精品解析：河南省许昌高级中学2026-2027学年高一上期10月检测数学试卷

许昌高中2029届高一上学期数学检测试卷（10月份） （考试时间：120分钟　试卷满分：150分　命题人：曹伊犁　审题人：王瑞敏） 一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 命题:，，则的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知集合，集合，则的子集个数为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 3. 若，则下列命题正确的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 若是的必要不充分条件，则实数a的可能取值为（ ） A. 2 B. 3 C. 0 D. 4 5. 设全集，则图中阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 6. 已知关于的一元二次不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 命题：存在，的否定是：任意， B. 是的充分不必要条件 C. 已知集合，，若，则实数 D. 已知集合，，则 10. 已知实数，满足，，则（ ） A. 的取值范围是 B. 的取值范围是 C. 的取值范围是 D. ，，使得 11. 已知，，，则下列正确的是（　　） A. B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 若命题“”为假命题，则实数的取值范围是__________． 13. 已知集合，则集合中全部元素之和为______． 14. 已知不等式的解集为.若不存在整数满足不等式，则实数的取值范围是__________. 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知全集，集合，. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 16. 已知命题，；命题：对任意，且，不等式恒成立； （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题为真命题，求实数的取值范围； （3）若命题和命题中至少有一个为真命题，求实数的取值范围. 17. 数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合应用推动全要素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智能、5G通信等新兴技术；在应用层面，包括“新零售”、“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等.现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本t（单位：万元）由两部分构成：①固定成本：1000万元；②材料成本：万元，x为每月生产人形机器人的个数. （1）该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元？ （2）若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400万元？附：利润＝售价×销量－成本. 18. 已知关于的不等式． （1）若时，求不等式的解集； （2）若，解这个关于的不等式； （3），求的范围． 19. 三元均值不等式：“当a、b、c均为正实数时，，即三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，当且仅当时等号成立.”利用上面结论，解决下列问题： （1）当时，求最小值； （2）当时，求最大值； （3）且，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 许昌高中2029届高一上学期数学检测试卷（10月份） （考试时间：120分钟　试卷满分：150分　命题人：曹伊犁　审题人：王瑞敏） 一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 命题:，，则的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词判断即可. 【详解】由题意得命题的否定是，. 2. 已知集合，集合，则的子集个数为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】先化简集合，再求，利用求子集个数. 【详解】因为集合， ， 则，所以的子集的个数：， 故选:C. 3. 若，则下列命题正确的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【详解】对于A，由，得，因此，A正确； 对于B，取，得，B错误； 对于C，，由，得 ， 则 ， ，即，C错误； 对于D，取，满足，而，D错误. 4. 若是的必要不充分条件，则实数a的可能取值为（ ） A. 2 B. 3 C. 0 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用必要不充分条件的定义，结合集合的包含关系列不等式求解即可. 【详解】依题意，，，由p是q的必要不充分条件，得是的真子集， 则，解得，所以实数a的可能取值为0. 故选：C 5. 设全集，则图中阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先判断表示的集合怎么表示，再利用交集和并集的定义求解即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以，， 而阴影部分表示的集合是， 则图中阴影部分表示的集合是，故B正确. 故选：B 6. 已知关于的一元二次不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据不等式的解集求出，然后根据分式不等式的解法求解即可. 【详解】因为不等式的解集为，所以，即，. 所以不等式即为， 所以不等式的解集为. 故选：B 7. 已知，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为，则，，且， 所以， ， 当且仅当时，即当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故选：C. 8. 已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意设，，由一次函数以及不等式分析得时，，变形后代入，然后利用基本不等式求解. 【详解】设（），（）， 因为，所以当时，； 当时，； 当时，； 由不等式恒成立，得：或， 即当时，恒成立， 当时，恒成立， 所以当时，，则，即， 则当时，， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 命题：存在，的否定是：任意， B. 是的充分不必要条件 C. 已知集合，，若，则实数 D. 已知集合，，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断A；根据充分条件的定义判断B；根据集合中元素的互异性和集合并集的运算判断C；利用并集定义计算判断D. 【详解】A：根据存在量词命题的否定为全称量词命题知，命题：存在，的否定是： 任意，，正确； B：若，假设，，此时不成立， 故不是的充分条件，错误； C：因为，所以，所以或. 若，则，此时，集合中的元素不满足互异性，故舍去. 若，则或. 当时，，集合中的元素不满足互异性，故舍去； 当时，，，，故符合题意.综上，正确； D：集合，， 根据并集运算概念知，正确.   故选：ACD 10. 已知实数，满足，，则（ ） A. 的取值范围是 B. 的取值范围是 C. 的取值范围是 D. ，，使得 【答案】AB 【解析】 【分析】通过线性组合法，将都用表示，从而利用不等式性质求解范围，即可判断ABC，先求得，，进而，即可判断D. 【详解】由题意，因为，， 所以，所以，即的取值范围是，A正确； ，因为，， 所以，所以，即的取值范围是，故B正确； 设， 则，解得，则， 因为， 所以，即，故C错误； 因为，，所以，， 所以， 故不存在，，使得，故D错误. 故选：AB 11. 已知，，，则下列正确的是（　　） A. B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】先由条件得到，再换元令，，利用基本不等式判断各选项. 【详解】由已知得，即. 由可知，所以，A正确； 令，，则. ， 当且仅当即时取等，所以的最小值为，B正确； ，当且仅当即时取等， 所以的最小值为，C错误； ， 当且仅当即时取等， 所以的最小值为，D正确. 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 若命题“”为假命题，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由命题“”为假命题，可得“”为真命题利用判别式可求得答案. 【详解】已知命题“”为假命题， 则该命题的否定：“”为真命题. 此时二次函数的判别式满足 . 即， 化简可得： 综上，实数的取值范围是 . 故答案为： 13. 已知集合，则集合中全部元素之和为______． 【答案】 【解析】 【分析】分离常数，即可根据整除求解，相加即可求解. 【详解】 ，所以，即. 故集合A中全部元素之和为 故答案为:. 14. 已知不等式的解集为.若不存在整数满足不等式，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集，结合韦达定理可得，，然后代入目标不等式化简即可得解. 【详解】不等式的解集为， 则，且分别为方程的两根， 由根与系数的关系，得即. 将代入不等式， 化简得，即. 容易判断或时，均不符合题意，所以. 所以原不等式即为， 依题意应有且，所以. 故答案为： 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知全集，集合，. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先解分式不等式可得集合，再由集合交集的定义可得； （2）先求出，根据并集定义求解即可得. 【小问1详解】 由，得，即，解得，故. 若，则，所以. 【小问2详解】 由题意，， 若，则. 所以实数的取值范围为. 16. 已知命题，；命题：对任意，且，不等式恒成立； （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题为真命题，求实数的取值范围； （3）若命题和命题中至少有一个为真命题，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用二次函数的性质解决不等式能成立问题即可； （2）利用基本不等式计算最小值，再解一元二次不等式即可； （3）利用（1）、（2）的结论，分类讨论计算即可. 【小问1详解】 若命题为真命题，则有， 记，时取得等号，所以； 【小问2详解】 易知， 当且仅当时取得等号，所以， 即，所以； 【小问3详解】 由上可知若命题和命题都是真命题，即且， 所以； 若命题为真命题，命题为假命题，则且， 所以； 若命题为假命题，命题为真命题，则且， 所以； 综上所述若命题和命题中至少有一个为真命题，则. 17. 数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合应用推动全要素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智能、5G通信等新兴技术；在应用层面，包括“新零售”、“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等.现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本t（单位：万元）由两部分构成：①固定成本：1000万元；②材料成本：万元，x为每月生产人形机器人的个数. （1）该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元？ （2）若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400万元？附：利润＝售价×销量－成本. 【答案】（1）100个，30万元 （2）每月生产不小于70个人形机器人 【解析】 【分析】（1）根据题意，可得平均每个人形机器人的成本，再利用基本不等式求解即可； （2）由题意可知月利润，解一元二次不等式可得结果. 【小问1详解】 设平均每个人形机器人的成本为万元， 根据题意有， 当且仅当，即时取等号. 所以该企业每月的产量为100个时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为30万元. 【小问2详解】 设月利润为万元， 则有， 由题知，整理得，解得. 故该企业每月生产不小于70个人形机器人，才能确保每月的利润不低于400万元. 18. 已知关于的不等式． （1）若时，求不等式的解集； （2）若，解这个关于的不等式； （3），求的范围． 【答案】（1） （2） 时，解集为； 时，解集为； 时，解集为； 时，解集为； 时，解集为． （3） 【解析】 【分析】（1）代入，解一元二次不等式得出解集； （2）结合一元二次不等式的性质，对分情况讨论得出关于的解集； （3）分析已知条件并化简，根据不等式的性质，构造基本不等式求最小值，从而求解的范围． 【小问1详解】 当时，等价于，解得， 不等式的解集为：． 【小问2详解】 当时，等价于，解得； 当时，， 当时，不等式等价于，，不等式解集为：； 当，等价于， 若，即时，不等式解集为：； 若，即时，不等式解集为：； 若，即时，不成立，故不等式解集为空集． 综上， 时，解集为； 时，解集为； 时，解集为； 时，解集为； 时，解集为． 【小问3详解】 ， 不等式化简整理得：， ，， ，当且仅当，即时取等号， 要使不等式在上有解， 只需大于函数的最小值即可， 因为的最小值为， 所以的取值范围是. 19. 三元均值不等式：“当a、b、c均为正实数时，，即三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，当且仅当时等号成立.”利用上面结论，解决下列问题： （1）当时，求最小值； （2）当时，求最大值； （3）且，证明：. 【答案】（1）3 （2） （3） 因为， 所以，当且仅当即时取等号. 所以， 同理，. 所以. 又，所以， 所以，当且仅当时取等号. 【解析】 【分析】（1）将函数化成，再利用三元均值不等式求和的最小值. （2）将函数化成，再利用三元均值不等式求积的最大值. （3）先利用得到，同理得到类似的式子，各式相加，再利用三元均值不等式求解即可. 【小问1详解】 因为，三元均值不等式即可证明. 当且仅当即时取等号. 【小问2详解】 当时，， 当且仅当即时取等号. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $