3.2.1 第2课时 函数的基本性质-函数的最大(小)值同步练习-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.2　函数的基本性质 3.2.1　单调性与最大(小)值 第2课时　函数的最大(小)值 一、概念自检 1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）. （1）函数 y=f(x) 的最大值是图象最高点的纵坐标. （2）一个函数可能有多个最大值. （3）函数 f(x) 在[a,b]上的最值一定是 f(a)或f(b). （4）若一个函数有最大值，则最大值可能不是其值域中的一个元素. 【答案】（1）√　（2）×　（3）×　（4）× 【详解】（1）最大值即图象最高点的纵坐标，正确；（2）最大(小)值至多有1个；（3）函数 f(x) 在[a,b]上不一定是单调函数，故最值不一定是 f(a)或f(b)；（4）若函数有最大(小)值，则一定是其值域中的一个元素. 2.设函数 f(x)=3x+2（x<0），则 f(x)（　　） A．有最大值 B．有最小值 C．既有最大值又有最小值 D．既无最大值又无最小值 【答案】D 【详解】因为 f(x) 在(-∞,0)上单调递增，所以 f(x)<f(0)=2，既取不到最大值，也取不到最小值.故选D. 二、知识点自测 知识点1 数形结合求函数的最值 1.函数 y=f(x) 在[-3,3]上的图象如图所示，则此函数的最小值和最大值分别是（　　） A．-2，3 B．-2，1 C．-3，3 D．1，3 【答案】A 【详解】由题图可知，f(x) 的最大值为 f(2)=3，f(x) 的最小值为 f(-3)=-2.故选A. 2.已知函数 f(x) 为一次函数，且 f(x+1)=x，. （1）求 f(x) 的解析式； （2），用 M(x) 表示 f(x)，g(x) 中的较大者，记 ，请用分段函数表示 M(x) 的解析式并求 M(x) 的最小值. 【答案】（1）f(x)=x-1　（2），最小值为0 【详解】（1）解：因为 f(x+1)=x，所以 f(x+1)=(x+1)-1，所以 f(x)=x-1. （2）解：在同一平面直角坐标系下，画出两函数的图象，如图所示. 由图可知，两函数图象的交点坐标分别为(1,0)，(2,1).又 ，所以 ，且 . 知识点2 利用函数单调性求最值 1.函数 ， 的最小值是____，最大值是____. 【答案】 -4；0　 【详解】因为函数 ，，所以当 x=2 时，函数取得最小值-4；当 x=0 时，函数取得最大值0. 2.已知函数 ，，求 f(x) 的最大值和最小值. 【答案】最大值 ，最小值2 【详解】，且 ，则 因为 3≤x₁<x₂≤5，所以 ，，， 所以 ，即 ，所以函数 f(x) 在[3,5]上单调递增. 所以 f(x) 的最小值为 ，最大值为 . 3.已知函数 . （1）证明：f(x) 在(2,+∞)上单调递增； （2）求 f(x) 在[2,5]上的最值. 【答案】（1）见详解　（2）最大值 ，最小值3 【详解】（1）证明：对于任意 ，且 ， 因为 x₂>x₁>2，所以 .又因为 ，所以 . 故 ，即 ，所以 f(x) 在(2,+∞)上单调递增. （2）解：由(1)可知，f(x) 在[2,5]上单调递增，所以当 时，. 又因为 ，， 所以 f(x) 在[2,5]上的最大值为 ，最小值为3. 知识点3 函数最值的实际应用 1.一个工厂生产某种产品每年需要固定投资200万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资2万元，年产量为 x（x∈N*）件，当 x≤30 时，年销售总收入为 万元；当 x>30 时，年销售总收入为500万元.设该工厂生产并销售这种产品所得的年利润（年利润=年销售总收入-年总投资）为 y 万元. （1）求 y 与 x 的函数关系式； （2）当该工厂的年产量为多少件时，所得年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】（1）（x∈N*）　（2）年产量为29件时，最大年利润为641万元 【详解】（1）解：当 0<x≤30 时，y=(60x-x²)-(200+2x)=-x²+58x-200； 当 x>30 时，y=500-200-2x=300-2x. 故 （x∈N*）. （2）当 0<x≤30 时，，当 x=29 时，y 取得最大值641； 当 x>30 时，300-2x<240. 故 x=29 时所得年利润最大，最大年利润为641万元.即当该工厂年产量为29件时，所得最大年利润641万元. 2.如图，某中学准备在校园里利用院墙的一段，用篱笆围成一个矩形花园 ABCD.已知院墙 MN 的长为30 m，篱笆长为60 m（篱笆全部用完），设篱笆的一面 AB 的长为 x m. （1）当 AB 的长为多少时，矩形花园的面积为400 m²？ （2）若围成的矩形花园 ABCD 的面积为 S m²，当 x 为何值时，S 有最大值？最大值是多少？ 【答案】（1）AB 的长为20 m　（2）当 x=15 时，S 有最大值，最大值为450 m² 【详解】（1）解：因为 AB=x m，所以 BC=(60-2x) m.由题意得 x(60-2x)=400，即 x²-30x+200=0，解得 x₁=20，x₂=10. 因为 所以 15≤x<30，所以 x=20. 所以，AB 的长为20 m时，矩形花园的面积为400 m². （2）由题意得，，15≤x<30， 所以当 x=15 时，S 取得最大值，最大值为450. 三、课后练习 A组 夯实基础 1.函数 ， 的最大值是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【详解】函数 在 上单调递减，所以当 x=2 时，函数取得最大值 .故选A. 2.（多选）若函数 y=ax+2 在[1,3]上的最大值与最小值的差为2，则实数 a 的值可能是（　　） A．1 B．-1 C．2 D．-2 【答案】AB 【详解】由题意知 a≠0.当 a>0 时，y=ax+2 在[1,3]上单调递增，有 (3a+2)-(a+2)=2，解得 a=1；当 a<0 时，y=ax+2 在[1,3]上单调递减，有 (a+2)-(3a+2)=2，解得 a=-1.综上可知 a=±1.故选AB. 3.已知二次函数 f(x)=ax²+bx+c 的最大值为 f(3)，则（　　） A．f(4)>f(1)>f(7) B．f(7)>f(4)>f(1) C．f(7)>f(1)>f(4) D．f(1)>f(4)>f(7) 【答案】A 【详解】因为二次函数 f(x)=ax²+bx+c 的最大值为 f(3)，所以 a<0，且 f(x) 的图象关于直线 x=3 对称，f(x) 在[3,+∞)上单调递减.因为 |4-3|<|1-3|<|7-3|，所以 f(4)>f(1)>f(7).故选A. 4.射出的弓箭以 a m/s 的初速度从地面垂直向上运动，t s 时弓箭距离地面的高度为 x m，x 与 t 的关系为 .若 2 s 时弓箭距离地面的高度为120 m，则弓箭可以到达的最大高度为____m. 【答案】245 【详解】由题意，当 t=2 时，x=120，代入 ，可得 120=2a-5×4，解得 a=70，则 .故当 t=7 时，x 取得最大值，最大值为245. 5.已知函数 . （1）判断函数在区间(-1,+∞)上的单调性，并用定义证明你的结论； （2）求该函数在区间[2,4]上的最大值和最小值. 【答案】（1）增函数，证明见详解　（2）最大值 ，最小值 【详解】（1）f(x) 在(-1,+∞)上为增函数.证明如下：设 ，且 ，则 因为 -1<x₁<x₂，所以 ，，， 所以 ，即 .故 f(x) 在(-1,+∞)上为增函数. （2）由(1)可知，f(x) 在[2,4]上单调递增， 所以 f(x) 的最小值为 ，最大值为 . B组 能力提升 1.若函数 的定义域是[0,a]，值域是[-9,-5]，则实数 a 的取值范围是（　　） A．[2,4] B．[2,3] C．[1,4] D．[2,+∞) 【答案】A 【详解】由 ，可得对称轴为直线 x=2，且 f(2)=-9 为最小值.又 f(0)=f(4)=-5，函数的定义域为[0,a]，值域为[-9,-5]，可得 2≤a≤4，即实数 a 的取值范围是[2,4].故选A. 2.若不等式 3x+1+m<0 对 恒成立，则 m 的取值范围是（　　） A．(-7,+∞) B．(7,+∞) C．(-∞,7) D．(-∞,-7) 【答案】D 【详解】由题意，得 m<-3x-1 对 恒成立，且 y=-3x-1 在 上的最小值为 -7，则 m<-7.故选D. 3.某公司生产的一种产品，它的成本是2元/件，售价是4元/件，月销售量为10万件.为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告.根据经验，每月投入的广告费是 x（单位：万元）时，产品的月销售量将是原销售量的 t 倍，且 t 是 x 的二次函数，它们的关系如下表： x/万元 0 1 2 … t 1 1.5 1.8 … （1）求 t 关于 x 的函数解析式； （2）如果把利润看作销售总额减去成本费和广告费，试写出月利润 S（单位：万元）关于广告费 x（单位：万元）的函数解析式； （3）如果投入的月广告费 x 在区间[1,2]内，问：当月广告费为多少时，公司可获得最大月利润？最大月利润为多少？ 【答案】（1）（x≥0）　（2）（x≥0）　（3）当月广告费为2万元时，最大月利润为34万元 【详解】（1）解：设二次函数的解析式为 t=ax²+bx+c（a≠0）.由题表得 c=1，a+b+c=1.5，4a+2b+c=1.8，解得 a=-0.1，b=0.6，c=1.所以所求函数的解析式为 t=-0.1x²+0.6x+1（x≥0）. （2）根据题意得 S=10t×(4-2)-x=20t-x，整理得 S=-2x²+11x+20（x≥0）. （3）因为 S=-2x²+11x+20 的图象开口向下，对称轴为直线 x=2.75>2，所以当 时，S 随 x 的增大而增大，所以当 x=2 时，S 取得最大值 -8+22+20=34. 故当月广告费为2万元时，公司可获得最大月利润，最大月利润为34万元. C组 思考题 .（多选）定义一种运算 .设 （t 为常数），且 ，则使函数 f(x) 的最大值为5的 t 的值可以是（　　） A．-3 B．5 C．3 D．-5 【答案】AB 【详解】函数 y=5+2x-x² 在[-3,3]上的最大值为6.由 5+2x-x²=5，解得 x=0 或 x=2，所以当 x∈(0,2) 时，y=5+2x-x²>5. 要使函数 f(x) 的最大值为5，则根据定义可知：若 t≤1，则需当 x=2 时 |2-t|≥5，解得 t≤-3，取 t=-3，符合题意；若 t>1，则需当 x=0 时 |0-t|≥5，解得 t≥5，取 t=5，符合题意. 综上所述，t=-3 或 t=5.故选AB. 微专题（三）　再次研究二次函数的最值 一、“轴定区间定”求最值 1.求函数 在区间[0,4]上的最大值和最小值. 【答案】最大值4，最小值-5 【详解】解：函数 ，其图象的对称轴是 x=3，顶点坐标为(3,4)，且开口向下，其在[0,4]上的大体图象如图所示. 故函数的最大值为 f(3)=4，最小值为 f(0)=-5. 【规律方法】 定二次函数在定区间上的最值，其区间和对称轴都是确定的，先将函数配方，再根据对称轴和区间的关系，结合函数在区间上的单调性，求其最值（可结合图象）. 2.已知二次函数 . （1）当 时，求 f(x) 的最值； （2）当 时，求 f(x) 的最值. 【答案】（1）最大值10，最小值2　（2）最大值10，最小值1 【详解】解：函数 的图象开口向上，对称轴为直线 x=2. （1）当 时，f(x) 单调递减，所以 ，. （2）当 时，f(x) 在[-1,2]上单调递减，在(2,4]上单调递增，所以 ，. 二、“轴变区间定”求最值 1.求函数 在[-1,2]上的最小值. 【答案】当 a≤-1 时，最小值为 2a+4；当 -1<a≤2 时，最小值为 3-a²；当 a>2 时，最小值为 7-4a 【详解】解：函数 的图象开口向上，对称轴为直线 x=a. ①当 a≤-1 时，函数 f(x) 在[-1,2]上单调递增，. ②当 -1<a≤2 时，函数 f(x) 在[-1,2]上先减后增，. ③当 a>2 时，函数 f(x) 在[-1,2]上单调递减，. 综上所述，当 a≤-1 时，最小值为 2a+4；当 -1<a≤2 时，最小值为 3-a²；当 a>2 时，最小值为 7-4a. 2.求函数 在[0,1]上的最大值. 【答案】当 a≤1 时，最大值为 3-a；当 a>1 时，最大值为2 【详解】解：因为 的图象开口向上，对称轴为直线 ， 所以 f(x) 在 上单调递减，在 上单调递增. ①若 ，即 a>2，则 f(x) 在[0,1]上单调递减，所以 . ②若 ，即 a<0，则 f(x) 在[0,1]上单调递增，所以 . ③若 ，即 0≤a≤2.当 ，即 0≤a≤1 时，；当 ，即 1<a≤2 时，. 综上所述，函数 在[0,1]上的最大值为 3-a（a≤1）或 2（a>1）. 三、“轴定区间变”求最值 1.求函数 在区间[t,t+1]上的最小值. 【答案】当 t>1 时，最小值为 t²-2t+2；当 0≤t≤1 时，最小值为1；当 t<0 时，最小值为 t²+1 【详解】解：函数 的图象开口向上，对称轴为直线 x=1. ①当 t>1 时，f(x) 在[t,t+1]上单调递增，所以 ； ②当 t≤1≤t+1，即 0≤t≤1 时，； ③当 t+1<1，即 t<0 时，f(x) 在区间[t,t+1]上单调递减，所以 . 综上所述，当 t>1 时，最小值为 t²-2t+2；当 0≤t≤1 时，最小值为1；当 t<0 时，最小值为 t²+1. 2.已知函数 ，求 f(x) 在区间[t,t+1]上的最大值 h(t). 【答案】 【详解】解：函数 的图象开口向下，对称轴为直线 x=3. ①当 t+1<3，即 t<2 时，f(x) 在[t,t+1]上单调递增，则 . ②当 t≤3≤t+1，即 2≤t≤3 时，. ③当 t>3 时，f(x) 在[t,t+1]上单调递减，则 . 综上所述，. 四、“轴变区间变”求最值 1.已知 a 是正数，且函数 在 上的最大值为 M(a)，求 M(a) 的解析式. 【答案】 【详解】解：因为 ， 所以 x=4-a 为图象对称轴. ①当 4-a<0，即 a>4 时，f(x) 在 上单调递减，M(a)=f(0)=2； ②当 ，即 0<a≤1 或 3≤a≤4 时，； ③当 ，即 1<a<3 时，f(x) 在 上单调递增，. 综上所述，. 2.已知函数 ，，且 f(x) 的最大值为 f(a)，求实数 a 的取值范围. 【答案】[3/2,+∞) 【详解】解： 的图象关于直线 对称. 当 -1<a≤0 时，f(x) 在[-1,a]上单调递减，所以 ，不合题意. 当 a>0 时，，所以 f(x) 在 上单调递减，在 上单调递增，要使 f(a) 为最大值，则 f(a)≥f(-1)， 即 3a²-a²+1≥3+a+1，即 2a²-a-3≥0，解得 或 a≤-1（舍）. 所以实数 a 的取值范围为 . 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2　函数的基本性质 3.2.1　单调性与最大(小)值 第2课时　函数的最大(小)值 一、概念自检 1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）. （1）函数 y=f(x) 的最大值是图象最高点的纵坐标. （2）一个函数可能有多个最大值. （3）函数 f(x) 在[a,b]上的最值一定是 f(a)或f(b). （4）若一个函数有最大值，则最大值可能不是其值域中的一个元素. 2.设函数 f(x)=3x+2（x<0），则 f(x)（　　） A．有最大值 B．有最小值 C．既有最大值又有最小值 D．既无最大值又无最小值 二、知识点自测 知识点1 数形结合求函数的最值 1.函数 y=f(x) 在[-3,3]上的图象如图所示，则此函数的最小值和最大值分别是（　　） A．-2，3 B．-2，1 C．-3，3 D．1，3 2.已知函数 f(x) 为一次函数，且 f(x+1)=x，. （1）求 f(x) 的解析式； （2），用 M(x) 表示 f(x)，g(x) 中的较大者，记 ，请用分段函数表示 M(x) 的解析式并求 M(x) 的最小值. 知识点2 利用函数单调性求最值 1.函数 ， 的最小值是____，最大值是____. 2.已知函数 ，，求 f(x) 的最大值和最小值. 3.已知函数 . （1）证明：f(x) 在(2,+∞)上单调递增； （2）求 f(x) 在[2,5]上的最值. 知识点3 函数最值的实际应用 1.一个工厂生产某种产品每年需要固定投资200万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资2万元，年产量为 x（x∈N*）件，当 x≤30 时，年销售总收入为 万元；当 x>30 时，年销售总收入为500万元.设该工厂生产并销售这种产品所得的年利润（年利润=年销售总收入-年总投资）为 y 万元. （1）求 y 与 x 的函数关系式； （2）当该工厂的年产量为多少件时，所得年利润最大？最大年利润是多少？ 2.如图，某中学准备在校园里利用院墙的一段，用篱笆围成一个矩形花园 ABCD.已知院墙 MN 的长为30 m，篱笆长为60 m（篱笆全部用完），设篱笆的一面 AB 的长为 x m. （1）当 AB 的长为多少时，矩形花园的面积为400 m²？ （2）若围成的矩形花园 ABCD 的面积为 S m²，当 x 为何值时，S 有最大值？最大值是多少？ 三、课后练习 A组 夯实基础 1.函数 ， 的最大值是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 2.（多选）若函数 y=ax+2 在[1,3]上的最大值与最小值的差为2，则实数 a 的值可能是（　　） A．1 B．-1 C．2 D．-2 3.已知二次函数 f(x)=ax²+bx+c 的最大值为 f(3)，则（　　） A．f(4)>f(1)>f(7) B．f(7)>f(4)>f(1) C．f(7)>f(1)>f(4) D．f(1)>f(4)>f(7) 4.射出的弓箭以 a m/s 的初速度从地面垂直向上运动，t s 时弓箭距离地面的高度为 x m，x 与 t 的关系为 .若 2 s 时弓箭距离地面的高度为120 m，则弓箭可以到达的最大高度为____m. 5.已知函数 . （1）判断函数在区间(-1,+∞)上的单调性，并用定义证明你的结论； （2）求该函数在区间[2,4]上的最大值和最小值. B组 能力提升 1.若函数 的定义域是[0,a]，值域是[-9,-5]，则实数 a 的取值范围是（　　） A．[2,4] B．[2,3] C．[1,4] D．[2,+∞) 2.若不等式 3x+1+m<0 对 恒成立，则 m 的取值范围是（　　） A．(-7,+∞) B．(7,+∞) C．(-∞,7) D．(-∞,-7) 3.某公司生产的一种产品，它的成本是2元/件，售价是4元/件，月销售量为10万件.为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告.根据经验，每月投入的广告费是 x（单位：万元）时，产品的月销售量将是原销售量的 t 倍，且 t 是 x 的二次函数，它们的关系如下表： x/万元 0 1 2 … t 1 1.5 1.8 … （1）求 t 关于 x 的函数解析式； （2）如果把利润看作销售总额减去成本费和广告费，试写出月利润 S（单位：万元）关于广告费 x（单位：万元）的函数解析式； （3）如果投入的月广告费 x 在区间[1,2]内，问：当月广告费为多少时，公司可获得最大月利润？最大月利润为多少？ C组 思考题 （多选）定义一种运算 .设 （t 为常数），且 ，则使函数 f(x) 的最大值为5的 t 的值可以是（　　） A．-3 B．5 C．3 D．-5 微专题（三）　再次研究二次函数的最值 一、“轴定区间定”求最值 1.求函数 在区间[0,4]上的最大值和最小值. 2.已知二次函数 . （1）当 时，求 f(x) 的最值； （2）当 时，求 f(x) 的最值. 二、“轴变区间定”求最值 1.求函数 在[-1,2]上的最小值. 2.求函数 在[0,1]上的最大值. 三、“轴定区间变”求最值 1.求函数 在区间[t,t+1]上的最小值. 2.已知函数 ，求 f(x) 在区间[t,t+1]上的最大值 h(t). 四、“轴变区间变”求最值 1.已知 a 是正数，且函数 在 上的最大值为 M(a)，求 M(a) 的解析式. 2.已知函数 ，，且 f(x) 的最大值为 f(a)，求实数 a 的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $