3.3 幂函数同步练习-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.3　幂函数 一、概念自检 1.判断正误(正确的打"√"，错误的打"×"). (1)函数 是幂函数.　(　　) (2)幂函数 的图象不经过点 .　(　　) (3)幂函数的图象都关于 轴对称.　(　　) (4)当 时，幂函数 在 上是增函数.　(　　) 2.已知幂函数 的图象过点 ，则 ＝______. 二、知识点自测 知识点1 幂函数的概念 1.(多选)下列函数是幂函数的是(　　) A． B． C． D． 2.已知函数 是幂函数，则 ＝(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 3.已知幂函数 的图象经过点 ，则 ＝(　　) A． B．2 C．3 D． 知识点2 幂函数的数形结合 1.已知点 与点 分别在幂函数 ， 的图象上，当 为何值时，有： (1)？ (2)？ (3)？ 2.如图，幂函数 ，，， 在第一象限内的图象依次是曲线________(　　) A． B． C． D． 3.函数 的图象大致为(　　) 知识点3 幂函数的性质的应用 1.幂函数 （）是偶函数，且在 上单调递减，则 的值为(　　) A．2 B．5 C．-5 D．2或5 2.若 ，，，则 ，， 的大小关系为(　　) A． B． C． D． 3.已知幂函数 .若 ，则实数 的取值范围是______. 4.若幂函数 图象过点 ，且 ，则 的取值范围是(　　) A． B． C． D． 5.已知 是常数，幂函数 在 上单调递减，则 ＝(　　) A．2 B． C． D．8 三、课后练习 A组 夯实基础 1.下列函数是幂函数的是(　　) A． B． C． D． 2.已知幂函数 的图象不经过坐标原点，则 ＝(　　) A．0 B．3 C．0或3 D．-3 3.(多选)关于幂函数 ，下列结论正确的是(　　) A．的定义域为 　　B．的值域为 　　 C．在区间 上单调递减　　 D．的图象关于点 对称 4.若 ，则实数 的取值范围为______. 5.已知幂函数 的图象经过点 . (1)试求函数 的解析式； (2)判断函数 的奇偶性，并写出函数的单调区间. B组 能力提升 1.若幂函数 为奇函数，则实数 ＝(　　) A．3 B．-4 C．3或-4 D．-3 2.当 时，，， 的大小关系是(　　) A． B． C． D． 3.写出一个同时具有下列三个性质的函数：(答案不唯一). ①为幂函数； ②为偶函数； ③在 上单调递减. 4.已知幂函数 的图象过点 . (1)求函数 的解析式； (2)根据单调性的定义，证明函数 在 上单调递增； (3)判断函数 的奇偶性并说明理由. C组 思考题 已知幂函数 （）为偶函数，且在 上单调递减，则满足不等式 的实数 的取值范围是(　　) A．且　　B．　　C．　　D．且 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3　幂函数 一、概念自检 1.判断正误(正确的打"√"，错误的打"×"). (1)函数 是幂函数.　(　　) (2)幂函数 的图象不经过点 .　(　　) (3)幂函数的图象都关于 轴对称.　(　　) (4)当 时，幂函数 在 上是增函数.　(　　) (1)√　解析：满足幂函数 （ 为常数）的特征，指数 为常数. (2)×　解析：，图象经过点 . (3)×　解析：如幂函数 是奇函数，其图象关于原点对称； 是非奇非偶函数. (4)×　解析：当 时，如幂函数 在 上是单调递减的. 2.已知幂函数 的图象过点 ，则 ＝______. 【答案】 【详解】解析：由 可知 ，即 ，所以幂函数 ，所以 . 二、知识点自测 知识点1 幂函数的概念 1.(多选)下列函数是幂函数的是(　　) A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】解析：幂函数定义：一般地，函数 叫做幂函数，其中 是自变量， 是常数.又 ，所以 A，C 项正确.故选 AC. 2.已知函数 是幂函数，则 ＝(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【详解】解析：由题意可知 ，解得 ，故 ，故 .故选 D. 3.已知幂函数 的图象经过点 ，则 ＝(　　) A． B．2 C．3 D． 【答案】B 【详解】解析：设 ，由 ，得 ，所以 ，则 .故选 B. 知识点2 幂函数的数形结合 1.已知点 与点 分别在幂函数 ， 的图象上，当 为何值时，有： (1)？ (2)？ (3)？ 解：设 ，. 因为 ，， 所以 ，. 所以 ，. 分别作出它们的图象，如图所示. 由图象知， (1)当 时，. (2)当 时，. (3)当 时，. 2.如图，幂函数 ，，， 在第一象限内的图象依次是曲线________(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解析：根据幂函数 的性质可知，在第一象限内的图象，当 时，图象递增，且 越大，图象递增速度越快，由此可判断 是曲线 ， 是曲线 ；当 时，图象递减，且 越大，图象越陡，由此可判断 是曲线 ， 是曲线 .综上所述，幂函数 ，，， 在第一象限内的图象依次是曲线 ，，，.故选 D. 3.函数 的图象大致为(　　) 【答案】C 【详解】解析： 的定义域为 ，又 ，故 为偶函数，当 时，，结合幂函数的图象可知，C 正确.故选 C. 知识点3 幂函数的性质的应用 1.幂函数 （）是偶函数，且在 上单调递减，则 的值为(　　) A．2 B．5 C．-5 D．2或5 【答案】A 【详解】解析：因为幂函数 （）是偶函数，且在 上单调递减，所以 为偶数， 由 解得 或 ；由 得 ，故 . 当 时， 为偶数，满足条件.故选 A. 2.若 ，，，则 ，， 的大小关系为(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解析：幂函数 在 上单调递增，由 ，得 ，又 ，所以 .故选 D. 3.已知幂函数 .若 ，则实数 的取值范围是______. 【答案】 【详解】解析：（），易知 在 上单调递增.又 ，所以 解得 ，即实数 的取值范围是 . 4.若幂函数 图象过点 ，且 ，则 的取值范围是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解析：由已知条件可得 ，解得 ，则 ， 所以，函数 在 上为增函数，由 可得 ，解得 .故选 B. 5.已知 是常数，幂函数 在 上单调递减，则 ＝(　　) A．2 B． C． D．8 【答案】C 【详解】解析：由幂函数的定义可知 ，解得 .由幂函数 在 上单调递减，可得 ，则 ，所以 .故选 C. 三、课后练习 A组 夯实基础 1.下列函数是幂函数的是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解析：由幂函数的定义可知 ，， 均不是幂函数， 是幂函数.故选 D. 2.已知幂函数 的图象不经过坐标原点，则 ＝(　　) A．0 B．3 C．0或3 D．-3 【答案】A 【详解】解析：令 ，即 ，解得 或 ， 当 时，，图象经过坐标原点，不符合题意； 当 时，，图象不经过坐标原点，符合题意.故选 A. 3.(多选)关于幂函数 ，下列结论正确的是(　　) A．的定义域为 　　B．的值域为 　　C．在区间 上单调递减　　D．的图象关于点 对称 【答案】ACD 【详解】解析：A 选项， 的定义域为 ，A 正确； B 选项，由于 ，所以值域为 ，B 错误； C 选项，由于 ，所以 在区间 上单调递减，C 正确； D 选项，因为 的定义域为 ，且关于原点对称，又 ，所以 为奇函数，其图象关于点 对称，D 正确.故选 ACD. 4.若 ，则实数 的取值范围为______. 【答案】 【详解】解析：考虑函数 . 因为函数 的单调递减区间为 和 ， 所以不等式 等价于 或 ，（无解）或 解得 或 . 所以实数 的取值范围为 . 5.已知幂函数 的图象经过点 . (1)试求函数 的解析式； (2)判断函数 的奇偶性，并写出函数的单调区间. (1)解：设 ，由题意，得 ，即 . 故函数 的解析式为 . (2)解：因为 ，所以要使函数 有意义，则 ，即定义域为 ， 因为 ，所以该幂函数为偶函数. 当 时，根据幂函数的性质可知， 在 上单调递减. 因为 是偶函数，所以 在 上单调递增. 故函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 . B组 能力提升 1.若幂函数 为奇函数，则实数 ＝(　　) A．3 B．-4 C．3或-4 D．-3 【答案】A 【详解】解析：因为函数 是幂函数，所以 ，即 ，解得 或 . 当 时，，，是奇函数； 当 时，，，是偶函数. 所以 .故选 A. 2.当 时，，， 的大小关系是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解析：在同一坐标系中分别作出 ， 和 的图象，如图所示. 由图象可知，当 时，.故选 D. 3.写出一个同时具有下列三个性质的函数：(答案不唯一). ①为幂函数； ②为偶函数； ③在 上单调递减. 4.已知幂函数 的图象过点 . (1)求函数 的解析式； (2)根据单调性的定义，证明函数 在 上单调递增； (3)判断函数 的奇偶性并说明理由. (1)解：由题意，设 ，则 ，故 ，即 ，所以 . (2)证明：设任意 ，且 ， 则 ＝， 而 ，， 故 ，即 . 所以函数 在 上单调递增. (3)解：函数 的定义域为 ，不关于原点对称，则函数 为非奇非偶函数. C组 思考题 已知幂函数 （）为偶函数，且在 上单调递减，则满足不等式 的实数 的取值范围是(　　) A．且　　B．　　C．　　D．且 【答案】A 【详解】解析：因为幂函数 （）在 上单调递减，所以 ，即 ，解得 . 因为 ，所以 的可能取值为 1，2，3 因为幂函数 为偶函数，所以指数 为偶数. 当 时，，是奇数，不符合条件； 当 时，，是偶数，符合条件. 当 时，，是奇数，不符合条件 所以 ，所以不等式为 　①. 因为幂函数 的定义域为 ，且对于定义域内的任意 ，都有 ， 所以幂函数 是偶函数，且在 上单调递减. 所以①式可化为 将 两边平方，可得 ， 即 ，即 ，解得 ， 且 （已满足），. 故实数 的取值范围是 且 .故选 A. 学科网（北京）股份有限公司 $