ，所以解集为 . 7.7　易错点 跳过定义域对称性直接验 ，把定义域不对称的函数判成奇偶函数. 奇函数漏掉 （ 在定义域内时）. 偶函数在对称区间上单调性写反，导致脱 时不等号方向错. 「 是奇函数」与「 对定义域内一切 成立」是同一件事，验一个点不够. 8、幂函数 8.1　定义与三特征 函数 叫幂函数，其中 是自变量、 是常数. 三特征： 的系数为 ；底数是自变量；指数是常数. 据此判定： 不是幂函数（系数 ）； 不是（指数含变量）； 若为幂函数，必须 且 为常数（后者自动满足）. 8.2　五个常见幂函数的图像 、、、、 的图像如图 5. 图 5　五个常见幂函数的图像 8.3　性质对照表 性质 图象 定义域 值域 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 上增 减， 增 上增 上增 、 上均减 定点 8.4　一般规律 所有幂函数在 上都有定义，图像都过定点 ；图像最多出现在两个象限，必过第一象限，永不过第四象限. 时图像过原点且在 上递增； 时在 上递减，图像以 轴、 轴为渐近线. 在 上， 越大图像越「陡」；在 上， 越大图像越「平」——这一条用来在图形上快速区分同名点附近的两条幂函数曲线. 8.5　比较幂值大小 原则：能同就同，不能同就找中间量. ① 同指数：用幂函数 的单调性，比底数； ② 同底：用指数函数的性质比指数（第四章内容，此处只作提示）； ③ 底、指都不同：插入中间量 、，或插入一个与两者都可比的值，再用传递性. 8.6　例题 例 19、 比较下列各组数的大小： （1）与 ；（2） 与 . 解：（1）两者指数相同，考察幂函数 ，它在 上递增，而 ，故 < （2）两者指数相同，考察幂函数 ，它在 上递减，而 ，故 > 注：第（2）问的坑在于「底数大的反而值小」——幂函数 时单调递减，底数与函数值的大小关系是反的. 8.7　易错点 幂函数定义中系数不是 （）、指数含变量（）都不是幂函数. 比较大小忽略 时「底大值小」的反向关系. 的定义域是 ，不看定义域直接代负数. 把幂函数与指数函数混为一谈：幂函数是底数变、指数定，指数函数是底数定、指数变. 函数图像的变换 这一部分的主线只有一句话：图像变换就是图像上所有点的整体搬家. 每条变换规则都能用「图上一个点跑到了哪里」来检验，规则记不清时跟踪一个点即可现场推出，不必死记. 口诀先行：自变量左加右减，因变量上加下减；对称时「对称谁，谁不变」，关于原点对称则横纵坐标都要变. 9、图像变换：平移与翻折 图像变换只有两类动作：平移（形状不动，整体挪位）和翻折（把图像的一部分按对称折过去）.所有复杂函数图像都能靠这两类动作从基本图像拼出来. 9.1、平移变换 平移的规律一句话：左加右减、上加下减.但这里的「加减」作用的对象不同，这是全部错误的源头. 变换 解析式变化 动的方向 加减作用在谁身上 左右平移 左移 ； 右移 作用在单个 上（ 变 ） 上下平移 上移 ； 下移 作用在整个 上 左右平移容易错的根本原因： 中加减的是 ，不是 .所以系数必须提出来—— 不是「 减 1 所以右移 1」，而是 ，右移 ，再横向压缩为原来的一半. 9.2 反比例函数的平移 反比例函数 的两条渐近线是 和 .平移后图像形状不变，渐近线跟着平移——这是作图和读图最可靠的抓手. 以 为例： 图 6　反比例函数先右移 再上移 ，两条渐近线随之移到 与 看图 6可读出三条信息： 渐近线. 分母为零处得竖直渐近线 ；水平渐近线 .交点 就是新图像的对称中心. 形状. 与 完全相同，只是整体挪了位置，两支曲线的弯曲程度没变. 单调性. 仍在 和 上各自递减（），分界点由 换成 . 分式函数作图的一般步骤：先分离常数，把分子降次，化成 的形式，再平移.例如 即 右移 、上移 . 9.3 二次函数与一般函数的平移 二次函数建议先配方成顶点式 ，顶点 一定，图像就定了.，顶点 ，向上平移 得 ，顶点 . 一般函数 平移后，所有特征点同步平移：零点、极值点、与坐标轴的交点、渐近线，全部按同一个向量 移动.所以作图时只需搬动几个特征点，不必逐点描. 2、翻折变换 翻折只由绝对值引起，共三种形态，动作完全不同，不能混： 解析式 动作 口诀 保留 轴上方，把下方翻到上方 下翻上 保留 轴右侧，删掉左侧，再把右侧复制到左侧 右翻左 先「右翻左」，再「下翻上」 先右翻左，再下翻上 判断依据在绝对值的位置：绝对值套在 外面，改变的是函数值（纵坐标），所以是上下翻；绝对值套在 上，改变的是自变量（横坐标），所以是左右翻. 以 为例，四个阶段的图像如下： 图 7　二次函数 的三种翻折. 外绝对值控制上下，内绝对值控制左右 图 7(a) 到 7(d) 依次是原图、下翻上、右翻左、三层叠加. 9.4 下翻上： 图 7(b)： 轴上方部分原样保留，下方部分（这里是 上的一段）沿 轴翻上去. 原来的最低点 翻到 . 这条变换不改变定义域，但可能改变单调性，也可能把「最小值」变成「极大值」.上例中原函数的最小值是 ，翻折后 处是极大值，最小值变成 （在 处取得）. 9.5 右翻左： 图 7(c)：只留 轴右侧（），左侧整段删掉，再把右侧沿 轴复制过去. 结果一定关于 轴对称，即成为偶函数. 9.6 三层叠加： 先做里面（右翻左），再做外面（下翻上）.这两步其实可以交换—— 再右翻左得到 ，与先右翻左再下翻上结果相同.但建议固定先内后外：先对称再翻折，中间过程看的始终是同一个函数，不容易看错图. 10、常考题型与二级结论 10.1　题型一 已知变换求解析式：盯住 本身被换成了什么 平移只作用在「括号里的 」上： 右移 个单位， 变成 ，但括号里的整体是 ，故得 ，不是 . 判断标准只有一个：新图像上的点 必须满足新解析式. 10.2　题型二 分式函数的对称中心：分离常数 形如 （）的函数，把分子配成含分母的形式再裂项： 它是由 （）平移得到的双曲线：渐近线 、，对称中心 ；定义域为 ，值域为 . 由图还可直接读出：两支上均为单调，单调区间以渐近线为界. 同理 型（对勾函数的平移版）以 为对称中心. 例 20、 把 的图像向右平移 个单位，求新函数的对称中心与值域. 解：对 ：分子配凑 ，故 右移 个单位得 ，其渐近线为 、，故对称中心为 ，值域为 . 10.3　题型三 含绝对值的不等式：图像法三步 以 （）为例： ① 令 解出与坐标轴的交点， ② 同一坐标系画 与 的图像， ③ 先解 得实根，再利用对称性得翻折后的根，由图读出解集. 多绝对值（如 型）用零点分段法：以各绝对值的零点为界把定义域分成若干段，逐段去掉绝对值，每段都是一次函数或常数. 例 21、 解不等式 ，并解方程 . 解： 等价于 ，即 . （图像验证： 是顶点 、开口向上的 V 字形，直线 与两支交点的横坐标为 与 ，之间部分低于 .） ：零点 、 分三段去绝对值—— ：，得 （满足 ）； ：，无解； ：，得 （满足 ）. 故方程的解为 或 .（几何意义：数轴上到 、 两点距离之和为 的点，恰在两点的两侧各一个.） 10.4　题型四 对称性的代数刻画（二级结论） （等价于 ） 图像关于直线 对称； 图像关于点 对称. 反过来用：知道了一条对称轴（或一个对称中心）加一个单调区间，就可以把另一侧的函数值「搬」过来求. 例 22、 定义在 上的函数 满足 ，且当 时 . 求 与 . 解：条件即 ，说明图像关于点 对称. ： 关于 的对称点是 ，故 . ： 与 关于 对称，直接由对称式得 . 注：见到 型条件，先翻译成「关于 对称 / 关于 对称」再动笔，比设未知数快得多. 10.5　易错点 平移方向记反： 是左移（ 被换成 ，图像反而向左），不是右移； 带系数平移忘乘 ： 右移 应得 ，误写 ； 误以为要保留左侧：是右侧保留、左侧镜像，左侧原图直接丢弃； 误写成把整支翻上去后上方部分也保留两份：原图上方只保留一份，只有下方翻上来； 分式函数求对称中心前必须先分离常数，直接看分子分母猜中心十有八九会错； 用 判对称时，两边的 必须符号相反、常数相同；写成 就成了恒等式，什么也得不到. 1 学科网（北京）股份有限公司 $