湖南长沙市实验中学2026-2027学年高三上学期第三次阶段检测数学试题

长沙市实验中学2027届高三第一次阶段检测 数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 9 10 11 答案 B D 0 A B AB BC ABD 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的) 5.【详解】函数 f(x)=2v3sinxcosx-2cos2x+1-1=v3sin2x-cos2x-1=2sin 令2x-刀=T+a(keZ）,则2x=2π 62 =3+(keZ),则tan2m=tan 6.【详解】因为y=f(x-I)的图象关于点(1,0)对称，所以函数f(x)的图象关于点(0,0) 对称， 即函数f(x)为奇函数，所以f(x)=-f(-x),因为对x∈R,都有f(x-I)=f(3-x) 成立， 所以f(x+2)=f(-x)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x) 所以函数f(x)的周期为4，因为当0≤x≤1时，f(x)=x2, 所以f(2027)=f(4×507+(-1)=f(-1)=-f(1)=-1. 7【详解】：N是BC边的中点，可得N=)(B+AG, M是△ABC的外接圆的圆心， AMBMB 0s BAM-8 同理可舟AM.4C=4CP=18, AN.AM-(4B+4C)AM=TAM:4B+1AM.AC-x8+1x18=13. 2 &.【详解】由不等式e+alnx+e2≥可化为g-ax-n)+e2≥0，即 E-aln+e≥0恒成立， 1 设1=￠，其中x>0,由e≥ex,可得12e, 所以f(t)=t-alht+e2(t≥e),只需证明f()的最小值f()n≥0即可， 可得f'0)=1-=1二≥e. ①若0<a≤e时，f'()≥0恒成立，所以f(t)在区间[e,+oo)上单调递增： 所以f()的最小值为f()nm=f(e)=e-alne+e2≥0，解得a≤e+e, 因为0<a≤e,所以a的取值范围是(0，e]. ②若a>e时，当x∈[e,a)时，f'()<0,f(t)单调递减： 当x∈(a,+o)时，f'(t)>0,f()单调递增， 所以f()的最小值为f()mm=f(a)=a-alna+e2≥0， 设g(a=a-alna+e2,其中a>e,可得g(a=1-lna-l=-lna<0, 所以g(a)在(e,+o)上单调递减， 由g(e2）=e2-e2ne2+e2=0,所以当g(a≥0时，解得a≤e2, 又由a>e,所以实数a的取值范围是(e,e2], 综上可得，实数a的取值范围是(0，e2]。 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个 选项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分) 10.【详解】因直线l的倾斜角为60°，则其斜率为tan60°=√3，又经过抛物线的焦点 F(,0,故直线1的方程可设为x=5y+2 + 2 将其代入y2=2px消去x,整理得3y2-2V3py-3p2=0, 25 设MG,yN,5),则%+= 2=-p2 2 于思，+5 等0+0n.%-- 4p24 4w=-++-m-329,2号rp-台9-2 3 43 10 则出+当= X1+X2= 3, 3, y3=-4 x2=1 对于A,MN中点H的横坐标是+五=5 2二3，故A错误， 对于B,由抛物线的定义，可得1MF上x+?=x+1,NF上5+1， 2 10 1 +1=1+1=++2 x1+x2+2 +2 3 则M丽Nx+1+与+1G+3+D+(G+)+11+0 -=1, +1 故B正确； 对于C,由A项可知H 523 33 生隆线x=-1的电寒为d-号()-尽}N 故以MN为直径的圆与准线相切于点T,则HT/x轴，于是， 18 Sw=1 THxly-卡2×3V3 45-4x(=25,故c正确： 9 对于DSaow= 1oF-gy-44-4 ,故D错误。 11.【详解】对A,如图，令CC,中点为M,CD中点为N,连接MN, 又正方体ABCD-AB,CD中，E为棱DD的中点，可得BMIIAE,MN IICD /IBA, 3 .BM/1平面BAE,MN/平面BAE,又BM∩MN=M, 且BM,MNc平面B,MN,∴.平面BMNI/平面BAE, 又B,FII平面ABE,且B∈平面BMN,∴.BFc平面BMN, 又F为正方形CCDD内一个动点（包括边界），：.F∈平面B,MN∩平面CCDD,而 MN=平面BMN∩平面CCDD, ∴.F∈MN,即F的轨迹为线段MN 由棱长为2的正方体得线段MN的长度为√2，故选项A正确； 对B,由正方体侧棱BC⊥底面CCDD,所以三棱锥B,-DEF体积为 V=BG-S.AE青S 2 3 S.DFE 所以△D,FE面积S,Pm最小时，体积最小，如图，~F∈MN,易得F在N处时SAPR最 小， 此时SA性)ND,-DE=)所以体积最小值为？，故选项B正确： 对C,当F为线段MN中点时，由BM=BN可得BF⊥MN,又CC中点为M,CD中 点为N, .MN1/DC,而AB//DC,∴.BF⊥AB,故选项C不正确： 对D,如图，当F在M处时，三棱锥B-DDF的体积最大时， 由已知得此时FD=FD=FB=V5,所以F在底面BDD的射影为底面外心， DD,=2,BD=2√2，DB=2V3,所以底面BDD为直角三角形， 所以F在底面BDD的射影为BD中点，设为O,如图，设外接球半径为R, 由R=00+0,B=002+3,R+00,=F0=V2,可得外接球半径R=52 外接球的表面积为4红R一空x,故选顶D正确 4 F A D A D B B C M D 9 B D 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.【答案】-5 13.【答案】3n2+(9”-1) 8 【详解】由a=36=3,a2=b2,b=3a,得 [3+d=q 33+4d=g2而d≠0，则d=6,g=9, 因此an=6n-3,b,=9-1,cn=6n-3+91, 所以S,-m8+6m-3》+9=3n+g-》. 2 1-9 8 14.【答案】0<a≤1 3x+1,x≤0 3*+1,x≤0 【详解】作出函数f(x)= log,x>0 -log4x,0<x<1的图象，如图， l0g4x,x≥1 y=I =x) 令f(x)=t,则方程g(x)=[f(x)-(a+2)f(x)+a+1化为 g(x)=-(a+2)+a+1=(t-1)[t-(a+1]=0,则t=1或t=a+1 若关于x的函数g(x)=[f(x)]-(a+2)f(x)+a+1恰好有五个零点， 则方程f(x)=1和f(x)=a+1,分别有2和3个根，结合图象可知，f(x)=1有两个根， 则此时a+1∈(L,2] 1<a+1≤2，∴.0<a≤1. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15,【答案】(1)A= 9 (2)a= 3 【小问1详解】 因为b+c=a(cosC+5sinC）, 由正弦定理得sinB+sinC=sin A(cosC+V3sinC, sin(4+C)+sin C=sin A(cosC+3sinc), cos AsinC+sin C=3 sin Csin A, 因为Ce(Q,对.所以snC+0所以5sn4csA=1sn4-君) 又因为4(0小.所以4=子 【小问2详解】 因为AD平分∠BAC,所以S=BD b DC =2,即c=2b, 由面积相等得 3-2b-sim+)3-h-sim-b-26-sin 62 62 3 解得b=3V3 2 所以c=3V3. 33 由余弦定理得 a 2 16.【答案】(1)an=2n-1 【小问1详解】 由.=（a,+l)得a+2a,+1=4.可知a+2a+1=4sm 两式相减得a1-a+2(a+1-an)=4an1, 6 即2(an1+an)=a+1-a=(an1+an)(a1-an）, an>0,∴.0n+1-an=2, :当n=1时，a2+2a+1=4a,∴.a1=1, 则{an}是首项为1，公差d=-2的等差数列， ∴{an}的通项公式为an=1+2(n-l)=2n-1; 【小问2详解】 bn=2.1=22m-=4", m可乱 4” =-6*e6*egn4Hnd4】 -s-ciat) 17.【答案】(1) 在直棱柱ABC-ABC中，令AB∩AB=O,则O是AB,的中点， 3 由D=A8,1=子得D是OB,的中点， 而点E为BB的中点，则DE/IOB, 即DE∥AB,而DEd平面ABC,ABC平面ABC, .DE∥平面ABC e子 【小问2详解】 分别取AB,AB的中点M,M1, M 则MM /IAA, 又AA⊥平面ABC, ∴MM1⊥平面ABC,由AC=BC,得CM⊥AB,则直线MA,CM,MM,两两垂直， 以点M为原点，向量MA,CM,MM的方向分别为x,y,z轴的正方向，建立空间 直角坐标系， 令AA=AB=2t,CM=a, 则At,0,0),C(0,-a,0）,C(0,-a,2t）,B(-t,0,2t）,E(-t,0,t),CA=C4=(6a,0), CC=A4=(0,0,21),AB=（-21,0,21),AC=(-t,-a,2）, 设平面A4G与平面AB,C的法向量分别为n=(x,y,z）),m=(x,,3), n.CA=x+ay=0 则 i·A4=2tz=0 令y=t,得n=（-a,t,0), m·AB=-2+2tz1=0 m.AC=-tx-ay +2tz=0 令y=t,得m=(a,t,a), 由平面MG与平面ABG所成角的余弦值为5 15 m [-a+P 得cosm,i= 5 mi√a2+2.V2a2+215 解得a2=2t2或13a2=7t2, 由△ABC是锐角三角形，得CM>AM,即a>t,则a2=2,即a=√2t: 又CE=(4,2,,则cos,CE=B·CE 42 √2 AB CE42+42.V422 而0≤AB,CE≤元，因此AB,CE= π .异面直线AB与CE所成的角为 4 【小问1详解】 8 设P(x,o),则-b≤≤b,设c为椭圆C的半焦距，则FE=2C, x2e-c 当yo取最大值时，S,5P5的面积取得最大值时， :-b≤≤b,=±b时，yo取最大值，此时，P(0,b)或P(0,-b), …S5P%的最大面积为cb,SP%的最大面积为V3, cb=5.此时∠FR=号则RP=F5: .FP=a,FF=2c,..a=2c, a2=b2+c2 a=2 又a2=6+c2,联立bc=V3,解得{b=V3, a=2c c=1 椭圆C的标准方程女+ =1: 43 【小问2详解】 (i)如图，直线l的方程为y=0时，△OBM,△OBN不存在，不满足题意， M B(3.0) 设直线1的方程为x=y+3, x=y+3 联立￡+兰1消去x,得到+3，号1 4 3 43 整理得(32+4)y2+18y+15=0, 设M(3,y),N(x2,y2),≠2，≠0,2≠0， 9 ,过点B(3,0)的直线1与椭圆C交于不同的两点M,N, △=(18}-43r+4x15>0,2> 3 18t y+y2= 18t 312+4 y+y2= 15 30+4,,同号， 15 yy2=32+4 %=3+4 >0 S.mwxx.xOx. 1 2 SORM= ×0B×H 2 SOEN ×OB×y2 y2 ,“水同号，÷题=五 S.OnN y2 2 八+2=- 18t 18t2 312+4 (+)2 3t2+4 (18)2 108 15 4 yy2=30+4 yiy2 15 312+4 15(3+4)）56+) y2 y +>4108 :4+五+2=108 36 < 3 4. 56+2) 5, 36 :4<4+2+2<3 y2 y1 5 设2= ,点M在点B,N之间，则0<元<1， y2 4<费+女+2的批为4<2+2 y2 y1 ( .1 元+.>2 「22-2+1>0 2≠1 {2+ 126 1 2<35226+5<0,5<2<5,月 <<1, 0<2<1 0<元<1 0<<1 :=五，4<l,:=4,<u<1, S.OnN y2'“5`S0 令巡的取值范国(》， 10 (ii)如图，作出符合题意的图形， VA MB(3.0) M(x,y),N(x2,y2),OM=(,y),ON=(x22), O0=OM+ON,∴.00=(：+x,片+y2),且四边形OM0W为平行四边形， +%=+-0+6-(d6-44 ec, 7242 4 32 ，hW-G+为-45+， 18t2 :MN=3P+4 15 V1+2, 3t2+4 2 -号 18t -4x 15 32 1+ 5 。32. 32 3x3+4 3× +4 V3V 3 3 =3 3 设点0直线1的距滨为d,d-、 32-V35 3 ∴.SOMON=MNd= 19【答案】Q)单调造增区同为2c+子2keZ列，单调递减区间为 2平2m用cez: 4 (2) D设g()=如x+tmx-2,e(50】 11 则g'(x)=c0sx+12=(cosx-cos2t-c0sx-1)】 cos2x cosx 因为0<cosx<1,所以cosx-1<0,cosx(cosx-1)<0, 所以cosx(cosx-1)-1<0, 所以g'(x)>0, 所以g(9在20内单调递增，则(0<8(0)=0， 故xe受0小，f)k3-tmv: 【分析】(1)当a=-√5时求f'(x),解不等式f'(x)>0,f(x)<0,根据导数与函数的单 调性的关系求函数f(x)的单调区间： (2)(i)设g(x)=sinx+tanx-2.x,利用导数证明函数g(x)在 2 内单调递增，结合 g(0)=0证明结论； (i)验证x=0时不等式∫()≥2x 1- 成立，令(y)=-s血mx,利用导数证明当xe(Q,列 x2 时，h)≤h由此可得此时当（优+o时，设ux+s典，证明 当e仅+四)时、是由此可得1分综合考定可得结论 1 【详解】(1)当a=-√2时，f(x)=x-√2sinx, 令f)15o0,解得2边子xh行.k=7 令f(y)=1-2cosx<0解得2机-正<x<2m+,k∈Z, 所以)的单调莲神区间为2+学2+子)eZ,单洞递减区同为 2r-2+9ez. (2)(i)略 （D当=0时，4m=0.2--0, 对任底的1eK,不等式儿)上x1-到度立， 12 当xe(0,时，不等式x+sinx≥2x1-可化为t≥亚-s血x, 2x2 令n(x)=-snx,则n(x)=-cosx-+2si血x (x)=-xcosx-x+2sinx,(x)=cosx+xsinx-1, 令n(x)=cosx+xsinx-1,则m'(x)=xCOSx, 当e0到时，0，（在0到 单调递增， 当e[行时，<0，m(在行单词造减， 因为000.月）（月1.网（国20， 所以作在， 使得p'()=0, 当x∈(0，)时，p(x)>0,函数p(x)在(0，)单调递增， 当x∈(，时，p(x)<0,函数p(x)在(]单调递减， 又p(0)=0,p(π)=0， 所以当xe(0,]时，p(x)≥0，所以h(x)单调递增， 所以当eQ时，Mea到京则 当xe(元，+o)时，设u(x)=1x2-x+sim, 因为当x∈（π，+o)时， 2，所以2-11 2 又因为cosx≥-1，所以u'(x)=二x-1+cosx>1-1=0, 所以(x)在（兀，+o)上单调递增， 此时(x)>u()=0, 赦当e亿+w)时，-<则号 x2 综上，实数t的取值范围为 13长沙市实验中学2027届高三第三次阶段检 数学答题卡 姓名： 班级： 考场/座位号： 注意事项 1.答题前请将姓名、班级、考场、准考证号填写清楚 2客观题答题，必须使用2B铅笔填涂，修改时用橡皮 贴条形码区 擦干净 3.主观题答题，必须使用黑色签字笔书写 4.必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书 写无效 5.保持答卷清洁、完整 正确填涂 ■缺考标记☐ 一、 单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1AB]cIDJ5AB■cDJ 2ABCD6ABCD 3[AB[CD]7 [A[B]CD] 4 AB□CD8AB□D 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的 四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得6分，部 分选对得部分分，有选错的得0分) 9AB□CD 10A▣B□CD 11AB□CD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12 13 14 请勿在此区域作答或 者做任何标记 请在各趣目的答趣区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 口口■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 四、解答题（本大题共5小题，共77分解答应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤) 15(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边柜限定区域的答案无效 口口▣■ ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无饭 16(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 口口口■ ■ 请在各题目的答趣区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 17(15分) C B A D 请在各趣目的答趣区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ■ 口口■▣ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 口口■口 ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无饭 19(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ▣▣■口 ■长沙市实验中学2027届高三第三次阶段检测 数学试卷 命题人：寻听 审题人：贺建鑫袁沐阳 本试卷共5页，19题满分150分时量120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标 号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时， 将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.) 1.已知集合A={xx2-x-2=0},B={-2,-1,01,2},则A∩B= A.{-2,1 B.{-1,2} C.{-2,-1} D.{1,2} 2.若复数z满足zi=1+2i,则在复平面内复数z表示的点在() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知随机变量X~N1,o2),P(X≥3)=0.2，则P(-1<X<1)=() A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.5 4.已知a,b为空间不重合的两条直线，α，B为空间不重合的两个平面，则下列说法正确 的是() A.若a,bca,a/1B,b/1B,则a/1B B.若aca,bcB,a//B,b/1a,则a/1B C.若a//b,a⊥a,则b⊥ D.若a⊥b,a⊥a,则b//a 5.若函数f(x)=2 cosx(v3sinx-cosx)的图象关于直线x=m对称，则tan2m=() A.3 B.V3 C.-1 D.-3 3 试卷第1页，共5页 6.己知y=f(x-)的图象关于点(1,0)对称，且对x∈R,都有f(x-I)=f(3-x)成 立，当0≤x≤1时，f(x)=x2,则f(2027)=() A.-1 B.0 C.1 D.2 7.如图，圆M为△ABC的外接圆，AB=4,AC=6,N为边BC的中点，则AN.AM= () B A.10 B.13 C.18 D.26 8对任意x>0,若不等式E+alnx十eC≥m恒成立(e为自然对数的底数)，则正实数 a的取值范围是() A.(0,e] B.(0,e2] 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项 中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选 错的得0分) 9.下列论述正确的是() A.已知随机变量X B\6,2 则E(X)=3 B.数据1,3,9,4,5,16,7,11的下四分位数为3.5 C.记两个变量的样本相关系数为”，若”越接近0，线性相关程度越强 D.对某两个分类变量进行独立性检验时，若X2≥xo5, 则有95%的把握能推断零假设成 立.其中x5表示概率值0.05所对应的临界值 试卷第2页，共5页 10.设O为坐标原点，直线1的倾斜角为60°且过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F, 且与C交于M,N两点，MN=16,以M为直径面圆与C的准线交于点，则() 3 A.MN中点的横坐标是 1 B.MF NF =1 C.SATNM= 2W5 D.SAONM= 4v2 3 11.如图，棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，E为棱DD的中点，F为正方形 CCDD内一个动点（包括边界），且BFI1平面ABE,则下列说法正确的有() A D E B C A.动点F轨迹的长度为√2 B.三棱锥B一DEF体积的最小值为 C.BF与AB不可能垂直 25 D.当三棱锥B-D,DF的体积最大时，其外接球的表面积为2π 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知向量ā=(3,1)，6=(1，-1)，若a1(a+b),则实数元=一 13.数列{an}是公差为d(d≠0)的等差数列，{bn}是公比为9的等比数列，4=3b=3, a2=b2,b,=3a.若数列{cn}满足cn=an+b.,则数列{cn}的前n项和Sn=一 log,,x>0若关于x的函数g)=[f-(a+2f+a+1 3+1,x≤0 14.设函数f(x)= 恰好有五个零点，则实数a的取值范围是 试卷第3页，共5页 四、解答题（本大题共5小题，共77分解答应写出必要的文字说明、证明过程或 演算步骤) 15.(13分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b+c=a(cosC+V3sinC D为边BC上一点，BD=2DC,AD=3. (1)求A: (2)若AD平分∠BAC,求A. 16.(15分)设正项数列{a,}的前n项和S,满足S.=2(a.+), (1)求数列{an}的通项公式： （2设6.=2心c6,+6刀求数列c}的前n项喇 17.(15分)如图，底面为锐角三角形的直棱柱ABC-ABC中，AC=BC,AA=AB, 点D在线段AB上，且满足AD=1AB,点E为BB,的中点。 (1)当元=3时，证明：DE1/平面ABC B 4 (2)若平面M4G与平面AB,C所成角的余弦值为15 A 15 求异面直线AB与CE所成角的大小. 试卷第4页，共5页 分在于面直丝标东0，已处横网C,等+芳=@b>0)的两个生白 分别为R,F,P为椭圆C上一动点，设∠FP5=日，当日=T时，AFP5,的面积取 得最大值3. (1)求椭圆C的标准方程： (2)过点B(3,0)的直线I与椭圆C交于不同的两点M,N(点M在点B,N之间). (i) SosM的取值范围： (ii)若Q为椭圆C上一点，且OO=OM+ON,求四边形OMQN的面积. 19.(17分)已知函数f(x)=x+asinx (1)当a=-V2时，求f(x)的单调区间： (2)当a=1时. (i)证明： vxc(-2.0). f(x)<3x-tanx; D当x之0时，f)22✉1-) 求实数t的取值范围。 试卷第5页，共5页长沙市实验中学2027届高三第一次阶段检测 数学参考答案 题号 1 3 5 6 9 10 11 答案 D B B AB BC ABD 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 5.【详解】函数 f(x)=2v3sinxcosx-2cos'x+1-1=3sin2x-cos2x-1=2sin 2名-子ake,则2r-+ate,则m2m-m子-5 62 3 3 6.【详解】因为'=/(x-少的图象关于点L,0)对称，所以函数x的图象关于点 (0,0)对称， 即函数f(为奇函数，所以f(冈=-f（),因为对x∈R,都有 f(x-)=f(3-刘成立. 所以f(x+2)=f(=-f),所以(x+4)=-f(+2)=f(, 所以函数f()的周期为4，因为当0≤x≤1时，f()=r, 所以f(2027)=f(4×507+(-)=f(-1)=-f()=-1 7【详解】1：N是8C边的中点，可利N-aB+40 .M△ABC 是 的外接圆的圆心， .AM:ABAM‖AB|cos∠BAM=-|ABP=)x4=8 月理可得4W4C-4CP-=18 N.w=B+4M-=4M.6+MaC-× ，1 ×8+。×18=13 8.【详解】由不等式 +ahx+e≥匹可化为ax-h+f20,即 e -ahnre≥0， e 恒成立， 设t=x,其中x>0,由e≥ex,可得t>e. 所以f(0=i-aln+c(≥e,只需证明f0的最小位f0.≥0即可， 可s0=1-号220 ①若0<a≤C时，f(☑20恒成立，所以f0在区间e,o)上单调送指， 所以f0的最小值为f0m=f(e)=e-alne+e≥0，解得a≤e2+e, 因为0<a≤0，所以“的取值范国是0，d ②若a>e时，当re,a时，☑<0，f单调送减： 当x∈(a+o)时，f0>0,f0单调遥增。 所以f0的最小值为f0m=f(a)=a-alna+-e≥0， 设8(@=a-alna+e其中a>e,可得8'(@=l-lna-1=-ha<0 所以8(@在化，+四)上单调递减， 由(e)=e-cne+e=0,所以当8(a)20时，解得a≤e, 又由a>e,所以实数“的取值范围是e,c] 综上可得，实数“的取值范围是(0，e] 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个 选项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分) 10【详解】因直线'的顿斜角为60°，则其斜率为am60=5,又经过抛物线的焦点 号0。放直线的方程可设为r=4卫 2, 将其代入广=2r消去x,整理得3y-2W5p四-3p=0, 好 则 3 P M(x,y,N(x2,2) (yy2=-p2 是，+++wP 4p2 nw--停+-n-25m4g-9 =3,解得p=2, 4V5 10 +y2= 则 3 x+为=3 hy2=-4 (x2=1 x+五=5 对于A,MN中点H的横坐标是23，故A错误： MF卡x+2=x+1,NFF:+1 对于B,由抛物线的定义，可得 2 10 则+-1+1+2 七+x2+2 +2 3 (x+10x2+)x+(G+x)+11+ 10 =1 MF NF+1 x2+1 +1 3 故B正确： =8l 对打8由A项可知以写25酸-1的能商为-（← 523 IMWI 32 故以MN为直径的圆与准线相切于点T,则HT/x轴，于是， w-%4-4x(-号5，克E ,4W3 9 对u.5m-0F1X为51-4x(4= 3,故D错误 1L【详解】对A,如图，令CG中点为M.CD中点为N,连接MW, 又正方体 BCD-AB,CD中，E为 DD的中点，可得 BMIIAE MN/ICD //BA BM/平面BAE,MNI/平面BME,又BMOMN=M ,又 且BM,MNC平面BMN,平面BMN∥平面B4E, 又BF/平面ABE,且B∈平面BMN,BFC平面RMN 又F为正方形CCDD内-个动点（包括边界），F∈平面BMNn平面CCDD,而 MN=平面BMWn平面CCDD, :F∈MN,即F的轨迹为线段 MN 由棱长为2的正方体得线段MW的长度为√2 ,故选项A正确： 对B,由正方体侧棱 G+底国CCDD,所以=校锥8-DE 体积为 V=BCSE专SAE 3 所以△DFE面积A5最小时，体积最小，如图，FeMN,易得F在N处时SA性最 面积 小， 此时S0g20DE=) 1 2,所以体积最小值为3，故选项B正确： 对C,当F为线段MN中点时，由BM=BV可得BFLMN,又CC中点为M,CD中 ,又 点为N, MNI1DC,面4BD,C,BF1AB放选顶C不正确： 对D,如图，当F在M处时，三棱锥月-DDF的体积最大时， 由已知得此时FD=FD=FB=5,所以F在底面BDD的射影为底面外心， DD=2,BD=22,DB=2N5,所以底面BDD为直角三角形， 所以F在底面BDD的射影为BD中点，设为O,如图。设外接球半径为R 由R2=002+0B2=002+3,R+00=F0=√2，可得外接球￥径R=5V2 4, 外接球的表面积为4红R2=25 π，故选项D正确 F D D 4-- B B M D D D 5- B D 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.【答案】-5 13.【答案】 3n+g9-0 3+d=q 【详解】由a,=3h=3,42=b2,b=3a,得33+4d=q2，而d≠0，则 d=6,9=9 因此0，=6n-3.b,=91C,=6n-3+91 所以S=8+6m-3),1-g =3m2+9°-0 2 1-9 8 14.【答案】0<a≤1 3+1,x≤0 【详解】作出函数f(:)= 3+1,x≤0 log,x> -log4x,0<x<1的图象，如图， l0g4x,x≥1 VA =x) 令f()=1,则方程8=[fx°-(a+2)f6)+a+1化为 g()=2-(a+2)+a+1=(u-[-(a+l]=0,则t=1或t=a+1 若关于x的函数8)-[U('-(a+2)f)+a+l恰好有五个零点， 则方程f)=l和f(四)=a+1,分别有2和3个根，结合图象可知，f四=1有两个根， +1∈(L,2] 则此时 1<a+1≤2，.0<a≤1 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） Aπ 9 15,【答案】(1)3 2)a=2. 【小问1详解】 因为b+c=a(cosC+V3sinC) 由正弦定理得sinB+sinC=-sin cosc+V3sinC) sin(4+C)+sin C=sin cosC+3sin C cos AsinC+sin C=3sin Csin4 因为Ce(Q,所以snC0:所以v5sn4-osA=1,即m4君)月 7 又因为A∈(0，)，所以A=3】 【小问2详解】 c_BD=2 因为AD平分∠BAC,所以bDC,即c=2b, .3-26sin3sin62sin 由面积相等得2 62 62 3, =3 解得 2, 所以c=3V3 由余弦定理得a 34所以a=9 16【14山-2n-1-） 【小问1详解】 南S.=a,+得G+2a,+=4S.知44+2a4E8 两式相减得0l-a+2(a,1-a,）=4H. 即2(an+a.）=a-a=(a+a,an1-a）】 0n>0,.4n41-an=2 :当n=l时，4+2a+1=4a,a=1 则{a}是首项为1，公差d=2的等差数列， {a}的通项公式为0.=1+2n-)=2n-1: 【小问2详解】 8 bn=20,1=22m-11=40 n 4" r4a】 -g和 17.【答案】(1) 在直棱柱 BC-ABC中，令4Bn4B=0,则O是MB的中点， 由0=码，无=子 元4，得D是OB的中点， 而点E为BB的中点，则DE11OB 即DE∥AB,而DE工平面4BC,4BC平面4BC, ·DE∥平面ABC A (2)4 E 【小问2详解】 分别取AB,4B的中点M,M, 则MM,1IAA 又AM上平面ABC. ÷MM'平面ABC,由AC=BC,得CM LAB,则直线M,CM,MM,丙两垂 直， 9 以点M为原点，向量M,CM,MM的方向分别为x,,2轴的正方向，建立空间 直角坐标系， 令1M=AB=21.CM=a 则 A(t,0,0）C(0,-a,0)C(0,-a,21）B(-t,0,21）E(-t,0,) CA=C4=(6a,0).CC=A4=(0,02）.AB=(-2,02）,AC=(-4,-a,2） 设平面4G与平面1BG的法向量分别为i=(x,少2)，m=(:,少2）， nCA=+ay=0 则1i-4=2z=0 令y=1,得i=(-a5,0) m·AB=-2+2z1=0 m·AC=-tc-ay+21z,=0' 令片=1，得m=(a5,a) 5 由平面A4C与平面AB,C所成角的余弦值为15， 得cos%列=m:列 -a2+2 5 m1V2+2V2a㎡+215 解得0=2r或13a2=72 或 由MBC是锐角三角形，得CM>1M,即a>1,则4=2r,即a=V2 又cE-(2小则os低.压-C 412 2 AB CE V42+42V422, 而0≤AB,CE≤元，因 AB CE= 4 10 “异面直线AB与CE所成的角为4. x2,y2 =1 18.【答案】(1)43 【小问1详解】 设P,W）,则b≤%≤6，设c为椭圆C的半焦距，则F5=2C。 xe-xc 当风取最大值时，S5片的面积取得最大值时， :-b≤%≤b,=b时，取最大值，此时，P0,b)或P0,-b), 5%的最大面积为h,:S的最大面积为V5, cb=√3，此时 FPR=骨，则RP=FR, FP=a,FE2=2c∴.a=2c. [a2=b2+c2 a=2 bc=3 b=3 又 ，联立 ,解得 a=2c a2=b2+c2 c1 x2 =1 椭圆C的标准方程43 【小问2详解】 y=0,△OBM,AOBN ()如图，直线的方程为时， 不存在，不满足题意， 11 MB3,0 设直线的方程为 =y+3 x=y+3 联立￡+-1，消去，得到+3+扩-1 43 4 3 整理得(32+4)y2+180+15=0 设M,以N0,).y≠片片≠0，为≠0 过点B(3,0)的直线l与椭圆C交于不同的两点M,N, A=0-424i5>0.>. 18t 18t 乃+y2= 312+4 y+y=-32+4 15 15 同号， y2,=32+4 2=302+4 >0 y,y2 Sam0Bxy.8aw 1 xOB×y2 S0=2 xOB×XM S. ×OBx2 同号，.SM=L' 2 y1,y2 S.OBN y2 18t y+%=32+4.(0y+⅓} 182 3t2+4 (18)2 108 15 y2=32+4 yy2 15 312+4 15(30+450+克 12 50+3.5410 :4+业+2=108 36 y2 y 3, 36 :.4<4+业+2<36 y5, 设三2，点M在点B,N之间，则0<21 片乃25转化为4<无++2< ∴4<4+占+2<36 36 5, 1 元+ .>2 126 [2≠1 .+ 5, 22-21+1>0 1 <<5 0<九<1 …52-262+5<0’ 5 1 0<2<1 0<<1 .三<<1 5 :2=五：<上<1Sw=上 ,1S0BM<1 y2 5 y2 S.OBN Y2 5 S.omN S OBM S、的取值范围兮) (i)如图，作出符合题意的图形， MB3,0) M(x,y),N(x2,y2)∴0M=(x,y),0N=(,y) :00=OM+ON,:00=(G+,水+)，且四边形OM0N为平行四边形， 13 I 1‘-0-()m0=e/ga I+ +x四0-=X-xu”=文-x四”-=气/呼 华图(D) ⑨(z) 乙84耳业。8乙4則￥狼(T)【孝是】61 c叫e1 e=Se×&=p-lw=ams SE E+I p 10 1+ 头图谢阳彩厚学祝 =p.. t+ ×E t+ ×E =z1 ￡Λ ZE ZE -xt- SE ZE SI 18I w-- ‘.-+八=NWk`是 'i酒w 0.+E_t0 81忆 t-0-}-9(+0-+=+ 1 0<a< 1-a> 2,所以 2, x+x>2√=2，当且仅当=时不等式取等号 所(1-ax+x)>1 【小问1详解】 x+1,定义域为(0，+o)】 w22- 8x(x+1)2, 1 令了)>0，得0<x< 3或x>3; 03 以酒改了问南活带有先兮引，6o.华风区同后 因，当-.因有段大.根大位付)分 当x=3时，f()有极小值，并且极小值为 2 【小问2详解】 o-a-h--旷-(-r+x小-(e-, g(0)=0,f(0)=0,则f()除1外还有两个零点， 15 - x(x+1)2 令h()=mr2+(2a-2)x+a(x>0) 当0时，h(四<0在0，+）恒成立，则f(x)k0, 所以f(四在(0，+)单调递减，不满足，合去 当a>0时，f)除1外还有两个零点，则f(因不单调。 所以到有在两个装点，所8△=(2a-2-4d>0,解有0<a< .1 当0<a<2时，设A)的两个零点为mm<0）。 测m+n=名-2>0 ,mn=1,所以0<m<1<n, 当0<x<m或x>m时，h)>0,()>0,函数（✉）单调递增： 当m<x<n时，h()<0,()水0，函数f(四)单调道减： 又f0=0,所以f(m）>0,f(m)<0, 1 )1-2 1—<0 e+lea+1,且。 1 ea<11 Hea>1' 使得f(x)=f(x)=0, 16 即g()=a(r-hx-(x-l(a≠0)有3个零点，x=l,, 游L.安数a的皮范阳为(0 (略 17 长沙市实验中学2027届高三第三次阶段检测 数学试卷 命题人： 寻听 审题人：贺建鑫 袁沐阳 本试卷共5页，19题 满分150分 时量120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1. 已知集合，，则 A. B. C. D. 2. 若复数满足，则在复平面内复数表示的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知随机变量，，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.5 4. 已知a，b为空间不重合的两条直线，为空间不重合的两个平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 若函数的图象关于直线对称，则（ ） A. B. C. -1 D. 6. 已知的图象关于点对称，且对，都有成立，当时，，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，圆为的外接圆，，为边的中点，则（ ） A. 10 B. 13 C. 18 D. 26 8. 对任意，若不等式恒成立（为自然对数的底数），则正实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2、 多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 下列论述正确的是（ ） A. 已知随机变量，则 B. 数据1，3，9，4，5，16，7，11的下四分位数为3.5 C. 记两个变量的样本相关系数为，若越接近0，线性相关程度越强 D. 对某两个分类变量进行独立性检验时，若，则有的把握能推断零假设成立．其中表示概率值0.05所对应的临界值 10. 设为坐标原点，直线的倾斜角为且过抛物线：的焦点，且与交于，两点，，以为直径画圆与的准线交于点，则（ ） A. 中点的横坐标是 B. C. D. 11. 如图，棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的有（ ） A. 动点轨迹的长度为 B. 三棱锥体积的最小值为 C. 与不可能垂直 D. 当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为 3、 填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，若，则实数____. 13. 数列是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，，，.若数列满足，则数列的前项和________. 14. 设函数，若关于的函数恰好有五个零点，则实数的取值范围是__________． 四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(13分)记的内角的对边分别为，已知，为边上一点，． （1）求； （2）若平分，求． 16．(15分)设正项数列的前n项和，满足． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 17．(15分)如图，底面为锐角三角形的直棱柱中，，，点在线段上，且满足，点为的中点. （1）当时，证明：平面； （2）若平面与平面所成角的余弦值为，求异面直线与所成角的大小. 18．(17分)在平面直角坐标系中，已知椭圆：的两个焦点分别为，，为椭圆上一动点，设，当时，的面积取得最大值． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线与椭圆交于不同的两点，（点在点，之间）． （i）求的取值范围； （ii）若为椭圆上一点，且，求四边形的面积． 19．(17分)已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）当时. （i）证明：，； （ii）当时，，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $