专题6.1 二次函数的概念（7大题型+高效培优讲义）数学新教材苏科版九年级下册

专题6.1 二次函数的概念 教学目标 1. 理解二次函数的意义与概念，掌握其一般形式 2. 会表示简单变量间的二次函数关系，能确定自变量取值范围 3. 经历建立二次函数关系的过程，体会数学与生活的联系，培养合作意识。 教学重难点 1.重点 理解二次函数的概念，体会其在实际问题中的意义。 2.难点 能根据实际问题情境构建二次函数关系，重视二次函数解析式中a≠0这一条件。 知识点01 二次函数的概念 二次函数的概念 1.形如（其中是常数，）的函数叫做二次函数，称为二次项系数，为一次项系数，为常数项. 注意：二次项系数，而可以为零．二次函数的自变量的取值范围是全体实数． 【即学即练】1．（2026九年级上·全国·专题练习）下列函数中，是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断一个函数是不是二次函数，在函数解析式是整式的前提下，如果把解析式化简整理（去括号、合并同类项）后，能写成（a，b，c为常数，）的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是． 【详解】解：A、函数含，它不是整式，故本选项的解析式不是二次函数； B、函数可化简为，故本选项的解析式不是二次函数； C、函数是二次函数，本选项符合题意； D、函数不是二次函数． 2．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）若函数是关于的二次函数，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义求解，二次函数要求的最高次数为，且二次项系数不为，据此列出关系式即可求出的值． 【详解】解：函数是关于的二次函数， ，且， 解方程，即， 解得或， 又∵， ， ． 3．（2026九年级上·全国·专题练习）若 是关于 的二次函数，则 的取值范围是___________． 【答案】 【分析】因为函数是关于x的二次函数，所以二次项系数需满足不等于0的条件．求解不等式，即可得到m的取值范围． 【详解】解：∵ 是关于 的二次函数， ∴， ∴． 知识点02 二次函数的一般形式 一般式：（，，为常数，）； 【即学即练】4．（25-26九年级上·山东滨州·期中）把二次函数化为一般形式，一次项系数为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式，完全平方公式，解题的关键是掌握二次函数的一般形式． 将二次函数化为一般形式，需展开并合并同类项，即可得到一次项系数． 【详解】解：∵， ∴ 一次项系数为． 故选：C． 5．（2026九年级上·全国·专题练习）将二次函数 化为一般形式为___________，其中二次项系数为___________，一次项系数为___________，常数项为___________． 【答案】 2 1 【分析】明确二次函数一般形式为（），所以需要先将给定的乘积形式展开．运用多项式乘多项式法则展开，再合并同类项得到一般形式．对照一般形式，直接对应找出二次项系数、一次项系数和常数项． 【详解】解：∵， ∴二次项系数为2，一次项系数为1，常数项为． 6．（25-26九年级上·河南信阳·期中）二次函数化简后，其一次项系数是_________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的展开化简及项的系数识别，解题的关键是将二次函数的乘积形式展开为一般式，再确定一次项的系数． 将按多项式乘法法则展开，合并同类项得到二次函数的一般式，进而找出一次项对应的系数． 【详解】解：， 其一次项为，系数是． 故答案为：． 题型01 二次函数的识别 【典例1】（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）下列函数是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】需先化简部分选项的函数表达式，再结合二次函数的特征逐一判断． 【详解】解：A选项：是整式，x的最高次数为2，二次项系数不为0，是二次函数，符合题意； B选项：未限定，当时不是二次函数，不符合题意； C选项：是分式，不是整式，不是二次函数，不符合题意； D选项：，是一次函数，不是二次函数，不符合题意． 【变式1】（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）下面的函数是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】需先化简各选项的函数表达式，再判断是否为二次函数． 【详解】解：A．自变量最高次数为，不是二次函数； B．自变量最高次数为且为整式，是二次函数； C． ，自变量最高次数为，不是二次函数； D．不是整式函数，不是二次函数． 【变式2】（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）下列函数中，y是关于x的二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义逐一判断各选项． 【详解】解：A、未明确，当时不含二次项，不是二次函数，不符合题意； B、中的最高次数均为1，是一次函数，不符合题意； C、中的最高次数为2，且二次项系数不为0，是二次函数，符合题意； D、中的最高次数均为1，是一次函数，不符合题意． 【变式3】（26-27九年级上·上海静安·阶段检测）下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A：未限定，当时不是二次函数； 选项B：不是整式函数，不是二次函数； 选项C：是整式且二次项系数不为0，是二次函数； 选项D：是一次函数，不是二次函数． 题型02 根据二次函数的定义求参数 【典例1】（26-27九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段检测）若关于的函数是二次函数，则的值为__________． 【答案】3 【分析】根据二次函数定义可知未知数最高次数为2，二次项系数不为0列式求解即可． 【详解】解：∵关于的函数是二次函数， ∴， ∴． 【变式1】（26-27九年级上·江西赣州·阶段检测）若函数是二次函数，则___________________． 【答案】 【详解】解：函数是二次函数， ，， 解得． 【变式2】（26-27九年级上·四川德阳·阶段检测）若是关于的二次函数，则________． 【答案】或 【分析】二次函数需要满足两个条件，一是x的最高次数为2，二是二次项系数不为0，据此列等式和不等式求解． 【详解】解：∵是关于的二次函数， ∴x的次数等于，可得方程：， 解得，即或， ∵二次项系数不能为， ∴，解得， 和都满足， 因此或． 【变式3】（26-27九年级上·上海·阶段检测）已知（m为常数）是二次函数，那么m的值是____________． 【答案】 【分析】二次函数要求自变量的次数为，且二次项系数不为，据此列条件求解． 【详解】解：∵ （为常数）是二次函数， ∴ ，且， 解得或，即或， 由得， 因此． 题型03 二次函数的一般形式 【典例1】（26-27九年级·全国·暑假作业）将二次函数化为一般形式后，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的一般式，根据整式乘法展开后合并同类项即可． 【详解】， 故选：D． 【变式1】（26-27九年级·全国·暑假作业）把二次函数化为一般形式，一次项系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数的一般形式，把化为一般形式，即可得到答案． 【详解】解：； 其中二次项系数是、一次项系数是、常数项是4． 故选：D 【变式2】（24-25九年级上·全国·课后作业）把二次函数化为一般形式为：________． 【答案】 【分析】先利用整式的乘法得到y=-4（x-3+2x2-6x），然后去括号合并即可得到二次函数的一般式． 【详解】y=−4(1+2x)(x−3)=−4(x−3+2x2−6x)=−8x2+20x+12， 故答案为y=−8x2+20x+12. 【点睛】本题考查的知识点是二次函数的三种形式，解题的关键是熟练的掌握二次函数的三种形式. 【变式3】（2025九年级上·全国·专题练习）二次函数的一般形式是________． 【答案】 【分析】直接利用乘法运算法则化成一般式． 【详解】y＝−4（1＋2x）（x−3）＝−8x2＋20x＋12， 故答案为y＝−8x2＋20x＋12． 题型04 二次函数的各项系数 【典例1】（26-27九年级上·全国·课后作业）二次函数的二次项系数是_______，一次项系数是_______，常数项是_______． 【答案】 1 2 【分析】题干给出的是二次函数的一般形式，根据一般式中各系数的定义即可确定对应系数．即二次函数的一般形式为（），其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项． 【详解】解：∵二次函数， ∴二次项系数是，一次项系数是，常数项是． 【变式1】（26-27九年级上·广东东莞·阶段检测）在二次函数中，二次项系数______________，一次项系数______________，常数项______________． 【答案】 【分析】根据二次函数的一般形式（为常数，），对比给定函数即可得到对应系数． 【详解】解：二次函数，与一般形式对比可得 二次项系数， 一次项系数， 常数项． 【变式2】（26-27九年级上·全国·单元复习）二次函数的二次项系数是________，一次项系数是________，常数项是________． 【答案】 3 0 【分析】将给定二次函数整理为标准一般形式，对应即可得到各系数． 【详解】解： 将原二次函数整理为一般形式：， 对比二次函数一般式， 可得二次项系数为，一次项系数为3，常数项为0． 【变式3】（26-27九年级上·全国·课后作业）二次函数的二次项系数是_________，一次项系数是_____，常数项是_______． 【答案】 0 【分析】将原式整理为二次函数的一般形式，再对应找到各系数即可． 【详解】解：将原式按的降幂排列，整理为二次函数的一般形式：， ∵二次函数一般式中，为二次项系数，为一次项系数，为常数项， ∴可得二次项系数是，一次项系数是，常数项是． 题型05 二次函数图象上点的坐标特征 【典例1】（25-26九年级上·重庆·阶段练习）已知二次函数，当时，y的值为（   ） A． B． C．3 D．11 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的值，将代入二次函数解析式计算即可． 【详解】解：将代入函数中： ， 故选：A． 【变式1】（24-25九年级上·河南信阳·阶段练习）已知是关于x的二次函数，其图象经过，则a的值为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，待定系数法求二次函数解析式，根据定义得出，然后将点代入解析式，即可求解． 【详解】解：依题意，，， 解得：， 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·安徽·期末）若二次函数的图象经过原点，则的值为（    ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，注意二次函数二次项系数不为． 把代入求解，注意的取值范围． 【详解】解：把代入得， 解得或， ， ， 故选：B． 【变式3】（25-26九年级上·浙江金华·阶段练习）已知二次函数，当 时，图象经过原点． 【答案】1 【分析】本题主要考查二次函数的性质，解题的关键是熟悉待定系数法． 根据函数过原点，代入求解即可． 【详解】由题知函数过原点， ，解得． 故答案为：1． 题型06 建立二次函数模型，列函数表达式（实际应用） 【典例1】（25-26九年级上·江苏徐州·期末）某化肥厂10月份生产某种化肥，如果11、12月的月平均增长率为x，则12月份化肥的产量与x之间的函数关系式为______． 【答案】 【分析】本题主要考查列函数解析式，根据月平均增长率问题，11月份产量为，12月份产量为，从而得到函数关系式． 【详解】解：依题意，月平均增长率为，则11月份化肥产量为，12月份化肥产量为， 故， 故答案为：． 【变式1】（25-26九年级下·辽宁锦州·期中）荔枝是夏季的时令水果，储存不太方便．某水果店将进价为元/千克的荔枝，以元/千克售出时，每天能售出千克．市场调研表明：当售价每降低元/千克时，平均每天能多售出千克．设降价元． (1)设销售利润为元，请写出关于的函数关系式； (2)该水果店想要荔枝的销售利润平均每天达到元，且让顾客得到实惠，应将价格定为每千克多少元？ 【答案】(1) (2)应将价格定为元/千克 【分析】（1）利用利润＝（售价-成本）×销售量可得出关于的函数关系式； （2）令，求出的值，再根据题意对的值进行取舍即可． 【详解】（1）解：根据题意可知降价后平均每天可以销售荔枝千克， ， 整理得； （2）解：令，代入函数表达式得：， 解得：， 要让顾客得到实惠，售价应尽可能低， ∴， ∴此时荔枝定价为（元/千克）． 答：应将价格定为元/千克． 【变式2】（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）某粮店经销一种玉米胚芽油，进价为每桶30元．当售价为每桶40元时，每天可售出60桶；市场调查表明，售价每上涨1元，每天的销售量就减少2桶． (1)设每桶售价上涨元，用含的代数式表示该粮店每天的销售利润（元）； (2)若粮店要求每天的销售利润达到750元，且要尽量让利给顾客，求每桶售价应定为多少元． 【答案】(1) (2)45元 【分析】（1）根据每天的销售利润每桶的利润销售量列式求解即可； （2）根据（1）所求建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ． （2）解：由题意得，， 整理得， 解得或． 当时，售价为45元；当时，售价为55元． ∵要尽量让利给顾客， ∴售价应定为每桶45元 【变式3】（25-26九年级上·广东惠州·期中）某校数学兴趣小组到水果店了解一种苹果的销售情况，并利用所学的数学知识对水果店销售提出合理化建议．经市场调研发现： 材料一：当每千克苹果的售价为元时，每天能销售千克． 材料二：当每千克苹果的售价每降低元，每天的销售量就会增加千克． 任务一：建立函数模型 （1）设每千克苹果降价元，每天销售这种苹果的收入为元，求与的函数关系式； 任务二：设计销售方案 （2）当每千克苹果降价多少元时，该水果店每天销售这种苹果的收入最多？最多为多少元？ （3）若该水果店老板月日销售这种苹果的收入为元，请求出的值． 【答案】（1）；（2）当每千克苹果降价元时，每天的收入最多，最多为元；（3）当的值为或时，老板的收入为元． 【分析】本题考查了二次函数的实际应用及一元二次方程的应用，根据题意列出函数解析式，同时考查利用二次函数的性质求最大利润，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题意，销售数量可表示为，利用收入等于每千克的售价乘以销售数量，列出函数关系式即可； （2）根据二次函数的性质即可求解最大值； （3）令，根据二次函数解析式建立方程求解即可． 【详解】解：（1）设每千克苹果降价元，每天销售这种苹果的收入为元， 由题意得． （2）， ∵， ∴当时，有最大值为， ∴当每千克苹果降价元时，该水果店每天的收入最多，最多为元． （3）由题意可得：y， 整理得， 解得，， 答：当的值为或时，老板的收入为元． 题型07 建立二次函数模型，列函数表达式（几何图形） 【典例1】（26-27九年级上·广东东莞·阶段检测）如图，矩形的长是、宽是，如果将长和宽都增加，矩形面积变成． (1)求与之间的函数解析式（要求化为一般式）； (2)当长和宽都增加多少时，矩形的面积变成？ 【答案】(1)； (2)当长和宽都增加时，矩形的面积变成． 【分析】，根据题意，直接运用矩形面积，即可得出与的函数表达式； 把代入中求出的表达式，解方程得出边长增加的长度． 【详解】（1）解：由题意得， ∴与之间的函数解析式为； （2）解：令，则， 解得，（负值舍去）， 答：当长和宽都增加时，矩形的面积变成． 【变式1】（26-27九年级上·陕西延安·阶段检测）如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚．搭建要求：一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为，墙的厚度忽略不计），其他的边用总长的不锈钢栅栏（栅栏占地面积忽略不计）围成，左右两侧各开一个的出口（出口不用栅栏）后，不锈钢栅栏的形状如“山”字形．设车棚的宽为，矩形车棚的面积为． (1)求与之间的函数关系式； (2)当车棚的宽为时，求矩形车棚的面积． 【答案】(1) (2)矩形车棚的面积为 【分析】（1）根据矩形的面积公式求解； （2）把代入（1）中关系式可得结论． 【详解】（1）解：由题意可知，车棚的宽，则垂直于墙的三条边总长为， 因为栅栏总长为，且左右两侧各有一个的出口， 所以平行于墙的边的长度为：， 根据矩形面积公式，得y与x的函数关系式为, 因为墙长最多， 所以 解得， 所以，与之间的函数关系式为 （2）解：把代入解析式： ． 所以，矩形车棚的面积为． 【变式2】（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙的空地上修建一个矩形绿化带，绿化带一边靠墙（的长不超过墙长），另三边用总长为的栅栏围住，设边长为，绿化带的面积为．如图，若墙长为． (1)求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； (2)当绿化带的面积为时，求x的值； (3)求绿化带的面积最大时边长． 【答案】(1) (2) (3)绿化带的面积最大时，边长为 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，解一元二次方程，掌握根据题意列出函数解析式是解题的关键． （1）根据意义可知，根据矩形面积公式，即可列出函数解析式，根据的长不超过墙长，即可得到自变量x的取值范围； （2）将代入（1）中的解析式，解方程，即可求解； （3）把（1）中的函数解析式用配方法化简，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：根据意义可知， 则． （2）解：令，得， 化简得， 解得，（不合题意舍去）， 当绿化带的面积为时，边长为． （3）解：， ， 函数开口向下， 又， 当时，面积y有最大值． 答：绿化带的面积最大时，边长为． 【变式3】（2026·吉林·模拟预测）如图，在矩形中，，．点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿折线向终点C匀速运动，过点P作于点E，将绕点E顺时针旋转得到，连接．设点P运动的时间为x秒，与矩形重叠部分的图形面积为y． (1)当点F与点D重合时，________； (2)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围． 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）证明四边形为矩形，可得，即可求解； （2）分三种情况讨论，利用三角形面积公式列式即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：当点F与点D重合时，点P在上，如图， 根据题意得：，， ∴， ∵四边形为矩形，， ∴，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图①，当点在上时，此时， ； 如图②，当点在上且点未到点时，此时， ； 当点在上且点超过点时，如答图③，此时， 设交于点，则， ． 综上，． 一、单选题 1．（25-26九年级上·安徽六安·期末）下列表达式中，为自变量，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如（是常数，）的函数叫做二次函数，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、是二次函数，符合题意； B、中未知数的最高次数不是2，不是二次函数，不符合题意； C、中等式右边不是整式，不是二次函数，不符合题意； D、当时，不是二次函数，不符合题意； 故选：A． 2．（26-27九年级·全国·暑假作业）函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，依据二次函数一般式（）中各系数的定义来确定对应值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的一般形式为（，为二次项系数，为一次项系数，为常数项）， ∴函数解析式中二次项系数是，一次项系数是，常数项是， 故选：． 3．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）若函数是关于的二次函数，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义求解，二次函数要求的最高次数为，且二次项系数不为，据此列出关系式即可求出的值． 【详解】解：函数是关于的二次函数， ，且， 解方程，即， 解得或， 又∵， ， ． 4．（25-26八年级下·江苏南通·阶段检测）已知是二次函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数二次项系数不为的要求，列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次函数的二次项系数不能为，是二次函数， ∴， 解得． 二、填空题 5．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）二次函数的二次项系数与一次项系数的和为_____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫作二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 先把二次函数化成一般式，然后再确定二次项系数和一次项系数，然后再求和即可． 【详解】解：∵二次函数中，二次项系数为2，一次项系数为， ∴二次项系数与一次项系数的和是：． 故答案为：． 6．（25-26九年级下·全国·暑假作业）函数是关于的二次函数，则______． 【答案】 【分析】根据二次函数的定义，二次函数需满足自变量的最高次数为，且二次项系数不为，据此列出关系式解答即可求解． 【详解】解：∵函数是关于的二次函数， ∴且， 解得． 7．（25-26九年级下·全国·单元复习）建筑队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作为小门，若设米，则关于的函数关系式为________________________． 【答案】 【分析】本题主要考查了列函数关系式，根据题意先求出平行于墙的一边长为米，再根据长方形面积计算公式求解即可． 【详解】解：由题意得，平行于墙的一边长为米， ∴， 故答案为：． 三、解答题 8．（26-27九年级·上海·暑假作业）已知二次函数，当时，求函数的值． 【答案】 【详解】解：将代入，得． 9．（2025九年级上·全国·专题练习）已知是关于x的二次函数． (1)求满足条件的k的值． (2)为何值时，该二次函数有最大值？最大值是多少？ 【答案】(1)2或 (2)当时，该二次函数有最大值，最大值为 【分析】本题主要考查了二次函数的定义的应用，二次函数的性质，二次函数的最值，关键是根据定义求出k的值． （1）根据二次函数的定义求出k的值即可解决问题； （2）运用当二次项系数小于0时，抛物线开口向下，图象有最高点，据此解答即可． 【详解】（1）解：是关于x的二次函数， ， 解得：， 满足条件的k的值为2或． （2）解：当二次函数有最大值时，其图象的开口向下， ，即， 由（1）得， ， 该二次函数为， 二次函数最大值为， 当时，该二次函数有最大值，最大值为． 10．（25-26九年级下·全国·课后作业）已知直角三角形两条直角边的长的和为． (1)当它的一条直角边的长为时，求这个直角三角形的面积； (2)设这个直角三角形的一条直角边的长为，面积为，求与之间的函数关系式． 【答案】(1)(或)． (2) 【分析】（1）一直角边的长为，则另一直角边长为即可求出面积； （2）一直角边的长为，则另一直角边长为，即可表示出面积． 【详解】（1）解：已知一直角边的长为， 则另一直角边长为， 所以这个直角三角形的面积 （2）解：由题意，得另一条直角边的长为， 则． 一、单选题 1．（2026九年级上·全国·专题练习）下列函数中，是的反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A选项：这是的形式（），是正比例函数，不是反比例函数． B选项：这是的形式（），符合反比例函数定义． C选项：化简：这不是的形式，不是反比例函数． D选项：化简：这是二次函数，不是反比例函数． 2．（2025九年级上·全国·专题练习）已知二次函数，则其二次项系数a，一次项系数b和常数项c分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的定义．将二次函数整理成一般形式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，，． 故选：D 3．（25-26九年级上·吉林松原·期中）若是关于的二次函数，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的定义，二次项系数不能为零，因此令系数即可求解． 【详解】∵函数是关于的二次函数， ∴二次项系数， ∴． 故选：D． 4．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）若是二次函数，且开口向上，则的值为（   ） A．3 B．-1 C． D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的定义和解一元二次方程，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 首先根据二次函数的定义，得到x的指数必须为2，且开口向上时二次项系数大于0，进而得到m的值即可． 【详解】解：∵是二次函数， ∴，即， 解得：或， ∵二次函数开口向上， ∴， ∴， ∴m的值为， 故选：B． 二、填空题 5．（25-26九年级上·安徽池州·期末）___________时，是关于的二次函数． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，注意二次项系数不能为0是解题的关键．根据二次函数的定义，可得，并且注意二次项系数不能为0，即，即可解答． 【详解】解：由题意得， 解得， ， 故答案为：． 6．（24-25九年级上·北京·期末）若是关于的二次函数，则的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的定义，形如（，，是常数，且）的函数叫做二次函数． 【详解】解：根据题意可知，且，所以． 故答案为： 7．（2026·上海长宁·一模）在下列给定的关于的函数中：①，②，③，④，一定是二次函数的是___________．（填写序号） 【答案】 ① 【分析】本题考查二次函数的判断，根据二次函数的定义，形如（）的函数是二次函数，需满足整式且的最高次数为2，据此解答即可． 【详解】解：①，其中，是二次函数； ②，可能为0，不一定是二次函数； ③，为一次函数，不是二次函数； ④，是分式函数，不是二次函数． 故答案为：①． 8．（25-26九年级上·贵州遵义·阶段检测）用一根长为的铁丝，把它折成一个长方形框．设长方形的宽为，面积为，则y关于x的函数关系式是________．（化成一般式，不需写出取值范围） 【答案】 【分析】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式．根据长方形的宽和周长表示出长方形的长为，再根据长方形的面积公式可得答案． 【详解】解：由题意得：长方形的长为， ∴， 故答案为：． 9．（25-26九年级上·重庆铜梁·期中）二次函数与x轴的一个交点是，则的值是________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，代数式求值． 将交点坐标代入函数解析式，得到关于和的方程，进而求出的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：二次函数与轴的一个交点是 ∴将，代入解析式，得 即 ∴ 则 故答案为：． 三、解答题 10．（24-25九年级上·广东中山·阶段检测）下列函数中，哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，请指出各对应项的系数及常数项． ①；  ②；  ③；  ④；  ⑤． 【答案】 解：①②③为二次函数， 其中①的二次项系数为，一次项系数为0，常数项为1． ②的二次项系数为6，一次项系数为2，常数项为0； ③，二次项系数为1，一次项系数为，常数项为2． ④、⑤不是二次函数． 【分析】本题主要考查二次函数的相关定义，掌握二次函数的定义是解题的关键． 由二次函数的定义可得①②③是二次函数，然后分别写成各二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项即可． 【详解】略 11．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知长方体的高是，底面是边长为的正方形，它的表面积是，体积是． (1)分别写出S与x，V与x之间的关系式； (2)对于（1）中的两个函数，S和V分别是关于x的二次函数吗？ 【答案】(1) (2)S和V都是关于x的二次函数 【分析】（1）直接利用长方体的表面积和体积公式分别求解即可； （2）利用二次函数的定义得出答案． 【详解】（1）解：由题意，得 ， ； （2）解：根据二次函数的定义，可知 是S关于x的二次函数， 是V关于x的二次函数， 即S和V都是关于x的二次函数． 12．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知函数（m为常数）． (1)当m满足什么条件时，该函数是二次函数？ (2)当m满足什么条件时，该函数是一次函数？ (3)该函数可能是正比例函数吗？ 【答案】(1) (2) (3)该函数不可能是正比例函数 【分析】（1）根据二次函数的定义，二次项的系数不能为0，列出不等式，求解得出m的取值范围即可； （2）根据一次函数的定义，一次项的系数不能为零，且二次项的系数应该为0，据此求解得出m的值即可； （3）根据正比例函数的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：∵函数是二次函数， ∴， 解得， 故当时，该函数是二次函数． （2）解：∵函数是一次函数， ∴且， 解得， 故当时，该函数是一次函数． （3）解：该函数的常数项是，不可能为0， ∴该函数不可能是正比例函数． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题6.1二次函数的概念 内容总览 1教学目标、教学重难点 知识点01二次函数的概念 2.知识清单 知识点02二次函数的一般形式 题型01二次函数的识别 题型02根据二次函数的定义求参数 二次函数 题型03二次函数的一般形式 题型04二次函数的各项系数 3.题型精讲 题型05二次函数图象上点的坐标特征 题型06建立二次函数模型，列函数解析式（实际应用） 题型07建立二次函数模型，列函数解析式（几何图形） 基础自测 4.强化训练 能力提升 教学目标 教学重难点 1. 理解二次函数的意义与概念，掌握其一般形式 教学目标 2.会表示简单变量间的二次函数关系，能确定自变量取值范围 3. 经历建立二次函数关系的过程，体会数学与生活的联系，培养合作意识。 1.重点 理解二次函数的概念，体会其在实际问题中的意义。 教学重难点 2.难点 能根据实际问题情境构建二次函数关系，重视二次函数解析式中α≠0这一条件。 知识清单 119 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知识点01二次函数的概念 二次函数的概念 1.形如y=ax2+bX+C(其中a,b,C是常数，a≠0)的函数叫做二次函数，称a为二次项系数，b为一 次项系数，c为常数项 注意：二次项系数a≠0，而b,C可以为零.二次函数的自变量的取值范围是全体实数. 【即学即练】1.(2026九年级上全国专题练习)下列函数中，是二次函数的是() A.y=x+1 B.y=(x+12-x2 C.y=2x2-3x+1 D.y=3x-2 2.(25-26八年级下浙江宁波期中)若函数y=(m-2)x2+x是关于x的二次函数，则m为（) A.2 B.+2 C.-2 D.0 3.(2026九年级上全国专题练习)若y=(m-4)x+3x-1是关于x的二次函数，则m的取值范 围是 知识点02二次函数的一般形式 一般式：y=ar+br+c(a,b,c为常数，a≠0)； 【即学即练】4.(25-26九年级上山东滨州期中)把二次函数y=(x-1)-3(x-2)化为一般形式，一次 项系数为() A.-2 B.3 C.-5 D.-7 5.(2026九年级上全国专题练习)将二次函数y=(x-(2x+3)化为一般形式为， 其中二 次项系数为 一，一次项系数为」 常数项为 6.(25-26九年级上河南信阳期中)二次函数y=(x+2)1-)化简后，其一次项系数是 题型精讲 题型01二次函数的识别 【典例1】(26-27九年级上安徽合肥·阶段检测)下列函数是二次函数的是() 1 A.y=1-x2 B.y=ax2+bx+c C.y= D.y=x2-x(x+1) 【变式1】(26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测)下面的函数是二次函数的是() 219 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2 A.y=3x+1 B.y=x2+2x C.y=x(x-1)-x2 D.y=3 【变式2】(26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测)下列函数中，y是关于x的二次函数的是() A.y=ax2+bx+c B.y=x+1 C.y=x2+2x-1 D.y=3x 【变式3】(26-27九年级上：上海静安·阶段检测)下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是() A.y=ax'+bx+c B.y=x2+2 C.y=2x2+3 D.y=x-1 题型02 根据二次函数的定义求参数 【典例1】(26-27九年级上湖北省直辖县级单位阶段检测)若关于x的函数y=2x+x-3是二次函数， 则m的值为 【变式1】(26-27九年级上江西赣州阶段检测)若函数y=(m-3)x-7+1是二次函数，则m= 【变式2】(26-27九年级上·四川德阳阶段检测)若y=(m-2)x+是关于x的二次函数，则m= 【变式3】(26-27九年级上·上海阶段检测)己知y=-(m-3)x(m为常数)是二次函数，那么m的值 是 题型03 二次函数的一般形式 【典例1】(26-27九年级全国暑假作业)将二次函数y=x(x-)+3x化为一般形式后，正确的是() A.y=x2-x+3 B.y=x2-2x+3 C.y=x2-2x D.y=x2+2x 【变式1】(26-27九年级全国暑假作业)把二次函数y=(c-2-3x(x+)化为一般形式，一次项系数为 () A.-2 B.-3 C.-5 D.-7 【变式2】(24-25九年级上全国课后作业)把二次函数y=-4(1+2x)x-3)化为一般形式为： 【变式3】(2025九年级上全国专题练习)二次函数y=-4(1+2xx-3)的一般形式y=ax2+bx+c是 题型04二次函数的各项系数 319 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【典例1】(26-27九年级上·全国课后作业)二次函数y=x+2x-1的二次项系数是 一次项系数 是 常数项是 【变式1】(26-27九年级上广东东莞阶段检测)在二次函数y=3x2-2x-1中，二次项系数a= 一次项系数b= 。 常数项c= 1 【变式2】(26-27九年级上·全国单元复习)二次函数y=3x 2x的二次项系数是 一次项系数 是 一，常数项是 【变式】（26-27九年级上全国误后作业)三次函数y=x-5的二次项系数是 一次项 系数是 ,常数项是 题型05 二次函数图象上点的坐标特征 【典例1】(25-26九年级上重庆阶段练习)已知二次函数y=2-3x+1,当x=2时，y的值为() A.-1 B.-3 C.3 D.11 【变式1】(24-25九年级上：河南信阳阶段练习)已知y=(a-2)x2-2x+a是关于x的二次函数，其图象 经过(0,4)，则a的值为() A.a=±2 B.a=2 C.a=-2 D.无法确定 【变式2】(24-25九年级上·安徽期末)若二次函数y=mx2+x+m2-2m的图象经过原点，则m的值为 () A.0 B.2 C.2或0 D.无法确定 【变式3】 (25-26九年级上浙江金华阶段练习)己知二次函数y=x2-mx+m-1,当m=时，图象 经过原点 题型06 建立二次函数模型，列函数表达式（实际应用) 【典例1】(25-26九年级上江苏徐州期末)某化肥厂10月份生产某种化肥200t,如果11、12月的月平 均增长率为x,则12月份化肥的产量y(t)与x之间的函数关系式为」 【变式1】(25-26九年级下辽宁锦州期中)荔枝是夏季的时令水果，储存不太方便.某水果店将进价为 18元/千克的荔枝，以28元/千克售出时，每天能售出40千克.市场调研表明：当售价每降低1元/千克时， 平均每天能多售出10千克.设降价x元. (1)设销售利润为少元，请写出y关于x的函数关系式： 419 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ (2)该水果店想要荔枝的销售利润平均每天达到480元，且让顾客得到实惠，应将价格定为每千克多少元？ 【变式2】(26-27九年级上·吉林长春·阶段检测)某粮店经销一种玉米胚芽油，进价为每桶30元.当售价 为每桶40元时，每天可售出60桶；市场调查表明，售价每上涨1元，每天的销售量就减少2桶. (I)设每桶售价上涨x元，用含x的代数式表示该粮店每天的销售利润W(元)： (2)若粮店要求每天的销售利润达到750元，且要尽量让利给顾客，求每桶售价应定为多少元。 【变式3】(25-26九年级上广东惠州期中)某校数学兴趣小组到水果店了解一种苹果的销售情况，并利 用所学的数学知识对水果店销售提出合理化建议.经市场调研发现： 材料一：当每千克苹果的售价为10元时，每天能销售40千克、 材料二：当每千克苹果的售价每降低1元，每天的销售量就会增加20千克， 任务一：建立函数模型 (1)设每千克苹果降价x元，每天销售这种苹果的收入为y元，求y与x的函数关系式； 任务二：设计销售方案 (2)当每千克苹果降价多少元时，该水果店每天销售这种苹果的收入最多？最多为多少元？ (3)若该水果店老板11月1日销售这种苹果的收入为640元，请求出x的值， 题型07建立二次函数模型，列函数表达式（几何图形） 【典例1】(26-27九年级上广东东莞·阶段检测)如图，矩形的长是4cm、宽是3cm,如果将长和宽都增 加xcm,矩形面积变成心m2 4cm 3cm cm个； (1)求y与x之间的函数解析式（要求化为一般式）： (2)当长和宽都增加多少时，矩形的面积变成30cm2? 【变式1】(26-27九年级上陕西延安·阶段检测)如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车 车棚.搭建要求：一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为42m,墙的厚度忽略不计），其他的边用总长 3m的不锈钢栅栏（栅栏占地面积忽略不计）围成，左右两侧各开一个lm的出口（出口不用栅栏）后， 不锈钢栅栏的形状如“山”字形.设车棚的宽EF(EF⊥AD)为xm,矩形车棚ABCD的面积为m2. 5/9 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 42m D墙 Im E 1m B (I)求y与x之间的函数关系式： (2)当车棚的宽EF为l5m时，求矩形车棚ABCD的面积. 【变式2】(25-26九年级上湖北襄阳·期末)为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙的空地上 修建一个矩形绿化带ABCD,绿化带一边AD靠墙(AD的长不超过墙长)，另三边用总长为4Om的栅栏 围住，设BC边长为xm,绿化带的面积为ym2.如图，若墙长为20m. 20m (I)求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围： (2)当绿化带的面积为192m2时，求x的值： (3)求绿化带的面积最大时BC边长. 【变式3】(2026吉林模拟预测)如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=4.点P从点A出发以每秒1 个单位长度的速度沿折线A→B→C向终点C匀速运动，过点P作PE⊥AD于点E,将PE绕点E顺时针 旋转9O°得到FE,连接PF,设点P运动的时间为x秒，△PEF与矩形ABCD重叠部分的图形面积为y. B B AE F D 备用图 (I)当点F与点D重合时，x= (2)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围. 6/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 强化训练 基础自测 一、单选题 1.(25-26九年级上·安徽六安·期末)下列表达式中，x为自变量，是二次函数的是（) 1 A.y=2x2-1B.y=4-x3 C.y= D.y=ax+bx+c 2.(26-27九年级全国暑假作业)函数解析式y=x+2x-1的二次项系数、一次项系数和常数项分别是 () A.1,2,1B.1,2,-1 C.0,2,-1 D.0,-2,-1 3.(25-26八年级下浙江宁波期中)若函数y=(m-2)x-2+x是关于x的二次函数，则m为() A.2 B.±2 C.-2 D.0 4.(25-26八年级下江苏南通阶段检测)己知y=(m+1)x2+2x-3是二次函数，则m的取值范围是 () A.m>-1 B.m<-1 C.m≠1 D.m≠-1 二、填空题 5.(25-26九年级上江苏苏州阶段检测)二次函数y=2xx-3)的二次项系数与一次项系数的和为 6.(25-26九年级下全国暑假作业)函数y=(m+2)x2"是关于x的二次函数，则m= 7.(25-26九年级下·全国单元复习)建筑队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方 形仓库，仓库总面积为'平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙 的一边留下一个1米宽的缺口作为小门，若设AB=x米，则y关于x的函数关系式为 719 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 三、解答题 8.(26-27九年级·上海暑假作业)已知二次函数y=2x2-5x+1,当x=3时，求函数y的值 9.(2025九年级上全国专题练习)己知y=(k+1)x2+k是关于x的二次函数. (1)求满足条件的k的值. (2)k为何值时，该二次函数有最大值？最大值是多少？ 10.(25-26九年级下·全国课后作业)已知直角三角形两条直角边的长的和为l0cm. (1)当它的一条直角边的长为4.5cm时，求这个直角三角形的面积： (2)设这个直角三角形的一条直角边的长为xcm,面积为Scm,求S与x之间的函数关系式. 能力提升 一、单选题 1.(2026九年级上·全国专题练习)下列函数中，y是x的反比例函数的是() A.y=-x c.y=1-1 D.y=x2-2x+l 2.(2025九年级上·全国专题练习)已知二次函数y=-x-3-6x2,则其二次项系数a,一次项系数b和常 数项c分别是() A,a=-1,b=-3,c=6 B.a=-1,b=3,c=6 C.a=-6,b=-1,c=3 D.a=6,b=-1,c=-3 3.(2526九年级上吉林松原期中)若y=(m-3)x+4x-2是关于x的二次函数，则m的取值范围是 () A.m≠1 B.m>1 C.m<3 D.m≠3 4.(2526九年级上广东深圳阶段检测)若y=(2-m)x-"是二次函数，且开口向上，则m的值为() A.3 B.-1 C.±3 D.4 二、填空题 5.(25-26九年级上·安徽池州期末)a=】 时，y=(a-)xH-x+1是关于x的二次函数. 6.(24-25九年级上北京期末)若y=(m-2)x+3x+1是关于x的二次函数，则m的值为 819 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.(2026上海长宁一模)在下列给定的y关于x的函数中：①y=πx2-1,②y=a2+bx+c,③ 1 y=（5-1x+1,④y=子+，一定是=次函数的是 (填写序号) 8.(25-26九年级上贵州遵义阶段检测)用一根长为100cm的铁丝，把它折成一个长方形框.设长方形 的宽为xcm,面积为cm,则y关于x的函数关系式是 (化成一般式，不需写出取值范围) 9.(25-26九年级上重庆铜梁期中)二次函数y=ax2+br+2与x轴的一个交点是(，0)，则2023-a-b的 值是 三、解答题 10.(24-25九年级上广东中山阶段检测)下列函数中，哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，请 指出各对应项的系数及常数项， ①y=1-3x2:②y=6x2+2x:③y=x(x+5)+2:④y=3x2+2x2;⑤y=x+ 11.(26-27九年级上全国课后作业)已知长方体的高是6cm，,底面是边长为cm的正方形，它的表面积 是Scm2,体积是cm3. (1)分别写出S与x,V与x之间的关系式： (2)对于(1)中的两个函数，S和V分别是关于x的二次函数吗？ 12.(26-27九年级上全国课后作业)已知函数y=(m-2)r+mx-3(m为常数). (1)当满足什么条件时，该函数是二次函数？ (2)当m满足什么条件时，该函数是一次函数？ (3)该函数可能是正比例函数吗？ 9/9