第5章 导数及其应用（5考点+6易错+易错训练）（知识清单）数学苏教版选择性必修第一册

第5章 导数及其应用 知识点一、导数定义与几何意义 1、①函数从到的平均变化率为：. 变式：. ②函数在处附近的平均变化率为：. ③平均变化率的几何意义：割线的斜率； 平均变化率的物理意义：平均速度（将视为作直线运动时位移关于时间的函数）. 2、函数在处的瞬时变化率（导数）：. 几何意义：切线的斜率； 物理意义：瞬时速度（将视为作直线运动时位移关于时间的函数）. 变式：①，②，③ 3、导数的几何意义：函数在处的导数就是曲线上的点处切线的斜率 即，因此切线方程是：. 知识点二、导数的计算 1、基本初等函数的导数公式：①若，则，简记为为常数) ②若，则，简记为 ③若，则，简记为 ④若，则，简记为 ⑤若，则，简记为 ⑥若，则，简记为 ⑦若，则，简记为 ⑧若，则，简记为 2、和差积商法则：①；②； ③；④． 3、复合函数的求导法则： 复合函数的导数与函数，的导数间的关系是 知识点三、导数研究单调性 1、函数的单调性与其导函数的正负有如下关系： 在某个区间内，①如果，那么函数在这个区间内单调递增 ②如果，那么函数在这个区间内单调递减 ③如果，那么函数在这个区间内为常数函数 2、求单调区间的方法： ①通过解不等式或(等号可要可不要)； ②求，并可适当整理，尽量将整理成，，…，之积商的形式，借助数轴分段确定单调性，或直接观察解析式得出单调性． 注意：⑴写单调区间时，正确表示方法是：多个单调区间之间用逗号隔开，绝对不能用符号“”． ⑵若在某个区间上单调递增，则；若在某个区间上单调递减，则； ⑶设，，且，那么 ①在是增函数恒成立 ②在是减函数恒成立 知识点四、函数的极值 极小值：若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，，而且在点附近的左侧，右侧，则把点叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值． 极大值：若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，，而且在点附近的左侧，右侧，则把点叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值． 极小值点、极大值点统称为极值点（的值，不是坐标），极小值、极大值统称为极值． 知识点五、函数的最值 1、函数在区间上有最值的条件： 如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． 2、一般地，求函数在区间上的最大值和最小值的步骤如下： ⑴求函数在区间上的极值； ⑵将函数的各极值与端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，其中最小的一个是最小值． 易错点1 导数概念与几何意义类 易错提醒 1、混淆 “在点 P 处的切线” 与 “过点 P 的切线”：前者 P 为切点，仅有一条切线；后者 P 可能不是切点，需设切点列方程求解，极易漏解。 2、导数定义的极限变形失误：对自变量增量的符号、倍数、趋近方向判断错误，未配凑成\(f'(x_0)\)的标准定义式，导致计算结果偏差。 【对点训练】1．求下列直线的方程： (1)曲线在处的切线； (2)曲线过点的切线. 【解析】（1），故曲线在处的切线斜率为， 故在处的切线方程为，即 （2）设切点为，因为，故曲线在处的切线方程为， 化简可得，代入可得， 即，解得或， 代入切线方程可得或 易错点2 求导运算类 易错提醒 复合函数求导漏乘内层函数导数，多层复合时遗漏求导环节 【对点训练】2．求下列函数的导函数 (1) (2) (3) (4) 【解析】（1） （2）； （3） （4） 易错点3 单调性判定与应用类 易错提醒 1、求单调区间忽略函数定义域（尤其含对数、分式的函数），导致区间范围出错； 2、已知单调性求参数范围时，混淆充分与充要条件 【对点训练】3．已知函数. (1)若在R上为增函数，求a的取值范围； (2)若在上为增函数，求a的取值范围； (3)若在上为减函数，求a的取值范围； (4)若的单调递减区间为，求a的值； (5)若在上不单调，求a的取值范围． 【解析】（1）因为在R上为增函数，所以在R上恒成立． 所以对恒成立．因为，所以. 又因为时，，在R上为增函数， 所以的取值范围是． （2）因为，且在上为增函数， 所以在上恒成立，所以在上恒成立， 因为，所以，即的取值范围是. （3）因为，且在上为减函数， 所以在上恒成立， 因为，所以， 所以，所以a的取值范围是. （4）. ①当时，，故在R上为增函数，不满足题意； ②当时，由得，解得. 故的递减区间为. 由题意得，解得. （5）. ①当时，，故在R上为增函数，不满足题意； ②当时，因为在上不单调， 所以在内有解，所以，解得； 所以a的取值范围是. 易错点4 极值与最值类 易错提醒 1、误将导数为 0 的驻点直接当作极值点，忽略验证该点左右导数符号是否改变；同时易遗漏 “导数不存在但函数连续的点” 也可能是极值点，导致极值点找不全。 2、闭区间求最值时，仅比较极值点函数值，遗漏区间端点的函数值；混淆局部 “极值” 与全局 “最值” 概念，误将极值直接当作最值。 【对点训练】4．若函数在处有极小值，则实数的值为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【解析】， ，又在处有极小值， ，解得或， 当时，， ，则或，，则， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 函数在处取得极大值，不符合题意； 当时，， ，则或，，则， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 函数在处取得极小值，符合题意； 综上，． 易错点5 恒成立与零点综合类 1、分离参数求解恒成立问题时，忽略参数系数的正负，导致不等号方向出错；含参函数分类讨论时标准不清晰，遗漏导数无零点、恒正 / 恒负的情况。 2、零点个数判断中，仅依赖单调性分析，未结合端点极限、特殊值验证，导致零点个数误判；极值点偏移问题中构造对称函数时忽略定义域限制，变形不等价。 【对点训练】5．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有且仅有一个零点，求实数的取值范围； (3)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）当时，，， 则，， 所以所求切线方程为，即． （2）令，得． 令，则有且仅有一个零点等价于直线与曲线有且仅有一个交点． ，则当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以．又当时，，当时，，且，作出的大致图象，如图所示： 由图可得，实数的取值范围为． （3）由，得． 令，，由，可得． 当时，，易知． 令，得． 因为，，所以，． 故，即在上单调递增，． 所以在上单调递增．所以，不等式恒成立． 综上，实数的取值范围为． 易错点6 实际优化问题类 易错提醒 建立函数模型时忽略变量的实际意义（如长度、面积为正），导致定义域错误；求出极值后未验证是否为区间内最值，直接当作最优解。 【对点训练】6．甲、乙两地相距千米，汽车从甲地匀速驶向乙地，速度不得超过千米/小时．已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度（千米/小时）的立方成正比，比例系数为，固定部分为． (1)把全部运输成本元表示为速度（千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域； (2)为了使全部运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？ 【解析】（1）由题意得，每小时运输成本为，全程行驶时间为小时， 所以，. （2）， 当时，， 当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增， 所以当时，最小. 综上：应该以千米/小时行驶. 1．（2026·全国·模拟预测）已知函数，则曲线在处的切线方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以，所以， 所以，所以，故切点为， 又切线的斜率为：， 所以曲线在处的切线方程为：即. 2．（25-26高二下·贵州安顺·期末）若函数的图象在点处的切线与函数的图象在点处的切线相同，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，所以切点为， 因为，所以函数的图象在点处的切线斜率为：， 所以函数的图象在点处的切线方程为：即，① 由，所以切点为， 因为，所以函数的图象在点处的切线斜率为：， 所以函数的图象在点处的切线方程为： 即，② 由题意知①②的方程相同，所以有：，所以. 3．（25-26高二下·广东汕尾·期中）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列描述正确的是（    ）    A．在单调递增 B．在处取得极大值 C．在单调递增 D．在处取得最大值 【答案】C 【解析】由导函数的图象，可得： 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以，当时，函数取得极小值，当时，函数取得极大值，但不一定为函数的最大值 4．（25-26高二上·浙江金华·期末）火箭发射后，其高度（单位：m）为，则发射后第10s时，火箭爬高的瞬时速度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题，所以， 所以火箭发射后第10s时，火箭爬高的瞬时速度为. 故选：B. 5．（2025·河南新乡·三模）已知函数的极小值为，则实数的值为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】A 【解析】由已知得，令，得， 当时，单调递减， 当或时，单调递增， 所以的极小值为，解得. 故选：A. 6．（20-21高二下·福建泉州·期中）已知函数在时取得极值，则（    ） A．10 B．5 C．4 D．2 【答案】A 【解析】∵,∴， ∵是函数的极值点，∴的实数根， 即,解得． 故选：. 7．（20-21高二下·广东湛江·期中）是定义在上的可导函数，且满足，对任意正数，若，则必有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，，则， 在区间上单调递减， ，∴g(b)<g(a),即， 故选：B． 8．（20-21高二下·江西景德镇·期中）以下在区间单调递减的函数个数为（    ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】①的定义域为,当时函数无意义，故不合题意； ②定义域不包括0，故不合题意； ③， 恒成立， 所以在R上单调递减，故在区间单调递减； ④，， 对于，恒成立， 所以在区间单调递减的函数, 故选：B. 9．（多选题）（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期中）下列求导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】选项A，，A正确； 选项B，，B正确； 选项C，，C错误； 选项D，，D正确. 10．（多选题）（2026·河南开封·模拟预测）已知函数，下列说法正确的是（   ） A．的零点为 B．有两个极值点 C．在处取得极小值 D．在上单调递增 【答案】ABC 【解析】选项A，令，即，因为，所以，解得，所以的零点只有，A正确； 选项B，， 则，在上单调递增(因为)， 且，，所以在上先减后增. 当，；时，；时，；时，， 由零点存在定理，在有一个零点，在有一个零点，因此有两个极值点，B正确； 选项C，由B选项分析可知，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增，即在处取得极小值，C正确； 选项D，由选项C分析可知，在区间先增后减，D错误. 11．（多选题）（25-26高三上·内蒙古赤峰·阶段检测）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．当时，只有一个零点 B．若有极值点，则的取值范围为 C．存在负数，使得在上单调递增 D．过点且与曲线相切的直线只有一条 【答案】AD 【解析】对于选项A，，令，， 当时，，则，在上单调递增，，，故A正确； 对于选项B，若有极值点，有两个不等实数根，，解得，B错误； 对于选项C，当时，由，可得， 设，为的两根，则，， 所以，故在上单调递减，C错误； 对于选项D，不妨设切点为，则， 切线方程为， 整理得，又切线过点， 所以，即，解得， 所以过点且与曲线相切的直线只有一条，D正确. 故选：AD. 12．（24-25高二上·湖南株洲·阶段检测）函数的单调递增区间为______． 【答案】和 【解析】由题知，令，即， 解得或， 所以单调递增区间为或 故答案为：和. 13．（25-26高二下·安徽安庆·开学考试）已知曲线在处的切线与曲线相切，则的值为________． 【答案】 【解析】由，得. 因为，，所以曲线在处的切线方程为. 设直线与曲线相切于点，， 所以，解得，所以， 所以. 故答案为： 14．（25-26高二下·天津·阶段检测）若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数________． 【答案】/ 【解析】因为直线的斜率为：， 又曲线在点处的切线与直线垂直， 所以曲线在点处的切线的斜率为：， 由，则， 所以，解得：. 15．（25-26高二下·黑龙江·期末）已知函数． (1)若是函数的极大值点，求实数的取值范围； (2)若，求证：； (3)若，求证：函数有且仅有1个零点． 【解析】（1）因为，定义域为 所以， ①若，当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 此时是函数的极大值点，符合题意； ②若，则，当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 时，，单调递增， 所以是函数的极大值点，符合题意； ③若，则，当时，，单调递增， 此时不是函数的极值点，不符合题意； ④若，则，当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 时，，单调递增， 此时是函数的极小值点，不符合题意； 综上所述，实数的取值范围为． （2）证明：由（1）可知，当时，在上单调递增，在上单调递减， 所以． （3）证明：由（1）可知，①当时，在上单调递增，且， 所以函数有且仅有1个零点； ②当时，在和上单调递增，在上单调递减， 且，所以在区间无零点， 由， 令， 则， 设， 则， 所以在上单调递减， 所以， 所以在上单调递减， 所以 由， 则 所以，即， 又因为，， 所以函数有且仅有1个零点在区间内； 综上所述，若，函数有且仅有1个零点． 16．（25-26高二下·山东日照·期中）已知函数，. (1)若函数在点处的切线方程为，求，的值； (2)若函数在上单调递增，求的取值范围. 【解析】（1）由题，，因为在处的切线为，所以， 代入得切点为，切点在切线上，则. （2）由题，求导得， 由在上单调递增，得在上恒成立， 当时，，因此在上恒成立，又，则 17．（24-25高二下·江苏苏州·阶段检测）已知函数． (1)试讨论函数的单调性； (2)当时，不等式恒成立，求整数的最大值． 【解析】（1）由，求导得，， 当时，，则在上单调递减， 当时，令，则， 当，，则在上单调递减， 当，，则在上单调递增， 故时，在上单调递减， 时，在上单调递减，在上单调递增. （2）由，不等式恒成立， 转化为， 构造函数， 求导 若时，则，所以在单调递减， 由于对于成立， 当时，则， 故，令，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故，但是，不满足题意. 故整数的最大值为. 18．（24-25高二下·广东·期中）设函数a为常数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在上是否存在极值？若存在，请求出，若不存在，说明理由； (3)已知，若为增函数，求a. 【解析】（1）当时，，则， ，切点为，切线斜率为， 切线方程为，整理得， （2）， 当时，递增，无极值； 当时，得， 得得， 所以在单调递减，在单调递增 所以时有极小值，无极大值， 综上：当时，无极值； 当时，有极小值，无极大值． （3）为增函数，恒成立， 方法1：令， 则， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 当时，取得极小值，也是最小值， ， 令，令，解得， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 又， ． 方法2：，解得，或， 当时，，易知，不符题意； 当时，，设，则， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 当时，取得极小值，也是最小值，，符合题意； 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章 导数及其应用 知识点一、导数定义与几何意义 1、①函数从到的平均变化率为：. 变式：. ②函数在处附近的平均变化率为：. ③平均变化率的几何意义：割线的斜率； 平均变化率的物理意义：平均速度（将视为作直线运动时位移关于时间的函数）. 2、函数在处的瞬时变化率（导数）：. 几何意义：切线的斜率； 物理意义：瞬时速度（将视为作直线运动时位移关于时间的函数）. 变式：①，②，③ 3、导数的几何意义：函数在处的导数就是曲线上的点处切线的斜率 即，因此切线方程是：. 知识点二、导数的计算 1、基本初等函数的导数公式：①若，则，简记为为常数) ②若，则，简记为 ③若，则，简记为 ④若，则，简记为 ⑤若，则，简记为 ⑥若，则，简记为 ⑦若，则，简记为 ⑧若，则，简记为 2、和差积商法则：①；②； ③；④． 3、复合函数的求导法则： 复合函数的导数与函数，的导数间的关系是 知识点三、导数研究单调性 1、函数的单调性与其导函数的正负有如下关系： 在某个区间内，①如果，那么函数在这个区间内单调递增 ②如果，那么函数在这个区间内单调递减 ③如果，那么函数在这个区间内为常数函数 2、求单调区间的方法： ①通过解不等式或(等号可要可不要)； ②求，并可适当整理，尽量将整理成，，…，之积商的形式，借助数轴分段确定单调性，或直接观察解析式得出单调性． 注意：⑴写单调区间时，正确表示方法是：多个单调区间之间用逗号隔开，绝对不能用符号“”． ⑵若在某个区间上单调递增，则；若在某个区间上单调递减，则； ⑶设，，且，那么 ①在是增函数恒成立 ②在是减函数恒成立 知识点四、函数的极值 极小值：若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，，而且在点附近的左侧，右侧，则把点叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值． 极大值：若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，，而且在点附近的左侧，右侧，则把点叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值． 极小值点、极大值点统称为极值点（的值，不是坐标），极小值、极大值统称为极值． 知识点五、函数的最值 1、函数在区间上有最值的条件： 如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． 2、一般地，求函数在区间上的最大值和最小值的步骤如下： ⑴求函数在区间上的极值； ⑵将函数的各极值与端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，其中最小的一个是最小值． 易错点1 导数概念与几何意义类 易错提醒 1、混淆 “在点 P 处的切线” 与 “过点 P 的切线”：前者 P 为切点，仅有一条切线；后者 P 可能不是切点，需设切点列方程求解，极易漏解。 2、导数定义的极限变形失误：对自变量增量的符号、倍数、趋近方向判断错误，未配凑成\(f'(x_0)\)的标准定义式，导致计算结果偏差。 【对点训练】1．求下列直线的方程： (1)曲线在处的切线； (2)曲线过点的切线. 易错点2 求导运算类 易错提醒 复合函数求导漏乘内层函数导数，多层复合时遗漏求导环节 【对点训练】2．求下列函数的导函数 (1) (2) (3) (4) 易错点3 单调性判定与应用类 易错提醒 1、求单调区间忽略函数定义域（尤其含对数、分式的函数），导致区间范围出错； 2、已知单调性求参数范围时，混淆充分与充要条件 【对点训练】3．已知函数. (1)若在R上为增函数，求a的取值范围； (2)若在上为增函数，求a的取值范围； (3)若在上为减函数，求a的取值范围； (4)若的单调递减区间为，求a的值； (5)若在上不单调，求a的取值范围． 易错点4 极值与最值类 易错提醒 1、误将导数为 0 的驻点直接当作极值点，忽略验证该点左右导数符号是否改变；同时易遗漏 “导数不存在但函数连续的点” 也可能是极值点，导致极值点找不全。 2、闭区间求最值时，仅比较极值点函数值，遗漏区间端点的函数值；混淆局部 “极值” 与全局 “最值” 概念，误将极值直接当作最值。 【对点训练】4．若函数在处有极小值，则实数的值为（   ） A． B． C．或 D． 易错点5 恒成立与零点综合类 1、分离参数求解恒成立问题时，忽略参数系数的正负，导致不等号方向出错；含参函数分类讨论时标准不清晰，遗漏导数无零点、恒正 / 恒负的情况。 2、零点个数判断中，仅依赖单调性分析，未结合端点极限、特殊值验证，导致零点个数误判；极值点偏移问题中构造对称函数时忽略定义域限制，变形不等价。 【对点训练】5．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有且仅有一个零点，求实数的取值范围； (3)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围． 易错点6 实际优化问题类 易错提醒 建立函数模型时忽略变量的实际意义（如长度、面积为正），导致定义域错误；求出极值后未验证是否为区间内最值，直接当作最优解。 【对点训练】6．甲、乙两地相距千米，汽车从甲地匀速驶向乙地，速度不得超过千米/小时．已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度（千米/小时）的立方成正比，比例系数为，固定部分为． (1)把全部运输成本元表示为速度（千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域； (2)为了使全部运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？ 1．（2026·全国·模拟预测）已知函数，则曲线在处的切线方程是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·贵州安顺·期末）若函数的图象在点处的切线与函数的图象在点处的切线相同，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·广东汕尾·期中）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列描述正确的是（    ）    A．在单调递增 B．在处取得极大值 C．在单调递增 D．在处取得最大值 4．（25-26高二上·浙江金华·期末）火箭发射后，其高度（单位：m）为，则发射后第10s时，火箭爬高的瞬时速度为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·河南新乡·三模）已知函数的极小值为，则实数的值为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 6．（20-21高二下·福建泉州·期中）已知函数在时取得极值，则（    ） A．10 B．5 C．4 D．2 7．（20-21高二下·广东湛江·期中）是定义在上的可导函数，且满足，对任意正数，若，则必有（    ） A． B． C． D． 8．（20-21高二下·江西景德镇·期中）以下在区间单调递减的函数个数为（    ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（多选题）（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期中）下列求导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（多选题）（2026·河南开封·模拟预测）已知函数，下列说法正确的是（   ） A．的零点为 B．有两个极值点 C．在处取得极小值 D．在上单调递增 11．（多选题）（25-26高三上·内蒙古赤峰·阶段检测）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．当时，只有一个零点 B．若有极值点，则的取值范围为 C．存在负数，使得在上单调递增 D．过点且与曲线相切的直线只有一条 12．（24-25高二上·湖南株洲·阶段检测）函数的单调递增区间为______． 13．（25-26高二下·安徽安庆·开学考试）已知曲线在处的切线与曲线相切，则的值为________． 14．（25-26高二下·天津·阶段检测）若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数________． 15．（25-26高二下·黑龙江·期末）已知函数． (1)若是函数的极大值点，求实数的取值范围； (2)若，求证：； (3)若，求证：函数有且仅有1个零点． 16．（25-26高二下·山东日照·期中）已知函数，. (1)若函数在点处的切线方程为，求，的值； (2)若函数在上单调递增，求的取值范围. 17．（24-25高二下·江苏苏州·阶段检测）已知函数． (1)试讨论函数的单调性； (2)当时，不等式恒成立，求整数的最大值． 18．（24-25高二下·广东·期中）设函数a为常数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在上是否存在极值？若存在，请求出，若不存在，说明理由； (3)已知，若为增函数，求a. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $