重难专题02 几何体的外接球问题（10种题型清单）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

重难专题02 几何体的外接球问题 题型脑图·重难考法归纳 考法深研·解题技能通关 题型01 墙角模型（还原长方体） 墙角模型的核心是补成长方体，外接球直径等于长方体体对角线。 1．（25-26高三上·广东深圳·期末）在四面体中，，，两两垂直，且，若均在球的球面上，则的表面积为（   ） A．50 B．100 C．150 D．200 【答案】A 【详解】根据题意得四面体的外接球和以，，为长宽高的长方体的外接球相同， 所以外接球的直径为， 所以外接球的表面积为， 故选：A. 2．（24-25高二下·贵州铜仁·期末）已知四面体中，，，则当四面体的体积最大时，其外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设到平面的距离为， 则， 又，所以当平面时四面体的体积最大， 在中，由余弦定理得， 则，所以， 当四面体的体积最大时，可以将四面体补成如图所示的长方体， 故此时四面体外接球的半径， 四面体外接球的表面积． 故选：C． 3．（2026·广东肇庆·二模）在三棱锥中，，平面与平面夹角的余弦值为，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】取的中点，连接， 因为， 所以， 所以就是平面与平面的夹角， 设，则，则， 即，解得， 所以，即， 同理，，将三棱锥放置在如图的正方体中， 由正方体的外接球的直径为正方体的对角线长知， 三棱锥外接球的直径， 所以三棱锥外接球的表面积． 故选：B． 4．（25-26高三上·天津滨海新区·期中）在三棱锥中，平面，，，则三棱锥的体积为______；三棱锥的四个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为______． 【答案】 【详解】因为平面，所以为三棱锥的高， 又，， 所以三棱锥的体积为； 由平面，平面，平面，则，，又，则，即两两垂直， 所以三棱锥的外接球，也是以的长为三条相邻棱长的长方体外接球， 所以外接球半径为， 故外接球O的表面积为. 5．（2026·陕西·三模）在正方形中，，，分别为边，的中点，分别沿，，将，，折起，使点，，重合于点，形成四面体，则以为球心，1为半径的球面与四面体的外接球相交形成的交线的长度为_____________． 【答案】 【详解】如图，， 所以在四面体中，， 所以四面体的外接球为以为棱长的长方体的外接球，记球心为， 其半径为. 设以为球心，1为半径的球面与四面体的外接球相交于圆，其半径为 则，解得. 所以圆的周长为， 即以为球心，1为半径的球面与四面体的外接球相交形成的交线的长度为. 题型02 对棱相等模型（还原长方体） 对棱相等模型的外接球主要是：把三棱锥补成长方体，长方体的体对角线就是外接球的直径。 6．（2026·宁夏银川·模拟预测）已知三棱锥中，且 AB = CD =，BC = AD = ，AC = BD =，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】将三棱锥补成长方体，如图， 设长方体的长、宽、高分别为， 由于三棱锥的棱长满足，，， 根据长方体面对角线的性质，可得，即， 所以长方体的体对角线长为，因此三棱锥的外接球直径，所以， 所以外接球的表面积. 故选：A 7．（2026高一·全国·专题练习）在三棱锥中，已知，，，则该三棱锥外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知：，，， 则三棱锥可放置在如图所示的长方体中， 设三棱锥三组对棱的长分别为，，， 由对棱相等模型，，，， 即，所以长方体的体对角线平方为：， 即体对角线长为，则， 该三棱锥外接球的体积. 故选：B. 8．（25-26高三下·云南·阶段检测）设点，，分别为的三边，，的中点，将，，分别沿直线，，向上折起，使得，，重合于同一点．若，，则三棱锥的外接球表面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，，由题设. 三棱锥中，，，， 将放在棱长为x，y，z的长方体中，如图， 则有， 三棱锥的外接球就是长方体的外接球， 所以， 由基本不等式，当且仅当时等号成立， 所以外接球表面积. 9．（25-26高二上·广东肇庆·期中）已知四边形为平行四边形，，，现将沿直线BD翻折，得到三棱锥，若，则三棱锥的外接球表面积为________． 【答案】 【详解】在中，， 故，即， 则折成的三棱锥中，，，， 即此三棱锥的对棱相等，故此三棱锥的三组对棱是一个长方体的六个面的对角线，如下图， 设长方体从同一个顶点出发的三条棱长分别为a，b，c，则，解得，      此长方体的外接球是三棱锥的外接球， 设外接球的直径，即， 所以. 10．（26-27高三上·湖北·开学考试）在正四面体ABCD中，E为棱AC上一点，过点E作平面，使得，，若AB，CD到平面的距离分别为2和8，则该正四面体的外接球被平面截得的截面的面积为__________． 【答案】 【详解】如图，将正四面体ABCD放入到一个正方体中， 因为，，且AB，CD到平面的距离分别为2和8，二者之和为10， 所以该正方体的棱长为10，正四面体的外接球也是该正方体的外接球， 所以球心为该正方体的中心，记为O，则O到的距离， 又球的半径， 所以截面圆的半径，所以所求截面面积． 11．（2026·全国·模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于，两点．为的中位三角形，其中，，分别为三边，，的中点．以为底面，将，，分别沿，，向上折起，使得，，三点重合，记为点，则三棱锥的外接球表面积的最小值为_______． 【答案】 【分析】先由椭圆定义得，再由三角形中位线的性质可得，把三棱锥放到长宽高分别为的长方体中，最后根据该长方体的体对角线就是三棱锥外接球的直径及基本不等式求解. 【详解】由椭圆定义得， 由三角形中位线的性质可得， 如图所示，把三棱锥放到长宽高分别为的长方体中， 则该长方体的体对角线就是三棱锥外接球的直径， 设，则， 因为，三式相加得， 因为， 当时取等号， 所以， 所以三棱锥外接球的表面积. 【点睛】当三棱锥的3组相对棱的长分别相等时，可把该棱锥放到一个长方体中，使得该三棱锥的顶点都是长方体的顶点，则该长方体的体对角线就是球的直径. 题型03 斗笠模型（顶点在底面的射影是底面外接圆圆心） 斗笠模型的外接球主要是适用于顶点在底面的射影正好是底面外接圆的圆心，像圆锥、正棱锥等都属于这类。 12．（2025·黑龙江大庆·一模）已知正三棱锥的底面边长为6，二面角的余弦值为，则正三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示，正三棱锥，作平面于点，则为正三角形的中心， 取的中点，连接，设外接球心为，则在上，连接.    由已知的边长为6，由于，即二面角的平面角，则. 因为，所以， 所以，. 设外接球的半径为，则，， 又，， 所以，解得. 故正三棱锥外接球的表面积. 故选：C. 13．（26-27高三上·河北衡水·阶段检测）在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的体积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在中，，，，则， 故为直角三角形，且为斜边. 同理可得，为直角三角形，且为斜边. 取中点，连接，. 在中，；在中，， 所以，即为外接球球心，外接球半径. 故三棱锥的外接球的体积为 . 14．（26-27高三上·河北沧州·阶段检测）已知三棱锥的四个顶点都在以为球心的球面上，若，，且三棱锥的体积的最大值为，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，因，，则的面积为， 要使三棱锥的体积取得最大值，需使平面，设直线交平面于点，连接， 则即三棱锥的高，由三棱锥体积公式解得， 在中，由余弦定理，，即， 再由正弦定理，，解得，设球的半径为，则， 在中，，解得，故球的表面积为. 15．（25-26高一下·福建泉州·期末）在三棱锥中，，，．若在同一个球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在中，，， 由余弦定理得：，即， 取中点，连接并延长至，使得， 即是的外接圆圆心且． 在中，因为，所以，所以， 因此的外接圆圆心为点． 连接，显然，同理，所以是二面角的平面角． 在直角中，，由勾股定理得， 又，所以 ，所以， 所以平面⊥平面，又，平面， 由点是的外接圆圆心，即球心在直线上． 又是的外接圆圆心，即球心也在过点且垂直于平面的直线上， 两条垂线的交点为点，所以是三棱锥的外接球球心． 所以球的半径，球的表面积为．    16.（2026·安徽合肥·模拟预测）在三棱锥中，，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图形作出二面角的平面角，利用几何知识可求，，则顶点在平面的投影为△的外接圆圆心，则三棱锥的外接球的球心在直线上，根据求解半径． 【详解】如图1，过作垂足为，取的中点，连接， ∵，∴，， 又，，则，， 中，， 过作，且=，连接，则， ∴，， 根据题意可得为二面角的平面角， 即，则， 由题意可得，则，则， 如图2，∵，则顶点在平面的投影为△的外接圆圆心， 则三棱锥的外接球的球心在直线上，连接 ，则 ∴△的外接圆半径，则 设三棱锥的外接球的半径为，则 即，解得 则表面积为.    17．（2025高三·全国·专题练习）在正三棱锥中，，E为侧棱的中点，若二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为______． 【答案】 【详解】如图，取的中点，连接，则，作面于，作面于． 因为为正三棱锥， 且， 所以为的中心，在线段上， 因为E为侧棱的中点， 所以，所以为的中点，且， 因此， 连接，由正三棱锥的性质可得， 因为D为AB中点，所以． 又，所以为二面角的平面角，即， 所以，则， 设三棱锥的外接球的球心为，半径为，则点在上， 连接，在中，由勾股定理得， 则，解得， 所以三棱锥的外接球的表面积为. 题型04 垂面模型（一条侧棱垂直底面的椎体） 垂面模型的关键是一条侧棱垂直底面，球心在底面外心沿垂线方向上，公式是，是底面三角形外接圆半径，是垂直于底面的侧棱长。 18．（25-26高三上·天津和平·期中）古代数学名著《九章算术⋅商功》中，将底面为矩形.且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若四棱锥为阳马，平面，，，则此“阳马”外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由于平面，平面，所以， 由于四边形是矩形，所以， 所以两两相互垂直， 所以四棱锥可补形为长方体，且长方体的体对角线为， 所以四棱锥的外接球的直径，即， 所以四棱锥的外接球的体积. 19．（2026·四川泸州·二模）三棱锥的底面为正三角形，侧棱底面，若，则该三棱锥外接球表面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，可得的外接圆半径，，根据直棱柱的外接球半径公式结合二次函数运算求解即可. 【详解】设，则正的外接圆半径， 因为，则， 则该三棱锥外接球半径， 当且仅当时，等号成立， 所以该三棱锥外接球表面积的最小值为. 故选：C. 20．（25-26高三上·陕西·期末）已知四面体满足，，均为等腰三角形，且，若，的夹角为，则该四面体外接球的表面积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将四面体补成如图所示的直三棱柱，利用直三棱柱的性质，结合球的表面积公式进行求解即可. 【详解】将四面体补成如图所示的直三棱柱， 可知，，故， 又，所以． 设四面体的外接球球心为O， 则O在平面内的射影为的外心，且， 由正弦定理得， 故外接球半径，故． 故选：B 21．（24-25高一下·辽宁丹东·期末）已知等边的边长为，是边上的高，以为折痕将折起，使，则三棱锥外接球的表面积为______. 【答案】52π 【详解】由题，折叠后可得，又平面， 则易得平面. 设为外接圆圆心，过做平面垂线， 则垂线上所有点到顶点距离相等.又垂线与平行，从而垂线与共面， 过A做垂线的垂线，垂足为，则易得四边形为矩形. 取中点为，则，从而为三棱锥外接球球心. 易得，由正弦定理可得， 则外接球半径满足. 则外接球的表面积为. 22．（25-26高二上·湖北孝感·月考）如图，在三棱锥中，平面BCD，，，已知动点E从C点出发，沿四棱锥的外表面经过棱AD上一点到点B的最短距离为，则该棱锥的外接球的表面积为______．    【答案】 【详解】三棱锥的部分平面展开图如图所示：    设，由题意得：，， 在中，由余弦定理得：， 即，即， 解得或（舍去），如图所示：    该棱锥的外接球即为长方体的外接球， 则外接球的半径为：， 所以该棱锥的外接球的表面积为. 23．（25-26高三·全国·一轮复习）已知四棱锥，平面，，，，二面角的大小为．若点，，，，均在球的表面上，则该球的表面积为________． 【答案】 【详解】由，点均在球的表面上， 得四边形内接于圆，则，即， 由平面，平面，得， 又平面，则平面， 而平面，则，又， 因此二面角的平面角为，即， 在中，由，得， 四边形外接圆的直径，即外接圆的直径， 由平面，得四棱锥外接球的半径 所以四棱锥外接球的表面积为. 24．（2026高三·全国·专题练习）在三棱锥中，，，，中点为，，则该三棱锥的外接球的表面积为______． 【答案】 【分析】由题意可得是边长为的等边三角形，由线面垂直的判定定理可得平面，从而得，结合余弦定理及勾股定理的逆定理可得，从而可得平面，设三棱锥的外接球心为，过作于，则有平面，在、中，根据勾股定理求出外接球的半径的值，由球的表面积公式求解即可. 【详解】如图所示： 因为，， 所以， 又因为，所以是边长为的等边三角形. 又因为是中点，所以， 又因为平面，， 所以平面. 又因为平面，所以， 又因为， ，， 在中，由余弦定理可得，， 所以，所以， 又平面，，所以平面， 即为三棱锥的高， 设三棱锥的外接球心为， 因为是外接圆的圆心，则平面， 过作于，易知四边形为矩形， 所以， . 设三棱锥的外接球的半径为， ， 在中，， 即①， 在中，， 即②， 由①②可得， 所以三棱锥的外接球的表面积. 25．（2026高三·全国·专题练习）在三棱锥中，为等边三角形，，平面，若在平面上的射影为的重心，则该三棱锥的外接球的体积为______． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，设，利用重心公式得到重心的坐标，结合射影性质平面，通过向量垂直的数量积运算求出；再将该三棱锥外接球等效为直三棱柱外接球，结合底面等边三角形外接圆半径求出外接球半径，最后代入球体体积公式算出结果． 【详解】 设，如图，以为原点，过作平行于的直线为轴， 中边上的高所在直线为轴，为轴建立空间直角坐标系， 由，是等边三角形， 得，，，， 设是的重心， 则的坐标为，即， ，，， 因为平面，平面，平面， 所以，， 所以，， 解得. 在三棱锥中，平面， 外接球可看作以的外接圆为底面、为侧棱的直三棱柱的外接球， 设的外接圆半径为，则，解得， 设三棱锥的外接球的半径为，则， 所以三棱锥的外接球的体积． 26．（2026·山东聊城·二模）如图，在三棱柱中，底面，且，则平面截三棱锥的外接球所得截面的面积为_________.    【答案】 【分析】将三棱锥补成直三棱柱，由题设易得三棱锥的外接球的半径为，进而建立空间直角坐标系，利用空间向量求出点到平面的距离为，进而求解即可. 【详解】如图所示，将三棱锥补成直三棱柱， 分别取的中点，连接，取的中点，连接， 由底面，， 则分别为的外心，，， 由题意知，三棱锥的外接球即为三棱柱的外接球，为球心， 则外接球的半径为. 以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    易知，，， 则. 设平面的一个法向量为， 则，令，得，又， 所以点到平面的距离为， 则平面截三棱锥的外接球的截面圆的半径， 所以截面圆的面积为. 题型05 汉堡模型(直棱柱、圆柱） 汉堡模型是直棱柱（或圆柱）的外接球模型，公式是，其中是底面外接圆半径，是棱柱的高。 27．（25-26高二上·云南大理·期末）在三棱柱中，已知底面，侧棱，，，且该三棱柱的6个顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设三棱柱外接球的球心为， 分别为和的外心，则. 由对称性可知为的中点，所以到上、下底面的距离. 设外接圆的半径为，则由正弦定理可知，所以. 由球的性质可知球的半径， 所以该三棱柱外接球的体积. 故选：B 28．（25-26高二上·山东东营·期末）如图，在直三棱柱中，，，，为棱的中点，直三棱柱的各顶点在同一球面上，且球的表面积为，则四面体的体积为_____    【答案】 【详解】因为在直三棱柱中，，，， 所以，即为直角三角形，斜边分别为， 取的中点，连接，取的中点， 则为直三棱柱外接球球心， 因为直三棱柱外接球的表面积为， 所以直三棱柱外接球的半径为 所以， 所以， 所以四面体的体积为    题型06 切瓜模型 （面面垂直） 切瓜模型指有一个侧面与底面互相垂直的棱锥，解决它的外接球问题最核心的方法是“双半径单交线公式”，即，其中是两垂直平面外接圆半径，是两面的交线长。 29．（25-26高一下·浙江宁波·期中）在三棱锥中，，，，点在平面上投影为，则三棱锥的外接球的表面积为（   ） A．84π B．88π C．92π D．96π 【答案】A 【详解】设的外接圆半径为，由题可知为等边三角形，由正弦定理，，则， 设外接球的球心为，半径为，的外接圆的圆心为， 由题可得平面，而平面， 过点作，交于点，连接， 则，易得矩形，则， 在直角三角形中，，解得， 所以三棱锥外接球的表面积为. 30．（25-26高三下·湖南·阶段检测）已知三棱锥的四个顶点在球O的表面上，，，，点 P 在底面的射影在直线上，则当球O的体积最小时，点 P 到底面距离的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【详解】因为，，， 所以是直角三角形，斜边， 所以的外接圆的半径为， 因此球心O在平面的射影是的中点，设为， 设，球的半径为，于是有， 即， 要想球O的体积最小，只需，此时，O重合，， 因为点 P 在底面的射影在直线上， 所以设射影为，连接， 显然， 所以， 当最小时，有最大值， 显然当时，最小，因为，O是的中点 所以且， 所以的最大值为. 31．（2026·广西南宁·二模）在三棱锥中，为正三角形，，，二面角的平面角为，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，取的中点，连接， 因为为正三角形，所以，又二面角的平面角为， 所以平面，则， 设为正三角形的中心，则， 因为，所以，又， 所以， 所以，则，即为三棱锥外接球的球心， 因为，所以， 所以三棱锥外接球的半径， 所以三棱锥外接球的表面积为. 32．（2026·河北唐山·模拟预测）四面体ABCD中，平面平面，，，，，则该四面体外接球的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，设的外心为，过点作于点，连接、、， 取的中点，连接，则. 因为面面，面面，平面， 所以，面， 因为平面，所以. 在直角三角形中，，，,得. 在中，由正弦定理得，，解得，. 在直角三角形中，，则， 在直角三角形中，由面积公式得，，解得，， 则，. 在直角三角形中，则， 在直角三角形中，则， 即， 所以，点为该四面体外接球的球心，故其体积为. 33．（26-27高三上·海南海口·开学考试）在中，，，为的中点，将沿翻折，使二面角为，则翻折后的四面体的外接球的表面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用“切西瓜”模型，分别找到外接圆圆心以及的外接圆圆心，然后分别作平面的垂线交点即为外接球球心，然后利用平面几何关系求得，进而外接球表面积为. 【详解】由题意可知， 又，平面， 所以平面，为二面角的平面角， 所以，又因为，所以为等边三角形， 如图，取的中点，则，则平面， 外接圆圆心为，连接，易证平面， 外接圆圆心为，四面体的外接球球心为，则平面， 连接，则平面， 则四边形为矩形. 在等边中，，则，， 则， 在中，， 所以四面体的外接球的半径， 所以外接球表面积为. 34．（2026·辽宁抚顺·一模）在四面体中，平面平面，，若点均在球的球面上，且，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取AB的中点，由条件可得点为的外心，由平面平面，可得四面体的外接球球心为的外心，利用正弦定理即可求得其半径，进而求出答案. 【详解】如图，取AB的中点M，因，则点为的外心， 又因平面平面，平面平面， 故四面体的外接球球心必在平面内，且是的外心， 易得平面，故有， 在中，，，由正弦定理，，则， 故四面体的外接球的表面积为. 35．（25-26高三下·重庆沙坪坝·开学考试）在平面四边形中，是边长为的等边三角形，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，将该四边形沿对角线折成四面体，在折起的过程中，四面体的外接球表面积最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设、的外心分别为、，过点作平面的垂线，过点作平面的垂线，设这两垂线的交点为，求出、的长，利用勾股定理可得出，可得出长的最小值，再利用球体表面积公式可求得结果. 【详解】设、的外心分别为、， 则为的中点，为的中心， 过点作平面的垂线，过点作平面的垂线，设这两垂线的交点为， 则为四面体的外接球球心，如下图所示： 因为为等边三角形，则， 所以，易知， 因为为等腰直角三角形，且其底边长为，所以， 故球的半径为， 当且仅当点与点重合时，取最小值，即球的半径的最小值为， 所以四面体的外接球表面积最小值为. 故选：C 36．（2026·甘肃金昌·三模）在三棱锥中，为边长为2的等边三角形，，，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取AB中点D，先证平面平面，再利用球心到两垂直平面的垂线与的重心 、的外心H的关系，通过勾股定理求出外接球半径的平方，进而得到球的表面积. 【详解】取AB中点D，连接PD，CD，由，得，且， 又为边长为2的等边三角形，所以，又， 所以，所以， 又，所以平面， 因为平面，所以平面平面， 设球心为O，的重心为G，等边三角形的重心与外心重合，的外心为H， 由球的性质可知平面，平面， 设外接圆的半径为，则， 在中，，即，得， 所以，，记球的半径为R， 则，球的表面积为． 37．（2026·福建厦门·二模）已知四面体ABCD的各顶点均在球的球面上，平面平面，若与的外接圆面积之和为，则球的半径为（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】球的半径为，取外接圆的圆心分别为，由，及，列出等式即可求解. 【详解】 设与的外接圆半径分别为，外接圆的圆心分别为 由题意可得，即， 设球的半径为，的中点为， 连接， 因为是外接圆圆心，所以，又是的中点， 所以，同理， 又平面，平面， 平面平面， 所以为二面角的平面角，又平面平面， 则， 由球的性质可知：平面，平面， 又平面，平面， 则，， 所以四边形为矩形， 则， 又 所以， 又，所以， 所以,又， 所以， 即, 则球的半径为. 38．（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知四面体ABCD的每个顶点都在球O（O为球心）的球面上，为等边三角形，，，且，则二面角的正切值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】设E为AC的中点，连接BE，DE，利用线面垂直的判定、勾股定理及面面垂直判定可得面平面，结合已知条件有为等腰直角三角形，进而可确定四面体外接球球心的位置，过点E作交OC于点F，易知即为二面角的平面角，即可求其正切值. 【详解】设E为AC的中点，连接BE，DE. 因为为等边三角形， 所以，又，且，BE，平面， 所以平面， 又平面，即， 由题意易知，，，又， 所以. 因为，所以， 即，又，AC，平面， 所以平面，而平面，则平面平面， 又，则，故为等腰直角三角形. 综上，四面体的球心O为的中心，即在线段BE靠近E的三等分点处. 过点E作交OC于点F，连接DF，则即为二面角的平面角. 在中，，，可求得，又， 所以. 39．（2026·云南·模拟预测）如图，在三棱锥中，平面平面，和都是等腰三角形，且，，，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过面面垂直确定球心的大致位置，在直角三角形中利用勾股定理可求球的半径，结合表面积公式可得答案. 【详解】如图，由题可知，外接圆的圆心O是的中点. 设三棱锥外接球的球心为，连接，则平面. 过A作，与的延长线交于点，则由平面平面，可得平面. 因为，，所以，. 取的中点E连接，，可得，， 则. 设，连接，，则，解得， 故三棱锥外接球的表面积为. 题型07 直角三角形拼接模型 直角三角形拼接模型的外接球，主要结论是：球心在公共斜边的中点，半径等于斜边的一半，即。 40．（25-26高二上·广东·期末）如图所示，四边形为正方形，将绕翻折得到三棱锥，且，若三棱锥的体积为，则该三棱锥外接球的表面积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设正方形的边长为，则， 取中点，连接，如图，    则，又，所以为正三角形． 因为，平面 所以平面，则三棱锥的体积， 解得， 因为与均为直角三角形，且为斜边，为中点， 所以为三棱锥外接球的球心， 所以三棱锥外接球的半径． 则该三棱锥外接球的表面积为． 故选：D 41．（24-25高一下·湖北武汉·期末）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱）称之为“堑堵”.如图，三棱柱为一个“堑堵”，底面是以为斜边的直角三角形且，，点在棱上，且，当的面积取最小值时，三棱锥的外接球体积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由堑堵的定义可知，为直角三角形，故， 由已知可得，平面平面ABC，且平面平面， 又，平面ABC， 平面，而平面， ，又，，AC，平面APC， 平面APC，又平面APC，则， 设，，则， ，， ， 由，得，整理得， ， 则， 当且仅当，即时，的面积取得最小值为18， 此时， 设三棱锥的外接球的半径为R， 因为，都是以AP为斜边的直角三角形， 故线段为外接球的直径，故所求外接球的体积为.    故选：B. 42．（25-26高二下·浙江宁波·期末）如图，已知四面体中，平面，，，，点为线段中点，则四面体外接球球心到平面距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点，根据题意，证得，得到为四面体外接球球心，得到点到平面的距离为点到平面的距离的一半，设点到平面的距离为，结合，列出方程，求得的值，即可求解. 【详解】如图所示，取的中点，连接， 因为平面，且平面，所以， 在直角中，可得， 又由平面，且平面，所以， 因为，，且平面，所以平面， 又因为平面，所以， 在直角中，且为的中点，可得，所以， 所以为四面体外接球球心， 因为为的中点，所以点到平面的距离为点到平面的距离的一半， 设点到平面的距离为， 因为，，点为线段中点，可得， 在直角中，可得， 所以， 且， 则，且， 因为，即，解得， 所以点到平面的距离为. 43．（2026·河南驻马店·模拟预测）在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，与均为以为斜边的直角三角形．若该三棱锥的外接球的表面积为，则此三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件，利用球的表面积公式求出外接球半径，结合三角形的性质和勾股定理求出，结合余弦定理、三角形面积公式及三棱锥体积公式计算求解． 【详解】 记三棱锥外接球的半径为，则，解得， 与均为以为斜边的直角三角形， 中点为外接球球心，故， 在中，，由勾股定理得： ， 同理可得， 取中点，连接， 为等边三角形，边长为2，则，， 中，，故； 又，平面， 故平面，则三棱锥体积为， 中，， 由余弦定理得：， 则， ， ． 44．（2026·云南保山·二模）平行六面体所有棱长都相等，，点在底面的投影为中点，且直线与底面夹角为，则三棱锥的外接球被平面截得的截面面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】平面与球相交截面是一个圆，首先确定外接球球心及半径，再求球心到平面距离，最后根据勾股定理求截面半径． 【详解】 如图，设中点为，，， ，，即， ，则，． 又平面，平面，， 则，，即， 三棱锥中，，均为直角三角形， 且平面平面， 三棱锥的外接球是以为直径，为球心，半径， 设到平面的距离为，外接球被平面截得的截面半径为， 对于三棱锥，高为，底面积， 故， ， ，，解得， 截面半径，面积为． 45．（2026·河北衡水·二模）已知平行六面体的所有棱长均为2，为的中点，且平面，若直线与底面的夹角为，则三棱锥的外接球被平面截得的截面面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平面得到，由题中条件得到为的中点，从而得到三棱锥中和均为直角三角形，继而得到三棱锥的外接球是以为直径，为球心，利用三棱锥体积相等求解即可得到截面圆的半径，利用圆的面积求解即可. 【详解】平面，若直线与底面的夹角为，， ，， 为的中点，四边形是平行四边形，为的中点， ，，， ，，， 三棱锥中和均为直角三角形， 且平面平面， 三棱锥的外接球是以为直径，为球心，半径为， 设到平面的距离为，外接球被平面截得的截面半径为， ， ，， ，， 截面半径，则截面面积为. 46．（25-26高三上·浙江金华·期末）三棱锥中，，二面角的平面角为锐角，则三棱锥的外接球球心到平面ABC的距离最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取中点，连接，由题易知为三棱锥的外接球球心，且外接球半径为，再根据球心到平面ABC的距离等于点到平面ABC的距离的一半，转化为求点到平面ABC的距离，最后根据即可求得答案. 【详解】如图，取中点，连接， 因为三棱锥中，， 所以与均为直角三角形，且为公共斜边， 所以，即点为三棱锥的外接球球心，半径为， 设点到平面ABC的距离，球心到平面ABC的距离 所以球心到平面ABC的距离等于点到平面ABC的距离的一半，即， 因为二面角的平面角为锐角， 所以点到平面ABC的距离，当且仅当时等号成立， 所以球心到平面ABC的距离， 即三棱锥的外接球球心到平面ABC的距离最大值为. 故选：D 47．（2026·内蒙古赤峰·一模）如图1所示，在平面四边形中，，，，将沿折叠，得到图2中的三棱锥，使二面角的余弦值为，则三棱锥的外接球表面积为________． 【答案】 【详解】 如图，取的中点E，连接， 已知，，所以，， 又，所以，， 所以为二面角的平面角，其余弦值为， 在中，由余弦定理得 ， 即，则， 所以为直角三角形， 则的中点O为三棱锥的外接球的球心， 外接球的半径为， 所以三棱锥的外接球表面积为. 48．（2026·河南·模拟预测）在长方体中，M为的中点，N为的中点，，，，则四面体的外接球的半径为________. 【答案】/ 【详解】在与中，可得，，即， 因 ，所以 ，故，即. 又平面，平面，则. 因平面，所以平面，而平面，故. 如图，取的中点为，在中， ，在中， ， 所以，即点到A，B，M，N四点的距离相等，所以点为四面体的外接球的球心， 可得外接球的直径， 所以四面体的外接球的半径为.    49．（26-27高三上·云南·阶段检测）在三棱锥中，是等边三角形，，，二面角的余弦值为，若三棱锥的外接球的表面积为，则的面积为___________． 【答案】 【分析】取中点利用等腰/等边三角形性质确定二面角平面角，由外接球表面积得半径，结合球心到各顶点距离相等，通过勾股定理建立棱长与的关系，求出的边长，即可求得面积. 【详解】由题可设， 因为， 所以是等腰直角三角形，则斜边. 因为是等边三角形，所以. 取的中点为，连接，，如图所示， 在中，，且. 在等边中，，且. 因为，，在上， 所以即为平面和平面的二面角. 又因为二面角的余弦值为，所以. 在中，由余弦定理可得， 代入数值得 解得. 因为，所以. 同理. 所以. 因此，是和的公共斜边. 又因为在中，是斜边，中点到，，距离相等. 因为， 由直径所对圆周角为直角可得点，都在以为直径的球面上， 所以，三棱锥的外接球就是以为直径的球. 因为外接球表面积为， 所以，解得， 所以， 则. 题型08 折叠模型 折叠模型指两个全等三角形（常为等腰或等边三角形）拼在一起，或菱形沿对角线折叠后形成的三棱锥，求其外接球半径的一类题型。 这类题型的核心思路是“双外心找球心”：分别作出两个三角形所在平面的外接圆圆心，过两个圆心分别作所在面的外接圆圆心，过这两个圆心分别作所在平面的垂线，两条垂线的交点就是外接球球心，最后在直角三角形里面用勾股定理列方程求出半径。 50．（2026·甘肃兰州·模拟预测）在三棱锥中，，均为等边三角形，，，则该三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取的中点，连接，，可得，分别取与的外心，，过点，分别作两平面的垂线，两垂线交于点，则点为三棱锥外接球的球心，利用勾股定理求得三棱锥外接球的半径，得解. 【详解】如图，取的中点，连接，， 因为、所以，， 所以，又，所以. 分别取与的外心，，易知点，分别在，上， 过点，分别作两平面的垂线，两垂线交于点，则点为三棱锥外接球的球心. 由已知可得，，连接，易得， 所以，则，则， 所以在中，，即三棱锥外接球的半径为， 所以该三棱锥外接球的表面积为. 51．（2025·江苏泰州·模拟预测）二面角的平面角为钝角，，且．若P，A，B，C在表面积为的球面上，则二面角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，的外心分别为，三棱锥外接球的球心为，连接，延长交于，连接，可证明为二面角的平面角，计算求得的大小即可. 【详解】设三棱锥外接球的半径为，由题意可得，解得， 设，的外心分别为，三棱锥外接球的球心为， 连接，延长交于，连接，则， 因为，所以为的中点，所以， 又因为，所以为的中点，且， 所以为二面角的平面角， 因为平面，平面，所以， 又，， 所以， 在中，， 在中，可得，所以； 又， 在中，， 所以，所以， 所以， 所以二面角的大小为. 52．（24-25高二上·江西南昌·阶段检测）已知二面角的大小为，且，，若四点，，，都在同一个球面上，当该球体积取最小值时，为（     ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】设，则，由题意知三棱锥外接球的球心是过△PAB和△ABC的外心E，H，且分别垂直这两个三角形所在平面的垂线的交点O，OB为三棱锥外接球半径，进而求半径表达式并利用配方法求出球半径的最小值，从而可得的值. 【详解】设球的半径为，则球的体积为， 所以球体积取得最小值时，则球的半径最小. 设，则， 由题意知三棱锥外接球的球心是过和的外心E，H， 易知分别为的中点，且四点共圆， 且分别垂直这两个三角形所在平面的垂线的交点O， 为三棱锥外接球半径，取的中点为G，如图： 由条件知， 在中，由余弦定理可得 ， ∴的外接圆直径， 当时，球的半径取得最小值. 故. 故选：D． 53．（24-25高一下·江苏无锡·期末）已知四面体中，为边长为的等边三角形，，，二面角的大小为，则四面体的外接球的表面积为________． 【答案】 【详解】设外接球球心为，、的外心分别为点、， 取线段的中点，连接、、、，则，， 因为是边长为的等边三角形，所以， 所以，， 因为，则为的中点， 又因为，故，故， 因为，，所以二面角的平面角为， 易知，， 所以、、、四点共圆， 由余弦定理可得， 所以，由正弦定理可得， 所以， 故球的半径为， 故四面体的外接球的表面积为. 54．（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知菱形的边长为，，将沿折起到位置，使得二面角的大小为，且四面体的外接球表面积为，则________. 【答案】 【分析】先求出，得出和为等边三角形，再利用二面角的平面角的定义说明就是二面角的平面角，根据外接球表面积求出外接球的半径，再做出平面截外接球的截面图，化空间为平面，找到球心，通过求出，进而求出的余弦值，最后利用三角函数公式求出答案. 【详解】因为， 所以，，所以和为等边三角形. 设的中点为，连接，，就是二面角的平面角，大小为. 四面体的外接球表面积为，记外接球半径为，，所以. 设和的中心分别为，，过，分别作平面，平面的垂线， 设两垂线相交于点，那么就是四面体的外接球的球心. 由题意知，得， 所以，所以，，. 55．（25-26高一下·辽宁大连·期末）在三棱锥中，底面是等边三角形，⊥，二面角的大小为.若三棱锥外接球的表面积为，则该三棱锥体积的最大值为（   ） A．6 B．12 C．12 D．24 【答案】B 【分析】先求出外接球半径，作出辅助线，得到外接球球心，根据二面角大小和外接球半径得到，并得到点到平面的距离最大值，得到体积最大值. 【详解】设三棱锥外接球的半径为，则，解得， ⊥，设的外心为，则是棱的中点， 设等边的外心为，过点作平面的垂线，过点作平面的垂线， 两垂线交于点，则即为三棱锥的外接球球心， 因为二面角的大小为，所以， 设，则，， 于是，， ， 连接，则， 在中，由勾股定理得， 即，解得，所以， 因为⊥，所以当时，点到平面的距离最大， 此时，且， 其最大距离为，其中， 所以三棱锥的体积最大值为. 56．（2026·四川绵阳·模拟预测）如图，在正方形中，为的中点，将沿直线折起至处，使得点在平面上的投影在直线上，若三棱锥外接球的表面积为，则三棱锥的体积为________.    【答案】 【分析】根据折叠的特点，根据外接球以及球的表面积求解正方形的边长，再根据三棱锥的体积公式求解. 【详解】连接，交于点，交于点，连接，， 设正方形的边长为， 因为为正方形，所以沿对角线折叠的过程中， 点（即点）在底面上的射影一直在直线上， 又点在平面上的射影在直线上， 所以点即为点在平面上的射影，即平面， 因为平面，所以， 因为为对角线、的交点，所以， 即，所以为三棱锥外接球的球心， 则三棱锥外接球的半径，则，解得， 因为为的中点，为的中点，所以为的重心， 则， 在中，，即三棱锥的高为， 则三棱锥的体积. 题型09 利用异面直线公垂线找外接球球心 利用异面直线公垂线求外接球半径主要是把两条异面直线的中点连起来，公垂线段的中点往往就是球心。 57．（25-26高一下·四川眉山·期中）在四面体中，若，则四面体外接球的表面积为______ 【答案】 【详解】如图，设的中点分别为，球心为，半径为，   ， ，又平面， 平面，又平面， ，则垂直平分， 同理可得垂直平分，故球心在上，设， ，， ， 又，解得，， 则四面体外接球的表面积为． 题型10 可建系型 建立空间直角坐标系，写出三棱锥各顶点坐标，设球心坐标，利用球心到各顶点距离相等列方程，解方程得到球心坐标。 58．（26-27高三上·湖南长沙·开学考试）如图，在四棱锥 中，底面 是边长为4 的正方形，， ，则该四棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以正方形中心为原点建立空间直角坐标系，先由 ， 求出点 的坐标；再利用外接球球心到 的距离相等，求出外接球半径，从而求其表面积． 【详解】设正方形 的中心为 ． 以 为坐标原点，以平行于 ， 的方向分别为 轴、 轴正方向， 以垂直于平面 且向上的方向为 轴正方向，建立空间直角坐标系 ． 则，设 ，其中 ． 由 ，得，所以 ． 又因为 ，，所以， 两式相减，得 ，所以 ．代入上式，得 ． 因为 ，所以 ，故 设该四棱锥外接球的球心为 ，因为 ， 所以点在过正方形中心 且垂直于平面 的直线上． 设由 ，得，解得 所以外接球半径满足， 因此外接球的表面积为 59．（2026·湖南永州·一模）在三棱锥中，，，，，若该三棱锥外接球的表面积为，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先用长度和定出在面上的投影坐标，再用外接球半径反解出竖坐标，最后即得. 【详解】由题意 ，取为原点，建立如图所示的空间直角坐标系. 令，平面为平面. 设 ，其中即点到底面的高. 因为，所以. 记，展开上式得①. 向量，向量， 则②. 将①代入②得：. 取正根：，，， 令，. 由球表面积. 底面为直角三角形，外心在中点，故球心为. 由，得. 由，展开化简得：，代入，与联立， 消去：. 舍去退化情形，取：. 设与平面所成角为，则： . 60．（2026·云南玉溪·模拟预测）四面体的各顶点均在同一个球面上，且，当四面体的体积最大时，该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先取中点O，分析、与的垂直关系，确定四面体体积的表达式，因为四面体体积最大时，需高最大，所以当平面平面时，体积取得最大值，建立空间直角坐标系，求出外接球的球心坐标，计算外接球半径，最后利用球的表面积公式求解. 【详解】取的中点为O，连接， 由于，故， 平面，故平面， 设，则，， 设，则四面体的体积， 要使得四面体的体积最大，必有，即此时平面平面， 则此时，令，， 则，当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 故时，取得最大值，此时取得最大值， 即得， 以O为坐标原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则， 设四面体的外接球的球心为，则， 即， 解得，即外接球球心为， 故外接球半径为， 故外接球的表面积为. 61．（25-26高三下·湖北孝感·开学考试）已知四面体满足均为等腰三角形，若，则该四面体外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过空间直角坐标系法求解，利用坐标定位各顶点，再根据外接球心到各顶点距离相等的性质列方程求解. 【详解】由为等腰直角三角形（，），得， 由为等腰三角形（，），用余弦定理： 验证ABBD：，故， 又，，得平面； 建立空间直角坐标系，，（在轴，在轴），点：由几何关系，可以得，过点作轴的垂线，依据勾股定理自然可得； 设外接球心为，则， 由：， 由：， 由：， 化简得； 因此，球心，半径：， 故选：B 62．（25-26高二下·浙江湖州·期末）已知正三角形的边长是2，是的中点，将沿直线翻折，构成三棱锥，使得二面角的大小为，则该三棱锥外接球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系．由正三角形边长和折叠后长度不变，可写出的坐标，再设外接球球心为，利用求外接球半径． 【详解】因为是边长为的正三角形，是的中点， 所以，，且． 取为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴， 则可设 将沿直线翻折后，点落到点，所以． 又二面角的大小为，且，， 所以，从而可设 设该三棱锥外接球的球心为，半径为． 因为为原点，所以 由，得，所以． 由，得，所以． 由，得，整理得 把代入，得． 所以 故外接球的表面积为 63．（2026·河北保定·模拟预测）在边长为 2 的菱形ABCD 中， 沿对角线 BD 将△ABD 折起得到三棱锥，若 ，则三棱锥 外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题的关键是折叠问题（菱形沿对角线BD折起形成三棱锥），需通过坐标系法确定各点位置，再利用外接球球心到各顶点距离相等的性质求解半径． 【详解】折叠前：菱形边长为，，故、为等边三角形，， 设中点为，则，，且． 建系：以为原点，为轴，为轴，垂直平面方向为轴， 得，，，设折叠后，由得， 由，，，故，解得， 代入得，故， 设外接球球心，由得；由得，解得； 由得，解得， 球心，半径，故外接球表面积． 64．（2026·湖北·三模）正方体中，是棱的中点，是棱上的动点，过点，，的平面截该正方体所得的截面记为，若三棱锥的外接球球心落在平面内，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意建立空间直角坐标系，设，求解的坐标，由三棱锥的外接球即为，，为棱的长方体的外接球，求解三棱锥的外接球的半径为，求解平面的法向量，再由求解即可. 【详解】设正方体棱长为1，以为原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 可得，，，，， 因为点为中点，可得，又设，， 则得，解得，即， 由三棱锥的外接球即为，，为棱的长方体的外接球， 由，，，得长方体的体对角线长为， 所以三棱锥的外接球的半径为，即球心为该长方体体对角线的中点，所以， 设平面的法向量为，，， 由，故可取， 因为，所以与平面的法向量为垂直， 则，即，解得，所以. 65．（26-27高三上·安徽·开学考试）已知四棱锥的底面是正方形，侧棱.为侧棱的中点，三棱锥的外接球球心为，则平面与平面夹角的正弦值为______. 【答案】 【分析】设底面中心为，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设点，根据列方程组解出球心的坐标，然后利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求出平面与平面夹角的正弦值. 【详解】在四棱锥中，底面为正方形，且， 则该四棱锥为正四棱锥，设底面中心为，则平面，且， 因为平面，所以， 由勾股定理可得， 易知为的中点，所以，则， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、， 设三棱锥的外接球球心的坐标为， 由得， 解得，即球心为， 设平面的一个法向量为，，， 则，取，可得， 设平面的一个法向量为，，， 则，取，可得， 所以， 故， 所以平面与平面夹角的正弦值为. 66．（2026·河南·模拟预测）在三棱锥中，，点在平面内的射影为棱的中点，三棱锥的体积为1，则三棱锥的外接球的表面积为__________． 【答案】 【分析】由三棱锥的性质结合已知条件求出，构造空间直角坐标系，求出相关点坐标，利用正三角形的性质求出重心坐标，进而设圆心坐标，利用三棱锥外接球的性质构造方程求出半径，进而利用球的面积公式求解． 【详解】已知，则是等边三角形， 面积为， 三棱锥的体积，解得， 以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立下图所示空间直角坐标系， 则， 等边三角形的外接圆圆心为，设外接球球心为， 则， ，则，解得， ， 外接球的面积． 67．（2026·河南开封·模拟预测）已知正四棱锥的高为2，，为棱的中点，若点均在球的球面上，则平面截球所得截面圆的面积为________． 【答案】 【分析】先利用正四棱锥的性质，可求出正四棱锥外接球的半径，再利用空间向量求出球心到截面的距离，最后利用球的截面性质可求出截面圆的半径，即可求解截面圆的面积. 【详解】    在正四棱锥中，底面是边长的正方形，底面中心记为， 则底面正方形对角线长为，故， 正四棱锥的高，外接球的球心在高 上，设外接球半径为， 由勾股定理得：， 如图，以为原点建立空间直角坐标系， 则， 因为是中点，所以， 可得：， 设平面的法向量为， 则， 令，可得，即， 由，设球心到平面的距离为， 则， 设截面圆半径为，由球的截面性质， 所以截面圆的面积. 68．（2026·湖南湘西·三模）如图，在直三棱柱中，分别是棱的中点，三棱柱的外接球为球，则过的平面截球所得截面面积的最小值为___________． 【答案】 【分析】将三棱柱补成正方体，建立空间直角坐标系，可求出外接球的半径为，利用空间向量求出点到直线的距离，进而求解截面面积的最小值. 【详解】根据题意，将该三棱柱补成正方体，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，所以， 由正方体的性质可得该正方体的外接球球心为，即为点， 则，外接球半径为， 点到直线的距离， 该截面面积最小时，点到该截面的距离为， 则截面面积的最小值为． 69．（2026·山东烟台·二模）三棱柱中，，在底面ABC内的射影为AC中点，，，若为底面内一动点（不含边界），则三棱锥的外接球表面积的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间坐标系将几何关系转化为代数运算，通过变量范围求表面积极值. 【详解】设底面直角三角形的斜边中点为，以为原点，为轴建立空间直角坐标系，则，，设满足， ，所以， 在底面射影为，故，由，得. ，所以， 则，， 设动点在内，设其坐标为， 所以其在底面的投影为，到的距离平方为. 三棱锥的外接球心在过且垂直于底面的直线上，设. 球半径满足：； 球心到的距离等于半径：. 联立得： 代入半径公式： 在圆上， 故的坐标满足： 因(不在线上)，故. 在内，故的取值范围为. 将代入：当时，， ，表面积， 当时，，，表面积 所以三棱锥的外接球表面积取值范围为. 题型11 棱台型 正棱台外接球的通用解法是：球心一定在上、下底面中心的连线上，设球心到上下底面的距离为，利用“球心到每个顶点的距离都等于半径”列方程求解，即，其中是棱台的高。 70．（26-27高三上·安徽安庆·阶段检测）已知正三棱台所有顶点都在球上，其中，，侧棱延长相交于顶点，且三棱锥恰为正四面体，则球的表面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设在底面内的投影为，连接，交平面于点，通过正四面体的结构特点求得，再由，即可求解. 【详解】正三棱台中，，，侧棱延长相交于顶点，且三棱锥为正四面体， 设在底面内的投影为，连接，交平面于点，连接，， 则球心在上，连接，， 则，， ，， 设球的半径为，则， 解得，， 所以球的表面积为． 71．（26-27高三上·浙江·阶段检测）底面边长为，高为2的正三棱锥被平行于其底面的平面所截，得到一个正三棱锥和一个正三棱台．当正三棱台的外接球半径最小时，该正三棱台的高为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据正三棱锥和正三棱台的结构特征计算即可. 【详解】当正三棱台的外接球半径最小时，原正三棱锥底面的外接圆恰为外接球的大圆， 在正三角形中，，所以该三角形的高为， 所以其外接圆半径为高的，即，所以外接球半径为1. 设此时正三棱台的高为，根据相似，可得， 所以. 因为正三角形的高为. 所以正三角形的外接圆半径为， 由几何关系可知， 解得，故高为. 72．（2026·重庆·模拟预测）已知正四棱台， ，则该正四棱台的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由正四棱台的体积可得正四棱台的高，再根据球的几何性质可得球的半径，进而可得球的表面积. 【详解】因为， 所以结合体积公式，可得正四棱台的高， 记上下底面的中心分别为，， 所以该正四棱台的外接球球心在直线上， 设，外接球半径为，则 则，解得，， 所以外接球表面积. 73．（26-27高三上·重庆·开学考试）已知正三棱台 的侧面与底面的夹角为 ， ，且正三棱台 的 个顶点均在球 的球面上，则球 的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由正三棱台的边角关系求出上下底面半径及高，再假设球心位置，利用球心到各顶点距离相等建立方程，解出半径后求表面积. 【详解】设正三棱台上下底面中心分别为 、，下底面边长 ，上底面边长 . 上下底面的外接圆半径分别为， ； 内切圆半径分别为， . 侧面与底面夹角为，该二面角在垂直于底边的截面中， 斜高 满足. 棱台高. ①若 在 和 之间，设 到 距离为 （），则到 距离为 . 由球心到上下底面顶点距离相等，可得， 代入 ，得，矛盾. ②若在 和 下方，如图. 设 ，则球心到上底面中心距离为 . 由球心到上下底面顶点距离相等可得， 化简得， 因此，可得球的表面积. 题型12 组合体外接球 组合体求外接球主要是先确定球心位置，再利用球心到各顶点距离相等列方程。 74．（25-26高一下·重庆·期中）图1勖艾亭是巴蜀中学校园内的标志性建筑，勖艾亭中的“勖”取自首任校长周勖成之名，“艾”则取自首任教务主任孙伯才（字未艾）之字，合称“勖艾”，寓意纪念两位创校元勋.它的主体部分可以看作是一个正六棱柱和一个正六棱锥拼接而成的组合体，如图2所示.已知正六棱柱和正六棱锥的底面边长为2，高之比为3：1，且该几何体的所有顶点都在球的表面上，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设正六棱锥的高为，则正六棱柱的高为，可得该几何体的所有顶点都在球的表面上，该几何体的外接球也是正六棱柱的外接球，所以球心在上，且,由几何关系可得,解方程即可求解. 【详解】设正六棱锥的高为，则正六棱柱的高为， 设正六棱锥的上顶点为,正六棱柱底面的中心为, 连接，则,正六棱柱底面 该几何体的所有顶点都在球的表面上，该几何体的外接球也是正六棱柱的外接球，所以球心在上， 且, 设该几何体外接球的半径为,则,解得：, 所以球的体积为 75．（2026·山东枣庄·二模）如图，以正四面体的四个顶点为球心，以棱长为半径分别作四个球，它们的公共部分形成的几何体叫做“勒洛四面体”．若正四面体的棱长为4，则（    ） A．此“勒洛四面体”外接球的体积是 B．此“勒洛四面体”的内切球的半径是 C．此“勒洛四面体”表面上交线弧的长度为 D．过三点的截面面积是 【答案】D 【分析】根据勒洛四面体的结构特征，结合外接球、内切球、余弦定理、扇形面积、空间几何体的截面与相关知识，依次分析各选项即可得. 【详解】对A：此“勒洛四面体”外接球即为正四面体的外接球， 在正四面体中，为的中心， 是正四面体外接球的球心， 连接、、，由正四面体的性质可知在上， 因为，所以， 则. 因为， 即，解得， 即外接球半径为， 故外接球的体积，故A错误； 对B：由对称性可知勒洛四面体内切球的球心是正四面体外接球的球心， 由外接球半径， 则内切球的半径为，故B错误； 对C：如图，取中点， 在中，，， 设为弧上任意一点，根据“勒洛四面体”的对称性， 弧在平面上，且平面. 所以， 所以该弧是以的中点为圆心，以为半径的圆弧， 设圆心角为，则，可知， 所以弧长不等于，故C错误； 对D：过三点截得的截面如图所示： 其面积为，则D正确. 1 / 101 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难专题02 几何体的外接球问题 题型脑图·重难考法归纳 考法深研·解题技能通关 题型01 墙角模型（还原长方体） 墙角模型的核心是补成长方体，外接球直径等于长方体体对角线。 1．（25-26高三上·广东深圳·期末）在四面体中，，，两两垂直，且，若均在球的球面上，则的表面积为（   ） A．50 B．100 C．150 D．200 2．（24-25高二下·贵州铜仁·期末）已知四面体中，，，则当四面体的体积最大时，其外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·广东肇庆·二模）在三棱锥中，，平面与平面夹角的余弦值为，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·天津滨海新区·期中）在三棱锥中，平面，，，则三棱锥的体积为______；三棱锥的四个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为______． 5．（2026·陕西·三模）在正方形中，，，分别为边，的中点，分别沿，，将，，折起，使点，，重合于点，形成四面体，则以为球心，1为半径的球面与四面体的外接球相交形成的交线的长度为_____________． 题型02 对棱相等模型（还原长方体） 对棱相等模型的外接球主要是：把三棱锥补成长方体，长方体的体对角线就是外接球的直径。 6．（2026·宁夏银川·模拟预测）已知三棱锥中，且 AB = CD =，BC = AD = ，AC = BD =，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 7．（2026高一·全国·专题练习）在三棱锥中，已知，，，则该三棱锥外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高三下·云南·阶段检测）设点，，分别为的三边，，的中点，将，，分别沿直线，，向上折起，使得，，重合于同一点．若，，则三棱锥的外接球表面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高二上·广东肇庆·期中）已知四边形为平行四边形，，，现将沿直线BD翻折，得到三棱锥，若，则三棱锥的外接球表面积为________． 10．（26-27高三上·湖北·开学考试）在正四面体ABCD中，E为棱AC上一点，过点E作平面，使得，，若AB，CD到平面的距离分别为2和8，则该正四面体的外接球被平面截得的截面的面积为__________． 11．（2026·全国·模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于，两点．为的中位三角形，其中，，分别为三边，，的中点．以为底面，将，，分别沿，，向上折起，使得，，三点重合，记为点，则三棱锥的外接球表面积的最小值为_______． 题型03 斗笠模型（顶点在底面的射影是底面外接圆圆心） 斗笠模型的外接球主要是适用于顶点在底面的射影正好是底面外接圆的圆心，像圆锥、正棱锥等都属于这类。 12．（2025·黑龙江大庆·一模）已知正三棱锥的底面边长为6，二面角的余弦值为，则正三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 13．（26-27高三上·河北衡水·阶段检测）在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的体积是（     ） A． B． C． D． 14．（26-27高三上·河北沧州·阶段检测）已知三棱锥的四个顶点都在以为球心的球面上，若，，且三棱锥的体积的最大值为，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 15．（25-26高一下·福建泉州·期末）在三棱锥中，，，．若在同一个球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 16.（2026·安徽合肥·模拟预测）在三棱锥中，，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 17．（2025高三·全国·专题练习）在正三棱锥中，，E为侧棱的中点，若二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为______． 题型04 垂面模型（一条侧棱垂直底面的椎体） 垂面模型的关键是一条侧棱垂直底面，球心在底面外心沿垂线方向上，公式是，是底面三角形外接圆半径，是垂直于底面的侧棱长。 18．（25-26高三上·天津和平·期中）古代数学名著《九章算术⋅商功》中，将底面为矩形.且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若四棱锥为阳马，平面，，，则此“阳马”外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 19．（2026·四川泸州·二模）三棱锥的底面为正三角形，侧棱底面，若，则该三棱锥外接球表面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 20．（25-26高三上·陕西·期末）已知四面体满足，，均为等腰三角形，且，若，的夹角为，则该四面体外接球的表面积为（    ）． A． B． C． D． 21．（24-25高一下·辽宁丹东·期末）已知等边的边长为，是边上的高，以为折痕将折起，使，则三棱锥外接球的表面积为______. 22．（25-26高二上·湖北孝感·月考）如图，在三棱锥中，平面BCD，，，已知动点E从C点出发，沿四棱锥的外表面经过棱AD上一点到点B的最短距离为，则该棱锥的外接球的表面积为______．    23．（25-26高三·全国·一轮复习）已知四棱锥，平面，，，，二面角的大小为．若点，，，，均在球的表面上，则该球的表面积为________． 24．（2026高三·全国·专题练习）在三棱锥中，，，，中点为，，则该三棱锥的外接球的表面积为______． 25．（2026高三·全国·专题练习）在三棱锥中，为等边三角形，，平面，若在平面上的射影为的重心，则该三棱锥的外接球的体积为______． 26．（2026·山东聊城·二模）如图，在三棱柱中，底面，且，则平面截三棱锥的外接球所得截面的面积为_________.    题型05 汉堡模型(直棱柱、圆柱） 汉堡模型是直棱柱（或圆柱）的外接球模型，公式是，其中是底面外接圆半径，是棱柱的高。 27．（25-26高二上·云南大理·期末）在三棱柱中，已知底面，侧棱，，，且该三棱柱的6个顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（   ） A． B． C． D． 28．（25-26高二上·山东东营·期末）如图，在直三棱柱中，，，，为棱的中点，直三棱柱的各顶点在同一球面上，且球的表面积为，则四面体的体积为_____    题型06 切瓜模型 （面面垂直） 切瓜模型指有一个侧面与底面互相垂直的棱锥，解决它的外接球问题最核心的方法是“双半径单交线公式”，即，其中是两垂直平面外接圆半径，是两面的交线长。 29．（25-26高一下·浙江宁波·期中）在三棱锥中，，，，点在平面上投影为，则三棱锥的外接球的表面积为（   ） A．84π B．88π C．92π D．96π 30．（25-26高三下·湖南·阶段检测）已知三棱锥的四个顶点在球O的表面上，，，，点 P 在底面的射影在直线上，则当球O的体积最小时，点 P 到底面距离的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 31．（2026·广西南宁·二模）在三棱锥中，为正三角形，，，二面角的平面角为，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 32．（2026·河北唐山·模拟预测）四面体ABCD中，平面平面，，，，，则该四面体外接球的体积为（ ） A． B． C． D． 33．（26-27高三上·海南海口·开学考试）在中，，，为的中点，将沿翻折，使二面角为，则翻折后的四面体的外接球的表面积为（     ） A． B． C． D． 34．（2026·辽宁抚顺·一模）在四面体中，平面平面，，若点均在球的球面上，且，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 35．（25-26高三下·重庆沙坪坝·开学考试）在平面四边形中，是边长为的等边三角形，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，将该四边形沿对角线折成四面体，在折起的过程中，四面体的外接球表面积最小值为（   ） A． B． C． D． 36．（2026·甘肃金昌·三模）在三棱锥中，为边长为2的等边三角形，，，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 37．（2026·福建厦门·二模）已知四面体ABCD的各顶点均在球的球面上，平面平面，若与的外接圆面积之和为，则球的半径为（   ） A． B． C． D．3 38．（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知四面体ABCD的每个顶点都在球O（O为球心）的球面上，为等边三角形，，，且，则二面角的正切值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 39．（2026·云南·模拟预测）如图，在三棱锥中，平面平面，和都是等腰三角形，且，，，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 题型07 直角三角形拼接模型 直角三角形拼接模型的外接球，主要结论是：球心在公共斜边的中点，半径等于斜边的一半，即。 40．（25-26高二上·广东·期末）如图所示，四边形为正方形，将绕翻折得到三棱锥，且，若三棱锥的体积为，则该三棱锥外接球的表面积为（   ）    A． B． C． D． 41．（24-25高一下·湖北武汉·期末）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱）称之为“堑堵”.如图，三棱柱为一个“堑堵”，底面是以为斜边的直角三角形且，，点在棱上，且，当的面积取最小值时，三棱锥的外接球体积为（   ）    A． B． C． D． 42．（25-26高二下·浙江宁波·期末）如图，已知四面体中，平面，，，，点为线段中点，则四面体外接球球心到平面距离为（    ） A． B． C． D． 43．（2026·河南驻马店·模拟预测）在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，与均为以为斜边的直角三角形．若该三棱锥的外接球的表面积为，则此三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 44．（2026·云南保山·二模）平行六面体所有棱长都相等，，点在底面的投影为中点，且直线与底面夹角为，则三棱锥的外接球被平面截得的截面面积为（   ） A． B． C． D． 45．（2026·河北衡水·二模）已知平行六面体的所有棱长均为2，为的中点，且平面，若直线与底面的夹角为，则三棱锥的外接球被平面截得的截面面积为（   ） A． B． C． D． 46．（25-26高三上·浙江金华·期末）三棱锥中，，二面角的平面角为锐角，则三棱锥的外接球球心到平面ABC的距离最大值为（   ） A． B． C． D． 47．（2026·内蒙古赤峰·一模）如图1所示，在平面四边形中，，，，将沿折叠，得到图2中的三棱锥，使二面角的余弦值为，则三棱锥的外接球表面积为________． 48．（2026·河南·模拟预测）在长方体中，M为的中点，N为的中点，，，，则四面体的外接球的半径为________. 49．（26-27高三上·云南·阶段检测）在三棱锥中，是等边三角形，，，二面角的余弦值为，若三棱锥的外接球的表面积为，则的面积为___________． 题型08 折叠模型 折叠模型指两个全等三角形（常为等腰或等边三角形）拼在一起，或菱形沿对角线折叠后形成的三棱锥，求其外接球半径的一类题型。 这类题型的核心思路是“双外心找球心”：分别作出两个三角形所在平面的外接圆圆心，过两个圆心分别作所在面的外接圆圆心，过这两个圆心分别作所在平面的垂线，两条垂线的交点就是外接球球心，最后在直角三角形里面用勾股定理列方程求出半径。 50．（2026·甘肃兰州·模拟预测）在三棱锥中，，均为等边三角形，，，则该三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 51．（2025·江苏泰州·模拟预测）二面角的平面角为钝角，，且．若P，A，B，C在表面积为的球面上，则二面角的大小为（   ） A． B． C． D． 52．（24-25高二上·江西南昌·阶段检测）已知二面角的大小为，且，，若四点，，，都在同一个球面上，当该球体积取最小值时，为（     ） A． B． C．3 D． 53．（24-25高一下·江苏无锡·期末）已知四面体中，为边长为的等边三角形，，，二面角的大小为，则四面体的外接球的表面积为________． 54．（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知菱形的边长为，，将沿折起到位置，使得二面角的大小为，且四面体的外接球表面积为，则________. 55．（25-26高一下·辽宁大连·期末）在三棱锥中，底面是等边三角形，⊥，二面角的大小为.若三棱锥外接球的表面积为，则该三棱锥体积的最大值为（   ） A．6 B．12 C．12 D．24 56．（2026·四川绵阳·模拟预测）如图，在正方形中，为的中点，将沿直线折起至处，使得点在平面上的投影在直线上，若三棱锥外接球的表面积为，则三棱锥的体积为________.    题型09 利用异面直线公垂线找外接球球心 利用异面直线公垂线求外接球半径主要是把两条异面直线的中点连起来，公垂线段的中点往往就是球心。 57．（25-26高一下·四川眉山·期中）在四面体中，若，则四面体外接球的表面积为______ 题型10 可建系型 建立空间直角坐标系，写出三棱锥各顶点坐标，设球心坐标，利用球心到各顶点距离相等列方程，解方程得到球心坐标。 58．（26-27高三上·湖南长沙·开学考试）如图，在四棱锥 中，底面 是边长为4 的正方形，， ，则该四棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 59．（2026·湖南永州·一模）在三棱锥中，，，，，若该三棱锥外接球的表面积为，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A． B． C． D． 60．（2026·云南玉溪·模拟预测）四面体的各顶点均在同一个球面上，且，当四面体的体积最大时，该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 61．（25-26高三下·湖北孝感·开学考试）已知四面体满足均为等腰三角形，若，则该四面体外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 62．（25-26高二下·浙江湖州·期末）已知正三角形的边长是2，是的中点，将沿直线翻折，构成三棱锥，使得二面角的大小为，则该三棱锥外接球的表面积是（    ） A． B． C． D． 63．（2026·河北保定·模拟预测）在边长为 2 的菱形ABCD 中， 沿对角线 BD 将△ABD 折起得到三棱锥，若 ，则三棱锥 外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 64．（2026·湖北·三模）正方体中，是棱的中点，是棱上的动点，过点，，的平面截该正方体所得的截面记为，若三棱锥的外接球球心落在平面内，则的值为（    ） A． B． C． D． 65．（26-27高三上·安徽·开学考试）已知四棱锥的底面是正方形，侧棱.为侧棱的中点，三棱锥的外接球球心为，则平面与平面夹角的正弦值为______. 66．（2026·河南·模拟预测）在三棱锥中，，点在平面内的射影为棱的中点，三棱锥的体积为1，则三棱锥的外接球的表面积为__________． 67．（2026·河南开封·模拟预测）已知正四棱锥的高为2，，为棱的中点，若点均在球的球面上，则平面截球所得截面圆的面积为________． 68．（2026·湖南湘西·三模）如图，在直三棱柱中，分别是棱的中点，三棱柱的外接球为球，则过的平面截球所得截面面积的最小值为___________． 69．（2026·山东烟台·二模）三棱柱中，，在底面ABC内的射影为AC中点，，，若为底面内一动点（不含边界），则三棱锥的外接球表面积的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型11 棱台型 正棱台外接球的通用解法是：球心一定在上、下底面中心的连线上，设球心到上下底面的距离为，利用“球心到每个顶点的距离都等于半径”列方程求解，即，其中是棱台的高。 70．（26-27高三上·安徽安庆·阶段检测）已知正三棱台所有顶点都在球上，其中，，侧棱延长相交于顶点，且三棱锥恰为正四面体，则球的表面积为（　　） A． B． C． D． 71．（26-27高三上·浙江·阶段检测）底面边长为，高为2的正三棱锥被平行于其底面的平面所截，得到一个正三棱锥和一个正三棱台．当正三棱台的外接球半径最小时，该正三棱台的高为（   ） A． B．1 C． D． 72．（2026·重庆·模拟预测）已知正四棱台， ，则该正四棱台的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 73．（26-27高三上·重庆·开学考试）已知正三棱台 的侧面与底面的夹角为 ， ，且正三棱台 的 个顶点均在球 的球面上，则球 的表面积为（    ） A． B． C． D． 题型12 组合体外接球 组合体求外接球主要是先确定球心位置，再利用球心到各顶点距离相等列方程。 74．（25-26高一下·重庆·期中）图1勖艾亭是巴蜀中学校园内的标志性建筑，勖艾亭中的“勖”取自首任校长周勖成之名，“艾”则取自首任教务主任孙伯才（字未艾）之字，合称“勖艾”，寓意纪念两位创校元勋.它的主体部分可以看作是一个正六棱柱和一个正六棱锥拼接而成的组合体，如图2所示.已知正六棱柱和正六棱锥的底面边长为2，高之比为3：1，且该几何体的所有顶点都在球的表面上，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 75．（2026·山东枣庄·二模）如图，以正四面体的四个顶点为球心，以棱长为半径分别作四个球，它们的公共部分形成的几何体叫做“勒洛四面体”．若正四面体的棱长为4，则（    ） A．此“勒洛四面体”外接球的体积是 B．此“勒洛四面体”的内切球的半径是 C．此“勒洛四面体”表面上交线弧的长度为 D．过三点的截面面积是 1 / 101 学科网（北京）股份有限公司 $