第七章 概率（单元自测）高一数学北师大版必修第一册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高一上学期数学单元自测 第七章 概率 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．袋中装有质地、大小和形状完全相同的个球，其中有个红色球，个黄色球，个白色球．从袋中不放回地依次随机摸出个球，则下列判断正确的是（   ） A．“摸出的个球颜色不都相同”是必然事件 B．“摸出的个球颜色都不相同”是不可能事件 C．“恰好摸出个红色球”与“恰好摸出个红色球”是对立事件 D．“恰好摸出个红色球”与“恰好摸出个黄色球”是互斥事件 2．青城山是著名的旅游胜地．天气预报中秋节连续三天，每天下雨的概率为0.5，现用随机模拟的方法估计三天中至少有两天下雨的概率：先由计算器产生0到9之间的整数值的随机数，指定0，1，2，3，4表示当天下雨，5，6，7，8，9表示当天不下雨，每3个随机数为一组，代表三天是否下雨的结果，经随机模拟产生了10组随机数：926  446  072  021  392  077  663  817  325  615 据此估计三天中至少有两天下雨的概率约为（     ） A．0.45 B．0.5 C．0.55 D．0.6 3．从到的正整数中，任取一个数，得到的数是的倍数的概率是（    ） A． B． C． D． 4．某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至多一次中靶”互斥的是（   ） A．至少一次中靶 B．两次都中靶 C．只有一次中靶 D．两次都没有中靶 5．已知事件，相互独立，，，则（    ） A． B． C． D． 6．将一颗质地均匀的正四面体骰子（各面分别标有数字）连续抛掷两次，观察并记录，得到朝下底面上的数字分别是，则的概率为（     ） A． B． C． D． 7．袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半，甲、乙、丙是三个空盒，每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（   ） A．甲盒中黑球与丙盒中黑球一样多 B．甲盒中红球与丙盒中红球一样多 C．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 8．在学校运动会开幕式上，某一同学随机摆放了一段用于编织的彩带，其在地面的影子如图所示（看不出各部分的上下层次）．现在将彩带的两头向两端拉紧，这段彩带会打成一个结的概率是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列说法错误的有（　　） A．设一批产品的次品率为，从中任取100件，则必有10件次品 B．明天降雨概率为，则明天可能不下雨 C．连续投10次骰子，则连续投出10个1是不可能事件 D．某市气象台预报“明天本市降水概率为”，指的是该市气象台专家中，有认为明天会降水，认为不会降水. 10．从装有个红球和个白球的盒子中任取两个球，下列情况是互斥且对立的两个事件的是（    ） A．至少一个红球；都是白球 B．恰有一个红球；恰有一个白球 C．至少有一个红球；至多有一个白球 D．至多一个红球；都是红球 11．设，为两个随机事件，则下列说法正确的是（     ） A．若，，，则，为相互独立事件 B．若，，，则，为相互独立事件 C．若，，，则，为相互独立事件 D．若，为互斥事件，且，，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．一个不透明的袋子中装有除颜色外均相同的6个红球，2个黄球，若干个黑球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量的重复试验后，发现摸到黑球的频率稳定在，则袋中约有黑球_____个. 13．在如图所示的电路图中，开关闭合与断开的概率分别是和，、闭合与断开的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为____________. 14．若对任意的，都有，则称是完美集合．从集合的所有非空子集中任选1个，该集合不是完美集合的概率是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分） 不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的3个黑球、2个白球，其中黑球编号为1，2，3，白球编号为4，5．现从盒子里随机取出2个小球． (1)记事件“有放回地依次取出时，取到两个白球”，求事件发生的概率． (2)记事件“不放回地依次取出时，取出小球编号之和为”，求事件发生的概率； 16．（15分） 为庆祝中秋佳节，某校举办校园诗词大赛，参赛的学生成绩均在内（单位：分），现随机抽取名学生的成绩，整理后按照，，，，分组，并绘制如图所示的频率分布直方图． (1)求的值，并估计这名学生成绩的中位数； (2)现从样本成绩在与两个分数段内，按分层随机抽样的方法选取人，从这人中再随机选取人．求这人中恰有人的成绩落在内的概率． 17．（15分） 某中学高一年级举行了数学素养知识竞赛，竞赛分为初赛和决赛两个阶段，为了解初赛情况，现从高一年级随机抽取了名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照分成组，制成了频率分布直方图，如图. (1)采用按比例分配的分层随机抽样的方式从和两组中随机抽取了名学生，现从已抽取的名学生中随机抽取名，求至少有名学生的成绩在的概率. (2)已知本次竞赛最终由甲、乙、丙三人进行决赛，决赛规则如下：比赛前抽签决定首场比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场的比赛（比赛没有平局），先赢两场者获胜，比赛随即结束.已知每场比赛甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，每场比赛相互独立.请通过计算说明如果甲、乙参加首场比赛，甲获胜的概率. 18．（17分） 为激发学生的创新思维，学校举办了校园科技节活动，该活动由三个游戏组成，每个游戏各挑战一次且结果互不影响．连续通过两个游戏可以获得一枚科技徽章，连续通过三个游戏可以获得两枚科技徽章，闯关规则如下：箱子里装有大小质地完全相同的红球3个，白球2个，其中红球编号为1，2，3，白球编号为4，5． 游戏一：从箱子里随机地取出一个球，取出白球则获胜． 游戏二：从箱子里有放回地依次取出两个球，取到两个白球则获胜． 游戏三：从箱子里不放回地依次取出两个球，取出编号之和为则获胜． (1)分别求出游戏一，游戏二的获胜概率； (2)当时，求游戏三的获胜概率； (3)一名同学先玩了游戏一，试问时，接下来选择先玩游戏二还是先玩游戏三获得徽章的概率更大，说明理由． 19．（17分） 某商场开展促销活动，每消费满500元可获得一次抽奖机会.抽奖箱装有3个红球、2个白球、1个蓝球，这些球除颜色外完全相同，抽奖规则如下：一次性随机摸出2个球，若摸出2个红球，可获得一等奖；若摸出1个红球和1个蓝球，可获得二等奖. (1)已知甲在该商场消费了500元，求甲获得一等奖的概率； (2)为加大促销力度，在原规则的基础上，当顾客在该商场消费满1000元时，若顾客两次抽奖均摸出蓝球，则额外获得一个二等奖.已知乙在该商场消费了1000元，记“乙至少获得一个一等奖”为事件A，“乙恰好获得一个二等奖”为事件B. ①求事件A发生的概率； ②判断事件A与B是否相互独立，并说明理由. 试题 第3页（共5页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一上学期数学单元自测 第七章 概率 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．袋中装有质地、大小和形状完全相同的个球，其中有个红色球，个黄色球，个白色球．从袋中不放回地依次随机摸出个球，则下列判断正确的是（   ） A．“摸出的个球颜色不都相同”是必然事件 B．“摸出的个球颜色都不相同”是不可能事件 C．“恰好摸出个红色球”与“恰好摸出个红色球”是对立事件 D．“恰好摸出个红色球”与“恰好摸出个黄色球”是互斥事件 2．青城山是著名的旅游胜地．天气预报中秋节连续三天，每天下雨的概率为0.5，现用随机模拟的方法估计三天中至少有两天下雨的概率：先由计算器产生0到9之间的整数值的随机数，指定0，1，2，3，4表示当天下雨，5，6，7，8，9表示当天不下雨，每3个随机数为一组，代表三天是否下雨的结果，经随机模拟产生了10组随机数：926  446  072  021  392  077  663  817  325  615 据此估计三天中至少有两天下雨的概率约为（     ） A．0.45 B．0.5 C．0.55 D．0.6 3．从到的正整数中，任取一个数，得到的数是的倍数的概率是（    ） A． B． C． D． 4．某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至多一次中靶”互斥的是（   ） A．至少一次中靶 B．两次都中靶 C．只有一次中靶 D．两次都没有中靶 5．已知事件，相互独立，，，则（    ） A． B． C． D． 6．将一颗质地均匀的正四面体骰子（各面分别标有数字）连续抛掷两次，观察并记录，得到朝下底面上的数字分别是，则的概率为（     ） A． B． C． D． 7．袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半，甲、乙、丙是三个空盒，每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（   ） A．甲盒中黑球与丙盒中黑球一样多 B．甲盒中红球与丙盒中红球一样多 C．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 8．在学校运动会开幕式上，某一同学随机摆放了一段用于编织的彩带，其在地面的影子如图所示（看不出各部分的上下层次）．现在将彩带的两头向两端拉紧，这段彩带会打成一个结的概率是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列说法错误的有（　　） A．设一批产品的次品率为，从中任取100件，则必有10件次品 B．明天降雨概率为，则明天可能不下雨 C．连续投10次骰子，则连续投出10个1是不可能事件 D．某市气象台预报“明天本市降水概率为”，指的是该市气象台专家中，有认为明天会降水，认为不会降水. 10．从装有个红球和个白球的盒子中任取两个球，下列情况是互斥且对立的两个事件的是（    ） A．至少一个红球；都是白球 B．恰有一个红球；恰有一个白球 C．至少有一个红球；至多有一个白球 D．至多一个红球；都是红球 11．设，为两个随机事件，则下列说法正确的是（     ） A．若，，，则，为相互独立事件 B．若，，，则，为相互独立事件 C．若，，，则，为相互独立事件 D．若，为互斥事件，且，，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．一个不透明的袋子中装有除颜色外均相同的6个红球，2个黄球，若干个黑球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量的重复试验后，发现摸到黑球的频率稳定在，则袋中约有黑球_____个. 13．在如图所示的电路图中，开关闭合与断开的概率分别是和，、闭合与断开的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为____________. 14．若对任意的，都有，则称是完美集合．从集合的所有非空子集中任选1个，该集合不是完美集合的概率是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分） 不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的3个黑球、2个白球，其中黑球编号为1，2，3，白球编号为4，5．现从盒子里随机取出2个小球． (1)记事件“有放回地依次取出时，取到两个白球”，求事件发生的概率． (2)记事件“不放回地依次取出时，取出小球编号之和为”，求事件发生的概率； 16．（15分） 为庆祝中秋佳节，某校举办校园诗词大赛，参赛的学生成绩均在内（单位：分），现随机抽取名学生的成绩，整理后按照，，，，分组，并绘制如图所示的频率分布直方图． (1)求的值，并估计这名学生成绩的中位数； (2)现从样本成绩在与两个分数段内，按分层随机抽样的方法选取人，从这人中再随机选取人．求这人中恰有人的成绩落在内的概率． 17．（15分） 某中学高一年级举行了数学素养知识竞赛，竞赛分为初赛和决赛两个阶段，为了解初赛情况，现从高一年级随机抽取了名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照分成组，制成了频率分布直方图，如图. (1)采用按比例分配的分层随机抽样的方式从和两组中随机抽取了名学生，现从已抽取的名学生中随机抽取名，求至少有名学生的成绩在的概率. (2)已知本次竞赛最终由甲、乙、丙三人进行决赛，决赛规则如下：比赛前抽签决定首场比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场的比赛（比赛没有平局），先赢两场者获胜，比赛随即结束.已知每场比赛甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，每场比赛相互独立.请通过计算说明如果甲、乙参加首场比赛，甲获胜的概率. 18．（17分） 为激发学生的创新思维，学校举办了校园科技节活动，该活动由三个游戏组成，每个游戏各挑战一次且结果互不影响．连续通过两个游戏可以获得一枚科技徽章，连续通过三个游戏可以获得两枚科技徽章，闯关规则如下：箱子里装有大小质地完全相同的红球3个，白球2个，其中红球编号为1，2，3，白球编号为4，5． 游戏一：从箱子里随机地取出一个球，取出白球则获胜． 游戏二：从箱子里有放回地依次取出两个球，取到两个白球则获胜． 游戏三：从箱子里不放回地依次取出两个球，取出编号之和为则获胜． (1)分别求出游戏一，游戏二的获胜概率； (2)当时，求游戏三的获胜概率； (3)一名同学先玩了游戏一，试问时，接下来选择先玩游戏二还是先玩游戏三获得徽章的概率更大，说明理由． 19．（17分） 某商场开展促销活动，每消费满500元可获得一次抽奖机会.抽奖箱装有3个红球、2个白球、1个蓝球，这些球除颜色外完全相同，抽奖规则如下：一次性随机摸出2个球，若摸出2个红球，可获得一等奖；若摸出1个红球和1个蓝球，可获得二等奖. (1)已知甲在该商场消费了500元，求甲获得一等奖的概率； (2)为加大促销力度，在原规则的基础上，当顾客在该商场消费满1000元时，若顾客两次抽奖均摸出蓝球，则额外获得一个二等奖.已知乙在该商场消费了1000元，记“乙至少获得一个一等奖”为事件A，“乙恰好获得一个二等奖”为事件B. ①求事件A发生的概率； ②判断事件A与B是否相互独立，并说明理由. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一上学期数学单元自测 第七章 概率 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．袋中装有质地、大小和形状完全相同的个球，其中有个红色球，个黄色球，个白色球．从袋中不放回地依次随机摸出个球，则下列判断正确的是（   ） A．“摸出的个球颜色不都相同”是必然事件 B．“摸出的个球颜色都不相同”是不可能事件 C．“恰好摸出个红色球”与“恰好摸出个红色球”是对立事件 D．“恰好摸出个红色球”与“恰好摸出个黄色球”是互斥事件 【答案】A 【详解】选项A，因为个球中有个红色球，个黄色球，个白色球， 从中不放回的依次随机摸出个球，它们不会颜色都相同，所以A正确； 选项B，摸出的个球颜色都不相同，则这三个球为红白黄，这个事件为随机事件， 可能发生，所以B错误； 选项C，摸出的个球颜色可以没有红色球，所以C错误； 选项D，摸出的个球颜色可以是个红色球和个黄色球和个白色球，此时两件事情同时发生，所以D错误. 2．青城山是著名的旅游胜地．天气预报中秋节连续三天，每天下雨的概率为0.5，现用随机模拟的方法估计三天中至少有两天下雨的概率：先由计算器产生0到9之间的整数值的随机数，指定0，1，2，3，4表示当天下雨，5，6，7，8，9表示当天不下雨，每3个随机数为一组，代表三天是否下雨的结果，经随机模拟产生了10组随机数：926  446  072  021  392  077  663  817  325  615 据此估计三天中至少有两天下雨的概率约为（     ） A．0.45 B．0.5 C．0.55 D．0.6 【答案】B 【详解】由题设，至少有两天下雨的有446、 072、021、392、325，共五组， 所以估计三天中至少有两天下雨的概率约为. 3．从到的正整数中，任取一个数，得到的数是的倍数的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据古典概型的概率公式求解即可. 【详解】从到的正整数中是的倍数有共个数，概率是 4．某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至多一次中靶”互斥的是（   ） A．至少一次中靶 B．两次都中靶 C．只有一次中靶 D．两次都没有中靶 【答案】B 【分析】写出基本事件，根据互斥事件的定义进行判断 【详解】“至多一次中靶”包含“中靶0次和中靶1次”， A选项，“至少一次中靶”包含“中靶1次和中靶2次”， 故“至多一次中靶”与“至少一次中靶”均包含“中靶1次”，不互斥，A错误； B选项，“至多一次中靶”与“两次都中靶”互斥，B正确； C选项，“至多一次中靶”与“只有一次中靶”均包含“中靶1次”，故不互斥，C错误； D选项，“至多一次中靶”与“两次都没有中靶”均包含“中靶0次”，故不互斥，D错误 5．已知事件，相互独立，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，由得. ∵ 事件相互独立， ∴ . 又∵ ，代入得， 整理得，解得或. ∵ 事件概率满足，故舍去， ∴ . 6．将一颗质地均匀的正四面体骰子（各面分别标有数字）连续抛掷两次，观察并记录，得到朝下底面上的数字分别是，则的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定两次抛掷正四面体骰子的全部基本事件总数，再列举满足的有序数对，利用古典概型公式，用有利事件数除以总事件数求出概率． 【详解】连续抛掷两次正四面体骰子，记两次结果为， 则样本空间的基本事件总数， 符合的基本事件为，共个， 根据古典概型概率公式，得． 7．袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半，甲、乙、丙是三个空盒，每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（   ） A．甲盒中黑球与丙盒中黑球一样多 B．甲盒中红球与丙盒中红球一样多 C．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 【答案】C 【分析】由题意知，乙中放红球，则甲中也肯定是放红球，往丙中放球的前提是放入甲中的不是红球，据此可以从乙中的红球个数为切入点，结合红球的数量与黑球数量相等进行分析． 【详解】由题意知，操作分为四种： ①两个红球，甲放红，乙放红； ②两个黑球，甲放黑，丙放黑； ③一红一黑，甲放红，乙放黑； ④一黑一红，甲放黑，丙放红； 设取出两个红球的次数为，两个黑球的次数为，一红一黑，甲放红的次数为， 一黑一红，甲放黑的次数为， 已知红球的数量与黑球数量相等，则，解得， 乙盒中红球数量来自情况①，数量为；丙盒中黑球的数量来自情况②，数量为， 由可得乙盒中红球与丙盒中黑球一样多． 8．在学校运动会开幕式上，某一同学随机摆放了一段用于编织的彩带，其在地面的影子如图所示（看不出各部分的上下层次）．现在将彩带的两头向两端拉紧，这段彩带会打成一个结的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】考虑绳子在三个交叉处的位置关系，每个交叉处有两种可能，共有8种可能，然后再考虑能打结的有几种，即可解题. 【详解】考虑绳子在三个交叉处的位置关系，每个交叉处有两种可能，所以共有8种可能. 先固定中间，有如图所示的四种情形， 这四种情形只有最后一种可以拉成结（可利用头发实验）， 将这四种情形翻转得到另外四种情形， 所以共有两种情形可以拉成结，故所求概率为. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列说法错误的有（　　） A．设一批产品的次品率为，从中任取100件，则必有10件次品 B．明天降雨概率为，则明天可能不下雨 C．连续投10次骰子，则连续投出10个1是不可能事件 D．某市气象台预报“明天本市降水概率为”，指的是该市气象台专家中，有认为明天会降水，认为不会降水. 【答案】ACD 【详解】对于A，次品率为是概率统计概念，表示大量重复试验中次品所占比例的期望，并不保证100件中恰好10件次品，所以A错误，符合题意； 对于B，概率为表示事件发生的可能性很大，但仍有的可能不发生，所以“可能不下雨” ，所以B正确，不符合题意； 对于C，连续投出10个1的概率为 ，是可能发生的，不是不可能事件，所以C错误，符合题意； 对于D ，“降水概率为”表示降水的可能性为，不是指专家意见的比例，所以D错误，符合题意． 10．从装有个红球和个白球的盒子中任取两个球，下列情况是互斥且对立的两个事件的是（    ） A．至少一个红球；都是白球 B．恰有一个红球；恰有一个白球 C．至少有一个红球；至多有一个白球 D．至多一个红球；都是红球 【答案】AD 【分析】依据互斥事件、对立事件的定义，逐一判断各选项中两个事件的关系即可. 【详解】对于A：“至少一个红球”包含一红一白、两个红球，“都是白球”对应两个白球， 二者不能同时发生，且并集为全部样本空间，是互斥且对立事件，故A正确； 对于B：“恰有一个红球”和“恰有一个白球”都对应一红一白，是同一事件，可同时发生，不互斥，故B错误； 对于C：“至少一个红球”包含一红一白、两个红球，“至多一个白球”即白球数小于等于，也包含一红一白、两个红球， 二者是同一事件，可同时发生，不互斥，故C错误； 对于D：“至多一个红球”即红球数小于等于，包含一红一白、两个白球，“都是红球”对应两个红球， 二者不能同时发生，且并集为全部样本空间，是互斥且对立事件，故D正确. 11．设，为两个随机事件，则下列说法正确的是（     ） A．若，，，则，为相互独立事件 B．若，，，则，为相互独立事件 C．若，，，则，为相互独立事件 D．若，为互斥事件，且，，则 【答案】BCD 【详解】对于A，由得，则，即，不符合独立条件，故A错误； 对于B，由，得，符合独立事件定义，故B正确； 对于C，由得，则，符合独立事件定义，故C正确； 对于D，，为互斥事件得，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．一个不透明的袋子中装有除颜色外均相同的6个红球，2个黄球，若干个黑球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量的重复试验后，发现摸到黑球的频率稳定在，则袋中约有黑球_____个. 【答案】2 【详解】设黑球个数为，则，得，故袋中约有黑球个 13．在如图所示的电路图中，开关闭合与断开的概率分别是和，、闭合与断开的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为____________. 【答案】/ 【分析】若灯亮，则开关闭合，开关、至少闭合一个，利用独立事件的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】记事件开关闭合，事件开关闭合，事件开关闭合， 若灯亮，则开关闭合，开关、至少闭合一个， 故所求事件的概率为. 14．若对任意的，都有，则称是完美集合．从集合的所有非空子集中任选1个，该集合不是完美集合的概率是__________． 【答案】 【详解】集合共有9个元素， 则集合有个非空子集. 根据“完美集合”的定义，若对任意的，都有. 若中含有元素，由于无意义，不满足定义，故不是完美集合； 若中含有元素，则要求，但不在原集合中，故不满足定义； 同理，含有或的集合也不是完美集合， 因此，完美集合只能是集合的非空子集， 其中满足完美集合的有、、、、、、，共7个， 所以集合的所有非空子集中不是完美集合的个数为个， 所以非空子集中不是完美集合的概率是. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分） 不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的3个黑球、2个白球，其中黑球编号为1，2，3，白球编号为4，5．现从盒子里随机取出2个小球． (1)记事件“有放回地依次取出时，取到两个白球”，求事件发生的概率． (2)记事件“不放回地依次取出时，取出小球编号之和为”，求事件发生的概率； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）对于事件，有放回地依次取出两个球的样本空间， 则，因为， 所以，因此． （2）对于事件，不放回地依次取出两个球的样本空间 ，，，，，，，，，，，，，，， 则，因为，所以， 所以． 16．（15分） 为庆祝中秋佳节，某校举办校园诗词大赛，参赛的学生成绩均在内（单位：分），现随机抽取名学生的成绩，整理后按照，，，，分组，并绘制如图所示的频率分布直方图． (1)求的值，并估计这名学生成绩的中位数； (2)现从样本成绩在与两个分数段内，按分层随机抽样的方法选取人，从这人中再随机选取人．求这人中恰有人的成绩落在内的概率． 【答案】(1)，分 (2) 【详解】（1）由频率分布直方图的性质，，解得， 设名学生成绩中位数的估计结果为． 记第组的频率为(按分数从低到高，，则由频率分布直方图可得： ，，，， 因为，，所以． 由比例关系，，解得(分)． （2）由(1)得，．由分层抽样定义，在分数段内抽取人，在，分数段内抽取人． 记中选取的四人为，，，，中选取的一人为， 则样本空间为； ， 设事件“这人中恰有人的成绩落在内”，则， 所以． 17．（15分） 某中学高一年级举行了数学素养知识竞赛，竞赛分为初赛和决赛两个阶段，为了解初赛情况，现从高一年级随机抽取了名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照分成组，制成了频率分布直方图，如图. (1)采用按比例分配的分层随机抽样的方式从和两组中随机抽取了名学生，现从已抽取的名学生中随机抽取名，求至少有名学生的成绩在的概率. (2)已知本次竞赛最终由甲、乙、丙三人进行决赛，决赛规则如下：比赛前抽签决定首场比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场的比赛（比赛没有平局），先赢两场者获胜，比赛随即结束.已知每场比赛甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，每场比赛相互独立.请通过计算说明如果甲、乙参加首场比赛，甲获胜的概率. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由频率分布直方图，得，解得， 成绩在，的频率之比为， 则在中随机抽取了（人），记为，在中随机抽取了（人），记为， 从5人中随机抽取2人的样本空间，共10个样本点， “至少有1名学生的成绩在内”的事件，有7个样本点， 则，所以至少有1名学生的成绩在内的概率为. （2）首场甲、乙比赛，甲获胜有三种情况： ①甲、乙比赛甲胜，甲、丙比赛甲胜，概率为； ②甲、乙比赛甲胜，甲、丙比赛丙胜，丙、乙比赛乙胜，乙、甲比赛甲胜，概率为； ③甲、乙比赛乙胜，乙、丙比赛丙胜，丙、甲比赛甲胜，甲、乙比赛甲胜，概率为， 所以最终甲获胜的概率为. 18．（17分） 为激发学生的创新思维，学校举办了校园科技节活动，该活动由三个游戏组成，每个游戏各挑战一次且结果互不影响．连续通过两个游戏可以获得一枚科技徽章，连续通过三个游戏可以获得两枚科技徽章，闯关规则如下：箱子里装有大小质地完全相同的红球3个，白球2个，其中红球编号为1，2，3，白球编号为4，5． 游戏一：从箱子里随机地取出一个球，取出白球则获胜． 游戏二：从箱子里有放回地依次取出两个球，取到两个白球则获胜． 游戏三：从箱子里不放回地依次取出两个球，取出编号之和为则获胜． (1)分别求出游戏一，游戏二的获胜概率； (2)当时，求游戏三的获胜概率； (3)一名同学先玩了游戏一，试问时，接下来选择先玩游戏二还是先玩游戏三获得徽章的概率更大，说明理由． 【答案】(1)游戏一获胜概率为，游戏二获胜概率为 (2) (3)略 【详解】（1）设事件“游戏一获胜”；“游戏二获胜”；“游戏三获胜”； 游戏一取出一个球的样本空间为；； 因为，则；则； 游戏二有放回地取出两个球的样本空间为；； 因为，则，则； 故游戏一获胜概率为，游戏二获胜概率为； （2）不放回地依次取出两个球共有样本数为，其中样本点为 ； 时，游戏三包含样本点为，样本个数为， 故游戏三的获胜概率为； （3）选择先玩游戏二获得徽章的概率更大， 设事件“先玩游戏二获得徽章”，“先玩游戏三获得徽章”； 则，且两两互斥，且两两独立， 故 ； 则，且两两互斥，且两两独立， 故 ； 故；则接下来选择先玩游戏二获得徽章的概率更大． 19．（17分） 某商场开展促销活动，每消费满500元可获得一次抽奖机会.抽奖箱装有3个红球、2个白球、1个蓝球，这些球除颜色外完全相同，抽奖规则如下：一次性随机摸出2个球，若摸出2个红球，可获得一等奖；若摸出1个红球和1个蓝球，可获得二等奖. (1)已知甲在该商场消费了500元，求甲获得一等奖的概率； (2)为加大促销力度，在原规则的基础上，当顾客在该商场消费满1000元时，若顾客两次抽奖均摸出蓝球，则额外获得一个二等奖.已知乙在该商场消费了1000元，记“乙至少获得一个一等奖”为事件A，“乙恰好获得一个二等奖”为事件B. ①求事件A发生的概率； ②判断事件A与B是否相互独立，并说明理由. 【答案】(1) (2)①；②事件与不相互独立；理由：因为，，，所以，所以事件与不相互独立. 【详解】（1）记个红球分别为，个白球分别为，蓝球为. 一次性摸2个球的样本空间为，共个样本点. 获得一等奖的样本点有，共个样本点. 所以甲获得一等奖的概率为. （2）乙消费1000元，共获得2次独立的抽奖机会，单次抽奖获得一等奖的概率为. ①记“乙单次抽奖获得一等奖”为事件，则“乙单次抽奖未获得一等奖”为事件， 所以，，两次均未获得一等奖的概率为， 所以. ②先计算单次抽奖各事件的概率： 按原规则获得二等奖（摸出1红1蓝）的概率为； 摸出1白1蓝的概率为； 未摸到蓝球的概率为. 事件为“恰好获得1个二等奖”，包含三类互斥情况：第一次中二等奖、第二次未摸蓝球；第二次中二等奖、第一次未摸蓝球；两次均摸出1白1蓝（仅获得额外1个二等奖），所以. 事件为“至少获得1个一等奖，且恰好获得1个二等奖”，此时仅包含两类互斥情况：第一次中一等奖、第二次中二等奖；第一次中二等奖、第二次中一等奖， 所以. 所以， 因为，即， 所以事件与不相互独立. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一上学期数学单元自测 第七章 概率（参考答案） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 A B D B B A C B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9 10 11 ACD AD BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．2 13．/ 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）对于事件，有放回地依次取出两个球的样本空间，.........1分 则，因为，.........3分 所以，.........4分 因此．.........6分 （2）对于事件，不放回地依次取出两个球的样本空间 ，，，，，，，，，，，，，，，则，.........9分 因为，所以，.........11分 所以．.........13分 16.（15分） 【答案】(1)，分 (2) 【详解】（1）由频率分布直方图的性质，，解得，.........1分 设名学生成绩中位数的估计结果为． 记第组的频率为(按分数从低到高，，则由频率分布直方图可得： ，，，，.........3分 因为，，所以．.........5分 由比例关系，，解得(分)．.........7分 （2）由(1)得，．由分层抽样定义，在分数段内抽取人，在，分数段内抽取人．.........8分 记中选取的四人为，，，，中选取的一人为， 则样本空间为； ，.........11分 设事件“这人中恰有人的成绩落在内”，则，.........13分 所以．.........15分 17.（15分） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由频率分布直方图，得，解得，.........1分 成绩在，的频率之比为，.........2分 则在中随机抽取了（人），记为，在中随机抽取了（人），记为，.........3分 从5人中随机抽取2人的样本空间，共10个样本点，........5分 “至少有1名学生的成绩在内”的事件，有7个样本点，.........6分 则，所以至少有1名学生的成绩在内的概率为..........7分 （2）首场甲、乙比赛，甲获胜有三种情况：.........8分 ①甲、乙比赛甲胜，甲、丙比赛甲胜，概率为；.........10分 ②甲、乙比赛甲胜，甲、丙比赛丙胜，丙、乙比赛乙胜，乙、甲比赛甲胜，概率为；.........12分 ③甲、乙比赛乙胜，乙、丙比赛丙胜，丙、甲比赛甲胜，甲、乙比赛甲胜，概率为，.........14分 所以最终甲获胜的概率为..........15分 18.（17分） 【答案】(1)游戏一获胜概率为，游戏二获胜概率为 (2) (3)略 【详解】（1）设事件“游戏一获胜”；“游戏二获胜”；“游戏三获胜”； 游戏一取出一个球的样本空间为；；.........1分 因为，则；则；.........2分 游戏二有放回地取出两个球的样本空间为；；.........3分 因为，则，则；.........4分 故游戏一获胜概率为，游戏二获胜概率为；.........5分 （2）不放回地依次取出两个球共有样本数为，其中样本点为 ；.........7分 时，游戏三包含样本点为，样本个数为，.........8分 故游戏三的获胜概率为；.........9分 （3）选择先玩游戏二获得徽章的概率更大，.........10分 设事件“先玩游戏二获得徽章”，“先玩游戏三获得徽章”； 则，且两两互斥，且两两独立，.........11分 故 ；.........13分 则，且两两互斥，且两两独立， 故 ；.........16分 故；则接下来选择先玩游戏二获得徽章的概率更大．.........17分 19.（17分） 【答案】(1) (2)①；②事件与不相互独立；理由：因为，，，所以，所以事件与不相互独立. 【详解】（1）记个红球分别为，个白球分别为，蓝球为. 一次性摸2个球的样本空间为，共个样本点..........2分 获得一等奖的样本点有，共个样本点..........3分 所以甲获得一等奖的概率为..........4分 （2）乙消费1000元，共获得2次独立的抽奖机会，单次抽奖获得一等奖的概率为.........5分 ①记“乙单次抽奖获得一等奖”为事件，则“乙单次抽奖未获得一等奖”为事件， 所以，，两次均未获得一等奖的概率为，.........7分 所以..........8分 ②先计算单次抽奖各事件的概率： 按原规则获得二等奖（摸出1红1蓝）的概率为；........9分 摸出1白1蓝的概率为；.........10分 未摸到蓝球的概率为..........11分 事件为“恰好获得1个二等奖”，包含三类互斥情况：第一次中二等奖、第二次未摸蓝球；第二次中二等奖、第一次未摸蓝球；两次均摸出1白1蓝（仅获得额外1个二等奖），所以..........13分 事件为“至少获得1个一等奖，且恰好获得1个二等奖”，此时仅包含两类互斥情况：第一次中一等奖、第二次中二等奖；第一次中二等奖、第二次中一等奖， 所以..........14分 所以，.........15分 因为，即，.........16分 所以事件与不相互独立..........17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $