高中数学单元测试——第七章概率（较难版01）

**基本信息** 高中数学第七章概率单元复习卷（较难版），通过单选、多选、填空、解答题考查随机事件、古典概型等核心知识，结合阅兵彩排、羽毛球比赛等情境，适配单元巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|随机事件、古典概型、频率|以抛掷硬币、元件故障等实例，考查数学眼光观察随机现象| |多选题|3/18|概率性质、独立与互斥事件|通过判断正误，培养数学思维的逻辑性与批判性| |填空题|3/15|概率加法公式、电路概率、洛书文化|融入传统文化情境，体现数学语言表达现实的简洁性| |解答题|5/77|频率估计概率、抽样模型、比赛积分概率|从基础计算到复杂概率模型，层次递进，发展数学应用意识|

高中数学单元测试 —— 第七章 概率（较难版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）下列各项中，属于随机事件的是（   ） A．若正方形边长为，则正方形的面积为 B．在没有任何辅助情况下，人在真空中也可以生存 C．在一个标准大气压下，温度达到时水会沸腾 D．抛掷一枚硬币，反面向上 【答案】D 【分析】根据必然事件、随机事件和不可能事件的定义即可一一判断. 【详解】对于A，若正方形边长为，由面积公式可知其面积为，这是必然事件，故A不合题意； 对于B，真空中没有空气，在没有任何辅助情况下，人不能在真空中生存，这是不可能事件，故B不合题意； 对于C，在一个标准大气压下，只有温度达到，水才会沸腾，当温度是时，水不会沸腾，这是不可能事件，故C不合题意； 对于D，扡掷一枚硬币时，结果可能是正面向上，也可能反面向上，这是随机事件,故D符合题意. 故选：D. 2．（本题5分）在某次阅兵彩排演练中，A，B，C三个方队通过天安门广场的先后次序是随机的，则A先于B通过的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】考虑三个方队通过天安门广场的先后次序是随机的，故易得A先于B通过的概率为. 【详解】因A，B，C三个方队通过天安门广场的先后次序是随机的， 通过的顺序只有等可能的两种情况，故A先于B通过的概率为. 故选：C. 3．（本题5分）对某班名同学的一次数学成绩进行统计，如果这一组的频数是，那么这个班的学生这次数学测验，成绩在分之间的频率是（    ） A．18 B．0.4 C．0.35 D．0.3 【答案】D 【分析】根据频率的计算公式计算即可. 【详解】由题意，成绩在分之间的频率是. 故选：D. 4．（本题5分）甲、乙两个元件互相不影响，且构成一个并联电路，设事件“甲元件故障”，事件“乙元件故障”，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由独立事件乘法公式得到，进而利用求出答案. 【详解】甲、乙两个元件互相不影响，故事件相互独立， ， . 故选：A 5．（本题5分）掷一枚质地均匀的骰子，“向上的点数是1或3”为事件A，“向上的点数是1或5”为事件B，则（    ） A． B．表示向上的点数是1或3或5 C．表示向上的点数是1或3 D．表示向上的点数是1或5 【答案】B 【分析】根据事件的关系与运算的概念进行判断. 【详解】由题可知，“向上的点数是1或3”为事件，“向上的点数是1或5”为事件， 所以事件不等于事件，故A错误； 事件表示“向上的点数是1或3或5”，故B正确，C错误； 事件表示“向上的点数是1”，故D错误； 故选：B. 6．（本题5分）在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛.假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，用计算机产生之间的随机数，当出现、、时表示一局比赛甲获胜，当出现4、5时表示一局比赛乙获胜.由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组，现产生20组随机数，结果如下： 423  123  423  344  114  453  525  332  152  342 534  443  512  541  125  432  334  151  314  354 则估计在本次比赛中甲获得冠军的概率是（   ） A．0.35 B．0.55 C．0.6 D．0.65 【答案】D 【分析】根据题意，由随机数组来确定胜负情况，根据20组数据中满足条件的数组个数，除以总数即可得解. 【详解】表示甲获得冠军的数有423，123，423，114，332，152，342，512，125，432， 334，151，314共13组数，故估计该场比赛甲获胜的概率为. 故选：D 7．（本题5分）围棋盒子中有多粒黑子和多粒白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，从中取出2粒都是白子的概率是.那么从中任意取出2粒不是同一色的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意利用互斥事件和对立事件的概率公式求解即可. 【详解】设“从中取出2粒都是黑子”为事件A，“从中取出2粒都是白子”为事件B， 则事件A与B互斥. “从中取出2粒不是同一色”为事件C，则C与对立， 所以， 即“从中取出2粒不是同一色”的概率为. 故选：D 8．（本题5分）现有6个相同的盒子，里面均装有6张除图案外其它无区别的卡片，第个盒子中有k张龙形图案的卡片，张兔形图案的卡片．现将这些盒子混合后，任选其中一个盒子，并且从中连续取出两张卡片，每次取后不放回，若第二次取出的卡片为兔形图案的概率为，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】分第一次取到龙形图案的卡片，第二次取到兔形图案的卡片和第一次和第二次都取到兔形图案的卡片两种情况，然后求概率即可. 【详解】第个盒子中第一次取到龙形图案的卡片，第二次取到兔形图案的卡片的概率为； 第一次和第二次都取到兔形图案的卡片的概率为， 所以第二次取到的卡片为兔形图案的概率， 解得. 故选：A. 二、多选题 9．（本题6分）下面说法错误的有（   ） A．设一批产品的次品率，则从中任取10件，必有1件是次品 B．天气预报：“明天降雨概率为90%”，则明天可能不下雨 C．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 D．做8次抛硬币的试验，结果5次出现正面，则抛一枚硬币出现正面的概率是 【答案】ACD 【分析】根据概率和频率的定义逐一分析即可. 【详解】对于A，次品率描述的是次品的可能情况，故A错误； 对于B，天气预报：“明天降雨概率为90%”，则明天可能不下雨，故B正确； 对于CD，概率应该是多次重复试验中事情发生的频率在某一常数附近，此常数可为概率， 做8次抛硬币的试验，结果5次出现正面，则该实验抛一枚硬币出现正面的频率是，故CD错误. 故选：ACD. 10．（本题6分）下列说法正确的是（   ） A．若，则事件A与B是对立事件 B．设A，B是两个随机事件，且，，若，则A，B是相互独立事件 C．A，B同时发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率小 D．若，，则“事件A，B相互独立”与“事件A，B互斥”一定不能同时成立 【答案】BD 【分析】对于AC：举反例说明即可；对于BD：根据独立事件概率乘法公式以及互斥事件的概念分析判断. 【详解】对于选项A：例如样本空间为，事件，， 可得，满足， 但，即事件不对立，故A错误； 对于选项B：因为，，， 满足，所以A，B是相互独立事件，故B正确； 对于选项C：例如样本空间为，事件，， 则A，B同时发生为事件，则； A，B中恰有一个发生为事件，则； 显然，故C错误； 对于选项D：因为，， 若事件A，B相互独立，则，可知事件A，B不互斥； 若事件A，B互斥，则，即，可知事件A，B不相互独立， 所以“事件A，B相互独立”与“事件A，B互斥”一定不能同时成立，故D正确； 故选：BD. 11．（本题6分）甲､乙两盒中皆装有若干个不同色的小球，从甲盒中摸出一个红球的概率是，从乙盒中摸出一个红球的概率是，现小明从两盒各摸出一个球，每摸出一个红球得3分，摸出其他颜色小球得0分，下列说法中正确的是（    ） A．小明得6分的概率为 B．小明得分低于6分的概率为 C．小明得分不少于3分的概率为 D．小明恰好得3分的概率为 【答案】BD 【分析】根据独立事件同时发生的概率公式判断A，由对立事件概率公式判断BC，根据互斥事件概率公式计算D. 【详解】设“从甲盒中摸出一个红球”为事件，“从乙盒中摸出一个红球”为事件， 则，且独立. 在A中，小明得6分的概率为，A错误； 在B中，小明得分低于6分的概率为，B正确； 在中，小明得分不少于3分的概率为，C错误； 在D中，小明恰好得3分的概率为，D正确. 故选：BD 三、填空题 12．（本题5分）一个袋子中有3个红球、4个白球、5个绿球，若随机地摸出一个球，记A=“摸出红球”，B=“摸出白球”，C=“摸出绿球”，则___________ 【答案】 【分析】根据互斥事件的概率加法公式计算即可. 【详解】，， 由题意得事件与事件互斥， 所以. 故答案为：. 13．（本题5分）电路从A到上共连接着个灯泡（如图），每个灯泡断路的概率是，整个电路的连通与否取决于灯泡是否断路．则从A到连通的概率是 _________.    【答案】 【分析】根据条件求出A到连通的概率为；到连通的概率为，即可求出A到连通的概率. 【详解】由题意可知A到连通的概率为； 到连通的概率为， 故D到连通的概率为， 所以A到连通的概率为． 故答案为： 14．（本题5分）洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源．在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图案，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数，其各行各列及对角线点数之和皆为15．如图，若从四个阴数中随机抽取2数，则能使这两数与居中阳数之和等于15的概率是________． 【答案】 【分析】先列举出从四个阴数中随机抽取2个数，共有6种取法，其中满足题意的有两种，求概率即可. 【详解】根据题意，阴数为2，4，6，8四个， 所以从四个阴数中随机抽取2个数，有，，，，，， 共有6种取法， 其中满足题意的取法有两种：和， 所以能使这两数与居中阳数之和等于15的概率． 故答案为： 四、解答题 15．（本题13分）对一批西装进行了多次抽检，并记录结果如下表： 抽取件数 50 100 200 300 400 500 检出次品的件数 5 6 5 6 8 10 检出次品的频率 0.1 (1)根据表中数据，计算并填写每次抽检中检出次品的频率； (2)从这批西装中任抽一件，抽到次品的经验概率是多少？ (3)如果要销售2000件西装，至少需额外准备多少件正品西装供买到次品的顾客调换？ 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)至少需额外准备52件正品西装供买到次品的顾客调换． 【分析】（1）利用次品率的计算公式求解即可； （2）利用次品的经验概率及古典概型求解即可； （3）利用次品西装的件数约为（件）求解即可. 【详解】（1）检出次品的频率，填表如下： 抽取件数 50 100 200 300 400 500 检出次品的件数 5 6 5 6 8 10 检出次品的频率 0.1 0.06 0.025 0.02 0.02 0.02 （2）抽取的件数总和为， 检出次品的件数总和为， 故从这批西装中任抽一件，抽到次品的经验概率是． （3）如果要销售2000件西装，则次品西装的件数约为（件）， 所以至少需额外准备52件正品西装供买到次品的顾客调换． 16．（本题15分）从某校学生中随机抽出50名学生参加消防安全知识竞赛，根据竞赛成绩得到如图所示的频率分布直方图．数据的分组依次为．    (1)求图中的值，并估计这50名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）． (2)从低于60分的学生中随机抽取2名学生，求这2名学生成绩不在同一分组的概率． 【答案】(1)，估计平均成绩为分 (2) 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形面积之和为，再结合平均数的求法进行求解即可； （2）根据古典概型运算公式进行求解即可. 【详解】（1）因为频率分布直方图中所有小矩形面积之和为， 所以； 估计这50名学生的平均成绩为： 分. （2）50名学生在小组的人数分别为，， 设小组中的两个人分别为，小组中的三个人分别为， 从低于60分的学生中随机抽取2名学生，则有以下情况： ，一共有种情况， 其中2名学生成绩不在同一分组的有，一共有种情况， 所以从低于60分的学生中随机抽取2名学生，这2名学生成绩不在同一分组的概率为. 17．（本题15分）一个袋子中有 个红球， 个白球，球的大小和质地相同 (1)若 ， ，采取不放回的方式从中依次随机地取出2个球，求第一次和第二次都取到白球的概率. (2)若 ，采取有放回的方式从中依次随机地取出 2 个球，已知取出一个红球和一个白球的概率是 ，求 的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据给定条件，利用列举法求出古典概率； （2）利用有放回抽取的概率求出的表达式，再利用基本不等式求出最大值即可. 【详解】（1）设2个红球为，3个白球为，依次取出2个球的样本空间， 共20种， 设第一次和第二次都取到白球为事件，则共6种， 所以； （2）有放回取球两次，每次取到红球的概率为，取到白球的概率为， 先取白球再取红球的概率为；先取红球再取白球的概率为， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以 的最大值为. 18．（本题17分）一个箱子里有6个大小颜色相同的小球，编号为，从中有放回地抽取2次（每次取1个球）.设事件：“第一次取出的球的号码大于3”，事件：“两次取出的球的号码之和为偶数”. (1)求事件的概率； (2)判断事件与事件是否相互独立，并说明理由. 【答案】(1) (2)事件与事件相互独立. 【分析】（1）根据题意求出样本空间以及事件的样本点，利用古典概型公式即可求解； （2）先求事件与事件的样本点，进而求，根据事件的独立性的定义即可求解. 【详解】（1）由题意有：设表示第一次取得小球号码，表示第二次取得小球号码，表示2次取得小球号码， 则共有36个样本点，共有18个样本点， 所以； （2）共有18个样本点， 共有个样本点， 所以，，所以， 所以事件与事件相互独立. 19．（本题17分）甲，乙两人进行围棋比赛，采用积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则围棋比赛最终打平.假设在每局比赛中，甲胜的概率为，负的概率为，且每局比赛之间的胜负相互独立. (1)求第三局结束后乙获胜的概率； (2)求甲获胜的概率. 参考：1.如果两两互斥，则； 2.如果事件相互独立，则， ， . 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对乙来说共有两种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜），根据独立事件的乘法公式即可求解； （2）以比赛结束时的场数进行分类，在每一类中根据相互独立事件的乘法公式求解概率，最后相加得到结果. 【详解】（1）设事件为“第三局结束乙获胜”， 由题意知，乙每局获胜的概率为，不获胜的概率为. 若第三局结束乙获胜，则乙第三局必定获胜，总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）． 故. （2）设事件为“甲获胜”． 若第二局结束甲获胜，则甲两局连胜，此时的概率． 若第三局结束甲获胜，则甲第三局必定获胜，总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）． 此时的概率． 若第四局结束甲得两分获胜，则甲第四局必定获胜，前三局为1胜2平或1胜1平1负，总共有9种情况：（胜，平，平，胜），（平，胜，平，胜），（平，平，胜，胜），（胜，平，负，胜），（胜，负，平，胜），（平，胜，负，胜），（负，胜，平，胜），（平，负，胜，胜），（负，平，胜，胜）． 此时的概率， 若第四局结束甲以积分获胜，则乙的积分为0分，总共有4种情况：（胜，平，平，平），（平，胜，平，平），（平，平，胜，平），（平，平，平，胜）． 此时的概率. 故. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第七章 概率（较难版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）下列各项中，属于随机事件的是（   ） A．若正方形边长为，则正方形的面积为 B．在没有任何辅助情况下，人在真空中也可以生存 C．在一个标准大气压下，温度达到时水会沸腾 D．抛掷一枚硬币，反面向上 2．（本题5分）在某次阅兵彩排演练中，A，B，C三个方队通过天安门广场的先后次序是随机的，则A先于B通过的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（本题5分）对某班名同学的一次数学成绩进行统计，如果这一组的频数是，那么这个班的学生这次数学测验，成绩在分之间的频率是（    ） A．18 B．0.4 C．0.35 D．0.3 4．（本题5分）甲、乙两个元件互相不影响，且构成一个并联电路，设事件“甲元件故障”，事件“乙元件故障”，且，，则（   ） A． B． C． D． 5．（本题5分）掷一枚质地均匀的骰子，“向上的点数是1或3”为事件A，“向上的点数是1或5”为事件B，则（    ） A． B．表示向上的点数是1或3或5 C．表示向上的点数是1或3 D．表示向上的点数是1或5 6．（本题5分）在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛.假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，用计算机产生之间的随机数，当出现、、时表示一局比赛甲获胜，当出现4、5时表示一局比赛乙获胜.由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组，现产生20组随机数，结果如下： 423  123  423  344  114  453  525  332  152  342 534  443  512  541  125  432  334  151  314  354 则估计在本次比赛中甲获得冠军的概率是（   ） A．0.35 B．0.55 C．0.6 D．0.65 7．（本题5分）围棋盒子中有多粒黑子和多粒白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，从中取出2粒都是白子的概率是.那么从中任意取出2粒不是同一色的概率是（   ） A． B． C． D． 8．（本题5分）现有6个相同的盒子，里面均装有6张除图案外其它无区别的卡片，第个盒子中有k张龙形图案的卡片，张兔形图案的卡片．现将这些盒子混合后，任选其中一个盒子，并且从中连续取出两张卡片，每次取后不放回，若第二次取出的卡片为兔形图案的概率为，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、多选题 9．（本题6分）下面说法错误的有（   ） A．设一批产品的次品率，则从中任取10件，必有1件是次品 B．天气预报：“明天降雨概率为90%”，则明天可能不下雨 C．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 D．做8次抛硬币的试验，结果5次出现正面，则抛一枚硬币出现正面的概率是 10．（本题6分）下列说法正确的是（   ） A．若，则事件A与B是对立事件 B．设A，B是两个随机事件，且，，若，则A，B是相互独立事件 C．A，B同时发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率小 D．若，，则“事件A，B相互独立”与“事件A，B互斥”一定不能同时成立 11．（本题6分）甲､乙两盒中皆装有若干个不同色的小球，从甲盒中摸出一个红球的概率是，从乙盒中摸出一个红球的概率是，现小明从两盒各摸出一个球，每摸出一个红球得3分，摸出其他颜色小球得0分，下列说法中正确的是（    ） A．小明得6分的概率为 B．小明得分低于6分的概率为 C．小明得分不少于3分的概率为 D．小明恰好得3分的概率为 三、填空题 12．（本题5分）一个袋子中有3个红球、4个白球、5个绿球，若随机地摸出一个球，记A=“摸出红球”，B=“摸出白球”，C=“摸出绿球”，则___________ 13．（本题5分）电路从A到上共连接着个灯泡（如图），每个灯泡断路的概率是，整个电路的连通与否取决于灯泡是否断路．则从A到连通的概率是 _________.    14．（本题5分）洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源．在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图案，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数，其各行各列及对角线点数之和皆为15．如图，若从四个阴数中随机抽取2数，则能使这两数与居中阳数之和等于15的概率是________． 四、解答题 15．（本题13分）对一批西装进行了多次抽检，并记录结果如下表： 抽取件数 50 100 200 300 400 500 检出次品的件数 5 6 5 6 8 10 检出次品的频率 0.1 (1)根据表中数据，计算并填写每次抽检中检出次品的频率； (2)从这批西装中任抽一件，抽到次品的经验概率是多少？ (3)如果要销售2000件西装，至少需额外准备多少件正品西装供买到次品的顾客调换？ 16．（本题15分）从某校学生中随机抽出50名学生参加消防安全知识竞赛，根据竞赛成绩得到如图所示的频率分布直方图．数据的分组依次为．    (1)求图中的值，并估计这50名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）． (2)从低于60分的学生中随机抽取2名学生，求这2名学生成绩不在同一分组的概率． 17．（本题15分）一个袋子中有 个红球， 个白球，球的大小和质地相同 (1)若 ， ，采取不放回的方式从中依次随机地取出2个球，求第一次和第二次都取到白球的概率. (2)若 ，采取有放回的方式从中依次随机地取出 2 个球，已知取出一个红球和一个白球的概率是 ，求 的最大值. 18．（本题17分）一个箱子里有6个大小颜色相同的小球，编号为，从中有放回地抽取2次（每次取1个球）.设事件：“第一次取出的球的号码大于3”，事件：“两次取出的球的号码之和为偶数”. (1)求事件的概率； (2)判断事件与事件是否相互独立，并说明理由. 19．（本题17分）甲，乙两人进行围棋比赛，采用积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则围棋比赛最终打平.假设在每局比赛中，甲胜的概率为，负的概率为，且每局比赛之间的胜负相互独立. (1)求第三局结束后乙获胜的概率； (2)求甲获胜的概率. 参考：1.如果两两互斥，则； 2.如果事件相互独立，则， ， . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $