河南省许昌高级中学2026-2027学年高一上期10月检测数学试卷

许昌高中2029届高一上学期数学检测试卷（10月份） （考试时间：120分钟　试卷满分：150分　命题人：曹伊犁　审题人：王瑞敏） 一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．命题：，，则的否定是（　　） A．， B．， C．， D．， 2．已知集合，集合，则的子集个数为（　　） A． B． C． D． 3．若，则下列命题正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．若：是：的必要不充分条件，则实数的可能取值为（　　） A． B． C． D． 5．设全集，，，则图中阴影部分表示的集合是（　　） A． B． C． D． 6．已知关于的一元二次不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 7．已知，且，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 8．已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分） 9．下列说法正确的是（　　） A．命题：存在，的否定是：任意， B．是的充分不必要条件 C．已知集合，，若，则实数 D．已知集合，，则 10．已知实数满足，，则（　　） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．，使得 11．已知，，，则下列正确的是（　　） A． B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是______． 13．已知集合，则集合中全部元素之和为______． 14．已知不等式的解集为。若不存在整数满足不等式，则实数的取值范围是______． 四、解答题（本大题共5个小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分）已知全集，集合，。 （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围。 16．（15分）已知命题：，； 命题：对任意，且，不等式恒成立。 （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题为真命题，求实数的取值范围； （3）若命题和命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围。 17．（15分）数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合应用推动全要素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智能、5G通信等新兴技术；在应用层面，包括“新零售”“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等。现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本（单位：万元）由两部分构成：①固定成本：1000万元；②材料成本：万元，为每月生产人形机器人的个数。 1）该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元？ 2）若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400万元？附：利润＝售价×销量－成本。 18．（17分）已知关于的不等式。 （1）若时，求不等式的解集； （2）若，解这个关于的不等式； （3），，求实数的取值范围。 19．（19分）三元均值不等式：“当均为正实数时，，即三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，当且仅当时等号成立。”利用上面结论，解决下列问题： （1）当时，求的最小值； （2）当时，求的最大值； （3）当且时，证明：。 许昌高中2029届高一数学检测试卷 第 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 许昌高中2029届高一上学期数学检测试卷（10月份） 参考答案与解析 一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分） 1．命题：，，则的否定是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】全称量词命题的否定是存在量词命题，条件不变，结论否定。 【解答】将“”改为“”，条件不变，把“”改为“”，得，，选B。 2．已知集合，集合，则的子集个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先化简两个集合，再由元素个数求子集个数。 【解答】。由得，所以，又，故。于是，有3个元素，子集个数为，选C。 3．若，则下列命题正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】逐项举反例或利用不等式性质判断。 【解答】A中时不成立；B中取不成立；C中取，左边，右边，不成立；D中，所以，取倒数得，正确。选D。 4．若：是：的必要不充分条件，则实数的可能取值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】“是的必要不充分条件”即，且不能推出。 【解答】：，：。由得，即；选项中只有满足，选A。 5．设全集，，，则图中阴影部分表示的集合是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】阴影部分是与的对称差，即中去掉的部分。 【解答】，，所以，。阴影部分为，选B。 6．已知关于的一元二次不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由解集确定，再解分式不等式。 【解答】由的解集为，得，所以，。原不等式为，解得，选B。 7．已知，且，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，，把条件化为，再用柯西不等式。 【解答】令，。由，所以。当，即时取等号，选C。 8．已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两个因式必须同时在处变号，由此确定。 【解答】因，在处由负变正，故必须是的较大根，且另一根不大于。于是，，由根与系数关系。所以，当时取等号，选B。 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9．下列说法正确的是（　　） A．命题：存在，的否定是：任意， B．是的充分不必要条件 C．已知集合，，若，则实数 D．已知集合，，则 【答案】AD 【分析】逐项判断命题真假。 【解答】A正确；B中取，但，错误；C中或时也有，不一定是，错误；D中，正确。选AD。 10．已知实数满足，，则（　　） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．，使得 【答案】AB 【分析】令，，把用表示。 【解答】，。由，，得，，A、B正确。，C错误。对应的平行四边形顶点为，的最大值为，故D错误。选AB。 11．已知，，，则下列正确的是（　　） A． B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】先由条件得到，再换元。 【解答】条件两边乘，得，即。由可知，A正确。 令，，则。，B正确。 ，当时最小值为，C错误。 ，D正确。选ABD。 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】命题为假，等价于对任意，。 【解答】由题意，对一切恒成立，所以，解得，即。 13．已知集合，则集合中全部元素之和为______． 【答案】 【分析】把分式化为整数与真分式之和，利用整除性。 【解答】。要使它为整数，需整除，所以，。故，元素之和为。 14．已知不等式的解集为。若不存在整数满足不等式，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】由解集确定的关系，把不等式化为关于的二次不等式。 【解答】由解集为知，且，所以，。原不等式化为，即。 当时，不等式有整数解，不符合；当时，方程两根为和，且。要使开区间内没有整数，只需，解得。故。 四、解答题（本大题共5个小题，共77分） 15．已知全集，集合，。 （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围。 【答案】（1）；（2）。 【分析】（1）先解分式不等式化简；（2）由并集为转化为覆盖。 【解答】（1）化为，解得，所以。当时，，故。 （2）。要使，必须，即且，解得。故。 16．已知命题：，； 命题：对任意，且，不等式恒成立。 （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题为真命题，求实数的取值范围； （3）若命题和命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围。 【答案】（1）；（2）；（3）。 【分析】（1）求二次函数在区间上的最小值；（2）用柯西不等式求的最小值。 【解答】（1）设，在上的最小值为。为真需，故。 （2）令，，则，且。由柯西不等式，。所以为真需，即，解得。 （3）至少一个为真，取并集得，即。 17．数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合应用推动全要素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智能、5G通信等新兴技术；在应用层面，包括“新零售”“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等。现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本（单位：万元）由两部分构成：①固定成本：1000万元；②材料成本：万元，为每月生产人形机器人的个数。 1）该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元？ 2）若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400万元？附：利润＝售价×销量－成本。 【答案】（1）每月生产100个，平均成本最低为30万元；（2）每月至少生产70个。 【分析】（1）写出平均成本函数，用基本不等式；（2）写出利润函数，解二次不等式。 【解答】（1）平均成本，当且仅当，即时取等号。所以每月生产100个时，平均成本最低为30万元。 （2）利润。由得，即。因为，所以。故每月至少生产70个。 18．已知关于的不等式。 （1）若时，求不等式的解集； （2）若，解这个关于的不等式； （3），，求实数的取值范围。 【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）。 【分析】（1）（2）因式分解后按的符号分类；（3）先化简为二次不等式，再讨论存在正数解。 【解答】（1）时，，即，解得。 （2）原不等式可化为。当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为。 （3）原不等式化为。设，需存在使。当时，，存在；当时，最小值，得；当时，在上递增且，不存在。综上。 19．三元均值不等式：“当均为正实数时，，即三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，当且仅当时等号成立。”利用上面结论，解决下列问题： （1）当时，求的最小值； （2）当时，求的最大值； （3）当且时，证明：。 【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析。 【分析】（1）（2）配凑成三项，直接用三元均值不等式；（3）先对三项用均值不等式，再证。 【解答】（1），当且仅当时取等号，最小值为3。 （2），所以，当且仅当，即时取等号，最大值为。 （3）由三元均值不等式，原式左边。 又，且，所以。故原式左边，当且仅当时取等号。 许昌高中2029届高一数学检测试卷 第 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $