2026-2027学年人教版数学上册七年级期中必刷常考题之新定义和材料分析问题

2026-2027学年上学期初中数学人教版（2024）七年级期中必刷常考题之新定义和材料分析专题

1．定义：若a+b＝2，则称a与b是关于2的平衡数．

（1）3与 _______ 是关于2的平衡数，7﹣x与 ________ 是关于2的平衡数．（填一个含x的代数式）

（2）若a＝x2﹣4x﹣1，b＝x2﹣2（x2﹣2x﹣1）+1，判断a与b是否是关于2的平衡数，并说明理由．

（3）若c＝kx+1，d＝x﹣3，且c与d是关于2的平衡数，若x为正整数，求非负整数k的值．

2．定义一种新运算：对任意有理数a，b都有a⊕b＝2a﹣3b，例如：1⊕2＝2×1﹣3×2＝﹣4．

（1）求﹣2⊕3的值；

（2）化简并求值：（x+3ay）⊕（x﹣2by），其中a，b互为相反数，x是最大的负整数．

（3）已知x2⊕a与3⊕ax2的差中不含x2项，求a的值．

3．定义新运算“*”，规定M*N＝M﹣2N，请按要求完成下列问题：

（1）若M＝3x2﹣2xy﹣y，N＝x2﹣xy﹣3，化简M*N；

（2）若（x+2）2+|y﹣1|＝0，求第（1）问中M*N的值．

4．阅读材料：对于任何有理数，我们规定符号的意义是ad﹣bc．例如：1×4﹣2×3＝﹣2．

（1）按照这个规定，请你计算的值；

（2）按照这个规定，请你计算当|x|+（y﹣2）2＝0时，值．

5．如果整式A与整式B的和为有理数a，我们称A，B为数a的“关联整式”．例如x﹣4和﹣x+5为数1的“关联整式”：2ab+3和﹣2ab+4为数7的“关联整式”．

（1）2﹣m+n和m﹣n﹣5为数 _______ 的“关联整式”；

（2）若2A和B为数1的“关联整式”，A＝x2﹣2x+3，求代数式B；

（3）若关于x的整式x2﹣2kx+3与﹣x2﹣3x+k﹣1为数n的“关联整式”，求有理数n的值．

6．整体思想是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，把某些式子或图形看成一个整体，进行整体处理．它作为一种思想方法在数学学习中有广泛的应用，例如：已知x2+x＝1，求x2+x+2026的值，我们将x2+x作为一个整体代入，则原式＝1+2026＝2027．仿照上面的解题方法，完成下面的问题：

（1）已知a2+a＝1，求代数式2a2+2a+2026的值；

（2）已知a+b＝﹣2，求代数式5（a+b）﹣7a﹣7b+11的值；

（3）已知a2﹣2ab＝﹣5，ab+2b2＝﹣3，求代数式3a2﹣4ab+4b2的值．

7．给出定义如下：我们称使等式a+b＝ab成立的一对有理数a、b为“洣水有理数对”，记作（a，b）．例如：3+1.5＝3×1.5，因此数对（3，1.5）是“洣水有理数对”．

（1）数对（﹣3，﹣2），中，是“洣水有理数对”的是____________________ ；

（2）若（m，n）是“洣水有理数对”，求2mn﹣（3mn﹣m﹣n﹣6）的值；

（3）若（x，y）是“洣水有理数对”且代数式3xy+mx﹣1中不含x的项，求m的值．

8．对于有理数a，b满足a﹣b＝ab+1，我们称使等式成立的一对有理数a，b为“相伴有理数对”，记为（a，b）．如（﹣3，2）满足：﹣3﹣2＝﹣3×2+1；（2，）满足：21；所以数对（﹣3，2），（2，）都是“相伴有理数对”．

（1）数对（﹣1，1），（1，0）中，是“相伴有理数对”的是 __________ ；

（2）若（2x﹣1，3）是“相伴有理数对”，求x的值；

（3）若（m，n）是“相伴有理数对”，则n﹣3mn[7mn﹣（m+n）]的值为 ___________________ ．

9．定义一种新运算“★”：

1★3＝1×5﹣3＝2；

3★（﹣1）＝3×5﹣（﹣1）＝15+1＝16；

．

观察上述各式的运算方法，解答下列问题：

（1）请按照以上新运算“★”的运算方法，写出a★b的运算表达式；

（2）若（y+2）★（1﹣3y）＝1，求y的值；

（3）若m★（﹣n）＝2024，求（3m+2n）★（5m+8n）的值．

10．给出定义如下：我们称使等式a﹣b＝ab+1的成立的一对有理数a，b为“相伴有理数对”，记为（a，b）如：，，所以数对，都是“相伴有理数对”．

（1）在数对中， __________________ ，（﹣3）+1＝ __________________ ，所以数对 _____ （填“是”或“不是”）“相伴有理数对”．

（2）若（x，0）是“相伴有理数对”，则x的值是多少？

（3）若（a，b）是“相伴有理数对”，求6ab﹣2a+（a+b﹣5ab）+7的值．

11．日常生活中每星期都有7天，所以我们定义：若a+b＝7，则称a与b为“完美星期数”，例如：因为6+1＝7，我们就说6和1是“完美星期数”，请根据以上材料，回答下列问题：

（1）﹣2与_____ 是“完美星期数”，5﹣x与________ 是“完美星期数”；（用含x的代数式表示）

（2）若p＝4（c2+2c﹣3），q＝﹣2（4c+2c2﹣2），请你通过计算判断p与q是否为“完美星期数”；

（3）已知a＝cx2+2（6x﹣x2）﹣3，b＝10﹣3（x2+dx），且a与b为“完美星期数”，求c与d的值．

12．阅读以下材料：已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原两个两位数均不同的新数，若这两个两位数的和与交换位置后两个新两位数的和相等，则称这样的两个两位数为“幸福数对”，例如21+34＝12+43＝55，所以21和34是“幸福数对”．解决如下问题：

（1）请判断43与67是否是“幸福数对”？并说明理由；

（2）为探究“幸福数对”的本质，可设“幸福数对”中一个数的十位数字为a，个位数字为b，且a≠b；另一个数的十位数字为c，个位数字为d，且c≠d，则a，b，c，d之间满足怎样的数量关系？试说明理由；并证明“幸福数对”的两个数的和是11的倍数．

13．关于x的代数式，当x取任意一组相反数m与﹣m时，若代数式的值相等，则称之为“偶代数式”；若代数式的值互为相反数，则称之为“奇代数式”．例如代数式x2是“偶代数式”，x3是“奇代数式”．

（1）以下代数式中，是“偶代数式”的有 _______ ，是“奇代数式”的有 _____ ；（将正确选项的序号填写在横线上）

①|x|+1；②x3+x；③2x2+4．

（2）对于整式﹣x3+x+1，当x分别取2与﹣2时，求整式的值分别是多少．

（3）对于整式x5﹣x3+x2+x+1，当x分别取﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4时，这九个整式的值之和是 _______ ．

14．定义：若一个三位数的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c（a、b、c为整数，且a≠0），满足a+c＝2b，则这个三位数叫做“杨山数”．例如：三位数135，因为1+5＝2×3，所以它是“杨山数”．

（1）三位数258是“杨山数”吗？请说明理由；

（2）设一个“杨山数”为N，请用含a，b，c的代数式表示N，并证明N一定能被3整除；