江苏苏州大学附属中学2026-2027学年高三第一学期10月阶段诊断数学试卷

苏大附中2026一2027学年第一学期10月阶段诊断 高三年级数学试卷 考试时间:120分钟总分:150分 范围:集合、复数、向量、不等式,函数与导数,三角函数与解三角形,数列。 说明:第1题的复数条件及所求式、第9题C选项的比较符号依用户本次授权作合理推测补全,并在对应题 面标明;并非对扫描缺字的精确恢复。 一、单项选择题: 本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.设之=√2i,则zz=()。(条件与所求式为用户授权的推测补全) A.-2 B.2 C.-v2 D.2 2.己知集合S={s|s=2n+1,n∈Z},T={t|t=4凯+1,n∈Z},则S∩T=()。 A.0 B.S C.T D.Z 3. 设函数y=f(c)的定义域为A,则“x∈A,f(x)≤M”是“f(x)在A上的最大值为M”的 ()。 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 1。若(a,0)a>0)是函数g=2iam(e+君)图象的个对称心,则的最小值为(): 6 B.3 C. D.5 6 .(+)(+)的小位为()… A.16 B.14 C.12 D.9 6. 己知数列{an}、{bn}都是公差为1的等差数列,其首项分别为a1、b1,且a1+b1=5,a1,b1∈ N*。设cn=ab,(n∈N*),则数列{cn}的前10项和等于()。 A.55 B.70 C.85 D.100 7.在 ABC中,若cos(B+C)+cosC>0,则 ABC的形状为()。 A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.以上皆有可能 高三数学第1页共15页) 8.已知直线分别与曲线=e+a和y=e+a切于点A、B,且与轴交于点C。若A乙=CB,则 a=()。 A.2 B.1 C.-1 D.-2 二、多项选择题: 本大题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求。全部选对 的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。 9.己知平面向量a=(m,5),b=(2,1),则下列说法正确的是()。 A若a1b,则m=-号 B.若a∥b,则m=-10。 C。若a与b的夹角为锐角,则m>一多。(比较符号为用户授权的推测补全) D.若a在b上的投影向量为b,则a=5。 10.已知数列{an}满足an+an+1=4n,n∈N*,Sn是其前n项和,则下列说法正确的是 ()。 A.an+2-an=4。 B.{an-2m+1}是等比数列。 C.S2m=4n2。 D.若a1=2,当n为奇数时,满足Sm<2026的n的最大值为43。 11.设函数f(x)=x2|x-3,则下列说法正确的是()。 A.2是f(x)的极大值点。 B.方程f(x)=4有3个不同的实数解。 C.x∈(0,1),f(x2)<f(2x). D.3x∈[-1,+o∞),f(x+3)<f(x)。 高三数学第2页(共15页) 三、填空题: 本大题共3小题,每小题5分,共15分。 12. 如图,在四边形ABCD中,E,F分别为AD,BC的中点,AB=2,DC=4,则 (AB-DC可).EF= 13.设函数f(x)的定义域为R,f(z+1)为奇函数,f(x+2)为偶函数。当x∈[1,2时,f(x)= ax2+b。若f(0)+f(3)=6,则a-b=_ 14.设正实数q满足:存在数列{an},使得对于任意n∈N*,均有a1十a2+ +a2n=n2+n, 且{an}中有某连续6项ak,ak+1,,ak+5是公比为q的等比数列,则q的最大值为 四、解答题: 本大题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知函数f(x)=cos4x-2 sinxcosx-sin4x。 (1)当x∈[0,时,求函数f(x)的单调递增区间。 2)已知fa)=a∈D,引,求sin2a的值。 高三数学第3页(共15页) 16.(15分)已知数列{an}为等差数列,前n项和为Sn:数列{bn}是首项为2的等比数列,且公比 大于0。已知b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4。 (1)求数列{an}和{bm}的通项公式。 (2)求数列{anbn}的前n项和Tn。 17.(15分)已知f(x)=1og2(4+1)-kx为偶函数。 (1)求k的值。 (2)解不等式f(22-1)<1og25-1。 (3)若关于x的方程[f(x)]2-mf(x)+4=0有4个不相等的实根,求m的取值范围。 高三数学第4页(共15页) 18.(17分)在 ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且 bsi血(A-爱 )=asin Acos C+csin Acos A. (1)求角A的大小. (2)若点D在边BC上,满足BD=2DC且AD=2,求 ABC面积的最大值。 C3)老点E在DCE长线上,满足∠CAE=石BC=AE,求i血E. 19.(17分)已知函数f(x)=a2x(a>0且a≠1),设Pn(xn,f(xn)是函数y=f(c)图象上一 点,在点Pn处的切线为ln,且ln与x轴的交点为(xn+1,0)。若数列{cn}是公差为-l的等差数列。 (1)求f(x)的解析式。 (2)若g(x)=f(x)(m-2x)-m,其中m为实数。 (i)若对任意x∈R,g(x)≤0,求m的值。 (ii)求证:neN*且n≥2,有e克<n。 =2 高三数学第5页(共15页) 苏大附中2026一2027学年第一学期10月阶段诊断 高三年级数学试卷 参考答案与详细解析 1.设之=v√2i,则z2=()。(条件与所求式为用户授权的推测补全) A.-2 B.√② C.-√2 D.2 【参考答案与详细解析】 答案:D。 本题按卷首注明的补全题意求解,不作为原扫描缺损文字的精确恢复。 由z=√2得乏=-v2i,所以 zz=(√2)(-V2)=-22=2. 故选D。 2.已知集合S={s|s=2n+1,n∈Z},T={t|t=4n+1,n∈Z},则SnT=()。 A. B.S C.T D.Z 【参考答案与详细解析】 答案:C。 任取t∈T,有t=4n+1=2(2m)+1,其中2n∈Z,故t∈S。所以T≤S,从而S∩T=T。例如 3属于S但不属于T,两集合并不相等。故选C。 3.设函数y=f(x)的定义域为A,则“Vx∈A,f(x)≤M”是“f(x)在A上的最大值为M”的 ()。 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【参考答案与详细解析】 答案:B。 若最大值为M,则对所有x∈A都有f(x)≤M,所以前一个条件是必要条件。 反过来,f(x)≤M只说明M是一个上界,未说明存在o∈A使f(xo)=M。例如f(x)=x,A= (0,1),M=1时,前者成立,但最大值不存在。因此不是充分条件,故选B。 高三数学第6页(共15页) 4. 若点(a,0)(a>0)是函数g=2tam(e+)图象的一个对称中心,则a的最小值为()。 6 A. 6 c D. 6 【参考答案与详细解析】 答案:D。 正切函数图象的中心满足t+石=km,k∈么,因此a=m-石。由a>0知k≥1,最小正值在 6 k=1时取得,为5 。故选D。 6 的最小值为()。 A.16 B.14 C.12 D.9 【参考答案与详细解析】 答案:A。 由分母知x卡0。展开并配成非负平方: (+(+)-=2+n+是-(e-)+6≥ 等号当且仅当x2=3,即x=士√时成立,均在定义域内。故最小值为16,选A。 6.已知数列{an、{bn}都是公差为1的等差数列,其首项分别为a1、b1,且a1十b1=5,a1,b1∈ N*。设cn=ab,(n∈N*),则数列{cn}的前10项和等于()。 A.55 B.70 C.85 D.100 【参考答案与详细解析】 答案:C。 由ak=a1+k-1,bn=b1+n-1,得 cn=a6=a1+bn-1=a1+b1+n-2=n+3. 因为b1∈N*且公差为1,b始终为正整数,作数列下标合法。 故前10项和为104+13)=85,选C。 2 7.在 ABC中,若cos(B+C)+cosC>0,则 ABC的形状为()。 A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.以上皆有可能 【参考答案与详细解析】 答案:D。 因B+C= -A,原条件为CosC>cosA。在(O, )上余弦函数严格递减,故等价于C<A。 它不能确定三角形的类型。例如(A,B,C)分别取(80 ,40 ,60)、(90 ,60 ,30)、(120 ,40 ,20),依 次得到锐角、直角、钝角三角形,且都满足C<A。故选D。 高三数学第7页(共15页) 8.已知直线l分别与曲线=e+a和y=e+a切于点A、B,且与x轴交于点C。若A乙=CB,则 a=()。 A.2 B.1 C.-1 D.-2 【参考答案与详细解析】 答案:D。 设两切点的横坐标分别为u,v,公切线的斜率为k。由导数得e“=e叶a=k>0,所以u=v+a,且 A=(u,k+a)、B=(v,k)。 若a=0,则=v且A=B。向量等式又要求C=A=B在x轴上,与k>0矛盾。因此a丰0,两切 点不同。 两点连线的斜率为-(k+@=一0=1,故k=1。由Ad=C厉知C是AB的中点,且纵坐标为0 v-u -a ,于是1+0+1=0.得a=-2. 2 此时可取A=(0,-1)、B=(2,1)、C=((1,0),公切线为y=x-1,逐项代回满足条件,选D。 9.已知平面向量a=(m,5),b=(2,1),则下列说法正确的是()。 A若a上b,则m=-号 B.若a∥b,则m=-10。 C。若a与b的夹角为锐角,则m上一 3。(比较符号为用户授权的推测补全) D.若a在b上的投影向量为b,则a=5。 【参考答案与详细解析】 答案:ACD(C按授权补全后的题意判断)。 4:由ab=2m+5=0,得m=-5 正确。 B:平行条件为m 1-5 2=0,应为m=10,故B错误。 C:夹角为锐角必有a:b>0,所以2m+5>0,即m之-,正确。这里仅是由锐角推出必要象 件,并未反过来声称该不等式足以排除零夹角。 0:投影向最为8.由它等于b≠0,得2m十5=5,所以m=0.从面a=10.5列别=5,正 确。 10. 已知数列{an}满足an十an+1=4n,n∈N*,Sn是其前n项和,则下列说法正确的是 )。 A.an+2-an=4。 B.{an-2m+1}是等比数列。 C.S2m=4n2。 D.若a1=2,当n为奇数时,满足Sm<2026的n的最大值为43。 高三数学第8页(共15页) 【参考答案与详细解析】 答案:ACD。 A:将an+1十an+2=4(n十1)与an十an+1=4n相减,得an+2-an=4,正确。 B:令bn=an-2n+1,则bn+bn+1=0,即bn+1=-bn。但原题未排除a1=1,此时an=2n-1 ,b恒为0,不符合等比数列的各项非零要求。因此B并非必然成立。只有补充a1≠1后,才可判定该 数列为公比-1的等比数列。 C:由A,a2k-1=a1+4(k-1),a2k=4k-a1,故每一对相加得a2k-1+a2k=8k-4。所以 S2m=∑(8k-4)=4n(n+1)-4n=4n2, k=1 正确。 D:a1=2时,由递推可得am=2m,故Sm=n(n+1)。44 45=1980<2026,而45 46=2070> 2026,所以正整数n最大为44,再限制n为奇数,最大为43,正确。 11.设函数f(x)=x2x一3,则下列说法正确的是()。 A.2是f(x)的极大值点。 B.方程f(x)=4有3个不同的实数解。 C.x∈(0,1),f(x2)<f(2x). D.3x∈[-1,+∞),f(x+3)<f(x)。 【参考答案与详细解析】 答案:ABC。 先分段:x≤3时,f(x)=3x2-x3;x≥3时,f(x)=x3-3x2。 A:x<3时∫'(c)=3x(2-x),在(0,2)为正、(2,3)为负,因此x=2为极大值点,A正确。 B:在x≤3上,f(x)=4等价于x3-3x2+4=(c-2)2(x+1)=0,有x=-1,2。在(3,+00)上 f'(x)=3x(x-2)>0,且f(3)=0、f(x) +o∞,故另有且仅有一个解。共3个不同实根,B正 确。 C:当0<x<1时,0<x2<2x<2;而f在(0,2)上严格递增,所以f(x2)<f(2x),C正确。 D:检验全部区间。若-1≤x≤0,令t=-x∈[0,1,有 f(x+3)-f(x)=t(3-t)2-t2(3+t)=9t(1-t)≥0. 若0≤x≤3,有 f(x+3)-f(x)=x(x+3)2-x2(3-x)=2x3+3x2+9x≥0. 若x≥3,有 f(x+3)-f(x)=x(x+3)2-x2(x-3)=9x2+9x>0. 故所有x≥-1均有f(x+3)≥f(x),不存在题述严格不等式,D错误。 高三数学第9页(共15页) 12. 如图,在四边形ABCD中,E,F分别为AD,BC的中点,AB1=2,DC=4,则 (AB-Dd EF= D E A B 【参考答案与详细解析】 答案:-6。 取任意原点,用位置向量表示两中点,可得 Ei、AB+DC 2 因此利用数量积的分配律及交换律, a应-Dd.E正-(a-Dd(a成+Dd 2(ABP-DC) 1 = 2(4-16)=-6. = 这里第二个向量的方向是D乙,不可误写为CD。 13.设函数f(x)的定义域为R,f(x+1)为奇函数,f(x+2)为偶函数。当x∈[1,2时,f(x)= ax2+b。若f(0)+f(3)=6,则a-b= 【参考答案与详细解析】 答案:-4。 由f(x+1)为奇函数,得f(2-x)=-f(x),特别地f(1)=0,f(0)=-f(2)。 由f(x+2)为偶函数,得f(4-x)=f(x),故f(3)=f(1)=0。因此f(0)=6,f(2)=-6。 在给定区间两端代入: a+b=f(1)=0, 14a+b=f(2)=-6. 解得a=-2,b=2,所以a-b=-4。 高三数学第10页(共15页) 14.设正实数q满足:存在数列{an},使得对于任意n∈N*,均有a1十a2+ +a2n=n2+n, 且{an}中有某连续6项ak,ak+1, ,ak+5是公比为q的等比数列,则q的最大值为 【参考答案与详细解析】 3 答案:√2 将相邻两个偶数项前项和相减,并对n=1直接检验,得 a2n-1+a2m=2m(n∈N*): 设所给等比段首项为u卡0,则六项为u,uq,ug2,uq3,ug,uq5。 若k=2m-1为奇数,三个完整配对和依次为2m,2(m+1),2(m+2),同时又构成公比q的等比数 列,必须满足(m+1)2=m(m+2),矛盾。故k不能为奇数。 若k=2m为偶数,其中两组完整配对为 uq+ug=2(m+1), ug3+ug2=2(m+2). 两式相除得g2= m+2 =1+1 3 m+1 +m+因m之1.q≤V 3 4 验证可取:取m=1、g=√2令w= q(1+q) 并设a2至a7为u,uq,uq,uq,ug,uq5。则ag+ a4=4、a5+a6=6。再取a1=2-u、a8=8-uq ;其余每对可取a2m-1=0,a2m=2m(n≥5 )。所有配对和均为2,满足原前项和条件,且六个等比项均非零。因此该上界能取到。 15.(13分)已知函数f(x)=cos4x-2 sinxcosx-sin4x。 (1)当x∈[0,时,求函数f(x)的单调递增区间。 (2)划a)=分aeo,引,求im2a能值. 【参考答案与详细解析】 解:(1) f(x)=(cos2 x-sin2 c)(cos2x+sin2 x)-2sin x cos -cos2-sin 2z-V2c0s(2x+) 当0≤≤时,相位2x+牙e[匠] T 9T 。 余弦在相位 ,2]内递增,解 T≤2m+4≤2m, 得3<r 。故单调递增区间为 7 37 8 88 (2)设s=sin2a,由cos2a-sin2a= 2cos2a=8+子利用同角平方和, 2 1 s2+(s+2)=1, 解得s=1士近。 圆为2ae0,T,9之≥0,故sin2a=4。对应余弦二>0,所得解确 4 有角2a∈(0,)与之对应. 高三数学第11页(共15页) 16.(15分)已知数列{an}为等差数列,前n项和为Sm;数列{bn}是首项为2的等比数列,且公比 大于0。已知b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b40 (1)求数列{an}和{bn}的通项公式。 (2)求数列{anbn}的前n项和Tn。 【参考答案与详细解析】 解:(1)设等比数列公比为q>0。由2q+2q=12,得(q-2)(q+3)=0,故q=2,bn=2”。 设等差数列公差为d。由b3=8=a4-2a1=3d-a1,以及S11=11(a1+5d=11 16,得 3d-a1=8, a1+5d=16. 解得d=3,a1=1,所以an=3n-2。 (2)anbn=(3n-2)2m。令 Tn=1.2+4 22+7.23+…+(3n-2)2”. 将2Tn与Tn错位相减,对n≥2有 Tn-2Tn=2+3(22+23+…+2)-(3n-2)2+1 =2+3(2n+1-4)-(3m-2)2+1 =(5-3n)2+1-10. 故Tn=(3n-5)2m+1+10。n=1时该式也给出T1=2,与实际首项相符,所以该公式对所有n∈ N*成立。 17.(15分)己知f(x)=1og2(4+1)-kx为偶函数。 (1)求k的值。 (2)解不等式f(2-1)<1og25-1。 (3)若关于x的方程[f(x)]2-mf(x)+4=0有4个不相等的实根,求m的取值范围。 【参考答案与详细解析】 解:(1)由偶性,任意x∈R有 0=f(x)-f(-x) 4+1-2kx =1og24+1 =2(1-k)x 取x≠0得k=1。反代可化为f(x)=1og2(22十2r),确为偶函数。 2)设t=2g-1。原不等式等价于2+2t<号,令u=2必>0,得 公2-+1<0 即号<u<2,所以-1<t<1。代回为-1<2-1<1,因2>0自动满足左端条件,右端给出 2 x<1。故解集为(-∞,1)。 高三数学第12页(共15页) (3)令t=f(x)。由22+2x≥2,知t≥1,等号仅x=0时成立:又f在(0,+oo)严格递增且趋于 +o,由偶性知每个t>1恰对应两个不同的x。 因此原方程有4个不同实根,当且仅当t2-t+4=0有两个不同且都大于1的根。 两根和为m、积为4,必须m>4:此时较小根为t=m-Vm2-1 。条件t>1等价于m-2> 2 √m2-16。两边均非负,平方得m<5。 故m∈(4,5)。m=4时只有一个t值,给出两个x:m=5时t=1,4给出三个x,两端均不取。 18.(17分)在 ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且 si血(A- a sin Acos C+csin Acos A. (1)求角A的大小。 (2)若点D在边BC上,满足BD=2DC且AD=2,求 ABC面积的最大值。 3)若点E在B0延长线上,满是∠CAE三BC F2AE,求sinE。 【参考答案与详细解析】 解:(1)由正弦定理,设a=6= 纹sinA=sinB=sinC=2R。原等式右边为 2Rsin A(sin A cos C+sin C cos A)=2Rsin Asin(A+C) =2Rsin Asin B=bsin A. 由6>0可约去b,得sin(A-) =simA,展开即sinA+√3cosA=0。因0<A< ,所以A= 2T 3。 (2)记u=AB、u=AC。由BD=2DC,得AD=u+2 所以 3。又u v=bc cos A=bC 36=9AD2=u+2u12=c2+4h2-2bc=(c-2b)2+2bc≥2bc. 故bc≤18,于是 Sune-besin A-Vie 4c≤2 等号在C=2b时成立。取b=3,c=6,A=120 ,由前式确有AD2=4,且D为边上指定内分点,故最 9v3 大值为2 A D 高三数学第13页(共15页) (3)设0=∠AEB。因E在从B经C的延长线上,∠BAE=A+∠CAE= g故B=名-0:又 B+C=5,放C=-日+.0<0<6 6 由BC= 号4E及正弦定理, AB 3 sinC AF='sin 120 =V3sin C. 在 ABE中又有 sin AE siB。所以 sin0=√3 sin B sin C =V5m(后-0)m(后+) =v(任-sm20 令s=si血0>0,解V3s2+s-1 30,得3=8或&E号,含去预根:根小分0 4 6 0<君相容。因此血尼=5, 6。 19.(17分)已知函数f(x)=a2(a>0且a卡1),设P(c,f(cn)是函数y=f(x)图象上一 点,在点Pn处的切线为ln,且ln与x轴的交点为(cn+,0)。若数列{xn}是公差为-l的等差数列。 (1)求f(x)的解析式。 (2)若g(x)=f(x)(m-2x)-m,其中m为实数。 (i)若对任意x∈R,g(x)≤0,求m的值。 m (ii)求证:neN*且n≥2,有e产<n。 i=2 【参考答案与详细解析】 解:(1)f'(x)=2na a2r。切线方程为 y-f(xn)=21na.f(xn)(x-cn). 1 令=0并约去f(n)>0,得n+1=n-2ina由公差-1,得2ma=1.所以a=Ve,f()= er。 (2)(i)g(x)=e(m-2x)-m,且g(0)=0。若g(x)≤0恒成立,则x=0是可导函数g的极大 值点,必须g(0)=m-2=0,得m=2。 反过来,当m=2时,g(x)=-2xe,在(-o,0)为正,在(0,+o)为负,所以g(x)≤g(0)=0对全 体实数成立。因此m=2。 高三数学第14页(共15页) (1i)由(1)的充分性知c1-)≤1,且等号仅t=0时成立。对≥2.取t-是∈(0,1.得 1+ 1 又 品(片) 故对n≥2, 空1合) =-1+(+) 3 <n-1+4<n. 所用分母均为正,严格不等号对每一项都成立,结论得证。 高三数学第15页(共15页)