第二章 直线与圆的方程分层梯度题型试题-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2026-2027学年高二数学第一学期期中章节复习资料--分层梯度题型精练 筑基蓄力：高二上数学期中复盘 2026- -2027学年 章节专项复习资料 |夯实基础|梳理考点|章节过关|期中冲刺| 第二章 直线与圆的方程（分层梯度题型精练）【解析】 （人教 A 版··选择性必修第一册 · 适用高二） 【分层梯度题型精练】 （满分 分，建议用时 分钟） 一、单项选择题（本题共 小题，每小题 分，共 分） 答案速查表 题号 答案 B A A A B A A A AD ABD ACD 题号 答案 （或 、、 中任一个） .（中等题型） 过点 且在两坐标轴上的截距相等的直线共有（　　） A． 条　　 B． 条 C． 条　　 D． 条 答案： B　 【解析】截距相等分两类： ①过原点（两截距均为 ）：设 ，代入 得 ，直线 ； ②不过原点：设 ，代入得 ，，直线 。共 条。 【点评】「截距相等」最容易漏掉过原点的情形——此时截距式 失效，必须单独设 。 .（中等题型） 圆 关于直线 对称的圆的方程为（　　） A．　　 B． C．　　 D． 答案 ：A　 【解析】圆心 关于 的对称点为 型： 由中点在对称轴上且连线垂直（斜率 ）得对称点 。半径不变， 故对称圆为 。 【点评】点 关于 的对称点即 ，与关于 的对称点 是两套公式，勿混。 .（提高题型） 若直线 与圆 总有两个不同的交点，则实数 的取值范围是（　　） A．　　 B． C．　　 D． 答案: A　 【解析】圆即 ，圆心 ，半径 。 直线 恒过点 ，而 到圆心距离 ， 即定点在圆内部——过圆内一点的任何直线都与圆相交于两点。 故任意 都满足，选 A。 【点评】很多人一上来联立判别式展开讨论，实际应先看直线是否恒过圆内定点：「定点在圆内则恒相交」可秒判。选项 B 的 是把「切于」当成了排除项。 .（提高题型） 已知圆 经过点 ，，且圆心在直线 上，则圆 的方程为（　　） A．　　 B． C．　　 D． 答案 :A　 【解析】 的中垂线为 ，圆心在 与 的交点，即圆心 。 半径 。 故 ，选 A。 【点评】弦的垂直平分线过圆心——两个几何条件定圆心，比设一般方程解三元方程组快得多。 .（提高题型）已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 答案:B 【解析】由题意，在圆中，圆心，半径为， 到直线的距离为的点有且仅有 个， ∵圆心到直线的距离为：， 故由图可知， 当时，圆上有且仅有一个点（点）到直线的距离等于； 当时，圆上有且仅有三个点（点）到直线的距离等于； 当则的取值范围为时，圆上有且仅有两个点到直线的距离等于. 故B. .（高考题型·改编） 过点 与圆 相切的两条直线的夹角为 ，则 （　　） A．　　 B． C．　　 D． 答案 A　 【解析】圆即 ，圆心 ，。，故 选 A。 【点评】与例 同源考法（·新高考Ⅰ卷·）：两切线夹角只由 决定。 本题用万能公式从 直接算 ，比乘积式更快。 .（高考题型·改编） 已知直线 ： 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，与圆 ：（）交于 、 两点，且 ，则 （　　） A．　　 B． C．　　 D． 答案 :A　 【解析】，，。圆心 到 的距离 。 由 得 ，即 ，故 选 A。 【点评】与例 （·天津卷·）同源考法：本题把比例系数从 改为 ，其余步骤完全一致—— 先算 与 ，再用 收口。 .（创新题型） 已知圆 ：（），若对任意实数 ，直线 与圆 恒有公共点，则 的最小值为（　　） A．　　 B． C．　　 D． 答案 :A　 【解析】按 整理直线：。对任意 成立须 且 ，即恒过定点 。 「对任意 与圆恒有公共点」 在圆内或圆上： 故 ，选 A。 【点评】直线系过定点问题与「恒有公共点」条件的结合：定点在圆内或圆上 圆心到定点距离不超过半径。 若定点在圆外，则存在使直线与圆相离的 ，与条件矛盾。 二、多项选择题（本题共 小题，每小题 分，共 分。全部选对得 分，部分选对得部分分，有选错的得 分） .（高考题型） 已知圆 ：，则下列说法正确的是（　　） A．圆心坐标为 B．圆 与 轴相切 C．点 在圆 上 D．直线 被圆 截得的弦长为 答案 :AD　 【解析】配方：，圆心 ，，A 对； 圆心到 轴距离 ，圆与 轴相交不相切，B 错； ，C 错； 圆心到直线 的距离 ，弦长 ，D 对。 .（高考题型） 已知直线 ： 与圆 ：，则下列说法正确的是（　　） A．直线 恒过定点 B．当 与圆 相切时， 共有 个不同的值 C．当 被圆 截得的弦最短时， D．当 被圆 截得的弦最长时， 答案 :ABD 【解析】按 整理：。令 且 得定点 ，A 对。 定点到圆心 的距离为 ，定点在圆外，切线有 条，B 对。 弦最短 圆心与定点的连线，其斜率为 ，故 ； 而 ，解 得 ，C 错（说 ）。 弦最长即 过圆心：，，D 对。 .（高考题型） 已知圆 ： 与直线 ：，则下列说法正确的是（　　） A．当 时， 与圆 相切 B．当 时， 被圆 截得的弦长为 C．当 时，圆 上到直线 的距离等于 的点共有 个 D．当 时， 与圆 相交 答案 :ACD　 【解析】 时圆心到 距离 ，相切，A 对； 时 ，弦长为直径 ，B 错（说 ）； 时到 距离为 的点满足 两条平行线与圆的交点： ，两条都相交，共 个点，C 对； 时 ，相交，D 对。 【点评】多选 的 B、C 两项都是「数点」问题：圆上到直线距离为定值的点数由辅助平行线与圆的位置决定， 时两条辅助线分别割圆得 点，是最大值情形。 三、填空题（本题共 小题，每小题 分，共 分） .（中等题型） 点 到直线 的距离为 。 答案 :　 【解析】。 .（中等题型） 若圆 与 轴相切，则 。 答案: 　 【解析】圆即 ，圆心 ，圆心到 轴距离为 。 相切 ，故 （同时满足 ）。 .（提高题型·高考真题） （·新高考Ⅱ卷·）已知直线 与圆 ： 交于 、 两点，写出满足「 的面积为 」的 的一个值 。 答案 （或 、、 中任一个）　 【解析】圆心 ，，（、 在圆上）。 ，得 。 设 ，则 ，解得 或 ，圆心到直线的距离 或 。 又 解得 或 ，任写一个即可。 【点评】本题是 ·新高考Ⅱ卷· 原题（开放型填空，答案不唯一）。 核心链条：面积 → 顶角正弦 → 半角 → 弦心距 → 点线距公式反解参数；几何法比联立代数法省一半运算。 四、解答题（本题共 小题，共 分） .（中等题型， 分） 已知直线 ：，：。 （）求 与 的交点坐标； （）求过该交点且与直线 垂直的直线 的方程。 答案:（）；（）。 【解析】（）联立 由第二式 代入第一式：，，。交点为 。 （）直线 的斜率为 ，所求 与之垂直，斜率为 。由点斜式： 整理得 。 【评分要点】 （） 分：联立 分、解出交点 分； （） 分：垂直斜率 分、点斜式并整理 分。 .（中等题型， 分） 已知圆 经过点 ，，且圆心在 轴上。 （）求圆 的方程； （）求过点 的圆 的切线方程。 答案:（）； （） 或 。 【解析】（）圆心在 轴上，设圆心 。由 ： 展开得 ，。半径 。圆 ：。 （）， 在圆外，切线两条。 若斜率不存在，直线 ，圆心到它的距离 ，是切线； 若斜率为 ，切线 ，由 得 ，切线 。 综上，切线为 或 。 【点评】本解特意保留「先试斜率不存在的竖直线」的步骤： 与圆心的横坐标差 ，竖直线恰是切线；若先设点斜式解出唯一 而忘掉 ，就丢了一条切线。 【评分要点】 （） 分：设圆心 分、等距方程 分、结论 分； （） 分：判断圆外 分、竖直线讨论 分、斜率情形 分、结论 分。 .（高考题型， 分） 已知圆 ：。 （）过点 作圆 的切线，求切线长； （）求直线 ： 被圆 截得的弦长； （）设点 在圆 上，求 的最大值与最小值。 答案:（）； （）； （）最大值 ，最小值 。 【解析】圆即 ，圆心 ，。 （）， 在圆外，切线长 （）圆心到 的距离 相交。弦长 （）设圆心 对应的值为 。 目标向量 的模为 ，故 【点评】第（）问的原理： 是平行直线族 的截距的相反数， 取最值时直线与圆相切，。记住公式： 的最值 。 【评分要点】 （） 分：位置判断 分、切线长 分； （） 分：距离 分、弦长 分； （） 分：圆心值 分、最值各 分。 .（高考题型， 分） 已知圆 ：，点 ， 为 关于 轴的对称点。 （）求过点 且与圆 相切的直线方程； （）求圆 关于直线 对称的圆的方程，并判断它与圆 的位置关系。 答案:（） 或 ； （），两圆外离。 【解析】（）。， 在圆外，切线两条。 若斜率不存在，直线 ，圆心到它的距离 ，是切线； 若斜率为 ，切线 ，由 切线 。综上，切线为 或 。 （）点 关于直线 的对称点为 （中点落在对称轴上且连线斜率为 ， 由此可推出该公式）。故圆心 的对称点为 ，半径不变，对称圆为 两圆圆心距 ，，故两圆外离。 【点评】第（）问先给出联立求对称点的过程、再用公式 复核，两法结果一致（）；两圆位置关系的判定只需圆心距与半径和差比较，与坐标系无关。 【评分要点】 （） 分：位置判断 分、竖直线讨论 分、斜率情形 分、结论 分； （） 分：对称点 分、新圆方程 分、位置关系 分。 .（创新题型， 分） 定义：平面上一点 到圆 上各点距离的最小值称为 到圆 的「近距」，最大值称为「远距」。已知圆 ：。 （）求点 到圆 的近距与远距； （）设 为直线 ： 上的动点，求 到圆 的近距的最小值； （）设 为直线 ： 上的动点，若 到圆 的近距恒大于 ，求实数 的取值范围。 答案:（）近距 ，远距 ； （）； （） 或 。 【解析】（）， 在圆外。 近距 ，远距 （最小、最大分别取在 连线与圆的两交点处）。 （） 在直线 上，近距 ，最小即 最小。圆心 到直线 的距离 故近距的最小值为 （垂足处取得）。 （） 到圆 的近距恒大于 ， 其中 为圆心 到直线 ： 的距离： 解得 或 。 【点评】「近距、远距」新定义的本质仍是 ：把新概念翻译成圆心距问题后，第（）（）问都是「圆心到直线的距离」一步计算。定义题的解题起点永远是「翻译定义」。 【评分要点】 （） 分：位置判断与近距 分、远距 分； （） 分：转化 分、距离计算与结论 分； （） 分：翻译条件 分、解不等式 分、结论 分。 六、考后自评与备考建议 难度档 覆盖题目 满分 得分 中等题型 单选 –、填空 –、解答 – ＿＿＿ 提高考点 单选 –、填空 ＿＿＿ 高考题型 单选 –、多选 –、解答 – ＿＿＿ 创新题型 单选 、解答 ＿＿＿ 合计 ＿＿＿ 备考建议： 1. 得分低于 分时，优先回看知识要点第 节（弦长公式）与例 、变式 （切线讨论）； 2. 得分– 分重点复盘例 、例 与多选 （定点、隐形圆）； 3. 得分 分以上可将解答 的定义推广到「远距恒小于某值」自编变式，检验迁移能力。 第 1 页　共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年高二数学第一学期期中章节复习资料--分层梯度题型精练 筑基蓄力：高二上数学期中复盘 2026- -2027学年 章节专项复习资料 |夯实基础|梳理考点|章节过关|期中冲刺| 第二章 直线与圆的方程 （人教 A 版··选择性必修第一册 · 适用高二） 【分层梯度题型精练】 （满分 分，建议用时 分钟） 一、单项选择题（本题共 小题，每小题 分，共 分） .（中等题型） 过点 且在两坐标轴上的截距相等的直线共有（　　） A． 条　　 B． 条 C． 条　　 D． 条 .（中等题型） 圆 关于直线 对称的圆的方程为（　　） A．　　 B． C．　　 D． .（提高题型） 若直线 与圆 总有两个不同的交点，则实数 的取值范围是（　　） A．　　 B． C．　　 D． .（提高题型） 已知圆 经过点 ，，且圆心在直线 上，则圆 的方程为（　　） A．　　 B． C．　　 D． .（提高题型）已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． .（高考题型·改编） 过点 与圆 相切的两条直线的夹角为 ，则 （　　） A．　　 B． C．　　 D． .（高考题型·改编） 已知直线 ： 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，与圆 ：（）交于 、 两点，且 ，则 （　　） A．　　 B． C．　　 D． .（创新题型） 已知圆 ：（），若对任意实数 ，直线 与圆 恒有公共点，则 的最小值为（　　） A．　　 B． C．　　 D． 二、多项选择题（本题共 小题，每小题 分，共 分。全部选对得 分，部分选对得部分分，有选错的得 分） .（高考题型） 已知圆 ：，则下列说法正确的是（　　） A．圆心坐标为 B．圆 与 轴相切 C．点 在圆 上 D．直线 被圆 截得的弦长为 .（高考题型） 已知直线 ： 与圆 ：，则下列说法正确的是（　　） A．直线 恒过定点 B．当 与圆 相切时， 共有 个不同的值 C．当 被圆 截得的弦最短时， D．当 被圆 截得的弦最长时， .（高考题型） 已知圆 ： 与直线 ：，则下列说法正确的是（　　） A．当 时， 与圆 相切 B．当 时， 被圆 截得的弦长为 C．当 时，圆 上到直线 的距离等于 的点共有 个 D．当 时， 与圆 相交 三、填空题（本题共 小题，每小题 分，共 分） .（中等题型） 点 到直线 的距离为 。 .（中等题型） 若圆 与 轴相切，则 。 .（提高题型·高考真题） （·新高考Ⅱ卷·）已知直线 与圆 ： 交于 、 两点，写出满足「 的面积为 」的 的一个值 。 四、解答题（本题共 小题，共 分） .（中等题型， 分） 已知直线 ：，：。 （）求 与 的交点坐标； （）求过该交点且与直线 垂直的直线 的方程。 .（中等题型， 分） 已知圆 经过点 ，，且圆心在 轴上。 （）求圆 的方程； （）求过点 的圆 的切线方程。 .（高考题型， 分） 已知圆 ：。 （）过点 作圆 的切线，求切线长； （）求直线 ： 被圆 截得的弦长； （）设点 在圆 上，求 的最大值与最小值。 .（高考题型， 分） 已知圆 ：，点 ， 为 关于 轴的对称点。 （）求过点 且与圆 相切的直线方程； （）求圆 关于直线 对称的圆的方程，并判断它与圆 的位置关系。 .（创新题型， 分） 定义：平面上一点 到圆 上各点距离的最小值称为 到圆 的「近距」，最大值称为「远距」。已知圆 ：。 （）求点 到圆 的近距与远距； （）设 为直线 ： 上的动点，求 到圆 的近距的最小值； （）设 为直线 ： 上的动点，若 到圆 的近距恒大于 ，求实数 的取值范围。 第 1 页　共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年高二数学第一学期期中章节复习资料--分层梯度题型精练 筑基蓄力：高二上数学期中复盘 2026- -2027学年 章节专项复习资料 |夯实基础|梳理考点|章节过关|期中冲刺| 第二章 直线与圆的方程 （人教 A 版··选择性必修第一册 · 适用高二） 【分层梯度题型精练】【解析+答案】 （满分 分，建议用时 分钟） 一、单项选择题（本题共 小题，每小题 分，共 分） .（中等题型） 过点 且在两坐标轴上的截距相等的直线共有（　　） A． 条　　 B． 条 C． 条　　 D． 条 .（中等题型） 圆 关于直线 对称的圆的方程为（　　） A．　　 B． C．　　 D． .（提高题型） 若直线 与圆 总有两个不同的交点，则实数 的取值范围是（　　） A．　　 B． C．　　 D． .（提高题型） 已知圆 经过点 ，，且圆心在直线 上，则圆 的方程为（　　） A．　　 B． C．　　 D． .（提高题型）已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． .（高考题型·改编） 过点 与圆 相切的两条直线的夹角为 ，则 （　　） A．　　 B． C．　　 D． .（高考题型·改编） 已知直线 ： 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，与圆 ：（）交于 、 两点，且 ，则 （　　） A．　　 B． C．　　 D． .（创新题型） 已知圆 ：（），若对任意实数 ，直线 与圆 恒有公共点，则 的最小值为（　　） A．　　 B． C．　　 D． 二、多项选择题（本题共 小题，每小题 分，共 分。全部选对得 分，部分选对得部分分，有选错的得 分） .（高考题型） 已知圆 ：，则下列说法正确的是（　　） A．圆心坐标为 B．圆 与 轴相切 C．点 在圆 上 D．直线 被圆 截得的弦长为 .（高考题型） 已知直线 ： 与圆 ：，则下列说法正确的是（　　） A．直线 恒过定点 B．当 与圆 相切时， 共有 个不同的值 C．当 被圆 截得的弦最短时， D．当 被圆 截得的弦最长时， .（高考题型） 已知圆 ： 与直线 ：，则下列说法正确的是（　　） A．当 时， 与圆 相切 B．当 时， 被圆 截得的弦长为 C．当 时，圆 上到直线 的距离等于 的点共有 个 D．当 时， 与圆 相交 三、填空题（本题共 小题，每小题 分，共 分） .（中等题型） 点 到直线 的距离为 。 .（中等题型） 若圆 与 轴相切，则 。 .（提高题型·高考真题） （·新高考Ⅱ卷·）已知直线 与圆 ： 交于 、 两点，写出满足「 的面积为 」的 的一个值 。 四、解答题（本题共 小题，共 分） .（中等题型， 分） 已知直线 ：，：。 （）求 与 的交点坐标； （）求过该交点且与直线 垂直的直线 的方程。 .（中等题型， 分） 已知圆 经过点 ，，且圆心在 轴上。 （）求圆 的方程； （）求过点 的圆 的切线方程。 .（高考题型， 分） 已知圆 ：。 （）过点 作圆 的切线，求切线长； （）求直线 ： 被圆 截得的弦长； （）设点 在圆 上，求 的最大值与最小值。 .（高考题型， 分） 已知圆 ：，点 ， 为 关于 轴的对称点。 （）求过点 且与圆 相切的直线方程； （）求圆 关于直线 对称的圆的方程，并判断它与圆 的位置关系。 .（创新题型， 分） 定义：平面上一点 到圆 上各点距离的最小值称为 到圆 的「近距」，最大值称为「远距」。已知圆 ：。 （）求点 到圆 的近距与远距； （）设 为直线 ： 上的动点，求 到圆 的近距的最小值； （）设 为直线 ： 上的动点，若 到圆 的近距恒大于 ，求实数 的取值范围。 五、参考答案与详细解析 答案速查表 题号 答案 B A A A B A A A AD ABD ACD 题号 答案 （或 、、 中任一个） 一、单项选择题详解 ．答案 B　 【解析】截距相等分两类： ①过原点（两截距均为 ）：设 ，代入 得 ，直线 ； ②不过原点：设 ，代入得 ，，直线 。共 条。 【点评】「截距相等」最容易漏掉过原点的情形——此时截距式 失效，必须单独设 。 2． 答案 A　 【解析】圆心 关于 的对称点为 型： 由中点在对称轴上且连线垂直（斜率 ）得对称点 。半径不变， 故对称圆为 。 【点评】点 关于 的对称点即 ，与关于 的对称点 是两套公式，勿混。 3． 答案 A　 【解析】圆即 ，圆心 ，半径 。 直线 恒过点 ，而 到圆心距离 ， 即定点在圆内部——过圆内一点的任何直线都与圆相交于两点。 故任意 都满足，选 A。 【点评】很多人一上来联立判别式展开讨论，实际应先看直线是否恒过圆内定点：「定点在圆内则恒相交」可秒判。选项 B 的 是把「切于」当成了排除项。 4． 答案 A　 【解析】 的中垂线为 ，圆心在 与 的交点，即圆心 。 半径 。 故 ，选 A。 【点评】弦的垂直平分线过圆心——两个几何条件定圆心，比设一般方程解三元方程组快得多。 答案:B 【解析】由题意，在圆中，圆心，半径为， 到直线的距离为的点有且仅有 个， ∵圆心到直线的距离为：， 故由图可知， 当时，圆上有且仅有一个点（点）到直线的距离等于； 当时，圆上有且仅有三个点（点）到直线的距离等于； 当则的取值范围为时，圆上有且仅有两个点到直线的距离等于. 故B. 5． 答案 A　 【解析】圆即 ，圆心 ，。，故 选 A。 【点评】与例 同源考法（·新高考Ⅰ卷·）：两切线夹角只由 决定。 本题用万能公式从 直接算 ，比乘积式更快。 6． 答案 A　 【解析】，，。圆心 到 的距离 。 由 得 ，即 ，故 选 A。 【点评】与例 （·天津卷·）同源考法：本题把比例系数从 改为 ，其余步骤完全一致—— 先算 与 ，再用 收口。 7． 答案 A　 【解析】按 整理直线：。对任意 成立须 且 ，即恒过定点 。 「对任意 与圆恒有公共点」 在圆内或圆上： 故 ，选 A。 【点评】直线系过定点问题与「恒有公共点」条件的结合：定点在圆内或圆上 圆心到定点距离不超过半径。 若定点在圆外，则存在使直线与圆相离的 ，与条件矛盾。 二、多项选择题详解 ．答案 AD　 【解析】配方：，圆心 ，，A 对； 圆心到 轴距离 ，圆与 轴相交不相切，B 错； ，C 错； 圆心到直线 的距离 ，弦长 ，D 对。 ．答案 ABD 【解析】按 整理：。令 且 得定点 ，A 对。 定点到圆心 的距离为 ，定点在圆外，切线有 条，B 对。 弦最短 圆心与定点的连线，其斜率为 ，故 ； 而 ，解 得 ，C 错（说 ）。 弦最长即 过圆心：，，D 对。 11． 答案 ACD　 【解析】 时圆心到 距离 ，相切，A 对； 时 ，弦长为直径 ，B 错（说 ）； 时到 距离为 的点满足 两条平行线与圆的交点： ，两条都相交，共 个点，C 对； 时 ，相交，D 对。 【点评】多选 的 B、C 两项都是「数点」问题：圆上到直线距离为定值的点数由辅助平行线与圆的位置决定， 时两条辅助线分别割圆得 点，是最大值情形。 三、填空题详解 ．答案 　 【解析】。 13.答案 　 【解析】圆即 ，圆心 ，圆心到 轴距离为 。 相切 ，故 （同时满足 ）。 14． 答案 （或 、、 中任一个）　 【解析】圆心 ，，（、 在圆上）。 ，得 。 设 ，则 ，解得 或 ，圆心到直线的距离 或 。 又 解得 或 ，任写一个即可。 【点评】本题是 ·新高考Ⅱ卷· 原题（开放型填空，答案不唯一）。 核心链条：面积 → 顶角正弦 → 半角 → 弦心距 → 点线距公式反解参数；几何法比联立代数法省一半运算。 四、解答题详解 ．答案（）；（）。 【解析】（）联立 由第二式 代入第一式：，，。交点为 。 （）直线 的斜率为 ，所求 与之垂直，斜率为 。由点斜式： 整理得 。 【评分要点】（） 分：联立 分、解出交点 分；（） 分：垂直斜率 分、点斜式并整理 分。 ．答案（）；（） 或 。 【解析】（）圆心在 轴上，设圆心 。由 ： 展开得 ，。半径 。圆 ：。 （）， 在圆外，切线两条。若斜率不存在，直线 ，圆心到它的距离 ，是切线；若斜率为 ，切线 ，由 得 ，切线 。综上，切线为 或 。 【点评】本解特意保留「先试斜率不存在的竖直线」的步骤： 与圆心的横坐标差 ，竖直线恰是切线；若先设点斜式解出唯一 而忘掉 ，就丢了一条切线。 【评分要点】 （） 分：设圆心 分、等距方程 分、结论 分； （） 分：判断圆外 分、竖直线讨论 分、斜率情形 分、结论 分。 ．答案（）；（）；（）最大值 ，最小值 。 【解析】圆即 ，圆心 ，。 （）， 在圆外，切线长 （）圆心到 的距离 相交。弦长 （）设圆心 对应的值为 。目标向量 的模为 ，故 【点评】第（）问的原理： 是平行直线族 的截距的相反数， 取最值时直线与圆相切，。记住公式： 的最值 。 【评分要点】 （） 分：位置判断 分、切线长 分； （） 分：距离 分、弦长 分； （） 分：圆心值 分、最值各 分。 ．答案（） 或 ；（），两圆外离。 【解析】（）。， 在圆外，切线两条。 若斜率不存在，直线 ，圆心到它的距离 ，是切线； 若斜率为 ，切线 ，由 切线 。综上，切线为 或 。 （）点 关于直线 的对称点为 （中点落在对称轴上且连线斜率为 ， 由此可推出该公式）。故圆心 的对称点为 ，半径不变，对称圆为 两圆圆心距 ，，故两圆外离。 【点评】第（）问先给出联立求对称点的过程、再用公式 复核，两法结果一致（）；两圆位置关系的判定只需圆心距与半径和差比较，与坐标系无关。 【评分要点】 （） 分：位置判断 分、竖直线讨论 分、斜率情形 分、结论 分； （） 分：对称点 分、新圆方程 分、位置关系 分。 ．答案（）近距 ，远距 ；（）；（） 或 。 【解析】（）， 在圆外。 近距 ，远距 （最小、最大分别取在 连线与圆的两交点处）。 （） 在直线 上，近距 ，最小即 最小。圆心 到直线 的距离 故近距的最小值为 （垂足处取得）。 （） 到圆 的近距恒大于 ， 其中 为圆心 到直线 ： 的距离： 解得 或 。 【点评】「近距、远距」新定义的本质仍是 ：把新概念翻译成圆心距问题后，第（）（）问都是「圆心到直线的距离」一步计算。定义题的解题起点永远是「翻译定义」。 【评分要点】 （） 分：位置判断与近距 分、远距 分； （） 分：转化 分、距离计算与结论 分； （） 分：翻译条件 分、解不等式 分、结论 分。 六、考后自评与备考建议 难度档 覆盖题目 满分 得分 中等题型 单选 –、填空 –、解答 – ＿＿＿ 提高考点 单选 –、填空 ＿＿＿ 高考题型 单选 –、多选 –、解答 – ＿＿＿ 创新题型 单选 、解答 ＿＿＿ 合计 ＿＿＿ 备考建议： 1. 得分低于 分时，优先回看知识要点第 节（弦长公式）与例 、变式 （切线讨论）； 2. 得分– 分重点复盘例 、例 与多选 （定点、隐形圆）； 3. 得分 分以上可将解答 的定义推广到「远距恒小于某值」自编变式，检验迁移能力。 第 1 页　共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $