专题02 立体几何中的外接球、内切球模型（考点清单）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02立体几何中的外接球、内切球模型 目录导航 @知识脑图•核心脉络搭建一一梳理专题框皋，搭建知识体集 @2考点深研知能分层突破一一深挖高频考点，分层突破重唯点 考点O2补全图形求外接球 )基础梳理·自主夯基 考点03二面角模型的外接球 考点01简单几何体的外接球 考点04内切球 @3素养进阶答题技法突破一一提爆解题范式，提升答题素养 考点聚焦·解法深研 题型03侧棱相等或者侧棱垂直模型 题型04二面角模型 题型01简单几何体的外接球 题型05直角三角形共斜边模型 题型02补全为方体的外接球模型 题型06内切球模型 题型O7多切球模型 @4优题精练•专题实战通关一一着选优质试题，化实战应用 1/18 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知识脑图核心脉络搭建 正方体与长方体：体对角线为直径 圆柱：轴截面矩形对角线为直径 一、简单几何体的外接球 圆锥：轴截面三角形外接圆 台体：上下底面外接圆圆心连线，结合勾股定理 墙角模型：三条棱互相垂直，补全为长方体 对棱相等模型：三对对棱分别相等，补全为长方体 外接球与 二、 补全图形法 侧棱垂直底面：补全为直棱柱或圆柱 内切球模 侧棱相等：顶点投影为底面外心，补全为圆锥 型 面面垂直模型：找两个面的外心，作垂线交于球心 三、 二面角模型 般二面角模型：找两个面外心，解多边形求球心距 直角三角形共斜边：斜边中点为球心，斜边长为直径 锥体：作轴截面，转化为平面内切圆问题 四、 内切球模型 台体：作轴截面，利用相似比或切线长定理求半径 小考点深研知能分层突破 基础梳理·自主夯基一一核心必记 《。考点01简单几何体的外接球 1、正方体与长方体的外接球 3 (1)若正方体边长为0，则它的外接球半径为2a 2/18 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)若长方体的三边长分别为a,b,c则它的外接球半径为3a+b+C 2 2、圆锥的外接球 若圆锥的高为，底部半径为，母线长为1，则圆维的外接球半径R=+r- 2h 2h 3、柱体的外接球 0 w5 0 (1)圆柱的高为h,底面半径为，则圆柱的外接球半径 -r+ (2)若是直棱柱，则可以先找直棱柱上下底的外接圆，求外接圆半径「，然后补成圆柱，按圆柱的外接球 半径公式来算即可。 4、台体的外接球 ...101 0 0 (1)圆台的上底半径r1,下底半径”2，高为h,(如图1，图2)，两次使用勾股定理，可求得它的外接球的 半径R2=r+ r2-r-h22 2h (2)棱台的外接球（如图3），先找上下底面的外接圆半径，然后按照圆台的外接球半径公 3/18 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 式。 【新题对点练】 (2026江西上饶·二模)已知某圆锥底面半径为1，高为3，则该圆锥的外接球表面积为 () 25 5 75 100 A. B.2 C. 4 D.9 《。考点02补全图形求外接球 1、补全为正方体与长方体的外接球 墙角模型1 墙角模型2 墙角模型3 对角线相等 (1)若三棱锥中有三条棱互相垂直，则可考虑补全为长方体或正方体，称之为墙角模型（如上图1、2、 3)。这时三棱锥的外接球同补全的长方体或正方体的外接球，求球的半径公式如上。 (2)图2为九章算术中的鳖臑，即四个面都为直角三角形的四面体。 (3)若三棱锥的三对对棱两两相等，也可以补全为长方体或正方体（如图4），外接球的半径也同长方体或 正方体的外接球半径。 2、可补全为圆锥的外接球 0 :30 (1)若P在平面ABC上的射影是△ABC的外接圆圆心（即PA=PB=PC)，,则可以把三棱锥P-ABC补 为圆锥，根据圆锥的外接球模型来求外接球半径。 (2)正棱锥都可以补成圆锥，可以按圆锥的外接球模型来求。 3、可补全成柱体的外接球 4/18 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)一条侧棱垂直于底面→以底面的外接圆为底，侧棱为高作圆柱，然后找该圆柱的外接球。如上图中图 1,图2 (2)若图形为非规则图形，但上下底平行，上下底的外接圆半径相等且两个圆心的连线垂直于上下底， 这时也可以构造一个圆柱（如图3），这时圆柱的外接球即为所求的外接球。 【新题对点练】(25-26高三上·天津滨海新区·期中)在三棱锥D-ABC中，ADL⊥平面ABC,AB⊥BC AD=AB=BC=3 则三棱锥 D-ABC 的体积为 —;三棱锥D-ABC 的四个顶点都在球O的表面上， 则球O的表面积为 《。考点03二面角模型的外接球 1、两面垂直的三棱锥的外接球 D 099 B 图1 图2 图3 在三棱锥P-ABC中，如有平面PAB⊥平面ABC,求三棱锥的外接球O的半径R。设△PAB和 △ABC的外接圆为0,0，°首先，若两平面垂直是因为有一条侧棱垂直于底面，则可以参考前面的补全 为棱柱，求棱柱的外接球半径，若没有侧棱垂直于另一面，我们来分情况来讨论一下（下列情况均在 平面PAB⊥平面ABC的前提条件下讨论的)。 (1)若平面PAB在外接球的轴截面上，平面ABC不在外接球的轴截面，如图1，此时平面PAB的外接圆圆 心O1即是外接球的球心O。在题目条件上的体现为∠ACB=90°。（此时我们不讨论P点在O与O2的连 5/18 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 线上，因为这就是前面补全为圆锥模型的情况，也不讨论PA,PB垂直于平面ABC的情况。) 2)若平面PAB在外接球的轴截面上，平面ABC也在外接球的轴截面，如图2，AB的中点即是外接球的 球心O。在题目条件上的体现为∠ACB=90°，∠APB=90° (③)若平面PAB,平面ABC都不在外接球的轴截面，如图3。找出两个外接圆圆心O1,O2,它们与球心O, AB的中点D构成一个矩形，可求出OD长，再根据勾股定理，即可求出球的半径R=AO=AD+OD 2、二面角模型 二面角模型同上题型两面垂直的模型思想是一致的。在三棱锥P-ABC中，如有二面角P-AB-C=日， 求三棱锥的外接球O的半径R。设△PAB和△ABC的外接圆为O1,O2。 不同于两面垂直的三棱锥，这里的四边形OO1DO2不是一个矩形，这时候球OD的长度没有那么容易计算， 但是目标依然是计算出OD,然后再算出OA即为球的半径： 注意：若三棱锥中∠APB=∠ACB=90,则无论二面角为多少，O1,O2,O三个心重 合，这时则外接球的球心在斜边的中点上，这个斜边即为外接球的直径。 【新题对点练】(25-26高二下·湖南邵阳·阶段检测)已知在三棱锥P-ABC中，除P℃外其他各棱长均 为26 ,且二面角PAB-C 大小为60°.若三枝锥的各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为《) 52π B.4 65π 52π 65π A. C. 3 D.2 《。考点04内切球 1、锥体的内切球 B 无论是什么的内切球问题，都是先找过内切球球心的截面，在截面中找切点，从而找到半径关系。 6/18 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2、台体的内切球 先找过内切球球心的截面，在截面中找切点，从而找到半径关系。 【新题对点练】(2026青海西宁·二模)如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等， 0,02 为圆柱上下底面的圆心，O为球心，EF为底面圆的一条直径，若球的半径”=2则球与圆柱的体 积之比为 四面体CDEF的体积的取值范围为 素养进阶答题技法突破 考点聚焦·解法深研 一一核心归纳 。题型01简单几何体的外接球◇ 悟解题关健 直接利用几何体性质找球心。长方体、正方体的体对角线即为外接球直径；正棱锥（圆锥）的球心在高 线上，利用轴截面构建直角三角形求解。 ABCD-ABCD 【典例1】(26-27高二上·贵州贵阳·阶段检测)已知正方体 的外接球表面积为127，M是 棱CD的中点，将过点M且以4C 为法向量的平面记为平面“，则点A到平面“的距离为() 3 3 √6 A.2 B.2 C.2 D.5 7/18 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【典例2】(26-27高二上湖南邵阳·开学考试)在四棱锥P-ABCD中，PA=PB=PC=PD, AB=BC=2 AD=CD=1 ABCD 若该四棱锥的外接球球心在底面 内，则该四棱锥的体积为() 2 √2 √6 6 A.6 B.3 C.6 D.3 CD-BCD, BC=CD=CC =1,BC LCD,M,N 【变式1】(2026·湖南湘西·三模)如图，在直三棱柱 中， BC,CD BCD-BCD 0 分别是棱 的中点，三棱柱 的外接球为球O,则过MW。 的平面截球所得截面面积的 最小值为 D 【变式2】(25-26高三上·贵州遵义·月考)圆台的上、下底面半径分别为r、R,且R=3r,母线1=4r, 圆台的表面积为78π，若球O为圆台的外接球，且球心在圆台内部，则该球的表面积为() A.110元 B.111π C.112π D.113元 。题型02补全为方体的外接球模型③ 悟 解题关健 墙角模型与对棱相等模型都是可以放置到长方体内，可以借助补全图形来求外接球问 题。 1、墙角模型：有三条棱互相垂直的三棱锥，可以补全为方体，称之为墙角模型 2、三对对棱两两相等，也可以补全为方体。 【典例1】已知三棱锥S-4C,H山平面4BC,M=BC=23∠BAC-120 则该三棱锥外接球的 表面积为() A.12π B.16元 C.20元 D.28π 【典例2】（多选）(2026海南海口一模)在三棱锥A-BCD中，4B=4C=BD=CD=25 8/18 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AD=BC=22,M,N分别是AD,BC的中点，则(） A.BC⊥MW B.AB//MN C.三棱锥A-BCD的外接球表面积为24π 25 D.异面直线AN,CM所成角的余弦值为5 【变式】(2026山西=模)在三被锥P-8C中，B=4C=5,且B14C,PA=2.PA上平面 ABC,若P,A,B,C四点都在球O的表面上，则点P到平面OAB的距离为() 3 2W5 A.2 B.√5 C.3 D.3 【变式2】(2026安徽马鞍山·二模)已知三棱锥S-ABC中，棱AS,AB,AC两两垂直，且长度都为 2W5 以S为球心，4为半径的球与三棱锥的表面相交所得到的曲线长度为（） A. 5π 7π 3 C.2n D.3π 。题型03侧棱相等或者侧棱垂直模型◇ 悟 解题关健 1、当三棱锥棱锥P-ABC的三条棱相等时PA=PB=PC,则P在平面ABC上的射影是△ABC的外接圆 圆心，此时可以把三棱锥补成圆锥，按圆锥的求外接球的方法来求球的半径 2、当侧棱垂直于底面，则可以补全成柱体，然后找柱体的外接球 3、不规则图形但是上下底平行，且上下底的外接圆圆心连线垂直于上下底。 【典例1】(25-26高三下·内蒙古乌兰察布·期末)已知球的体积为 4W3π，A、B、C、D四点均在球 的球面上，4MB 为等边三角形，DM=DB=DC= ,则AMBC 的面积为() 9/18 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 55 2W5 4 A.4 B.5 C.9 D.4V5 【典例2】(2026高三全国专题练习)在三棱锥P-BC中，PC1平面4BC,MB=BC=V5,AC=2 P℃=2，则该三棱锥的外接球的表面积为 【变式1】(2026广东珠海·模拟预测)在三棱锥P-ABC中，底面ABC为正三角形，PA⊥平面 4BC,4B=V5,PA=2,若P4B,C四点都在球O的表面上，则球O的表面积为一 【变式2】(2026内蒙古鄂尔多斯一模)在四面体A-BCD中，DA,DB,DC两两垂直， 2v5 DA=DB=DC=√2，以D为球心， 3为半径的球与四面体A-BCD各面交线的长度和为， 。题型04二面角模型 解题关健 1、当二面角为直角时，则找两个垂面的外接圆的圆心O1,O2。构造出两个外接圆圆心与球心所在的平 面，然后利用勾股定理求求的半径 2、当二面角不为直角时，依然需要找两个面外接圆的圆心、球心所在位置，计算难度比两垂面的复 杂。 【奥例1】(2026安微合肥核拟预测)在三楼锤A-BCD巾，AB=AC=4C=CD=25,∠BCD- 3 二面角A-BC-D的大小为3，则三棱锥A-BCD的外接球表面积为() A. 84π 100π 148π B. 3 C.27π D.3 10/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M D E 图1 图2 【典例2】（26-27高二上江西南昌阶段检测)已知三棱锥P-ABC中，PA=PC=AC=25,AB=22 且AB L AC.若三棱锥P-ABC的外接球表面积为28π，则钝二面角P-AC-B的大小为() A.105° B.120° C.135° D.150° 【变式1】(2026四川成都模拟预测)三棱锥4-BCD清 CA-CB=DA-DB=2 AB=4 CD=33 满足】 2π CD1AB,二面角C-AB-D的大小为3·若三棱锥A-BCD的所有顶点都在一个球面上，则这个球体的 表面积为一 【变式2】(25-26高三下·湖北武汉阶段检测)在三棱锥A-BCD中，平面ACD⊥平面BCD, 8C=3CD-24C4BCD-ACD- ,则三棱锥A-BCD的外接球的表面积为， 。题型05直角三角形共斜边模型 悟解题关健 若三棱锥P-ABC中∠APB=∠ACB=90°，则无论二面角为多少，O1,O2,O三个心重合，这时则 外接球的球心在斜边的中点上，这个斜边即为外接球的直径。 【典例1】(2026河南驻马店模拟预测)在三棱锥P-ABC中，△ABC是边长为2的等边三角形，△PAC 与△PBC均为以PC为斜边的直角三角形.若该三棱锥的外接球的表面积为8π，则此三棱锥的体积为 () 11/18 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 √万 2W2 25 A.3 B.3 C.3 D.3 【典例2】(2026·天津和平·三模)在矩形ABCD中，AB=2V2,BC=2,沿矩形对角线BD将△ABD折 ABCD ABCD 起得到四面体 ,则四面体 的外接球体积为() 4π A.43元 B.4元 c.3 D.12π 【变式1】（多选）(25-26高三上·浙江温州阶段检测)已知三棱锥 A-BCD,BC=2 AD LAC,.DB⊥DC,∠4CB-∠BCD-, =4,三棱锥A-BCD的外接球为球0，则下列选 项中正确的是() A.AB与CD可能垂直 B.AC与BD可能垂直 C.过棱4D作球o的截面，截面面积可能为8 5 D.二面角D-AC-B的余弦值可能为3 【变武2】(2-6高三上清江金华期末)三枝能A-BCD,∠BD=∠8C0-受48=AD=5,二面 角A-BD-C的平面角为锐角，则三棱锥A-BCD的外接球球心到平面ABC的距离最大值为() V21 2 A.2 B 3 D.2 。题型06内切球模型◇ 悟解关健 无论是什么的内切球问题，都是先找过内切球球心的截面，在截面中找切点，从而找到半径关系。 【典例1】(26-27高三上浙江杭州开学考试)已知某正三棱台的上、下底边长分别为3和6，若其存在 内切球，则正三棱台的高为() 12/18 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.2 B.2 c.6 D.3 6 【典例2】(26-27高三上安徽阜阳开学考试)已知半径为的球O内切于圆台（即球0与该圆台的上、 下底面以及侧面均相切)，圆台的上、下底面半径分别为，5，且5=3 ,则圆台的体积为() 28π 26V3元 28v3π A.3 B. 3 C.12v3n D.3 PO 【变式1】（多选）(2026湖北武汉·模拟预测)如图，圆锥的轴截面为正三角形，底面圆的半径为 5,CD,P为圆O的两条直径，且CD1BF,母线PC,PD与该圆锥的内切球O分别切于A,B两点， 则() A A.圆锥PO的体积为3π B.球O与圆锥PO的公共点的轨迹的周长为π π C.异面直线BF与PA所成角为4 D.平面AEF截球O的截面面积为4 P-ABCD AB=43 BC=8 【变式2】(2026福建三明·二模)已知四棱锥 的底面为矩形， 侧面AB 为正三角形且垂直于底面ABCD,M为四棱锥P-ABCD内切球表面上的一点，则点M到直线CD距离的 最小值为() A.210-2 B 2W10-1 4V3-2 D.4V3-1 《。题型07多切球模型◇ 悟解题关健 13/18 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 画出包含多个球心的中心截面，明确各球之间的相切关系（外切球心距等于半径之和，内切等于半径之 差)。利用平面几何中的勾股定理或相似比建立方程，求解各球半径或球心距。 【典例1】（多选）(2026·福建南平·二模)如图，在棱长为1的封闭正方体容器（容器壁厚度忽略不计） 内放置两个小球，两球相切，且各自与对角的三个面均相切，设过两球公切点的公切平面为，则下列结 论正确的是() .」 A.平面“截正方体所得截面不可能为五边形 V6 B.平面α截正方体所得截面面积的最大值是4 3-5 C.两球半径之和为定值2 (9-55)π D.两球体积之和的最大值是，2 【典例2】(2026浙江二模)如图所示，有一只内壁呈半球面的小碗，半径为”，碗内放了三颗汤圆（视 = 为半径均为的球)·三颗汤圆两两相切，且汤圆与碗的内壁均相切.若汤圆与碗口等高，则 【变式1】(2026山东日照模拟预测)如图，圆台的下底面与圆柱的下底面重合，圆台的上底面与圆柱的 上底面共面.已知圆台存在一个内切球（球与圆台的上、下底面及侧面均相切），该内切球的半径为2 在圆柱与圆台之间的空隙中，能放入的最大小球（与圆柱侧面、圆台侧面以及圆柱的上底面均相切）的半 14/18 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 径为1，则圆台的侧面积为() A.9π B.16元 C.25π D.36π 【变式2】(2026：安徽模拟预测)如图，这是某零件的结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与 大球、正四面体的三个面均相切若AB=12,则该模型中一个小球的表面积为() B C.2Vn D 8π 优题精练•专题实战通关 1.(26-27高二上·重庆沙坪坝阶段检测)已知正三棱锥S-ABC的高为2，侧面SBC与底面ABC所成角 的正切值为4，若该三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，则球O的体积为() B.25m 125元 125π A.25π D 4 6 48 20W5 2.(2627高二上湖北黄石阶段检测)己知一个正三枝柱存在内切球，且其外接球的体积为3元，则 该三棱柱体积为。 15/18 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ABC-ABC 3.(26-27高一上四川成都阶段检测)（多选）如图，已知正三棱柱 的所有顶点都在表面 积为16π的球O的球面上，底面边长为a,侧棱长为h,则下列说法正确的有() A A.若底面边长a=V ,则侧棱长h=25 B.若侧棱长h-=2 V5 =,则该正三棱柱的体积为 9 C.若侧棱长h=2,则过AB中点M的平面截球O,截面积的最小值为4元 23 D.该正三棱柱的侧面积的最大值为 4.(26-27高三上·海南海口·阶段检测)已知正四面体P-ABC的棱长为6，先后在其中放入一大一小两 个球0,0，使得球O为该正四面体的内切球，球0与球及正四面体P-8C 的三个侧面相切，记球 0和球0的半径分别为R,R,则 R= R,= ®☒ E R D O 5.(2026广东佛山模拟预测)已知一个圆台的上、下底面半径分别为1和4，若该圆台内部存在一个与 上下底面和侧面都相切的球，则该圆台的体积为() A.19n 76 B.3 元 3 C.28r D.84r 16/18 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 6.(25-26高二下湖南衡阳期未)在三楼锥A-BCD中，ABLBD,CD⊥BD,AB=CD=V3.BD=1 若A,B,C,D四点都在同一个表面积为13π的球的球面上，则AC= 7.(26-27高三上重庆开学考试)已知正三棱台ABC-AB,C的侧面与底面的夹角为3， AB=24B=4V3 且正三棱台1BC-4B,G的6个顶点均在球0的球面上，则球0的表面积为 () A.90m B.91π C.92π D.93π (2026山东青岛模拟预测)（多选）在三棱锥P-4BC中，MB=2,乙APB=红 3∠ACB=π 3,PC⊥ 平面ABC,则() 4W5 A.△ABC外接圆直径为3 B.CP2+C42-CB2=8 3 C.当PC=1时，三棱锥P-ABC的体积取得最大值 23V15 D.三棱锥P-4BC的外接球半径的取值范围是(3’3 9.(2026山东烟台二模)三棱柱 BC-4BC中，MB⊥BC,B在底面ABC内的射影为AC中点， 4C=2V2 AA=16 5,若M为底面4BG内一动点（不含边界），则三棱锥M-ABC的外接球表面积的 取值范围为() A.(9m,33m) B.(9元，41m) C.(24π，33π) D.(24π，41π) ABCD-ABCD 10.(2026云南保山二模)平行六面体 所有棱长都相等，MB=4,，点在底面MBCD。 A 的 投影为D中点，且直线从与底面4BCD夹角为45，则三楼 A-ABD BCCB 的外接球被平面 截得的 截面面积为() 17/18 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 . A.3 16元 B.4元 C.2R D. 3 18/18专题02 立体几何中的外接球、内切球模型 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 ▶基础梳理・自主夯基 考点01 简单几何体的外接球 考点02 补全图形求外接球 考点03 二面角模型的外接球 考点04 内切球 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 ▶考点聚焦・解法深研 题型01 简单几何体的外接球 题型02 补全为方体的外接球模型 题型03 侧棱相等或者侧棱垂直模型 题型04 二面角模型 题型05 直角三角形共斜边模型 题型06 内切球模型 题型07 多切球模型 04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用 知识脑图·核心脉络搭建 考点深研·知能分层突破 考点01 简单几何体的外接球 1、正方体与长方体的外接球 （1）若正方体边长为，则它的外接球半径为 （2）若长方体的三边长分别为，则它的外接球半径为 2、圆锥的外接球 若圆锥的高为，底部半径为，母线长为，则圆锥的外接球半径 3、柱体的外接球 （1）圆柱的高为，底面半径为，则圆柱的外接球半径 （2）若是直棱柱，则可以先找直棱柱上下底的外接圆，求外接圆半径，然后补成圆柱，按圆柱的外接球半径公式来算即可。 4、台体的外接球 (1)圆台的上底半径 ,下底半径，高为，（如图1，图2），两次使用勾股定理，可求得它的外接球的半径 (2)棱台的外接球（如图3），先找上下底面的外接圆半径，然后按照圆台的外接球半径公式。 【新题对点练】（2026·江西上饶·二模）已知某圆锥底面半径为，高为，则该圆锥的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意，设圆锥外接球的半径为，则有，解得， 则该圆锥的外接球表面积． 考点02 补全图形求外接球 1、补全为正方体与长方体的外接球 (1)若三棱锥中有三条棱互相垂直，则可考虑补全为长方体或正方体，称之为墙角模型（如上图1、2、3）。这时三棱锥的外接球同补全的长方体或正方体的外接球，求球的半径公式如上。 (2)图2为九章算术中的鳖臑，即四个面都为直角三角形的四面体。 (3)若三棱锥的三对对棱两两相等，也可以补全为长方体或正方体（如图4），外接球的半径也同长方体或正方体的外接球半径。 2、可补全为圆锥的外接球 （1）若在平面上的射影是的外接圆圆心（即），则可以把三棱锥补为圆锥，根据圆锥的外接球模型来求外接球半径。 （2）正棱锥都可以补成圆锥，可以按圆锥的外接球模型来求。 3、可补全成柱体的外接球 （1）一条侧棱垂直于底面⇒以底面的外接圆为底，侧棱为高作圆柱，然后找该圆柱的外接球。如上图中图1，图2 （2）若图形为非规则图形，但上下底平行，上下底的外接圆半径相等且两个圆心的连线垂直于上下底，这时也可以构造一个圆柱（如图3），这时圆柱的外接球即为所求的外接球。 【新题对点练】（25-26高三上·天津滨海新区·期中）在三棱锥中，平面，，，则三棱锥的体积为______；三棱锥的四个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为______． 【答案】 【分析】根据平面得为三棱锥的高，从而利用三棱锥的体积公式求解即可；根据线面垂直的性质定理得两两垂直，得到三棱锥的外接球，也是以的长为三条相邻棱长的长方体外接球，即可求球体半径，进而求其表面积. 【详解】因为平面，所以为三棱锥的高， 又，， 所以三棱锥的体积为； 由平面，平面，平面，则，，又，则，即两两垂直， 所以三棱锥的外接球，也是以的长为三条相邻棱长的长方体外接球， 所以外接球半径为， 故外接球O的表面积为. 故答案为：， 考点03 二面角模型的外接球 1、两面垂直的三棱锥的外接球 在三棱锥中，如有，求三棱锥的外接球的半径。设和 的外接圆为。首先，若两平面垂直是因为有一条侧棱垂直于底面，则可以参考前面的补全为棱柱，求棱柱的外接球半径，若没有侧棱垂直于另一面，我们来分情况来讨论一下（下列情况均在的前提条件下讨论的）。 (1)若平面在外接球的轴截面上，不在外接球的轴截面，如图1，此时平面的外接圆圆心即是外接球的球心。在题目条件上的体现为 。（此时我们不讨论P点在与的连线上，因为这就是前面补全为圆锥模型的情况，也不讨论PA，PB垂直于的情况。） (2)若平面在外接球的轴截面上，也在外接球的轴截面，如图2，的中点即是外接球的球心。在题目条件上的体现为 (3)若平面，都不在外接球的轴截面，如图3。找出两个外接圆圆心，它们与球心，的中点构成一个矩形，可求出长，再根据勾股定理，即可求出球的半径 2、二面角模型 二面角模型同上题型两面垂直的模型思想是一致的。在三棱锥中，如有，求三棱锥的外接球的半径。设和 的外接圆为。 不同于两面垂直的三棱锥，这里的四边形不是一个矩形，这时候球OD的长度没有那么容易计算，但是目标依然是计算出，然后再算出即为球的半径。 注意：若三棱锥中，则无论二面角为多少，三个心重合，这时则外接球的球心在斜边的中点上，这个斜边即为外接球的直径。 【新题对点练】（25-26高二下·湖南邵阳·阶段检测）已知在三棱锥中，除PC外其他各棱长均为，且二面角的大小为．若三棱锥的各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知条件得出为等边三角形，利用球心O在线段DF上，易知O在直线DC上的射影G为正的重心，结合，求出OG，再结合勾股定理即可求出球的半径R，从而求出球的表面积． 【详解】如图，设D，F分别为AB，PC的中点， 连接，则球心O必在线段DF上，且． 设O在直线DC上的射影为G，则G为正的重心，且底面． 所以，， 所以，， 故球的表面积为. 考点04 内切球 1、锥体的内切球 无论是什么的内切球问题，都是先找过内切球球心的截面，在截面中找切点，从而找到半径关系。 2、台体的内切球 先找过内切球球心的截面，在截面中找切点，从而找到半径关系。 【新题对点练】（2026·青海西宁·二模）如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，为圆柱上下底面的圆心，O为球心，EF为底面圆的一条直径，若球的半径则球与圆柱的体积之比为_______；四面体 的体积的取值范围为_______. 【答案】 2:3/ 【分析】根据球、圆柱的体积公式以及建立函数关系求解即可. 【详解】已知球的半径，则球的体积为. 根据题意得，，则圆柱体积，则. 设为点到平面的距离，则，而平面经过线段的中点， 四面体的体积：. 所以四面体 的体积的取值范围为. 素养进阶·答题技法突破 题型01 简单几何体的外接球 直接利用几何体性质找球心。长方体、正方体的体对角线即为外接球直径；正棱锥（圆锥）的球心在高线上，利用轴截面构建直角三角形求解。 【典例1】（26-27高二上·贵州贵阳·阶段检测）已知正方体的外接球表面积为，M是棱CD的中点，将过点M且以为法向量的平面记为平面，则点A到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出正方体棱长，建立空间直角坐标系，再用点到平面的距离公式计算即可. 【详解】设正方体外接球半径为，由外接球表面积公式，解得， 正方体的体对角线长等于外接球直径，设正方体棱长为，则，得， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 得，，，中点，故， 又平面α的法向量是， 所以点到平面α的距离为 . 【典例2】（26-27高二上·湖南邵阳·开学考试）在四棱锥中，，，．若该四棱锥的外接球球心在底面内，则该四棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得到，从而得到，由四棱锥的外接球球心在底面内，得到四点共圆，从而得到，继而得到，则四边形的外接圆的圆心是的中点，即四棱锥的外接球球心为点，通过勾股定理求出，利用锥体的体积公式求解. 【详解】因为，，且为公共边， 所以，所以， 因为四棱锥的外接球球心在底面内， 所以四点共圆，所以， 因为， 所以， 所以四边形的外接圆的圆心是的中点， 所以四棱锥的外接球球心为点， 在中，，，， 则，即， 所以， ， 因为，的中点，所以， 又因为，所以, 因为，所以， 因为，，， 所以，所以， 因为，， 所以底面，所以是四棱锥的高， 所以该四棱锥的体积为. 【变式1】（2026·湖南湘西·三模）如图，在直三棱柱中，分别是棱的中点，三棱柱的外接球为球，则过的平面截球所得截面面积的最小值为___________． 【答案】/ 【分析】将三棱柱补成正方体，建立空间直角坐标系，可求出外接球的半径为，利用空间向量求出点到直线的距离，进而求解截面面积的最小值. 【详解】根据题意，将该三棱柱补成正方体，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，所以， 由正方体的性质可得该正方体的外接球球心为，即为点， 则，外接球半径为， 点到直线的距离， 该截面面积最小时，点到该截面的距离为， 则截面面积的最小值为． 【变式2】（25-26高三上·贵州遵义·月考）圆台的上、下底面半径分别为、，且，母线，圆台的表面积为，若球为圆台的外接球，且球心在圆台内部，则该球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，根据圆台的表面积公式和勾股定理求出球的半径，结合球的表面积公式计算即可求解. 【详解】如图，设圆台的高为，上、下底面圆的圆心分别为，圆台外接球的半径为， 圆台的表面积为， 解得，，则. 由图可知， 有，即， 解得，则， 所以外接球的表面积为. 故选：C 题型02 补全为方体的外接球模型 墙角模型与对棱相等模型都是可以放置到长方体内，可以借助补全图形来求外接球问题。 1、墙角模型：有三条棱互相垂直的三棱锥，可以补全为方体，称之为墙角模型 2、三对对棱两两相等，也可以补全为方体。 【典例1】已知三棱锥，平面，，，则该三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦定理求出的外接圆半径，再由线面垂直关系求出外接球半径，可得其表面积. 【详解】在中，设其外接圆半径为， ，，， 根据正弦定理，所以. 因为平面，所以外接球的球心到平面的距离. 设外接球半径为R，根据勾股定理，代入解得， 因此外接球表面积. 【典例2】（多选）（2026·海南海口·一模）在三棱锥中，，，M，N分别是AD，BC的中点，则（   ） A． B． C．三棱锥的外接球表面积为 D．异面直线AN，CM所成角的余弦值为 【答案】AC 【分析】将三棱锥补形为长方体并求出棱长，再建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断AB；求出三棱锥的外接球的半径，进而求出表面积判断C；利用线线角的向量法求解判断D． 【详解】在三棱锥中，，， 将三棱锥补形为长方体，如图所示：    则有，解得， 以为原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系， 则有，， 对于A，，则，A正确； 对于B，，向量不共线，不平行，B错误； 对于C，三棱锥的外接球即为长方体的外接球， 其半径为，则三棱锥的外接球表面积为，C正确； 对于D，，， 因此异面直线，所成的角的余弦值是，D错误. 故选：AC 【变式1】（2026·山西·二模）在三棱锥中，，且，，平面，若，，，四点都在球的表面上，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知将棱锥补全为长方体，分析得到该长方体的外接球即为棱锥的外接球，结合长方体与其外接球的特征及等面积法求点面距离. 【详解】把三棱锥补成下图中的长方体，则球心在长方形上， 所以，而，则， 在中，其中表示点到的距离， 所以点到平面的距离就是点到的距离. 【变式2】（2026·安徽马鞍山·二模）已知三棱锥中，棱，，两两垂直，且长度都为．以为球心，4为半径的球与三棱锥的表面相交所得到的曲线长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于每个相交面，利用点到面的距离公式，结合球的半径，求出交线圆弧的半径；再通过几何关系确定圆心角，最后将所有相交得到的曲线长度相加，得到总长度. 【详解】面是过的平面，截球所得截面圆的圆心为，半径为, 顶点都在球内（），在球外（）， 因此和各有一个交点，交线为两点间的圆弧, 上交点满足，得， 又（中），因此圆弧圆心角，弧长， 同理，面与对称，弧长， 是等边三角形，、各有一个交点，圆心角为， 弧长：， 到面的距离，截面圆半径，截面圆心为， 弧长：， . 题型03 侧棱相等或者侧棱垂直模型 1、当三棱锥棱锥的三条棱相等时，则在平面上的射影是的外接圆圆心，此时可以把三棱锥补成圆锥，按圆锥的求外接球的方法来求球的半径 2、当侧棱垂直于底面，则可以补全成柱体，然后找柱体的外接球 3、不规则图形但是上下底平行，且上下底的外接圆圆心连线垂直于上下底。 【典例1】（25-26高三下·内蒙古乌兰察布·期末）已知球的体积为，、、、四点均在球的球面上，为等边三角形，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出球的半径长，分析可知三棱锥为正三棱锥，设点在底面内的射影为点，则点为等边的中心，球心在直线上，设为球的一条直径，利用等面积法求出的长，据此得出，结合三角形的面积公式求解即可. 【详解】设球的半径为，则球的体积为，解得， 因为为等边三角形，，则三棱锥为正三棱锥， 设点在底面内的射影为点，则点为等边的中心， 故球心在直线上，设为球的一条直径，则， 由球的几何性质可知， 由勾股定理可得， 易知，因为， 故， 因为为等边三角形的中心， 所以，。 则， 故. 【典例2】（2026高三·全国·专题练习）在三棱锥中，平面，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为______． 【答案】 【分析】先利用勾股定理逆定理证明底面两边垂直，结合侧棱垂直底面的条件，将三棱锥补为长方体，借助长方体体对角线得到外接球直径，求出半径后代入球表面积公式完成计算． 【详解】由，，得， 所以. 因为平面，且， 可以把三棱锥补成长、宽、高分别为的长方体， 则三棱锥的外接球就是这个长方体的外接球， 所以， 解得， 所以球的表面积． 【变式1】（2026·广东珠海·模拟预测）在三棱锥中，底面为正三角形，平面，若四点都在球的表面上，则球的表面积为______． 【答案】 【分析】先求出底面正三角形的外接圆半径，再结合侧棱垂直底面的几何特征计算外接球半径，最后代入球的表面积公式求解． 【详解】 设底面正的外接圆圆心为，外接圆半径为， 已知是正三角形，边长， 则其外接圆半径为， 平面， 三棱锥的外接球球心在过且垂直于平面的直线上， 且球心到平面的距离， 外接球半径为：， 由球的表面积公式得． 【变式2】（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）在四面体中，两两垂直，，以为球心，为半径的球与四面体各面交线的长度和为___________． 【答案】 【分析】作出辅助线，得到各边长，分析出与底面和侧面的交线，分别求出交线长，相加即可. 【详解】由题意得两两垂直，， 由勾股定理得， 三棱锥为正三棱锥，顶点在底面上的投影为的中心， 取的中点，则三点共线，连接， 由题意得，，，， ， 因为，而， 故以为球心，为半径的球与底面相交于三段圆弧， 如图，分别为， 其中， 所以，同理， 所以，故，同理， 所以， 所以， 由于，故以为球心，为半径的球与底面边分别相交于， 则即为球与底面的交线， 因为，故，所以， 故，，则， 所以， 故以为球心，为半径的球与底面的交线长度也为， 所以交线的长度和. 题型04 二面角模型 1、当二面角为直角时，则找两个垂面的外接圆的圆心。构造出两个外接圆圆心与球心所在的平面，然后利用勾股定理求求的半径 2、当二面角不为直角时，依然需要找两个面外接圆的圆心、球心所在位置，计算难度比两垂面的复杂。 【典例1】（2026·安徽合肥·模拟预测）在三棱锥中，，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图形作出二面角的平面角，利用几何知识可求，，则顶点在平面的投影为△的外接圆圆心，则三棱锥的外接球的球心在直线上，根据求解半径． 【详解】如图1，过作垂足为，取的中点，连接， ∵，∴，， 又，，则，， 中，， 过作，且=，连接，则， ∴，， 根据题意可得为二面角的平面角， 即，则， 由题意可得，则，则， 如图2，∵，则顶点在平面的投影为△的外接圆圆心， 则三棱锥的外接球的球心在直线上，连接 ，则 ∴△的外接圆半径，则 设三棱锥的外接球的半径为，则 即，解得 则表面积为. 【典例2】（26-27高二上·江西南昌·阶段检测）已知三棱锥中，，，且．若三棱锥的外接球表面积为，则钝二面角的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出外接球半径，作出辅助线，找到外接球球心的位置，得到垂直关系，得到为二面角的平面角，并求出各边长，得到，，相加可得答案. 【详解】设三棱锥的外接球半径为，由题意得，解得， 设的外心分别为，设三棱锥的外接球球心为， 连接，延长交于点，连接，则， 因为，所以为的中点，所以⊥， 又因为，所以为的中点，且⊥，则， 所以为二面角的平面角， 因为⊥平面，平面，所以⊥， 又，， 所以， 在中，， 在中，，所以， 又， 在中，， 其中，所以，故， 所以， 故钝二面角的大小为. 【变式1】（2026·四川成都·模拟预测）三棱锥满足，，，，二面角的大小为.若三棱锥的所有顶点都在一个球面上，则这个球体的表面积为_____ 【答案】 【分析】设利用双曲线的定义确定点、的轨迹，作的中垂线，结合二面角的平面角，建立空间直角坐标系，将点的坐标表示出来，设球心坐标，利用球心到各顶点距离相等列方程，求出球的半径，再用球的表面积公式计算结果. 【详解】在平面内，，以中点为原点，为轴正向， 过且垂直于的直线为轴建立直角坐标系， 容易得到:点在双曲线上， 同理，在平面内，以中点为原点，为轴正向，过且垂直于的直线为轴建立直角坐标系，容易得到，点在双曲线上， 由，所以、两点在直线上的投影相同，记为， ∴设，则因为, 所以为平面的平面角,所以中，， 由余弦定理，，解得:，所以 又，所以重合，则， 所以的外接圆圆心分别为的中点，分别记为， 记为外接球球心，则平面平面， 则四点共面，且四边形中，， 因为，所以， ， 在中，. ∴三棱锥的外接球的表面积为. 【变式2】（25-26高三下·湖北武汉·阶段检测）在三棱锥中，平面平面，，，，则三棱锥的外接球的表面积为______． 【答案】 【分析】根据平面平面，由和的外接圆圆心位置即半径确定外接球的球心位置，再利用勾股定理求得外接球的半径即可求出表面积. 【详解】中，易知，可得； 在中，易知，可得； 易知和的外接圆半径分别为； 取的中点为，设和的外接圆圆心分别为，三棱锥的外接球的球心为，如下图所示： 易知，且，又平面平面，所以平面； 同理可得，平面； 由球心性质可知平面，平面； 因此可知，所以四边形为平行四边形，可得； 所以三棱锥的外接球的半径为； 因此外接球的表面积为. 题型05 直角三角形共斜边模型 若三棱锥中，则无论二面角为多少，三个心重合，这时则外接球的球心在斜边的中点上，这个斜边即为外接球的直径。 【典例1】（2026·河南驻马店·模拟预测）在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，与均为以为斜边的直角三角形．若该三棱锥的外接球的表面积为，则此三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件，利用球的表面积公式求出外接球半径，结合三角形的性质和勾股定理求出，结合余弦定理、三角形面积公式及三棱锥体积公式计算求解． 【详解】 记三棱锥外接球的半径为，则，解得， 与均为以为斜边的直角三角形， 中点为外接球球心，故， 在中，，由勾股定理得： ， 同理可得， 取中点，连接， 为等边三角形，边长为2，则，， 中，，故； 又，平面， 故平面，则三棱锥体积为， 中，， 由余弦定理得：， 则， ， ． 【典例2】（2026·天津和平·三模）在矩形中，，，沿矩形对角线将折起得到四面体，则四面体的外接球体积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用矩形折叠后两个直角三角形共斜边的性质，确定外接球球心为BD中点，计算半径后代入球体积公式求解. 【详解】因为四边形为矩形，故，沿折起得到后，， 因此与均为斜边为的直角三角形. 设中点为，可得， 即为四面体的外接球球心，外接球半径. 所以，故， 所以外接球体积. 【变式1】（多选）（25-26高三上·浙江温州·阶段检测）已知三棱锥，三棱锥的外接球为球，则下列选项中正确的是（   ） A．与可能垂直 B．与可能垂直 C．过棱作球的截面，截面面积可能为 D．二面角的余弦值可能为 【答案】BCD 【分析】A选项，假设与垂直，得到⊥平面，⊥，由于，故⊥不可能，A错误；B选项，假设与垂直，得到⊥平面，⊥，当时，满足⊥，B正确；C选项，找到外接球球心，求出外接球半径为1，假设截面面积为，故截面半径，此时，满足要求，C正确；D选项，作出辅助线，得到的夹角即为二面角的平面角，假设二面角的余弦值为，，两边平方，整理得，解得，即重合，D正确. 【详解】A选项，假设与垂直， 因为，，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， ， 所以， 由于，故⊥不可能，所以假设不成立， 所以与不可能垂直，A错误； B选项，假设与垂直， 因为，，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为，故当时，满足⊥， 所以与可能垂直，B正确； C选项，取的中点，连接，则， 故点即为三棱锥的外接球球心，即重合，外接球半径为1， 假设截面面积为，设截面半径为，则，解得， 此时，满足，， 故过棱作球的截面，截面面积可能为，C正确； D选项，过点作⊥于点， 因为，所以的夹角即为二面角的平面角， 假设二面角的余弦值为， ，两边平方得 ， 即，整理得， 解得，即重合， 即，故二面角的余弦值可能为，D正确.    故选：BCD 【变式2】（25-26高三上·浙江金华·期末）三棱锥中，，二面角的平面角为锐角，则三棱锥的外接球球心到平面ABC的距离最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取中点，连接，由题易知为三棱锥的外接球球心，且外接球半径为，再根据球心到平面ABC的距离等于点到平面ABC的距离的一半，转化为求点到平面ABC的距离，最后根据即可求得答案. 【详解】如图，取中点，连接， 因为三棱锥中，， 所以与均为直角三角形，且为公共斜边， 所以，即点为三棱锥的外接球球心，半径为， 设点到平面ABC的距离，球心到平面ABC的距离 所以球心到平面ABC的距离等于点到平面ABC的距离的一半，即， 因为二面角的平面角为锐角， 所以点到平面ABC的距离，当且仅当时等号成立， 所以球心到平面ABC的距离， 即三棱锥的外接球球心到平面ABC的距离最大值为. 故选：D 题型06 内切球模型 无论是什么的内切球问题，都是先找过内切球球心的截面，在截面中找切点，从而找到半径关系。 【典例1】（26-27高三上·浙江杭州·开学考试）已知某正三棱台的上、下底边长分别为3和6，若其存在内切球，则正三棱台的高为（       ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】正三棱台结构特征结合内切球的要求，确定球心位置，以及与上、下底面和侧面的切点位置，再利用已知的上、下底边长，构造关于内切球半径的方程，即可求出正三棱台的高． 【详解】由正三棱台结构特征结合题意，可知内切球与上、下底面切点为上、下底面的重心． 如图，取、的中点分别为、，上、下底面的中心分别为、， 球心为的中点． 正三棱台的上、下底面均为正三角形，且边长分别为3和6，则，． 在等腰梯形中，． 取截面，同时面截内切球为圆， 其与、、分别相切于、、． 由圆的切线长定理，可得，，即． 令，则在直角梯形中， 由勾股定理，可得，即． 由正三棱台结构特征结合题意，可知即为正三棱台的高，则高长为． 【典例2】（26-27高三上·安徽阜阳·开学考试）已知半径为的球O内切于圆台（即球O与该圆台的上、下底面以及侧面均相切），圆台的上、下底面半径分别为，且，则圆台的体积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出轴截面图，由三角形的相似及，求得，再根据圆台的体积公式求解即可. 【详解】如图，这是该几何体的轴截面，其中圆是等腰梯形的内切圆， 设圆与梯形的腰相切于点，与上、下底面分别相切于点，则, 因为与分别为的平分线， 因此，从而， 故，所以，又因为，所以，故， 故圆台的高为，故圆台的体积为. 【变式1】（多选）（2026·湖北武汉·模拟预测）如图，圆锥的轴截面为正三角形，底面圆的半径为，CD，EF为圆的两条直径，且，母线PC，PD与该圆锥的内切球O分别切于A，B两点，则（   ） A．圆锥的体积为 B．球O与圆锥的公共点的轨迹的周长为 C．异面直线BF与PA所成角为 D．平面AEF截球O的截面面积为 【答案】ACD 【分析】根据题意，求得，且，结合体积公式，可判定A正确；得到公共点的轨迹是以AB为直径的圆，可判定B错误；连，证得平面，得到，可判定C正确；求得球半径为，结合等体积法，可判定D正确． 【详解】对于A，由已知得,所以，且， 所以圆锥的体积为，所以A正确； 对于B，由公共点的轨迹是以AB为直径的圆，因为为正三角形，所以为中点， 可得，所以轨迹的周长为，所以B错误； 对于C，连，可得，且， 由，且，平面， 所以平面，因为平面，所以， 所以为等腰直角三角形，所以，所以C正确； 对于D，设球半径为，则 ，可得， 由，且， 可得到平面的距离为，所以截面圆的半径为， 所以平面AEF截球O的截面面积为，所以D正确． 【变式2】（2026·福建三明·二模）已知四棱锥的底面为矩形，，，侧面PAB为正三角形且垂直于底面ABCD，M为四棱锥内切球表面上的一点，则点M到直线CD距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别为和的中点，平面截四棱锥的内切球所得的截面为大圆，求出圆的半径，利用圆心到直线距离求点M到直线距离的最小值. 【详解】如图，设四棱锥的内切球的半径为，取的中点为，的中点为，连接，，， 球O为四棱锥的内切球， 底面为矩形，侧面为正三角形且垂直于底面， 则平面截四棱锥的内切球O所得的截面为大圆， 此圆为的内切圆，半径为r，与分别相切于点E，F， 平面平面，交线为平面， 为正三角形，有，平面， 平面，， ，，则有，，， 则中，，解得. 所以，四棱锥内切球半径为2，连接. 平面，平面，， 又，平面，， 平面，平面，可得， 所以内切球表面上一点M到直线的距离的最小值即为线段的长减去球的半径， 所以， 又. 所以四棱锥内切球表面上的一点M到直线的距离的最小值为. 题型07 多切球模型 画出包含多个球心的中心截面，明确各球之间的相切关系（外切球心距等于半径之和，内切等于半径之差）。利用平面几何中的勾股定理或相似比建立方程，求解各球半径或球心距。 【典例1】（多选）（2026·福建南平·二模）如图，在棱长为1的封闭正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内放置两个小球，两球相切，且各自与对角的三个面均相切，设过两球公切点的公切平面为，则下列结论正确的是（    ）      A．平面截正方体所得截面不可能为五边形 B．平面截正方体所得截面面积的最大值是 C．两球半径之和为定值 D．两球体积之和的最大值是 【答案】ACD 【分析】根据正方体及球的对称性，结合题意，可知两球的球心在正方体的体对角线上，两球的公切点在体对角线上，公切平面与体对角线垂直，由此可判断A；利用特殊截面，求其面积，可判断B；根据A的判断，结合正方体的性质，求出两球半径之和，判断C；用较大球的半径表示两球的体积之和，根据二次函数在给定区间上的最值，求得体积之和的最大值，判断D. 【详解】由题意知，两球球心到各自相切的三个面的距离相等，所以球心到三个面的距离分别等于对应球的半径， 因此两球的球心在正方体的体对角线上，两球的公切点在体对角线上. 因此公切平面与体对角线垂直，根据正方体的对称性可得， 平面截正方体所得截面不可能为五边形，所以A正确.    如图，当截面为时，因为为正三角形，所以其面积为， 所以B错误. 设两个球的半径为，且，则. 因为每个球都与一个顶点出发的三个面相切，此时可看作两个球分别棱长为的正方体的内切球， 所以两球球心到相应顶点的距离为对应正方体的体对角线的一半，即. 所以，所以，故C正确. 由，，得. 两球体积之和， 在上单调递增，所以当时，取得最大值，最大值为， 所以D正确. 【典例2】（2026·浙江·二模）如图所示，有一只内壁呈半球面的小碗，半径为，碗内放了三颗汤圆（视为半径均为的球）．三颗汤圆两两相切，且汤圆与碗的内壁均相切．若汤圆与碗口等高，则______． 【答案】 【分析】设半球面的球心为，三颗汤圆的球心分别为，等边三角形的中心为，由题意得，，在中利用勾股定理即可求出答案. 【详解】设半球面的球心为，三颗汤圆的球心分别为, 因为汤圆与碗的内壁相切，所以， 又因为三颗汤圆两两相切，所以， 设等边三角形的中心为， 因为汤圆与碗口等高，所以， 在中，， 在中，， 即，即， 所以，所以. 【变式1】（2026·山东日照·模拟预测）如图，圆台的下底面与圆柱的下底面重合，圆台的上底面与圆柱的上底面共面．已知圆台存在一个内切球（球与圆台的上、下底面及侧面均相切），该内切球的半径为2．在圆柱与圆台之间的空隙中，能放入的最大小球（与圆柱侧面、圆台侧面以及圆柱的上底面均相切）的半径为1，则圆台的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题可得圆台的高,圆台的母线长，根据内切圆的半径公式化简可得，结合勾股定理化简可得，联立方程求出，利用圆台的侧面积公式求解. 【详解】已知圆台有内切球，且内切球半径为，因此圆台的高, 设圆台的上底面半径为，下底面半径为，根据圆台内切球的性质，圆台的母线长，且圆柱的底面半径等于圆台的下底面半径, 所以 空隙中最大小球的半径为，则内切圆的半径为， 所以，则， 由，化简得：， 联立：，解得：（负值舍去）； 所以圆台的上底面半径，圆台的下底面半径 所以圆台的侧面积 【变式2】（2026·安徽·模拟预测）如图，这是某零件的结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球、正四面体的三个面均相切.若，则该模型中一个小球的表面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图所示，设大球的球心为，大球的半径为，大正四面体的底面中心为，高为，的中点为，连接. 棱长，则，， 正四面体的高. 因为，所以，所以. 设小球的半径为，小球也可看作一个小的正四面体的内切球， 且小正四面体的高，所以， 所以小球的表面积为. 优题精练·专题实战通关 1．（26-27高二上·重庆沙坪坝·阶段检测）已知正三棱锥的高为2，侧面与底面所成角的正切值为4，若该三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出图形，底面于，正三棱锥的外接球的球心在它的高上，在中，利用勾股定理列方程求出外接球的半径，可得体积. 【详解】如图， 底面于，延长，交于， 由正三棱锥的结构可知为的中点，，其外接球的球心在它的高上， 所以，所以侧面与底面所成的角为， 所以，即，解得. 因为为等边三角形，所以， 设球的半径为，在中， 由勾股定理得，即，解得， 故球的体积为． 2．（26-27高二上·湖北黄石·阶段检测）已知一个正三棱柱存在内切球，且其外接球的体积为，则该三棱柱体积为_________ 【答案】 【分析】利用正三棱柱的性质，依题知其内切球和外接球是同心球，先求出外接球半径，再根据球心在底面的投影恰为底面正三角形的中心，由之求得底面三角形边长，从而可求体积. 【详解】设外接球的半径为，，解得. 因三棱柱有内切球，设内切球半径为，则正三棱柱的高为，连接的中心，则线段的中点即为球心，依题意，内切圆半径为， 得，则，解得，， 所以三棱柱体积为. 3．（26-27高一上·四川成都·阶段检测）（多选）如图，已知正三棱柱的所有顶点都在表面积为的球的球面上，底面边长为，侧棱长为，则下列说法正确的有（     ） A．若底面边长，则侧棱长 B．若侧棱长，则该正三棱柱的体积为 C．若侧棱长，则过中点的平面截球，截面积的最小值为 D．该正三棱柱的侧面积的最大值为 【答案】ACD 【分析】由球的表面积求出半径,利用正三棱柱外接球球心为上、下底面外心连线的中点,得到,与球半径的关系式,再逐项判断:A,B项代入关系式求值;C项当截面垂直于球心与点的连线时截面积最小;D项用基本不等式求侧面积的最大值. 【详解】设球的半径为,由得. 设上、下底面的外心分别为,,则球心为的中点,且. 底面正三角形的外接圆半径,由得. 对于A，当时,,解得,A正确. 对于B，当时,,解得. 底面积,体积,不等于,B错误. 对于C，当,时,,,其中为上底面的外心. 到中点的距离等于上底面正三角形内切圆半径. 因为上底面,所以,则. 设过点的截面圆的圆心到的距离为,则,截面圆半径的平方为. 当且仅当与截面垂直时取等号,所以截面积的最小值为,C正确. 对于D，侧面积,由及基本不等式得. 所以,当且仅当,即,时取等号. 因此侧面积的最大值为,D正确. 4．（26-27高三上·海南海口·阶段检测）已知正四面体的棱长为，先后在其中放入一大一小两个球，，使得球为该正四面体的内切球，球与球及正四面体的三个侧面相切，记球和球的半径分别为，，则______；______． 【答案】 【分析】根据球为正四面体的内切球，求出；因为球与球及正四面体的三个侧面相切，所以、、共线，再根据三角形相似求解. 【详解】因为正四面体的棱长为6，所以, 正四面体的体积为，又，， 所以，即； 因为球与球及正四面体的三个侧面相切，所以、、共线， 设球与球在侧面的切点分别为， 则，即，又，， ，所以，代入，解得. 5．（2026·广东佛山·模拟预测）已知一个圆台的上、下底面半径分别为1和4，若该圆台内部存在一个与上下底面和侧面都相切的球，则该圆台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】圆台有内切球， 母线长， 求圆台的高， 圆台的体积公式， 代入，，， 即. 6．（25-26高二下·湖南衡阳·期末）在三棱锥中，，，，，若，，，四点都在同一个表面积为的球的球面上，则____________ 【答案】 【分析】作出合理辅助线，将三棱锥外接球转化为直三棱柱外接球，再求出的外接圆半径即可得到答案. 【详解】如图，过作，且，过作，且， 分别连接，可得． 因为，所以，又因为平面， 从而平面，即三棱柱为直三棱柱， 则三棱锥与直三棱柱的外接球相同， 设其半径为．由，知， 设的外接圆半径为，则， 即，解得． 又，由正弦定理得，解得， 因为，所以， 可知， 所以. 7．（26-27高三上·重庆·开学考试）已知正三棱台 的侧面与底面的夹角为 ， ，且正三棱台 的 个顶点均在球 的球面上，则球 的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由正三棱台的边角关系求出上下底面半径及高，再假设球心位置，利用球心到各顶点距离相等建立方程，解出半径后求表面积. 【详解】设正三棱台上下底面中心分别为 、，下底面边长 ，上底面边长 . 上下底面的外接圆半径分别为， ； 内切圆半径分别为， . 侧面与底面夹角为，该二面角在垂直于底边的截面中， 斜高 满足. 棱台高. ①若 在 和 之间，设 到 距离为 （），则到 距离为 . 由球心到上下底面顶点距离相等，可得， 代入 ，得，矛盾. ②若在 和 下方，如图. 设 ，则球心到上底面中心距离为 . 由球心到上下底面顶点距离相等可得， 化简得， 因此，可得球的表面积. 8．（2026·山东青岛·模拟预测）（多选）在三棱锥中，，，平面，则（     ） A．外接圆直径为 B． C．当时，三棱锥的体积取得最大值 D．三棱锥的外接球半径的取值范围是 【答案】ABD 【分析】应用正弦定理求外接圆的直径判断A，令，根据已知得、，进而得到，最后即可判断B，应用棱锥的体积公式及B分析结论，再由导数求体积最大对应参数的值判断C，由棱锥的结构特征得且，即可求范围判断D. 【详解】A：在中，，则外接圆直径为，对， B：令， 在中，即， 由平面，平面，则，， 所以，， 在中， 所以，则， 所以，则， 所以，则， 所以，则， 综上，，即，对， C：由B分析，三棱锥的体积，且， 所以且，则， 当，则在上单调递增， 当，则在上单调递减， 所以，即，三棱锥的体积最大，错， D：平面，易知三棱锥外接球的球心在底面外心的正上方，且与距离相等， 所以外接球半径，又， 当，则，当，则，所以外接球半径的范围是，对. 9．（2026·山东烟台·二模）三棱柱中，，在底面ABC内的射影为AC中点，，，若为底面内一动点（不含边界），则三棱锥的外接球表面积的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间坐标系将几何关系转化为代数运算，通过变量范围求表面积极值. 【详解】设底面直角三角形的斜边中点为，以为原点，为轴建立空间直角坐标系，则，，设满足， ，所以， 在底面射影为，故，由，得. ，所以， 则，， 设动点在内，设其坐标为， 所以其在底面的投影为，到的距离平方为. 三棱锥的外接球心在过且垂直于底面的直线上，设. 球半径满足：； 球心到的距离等于半径：. 联立得： 代入半径公式： 在圆上， 故的坐标满足： 因(不在线上)，故. 在内，故的取值范围为. 将代入：当时，， ，表面积， 当时，，，表面积 所以三棱锥的外接球表面积取值范围为. 10．（2026·云南保山·二模）平行六面体所有棱长都相等，，点在底面的投影为中点，且直线与底面夹角为，则三棱锥的外接球被平面截得的截面面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】平面与球相交截面是一个圆，首先确定外接球球心及半径，再求球心到平面距离，最后根据勾股定理求截面半径． 【详解】 如图，设中点为，，， ，，即， ，则，． 又平面，平面，， 则，，即， 三棱锥中，，均为直角三角形， 且平面平面， 三棱锥的外接球是以为直径，为球心，半径， 设到平面的距离为，外接球被平面截得的截面半径为， 对于三棱锥，高为，底面积， 故， ， ，，解得， 截面半径，面积为． $