第9讲：图形的旋转【九大题型+知识梳理+高分演练】-2026-2027 学年人教版九年级上册数学

第9讲：图形的旋转 题型一：生活中的旋转现象 4 题型二：旋转的三要素 5 题型三：旋转性质的应用 6 题型四：旋转中的坐标问题 7 题型五：旋转中的规律问题 7 题型六：旋转几何变换之线段问题 9 题型七：旋转几何变换之面积问题 10 题型八：旋转几何变换之角度问题 12 题型九：旋转几何变换压轴问题 13 知识点一．旋转的概念： 把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，就叫做图形的旋转，点O叫做__旋转中心，转动的角叫做_旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做旋转的_对应点_． 旋转有三要素：（1）旋转中心；（2）_旋转方向_；（3）_旋转角度_． 知识点2旋转的性质⭐ 1. 旋转前、后的图形全等，对应边相等，对应角相等； 2. 对应点到旋转中心的距离相等； 3. 每一组对应点与旋转中心连线的夹角都等于旋转角； 4. 旋转中心是唯一不动的点。 通俗记：距中心等、夹角相等、图形不变 知识点三．旋转作图的基本步骤 （1）明确旋转中心，旋转方向和旋转角． （2）找出原图形中的各顶点在新图形中的对应点的位置． （3）按原图形中各顶点的排列规律，将这些对应点连成一个新的图形． 知识点四：坐标平面内的旋转 设旋转中心为原点 O（0，0），点P（x,y)： 旋转方式 旋转后坐标 口诀 逆时针旋转 90∘ P′(−y,x) 横变纵、纵变横，新横坐标加负号 逆时针旋转 180∘ P′(−x,−y) 横、纵都变相反数（中心对称） 逆时针旋转 270∘ P′(y,−x) 等价顺时针 90° 顺时针旋转 90∘ P′(y,−x) 横变纵、纵变横，新纵坐标加负号 顺时针旋转 180∘ P′(−x,−y) 和逆时针 180° 一样 顺时针旋转 270∘ P′(−y,x) 等价逆时针 90° 知识点五：旋转核心模型 模型一 · 手拉手模型（等腰旋转） 共顶点 · 等线段 · 等顶角 图1 手拉手模型（△ABC 与 △ADE 共顶点 A） 要点 内容 图形特征 两个等腰三角形共顶点 A；两腰分别相等 AB=AC、AD=AE；顶角相等 ∠BAC=∠DAE=α。 核心结论 ① △ABD ≌ △ACE（SAS） ② BD = CE ③ BD 与 CE 的夹角等于顶角 α 解题技巧 旋转其中一个等腰三角形，使两条腰重合，即可构造全等三角形。 常见考法 证明线段相等、求夹角或角度、求线段长度、判断三角形形状。等边三角形手拉手旋转角 60°，等腰直角手拉手旋转角 90°。 模型二 · 半角模型（正方形 45°） 正方形 · 半角 · 旋转拼线 图2 半角模型（正方形 ABCD，∠EAF=45°，虚线为旋转后位置） 要点 内容 图形特征 正方形 ABCD 内含一个 45° 角（∠BAD 的一半），顶点为正方形顶点；E 在 BC 上，F 在 CD 上。 核心结论 ① EF = BE + DF ② △ECF 的周长 = 2 × 正方形边长 ③ AE 平分∠BEF，AF 平分∠DFE 解题技巧 将△ADF 绕 A 点顺时针旋转 90°，使 AD 与 AB 重合，把 DF 拼接到 BE 延长线上，拼成一条直线后证全等。 常见考法 求线段和差、求三角形周长、证明垂直或角度、求面积最值。 题型一：生活中的旋转现象 【例1】．（25-26九年级上·河北衡水·阶段检测）新情顶旅游产业发展大会主会场活动在邢台举办，大会吉祥物“太行山家族”包含“山宝”“水灵”“葫娃”“栗仔”4个角色，其中“葫娃”形似葫芦，意在传递扁鹊中医药文化底蕴．通过将如图所示的“葫娃”旋转，可以得到（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（2025九年级上·全国·专题练习）北京冬奥会于年2月4日在北京和张家口联合举行．下图是冬奥会的吉祥物“冰墩墩”，将该图片按顺时针方向旋转后得到的图片是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（24-25九年级上·广东韶关·期中）下列选项中不能由下图旋转得到的是（　　） A． B． C． D． 题型二：旋转的三要素 【例2】．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，按顺时针旋转到的位置，以下说法正确的是（     ） A．点A是旋转中心，是旋转角 B．点C是旋转中心，点B和点D是对应点 C．点A是旋转中心，点C和点E是对应点 D．点D是旋转中心，是旋转角 【变式1】．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，顺时针旋转到的位置（点，，的对应点为点，，），则旋转中心及旋转角分别是（     ） A．点， B．点， C．点， D．点， 【变式2】．（25-26八年级下·山东潍坊·期末）游乐园中“海盗”船（图1）围绕顶端横梁左右摇摆，给游客带来奇妙的运动体验．小莹同学绘制了“海盗”船在两个不同时刻摇摆状态的侧面示意图（图2），横梁可视为一点，那么在小莹的绘画中横梁应是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 题型三：旋转性质的应用 【例3】．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，将绕点顺时针旋转到的位置，使刚好落在上，、旋转后的对应点分别是和，连接，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（26-27八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在中，，将绕点按顺时针方向旋转到的位置，连接．若，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【变式2】．（2026九年级·天津·专题练习）如图，在直角中，，将绕着点顺时针旋转一定角度得到，点，的对应点分别为，，点恰好落在边上，连接．若，，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 题型四：旋转中的坐标问题 【例4】．（25-26八年级下·辽宁铁岭·期末）如图，在平面直角坐标系中，，点为坐标原点，将线段绕着点顺时针旋转得到线段，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26九年级上·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点B的坐标为，将线段绕点A顺时针旋转得线段，则点C的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（2026·山东德州·二模）如图，点A，B分别在平面直角坐标系x轴和y轴上，连接，已知，，将绕点B顺时针旋转得到，则点D的坐标为（     ） A．4 B．2 C． D． 题型五：旋转中的规律问题 【例5】．（26-27九年级上·四川·期中）雪花也称银粟，是天空中的水汽经凝华而来的固态降水，多呈六角形，是一种美丽的结晶．美术课要求绘制雪花，小华利用数学知识作出如下操作：建立如图所示的平面直角坐标系，绘制菱形，且顶点B的坐标为，点A在第一象限，，将菱形绕原点O沿顺时针方向旋转，每次旋转，旋转第一次得到四边形（点与点A重合），则旋转第次得到的点的坐标（     ） A． B． C． D． 【变式1】．（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，等腰的顶点在轴上，顶点在轴上，已知，，，且轴，将绕点顺时针旋转，每次旋转，第2026次旋转后，点的对应点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26九年级下·河南安阳·期中）李华利用平面直角坐标系绘制了如图的风车图形，他先将固定在坐标系中，其中，，接着他将绕点O逆时针旋转（）至，此次旋转称为第1次旋转，然后进行第2次旋转：将绕点O逆时针转动至，…，那么按照这种旋转方式，旋转第2026次后，点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 题型六：旋转几何变换之线段问题 【例6】．（23-24九年级上·陕西西安·期中）如图1，将等腰绕正方形的顶点A逆时针方向旋转，其中，，连接，点H为的中点，连接，，，得到． (1)如图2，当点E恰好落在正方形的对角线上时，判断的形状，并说明理由． (2)如图3，当点E恰好落在正方形的边上时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由； (3)发现若连接，在旋转的过程中，为定值，请你直接写出的值_______． 【变式1】．（2023九年级下·四川凉山·专题练习）在中，，，根据题意完成下列问题： (1)如图①，点为内的点，连接，，，将绕着点按逆时针方向旋转后得．连接，，若，，，求证：． (2)如图②，若点是中斜边上的点（点不与点、重合），试求、、的数量关系，并说明理由． 【变式2】．（2023·辽宁阜新·一模）如图，， ，绕点B顺时针方向旋转，相交于点E． (1)当时，线段与的数量关系是：＿＿＿； (2)当时，（1）的结论是否成立？若成立，请结合图2说明理由； (3)若，，当时，请直接写出的长． 题型七：旋转几何变换之面积问题 【例7】．（2026·河南平顶山·三模）如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是，点A的坐标是，连接．将绕点A逆时针旋转得到，反比例函数的图象经过点D，与 交于点E，连接，，． (1)求反比例函数的表达式． (2)求的面积． 【变式1】．（25-26九年级上·天津河东·期中）在平面直角坐标系中，为原点，点，点，把绕点顺时针旋转，得，点，旋转后的对应点为，．记旋转角为． (1)如图①，若，则的长是__________，点的坐标是__________； (2)如图②，若，求点的坐标； (3)记为的中点，为的面积，求的最小值和最大值（直接写出结果即可）． 【变式2】．（2023·河北石家庄·二模）将两个等腰直角三角形纸片和放在平面直角坐标系中，已知点坐标为，，，，并将会绕点顺时针旋转．    (1)当旋转至如图的位置时，，求此时点的坐标： (2)如图，连接，当旋转到轴的右侧，且点，，三点在一条直线上时， ①求证：； ②求的长． (3)当旋转到使得的度数最大时，求的面积（直接写出结果即可）． 题型八：旋转几何变换之角度问题 【例8】．（2024·山东济宁·二模）某校数学兴趣小组将两个边长不相等的正方形和正方形按照图方式摆放，点，，在同一条直线上，点在上． (1)操作与发现 如图2，将正方形绕点逆时针旋转． ①当时，求，，的度数； ②正方形旋转过程中，你发现与的有何数量关系？与的有何数量关系？请直接写出你发现的结论，不需要证明． (2)类比探究 如图3，将正方形绕点顺时针旋转．上面②中你发现的结论是否仍然成立？请说明理由． 【变式1】．（21-22九年级上·河北保定·期末）如图，点E是正方形内的一点，连接、、，将绕点B顺时针旋转到的位置，连接，的长为． (1)求的长； (2)若，求的度数． 【变式2】．（2022·山东泰安·一模）如图，将矩形绕着点逆时针旋转得到矩形，使点恰好落到线段上的点处，连接，连接交于点． (1)求证：平分； (2)取的中点，连接，求证：； (3)若，求的长． 题型九：旋转几何变换压轴问题 【例9】．（26-27九年级上·广东清远·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知矩形，点，现将矩形绕点O逆时针旋转得到矩形，点B，C，D的对应点分别为点E，F，G． (1)如图1，当点E恰好落在边上时，则的长为___________（请直接写出答案）； (2)如图2，所在直线与分别交于点H、M，且．求线段的长度； (3)如图3，设点P为边的中点，连接，在矩形旋转过程中，的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由． 【变式1】．（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）矩形绕点逆时针旋转得到矩形（与，与对应） (1)如图1，经过点，若，，求； (2)如图2，连，相交于点，求证：； (3)如图3，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形的位置，的延长交于点，若点恰好为的中点，，，直接写出的长度为__________． 【变式2】．（26-27九年级上·山西晋中·阶段检测）综合与探究 问题情境：已知四边形为矩形，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，点，，的对应点分别为点，，，直线与直线交于点． (1)推理证明：如图1，当点落在的延长线上时，求证：． (2)猜想验证：如图2，当点落在的延长线上时，判断与的数量关系，并说明理由． (3)拓展延伸：若，，点在射线上，连接，当是以为底边的等腰三角形时，直接写出的长． 一、单选题 1．（25-26九年级上·江西南昌·期中）如图，将含的直角三角板绕点 A 顺时针旋转到处（点 C，A，D 在一条直线上），则这次旋转的旋转角的度数为（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·广西南宁·阶段检测）如图，将绕点顺时针旋转得到，若线段，则的长为（    ） A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·山西晋中·阶段检测）如图，在矩形中，，，以点为中心，将顺时针旋转得到，点落在边上，连接，则的长为（     ） A．1 B．3 C． D． 4．（26-27九年级上·重庆·阶段检测）如图，在菱形中，将绕点逆时针旋转至，连接交于点．若为的中点，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 5．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，将绕点A顺时针旋转到的位置，使刚好落在上，B、C旋转后的对应点分别是和，连接，则度数是（       ） A． B． C． D． 6．（26-27九年级上·全国·单元复习）在平面直角坐标系中，菱形如图所示，，点D在线段的垂直平分线上．若菱形绕点O逆时针旋转，旋转速度为每秒，则第时点D对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 7．（26-27九年级上·河北张家口·阶段检测）如图，正方形边长为1，点M是对角线上一点，，连接，将绕点B顺时针旋转，得到的延长线与的延长线交于点E，则长为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 8．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，将绕直角顶点顺时针旋转，得到，连接，若，，则的长度为______． 9．（26-27九年级上·上海·自主招生）将绕原点逆时针旋转得如图所示曲线，已知，，连线交旋转后图形于，则_____． 10．（26-27九年级上·重庆铜梁·阶段检测）如图，的顶点在抛物线上，将绕点O顺时针旋转，得到，边与该抛物线交于点，则点的坐标为_____． 11．（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）如图，在矩形中，，，将矩形绕点A逆时针旋转，使得点B的对应点恰好落在对角线上，交于E，则的长为______． 12．（26-27九年级上·北京海淀·阶段检测）如图，正方形与正方形边长分别为1和，一开始边落在边上，将正方形绕点A逆时针旋转，旋转角为（）．在旋转过程中，连接，，，，四边形面积的最大值是_________． 三、解答题 13．（26-27九年级上·江西九江·阶段检测）如图，在中，，为上一点，且满足．现将绕点逆时针旋转至，使得点落在上．若为的角平分线，则 (1)证明：四边形为菱形； (2)若的长为，则求的长． 14．（26-27九年级上·广西南宁·期中）如图，在中，，，．点D在边上，连接，将绕点C逆时针旋转，得到，连接，． (1)求证：； (2)若时，求的长； (3)点D在上运动时，试探究的值是否存在最小值？如果存在，求出这个最小值；如果不存在，请说明理由． 15．（26-27九年级上·云南昆明·阶段检测）如图1：在四边形中，，，，分别是上的点，且 (1)小王同学探究此问题的方法是：把绕点A逆时针旋转，得到，证明，可得出三者间关系是_______________； (2)【探索延伸】如图2，若在四边形中，，，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立，如果成立，请说明理由； (3)【学以致用】如图3，四边形是边长为的正方形，，求的周长． 16．（26-27九年级上·辽宁大连·阶段检测）【问题背景】17世纪有着“业余数学家之王”美誉的法国律师皮耶·德·费马，提出一个问题：求作三角形内的一个点，使它到三角形三个顶点的距离之和最小，后来这点被称为“费马点”．如图1，点是内的一点，将绕点逆时针旋转到，则可以构造出等边，得，，所以的值转化为的值，当四点共线时，线段的长为所求的最小值，即点为的“费马点”． 【拓展应用】 (1)如图2，点是等边内的一点，连接，将绕点逆时针旋转得到． ①画出图形 ②当，，时，求的大小； (2)如图3，点是内的一点，且，，，求的最小值． 17．（26-27九年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，二次函数的图象经过，两点． (1)求二次函数的表达式； (2)点P在直线下方的抛物线上运动，求面积的最大值及点P的坐标； (3)动点Q为抛物线对称轴上一点，连接，将线段绕点Q旋转，使点A的对应点D恰好落在抛物线上，请直接写出点Q的坐标． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第9讲：图形的旋转 题型一：生活中的旋转现象 4 题型二：旋转的三要素 5 题型三：旋转性质的应用 7 题型四：旋转中的坐标问题 9 题型五：旋转中的规律问题 11 题型六：旋转几何变换之线段问题 15 题型七：旋转几何变换之面积问题 21 题型八：旋转几何变换之角度问题 27 题型九：旋转几何变换压轴问题 30 知识点一．旋转的概念： 把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，就叫做图形的旋转，点O叫做__旋转中心，转动的角叫做_旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做旋转的_对应点_． 旋转有三要素：（1）旋转中心；（2）_旋转方向_；（3）_旋转角度_． 知识点2旋转的性质⭐ 1. 旋转前、后的图形全等，对应边相等，对应角相等； 2. 对应点到旋转中心的距离相等； 3. 每一组对应点与旋转中心连线的夹角都等于旋转角； 4. 旋转中心是唯一不动的点。 通俗记：距中心等、夹角相等、图形不变 知识点三．旋转作图的基本步骤 （1）明确旋转中心，旋转方向和旋转角． （2）找出原图形中的各顶点在新图形中的对应点的位置． （3）按原图形中各顶点的排列规律，将这些对应点连成一个新的图形． 知识点四：坐标平面内的旋转 设旋转中心为原点 O（0，0），点P（x,y)： 旋转方式 旋转后坐标 口诀 逆时针旋转 90∘ P′(−y,x) 横变纵、纵变横，新横坐标加负号 逆时针旋转 180∘ P′(−x,−y) 横、纵都变相反数（中心对称） 逆时针旋转 270∘ P′(y,−x) 等价顺时针 90° 顺时针旋转 90∘ P′(y,−x) 横变纵、纵变横，新纵坐标加负号 顺时针旋转 180∘ P′(−x,−y) 和逆时针 180° 一样 顺时针旋转 270∘ P′(−y,x) 等价逆时针 90° 知识点五：旋转核心模型 模型一 · 手拉手模型（等腰旋转） 共顶点 · 等线段 · 等顶角 图1 手拉手模型（△ABC 与 △ADE 共顶点 A） 要点 内容 图形特征 两个等腰三角形共顶点 A；两腰分别相等 AB=AC、AD=AE；顶角相等 ∠BAC=∠DAE=α。 核心结论 ① △ABD ≌ △ACE（SAS） ② BD = CE ③ BD 与 CE 的夹角等于顶角 α 解题技巧 旋转其中一个等腰三角形，使两条腰重合，即可构造全等三角形。 常见考法 证明线段相等、求夹角或角度、求线段长度、判断三角形形状。等边三角形手拉手旋转角 60°，等腰直角手拉手旋转角 90°。 模型二 · 半角模型（正方形 45°） 正方形 · 半角 · 旋转拼线 图2 半角模型（正方形 ABCD，∠EAF=45°，虚线为旋转后位置） 要点 内容 图形特征 正方形 ABCD 内含一个 45° 角（∠BAD 的一半），顶点为正方形顶点；E 在 BC 上，F 在 CD 上。 核心结论 ① EF = BE + DF ② △ECF 的周长 = 2 × 正方形边长 ③ AE 平分∠BEF，AF 平分∠DFE 解题技巧 将△ADF 绕 A 点顺时针旋转 90°，使 AD 与 AB 重合，把 DF 拼接到 BE 延长线上，拼成一条直线后证全等。 常见考法 求线段和差、求三角形周长、证明垂直或角度、求面积最值。 题型一：生活中的旋转现象 【例1】．（25-26九年级上·河北衡水·阶段检测）新情顶旅游产业发展大会主会场活动在邢台举办，大会吉祥物“太行山家族”包含“山宝”“水灵”“葫娃”“栗仔”4个角色，其中“葫娃”形似葫芦，意在传递扁鹊中医药文化底蕴．通过将如图所示的“葫娃”旋转，可以得到（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：将如图所示的“葫娃”逆时针旋转九十度可得到选项A， 旋转不改变图形的形状、大小和各部分的相对位置关系，其他选项的“葫娃”和题干的不一样，故不能由题干所示图形旋转得来． 故选：A． 【变式1】．（2025九年级上·全国·专题练习）北京冬奥会于年2月4日在北京和张家口联合举行．下图是冬奥会的吉祥物“冰墩墩”，将该图片按顺时针方向旋转后得到的图片是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据题意得：将该图片按顺时针方向旋转后得到的图片是： 故选：D． 【变式2】．（24-25九年级上·广东韶关·期中）下列选项中不能由下图旋转得到的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题重点考查旋转的三要素即旋转中心，旋转角，旋转方向的应用． 根据旋转的性质，判断每个选项的图形是否可由原图形旋转得到。 【详解】解：A．该图形与原图形完全相同，可由原图形旋转（或）得到，故此选项不符合题意； B．原图形绕某点旋转一定角度（如）后，可得到此图形，因为形状、大小未变，只是方向改变，故此选项不符合题意；     C．图形不能由由原图形经过旋转得到，故此选项符合题意；     D．原图形绕某点旋转一定角度（如）后，可得到此图形，形状、大小不变，方向改变符合旋转性质，故此选项不符合题意；     故选：C． 题型二：旋转的三要素 【例2】．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，按顺时针旋转到的位置，以下说法正确的是（     ） A．点A是旋转中心，是旋转角 B．点C是旋转中心，点B和点D是对应点 C．点A是旋转中心，点C和点E是对应点 D．点D是旋转中心，是旋转角 【答案】C 【详解】解：∵如图，按顺时针旋转到， ∴点是旋转中心，点和点是对应点，点和点是对应点， ∴和是旋转角，不是旋转角， 故A，B，D错误，C正确． 【变式1】．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，顺时针旋转到的位置（点，，的对应点为点，，），则旋转中心及旋转角分别是（     ） A．点， B．点， C．点， D．点， 【答案】D 【详解】解：由图形可知，绕着点顺时针旋转得到， 旋转中心是点，旋转角为． 【变式2】．（25-26八年级下·山东潍坊·期末）游乐园中“海盗”船（图1）围绕顶端横梁左右摇摆，给游客带来奇妙的运动体验．小莹同学绘制了“海盗”船在两个不同时刻摇摆状态的侧面示意图（图2），横梁可视为一点，那么在小莹的绘画中横梁应是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【详解】解：由题意可知，四边形与四边形成旋转对称，其旋转中心为N． 题型三：旋转性质的应用 【例3】．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，将绕点顺时针旋转到的位置，使刚好落在上，、旋转后的对应点分别是和，连接，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，， ∴， ∵将绕点顺时针旋转到的位置，使刚好落在上， ∴，，， ∴， ∴． 【变式1】．（26-27八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在中，，将绕点按顺时针方向旋转到的位置，连接．若，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如下图所示，过点作，过点作垂足在的延长线上， ， ， 由旋转可知，， ， ， 在和中，， ， ， ，，， ， ， 的面积为． 【变式2】．（2026九年级·天津·专题练习）如图，在直角中，，将绕着点顺时针旋转一定角度得到，点，的对应点分别为，，点恰好落在边上，连接．若，，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴， ∵绕着点顺时针旋转一定角度得到， ∴，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 在中，，， ∴． 题型四：旋转中的坐标问题 【例4】．（25-26八年级下·辽宁铁岭·期末）如图，在平面直角坐标系中，，点为坐标原点，将线段绕着点顺时针旋转得到线段，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D， 则， ， ，， 由旋转得，， ， ， ， ，在和中， ， ，， 点B在第四象限， 点的坐标为． 【变式1】．（25-26九年级上·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点B的坐标为，将线段绕点A顺时针旋转得线段，则点C的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴， 如图，过C作轴于M，则， ∴， 由旋转的性质得：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B 【变式2】．（2026·山东德州·二模）如图，点A，B分别在平面直角坐标系x轴和y轴上，连接，已知，，将绕点B顺时针旋转得到，则点D的坐标为（     ） A．4 B．2 C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∵点D在第一象限， ∴． 题型五：旋转中的规律问题 【例5】．（26-27九年级上·四川·期中）雪花也称银粟，是天空中的水汽经凝华而来的固态降水，多呈六角形，是一种美丽的结晶．美术课要求绘制雪花，小华利用数学知识作出如下操作：建立如图所示的平面直角坐标系，绘制菱形，且顶点B的坐标为，点A在第一象限，，将菱形绕原点O沿顺时针方向旋转，每次旋转，旋转第一次得到四边形（点与点A重合），则旋转第次得到的点的坐标（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：过作轴于H，连接， ∵将菱形绕原点O沿顺时针方向旋转，每次旋转， ∴每6次一个循环， ∵， ∵四边形是菱形，B的坐标是，， ∴，， ∴， ∴， ∴的坐标为， 由题意得，与关于x轴对称，与B关于x轴对称，与关于原点对称， ∴的坐标为， ∴旋转第次得到的点的坐标为． 【变式1】．（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，等腰的顶点在轴上，顶点在轴上，已知，，，且轴，将绕点顺时针旋转，每次旋转，第2026次旋转后，点的对应点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出点的坐标，再由旋转可知，每旋转四次，点对应点的坐标循环出现，据此可解决问题． 【详解】解：，， ，． 在中， ． ，且轴， 点的坐标为． ， 每旋转四次，点对应点的坐标循环出现． 余2， 点的坐标与点的坐标相同． 将绕点顺时针旋转，如图所示， 分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为和， 由旋转可知， ，， ， ． 在和中，， ， ，． ，， ，， ， 点的坐标为，同理可得的坐标为 点的坐标为． 【变式2】．（25-26九年级下·河南安阳·期中）李华利用平面直角坐标系绘制了如图的风车图形，他先将固定在坐标系中，其中，，接着他将绕点O逆时针旋转（）至，此次旋转称为第1次旋转，然后进行第2次旋转：将绕点O逆时针转动至，…，那么按照这种旋转方式，旋转第2026次后，点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵绕原点O逆时针转动至，，， ∴， ∵绕原点O逆时针转动至， ∴， ∵绕原点O逆时针转动至， ∴， ∵绕原点O逆时针转动至， ∴， 即点与点A重合， ∴点A每旋转4次为一个循环， ∵， ∴在转动2026次后，点A在点的位置，此时点A的坐标为． 题型六：旋转几何变换之线段问题 【例6】．（23-24九年级上·陕西西安·期中）如图1，将等腰绕正方形的顶点A逆时针方向旋转，其中，，连接，点H为的中点，连接，，，得到． (1)如图2，当点E恰好落在正方形的对角线上时，判断的形状，并说明理由． (2)如图3，当点E恰好落在正方形的边上时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由； (3)发现若连接，在旋转的过程中，为定值，请你直接写出的值_______． 【答案】(1) 是等腰直角三角形，理由如下： 四边形是正方形， ，， 点是的中点， ， ，， ， ， 是等腰三角形， ， ，， ， 是等腰直角三角形． (2) 成立，理由： 连接，过点作于，如图： 四边形是正方形， ， ，，， , .， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， 是等腰三角形， ，， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形． （3）连接、，如图： 四边形是正方形， ， 将等腰绕正方形的顶点A逆时针方向旋转， ，， ，， ， ， 故答案为：． 【变式1】．（2023九年级下·四川凉山·专题练习）在中，，，根据题意完成下列问题： (1)如图①，点为内的点，连接，，，将绕着点按逆时针方向旋转后得．连接，，若，，，求证：． (2)如图②，若点是中斜边上的点（点不与点、重合），试求、、的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) 证明：∵，，， ∴， ∴， ∵将绕着点按逆时针方向旋转后得， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 即，在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． (2)， 理由：将绕着点逆时针旋转得到，连接，， 则，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【变式2】．（2023·辽宁阜新·一模）如图，， ，绕点B顺时针方向旋转，相交于点E． (1)当时，线段与的数量关系是：＿＿＿； (2)当时，（1）的结论是否成立？若成立，请结合图2说明理由； (3)若，，当时，请直接写出的长． 【详解】（1）解：当时，，理由如下： 如图1，作交于点F， ，， ，，， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ，， ， ； 故答案为：； （2）解：当时，（1）的结论成立，理由如下： 如图2，作交于点F， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：， 当时，如图3，过点B作于点G， ， ， ， 四边形是矩形， ， 由旋转可知：， ， ， ． 的长为． 题型七：旋转几何变换之面积问题 【例7】．（2026·河南平顶山·三模）如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是，点A的坐标是，连接．将绕点A逆时针旋转得到，反比例函数的图象经过点D，与 交于点E，连接，，． (1)求反比例函数的表达式． (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题意，得，． 由旋转的性质，可知，，． 延长 交x轴正半轴于点F，如图，则四边形为正方形． ∴点D的坐标为，即． ∵反比例函数的图象经过点D， ∴． ∴反比例函数的表达式为． （2）解：将代入，得， ∴点E的坐标为． ∴． ∴． ∵，， ∴． ∵， ， ∴； 【变式1】．（25-26九年级上·天津河东·期中）在平面直角坐标系中，为原点，点，点，把绕点顺时针旋转，得，点，旋转后的对应点为，．记旋转角为． (1)如图①，若，则的长是__________，点的坐标是__________； (2)如图②，若，求点的坐标； (3)记为的中点，为的面积，求的最小值和最大值（直接写出结果即可）． 【详解】（1）解：∵点，点， ∴， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， 作轴，则：， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）如图② ，过作轴于，则． 由旋转的性质可得：，， 在中，由， ∴． ． 由勾股定理， ． 点的坐标为； （3）∵旋转， ∴， 由（1）可知， ∵为的中点， ∴， 作，则：， ∴的面积随着的变化而变化， 如图所示，当点在上时，此时，重合，最小，的面积最小， 最小面积， 当点在的延长线上时，此时重合，最大，的面积最大， 最大面积． 【变式2】．（2023·河北石家庄·二模）将两个等腰直角三角形纸片和放在平面直角坐标系中，已知点坐标为，，，，并将会绕点顺时针旋转．    (1)当旋转至如图的位置时，，求此时点的坐标： (2)如图，连接，当旋转到轴的右侧，且点，，三点在一条直线上时， ①求证：； ②求的长． (3)当旋转到使得的度数最大时，求的面积（直接写出结果即可）． 【详解】（1）解：如图①中，过点作于．   绕点顺时针旋转， ， ，， ，． （2）解：①证明：如图②中，过点作于．   ， ， ，， ； ②解：； ， 在中，， ，， ， ， ， ， ． （3）解：如图③中，当时，的值最大，此时，．    过点作轴于，过点作于． ， ， ，， ， ， ，，， ． 题型八：旋转几何变换之角度问题 【例8】．（2024·山东济宁·二模）某校数学兴趣小组将两个边长不相等的正方形和正方形按照图方式摆放，点，，在同一条直线上，点在上． (1)操作与发现 如图2，将正方形绕点逆时针旋转． ①当时，求，，的度数； ②正方形旋转过程中，你发现与的有何数量关系？与的有何数量关系？请直接写出你发现的结论，不需要证明． (2)类比探究 如图3，将正方形绕点顺时针旋转．上面②中你发现的结论是否仍然成立？请说明理由． 【详解】（1）解：①∵，四边形是正方形， ∴， ； ②∵，， ∴； (2)解：，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴． 【变式1】．（21-22九年级上·河北保定·期末）如图，点E是正方形内的一点，连接、、，将绕点B顺时针旋转到的位置，连接，的长为． (1)求的长； (2)若，求的度数． 【答案】(1)BF=2 (2)∠AEB=135° 【详解】（1）解：∵△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBF， ∴BE=BF ，∠EBF=∠ABC=90°       ∴△BEF为等腰直角三角形，           设 BE=BF =x，则x2+x2=（2）2 ， 解得： x=2； （2）解：∵△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBF， ∴∠AEB= ∠BFC ，AE=CF=1， 在△CEF中，EF =2，CF=1，EC=3， ∵CF2+EF2=12+（2）2=9，CE2=9， ∴CF2+EF2=CE2， ∴△CEF为直角三角形，∠EFC=90°， ∴∠BFC=∠BFE+∠CFE=135°， ∴∠AEB=135°． 【变式2】．（2022·山东泰安·一模）如图，将矩形绕着点逆时针旋转得到矩形，使点恰好落到线段上的点处，连接，连接交于点． (1)求证：平分； (2)取的中点，连接，求证：； (3)若，求的长． 【答案】(1) 证明：将矩形绕着点逆时针旋转得到矩形，使点恰好落到线段上的点处， ， ， ， ， ， 平分； (2) 证明：过点作于，如图： 平分，，， ， ， ，，， ≌， ，即点是中点， 点是中点， 是的中位线， ∴； （3）解：过点作于，过作于，如图： ， ， ， ， ， ， ，， 在中， ， 的长为． 题型九：旋转几何变换压轴问题 【例9】．（26-27九年级上·广东清远·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知矩形，点，现将矩形绕点O逆时针旋转得到矩形，点B，C，D的对应点分别为点E，F，G． (1)如图1，当点E恰好落在边上时，则的长为___________（请直接写出答案）； (2)如图2，所在直线与分别交于点H、M，且．求线段的长度； (3)如图3，设点P为边的中点，连接，在矩形旋转过程中，的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，的面积的最大值为27． 【详解】（1）解：∵矩形，点， ，，， ∵将矩形绕点O逆时针旋转得到矩形，点E恰好落在边上， ， 在中，， ∴． （2）解：如图2，过点M作于N，过点C作于，连接， ∵，， ∴四边形是矩形， ， ∵， ∴， ， ， 又， ∴， ∴， 又， ∴点E与点重合， ， ， ∴点C，点E，点F三点共线， ∵， ， ， 设 在中，， ，解得：， ， ， ，， ． （3）解：∵点P为边的中点， ∴， ，， ， ∴当边上的高最大时，面积最大， 如图，当轴于点M时，则，此时面积最大，连接， ∵， ∴， ∴， ∴的面积的最大值为27． 【变式1】．（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）矩形绕点逆时针旋转得到矩形（与，与对应） (1)如图1，经过点，若，，求； (2)如图2，连，相交于点，求证：； (3)如图3，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形的位置，的延长交于点，若点恰好为的中点，，，直接写出的长度为__________． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，，， 由旋转可得，，，，，， 在中，， ∴， 在中，． (2)证明：如图，过点作交于点， ∵四边形是矩形， ∴， 由旋转可得，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （3）解：如图，过点作交的延长线于点，过点作于点，连接， 由旋转的性质可得，，，， ∴，，， ∴， ∵点为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， ∴． 【变式2】．（26-27九年级上·山西晋中·阶段检测）综合与探究 问题情境：已知四边形为矩形，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，点，，的对应点分别为点，，，直线与直线交于点． (1)推理证明：如图1，当点落在的延长线上时，求证：． (2)猜想验证：如图2，当点落在的延长线上时，判断与的数量关系，并说明理由． (3)拓展延伸：若，，点在射线上，连接，当是以为底边的等腰三角形时，直接写出的长． 【答案】(1)证明：四边形为矩形， ， ， 由旋转的性质可得，，， ，， ，即， 在和中， ， ． (2)．理由如下： 如图，连接，， 四边形为矩形， ，， ， 由旋转的性质可得，，， ，， 在和中， ， ， ． （3）解：当是以为底边的等腰三角形时，有两种情况： 如图，当点落在线段上时， 根据题意可知，，，， ， 是以为底边的等腰三角形， ， ， ； 如图，当点落在线段的延长线上时， 同上可知，， ，， ， 综上，的长为或． 一、单选题 1．（25-26九年级上·江西南昌·期中）如图，将含的直角三角板绕点 A 顺时针旋转到处（点 C，A，D 在一条直线上），则这次旋转的旋转角的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：旋转后 C 的对应点为 D，且 C、A、D 三点共线、A 在中间，故旋转角． 2．（26-27九年级上·广西南宁·阶段检测）如图，将绕点顺时针旋转得到，若线段，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：绕点顺时针旋转得到， ， ， ． 3．（26-27九年级上·山西晋中·阶段检测）如图，在矩形中，，，以点为中心，将顺时针旋转得到，点落在边上，连接，则的长为（     ） A．1 B．3 C． D． 【答案】C 【详解】解：由旋转的性质，可得． ∵四边形是矩形， ∴，，． 在中，，， 由勾股定理得： ． ∴． 在中，，， 由勾股定理得： ． 4．（26-27九年级上·重庆·阶段检测）如图，在菱形中，将绕点逆时针旋转至，连接交于点．若为的中点，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由旋转的性质可得，， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 又∵为的中点， ∴， ∵， ∴． 5．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，将绕点A顺时针旋转到的位置，使刚好落在上，B、C旋转后的对应点分别是和，连接，则度数是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵在中，，， ∴， 由旋转的性质得：，，， ∴， ∴． 6．（26-27九年级上·全国·单元复习）在平面直角坐标系中，菱形如图所示，，点D在线段的垂直平分线上．若菱形绕点O逆时针旋转，旋转速度为每秒，则第时点D对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，连接， 点在线段的垂直平分线上， ， 在菱形中，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 点的坐标为， 菱形绕点逆时针旋转，旋转速度为每秒， 菱形绕点每秒旋转一周， ，， 第2028秒时点的对应点在第三象限，与点关于原点对称， 此时点的对应点的坐标为． 7．（26-27九年级上·河北张家口·阶段检测）如图，正方形边长为1，点M是对角线上一点，，连接，将绕点B顺时针旋转，得到的延长线与的延长线交于点E，则长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：连接， ∵正方形边长为， ∴，，，． ， ∴． ∵绕点顺时针旋转得到， ∴，． ∵，， ∴． 在和中， ∴． ∴，． ∵在延长线上， ∴． ∴． 在中，，， ∴． ∴． 在中，． ∵是的外角， ∴． ∴． ∴． 二、填空题 8．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，将绕直角顶点顺时针旋转，得到，连接，若，，则的长度为______． 【答案】 【详解】解：将绕直角顶点顺时针旋转，得到，连接， ，，， ， ， ， ∴， ∴． 9．（26-27九年级上·上海·自主招生）将绕原点逆时针旋转得如图所示曲线，已知，，连线交旋转后图形于，则_____． 【答案】15 【详解】解：将图形绕原点顺时针旋转，设变换后的对应点分别为，，，，曲线变回， ∵点在第二象限角平分线上，且， ∴顺时针旋转后，点落在y轴正半轴上，坐标为， ∵点在第一象限角平分线上，且， ∴顺时针旋转后，点落在x轴正半轴上，坐标为， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 联立直线与反比例函数解析式：， ∴， 整理得， 解得，， 当时，；当时，， ∴交点，的坐标分别为和， ∵旋转不改变图形面积， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 10．（26-27九年级上·重庆铜梁·阶段检测）如图，的顶点在抛物线上，将绕点O顺时针旋转，得到，边与该抛物线交于点，则点的坐标为_____． 【答案】 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵点在抛物线上， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； 由旋转的性质可得，， ∴点D在y轴上，则轴， ∴， 在中，当时，， 解得或（舍去）， ∴． 11．（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）如图，在矩形中，，，将矩形绕点A逆时针旋转，使得点B的对应点恰好落在对角线上，交于E，则的长为______． 【答案】 【分析】由旋转的性质得，，，进而可得，则可证明，设，则，，最后在中运用勾股定理求解即可． 【详解】解：在矩形中，，， ∴，， 由旋转的性质得，，． ∴，， 在中，， ∴， ∴， 设，则，． 在中，， ， ， ， 解得， ∴的长为． 12．（26-27九年级上·北京海淀·阶段检测）如图，正方形与正方形边长分别为1和，一开始边落在边上，将正方形绕点A逆时针旋转，旋转角为（）．在旋转过程中，连接，，，，四边形面积的最大值是_________． 【答案】 【详解】解：连接，，相交于点H，与交于点K， ∵四边形，四边形都是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形面积的面积的面积 ， ∴当取最大值时，四边形面积最大， ∴当时，最大， ∴四边形面积的最大值. 三、解答题 13．（26-27九年级上·江西九江·阶段检测）如图，在中，，为上一点，且满足．现将绕点逆时针旋转至，使得点落在上．若为的角平分线，则 (1)证明：四边形为菱形； (2)若的长为，则求的长． 【答案】(1)证明：， ， 由旋转可知，， ， 平分， ， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形； （2）解：由（1）可知，， ， 又， ， ， ， ， ， 设，则， ， 在中，， ， ， ， 由旋转可知． 14．（26-27九年级上·广西南宁·期中）如图，在中，，，．点D在边上，连接，将绕点C逆时针旋转，得到，连接，． (1)求证：； (2)若时，求的长； (3)点D在上运动时，试探究的值是否存在最小值？如果存在，求出这个最小值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明：由旋转得，，， ，即， 又∵， ． （2）解：在中，，， ，， ， ，， ， ； （3）解：∵，， ∴， 由（2）可知，． 当时，最小，此时的值最小， 为等腰直角三角形， ∴此时， ． ∴的最小值为72． 15．（26-27九年级上·云南昆明·阶段检测）如图1：在四边形中，，，，分别是上的点，且 (1)小王同学探究此问题的方法是：把绕点A逆时针旋转，得到，证明，可得出三者间关系是_______________； (2)【探索延伸】如图2，若在四边形中，，，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立，如果成立，请说明理由； (3)【学以致用】如图3，四边形是边长为的正方形，，求的周长． 【详解】（1）解：把绕点A逆时针旋转，得到，如图所示： ， ∵， ， ∴点在同一直线上， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， ， ； (2)解：结论仍然成立． 理由如下：延长到点使，连接，如图所示： ， ， 在和中， ， ， ， ∵， ∴， ， 在和中，，∴， ， ， ； （3）解：将绕着点顺时针旋转到，如图所示： ，则，，， 在正方形中，，， 则， ，即点三点共线，均在直线上， ， ，则， ， 在和中， ， ∴， ， ，， ． 16．（26-27九年级上·辽宁大连·阶段检测）【问题背景】17世纪有着“业余数学家之王”美誉的法国律师皮耶·德·费马，提出一个问题：求作三角形内的一个点，使它到三角形三个顶点的距离之和最小，后来这点被称为“费马点”．如图1，点是内的一点，将绕点逆时针旋转到，则可以构造出等边，得，，所以的值转化为的值，当四点共线时，线段的长为所求的最小值，即点为的“费马点”． 【拓展应用】 (1)如图2，点是等边内的一点，连接，将绕点逆时针旋转得到． ①画出图形 ②当，，时，求的大小； (2)如图3，点是内的一点，且，，，求的最小值． 【详解】（1）①略 ②为等边三角形， ，， 又是等边三角形， ， ， 在与中， ， ， ∴ ∴， ， ， （2）如图，将绕点顺时针旋转得到， 则， 在中，， ， ， 又， ∴， 如图，过作⊥交的延长线于点， 则， ， ， ， ， 为等边三角形， 当B、P、、四点共线时，和最小， 在中，， ， ∴的最小值为． 17．（26-27九年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，二次函数的图象经过，两点． (1)求二次函数的表达式； (2)点P在直线下方的抛物线上运动，求面积的最大值及点P的坐标； (3)动点Q为抛物线对称轴上一点，连接，将线段绕点Q旋转，使点A的对应点D恰好落在抛物线上，请直接写出点Q的坐标． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过，两点， ∴，解得， ∴； （2）解：设直线的解析式为， ∵， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； 如图所示，过点P作轴交于E，连接， 设，则， ∴； ∵， ∴ ， ∴当有最大值时，有最大值， ∵，， ∴当，即时，有最大值，最大值为， ∴的最大值为，此时； （3）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， 设点Q的坐标为， 当线段绕点Q逆时针旋转时： ①如图所示，当点Q在x轴下方时，设抛物线对称轴交x轴于H，过点D作交直线于G，则； ∴， ∴； ∵， ∴； 由旋转的性质可得， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴点D的横坐标为，纵坐标为， ∴， ∵点D在抛物线上， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴此时点的坐标为； ②如图所示，当点Q在x轴上方时，过点Q作轴，分别过点A，点D作直线的垂线，垂足分别为R、S， ∴； 由旋转的性质可得， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点D的横坐标为，纵坐标为， ∴， ∵点D在抛物线上， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴此时点的坐标为； 当线段绕点Q顺时针旋转时： ①当点在轴上方时，如图， 同法可得：， ∴， 解得或（舍去）； ∴； 当点在轴下方时，如图， 同法可得：， ∴， 解得或（舍去）； ∴； 综上，点Q的坐标为或或或． 2 学科网（北京）股份有限公司 $