专题03 一元一次方程18大题型（期中复习讲义）七年级数学上学期新教材苏科版

专题03 一元一次方程 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 一元一次方程 考点二 一元一次方程的解法 考点三 用一元一次方程解决实际问题 05 重难题型突破 题型一 方程的定义 题型二 等式的性质 题型三 已知方程的解求参数 题型四 解一元一次方程 题型五 已知一元一次方程的解求参数 题型六 一元一次方程解的关系 题型七 绝对值方程 题型八 配套问题 题型九 工程问题 题型十 销售盈亏问题 题型十一 方案问题 题型十二 数字问题 题型十三 几何问题 题型十四 动点问题 题型十五 水电费问题 题型十六 和差倍分问题 题型十七 古代问题 题型十八 一元一次方程新定义问题 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 1. 分值占比 苏科版七上期中，一元一次方程板块分值约 14～22 分，占试卷 12%～18%。题型包含选择、填空、解答，既有单纯解方程，也有应用题。它是方程板块入门内容，属于基础得分模块，也是后续学习二元一次方程、分式方程的重要铺垫。 2. 题型特点 选择填空侧重识别一元一次方程、利用方程的解求参数、等式性质辨析；解答分为解方程和实际应用题。应用题常考行程、工程、利润、配套、方案选择，题干贴近生活，重点考查寻找等量关系，贴合课本例题与习题风格。 3. 难度分布 基础题占六成以上，直接利用等式性质判断、常规解方程；中档题集中在含参数问题、稍复杂的应用题；难题较少，多为方案比较或者隐藏等量关系的题目。高频易错点集中在去分母漏乘常数项、移项忘记变号。 4. 备考方向 熟记等式基本性质，严格落实解方程五步流程；专项训练找等量关系，总结各类应用题的固定等量模型；整理去分母、去括号、移项的易错错题；做完方程务必检验，应用题要检验结果是否符合现实情境，规范答题步骤。 识记 识记一元一次方程定义，牢记方程、方程的解等概念；熟记等式两条基本性质，掌握解一元一次方程步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1。能识别一元一次方程，记住移项要变号，区分等式性质与代数式变形规则，熟记解题流程。 理解 理解方程是刻画等量关系的模型，理解等式性质变形的依据，明白每一步解方程的道理；理解移项、去分母的原理，清楚每一步变形要保证等式成立；能区分方程的解与解方程，读懂实际问题里的等量关系，体会建模思想。 应用 能规范求解一元一次方程，细心处理去分母漏乘、符号出错等问题；会审题，找准等量关系，设未知数并列方程；熟练解决行程、工程、利润、配套等经典应用题，检验解是否符合实际意义，规范书写解题格式。 考点一 一元一次方程 一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程. 注意 一元一次方程中的“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程需要同时满足以下条件： ① 是一个方程; ② 必须只含有一个未知数; ③ 含有未知数的式子都是整式; ④ 未知数的次数都是1． 考点二 一元一次方程的解法 一元一次方程的解法： 步骤 数学依据 具体做法 注意事项 1.去分母 等式性质2 方程两边都乘以各分母的最小公倍数 (1)不要漏乘不含分母的项 (2)分子是一个整体的，去分母后应加上括号 2.去括号 去括号法则 去括号 (1)不要漏乘括号里的项 (2)不要弄错符号 3.移项 等式性质1 含有未知数项都移到方程左边，常数项都移到右边 移项要变号 4.合并同类项 合并同类项法则 把方程化成的形式 系数相加减，其他都不变 5.系数化成1 等式性质2 方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解 不要把分子、分母写颠倒 注意 解方程时，表中所给步骤是一般步骤，有些步骤可能用不到，要根据具体方程的形式而定，而且也不一定要按照表中顺序，可以适当的调整或删减． 考点三 用一元一次方程解决实际问题 1.列方程解应用题的基本思路为：问题方程解答． 由此可得解决此类题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答． 注意 （1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系； （2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数； （3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一； （4）“解”就是解方程，求出未知数的值； （5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可； （6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚． 2.常见一元一次方程应用题类型： (1)行程问题 ①三个基本量间的关系： 路程=速度×时间 　②基本类型有： 　 相遇（或相向）问题： A．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间 B．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离． 追及问题：A．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间 B．寻找相等关系： 第一， 同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程； 第二， 同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程． ③航行问题：A．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度， 逆流速度=静水速度－水流速度， 顺水速度－逆水速度＝2×水速； B．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑． 解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析． （2）工程问题 三个基本量间的关系：工作效率×工作时间=工作总量；“一般把总工作量设为1”； 3．利润问题 常用数量关系如下： （1） (2) 标价＝成本(或进价)×(1＋利润率) (3) 实际售价＝标价×打折率 (4) 利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率 注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售． 4．方案问题 选择设计方案的一般步骤： （1）运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况． （2）用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性后下结论． 题型一 方程的定义 典例1（25-26七年级上·江苏扬州·期中）下列式子是方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查方程的判断，根据含有未知数的等式叫做方程，进行判断即可． 【详解】解：A、不是等式，不是方程； B、不是等式，不是方程； C、是代数式，不是等式，不是方程； D、是方程； 故选：D． 迁移应用 1．（25-26七年级上·陕西延安·期中）下列各式中，是方程的有__________．（填序号） ①；②；③；④． 【答案】②④ 【分析】本题主要考查了方程的判断， 根据方程的定义，含有未知数的等式称为方程，据此对各选项进行判断． 【详解】解：①是等式但不含未知数，不是方程； ②是等式且含未知数，是方程； ③不是等式，不是方程； ④是等式且含未知数，是方程， 所以正确的有②④． 故答案为：②④． 2．（25-26七年级上·广西崇左·期中）下列各式中___是等式，___是方程(填序号)． ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩． 【答案】①②③⑤⑥⑦；①③⑤⑥⑦ 【分析】本题主要考查等式和方程的概念，根据等式和方程的定义，等式是含有等号的式子，方程是含有未知数的等式，通过检查每个式子是否含有等号和未知数，进行分类． 【详解】解：①含有等号和未知数x，是等式也是方程； ②含有等号但没有未知数，是等式但不是方程； ③含有等号和未知数x，是等式也是方程； ④不含等号，既不是等式也不是方程； ⑤含有等号和未知数x、y、z，是等式也是方程； ⑥含有等号和未知数x、y，是等式也是方程； ⑦含有等号和未知数y，是等式也是方程； ⑧含有不等号，是不等式； ⑨含有不等号，是不等式； ⑩含有约等号，不是等式． 等式有：①②③⑤⑥⑦，方程有：①③⑤⑥⑦． 故答案为：①②③⑤⑥⑦；①③⑤⑥⑦． 题型二 等式的性质 典例2（26-27七年级·江苏·小升初衔接）下面的说法中，正确的有（     ）个． ①方程都是等式，所以等式也都是方程． ②是方程的解． ③如果，那么． ④等式两边同时除以同一个数，等式仍然成立． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】①根据方程的定义，方程的解的定义，等式的性质，即可判断． 【详解】解：①含有未知数的等式才是方程，不含未知数的等式不是方程，故①不正确； ②当时，，故②正确； ③设，则，，则，故③不正确； ④根据等式的性质2，0不能作除数，此说法没有把0排除，故④不正确； 综上所述，只有1个正确． 迁移应用 1．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）下列等式的变形中，正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】B 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的基本性质，逐项判断变形是否正确，性质包括等式两边加、减、乘、除同一个数（除数不为零），等式仍成立． 【详解】解：对于选项A．由，两边加3得，而非，错误，故本选项不符合题意； 对于选项B．由，两边加3得，则，正确，故本选项符合题意； 对于选项C．当时，恒成立，但与不一定相等，错误，故本选项不符合题意； 对于选项D．由，两边乘以得，而非，错误，故本选项不符合题意． 故选：B． 2．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）下列各式中，不正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查等式的性质，掌握等式的性质是解题关键，需根据等式的性质逐项分析判定． 【详解】解：A. 则，即，故该选项正确，不符合题意； B. ，且，则，故该选项正确，不符合题意； C. ，则，即，得到或，当时，可为任意实数，不一定等于，故该选项错误，符合题意； D. ，则，即，故该选项正确，不符合题意； 故选：C． 题型三 已知方程的解求参数 典例3（25-26七年级下·四川宜宾·期中）若是关于的方程的解，则代数式的值是________． 【答案】2019 【分析】将代入关于的方程并整理，可得，然后整体代入并求解即可． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴， ∴． 迁移应用 1．（25-26七年级上·江苏南京·期中）若不论取什么实数，关于的方程（是常数）的解总是，则___________． 【答案】 【分析】本题考查已知一元一次方程的解求参数，解题时要根据方程的特点进行有针对性的计算． 将代入原方程，化简后得到关于的等式，根据等式对任意成立的条件，令的系数为零，常数项相等，解出和，最后求出结果即可． 【详解】解：将代入原方程， 得， 整理得， ∵等式不论k取什么数均成立， ∴， 解得，， ∴． 故答案为：． 2．（25-26七年级上·浙江台州·期中）若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为________． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，通过换元法，将第二个方程转化为与第一个方程相同的形式，利用已知解求解即可． 【详解】解： ，解为， 可化为； 设，则 ， 化为， 所以， 此方程与第一个方程形式相同，因此， 即， 解得 故答案为． 题型四 解一元一次方程 典例4（2026七年级上·江苏·专题练习）解方程： 【答案】 【分析】根据“去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为”的步骤求解即可． 【详解】解：去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：． 迁移应用 1．（26-27九年级上·全国·单元复习）解下列一元一次方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据移项、合并同类项、未知数的系数化为的步骤求解即可； （2）根据去分母、移项、合并同类项、未知数的系数化为的步骤求解即可． 【详解】（1）解： 移项、合并同类项得，． （2）解： 去分母得，， 去括号得，， 移项、合并同类项得，， 系数化为得，． 2．（25-26七年级上·河南郑州·期中）解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 系数化为1得：； （2）解：移项得：， 整理得：， 去括号得：， 移项并合并同类项得：． 题型五 已知一元一次方程的解求参数 典例5（25-26七年级上·江苏扬州·期末）关于x的方程的解是方程的解的3倍，则a的值为______． 【答案】3 【分析】先求出方程的解，再根据题意得到方程的解，代入求解的值． 【详解】解：解方程， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得， 因为方程的解是方程的解的倍， 所以方程的解为， 将代入方程， 得， 即， 解得． 迁移应用 1．（25-26六年级下·山东济宁·期中）已知关于的方程与方程的解相同，求的值． 【答案】 【分析】解方程得，代入后得，求解后可得答案． 【详解】解：解方程， 得：， ∵关于的方程与方程的解相同， ∴， 即， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：， 即的值为． 2．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）定义：关于x的方程与方程（a，b均为不等于0的常数）称为互为“相反方程”．例如：方程与方程互为“相反方程”． (1)若关于x的方程①：的解是，则与方程①互为“相反方程”的方程的解是______； (2)若关于x的方程与其“相反方程”的解都是整数，求整数b的值； 【答案】(1) (2)整数b的值为，3 【分析】本题主要考查新定义——互为“相反方程”，熟练掌握新定义，一元一次方程定义，一元一次方程的解的定义，解一元一次方程，整式的化简求值，是解题关键． （1）根据题意得出，代入方程即可确定方程①的“相反方程”是，即可求解； （2）先确定“相反方程”，然后求解方程得出与都为整数，确定，分情况求解即可； 【详解】（1）解：∵关于的方程①：的解是， ∴， ∴， ∴方程①为， ∴方程①的“相反方程”是， 解得， 故答案为：； （2）关于x的方程的“相反方程”为， 根据相反方程的定义，对于方程，需满足，即， 由得， 由得， ∵关于的方程与其“相反方程”的解都是整数， ∴与都为整数， ∵为整数，且为整数， ∴是的约数，即的值可能为。 ∵为整数， ∴为偶数， ∴， 当时，； 当时，， 综上所述，整数b的值为3，； 题型六 一元一次方程解的关系 典例6（25-26七年级上·广西桂林·期末）已知关于的方程的解与方程的解相同，则______． 【答案】 【分析】先解第一个一元一次方程求出的值，根据两个方程解相同，将代入第二个方程. 即可求出的值． 【详解】解：， ， ， ， ∵的解与方程的解相同， ∴将代入方程中， ， ， ， ， ． 迁移应用 1．（25-26七年级下·福建泉州·期中）在一元一次方程中，如果两个方程的解相同，则称这两个方程为同解方程． (1)填空：方程与方程______同解方程（填“是”或“不是”）； (2)若方程与关于x的方程是同解方程，求m的值； (3)若关于x的两个方程与是同解方程，求符合要求的正整数m，n的值． 【答案】(1)是 (2) (3)，或 【分析】（1）先求出两个方程的解，再根据定义进行判断即可； （2）先解方程得到，再根据同解方程的定义得到方程的解为，则，解方程即可； （3）分别求出方程与的解，再根据这两个方程是同解方程得到，再根据m，n都是正整数，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴方程与方程是同解方程； （2）解：∵， ∴， ∵方程与关于x的方程是同解方程， ∴方程的解为， ∴， ∴； （3）解：解方程得：， 解方程得：； ∵关于x的两个方程与是同解方程， ∴， ∴， ∵m，n都是正整数， ∴是正整数， ∴或， 当时，； 当时，． 2．（2025七年级上·江苏连云港·专题练习）【定义】 若关于x的一元一次方程的解满足，则称该方程为“友好方程”，例如：方程的解为，而，则方程为“友好方程”． 【运用】 (1)①，②两个方程中为“友好方程”的是 （填写序号）； (2)若关于x的一元一次方程是“友好方程”，求b的值； (3)若关于x的一元一次方程是“友好方程”，且它的解为，求m、n的值． 【答案】(1)① (2) (3)， 【分析】本题考查了解一元一次方程及新定义问题的理解与运用． （1）先解出每个方程的解，再根据“友好方程”的定义进行判断即可； （2）先解出x的值，再根据“友好方程”的定义得，进而求得b的值； （3）先将解代入方程中得到新的式子求出m的值，再根据“友好方程”的定义即可求得n的值． 【详解】（1）解：①，解得：，而，①是“友好方程”； ②，解得：，而，②不是“友好方程”， 故答案为：①． （2）解：一元一次方程的解为， 由题意得，，解得． （3）解：将解代入方程中，得到：， ∵， ∴， ∵是“友好方程”， ∴， 将代入得：， 解得． 题型七 绝对值方程 典例7（26-27七年级上·江苏南京·期中）若的最小值是6，则的值是______． 【答案】 或 【分析】根据绝对值的几何意义，的最小值等于数轴上点与点的距离，据此列方程求解． 【详解】解：表示数轴上动点到定点的距离，表示数轴上动点到定点的距离． 因此表示动点到两个定点和的距离之和． 当动点在两个定点和之间（含端点）时，距离之和取得最小值，最小值为两个定点之间的距离，即． ∵已知最小值为， ∴． 去绝对值得或． 解得或． 迁移应用 1．（26-27七年级上·江苏宿迁·期中）已知，则的值为_______． 【答案】或 【分析】分为当时，当时，当时，进而去绝对值，然后解方程即可． 【详解】解：当时，原式可变形为，解得，符合题意； 当时，原式可变形为，整理得，不成立，无解； 当时，原式可变形为，解得，符合题意； ∴的值为或． 2．（25-26七年级下·重庆万州·期末）先阅读下列解题过程，然后解答问题： 解方程：． 解：当时，原方程可化为，解得； 把代入得：，成立； 当时，原方程可化为，解得． 把代入得：，成立； ∴原方程的解为或． 灵活运用上面的解题方法解下列方程： (1)解方程； (2)解方程． 【答案】(1) 或 (2) 【分析】（1）分为两种情况：①当时，②当时，去掉绝对值符号后求出即可； （2）分为两种情况：①当时，②当时，去掉绝对值符号后求出即可． 【详解】（1）解：①当时，原方程可化为，解得； 把代入得：，成立； ②当时，原方程可化为，解得； 把代入得：，成立； ∴原方程的解为或． （2）解：①当时，原方程可化为，解得； 把代入得：，成立； 把代入得：，成立； ②当时，原方程可化为，解得； 把代入得：，不成立； ∴原方程的解为． 题型八 配套问题 典例8（2026·吉林长春·模拟预测）小敏和小强假期到某厂参加社会实践，该工厂用白板纸做包装盒，设计每张白板纸做盒身2个或者盒盖3个，且一个盒身和两个盒盖恰好做成一个包装盒．现有14张白板纸，为了充分利用材料，要求做成的盒身和盒盖正好配套，请问需要用几张白板纸做盒身？ 【答案】需要用张白纸做盒身 【分析】设用x张白板纸做盒身，则张做盒盖，每张白板纸做2个盒身，则盒身总数量为个；每张白板纸做3个盒盖，则盒盖总数量为个，利用“一个盒身需要配两个盒盖”列出方程求解即可． 【详解】解：设用x张白板纸做盒身，则张做盒盖， 根据题意得：， 解得：， 答：需要用张白板纸做盒身． 迁移应用 1．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）在手工制作课上，老师组织七年级（3）班学生用硬纸制作圆柱形笔筒．全班共45人，其中男生人数是女生人数的． (1)求七年级（3）班的男生和女生各有多少人？ (2)已知每名学生每小时可以裁剪筒身70个或裁剪筒底40个，且1个筒身需要搭配2个筒底才能组装成一个完整的笔筒．若要使每小时裁剪的筒身和筒底刚好配套应该分配多少名学生裁剪筒身，多少名学生裁剪筒底？ 【答案】(1)男生21人，女生24人 (2)分配10名学生裁剪筒身，35名学生裁剪筒底 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确理解题意列出方程是解题的关键． （1）设七年级（3）班的女生人数为人，则男生人数为人，根据班级总人数为45人列出方程求解即可； （2）设分配m名学生裁剪筒身，则分配名学生裁剪筒底，根据1个筒身需要搭配2个筒底才能组装成一个完整的笔筒建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设七年级（3）班的女生人数为人，则男生人数为人， 由题意得，， 解得， ∴， 答：七年级（3）班的男生人数为21人，女生人数为24人； （2）解：设分配m名学生裁剪筒身，则分配名学生裁剪筒底， 由题意得，， 解得， ∴， 答：分配10名学生裁剪筒身，35名学生裁剪筒底． 2．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）今年，横跨6个月的江苏省城市足球联赛即“苏超”彻底火出了圈，尤其是“苏超冠军”泰州更是“一黑到底”．在南通队和泰州队的决赛中，靖江和泰兴的两地球迷共同为泰州队制作应援旗助威． 请根据素材1、素材2，探索并完成任务1、任务2． 问题：两地球迷人数、需调整人数各是多少? 素材1 靖江球迷人数比泰兴球迷人数多3人，两地球迷总人数为49人． 素材2 每位靖江球迷每天可制作8面主队应援旗，每位泰兴球迷每天可制作6面客队应援旗， 问题解决 任务1 确定两地球迷人数 两地制作应援旗球迷各有多少人? 任务2 确定调整人数，应援旗刚好配套 若应援旗需配套（一面主队旗配一面客队旗），需调整多少名靖江球迷去制作客队旗，才能刚好配套? 【答案】任务1：泰兴23人，靖江26人；任务2：调整5人 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 任务1：设泰兴球迷人数为人，则靖江球迷人数为人，根据“两地球迷总人数为49人”列出一元一次方程，解方程即可得出结果； 任务2：设需调整名靖江球迷去制作客队旗，才能刚好配套，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得出结果． 【详解】解：任务1：设泰兴球迷人数为人，则靖江球迷人数为人， 由题意可得：， 解得：， ∴， ∴泰兴球迷人数为人，靖江球迷人数为人； 任务2：设需调整名靖江球迷去制作客队旗，才能刚好配套， 由题意可得：， 解得：， ∴需调整名靖江球迷去制作客队旗，才能刚好配套． 题型九 工程问题 典例9（25-26七年级上·河北石家庄·期末）一项工程，甲队单独完成需30天，乙队单独完成需45天，现甲队先单独做20天，之后两队合作完成此项工程． (1)甲、乙两队合作还需多少天才能把该工程完成？ (提示：工程问题中可设总工作量为单位“1”，工作效率总工作量工作时间) (2)甲队施工一天需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元，若该工程计划在40天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队单独完成、乙队单独完成该工程省钱？还是由甲、乙两队全程合作完成该工程省钱？ 【答案】(1)甲、乙两队再合作6天才能把该工程完成 (2)甲、乙两队全程合作完成该工程省钱 【分析】（1） 设甲、乙两队再合作x天才能把该工程完成，按工程问题列方程求解即可； （2）因为45天大于40天，所以不能由乙队单独完成，分两种情况：由甲队单独完成和甲、乙两队全程合作完成，分别求出费用，再比较大小即可得解． 【详解】（1）解：设甲、乙两队再合作x天才能把该工程完成， 根据题意列方程为， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：， 答：甲、乙两队再合作6天才能把该工程完成． （2）因为45天大于40天，所以不能由乙队单独完成， 若由甲队单独完成工程的费用：(万元) 设由甲、乙两队全程合作完成需要m天，则，解得， 甲、乙两队全程合作完成工程的费用：(万元)， 因为万元万元． 所以由甲、乙两队全程合作完成该工程省钱． 迁移应用 1．（25-26七年级下·全国·期中）根据题意列出方程（不必求解）： (1)某班到离校的国家森林公园春游．先坐车，速度为，下车后以的速度步行到达目的地，共花了．问：他们步行了多少时间？ (2)某车间接到一批小家电组装任务，原计划每天组装36台，预计若干天完成．在组装了任务的三分之一后，调整工序，改进操作技术，工效提高了1倍，结果提前2天完成任务．求这次组装小家电的总台数． 【答案】(1)设步行时间为，所列方程为 (2)设组装小家电的总台数为台，所列方程为 【分析】（1）设步行时间为，根据“坐车路程+步行路程=总路程”列出方程； （2）设组装小家电的总台数为台，根据“原计划完成总任务所需的天数-实际完成总任务所需的天数=提前的天数（2天）”列出方程． 【详解】（1）略 （2）略 2．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）某市为建设市民河堤漫步休闲通道，现有一段长为180米的河堤整治任务由A、B两个工程队先后接力完成，A工程队每天整治12米，B工程队每天整治8米，共用时20天完成． (1)根据题意，甲、乙两个同学分别列出方程如下： 甲：； 乙： 根据甲、乙两名同学所列的方程，请你分别指出代数式表示的意义． 甲： x表示 ； 乙： x表示 ． (2)请你从甲、乙两位同学的解答思路中，选择一种你喜欢的思路，求A、B两工程队分别整治河堤的长度．（写出完整的解答过程） 【答案】(1)A工程队用的天数；A工程队整治的米数 (2) 解：选择甲同学的解答过程为：， 解得， 所以A工程队整治的米数为：米，B工程队整治的米数为：米， 答：A工程队整治的米数60米，B工程队整治的米数120米． 选择乙同学的解答过程为：， 解得， 由题意可知A工程队整治的米数为60米，B工程队整治的米数为：米， 答：A工程队整治的米数60米，B工程队整治的米数120米． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解． （1）根据所列方程可得甲：，x表示A工程队用的天数； 乙：，x表示A工程队整治的米数； （2）求解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得：甲：，x表示A工程队用的天数； 乙：，x表示A工程队整治的米数． （2）略 题型十 销售盈亏问题 典例10（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）A、B两校决定联合购买一批篮球运动装备．市场调查发现，甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的篮球队服和篮球，已知每套队服比每个篮球多60元，两套队服与三个篮球的费用相等．经洽谈，甲商场优惠方案是：每购买十套队服，送一个篮球；乙商场优惠方案是：若购买队服超过80套，则购买的篮球打八折． (1)每套队服的价格为________元和每个篮球的价格为________元． (2)若联合购买120套队服和个篮球，请用含的式子分别表示到甲商场和乙商场购买装备所花的费用； (3)在（2）的条件下，若，假如你是本次购买任务的负责人，你认为到甲、乙哪家商场购买比较合算？ 【答案】(1)180，120 (2)甲商场费用为元，乙商场费用为元 (3)到甲商场购买比较合算 【分析】（1）设未知数，根据题干给出的等量关系列一元一次方程求解； （2）根据甲、乙商场各自的优惠方案，分别计算总费用，整理得到含的代数式； （3）将代入两个代数式求值，比较大小即可判断哪家更合算． 【详解】（1）解：设每个篮球的价格是元，则每套队服的价格是元， 根据题意得， 解得， 则， 答：每套队服180元，每个篮球120元； （2）解：到甲商场购买，购买120套队服赠送 个篮球， 总费用为： 元； 到乙商场购买，队服超过80套，篮球打八折， 总费用为： 元； （3）解：将代入两个代数式， 甲商场费用： (元)， 乙商场费用： (元)， ， 到甲商场购买比较合算． 迁移应用 1．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）惠山区“社区便民市集”筹备期间，某厂家计划采购甲、乙两种日用品．已知甲日用品的每件进价比乙日用品的每件进价少20元．若采购甲种日用品5件，乙种日用品3件，共需要700元． (1)求甲、乙两种日用品的每件进价分别是多少元？ (2)该采购商从批发商处采购了甲种日用品3万件、乙种日用品2万件．在市集售卖时，甲种日用品的每件售价为100元，要使得这5万件日用品所获利润率为，求每件乙种日用品的售价是多少元？ 【答案】(1)甲种日用品的进价80元，则乙种日用品的进价100元 (2)每件乙种日用品的售价是114元 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用： （1）设甲种日用品的进价x元，则乙种日用品的进价元，根据采购甲种日用品5件，乙种日用品3件，共需要700元，列出方程进行求解即可； （2）设乙种日用品的售价为a元，根据总利润等于两种日用品的利润之和，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设甲种日用品的进价x元，则乙种日用品的进价元， 根据题意，得． 解得． 则． 答：甲种日用品的进价80元，则乙种日用品的进价100元； （2）解：设乙种日用品的售价为a元， 根据题意，得． 解得． 答：每件乙种日用品的售价是114元． 2．（25-26七年级上·江苏南通·期中）平价商场经销的甲，乙两种商品，甲种商品每件售价98元，利润率为；乙种商品每件进价80元，售价128元． (1)求甲种商品每件的进价；（利润率） (2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为3800元，求购进甲、乙两种商品各多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场只对乙种商品进行如下表的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 小于等于480元 不优惠 超过480元，但不超过680元 其中480元不打折，超过480元的部分给予6折优惠 超过680元 按购物总额给予7.5折优惠 按表的优惠条件，若小华一次性购买乙种商品实际付款576元，求小华在该商场购买乙种商品多少件？ 【答案】(1)甲种商品的进价为70元； (2)该商场购进甲种商品20件，乙种商品30件． (3)小华在该商场购买乙种商品5或6件． 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，确定等量关系是解本题的关键． （1）根据售价减去进价等于利润，再建立方程求解即可； （2）设该商场购进乙种商品件，根据总进价为3800元，再建立方程求解即可； （3）设小华在该商场购买乙种商品件，再分两种情况讨论：①当超过480元，但不超过680元时， ②当超过680元时，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设甲种商品的进价为元，则 ． 解得． 即甲种商品每件进价为 70元； （2）解：设该商场购进乙种商品件，则购进甲种商品件，根据题意可得： ， 解得：，则（件）； 答：该商场购进甲种商品件，乙种商品30件． （3）解：设小华在该商场购买乙种商品件，根据题意，得： ①当超过480元，但不超过680元时，， 解得， 当时，购物总金额为元，满足的条件，符合题意； ②当超过680元时，， 解得， 当时，购物总金额为元，满足的条件，符合题意； 答：小华在该商场购买乙种商品5或6件． 题型十一 方案问题 典例11（25-26七年级下·江苏扬州·期中）商店A型号笔记本电脑的售价是1000元/台，最近，该商店对A型号笔记本电脑举行促销活动，有两种优惠方案，方案一：每台按售价的九折销售：方案二：若购买量不超过5台，每台按售价销售；若购买量超过5台，则超过的部分每台按售价的八折销售．某公司一次性从友谊商店购买A型号笔记本电脑台． (1)当时，选择哪种方案可使该公司购买费用最少？最少费用是多少元？ (2)若该公司采购时发现，不论选哪种方案价格都一样，请问该公司买了几台电脑？ 【答案】(1)选方案一，最少费用为7200元 (2)10台 【分析】（1）根据两个方案的优惠政策，分别求出购买8台所需费用，比较后即可得出结论； （2）根据购买台时，分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：设购买型号笔记本电脑台时的费用为元， 当时， 方案一：， 方案二：， ∵， 当时，应选择方案一，该公司购买费用最少，最少费用是7200元； （2）解：①若时： 方案一：；方案二：； 此时不相等； ②若时： 方案一：；方案二： 令 解得 答：该公司买了10台． 迁移应用 1．（25-26九年级下·北京·期中）某新能源电池厂有55台专用设备，用于生产两种核心零件：正极片和负极片．按照每台设备每天生产的合格的正、负极片的效率分为以下三类： 类别 正极片（片/台） 负极片（片/台） 设备数量（台） 甲类 20 200 15 乙类 12 100 20 丙类 8 70 20 每台设备每天只能生产一种零件．已知每1片正极片需要搭配4片负极片才能组装成一个完整电池． （1）若只由甲类专用设备工作，则一天最多可生产________个电池； （2）若55台专用设备都在工作，则一天最多可生产________个电池． 【答案】 200 500 【分析】（1）设甲类设备台生产正极片，剩余生产负极片，根据正极片与负极片的配套关系列式，取整数验证得到最多生产电池数； （2）先三类设备的正极片与负极片的效率比，确定乙类和丙类设备在生产正极片上具有比较优势，故可安排乙、丙类设备全部生产正极片，再用甲类设备进行调节以实现零件数量匹配，即设台甲类设备生产正极片，其余生产负极片，通过列方程求解可得最大生产数量． 【详解】解：（1）甲类设备共台，设台生产正极片，则台生产负极片， 可得正极片数量为，负极片数量为 . 根据每片正极片搭配片负极片，得 解得， 当时，正极片数量为，负极片数量为 ， 可组装电池个，剩余负极片片． 当时，正极片数量为，负极片数量为 ， 仅可组装电池个，剩余正极片片． 因此只由甲类设备工作，一天最多生产个电池； （2）计算三类设备的正极片与负极片的效率比， 甲类：，乙类：，丙类： ， 根据效率比可知，乙类和丙类设备生产正极片的相对效率更高，故可安排乙类和丙类设备全部生产正极片，再用甲类设备进行调节以实现零件数量匹配， 设甲类有台生产正极片，则台生产负极片， 正极片总数量为： ， 负极片总数量为： ， 根据配套关系得： ，解得． 代入得正极片总数量为 ，负极片总数量为 ， 刚好满足 ，可组装个电池． 故55台专用设备都在工作，则一天最多可生产个电池． 2．（25-26七年级上·贵州遵义·期末）遵辣1号系贵州遵义虾子镇的特产辣椒品种，因其香辣浓郁、皮薄肉厚、色泽鲜亮、辣味纯正而著称．小温家种植了一片遵辣1号辣椒，每日需对辣椒进行采收并完成分拣装筐工作．据了解，每人每日能够采摘120千克辣椒或分拣装筐280千克辣椒．新鲜辣椒的售价为每千克8元，干辣椒的售价为每千克30元． (1)小温家雇佣了20名工人进行采摘和分拣装筐，每名工人一天只能做一项工作，不计其他因素，要使每天采摘的辣椒全部分拣装筐，应如何分配工人？ (2)一位商贩计划购买100千克的干辣椒和a千克（）新鲜辣椒．小温提供了两种优惠方案： 方案一：每买5千克的干辣椒，赠送3千克的新鲜辣椒； 方案二：每千克干辣椒和新鲜辣椒都按定价打九折付款． ①按购买方案一需支付费用______元；按购买方案二需支付费用______元；（请用含a的代数式表示） ②当a为何值时，两种购买方案的费用一样． 【答案】(1)有14名工人采摘，则有6名工人分拣装筐 (2)①；② 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，找出等量关系是解题的关键． （1）设有名工人采摘，则有名工人分拣装筐，根据采摘的数量等于分拣装筐的数量列方程即可； （2）①根据题意列代数式并化简即可； ②根据两种购买方案的费用一样建立方程，求解即可． 【详解】（1）解：设有名工人采摘，则有名工人分拣装筐，由题意得 解得， ， 答：有14名工人采摘，则有6名工人分拣装筐； （2）①方案一：（元）， 方案二：（元）； ②由题意得 解得． 题型十二 数字问题 典例12（26-27七年级上·江苏南京·期中）将连续的奇数1，3，5，7，9，…排成如图所示的数表，小明在数表上圈出了a，b，c，d四个数，并求出了它们的和为230．这4个数在数表中的排列位置可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可设各选项图形中最小一个数为x，根据各选项的数的位置，列出相应的方程进行求解，即可判断． 【详解】解：设各选项图形中最小一个数为x， 当这四个数是A的排列时，则有： 解得，不符合题意； 当这四个数是B的排列时，则有： 解得，符合题意； 当这四个数是C的排列时，则有： 解得，不符合题意； 当这四个数是D的排列时，则有： 解得，不符合题意． 迁移应用 1．（26-27七年级上·全国·期中）将连续的奇数1，3，5，7，9，…排成如图所示的数表． (1)十字形框中的五个数之和与中间数15有什么关系？ (2)设中间数为a，如何用代数式表示十字形框中五个数之和？ (3)若将十字形框上下左右移动，可框住另外五个数，这五个数还有上述的规律吗？ (4)十字形框中的五个数之和能等于2026吗？能等于2025吗？ 【答案】(1)五个数的和是15的5倍 (2) (3)有 (4)十字形框中的五个数之和不能等于2026，能等于2025 【分析】本题考查了探索数字的规律，解题的关键是能找出所给数据之间的规律． （1）把五个数相加，然后除以5，即可得出结论； （2）根据（1）的结论即可得； （3）令十字框中间数为b，根据题中所给十字框，可写出其余4个数，将这5个数相加即可得解； （4）用2026除以5，得2026不是5的倍数，则十字框中的五数之和不能为2026，用2025除以5，得2025是5的倍数，则可得十字框中的五数之和能为2025． 【详解】（1）解：，即五个数的和是15的5倍； （2）解：设中间数为a，则其余的4个数可以表示为： ，，，，则它们的和为； （3）解：设移动后中间数为b，则其余的4个数分别为，，，，由题意得，因此这五个数之和还是中间数的5倍； （4）解：由（3）知，十字框中五个数之和总为中间数的5倍， ∵， ∴2026不是5的倍数， ∴5个数的和不能是2026， ∵， ∴2025是5的倍数，且405在第三列， ∴5个数的和能等于2025． 2．（26-27七年级上·江苏南京·期中）【探究发现】 “河图洛书”是中国优秀传统文化的瑰宝，可转化为如图1所示的“三阶幻方”，每行、每列、每条对角线上数字之和都相等，这个和称为“幻方和”，最中间的数称为“中心数”． 【尝试运用】 (1)在图2所示的“三阶幻方”中，的值为_____； (2)如果将9个连续的正整数填入一个“三阶幻方”，使得“幻方和”是2025，那么这9个数中最小的数是______； (3)如图3，现将“幻方”稍作改进变成“幻圆”，将，4，，8，，，，分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两个正方形顶点处圈内4个数字之和都相等，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先找到中心数，计算“幻方和”，通过每行、每列、每条对角线上数字之和都相等的关系列等式求解即可． （2）设9个连续的正整数中最小的数为，按照“幻方和”的定义列方程求解即可． （3）由于“幻圆”的横、竖的和都相等，求得“幻圆和”后即可求出横、竖方向的和，进而可列方程求解及内正方形缺失的数，最后对剩余两个数进行判断即可． 【详解】（1）解：由题可知，中心数为， “幻方和”为， 第二行：，解得第二行第一个数为； 第一列：，解得第一行第一个数为； 第一行：，解得； 第三列：，解得； 故． （2）解：设9个连续正整数中最小的数为， 则个连续正整数依次为 ，，，，，，，，， 总和为 ， 三阶幻方有行，行全部数字相加就是个数的总和， 个数总和为， 则有， 解得． （3）解：个数的总和为， 且横、竖两组4个数的和相等， 每组的和为， 对横方向可列方程为： ， 解得， 已使用数字、、、、， 竖方向剩余数字为、、， 由于横、竖以及内外两个正方形顶点处圈内4个数字之和都相等， 已求得“幻圆”和为， 内正方形缺少的数为； 由于和外正方形上部这两个数同时位于竖向和外正方形上， 故或； 则， 或． 题型十三 几何问题 典例13（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）如图中的长方形被分割成6个正方形，中央的最小正方形的边长为，则长方形的面积是______． 【答案】1287 【分析】设正方形的边长为，根据图形和题干条件中央的最小正方形的边长为，可以依次表示正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，进而可以用字母表示长方形的边长，由矩形的对边相等，得到等量关系，最后求解面积即可． 【详解】解：设正方形的边长为，则正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为， 由题意得，， 解得，， 所以，． 迁移应用 1．（25-26七年级上·江苏南通·期末）“苏超”赛事热度飙升，足球迷小明萌生了动手制作足球场模型的想法，他准备用一根木棒搭建长方形的足球门框（靠地面的一边无需制作，只需搭建另外三边），他给出了下面两种方法： 方法：门框的长比宽的倍少； 方法：门框的长比宽的倍多． (1)若这两种方法设计的门框宽度相同，且所需木棒长度一致，求这根木棒的长度； (2)若木棒长度为，已知标准足球门框的长宽比为，你觉得这两种方法中，哪种方法设计的门框更贴近这一标准？请说明理由． 【答案】(1)木棒长为； (2)方法二设计合理，理由如下： 方法一：设门框的宽为， 由题意得： ， ∴， 此时，长宽比为； 方法二：设门框的宽为， 由题意得：， ， ∴， 此时，长宽比为， ∵方法二的长宽比与标准长宽比一致， ∴方法二设计的门框更贴近标准． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，读懂题意，列出方程是解题的关键． （）设门框的宽为，由题意得，然后解方程即可； （）由方法一：设门框的宽为，由题意得，求出的值，从而得出长宽比，由方法二：设门框的宽为，由题意得，求出的值，从而得出长宽比，从而求解． 【详解】（1）解：设门框的宽为， 由题意得： ∴， 答：木棒长为； （2）略． 2．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）阅读：将一个量用两种方法分别计算一次，由结果相同构造等式解决问题，这种思维方法称为“算两次”原理，又称“富比尼原理”，比如我们常用的等积法是其中的一种．如图，在长方形中，，，是的中点，动点从点出发，以每秒的速度沿点运动、最终到达点．若点运动的时间为，则当______时，． 【答案】或 【分析】本题考查三角形的面积,一元一次方程的应用．分为三种情况：画出图形，根据三角形的面积求出每种情况即可． 【详解】解：①如图1， 当在上时， 的面积等于， ， ； ②当在上时，如图2， 的面积等于， ， ， ； ③当在上时，如图3， ， ，而，，不符合题意，舍去； 故答案为：或6． 题型十四 动点问题 典例14（26-27七年级上·江苏常州·期中）如图，在数轴上点A表示的数为20，点B表示的数为，点O是数轴原点．点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度，向数轴的正方向匀速运动；同时点Q从点A出发，以每秒2个单位长度的速度，向点B运动，到达点B后立即按原速返回向数轴的正方向匀速运动，设运动时间为t秒，根据以上情景回答下列问题： (1)线段的长为___________，点P所表示的数___________．（用含t的式子表示）； (2)当t为何值时，点P，Q重合？ (3)当点P，Q之间的距离是3时，求出点Q表示的数？ 【答案】(1)27； (2)9或27 (3)4或0或14或26 【分析】（1）利用数轴两点距离公式求长，由速度时间得长，结合起点得P点坐标； （2）分Q向B运动､返回两阶段，列坐标相等方程求重合时间； （3）分阶段列距离方程求t，代入Q坐标表达式得结果． 【详解】（1）解：∵点A表示的数为20，点B表示的数为， ∴线段的长为， ∵点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度，向数轴的正方向匀速运动， ∴的长为t，点P所表示的数； （2）解：∵点Q从点A出发，以每秒2个单位长度的速度，向点B运动， ∴点Q到达B点之前所表示的数为，点Q到达B点之后所表示的数为， 当点Q到达B点之前，， 解得； 当点Q到达B点之后，， 解得； 答：当或27时，点P，Q重合； （3）解：分以下四种情况讨论： 当点Q到达点B之前，点P、Q相遇之前时：， 解得：， 此时点Q表示的数是4； 当点Q到达点B之前，点P、Q相遇之后时：， 解得：， 此时Q表示的数是0； 当点Q到达点B之后，点Q追上点P之前时：， 解得：， 此时Q表示的数是14； 当点Q到达点B之后，点Q追上点P之后时：， 解得：， 此时Q表示的数是26； 答：当点P，Q之间的距离是3时，点Q表示的数是4或0或14或26． 迁移应用 1．（26-27七年级上·江苏泰州·期中）华罗庚先生说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”． 【知识储备】 点M、N在数轴上分别表示有理数m、n，则M、N两点之间的距离可表示为． 【初步运用】 (1)数轴上表示与4的两点之间的距离为_________； (2)已知数轴上某个点表示的数为x． ①若，则_________； ②若，则_________； 【深入探究】 (3)如果点A表示，点B表示，点C表示4，点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向右运动，运动时间为t秒． ①在运动过程中，点P表示的数是_________； ②当点P到点B的距离与点P到点C的距离之和时，求t的值； ③若数轴上有另一动点Q，Q表示的数为x，且的最小值为12，直接写出取得最小值时t和x的值． 【答案】(1)7 (2)①3或 ②1 (3)① ②t的值为或 ③， 【分析】（1）直接套用数轴上两点之间的距离公式； （2）①为绝对值等于定值的方程，需按绝对值内式子取正、取负两种情况求解； ②利用“到两定点距离相等的点为这两点的中点”求解； （3）①分析点P的运动规律，然后推导出点P表示的数； ②当点P在B、C之间（包括B、C）时， 取得最小值，判断是否满足；然后分点P在点B左侧、点P在点C右侧两种情况讨论，分别表示出、，列方程求解即可； ③明确当Q点落在A、B两点之间时，取到最小值，得最小值为8，此时P点在B点右侧，当Q和B点重合时，最小，计算出此时t的值． 【详解】（1）解：数轴上表示与4的两点之间的距离为． （2）①由，得或，解得或； ②表示数x到与到5的距离相等，故x为与5的中点， ． （3）①点P从表示的点A出发，每秒向右运动2个单位长度，t秒后运动的总长度为个单位长度，；数轴上向右运动时，对应的数会增大，因此点P表示的数为初始位置对应的数加上运动的长度，即． ②当点P在B、C之间（包括B、C）时，，这是的最小值，题目中，因此点P不在B、C之间，分两种情况讨论： 情况1：点P在点B左侧 此时点P表示的数小于，即，解得， 因此：，， 根据列方程： 解得， 满足，符合条件； 情况2：点P在点C右侧 此时点P表示的数大于4，即，解得， 因此：，， 根据列方程： 解得， 满足，符合条件； 综上，t的值为或． ③根据绝对值的几何意义，的最小值就是线段的长度：，当且仅当Q点落在A、B两点之间（包含端点）时，取到最小值4，此时的最小值等价于的最小值，题目要求总和最小值为12，所以的最小值为8； 因为点P从A点向右运动，当P点在B点右侧时，Q在区间内，的最小值就是P到点B的距离，也就是当Q和B点重合时，最小，即，解得，此时Q点为． 2．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）如图，在长方形中，．点从点出发沿的方向以每秒3个单位速度匀速运动，点从点出发沿的方向以每秒1个单位速度匀速运动．两点同时出发，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设两点运动时间为（秒），当直线把长方形面积分成相等的两部分时，的值为（    ） A．或 B．或5 C．或5 D．或 【答案】B 【分析】根据题意可得，则可推出，据此分两种情况：和，分别建立方程求解即可． 【详解】解：∵直线把长方形面积分成相等的两部分， ∴， ∴， 又∵， ∴； 当时，则，解得； 当时，则，解得； 综上所述，t的值为或5． 题型十五 水电费问题 典例15（26-27七年级上·江苏泰州·期中）为引导居民错峰用电，某市对居民生活用电实行峰谷分时电价： 峰时段（）电价为元/千瓦时； 谷时段（—次日）电价为元/千瓦时． (1)小明家6月份用电150千瓦时，若全部按谷时段电价计算，应付电费__________元； (2)小明家7月份共用电210千瓦时，其中峰时段用电x千瓦时，用含x的代数式表示7月份应付的电费，并化简； (3)若小明家7月份共付电费95.8元，求7月份峰时段、谷时段各用电多少千瓦时． 【答案】(1)57 (2)元 (3)峰时段80千瓦时，谷时段130千瓦时 【分析】（1）将谷时段的电价乘以用电量即可； （2）根据“总电费=峰时段电费+谷时段电费”列式并化简； （3）结合（2）求出峰时段的用电量，再将总电量210千瓦时减去峰时段的用电量即可求出谷时段的用电量． 【详解】（1）解：（元）， 答：应付电费57元． （2）解：峰时段用电x千瓦时，则谷时段用电千瓦时， 所以7月份应付电费为（元）． （3）解：由（2）可得，解得． 谷时段用电（千瓦时）． 答：7月份峰时段用电80千瓦时，谷时段用电130千瓦时． 迁移应用 1．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）某市从5月1日起对居民用电试行“阶梯电价”收费，具体收费标准如下． 每户居民用电量的范围 电费价格（单位：元/度） 不超过150度的部分 0.6 超过150度，但不超过300度的部分 超过300度的部分 5月份该市居民甲用电200度，缴纳电费122.5元；居民乙用电350度，缴纳电费232.5元． (1)表中 ； ． (2)李老师缴纳5月份的电费后发现，他家该月平均电价实际为每度0.62元，你知道李老师家5月份用电多少度吗？ 【答案】(1)； (2)李老师家5月份用电度 【详解】（1）解：根据题意得 （元）， ； （元/度）， ； （2）解：设李老师家5月份用电度， （元/度）， ， ， 列方程得， 解得， 答：李老师家5月份用电度． 2．（25-26七年级下·湖南衡阳·期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的．该市自来水收费价格见价目表．（注：水费按月结算） 价目表 每月用水量 单价 不超出的部分 2元 超出，不超出的部分 3元 超出的部分 4元 (1)若某户居民2月份用水4立方米，则应缴纳水费______元； (2)若某户居民3月份用水立方米，则该户居民3月份应缴纳水费多少元（用含的代数式表示，并化成最简形式）？ (3)若某户居民4，5月份共用水15立方米（5月份用水量多于4月份），合计缴纳水费34元，求该户居民5月份用水多少？ 【答案】(1) (2)元 (3) 【分析】由题中价目表，分段讨论求解即可． 【详解】（1）解：由价目表可知，当时，则应缴纳水费元； （2）解：由价目表可知，当用水立方米时，则应缴纳水费元； （3）解：设该户居民5月份用水，则4月份用水， 5月份用水量多于4月份， ，即 则由价目表可知，分三种情况： ①5月份用水超出且不超出，4月份用水不超出，则 ， 解得； ②5月份用水超出且不超出，4月份用水超出且不超出，则 ， 方程无解，不符合题意； ③5月份用水超出，4月份用水不超出，则 ， 解得，与条件矛盾，不符合题意； 综上所述，该户居民5月份用水． 题型十六 和差倍分问题 典例16（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）把一堆书分给几名学生，如果每人分到4本，那么多4本；如果每人分到5本，那么最后1名学生只分到3本．可以得到一共有___________本书． 【答案】 【分析】设一共有名学生，用含x的式子和表示总书本数，根据总书本数相等列出方程，求解即可． 【详解】解：设一共有名学生， 根据题意得，， 解得， ， 则一共有本书． 迁移应用 1．（25-26七年级上·江苏南通·期中）阳光小学购买了一批红色跳绳和蓝色跳绳，数量的比是∶．学校给每个班级发放根红色跳绳和根蓝色跳绳，结果蓝色跳绳刚好发完，红色跳绳还剩下根．学校买来红色跳绳______根，蓝色跳绳______根． 【答案】 288 1008 【分析】设学校共有个班级，根据发放规则分别表示出红色跳绳与蓝色跳绳的总数量，再结合两种跳绳的数量比列出一元一次方程，求解得到班级数后，即可计算两种跳绳的原有数量． 【详解】设学校共有个班级． 由题意得 红色跳绳总数量为，蓝色跳绳总数量为． 已知红色跳绳与蓝色跳绳数量比为，可得方程 ， 解得， ∴红色跳绳数量为根，蓝色跳绳数量为根． 2．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）（列方程解应用题）七年级一班共有学生50人，其中男生人数比女生人数的2倍还少19人，劳技课上，老师组织同学们自己动手设计制作收纳盒，每名学生一节课能做盒身11个或盒底22个． (1)七年级一班有男生和女生各多少人？ (2)原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配2个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 【答案】(1)男生27人，女生23人 (2)2名 【分析】（1）根据班级总人数和男生与女生的数量关系列一元一次方程求解即可； （2）根据配套要求，盒底数量是盒身数量的2倍，列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：设七年级一班女生人数为人，则男生人数为 人， 根据题意，得 ， 解得， 则 ， 答：七年级一班有男生27人，女生23人； （2）解：设有名男生去支援女生，支援后，做盒身的人数为 人，做盒底的人数为 人， 盒身总数为 个，盒底总数为 个， 根据配套关系，得 ， 解得， 答：有2名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 题型十七 古代问题 典例17（2026·江苏南通·中考真题）我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”大意为：用一根绳子去量一根木头，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，木头剩余1尺，问木头长多少尺？设木头长尺，则可列一元一次方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以绳长固定不变为等量关系，分别表示两种量法下的绳长即可列方程． 【详解】解：∵ 用整根绳子量木头，绳子剩余4.5尺， ∴ 绳长为尺． ∵ 将绳子对折后量木头，木头剩余1尺，即对折后绳长比木长短1尺， ∴ 对折后绳长为尺，整根绳长为尺． ∵ 绳长固定不变， ∴ ． 迁移应用 1．（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？其大意是：每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人无车坐．问人数和车数各多少？设车辆，根据题意，可列出的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】抓住总人数不变的等量关系列方程． 【详解】解：设车有辆． 每车坐3人且两车空时，总人数为． 每车坐2人且9人无车坐时，总人数为． 由总人数相等得． 2．（25-26七年级下·福建泉州·期中）列方程解决问题： 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩，不知有多少人和竹竿，每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿．”求共有多少个牧童？ 【答案】8个 【详解】解：设有x个牧童， 依题意得：， 解得． 经检验，符合题意． 答：共有8个牧童． 题型十八 一元一次方程新定义问题 典例18（25-26七年级上·江苏镇江·期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个解的差为3，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，则关于y的一元一次方程的解为________． 【答案】(1)6 (2)或 (3)2025 【分析】本题考查了一元一次方程的解，利用“美好方程”的定义找到方程解的关系是解题的关键． （1）先表示两个方程的解，再根据“美好方程”的定义求解即可； （2）根据条件可得“美好方程”的另一个解为，再由 “美好方程”的两个解的差为3，建立关于n的方程，再求解； （3）求出方程的解为，再根据“美好方程”的定义，可得是方程的解，再把方程变形为，可得到，即可求解． 【详解】（1）解：解方程得， 解方程得， ∵方程与方程是“美好方程”， ∴， 解得； （2）解：∵“美好方程”的一个解为n， ∴“美好方程”的另一个解为， ∵“美好方程”的两个解的差为3， ∴， ∴或， 解得或； （3）解：解方程得， ∵方程和是“美好方程”， ∴是方程的解， ∵方程可变形为， ∴， ∴． 迁移应用 1．（25-26七年级上·江西吉安·期中）我们规定关于x的一元一次方程的解为，则称该方程是“差解方程”，例如：的解为，则该方程就是“差解方程”，请根据上述规定解答下列问题： 【定义理解】 (1)判断：方程________差解方程；（填“是”或“不是”） (2)若关于x的一元一次方程是“差解方程”，求m的值； (3)已知关于x的一元一次方程和n都是“差解方程”，求代数式的值． 【答案】(1)是 (2) (3)0 【分析】此题考查了方程的解和解一元一次方程、求代数式的值，整体代入和正确理解新定义是解题的关键． （1）根据差解方程的定义进行验证即可； （2）根据差解方程的定义得到，即可得到答案； （3）根据差解方程的定义分别求出，，整体代入即可求出答案． 【详解】（1）解：∵的解是， ∴方程是“差解方程”， 故答案为：是； （2）∵是“差解方程”， ， ； （3）是“差解方程”， ， ， ， 是“差解方程”， ， ， ， ． 2．（25-26七年级上·云南德宏·期末）【定义】若关于的一元一次方程的解满足，则称该方程为“友好方程”，例如，方程的解为，因为，所以有：，即，则方程为“友好方程”． 【运用】 (1)①，②，③三个方程中，为“友好方程”的是 （填写序号）； (2)若关于的一元一次方程是“友好方程”，求的值； (3)若关于的一元一次方程是“友好方程”，且它的解为，求与的值． 【答案】(1)① (2) (3)， 【分析】本题考查了一元一次方程的解，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键． （1）先根据等式的性质求出每个方程的解，再根据“友好方程”的定义逐个判断即可； （2）先根据等式的性质求出方程的解，再根据“友好方程”的定义得出，再求出即可； （3）先把代入方程，求出，求出，依题意得出，再求出答案即可． 【详解】（1）解：①， ， ， ①为“友好方程”； ②， ， ， ②不是“友好方程”； ③， ， ， ③不是“友好方程”． 故答案为：①； （2）解：， 解得：， 关于的一元一次方程是“友好方程”， ， ， ， ， ； （3）解：是关于的一元一次方程的解， ， 解得：， 依题意得：，， ， ， ． 基础固本练（限时：15分钟） 1．（26-27七年级上·江苏泰州·期中）根据等式的基本性质，如果，那么下列变形中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A是等式两边同减5，C是等式两边同除以3，D是等式两边同乘，所得结果都是等式，变形正确． B中由只能得到，不能得到，故B选项变形错误． 2．（26-27七年级上·江苏扬州·期中）若是关于的一元一次方程的解，则的值为（     ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【分析】无需分别求出,的值，利用整体代入法计算.． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程的解， ∴， ∴． 3．（2026·浙江温州·二模）解方程，以下去分母正确的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分母2和3的最小公倍数为6，去分母时需方程两边每一项同乘6，不可漏乘常数项． 【详解】解：方程两边同乘以6， 得． 4．（2026·江苏盐城·二模）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“隔墙听得客分鹿，不知人数不知鹿．每人六只多六只，每人七只少七只．请问诸君能算者，几人分鹿几头鹿？．”其大意是：“隔墙听见客人分鹿，不知道人数和鹿数；每人分6只，多6只；每人分7只，少7只．求人数和鹿数．”若设有客人，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用鹿的总数量不变，根据两种分鹿情况分别表示出鹿的总数，列出等式即可求解． 【详解】解：∵设有客人，鹿的总数量不变 每人分只多只，可得鹿的总数量为 每人分只少只，可得鹿的总数量为 ∴根据鹿的总数相等，可列方程 5．（25-26七年级下·海南海口·期中）下列方程的变形中，正确的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】D 【详解】解：A、由，得，原式变形错误，不符合题意； B、由，得，原式变形错误，不符合题意； C、由，得，原式变形错误，不符合题意； D、由，得，变形正确，符合题意． 6．（26-27七年级上·江苏泰州·期中）若是关于的方程的解，则的值为__________． 【答案】 【分析】把代入，解关于的一元一次方程，求出的值即可． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴，即， 移项得，， 解得． 7．（26-27七年级上·江苏淮安·期中）将数轴上一点P先向右移动2个单位长度，再向左移动5个单位长度，此时它表示的数是4，则原来点P表示的数是_________． 【答案】 【分析】设原来点P表示的数为，根据数轴上点移动的变化规律，右移数值加，左移数值减，列方程求解． 【详解】解：设原来点表示的数为，根据题意得： 解得 ． 即原来点表示的数是． 8．（25-26六年级下·上海普陀·期末）把方程变形为用含有的式子表示，得_____________． 【答案】 【详解】解： ∴ 9．（2026·陕西咸阳·模拟预测）为响应环保倡议，某班级收集废旧饮料瓶并售卖，所得资金用于购买售价为3元/卷的环保垃圾袋．若除去运费20元后，剩余的钱恰好能买40卷环保垃圾袋，则资金总额为________元． 【答案】 【分析】本题先找出等量关系，资金总额减去运费等于购买卷环保垃圾袋的总费用，设未知数列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设资金总额为元. 根据题意列方程得 整理得 解得 ． 10．（25-26七年级下·山东泰安·期中）若与的解相同，则的值为__________． 【答案】 【分析】先解方程得到的值，再将的值代入 ，即可求解得到的值． 【详解】解：解一元一次方程， 去分母得：， 移项合并同类项得：， 系数化为得：， 将代入， 得：， 移项合并同类项得：， 系数化为得：． 11．（26-27七年级上·江苏泰州·期中）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 （2） 去分母（两边同乘 6），得； 去括号，得 合并同类项，得 移项，得 系数化为1，． 12．（25-26七年级上·陕西安康·期末）已知代数式是关于的一次多项式，若关于的一元一次方程的解是，求的值 【答案】 【分析】本题主要考查了已知一元一次方程的解求参数，多项式的次数，解题的关键是理解题意．根据代数式是关于的一次多项式，得出，把代入方程，解关于k的方程即可． 【详解】解：因为代数式是关于的一次多项式， 所以， 把代入方程中， 可得：， 解得：． 13．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了3小时；从乙码头返回甲码头逆流而行，用了5小时．已知船在静水中的速度是8千米/时，则水流的速度是多少？ 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设水流速度是，则这艘船顺流的速度是，逆流的速度是，根据路程等于速度乘以时间，以及来回路程相等，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设水流速度是，则这艘船顺流的速度是，逆流的速度是， 根据题意得：， 解得：． 答：水流速度是． 14．（25-26七年级上·江苏徐州·期末）一张长方形纸片，经过n次裁剪（每次沿直线剪去一个正方形），若剩下的图形为正方形，则称该长方形为“n阶奇异长方形”． 例如：图1为“1阶奇异长方形”（①、②为正方形）； 图2的2个图形均为“2阶奇异长方形”（③、④、⑤、⑥、⑦、⑧为正方形）． 设“n阶奇异长方形”的长为a，宽为． (1)若，则图1中b的值为______，图2中b的值为______与______； (2)若图3为“4阶奇异长方形”，则的值为______； (3)若，，则b的值为______（写出所有可能的结果）． 【答案】(1)3；2，4； (2)； (3)5，8，12，15 【分析】本题主要考查代数式的运用，一元一次方程的运用，理解图示，掌握代数式的运用，一元一次方程的计算是关键． （1）结合图形，由正方形的性质列式求解即可； （2）根据题意，设右上方的小正方形的边长为，由此得到，由此即可求解； （3）根据题意，分别画出3阶奇异长方形，结合图形列式求解即可． 【详解】（1）解：图1中，， ∴， 图2中，左边的图，， ∴， 右边的图，， ∴， 解得，， 故答案为：，，； （2）解：如图所示， 设右上方的小正方形的边长为， ∴，， 即， ∴， 故答案为：； （3）解：如图所示， ∴； 如图所示， ∴， 解得，； 如图所示， 设右上角的小正方形的边长为， ∴， ∴； 如图所示， 设右上角的小正方形的边长为， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，b的值为，，，． 15．（25-26七年级上·江苏常州·期中）按照图1所示方法，可以用平行四边形框出月历中的4个数． (1)若框出的4个数中左下角的数为（如图）则这4个数的和为______；（用含有x的代数式表示，需化简） (2)当时，求（1）中代数式的值； (3)在图1的月历中，按照图1的框法，能否框出4个数的和为．若能，求出这4个数；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)46 (3) 不能，理由如下： 假设按照图1的框法，能框出4个数的和为40， 根据题意得： 解得：， 由于不是整数， 则不符合题意， 因此，假设不成立， 即按照图1的框法，不能框出4个数的和为． 【分析】本题考查一元一次方程的应用，熟练根据已知条件列出方程是解题的关键． （1）根据题意得出，另外3个数分别为，，，计算四个数的和即可； （2）代入，求出的值即可； （3）假设按照图1的框法，能框出4个数的和为40，可列出方程，解出的值，进行判断即可． 【详解】（1）解：若框出的4个数中左下角的数为x，则另外3个数分别为，，， 因此，这4个数的和为 故答案为：； （2）解：当时，； （3）略 综合进阶练（限时：20分钟） 16．（26-27七年级上·江苏徐州·期中）若，且，则的值是（     ） A．2 B．0 C．2或0 D．或0 【答案】B 【分析】先求解绝对值方程得到x、y的所有可能取值，结合筛选出符合条件的x、y，再计算的值． 【详解】解：∵， ∴或，解得或， ∵， ∴或，解得或， ∵即， ∴当时，且，均不符合，舍去； 当时，仅满足， ∴，， ∴． 17．（26-27七年级上·江苏盐城·期中）我国古代的《洛书》中记载了最早的三阶幻方九宫图，如图所示的幻方中，每一横行、每一竖列以及每条对角线上的数字之和都相等，则a的值为（     ） 0 a 1 A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】设右上角的数字为，根据每一横行、每一竖列以及每条对角线上的数字之和都相等列方程并解方程即可． 【详解】解：设右上角的数字为， ∵每一横行、每一竖列以及每条对角线上的数字之和都相等， ∴ 解得． 18．（26-27七年级上·江苏南通·期中）幻方最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等，则（    ） 2 7 8 A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】以三个数均已知的对角线为突破口，先求幻和，再依次计算、的值，最后求． 【详解】解：幻和为． ∵第三列三个数之和等于幻和， ∴， ∴． ∵左上到右下的对角线上三个数之和等于幻和， ∴， ∴． ∴． 19．（25-26七年级下·江苏南通·期中）如图，将一个长为，宽为的长方形沿虚线剪开，拼接成为一个缺角（也是一个小正方形）的大正方形，则缺少的这个小正方形的边长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据大正方形的边长都相等，，列出，再整理，即可作答． 【详解】解：依题意，得 设去掉的小正方形的边长为， ∵大正方形的边长都相等， 则， 解得：， 20．（25-26七年级下·山东淄博·期末）若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题利用换元思路，通过变形第一个方程，使两个方程结构一致，得到与的对应关系，结合已知的解即可求出的值． 【详解】解：∵关于的一元一次方程的解为 将方程变形，把改写为，把改写为， 代入原方程得 两边同时加，得 对比关于的方程， 可得 ∵ ∴． 21．（26-27七年级上·江苏无锡·期中）点A在数轴上表示的数是．若点B与点A的距离是4，则点B在数轴上表示的数为___________． 【答案】或 【分析】点B的位置有两种可能，分别在点A的左侧和右侧，根据两点间距离计算对应数值即可． 【详解】解：设点在数轴上表示的数为， 点表示的数为，点与点的距离是， 可得，即， 当点在点右侧时，，解得； 当点在点左侧时，，解得， 点在数轴上表示的数为或． 22．（26-27七年级上·江苏徐州·期中）如图，1个和4个叠在一起的杯子放在刻度尺的两侧，刻度尺的0刻度线与两叠杯子底面平齐，左右两叠杯子上边缘对应刻度尺上的读数分别是和，若多个杯子叠放一起的总高度是，则杯子的个数为_______． 【答案】13 【分析】利用高度差求出每增加一个杯子的高度增量，建立方程求解． 【详解】解：由题意及图片可知，1个杯子的高度为，4个杯子的高度为 每增加一个杯子，高度增加 设杯子的个数为， 根据题意得， ， ， ， 故杯子的个数为13． 23．（25-26六年级下·上海·期末）阅读以下内容： 我们已经学习过了分数的拆分，例如，…， 通过分数的拆分，我们也能进行一些简便运算，例如： 通过分数的拆分，可以使计算变得更简便． 类似地，解方程，这个方程的解是________． 【答案】 【分析】先提取后，根据题目信息拆分方程左边各项，抵消中间项，将原方程化简为一元一次方程求解． 【详解】解： ． 24．（25-26七年级上·广东深圳·期末）为了庆祝劳动节，宣扬劳动光荣的中华民族优秀传统，某网店为了吸引顾客，推出下列优惠措施，受到顾客的好评．优惠措施如下： 购物款不超过200元不享受优惠； 购物款超过200元但不超过600元一律享受九折优惠； 购物款超过600元一律享受八折优惠， 某顾客第一次从该网店购物花了168元人民币，第二天又花了423元从该网店购物，如果该顾客一次性购买以上商品，可以节省_____元 【答案】80.6 【分析】先确定第一次购物的原价，再确定第二次购物的原价，分、两种情况分别计算出购买的实际款数，然后计算两次购物原价总和，判断总和对应的优惠档位，按照对应折扣算出一次性购买的应付款，用两次分开购买的总付款减去一次性购买的应付款，得到节省的金额． 【详解】解：（1）第一次购物显然没有超过200元，即在第一次消费168元的情况下，他的实质购物价值只能是168元． （2）第二次购物消费423元，则可能有两种情况，这两种情况下付款方式不同（折扣率不同）： ①第一种情况：他消费超过200元但不足600元，这时候他是按照9折付款的． 设第二次实质购物价值为，那么依题意有， 解得：． ②第二种情况：他消费超过600元，这时候他是按照8折付款的． 设第二次实质购物价值为，那么依题意有， 解得：（舍去） 即在第二次消费423元的情况下，他的实际购物价值可能是470元． 综上所述，他两次购物的实质价值为（元），超过了600元． 因此一次性购买可以按照8折付款：（元），（元） 综上所述，他可以节省80.6元． 25．（25-26七年级下·河南南阳·期中）如图，在长方形中，，E是的中点，动点P从D点出发，以每秒的速度沿运动，最终到达点E．若点P运动的时间为x秒，那么当的面积等于时，x的值为______． 【答案】4或 【分析】分三种情况：当点P在边上，当点P在边上时，当点P在边上时，解答即可． 【详解】解：∵在长方形中，， ∴， ∵E是的中点， ∴， 当点P在边上，，则，此时， ， ∵的面积等于 ∴， 解得：； 当点P在边上时，，此时， ， ∵的面积等于 ∴， 解得：； 当点P在边上时，，此时， ， ∵的面积等于 ∴， 解得：（不符合题意）； 综上所述，x的值为4或． 26．（26-27七年级上·江苏扬州·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 27．（25-26七年级上·广东湛江·期中）已知关于的方程． (1)若，求该方程的解； (2)若是方程的解，求的值； (3)某同学在解该方程时，误将“”看成了“”，得到方程的解为，求的值； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）依据题意得，当时，方程为，求解即可； （2）依据题意，由是方程的解，得，解关于的方程，再将的值代入计算即可； （3）依据题意，由误将“”看成了“”，得到方程的解为，可得，再解关于的方程即可； 【详解】（1）解：当时，方程为， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴； （2）解：∵是方程的解， ∴， ∴ ， ∴ ， 解得：， ∴ ， ∴的值为； （3）解：∵误将“”看成了“”，得到方程的解为， ∴是方程的解， ∴， 解得：， ∴的值为． 28．（26-27七年级上·安徽·期中）小方家的住房户型呈长方形，平面图如下（单位：米）． 现准备铺设地面，三间卧室铺设木地板，其他区域铺设地砖． (1)求a的值； (2)铺设地面需要木地板和地砖各多少平方米？（用含x的代数式表示） (3)按市场价格，木地板单价为320元/平方米，地砖单价为200元/平方米．装修公司有A，B两种活动方案，如表所示：已知：，则小方家应选择哪种活动方案，使铺设地面总费用（含材料费及安装费）较低？ 活动方案 木地板价格 地砖价格 总安装费 A 8折 8.5折 2000元 B 9折 8.5折 免收 【答案】(1)3 (2)铺设地面需要木地板：平方米；铺设地面需要地砖：平方米 (3)方案B 【分析】（1）根据长方形的对边相等可得，即可求出a的值； （2）根据三间卧室铺设木地板，其它区域铺设地砖，可知三间卧室的面积的和为木地板的面积，用长方形的面积-三间卧室的面积，所得的差为地砖的面积； （3）将分别代入（2）求出所需的地砖和地板面积，再分别求出所需的费用，然后比较即可． 【详解】（1）解：根据题意，可得， 解得； （2）解：铺设地面需要木地板： 平方米， 铺设地面需要地砖： 平方米； （3）解：当时， 铺设地面需要木地板：（平方米）， 铺设地面需要地砖：（平方米）， 优惠方案A所需的费用为（元）， 优惠方案B所需的费用为：（元）。 ∵， ∴小方家应选择优惠方案B，使铺设地面的总费用(含材料费及安装费)较低． 29．（25-26七年级上·四川广元·期末）2025年，旺苍县为聚焦城市建设“舒筋活络”，助推“民生愿景”变为幸福实景，统筹推进多项民生工程．其中，某一项工程由甲、乙两个工程队承接，已知甲队单独完成此项工程需要20天，乙队单独完成需要30天．该工程施工情况如下：甲队先单独施工10天，之后因工期紧张，安排乙队加入，甲、乙两队合作完成剩余工程． (1)甲、乙两队合作还需要多少天完成此项工作？ (2)已知甲队每天的劳务费比乙队多30元，完成这项工程共需支付劳务费11480元．则甲、乙两队每天的劳务费各是多少元？ 【答案】(1)甲、乙两队合作还需要6天完成此项工作 (2)甲队每天的劳务费是530元，乙队每天的劳务费是500元 【分析】（1）将总工程量视为单位1，根据甲单独完成的工作量与甲乙合作完成的工作量之和等于总工程量，列一元一次方程求解． （2）先确定甲、乙两队各自的施工总天数，根据“这项工程共需支付劳务费11480元”列一元一次方程求解． 【详解】（1）解：设总工程量为单位1，甲、乙两队合作还需要��天完成此项工作，甲队工作效率为 ，乙队工作效率为，根据题意得 ， 解得， ∴甲、乙两队合作还需要6天完成此项工作． （2）解：由（1）知甲队共施工天，乙队施工6天， 设乙队每天的劳务费为y元，则甲队每天的劳务费为元，根据题意得 ， 解得， ∴乙队每天的劳务费为500元，甲队每天的劳务费为元． 30．（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图：长方形中，，，点从点出发，以每秒的速度沿方向运动，同时点从点出发，以每秒的速度沿射线方向运动，当点到达终点时，点也随之停止运动．设点的运动时间为秒． (1)当点在上运动时，______． (2)当点在上运动时，时，求线段的长． (3)当时，求出的值． (4)当点在上运动时，连接、，直接写出的面积是时，的值． 【答案】(1) (2) (3)或 (4) 【分析】（1）根据题意，，则； （2）计算得，此时点与点重合，因此； （3）分类讨论，点在边上时，，，根据题意可列方程，解得或；当点在边上时，同样的方法计算出的值，并删去不符合题意的值即可； （4）先利用三角形面积计算出，再分类讨论，当点在点上方时，，可列方程，解得；当点在点下方时，，列方程，解得，舍去不符合题意的情况即可． 【详解】（1）解：∵长方形中，，点从点出发，以每秒的速度沿方向运动，当点在上运动时， ∴， ∴； （2）解：∵长方形中，，点从点出发，以每秒的速度沿方向运动，当点在上运动时，， ∴点的运动路程为，（秒）， ∵同时点从点出发，以每秒的速度沿射线方向运动， ∴， ∵， ∴点与点重合， ∴； （3）解：∵长方形中，，，点从点出发，以每秒的速度沿方向运动， ∴点走完需要的时间为：（秒）；点走完需要的时间为： （秒）， ①当时，点在边上， ∴，， ∵， ∴，即， 解得或（与题设矛盾，舍去）； ②当时，点在边上， ∴， 同理可得，，即， 解得或（与题设矛盾，舍去）； 综上所述，的值为或； （4）解：∵点在上运动， ∴， ∴， ∵， ∴， ①当点在点上方时，如图， ∴， ∵， ∴， 解得； ②当点在点下方时，如图， ∴， 同理，， 解得， ∵， ∴不符合题意； 综上所述，． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一元一次方程 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 一元一次方程 考点二 一元一次方程的解法 考点三 用一元一次方程解决实际问题 05 重难题型突破 题型一 方程的定义 题型二 等式的性质 题型三 已知方程的解求参数 题型四 解一元一次方程 题型五 已知一元一次方程的解求参数 题型六 一元一次方程解的关系 题型七 绝对值方程 题型八 配套问题 题型九 工程问题 题型十 销售盈亏问题 题型十一 方案问题 题型十二 数字问题 题型十三 几何问题 题型十四 动点问题 题型十五 水电费问题 题型十六 和差倍分问题 题型十七 古代问题 题型十八 一元一次方程新定义问题 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 1. 分值占比 苏科版七上期中，一元一次方程板块分值约 14～22 分，占试卷 12%～18%。题型包含选择、填空、解答，既有单纯解方程，也有应用题。它是方程板块入门内容，属于基础得分模块，也是后续学习二元一次方程、分式方程的重要铺垫。 2. 题型特点 选择填空侧重识别一元一次方程、利用方程的解求参数、等式性质辨析；解答分为解方程和实际应用题。应用题常考行程、工程、利润、配套、方案选择，题干贴近生活，重点考查寻找等量关系，贴合课本例题与习题风格。 3. 难度分布 基础题占六成以上，直接利用等式性质判断、常规解方程；中档题集中在含参数问题、稍复杂的应用题；难题较少，多为方案比较或者隐藏等量关系的题目。高频易错点集中在去分母漏乘常数项、移项忘记变号。 4. 备考方向 熟记等式基本性质，严格落实解方程五步流程；专项训练找等量关系，总结各类应用题的固定等量模型；整理去分母、去括号、移项的易错错题；做完方程务必检验，应用题要检验结果是否符合现实情境，规范答题步骤。 识记 识记一元一次方程定义，牢记方程、方程的解等概念；熟记等式两条基本性质，掌握解一元一次方程步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1。能识别一元一次方程，记住移项要变号，区分等式性质与代数式变形规则，熟记解题流程。 理解 理解方程是刻画等量关系的模型，理解等式性质变形的依据，明白每一步解方程的道理；理解移项、去分母的原理，清楚每一步变形要保证等式成立；能区分方程的解与解方程，读懂实际问题里的等量关系，体会建模思想。 应用 能规范求解一元一次方程，细心处理去分母漏乘、符号出错等问题；会审题，找准等量关系，设未知数并列方程；熟练解决行程、工程、利润、配套等经典应用题，检验解是否符合实际意义，规范书写解题格式。 考点一 一元一次方程 一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程. 注意 一元一次方程中的“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程需要同时满足以下条件： ① 是一个方程; ② 必须只含有一个未知数; ③ 含有未知数的式子都是整式; ④ 未知数的次数都是1． 考点二 一元一次方程的解法 一元一次方程的解法： 步骤 数学依据 具体做法 注意事项 1.去分母 等式性质2 方程两边都乘以各分母的最小公倍数 (1)不要漏乘不含分母的项 (2)分子是一个整体的，去分母后应加上括号 2.去括号 去括号法则 去括号 (1)不要漏乘括号里的项 (2)不要弄错符号 3.移项 等式性质1 含有未知数项都移到方程左边，常数项都移到右边 移项要变号 4.合并同类项 合并同类项法则 把方程化成的形式 系数相加减，其他都不变 5.系数化成1 等式性质2 方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解 不要把分子、分母写颠倒 注意 解方程时，表中所给步骤是一般步骤，有些步骤可能用不到，要根据具体方程的形式而定，而且也不一定要按照表中顺序，可以适当的调整或删减． 考点三 用一元一次方程解决实际问题 1.列方程解应用题的基本思路为：问题方程解答． 由此可得解决此类题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答． 注意 （1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系； （2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数； （3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一； （4）“解”就是解方程，求出未知数的值； （5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可； （6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚． 2.常见一元一次方程应用题类型： (1)行程问题 ①三个基本量间的关系： 路程=速度×时间 　②基本类型有： 　 相遇（或相向）问题： A．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间 B．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离． 追及问题：A．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间 B．寻找相等关系： 第一， 同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程； 第二， 同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程． ③航行问题：A．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度， 逆流速度=静水速度－水流速度， 顺水速度－逆水速度＝2×水速； B．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑． 解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析． （2）工程问题 三个基本量间的关系：工作效率×工作时间=工作总量；“一般把总工作量设为1”； 3．利润问题 常用数量关系如下： （1） (2) 标价＝成本(或进价)×(1＋利润率) (3) 实际售价＝标价×打折率 (4) 利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率 注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售． 4．方案问题 选择设计方案的一般步骤： （1）运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况． （2）用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性后下结论． 题型一 方程的定义 典例1（25-26七年级上·江苏扬州·期中）下列式子是方程的是（   ） A． B． C． D． 迁移应用 1．（25-26七年级上·陕西延安·期中）下列各式中，是方程的有__________．（填序号） ①；②；③；④． 2．（25-26七年级上·广西崇左·期中）下列各式中___是等式，___是方程(填序号)． ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩． 题型二 等式的性质 典例2（26-27七年级·江苏·小升初衔接）下面的说法中，正确的有（     ）个． ①方程都是等式，所以等式也都是方程． ②是方程的解． ③如果，那么． ④等式两边同时除以同一个数，等式仍然成立． A．1 B．2 C．3 D．4 迁移应用 1．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）下列等式的变形中，正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 2．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）下列各式中，不正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型三 已知方程的解求参数 典例3（25-26七年级下·四川宜宾·期中）若是关于的方程的解，则代数式的值是________． 迁移应用 1．（25-26七年级上·江苏南京·期中）若不论取什么实数，关于的方程（是常数）的解总是，则___________． 2．（25-26七年级上·浙江台州·期中）若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为________． 题型四 解一元一次方程 典例4（2026七年级上·江苏·专题练习）解方程： 迁移应用 1．（26-27九年级上·全国·单元复习）解下列一元一次方程： (1)； (2)． 2．（25-26七年级上·河南郑州·期中）解下列方程： (1) (2) 题型五 已知一元一次方程的解求参数 典例5（25-26七年级上·江苏扬州·期末）关于x的方程的解是方程的解的3倍，则a的值为______． 迁移应用 1．（25-26六年级下·山东济宁·期中）已知关于的方程与方程的解相同，求的值． 2．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）定义：关于x的方程与方程（a，b均为不等于0的常数）称为互为“相反方程”．例如：方程与方程互为“相反方程”． (1)若关于x的方程①：的解是，则与方程①互为“相反方程”的方程的解是______； (2)若关于x的方程与其“相反方程”的解都是整数，求整数b的值； 题型六 一元一次方程解的关系 典例6（25-26七年级上·广西桂林·期末）已知关于的方程的解与方程的解相同，则______． 迁移应用 1．（25-26七年级下·福建泉州·期中）在一元一次方程中，如果两个方程的解相同，则称这两个方程为同解方程． (1)填空：方程与方程______同解方程（填“是”或“不是”）； (2)若方程与关于x的方程是同解方程，求m的值； (3)若关于x的两个方程与是同解方程，求符合要求的正整数m，n的值． 2．（2025七年级上·江苏连云港·专题练习）【定义】 若关于x的一元一次方程的解满足，则称该方程为“友好方程”，例如：方程的解为，而，则方程为“友好方程”． 【运用】 (1)①，②两个方程中为“友好方程”的是 （填写序号）； (2)若关于x的一元一次方程是“友好方程”，求b的值； (3)若关于x的一元一次方程是“友好方程”，且它的解为，求m、n的值． 题型七 绝对值方程 典例7（26-27七年级上·江苏南京·期中）若的最小值是6，则的值是______． 迁移应用 1．（26-27七年级上·江苏宿迁·期中）已知，则的值为_______． 2．（25-26七年级下·重庆万州·期末）先阅读下列解题过程，然后解答问题： 解方程：． 解：当时，原方程可化为，解得； 把代入得：，成立； 当时，原方程可化为，解得． 把代入得：，成立； ∴原方程的解为或． 灵活运用上面的解题方法解下列方程： (1)解方程； (2)解方程． 题型八 配套问题 典例8（2026·吉林长春·模拟预测）小敏和小强假期到某厂参加社会实践，该工厂用白板纸做包装盒，设计每张白板纸做盒身2个或者盒盖3个，且一个盒身和两个盒盖恰好做成一个包装盒．现有14张白板纸，为了充分利用材料，要求做成的盒身和盒盖正好配套，请问需要用几张白板纸做盒身？ 迁移应用 1．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）在手工制作课上，老师组织七年级（3）班学生用硬纸制作圆柱形笔筒．全班共45人，其中男生人数是女生人数的． (1)求七年级（3）班的男生和女生各有多少人？ (2)已知每名学生每小时可以裁剪筒身70个或裁剪筒底40个，且1个筒身需要搭配2个筒底才能组装成一个完整的笔筒．若要使每小时裁剪的筒身和筒底刚好配套应该分配多少名学生裁剪筒身，多少名学生裁剪筒底？ 2．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）今年，横跨6个月的江苏省城市足球联赛即“苏超”彻底火出了圈，尤其是“苏超冠军”泰州更是“一黑到底”．在南通队和泰州队的决赛中，靖江和泰兴的两地球迷共同为泰州队制作应援旗助威． 请根据素材1、素材2，探索并完成任务1、任务2． 问题：两地球迷人数、需调整人数各是多少? 素材1 靖江球迷人数比泰兴球迷人数多3人，两地球迷总人数为49人． 素材2 每位靖江球迷每天可制作8面主队应援旗，每位泰兴球迷每天可制作6面客队应援旗， 问题解决 任务1 确定两地球迷人数 两地制作应援旗球迷各有多少人? 任务2 确定调整人数，应援旗刚好配套 若应援旗需配套（一面主队旗配一面客队旗），需调整多少名靖江球迷去制作客队旗，才能刚好配套? 题型九 工程问题 典例9（25-26七年级上·河北石家庄·期末）一项工程，甲队单独完成需30天，乙队单独完成需45天，现甲队先单独做20天，之后两队合作完成此项工程． (1)甲、乙两队合作还需多少天才能把该工程完成？ (提示：工程问题中可设总工作量为单位“1”，工作效率总工作量工作时间) (2)甲队施工一天需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元，若该工程计划在40天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队单独完成、乙队单独完成该工程省钱？还是由甲、乙两队全程合作完成该工程省钱？ 迁移应用 1．（25-26七年级下·全国·期中）根据题意列出方程（不必求解）： (1)某班到离校的国家森林公园春游．先坐车，速度为，下车后以的速度步行到达目的地，共花了．问：他们步行了多少时间？ (2)某车间接到一批小家电组装任务，原计划每天组装36台，预计若干天完成．在组装了任务的三分之一后，调整工序，改进操作技术，工效提高了1倍，结果提前2天完成任务．求这次组装小家电的总台数． 2．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）某市为建设市民河堤漫步休闲通道，现有一段长为180米的河堤整治任务由A、B两个工程队先后接力完成，A工程队每天整治12米，B工程队每天整治8米，共用时20天完成． (1)根据题意，甲、乙两个同学分别列出方程如下： 甲：； 乙： 根据甲、乙两名同学所列的方程，请你分别指出代数式表示的意义． 甲： x表示 ； 乙： x表示 ． (2)请你从甲、乙两位同学的解答思路中，选择一种你喜欢的思路，求A、B两工程队分别整治河堤的长度．（写出完整的解答过程） 题型十 销售盈亏问题 典例10（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）A、B两校决定联合购买一批篮球运动装备．市场调查发现，甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的篮球队服和篮球，已知每套队服比每个篮球多60元，两套队服与三个篮球的费用相等．经洽谈，甲商场优惠方案是：每购买十套队服，送一个篮球；乙商场优惠方案是：若购买队服超过80套，则购买的篮球打八折． (1)每套队服的价格为________元和每个篮球的价格为________元． (2)若联合购买120套队服和个篮球，请用含的式子分别表示到甲商场和乙商场购买装备所花的费用； (3)在（2）的条件下，若，假如你是本次购买任务的负责人，你认为到甲、乙哪家商场购买比较合算？ 迁移应用 1．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）惠山区“社区便民市集”筹备期间，某厂家计划采购甲、乙两种日用品．已知甲日用品的每件进价比乙日用品的每件进价少20元．若采购甲种日用品5件，乙种日用品3件，共需要700元． (1)求甲、乙两种日用品的每件进价分别是多少元？ (2)该采购商从批发商处采购了甲种日用品3万件、乙种日用品2万件．在市集售卖时，甲种日用品的每件售价为100元，要使得这5万件日用品所获利润率为，求每件乙种日用品的售价是多少元？ 2．（25-26七年级上·江苏南通·期中）平价商场经销的甲，乙两种商品，甲种商品每件售价98元，利润率为；乙种商品每件进价80元，售价128元． (1)求甲种商品每件的进价；（利润率） (2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为3800元，求购进甲、乙两种商品各多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场只对乙种商品进行如下表的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 小于等于480元 不优惠 超过480元，但不超过680元 其中480元不打折，超过480元的部分给予6折优惠 超过680元 按购物总额给予7.5折优惠 按表的优惠条件，若小华一次性购买乙种商品实际付款576元，求小华在该商场购买乙种商品多少件？ 题型十一 方案问题 典例11（25-26七年级下·江苏扬州·期中）商店A型号笔记本电脑的售价是1000元/台，最近，该商店对A型号笔记本电脑举行促销活动，有两种优惠方案，方案一：每台按售价的九折销售：方案二：若购买量不超过5台，每台按售价销售；若购买量超过5台，则超过的部分每台按售价的八折销售．某公司一次性从友谊商店购买A型号笔记本电脑台． (1)当时，选择哪种方案可使该公司购买费用最少？最少费用是多少元？ (2)若该公司采购时发现，不论选哪种方案价格都一样，请问该公司买了几台电脑？ 迁移应用 1．（25-26九年级下·北京·期中）某新能源电池厂有55台专用设备，用于生产两种核心零件：正极片和负极片．按照每台设备每天生产的合格的正、负极片的效率分为以下三类： 类别 正极片（片/台） 负极片（片/台） 设备数量（台） 甲类 20 200 15 乙类 12 100 20 丙类 8 70 20 每台设备每天只能生产一种零件．已知每1片正极片需要搭配4片负极片才能组装成一个完整电池． （1）若只由甲类专用设备工作，则一天最多可生产________个电池； （2）若55台专用设备都在工作，则一天最多可生产________个电池． 2．（25-26七年级上·贵州遵义·期末）遵辣1号系贵州遵义虾子镇的特产辣椒品种，因其香辣浓郁、皮薄肉厚、色泽鲜亮、辣味纯正而著称．小温家种植了一片遵辣1号辣椒，每日需对辣椒进行采收并完成分拣装筐工作．据了解，每人每日能够采摘120千克辣椒或分拣装筐280千克辣椒．新鲜辣椒的售价为每千克8元，干辣椒的售价为每千克30元． (1)小温家雇佣了20名工人进行采摘和分拣装筐，每名工人一天只能做一项工作，不计其他因素，要使每天采摘的辣椒全部分拣装筐，应如何分配工人？ (2)一位商贩计划购买100千克的干辣椒和a千克（）新鲜辣椒．小温提供了两种优惠方案： 方案一：每买5千克的干辣椒，赠送3千克的新鲜辣椒； 方案二：每千克干辣椒和新鲜辣椒都按定价打九折付款． ①按购买方案一需支付费用______元；按购买方案二需支付费用______元；（请用含a的代数式表示） ②当a为何值时，两种购买方案的费用一样． 题型十二 数字问题 典例12（26-27七年级上·江苏南京·期中）将连续的奇数1，3，5，7，9，…排成如图所示的数表，小明在数表上圈出了a，b，c，d四个数，并求出了它们的和为230．这4个数在数表中的排列位置可能是（     ） A． B． C． D． 迁移应用 1．（26-27七年级上·全国·期中）将连续的奇数1，3，5，7，9，…排成如图所示的数表． (1)十字形框中的五个数之和与中间数15有什么关系？ (2)设中间数为a，如何用代数式表示十字形框中五个数之和？ (3)若将十字形框上下左右移动，可框住另外五个数，这五个数还有上述的规律吗？ (4)十字形框中的五个数之和能等于2026吗？能等于2025吗？ 2．（26-27七年级上·江苏南京·期中）【探究发现】 “河图洛书”是中国优秀传统文化的瑰宝，可转化为如图1所示的“三阶幻方”，每行、每列、每条对角线上数字之和都相等，这个和称为“幻方和”，最中间的数称为“中心数”． 【尝试运用】 (1)在图2所示的“三阶幻方”中，的值为_____； (2)如果将9个连续的正整数填入一个“三阶幻方”，使得“幻方和”是2025，那么这9个数中最小的数是______； (3)如图3，现将“幻方”稍作改进变成“幻圆”，将，4，，8，，，，分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两个正方形顶点处圈内4个数字之和都相等，求的值． 题型十三 几何问题 典例13（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）如图中的长方形被分割成6个正方形，中央的最小正方形的边长为，则长方形的面积是______． 迁移应用 1．（25-26七年级上·江苏南通·期末）“苏超”赛事热度飙升，足球迷小明萌生了动手制作足球场模型的想法，他准备用一根木棒搭建长方形的足球门框（靠地面的一边无需制作，只需搭建另外三边），他给出了下面两种方法： 方法：门框的长比宽的倍少； 方法：门框的长比宽的倍多． (1)若这两种方法设计的门框宽度相同，且所需木棒长度一致，求这根木棒的长度； (2)若木棒长度为，已知标准足球门框的长宽比为，你觉得这两种方法中，哪种方法设计的门框更贴近这一标准？请说明理由． 2．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）阅读：将一个量用两种方法分别计算一次，由结果相同构造等式解决问题，这种思维方法称为“算两次”原理，又称“富比尼原理”，比如我们常用的等积法是其中的一种．如图，在长方形中，，，是的中点，动点从点出发，以每秒的速度沿点运动、最终到达点．若点运动的时间为，则当______时，． 题型十四 动点问题 典例14（26-27七年级上·江苏常州·期中）如图，在数轴上点A表示的数为20，点B表示的数为，点O是数轴原点．点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度，向数轴的正方向匀速运动；同时点Q从点A出发，以每秒2个单位长度的速度，向点B运动，到达点B后立即按原速返回向数轴的正方向匀速运动，设运动时间为t秒，根据以上情景回答下列问题： (1)线段的长为___________，点P所表示的数___________．（用含t的式子表示）； (2)当t为何值时，点P，Q重合？ (3)当点P，Q之间的距离是3时，求出点Q表示的数？ 迁移应用 1．（26-27七年级上·江苏泰州·期中）华罗庚先生说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”． 【知识储备】 点M、N在数轴上分别表示有理数m、n，则M、N两点之间的距离可表示为． 【初步运用】 (1)数轴上表示与4的两点之间的距离为_________； (2)已知数轴上某个点表示的数为x． ①若，则_________； ②若，则_________； 【深入探究】 (3)如果点A表示，点B表示，点C表示4，点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向右运动，运动时间为t秒． ①在运动过程中，点P表示的数是_________； ②当点P到点B的距离与点P到点C的距离之和时，求t的值； ③若数轴上有另一动点Q，Q表示的数为x，且的最小值为12，直接写出取得最小值时t和x的值． 2．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）如图，在长方形中，．点从点出发沿的方向以每秒3个单位速度匀速运动，点从点出发沿的方向以每秒1个单位速度匀速运动．两点同时出发，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设两点运动时间为（秒），当直线把长方形面积分成相等的两部分时，的值为（    ） A．或 B．或5 C．或5 D．或 题型十五 水电费问题 典例15（26-27七年级上·江苏泰州·期中）为引导居民错峰用电，某市对居民生活用电实行峰谷分时电价： 峰时段（）电价为元/千瓦时； 谷时段（—次日）电价为元/千瓦时． (1)小明家6月份用电150千瓦时，若全部按谷时段电价计算，应付电费__________元； (2)小明家7月份共用电210千瓦时，其中峰时段用电x千瓦时，用含x的代数式表示7月份应付的电费，并化简； (3)若小明家7月份共付电费95.8元，求7月份峰时段、谷时段各用电多少千瓦时． 迁移应用 1．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）某市从5月1日起对居民用电试行“阶梯电价”收费，具体收费标准如下． 每户居民用电量的范围 电费价格（单位：元/度） 不超过150度的部分 0.6 超过150度，但不超过300度的部分 超过300度的部分 5月份该市居民甲用电200度，缴纳电费122.5元；居民乙用电350度，缴纳电费232.5元． (1)表中 ； ． (2)李老师缴纳5月份的电费后发现，他家该月平均电价实际为每度0.62元，你知道李老师家5月份用电多少度吗？ 2．（25-26七年级下·湖南衡阳·期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的．该市自来水收费价格见价目表．（注：水费按月结算） 价目表 每月用水量 单价 不超出的部分 2元 超出，不超出的部分 3元 超出的部分 4元 (1)若某户居民2月份用水4立方米，则应缴纳水费______元； (2)若某户居民3月份用水立方米，则该户居民3月份应缴纳水费多少元（用含的代数式表示，并化成最简形式）？ (3)若某户居民4，5月份共用水15立方米（5月份用水量多于4月份），合计缴纳水费34元，求该户居民5月份用水多少？ 题型十六 和差倍分问题 典例16（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）把一堆书分给几名学生，如果每人分到4本，那么多4本；如果每人分到5本，那么最后1名学生只分到3本．可以得到一共有___________本书． 迁移应用 1．（25-26七年级上·江苏南通·期中）阳光小学购买了一批红色跳绳和蓝色跳绳，数量的比是∶．学校给每个班级发放根红色跳绳和根蓝色跳绳，结果蓝色跳绳刚好发完，红色跳绳还剩下根．学校买来红色跳绳______根，蓝色跳绳______根． 2．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）（列方程解应用题）七年级一班共有学生50人，其中男生人数比女生人数的2倍还少19人，劳技课上，老师组织同学们自己动手设计制作收纳盒，每名学生一节课能做盒身11个或盒底22个． (1)七年级一班有男生和女生各多少人？ (2)原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配2个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 题型十七 古代问题 典例17（2026·江苏南通·中考真题）我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”大意为：用一根绳子去量一根木头，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，木头剩余1尺，问木头长多少尺？设木头长尺，则可列一元一次方程为（     ） A． B． C． D． 迁移应用 1．（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？其大意是：每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人无车坐．问人数和车数各多少？设车辆，根据题意，可列出的方程是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·福建泉州·期中）列方程解决问题： 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩，不知有多少人和竹竿，每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿．”求共有多少个牧童？ 题型十八 一元一次方程新定义问题 典例18（25-26七年级上·江苏镇江·期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个解的差为3，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，则关于y的一元一次方程的解为________． 迁移应用 1．（25-26七年级上·江西吉安·期中）我们规定关于x的一元一次方程的解为，则称该方程是“差解方程”，例如：的解为，则该方程就是“差解方程”，请根据上述规定解答下列问题： 【定义理解】 (1)判断：方程________差解方程；（填“是”或“不是”） (2)若关于x的一元一次方程是“差解方程”，求m的值； (3)已知关于x的一元一次方程和n都是“差解方程”，求代数式的值． 2．（25-26七年级上·云南德宏·期末）【定义】若关于的一元一次方程的解满足，则称该方程为“友好方程”，例如，方程的解为，因为，所以有：，即，则方程为“友好方程”． 【运用】 (1)①，②，③三个方程中，为“友好方程”的是 （填写序号）； (2)若关于的一元一次方程是“友好方程”，求的值； (3)若关于的一元一次方程是“友好方程”，且它的解为，求与的值． 基础固本练（限时：15分钟） 1．（26-27七年级上·江苏泰州·期中）根据等式的基本性质，如果，那么下列变形中错误的是（    ） A． B． C． D． 2．（26-27七年级上·江苏扬州·期中）若是关于的一元一次方程的解，则的值为（     ） A．3 B．5 C．7 D．9 3．（2026·浙江温州·二模）解方程，以下去分母正确的是（     ）． A． B． C． D． 4．（2026·江苏盐城·二模）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“隔墙听得客分鹿，不知人数不知鹿．每人六只多六只，每人七只少七只．请问诸君能算者，几人分鹿几头鹿？．”其大意是：“隔墙听见客人分鹿，不知道人数和鹿数；每人分6只，多6只；每人分7只，少7只．求人数和鹿数．”若设有客人，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·海南海口·期中）下列方程的变形中，正确的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 6．（26-27七年级上·江苏泰州·期中）若是关于的方程的解，则的值为__________． 7．（26-27七年级上·江苏淮安·期中）将数轴上一点P先向右移动2个单位长度，再向左移动5个单位长度，此时它表示的数是4，则原来点P表示的数是_________． 8．（25-26六年级下·上海普陀·期末）把方程变形为用含有的式子表示，得_____________． 9．（2026·陕西咸阳·模拟预测）为响应环保倡议，某班级收集废旧饮料瓶并售卖，所得资金用于购买售价为3元/卷的环保垃圾袋．若除去运费20元后，剩余的钱恰好能买40卷环保垃圾袋，则资金总额为________元． 10．（25-26七年级下·山东泰安·期中）若与的解相同，则的值为__________． 11．（26-27七年级上·江苏泰州·期中）解下列方程： (1)； (2)． 12．（25-26七年级上·陕西安康·期末）已知代数式是关于的一次多项式，若关于的一元一次方程的解是，求的值 13．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了3小时；从乙码头返回甲码头逆流而行，用了5小时．已知船在静水中的速度是8千米/时，则水流的速度是多少？ 14．（25-26七年级上·江苏徐州·期末）一张长方形纸片，经过n次裁剪（每次沿直线剪去一个正方形），若剩下的图形为正方形，则称该长方形为“n阶奇异长方形”． 例如：图1为“1阶奇异长方形”（①、②为正方形）； 图2的2个图形均为“2阶奇异长方形”（③、④、⑤、⑥、⑦、⑧为正方形）． 设“n阶奇异长方形”的长为a，宽为． (1)若，则图1中b的值为______，图2中b的值为______与______； (2)若图3为“4阶奇异长方形”，则的值为______； (3)若，，则b的值为______（写出所有可能的结果）． 15．（25-26七年级上·江苏常州·期中）按照图1所示方法，可以用平行四边形框出月历中的4个数． (1)若框出的4个数中左下角的数为（如图）则这4个数的和为______；（用含有x的代数式表示，需化简） (2)当时，求（1）中代数式的值； (3)在图1的月历中，按照图1的框法，能否框出4个数的和为．若能，求出这4个数；若不能，请说明理由． 综合进阶练（限时：20分钟） 16．（26-27七年级上·江苏徐州·期中）若，且，则的值是（     ） A．2 B．0 C．2或0 D．或0 17．（26-27七年级上·江苏盐城·期中）我国古代的《洛书》中记载了最早的三阶幻方九宫图，如图所示的幻方中，每一横行、每一竖列以及每条对角线上的数字之和都相等，则a的值为（     ） 0 a 1 A． B． C． D．4 18．（26-27七年级上·江苏南通·期中）幻方最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等，则（    ） 2 7 8 A． B． C．2 D．4 19．（25-26七年级下·江苏南通·期中）如图，将一个长为，宽为的长方形沿虚线剪开，拼接成为一个缺角（也是一个小正方形）的大正方形，则缺少的这个小正方形的边长为（     ） A． B． C． D． 20．（25-26七年级下·山东淄博·期末）若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 21．（26-27七年级上·江苏无锡·期中）点A在数轴上表示的数是．若点B与点A的距离是4，则点B在数轴上表示的数为___________． 22．（26-27七年级上·江苏徐州·期中）如图，1个和4个叠在一起的杯子放在刻度尺的两侧，刻度尺的0刻度线与两叠杯子底面平齐，左右两叠杯子上边缘对应刻度尺上的读数分别是和，若多个杯子叠放一起的总高度是，则杯子的个数为_______． 23．（25-26六年级下·上海·期末）阅读以下内容： 我们已经学习过了分数的拆分，例如，…， 通过分数的拆分，我们也能进行一些简便运算，例如： 通过分数的拆分，可以使计算变得更简便． 类似地，解方程，这个方程的解是________． 24．（25-26七年级上·广东深圳·期末）为了庆祝劳动节，宣扬劳动光荣的中华民族优秀传统，某网店为了吸引顾客，推出下列优惠措施，受到顾客的好评．优惠措施如下： 购物款不超过200元不享受优惠； 购物款超过200元但不超过600元一律享受九折优惠； 购物款超过600元一律享受八折优惠， 某顾客第一次从该网店购物花了168元人民币，第二天又花了423元从该网店购物，如果该顾客一次性购买以上商品，可以节省_____元 25．（25-26七年级下·河南南阳·期中）如图，在长方形中，，E是的中点，动点P从D点出发，以每秒的速度沿运动，最终到达点E．若点P运动的时间为x秒，那么当的面积等于时，x的值为______． 26．（26-27七年级上·江苏扬州·期中）解方程： (1)； (2)． 27．（25-26七年级上·广东湛江·期中）已知关于的方程． (1)若，求该方程的解； (2)若是方程的解，求的值； (3)某同学在解该方程时，误将“”看成了“”，得到方程的解为，求的值； 28．（26-27七年级上·安徽·期中）小方家的住房户型呈长方形，平面图如下（单位：米）． 现准备铺设地面，三间卧室铺设木地板，其他区域铺设地砖． (1)求a的值； (2)铺设地面需要木地板和地砖各多少平方米？（用含x的代数式表示） (3)按市场价格，木地板单价为320元/平方米，地砖单价为200元/平方米．装修公司有A，B两种活动方案，如表所示：已知：，则小方家应选择哪种活动方案，使铺设地面总费用（含材料费及安装费）较低？ 活动方案 木地板价格 地砖价格 总安装费 A 8折 8.5折 2000元 B 9折 8.5折 免收 29．（25-26七年级上·四川广元·期末）2025年，旺苍县为聚焦城市建设“舒筋活络”，助推“民生愿景”变为幸福实景，统筹推进多项民生工程．其中，某一项工程由甲、乙两个工程队承接，已知甲队单独完成此项工程需要20天，乙队单独完成需要30天．该工程施工情况如下：甲队先单独施工10天，之后因工期紧张，安排乙队加入，甲、乙两队合作完成剩余工程． (1)甲、乙两队合作还需要多少天完成此项工作？ (2)已知甲队每天的劳务费比乙队多30元，完成这项工程共需支付劳务费11480元．则甲、乙两队每天的劳务费各是多少元？ 30．（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图：长方形中，，，点从点出发，以每秒的速度沿方向运动，同时点从点出发，以每秒的速度沿射线方向运动，当点到达终点时，点也随之停止运动．设点的运动时间为秒． (1)当点在上运动时，______． (2)当点在上运动时，时，求线段的长． (3)当时，求出的值． (4)当点在上运动时，连接、，直接写出的面积是时，的值． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $