第七章 统计案例（单元自测）高二数学北师大版选择性必修第一册

2026-2027学年高二上学期数学单元自测 第七章 统计案例（参考答案） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 C A C C B B A C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9 10 11 BCD ABC AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12． 13．36 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分） 【答案】(1)电热防冰涂层合格率为，疏水防冰涂层合格率为 (2)在的独立性检验下，可以认为防冰涂层类型和防冰涂层是否有积冰有关联． 【详解】（1）由列联表可知，电热防冰涂层总数量100，合格数量70，...........1分 故电热防冰涂层的合格率为，...........3分 疏水防冰涂层总数量100，合格数量85，...........4分 故疏水防冰涂层的合格率为．...........6分 （2）零假设为：防冰涂层类型和防冰涂层是否有积冰无关，...........7分 根据列联表中的数据，计算得到，...........11分 根据的独立性检验，我们推断不成立，...........12分 即认为防冰涂层类型和防冰涂层是否有积冰有关．...........13分 16.（15分） 【答案】(1)； (2)，2.9万辆． 【详解】（1）由题意，，...........2分 则，，...........4分 则．...........6分 故与的相关系数为．...........7分 （2）由（1），...........10分 则，...........11分 故关于的线性回归方程为，...........12分 令，则，...........14分 故可预测该地区2026年新能源汽车购买数量为万辆............15分 17.（15分） 【答案】(1) (2) 0 1 2 . 【分析】（1）根据最小二乘法可求回归直线方程； （2）根据超几何分布可求的分布列，再根据期望公式可求数学期望. 【详解】（1），，，...........3分 ，..........6分 ，...........7分 故y关于x的经验回归方程为............8分 （2）X的取值可能为，...........9分 ，，，...........12分 所以的分布列为 0 1 2 则............15分 18.（17分） 【答案】(1)乙同学的更适合作为y关于x的回归方程类型，理由如下： 因为，所以乙同学的更适合作为y关于x的回归方程类型. (2) (3)17.25 【分析】（1）比较已知的相关系数的大小； （2）由已知数据求出，结合回归方程变形为，求出d和，从而可求出回归方程； （3）利用非线性回归方程进行估计. 【详解】（1）乙同学的更适合作为y关于x的回归方程类型，理由略；...........2分 （2），...........3分 由得，即............5分 则，...........9分 ，...........11分 所以............13分 （3）2030年对应的年份代码，代入（2）中的y关于x的回归方程，...........14分 得.故预测2030年中国高铁运营里程将达到17.25万千米............17分 19.（17分） 【答案】(1)认为该市市民喜欢户外运动与性别无关联 (2)数学期望，方差 (3) 【分析】（1）提出 “喜欢户外运动与性别无关联” 的零假设，代入列联表数据计算卡方统计量，与的临界值对比，判断是否拒绝原假设并得出结论； （2）用样本频率估计市民喜欢户外运动的概率，判定随机变量X服从二项分布，代入二项分布的期望、方差公式计算结果； （3）设定对应事件并写出条件概率，利用全概率公式建立第三周爬山概率与第二周爬山概率的等量关系，解方程求得结果． 【详解】（1）假设：该市市民喜欢户外运动与性别无关联，...........1分 ，...........4分 根据小概率值＝0.01的独立性检验，没有充分的理由认为不成立， 即认为该市市民喜欢户外运动与性别无关联．...........5分 （2）用频率估计概率，该市市民喜欢户外运动的概率，...........6分 抽取名市民中喜欢户外运动的人数X服从二项分布．...........7分 由二项分布期望公式得：；...........8分 由二项分布方差公式得：．...........10分 （3）设＝“小方第i个周末选择爬山”（i＝2，3），...........11分 则，...........13分 ，...........15分 所以，解得，...........16分 即小方该月第二个周末选择爬山的概率为．...........17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期数学单元自测 第七章 统计案例 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知变量x，y具有线性相关关系，根据样本点得到y关于x的经验回归方程为，则样本点的残差为（   ） A． B． C．1 D．2 2．样本相关系数可以反映两个随机变量之间的线性相关程度，以下是四组数据的相关系数值，则线性相关最强的一组是（   ） A． B． C． D． 3．已知具有线性相关的两个变量，之间的一组数据如表： 3 4 5 6 2.5 3 4 由最小二乘法得到的回归直线方程是，则实数（     ） A．4.3 B．4.4 C．4.5 D．4.6 4．两个取值于的分类变量，的列联表如下．则与之间有关联的可能性最小时，整数（   ） 合计 10 18 28 26 合计 44 A．8 B．9 C．14 D．19 5．为了研究一种新的学习方法对学生数学成绩的影响，某研究中心随机选取了200名学生进行对比实验，其中100名学生采用新方法学习，100名学生采用传统方法学习.经过一个学期后，对学生的数学成绩进行评估，结果如下表： 新方法学习 传统方法学习 合计 数学成绩优秀 50 70 120 数学成绩不优秀 50 30 80 已知其中，且.根据小概率值的独立性检验，则（    ） A．新的学习方法与数学成绩有关 B．新的学习方法与数学成绩无关 C．新的学习方法与数学成绩有关，这个结论犯错误的概率不超过0.001 D．新的学习方法与数学成绩无关，这个结论犯错误的概率不超过0.001 6．根据4对数据，，，绘制的散点图显示，样本点呈直线趋势，且经验回归方程为，则（    ） A．2 B．3 C． D．4 7．已知变量和变量的一组成对样本数据为（），其中，其回归直线方程为，当增加两个样本数据和后，重新得到的回归直线斜率为3，则在新的回归直线条件下，时变量预测值为（    ） A． B． C． D．3 8．2026年五一假期，有760余万人来长沙旅游，橘子洲､岳麓山五天合计接待近86万人次.为了解某旅游景点不同时段的入口游客流量，从上午9点开始景点值班人员第一次向指挥中心反馈入口人流量，以后每过一个小时反馈一次.指挥中心统计了前5次的数据，其中为第次入口人流量数据（单位：百人），由此得到关于的回归方程.已知，根据回归方程（参考数据：），可预测下午3点时入口游客的人流量为（    ） A．9.6 B．11.0 C．11.3 D．12.0 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，且图1、图2、图3、图4中的样本相关系数分别为，则（    ） A． B． C． D． 10．已知某商家投入经费（单位：万元）与销售量（单位：吨）的统计结果如下表． 投入经费 1 2 3 4 5 销售量 1 4 8 13 19 根据上表，可得关于的回归直线方程为，则（   ） A．变量与的相关系数 B． C．当时，销售量的预测值为 D．当时，销售量的残差为 11．计算机显示的数字图像是由一个个小像素点组合而成的．处理图像时，常会通过批量调整各像素点的亮度，间接调整图像的对比度、饱和度等物理量，让图像更加美观．特别地，当图像像素点规模为1行列时，设第i列像素点的亮度为，则该图像对比度计算公式为．已知某像素点规模为1行列的图像第i列像素点的亮度，现对该图像进行调整，有2种调整方案：①；②，则（    ） A．使用方案①调整，当时， B．使用方案②调整，当时， C．使用方案①调整，当时， D．使用方案②调整，当，时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归直线方程为． 零件数x（个） 1 2 3 4 5 加工时间y（min） 50 67 71 79 表中有一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为________________ 13．为了考查一种新疫苗预防某X疾病的效果，研究人员对一地区某种动物进行试验，从该试验群中随机进行了抽查，已知抽查的接种疫苗的动物数量是没接种疫苗的2倍，接种且发病占接种的，没接种且发病的占没接种的，若本次抽查得出“在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为接种该疫苗与预防某X疾病有关”的结论，则被抽查的没接种动物至少有_______________只. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 5.635 7.879 10.828 14．预制菜指以农、畜、禽、水产品为原辅料，配以调味料等经预选、调制等工艺加工而成的半成品.近几年预制菜市场快速增长.某城市调查近4个月的预制菜市场规模y（万元）得到如表所示的数据，根据数据得到y关于x的非线性回归方程 1 2 3 4 按照这样的速度，预估第10个月的预制菜市场规模是______万元.（结果用e表示） 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分） 某材料研究所研发了两种防冰涂层：电热防冰涂层、疏水防冰涂层．该研究所在模拟高空低温云雾环境的风洞中开展积冰试验，共记录200次试验数据，统计涂层无积冰（合格）、有积冰（不合格）的情况，整理得到如下列联表： 防冰涂层类型 积冰情况 合计 无积冰 有积冰 电热防冰涂层 70 30 100 疏水防冰涂层 85 15 100 合计 155 45 200 (1)分别求两种防冰涂层的合格率； (2)依据的独立性检验，能否认为防冰涂层类型和防冰涂层是否有积冰有关联？ 参考公式：，其中． 参考数据： 0.05 0.01 3.841 6.635 16．（15分） 近年来我国新能源汽车行业蓬勃发展，新能源汽车不仅对环境保护具有重大的意义，而且还能够减少对不可再生资源的开发，是全球汽车发展的重要方向．某地区近几年新能源汽车的购买情况如下表所示： 年份 2019 2020 2021 2022 2023 购买量（万辆） 0.40 0.70 1.10 1.50 1.80 (1)计算与的相关系数（保留三位小数）； (2)求关于的线性回归方程，并预测该地区2026年新能源汽车购买数量． 参考公式：． 参考数值：． 17．（15分） 2025年世界人工智能大会于2025年7月26日至28日在上海市举行，大会号召“共商技术创新路线，共促技术成果赋能”.某企业的AI产品销售部门统计了1～5月份的销售量（单位：万件）： 月份x 1 2 3 4 5 销售量y 3 5 6 9 12 (1)已知可用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的经验回归方程； (2)该企业科研部门从1月份与4月份的客户中分别随机抽取2位客户和6位客户进行电话回访，科研部门的工作人员甲从这8位客户中随机抽取2位进行回访，记甲回访客户中1月份的客户人数为，求的分布列和数学期望. 附：经验回归方程的斜率与截距的最小二乘估计公式分别为，. 18．（17分） 有一种速度叫中国速度，有一种骄傲叫中国高铁.高铁可以说是中国的一张行走的名片.截至2020年，中国高铁运营里程已经达到3.9万千米.2013年至2020年中国高铁每年的运营里程统计如下表，它反映了中国高铁的飞速发展. 年份 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 年份代码x 1 2 3 4 5 6 7 8 运营里程y/万千米 1.3 1.6 1.9 2.2 2.5 2.9 3.5 3.9 根据以上数据，回答下面的问题. (1)甲同学用曲线来拟合，并算出相关系数；乙同学用曲线来拟合，并算出转化为线性回归方程所对应的相关系数.请判断哪一个更适合作为y关于x的回归方程类型，并说明理由. (2)根据（1）的判断结果及表中数据，求y关于x的回归方程.（系数精确到0.1） (3)请你利用得到的模型，预测2030年中国高铁的运营里程将达到多少万千米. 参考公式：用最小二乘法求线性回归方程的系数，公式为； 参考数据：，令，. 19．（17分） 随着生活质量的提高，户外运动得到越来越多人的青睐．某市为了了解市民对户外运动的喜欢情况是否存在性别差异，随机抽取了该市名市民，得到的统计数据如下表所示： 喜欢户外运动 不喜欢户外运动 合计 男性 女性 合计 (1)试根据的独立性检验，能否认为该市市民喜欢户外运动与性别有关联？ (2)用频率估计概率，现从该市随机抽取名市民，记其中喜欢户外运动的人数为随机变量，求的数学期望和方差； (3)户外运动达人小方每周末都会在爬山和骑行中选一项进行，若他上一个周末选择爬山则这个周末仍选择爬山的概率为，若他上一个周末选择骑行则这个周末选择爬山的概率为．已知小方某月份的第三个周末选择了爬山的概率为，求他该月份第二个周末选择爬山的概率． 附：，． 临界值表： 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期数学单元自测 第七章 统计案例 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知变量x，y具有线性相关关系，根据样本点得到y关于x的经验回归方程为，则样本点的残差为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】将代入，得到预测值，再由残差=观测值-预测值，即可得出答案 【详解】因为经验回归方程为， 所以当时，预测值， 又样本点为， 所以残差为 故选：C 2．样本相关系数可以反映两个随机变量之间的线性相关程度，以下是四组数据的相关系数值，则线性相关最强的一组是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为相关系数的绝对值越大，其线性相关关系越强， 故线性相关最强的一组是. 3．已知具有线性相关的两个变量，之间的一组数据如表： 3 4 5 6 2.5 3 4 由最小二乘法得到的回归直线方程是，则实数（     ） A．4.3 B．4.4 C．4.5 D．4.6 【答案】C 【分析】回归直线方程经过样本中心，求出样本中心即可求解. 【详解】, 代入回归直线方程，得 . 4．两个取值于的分类变量，的列联表如下．则与之间有关联的可能性最小时，整数（   ） 合计 10 18 28 26 合计 44 A．8 B．9 C．14 D．19 【答案】C 【分析】利用分类变量的相关性进行计算求解. 【详解】在两个分类变量的列联表中，当的值越小时，认为两个分类变量有关的可能性越小． 令，得，解得， 又为整数，结合选项可知当时，与的关系最弱. 5．为了研究一种新的学习方法对学生数学成绩的影响，某研究中心随机选取了200名学生进行对比实验，其中100名学生采用新方法学习，100名学生采用传统方法学习.经过一个学期后，对学生的数学成绩进行评估，结果如下表： 新方法学习 传统方法学习 合计 数学成绩优秀 50 70 120 数学成绩不优秀 50 30 80 已知其中，且.根据小概率值的独立性检验，则（    ） A．新的学习方法与数学成绩有关 B．新的学习方法与数学成绩无关 C．新的学习方法与数学成绩有关，这个结论犯错误的概率不超过0.001 D．新的学习方法与数学成绩无关，这个结论犯错误的概率不超过0.001 【答案】B 【详解】零假设：新的学习方法与数学成绩无关， 因为， 所以，根据的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可认为新的学习方法与数学成绩无关，AC选项错误，B选项正确； 临界值用于判断小概率值是否足够小以至于拒绝零假设，D选项错误． 6．根据4对数据，，，绘制的散点图显示，样本点呈直线趋势，且经验回归方程为，则（    ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】借助经验回归直线必过样本中心点即可得. 【详解】因为，， 故，解得. 7．已知变量和变量的一组成对样本数据为（），其中，其回归直线方程为，当增加两个样本数据和后，重新得到的回归直线斜率为3，则在新的回归直线条件下，时变量预测值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【详解】原回归直线过样本均值点，已知，则， 故原样本均值为， 加入新数据和后，样本容量为， 新样本均值，， 新回归直线斜率为3，设新回归方程为， 则方程过样本均值点，故，解得， 故新回归方程为， 当时，预测值． 8．2026年五一假期，有760余万人来长沙旅游，橘子洲､岳麓山五天合计接待近86万人次.为了解某旅游景点不同时段的入口游客流量，从上午9点开始景点值班人员第一次向指挥中心反馈入口人流量，以后每过一个小时反馈一次.指挥中心统计了前5次的数据，其中为第次入口人流量数据（单位：百人），由此得到关于的回归方程.已知，根据回归方程（参考数据：），可预测下午3点时入口游客的人流量为（    ） A．9.6 B．11.0 C．11.3 D．12.0 【答案】C 【分析】令，则，计算样本中心点进而得出，令即可. 【详解】令，则， 因为， 所以样本中心点为， 将其代入得，得，故， 令，则， 则预测下午3点时入口游客的人流量为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，且图1、图2、图3、图4中的样本相关系数分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】由图可知，图1和图2是正相关，图3和图4是负相关，则， 而图1和图3的点相对更加集中，所以相关性更强，则，即， 则. 10．已知某商家投入经费（单位：万元）与销售量（单位：吨）的统计结果如下表． 投入经费 1 2 3 4 5 销售量 1 4 8 13 19 根据上表，可得关于的回归直线方程为，则（   ） A．变量与的相关系数 B． C．当时，销售量的预测值为 D．当时，销售量的残差为 【答案】ABC 【分析】先根据表格求出样本中心点代入回归方程得到，再逐项分析判断即可. 【详解】由表格知，，， 因回归直线经过样本中心点，代入得，解得. 对于A：回归系数，说明与正相关，相关系数，故A正确； 对于B：由上述计算得，故B正确； 对于C：当时，销售量预测值，故C正确； 对于D：当时，预测值，残差为，故D错误. 11．计算机显示的数字图像是由一个个小像素点组合而成的．处理图像时，常会通过批量调整各像素点的亮度，间接调整图像的对比度、饱和度等物理量，让图像更加美观．特别地，当图像像素点规模为1行列时，设第i列像素点的亮度为，则该图像对比度计算公式为．已知某像素点规模为1行列的图像第i列像素点的亮度，现对该图像进行调整，有2种调整方案：①；②，则（    ） A．使用方案①调整，当时， B．使用方案②调整，当时， C．使用方案①调整，当时， D．使用方案②调整，当，时， 【答案】AC 【分析】方案①：根据的性质，将、及代入判断A；利用对比度公式可得，即可判断C；方案②：在时代入特殊值判断B；根据条件判断且，特殊值代入判断D. 【详解】使用方案①调整：当时且，又则，A正确； ，， 当，即且，又，可得，C正确； 使用方案②调整：当时，显然若时，B错误； ，而，则，故， 又，则，， 所以，而， 时，则，则， 此时，显然存在，D错误. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归直线方程为． 零件数x（个） 1 2 3 4 5 加工时间y（min） 50 67 71 79 表中有一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为________________ 【答案】 【分析】利用线性回归直线方程必过样本中心点的性质，先计算出，代入方程求出，最后根据平均数公式求解模糊数据. 【详解】设表中模糊不清的数据为． 由表中的数据可得， 因为回归直线必过样本中心点， 所以． 又因为， 所以， 解得． 故该数据的值为． 13．为了考查一种新疫苗预防某X疾病的效果，研究人员对一地区某种动物进行试验，从该试验群中随机进行了抽查，已知抽查的接种疫苗的动物数量是没接种疫苗的2倍，接种且发病占接种的，没接种且发病的占没接种的，若本次抽查得出“在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为接种该疫苗与预防某X疾病有关”的结论，则被抽查的没接种动物至少有_______________只. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 5.635 7.879 10.828 【答案】36 【分析】设没接种只数为，列出2×2列联表后计算，可得，即可得的最小值. 【详解】设没接种只数为k，依题意，得2×2列联表如下： 发病 没发病 合计 接种 没接种 合计 则的观测值为：， 因为本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为接种该疫苗与预防某X疾病有关”的结论， 于是，即， 即， ∴，即被抽查的没接种动物至少有36只． 14．预制菜指以农、畜、禽、水产品为原辅料，配以调味料等经预选、调制等工艺加工而成的半成品.近几年预制菜市场快速增长.某城市调查近4个月的预制菜市场规模y（万元）得到如表所示的数据，根据数据得到y关于x的非线性回归方程 1 2 3 4 按照这样的速度，预估第10个月的预制菜市场规模是______万元.（结果用e表示） 【答案】 【分析】两边取对数，求出样本中心点，得到方程，求出，得到回归方程，求出答案. 【详解】令，则，， 所以，则，所以， 代入回归方程，则，可得万元. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分） 某材料研究所研发了两种防冰涂层：电热防冰涂层、疏水防冰涂层．该研究所在模拟高空低温云雾环境的风洞中开展积冰试验，共记录200次试验数据，统计涂层无积冰（合格）、有积冰（不合格）的情况，整理得到如下列联表： 防冰涂层类型 积冰情况 合计 无积冰 有积冰 电热防冰涂层 70 30 100 疏水防冰涂层 85 15 100 合计 155 45 200 (1)分别求两种防冰涂层的合格率； (2)依据的独立性检验，能否认为防冰涂层类型和防冰涂层是否有积冰有关联？ 参考公式：，其中． 参考数据： 0.05 0.01 3.841 6.635 【答案】(1)电热防冰涂层合格率为，疏水防冰涂层合格率为. (2)在的独立性检验下，可以认为防冰涂层类型和防冰涂层是否有积冰有关联． 【详解】（1）由列联表可知，电热防冰涂层总数量100，合格数量70， 故电热防冰涂层的合格率为， 疏水防冰涂层总数量100，合格数量85， 故疏水防冰涂层的合格率为． （2）零假设为：防冰涂层类型和防冰涂层是否有积冰无关， 根据列联表中的数据，计算得到， 根据的独立性检验，我们推断不成立， 即认为防冰涂层类型和防冰涂层是否有积冰有关． 16．（15分） 近年来我国新能源汽车行业蓬勃发展，新能源汽车不仅对环境保护具有重大的意义，而且还能够减少对不可再生资源的开发，是全球汽车发展的重要方向．某地区近几年新能源汽车的购买情况如下表所示： 年份 2019 2020 2021 2022 2023 购买量（万辆） 0.40 0.70 1.10 1.50 1.80 (1)计算与的相关系数（保留三位小数）； (2)求关于的线性回归方程，并预测该地区2026年新能源汽车购买数量． 参考公式：． 参考数值：． 【答案】(1)； (2)，2.9万辆． 【详解】（1）由题意，， 则，， 则． 故与的相关系数为． （2）由（1）， 则， 故关于的线性回归方程为， 令，则， 故可预测该地区2026年新能源汽车购买数量为万辆. 17．（15分） 2025年世界人工智能大会于2025年7月26日至28日在上海市举行，大会号召“共商技术创新路线，共促技术成果赋能”.某企业的AI产品销售部门统计了1～5月份的销售量（单位：万件）： 月份x 1 2 3 4 5 销售量y 3 5 6 9 12 (1)已知可用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的经验回归方程； (2)该企业科研部门从1月份与4月份的客户中分别随机抽取2位客户和6位客户进行电话回访，科研部门的工作人员甲从这8位客户中随机抽取2位进行回访，记甲回访客户中1月份的客户人数为，求的分布列和数学期望. 附：经验回归方程的斜率与截距的最小二乘估计公式分别为，. 【答案】(1) (2) 0 1 2 . 【分析】（1）根据最小二乘法可求回归直线方程； （2）根据超几何分布可求的分布列，再根据期望公式可求数学期望. 【详解】（1），，， ， ， 故y关于x的经验回归方程为. （2）X的取值可能为， ，，， 所以的分布列为 0 1 2 则. 18．（17分） 有一种速度叫中国速度，有一种骄傲叫中国高铁.高铁可以说是中国的一张行走的名片.截至2020年，中国高铁运营里程已经达到3.9万千米.2013年至2020年中国高铁每年的运营里程统计如下表，它反映了中国高铁的飞速发展. 年份 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 年份代码x 1 2 3 4 5 6 7 8 运营里程y/万千米 1.3 1.6 1.9 2.2 2.5 2.9 3.5 3.9 根据以上数据，回答下面的问题. (1)甲同学用曲线来拟合，并算出相关系数；乙同学用曲线来拟合，并算出转化为线性回归方程所对应的相关系数.请判断哪一个更适合作为y关于x的回归方程类型，并说明理由. (2)根据（1）的判断结果及表中数据，求y关于x的回归方程.（系数精确到0.1） (3)请你利用得到的模型，预测2030年中国高铁的运营里程将达到多少万千米. 参考公式：用最小二乘法求线性回归方程的系数，公式为； 参考数据：，令，. 【答案】(1)乙同学的更适合作为y关于x的回归方程类型，理由如下： 因为，所以乙同学的更适合作为y关于x的回归方程类型. (2) (3)17.25 【分析】（1）比较已知的相关系数的大小； （2）由已知数据求出，结合回归方程变形为，求出d和，从而可求出回归方程； （3）利用非线性回归方程进行估计. 【详解】（1）乙同学的更适合作为y关于x的回归方程类型，理由略； （2）， 由得，即. 则， ， 所以. （3）2030年对应的年份代码，代入（2）中的y关于x的回归方程， 得.故预测2030年中国高铁运营里程将达到17.25万千米. 19．（17分） 随着生活质量的提高，户外运动得到越来越多人的青睐．某市为了了解市民对户外运动的喜欢情况是否存在性别差异，随机抽取了该市名市民，得到的统计数据如下表所示： 喜欢户外运动 不喜欢户外运动 合计 男性 女性 合计 (1)试根据的独立性检验，能否认为该市市民喜欢户外运动与性别有关联？ (2)用频率估计概率，现从该市随机抽取名市民，记其中喜欢户外运动的人数为随机变量，求的数学期望和方差； (3)户外运动达人小方每周末都会在爬山和骑行中选一项进行，若他上一个周末选择爬山则这个周末仍选择爬山的概率为，若他上一个周末选择骑行则这个周末选择爬山的概率为．已知小方某月份的第三个周末选择了爬山的概率为，求他该月份第二个周末选择爬山的概率． 附：，． 临界值表： 【答案】(1)认为该市市民喜欢户外运动与性别无关联 (2)数学期望，方差 (3) 【分析】（1）提出 “喜欢户外运动与性别无关联” 的零假设，代入列联表数据计算卡方统计量，与的临界值对比，判断是否拒绝原假设并得出结论； （2）用样本频率估计市民喜欢户外运动的概率，判定随机变量X服从二项分布，代入二项分布的期望、方差公式计算结果； （3）设定对应事件并写出条件概率，利用全概率公式建立第三周爬山概率与第二周爬山概率的等量关系，解方程求得结果． 【详解】（1）假设：该市市民喜欢户外运动与性别无关联， ， 根据小概率值＝0.01的独立性检验，没有充分的理由认为不成立， 即认为该市市民喜欢户外运动与性别无关联． （2）用频率估计概率，该市市民喜欢户外运动的概率， 抽取名市民中喜欢户外运动的人数X服从二项分布． 由二项分布期望公式得：； 由二项分布方差公式得：． （3）设＝“小方第i个周末选择爬山”（i＝2，3）， 则， ， 所以，解得， 即小方该月第二个周末选择爬山的概率为． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高二上学期数学单元自测 第七章 统计案例 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知变量x，y具有线性相关关系，根据样本点得到y关于x的经验回归方程为，则样本点的残差为（   ） A． B． C．1 D．2 2．样本相关系数可以反映两个随机变量之间的线性相关程度，以下是四组数据的相关系数值，则线性相关最强的一组是（   ） A． B． C． D． 3．已知具有线性相关的两个变量，之间的一组数据如表： 3 4 5 6 2.5 3 4 由最小二乘法得到的回归直线方程是，则实数（     ） A．4.3 B．4.4 C．4.5 D．4.6 4．两个取值于的分类变量，的列联表如下．则与之间有关联的可能性最小时，整数（   ） 合计 10 18 28 26 合计 44 A．8 B．9 C．14 D．19 5．为了研究一种新的学习方法对学生数学成绩的影响，某研究中心随机选取了200名学生进行对比实验，其中100名学生采用新方法学习，100名学生采用传统方法学习.经过一个学期后，对学生的数学成绩进行评估，结果如下表： 新方法学习 传统方法学习 合计 数学成绩优秀 50 70 120 数学成绩不优秀 50 30 80 已知其中，且.根据小概率值的独立性检验，则（    ） A．新的学习方法与数学成绩有关 B．新的学习方法与数学成绩无关 C．新的学习方法与数学成绩有关，这个结论犯错误的概率不超过0.001 D．新的学习方法与数学成绩无关，这个结论犯错误的概率不超过0.001 6．根据4对数据，，，绘制的散点图显示，样本点呈直线趋势，且经验回归方程为，则（    ） A．2 B．3 C． D．4 7．已知变量和变量的一组成对样本数据为（），其中，其回归直线方程为，当增加两个样本数据和后，重新得到的回归直线斜率为3，则在新的回归直线条件下，时变量预测值为（    ） A． B． C． D．3 8．2026年五一假期，有760余万人来长沙旅游，橘子洲､岳麓山五天合计接待近86万人次.为了解某旅游景点不同时段的入口游客流量，从上午9点开始景点值班人员第一次向指挥中心反馈入口人流量，以后每过一个小时反馈一次.指挥中心统计了前5次的数据，其中为第次入口人流量数据（单位：百人），由此得到关于的回归方程.已知，根据回归方程（参考数据：），可预测下午3点时入口游客的人流量为（    ） A．9.6 B．11.0 C．11.3 D．12.0 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，且图1、图2、图3、图4中的样本相关系数分别为，则（    ） A． B． C． D． 10．已知某商家投入经费（单位：万元）与销售量（单位：吨）的统计结果如下表． 投入经费 1 2 3 4 5 销售量 1 4 8 13 19 根据上表，可得关于的回归直线方程为，则（   ） A．变量与的相关系数 B． C．当时，销售量的预测值为 D．当时，销售量的残差为 11．计算机显示的数字图像是由一个个小像素点组合而成的．处理图像时，常会通过批量调整各像素点的亮度，间接调整图像的对比度、饱和度等物理量，让图像更加美观．特别地，当图像像素点规模为1行列时，设第i列像素点的亮度为，则该图像对比度计算公式为．已知某像素点规模为1行列的图像第i列像素点的亮度，现对该图像进行调整，有2种调整方案：①；②，则（    ） A．使用方案①调整，当时， B．使用方案②调整，当时， C．使用方案①调整，当时， D．使用方案②调整，当，时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归直线方程为． 零件数x（个） 1 2 3 4 5 加工时间y（min） 50 67 71 79 表中有一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为________________ 13．为了考查一种新疫苗预防某X疾病的效果，研究人员对一地区某种动物进行试验，从该试验群中随机进行了抽查，已知抽查的接种疫苗的动物数量是没接种疫苗的2倍，接种且发病占接种的，没接种且发病的占没接种的，若本次抽查得出“在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为接种该疫苗与预防某X疾病有关”的结论，则被抽查的没接种动物至少有_______________只. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 5.635 7.879 10.828 14．预制菜指以农、畜、禽、水产品为原辅料，配以调味料等经预选、调制等工艺加工而成的半成品.近几年预制菜市场快速增长.某城市调查近4个月的预制菜市场规模y（万元）得到如表所示的数据，根据数据得到y关于x的非线性回归方程 1 2 3 4 按照这样的速度，预估第10个月的预制菜市场规模是______万元.（结果用e表示） 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分） 某材料研究所研发了两种防冰涂层：电热防冰涂层、疏水防冰涂层．该研究所在模拟高空低温云雾环境的风洞中开展积冰试验，共记录200次试验数据，统计涂层无积冰（合格）、有积冰（不合格）的情况，整理得到如下列联表： 防冰涂层类型 积冰情况 合计 无积冰 有积冰 电热防冰涂层 70 30 100 疏水防冰涂层 85 15 100 合计 155 45 200 (1)分别求两种防冰涂层的合格率； (2)依据的独立性检验，能否认为防冰涂层类型和防冰涂层是否有积冰有关联？ 参考公式：，其中． 参考数据： 0.05 0.01 3.841 6.635 16．（15分） 近年来我国新能源汽车行业蓬勃发展，新能源汽车不仅对环境保护具有重大的意义，而且还能够减少对不可再生资源的开发，是全球汽车发展的重要方向．某地区近几年新能源汽车的购买情况如下表所示： 年份 2019 2020 2021 2022 2023 购买量（万辆） 0.40 0.70 1.10 1.50 1.80 (1)计算与的相关系数（保留三位小数）； (2)求关于的线性回归方程，并预测该地区2026年新能源汽车购买数量． 参考公式：． 参考数值：． 17．（15分） 2025年世界人工智能大会于2025年7月26日至28日在上海市举行，大会号召“共商技术创新路线，共促技术成果赋能”.某企业的AI产品销售部门统计了1～5月份的销售量（单位：万件）： 月份x 1 2 3 4 5 销售量y 3 5 6 9 12 (1)已知可用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的经验回归方程； (2)该企业科研部门从1月份与4月份的客户中分别随机抽取2位客户和6位客户进行电话回访，科研部门的工作人员甲从这8位客户中随机抽取2位进行回访，记甲回访客户中1月份的客户人数为，求的分布列和数学期望. 附：经验回归方程的斜率与截距的最小二乘估计公式分别为，. 18．（17分） 有一种速度叫中国速度，有一种骄傲叫中国高铁.高铁可以说是中国的一张行走的名片.截至2020年，中国高铁运营里程已经达到3.9万千米.2013年至2020年中国高铁每年的运营里程统计如下表，它反映了中国高铁的飞速发展. 年份 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 年份代码x 1 2 3 4 5 6 7 8 运营里程y/万千米 1.3 1.6 1.9 2.2 2.5 2.9 3.5 3.9 根据以上数据，回答下面的问题. (1)甲同学用曲线来拟合，并算出相关系数；乙同学用曲线来拟合，并算出转化为线性回归方程所对应的相关系数.请判断哪一个更适合作为y关于x的回归方程类型，并说明理由. (2)根据（1）的判断结果及表中数据，求y关于x的回归方程.（系数精确到0.1） (3)请你利用得到的模型，预测2030年中国高铁的运营里程将达到多少万千米. 参考公式：用最小二乘法求线性回归方程的系数，公式为； 参考数据：，令，. 19．（17分） 随着生活质量的提高，户外运动得到越来越多人的青睐．某市为了了解市民对户外运动的喜欢情况是否存在性别差异，随机抽取了该市名市民，得到的统计数据如下表所示： 喜欢户外运动 不喜欢户外运动 合计 男性 女性 合计 (1)试根据的独立性检验，能否认为该市市民喜欢户外运动与性别有关联？ (2)用频率估计概率，现从该市随机抽取名市民，记其中喜欢户外运动的人数为随机变量，求的数学期望和方差； (3)户外运动达人小方每周末都会在爬山和骑行中选一项进行，若他上一个周末选择爬山则这个周末仍选择爬山的概率为，若他上一个周末选择骑行则这个周末选择爬山的概率为．已知小方某月份的第三个周末选择了爬山的概率为，求他该月份第二个周末选择爬山的概率． 附：，． 临界值表： 试题 第3页（共5页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $