第5章 导数及其应用（复习讲义）数学苏教版选择性必修第一册

第5章 导数及其应用 复习要点 1、学生理解导数的概念与几何意义，掌握基本初等函数的导数公式及四则运算法则，能运用导数研究函数的单调性、极值与最值，解决简单的实际优化问题； 2、经历导数的抽象推导与应用过程，提升数形结合、逻辑推理与数学建模能力，体会导数的工具性价值，建立数学与实际生活的联结。 复习重难点 重点：导数的几何意义、求导运算规则，以及利用导数分析函数单调性与求解最值。 难点：导数概念的抽象理解、复合函数求导，以及含参函数的性质探究与实际问题的建模转化。 知识点 导数的概念 函数的导数 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0， 即f′(x0). 函数f(x)的导函数 称函数为f(x)的导函数． 导数的几何意义 函数f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率． 相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)． [注意] 1函数y＝fx的导数f′x反映了函数fx的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′x|反映了变化的快慢，|f′x|越大，曲线在这点处的切线越“陡”； 2曲线y＝fx在点Px0，y0处的切线是指以P为切点，斜率为k0＝f′x0的切线，是唯一的一条切线． 要点速测 曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题可知，，则当时，，， 所以切线方程为，即. 知识点 导数的运算 导数的运算 基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cosx f(x)＝cos x f′(x)＝－sinx f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝axlna f(x)＝ln x f′(x)＝ f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝ 导数的运算法则 （1） [f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； （2） [f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； （3）(g(x)≠0)． （4） 复合函数的导数 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′， 即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． [常用结论] 1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 2．熟记以下结论 (1)；(2)(f(x)≠0)； (3)[af(x)±bg(x)]′＝af′(x)±bg′(x)． 要点速测 已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以， 所以. 知识点 函数性质与导数 利用研究函数的单调性 利用导数研究函数的单调性 在内可导函数，在任意子区间内都不恒等于0. 在上为增函数． 在上为减函数． 利用导数判断函数单调性的一般步骤 (1)求f′(x)． (2)在定义域内解不等式f′(x)>0或f′(x)<0. (3)根据结果确定f(x)的单调性及单调区间． 已知函数在区间上递增（递减）求参数 已知函数在区间上单调 ①已知在区间上单调递增，恒成立. ②已知在区间上单调递减，恒成立. 利用导数研究函数的极值、最值 函数的极值 函数的极小值 如果对附近的所有点都有，而且在点附近的左侧，右侧，则称是函数的一个极小值，记作． 函数的极大值 函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，而且在点附近的左侧，右侧，则称是函数的一个极大值，记作． 极值点 极小值点，极大值点统称为极值点． 极值 极大值和极小值统称为极值． 求函数极值的步骤 ①先确定函数的定义域； ②求导数； ③求方程的解； ④检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值． 函数的最值 函数在区间上有最值的条件 如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值. 求函数在区间上的最大（小）值的步骤 ①求在内的极值（极大值或极小值）； ②将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 要点速测 函数在区间上的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，， 令，即，得. 所以在上单调递减. 知识点 恒成立、能成立问题与导数 恒成立和有解问题 1、若函数在区间D上存在最小值和最大值，则 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； 2、若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论： 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； 要点速测 已知函数． 设函数，若在定义域内恒成立，求的取值范围； 【解析】恒成立，的定义域为，所以在上恒成立， 令，原问题转化为求函数在的最大值，则， 令，则，所以函数在上单调递增； 令，则，所以函数在上单调递减， 所以，所以， 故的取值范围为． 题型一 导数的定义 【典例1】（2026·高二·北京东城·阶段检测）设函数在上可导，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数在上可导，所以 . 【变式1-1】（2026·高二·陕西榆林·期中）设是可导函数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由导数的定义可得，. 【变式1-2】（2026·高三·浙江杭州·阶段检测）已知函数，则 （    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以，， 所以. 【变式1-3】（2026·高三·湖北孝感·开学考试）定义在上的函数，若，则（    ） A．-1 B．1 C．2026 D．-2026 【答案】C 【解析】 题型二 平均速度、瞬时速度 【典例2】（2026·高二·青海西宁·期末）函数在区间上的平均变化率为（    ） A．3 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【解析】由题意可知函数在区间上的平均变化率为． 【变式2-1】（2026·高二·广东深圳·期中）函数在区间上的平均变化率为（     ） A．3 B．15 C．10 D．30 【答案】B 【解析】函数在区间上的平均变化率为． 【变式2-2】（2026·高二·陕西榆林·期中）假设“高原版”复兴号动车开出站一段时间内，速度与行驶时间的关系为，，则当时，“高原版”复兴号动车的加速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，. 当时，， 所以当时，“高原版”复兴号动车的加速度为. 【变式2-3】（2026·高二·吉林·期末）一个质点做直线运动，其位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）满足关系式，则当时，该质点的瞬时速度为（     ） A．米/秒 B．6米/秒 C．9米/秒 D．12米/秒 【答案】D 【解析】∵∴ ∴ 即当时，该质点的瞬时速度为12米/秒. 题型三 曲线的切线方程 【典例3】（2026·高三·安徽阜阳·阶段检测）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数的导数为， 则曲线在点处的切线的斜率 所以切线方程为，即. 【变式3-1】（2026·高三·广东惠州·阶段检测）若直线是曲线的一条切线，则实数（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】对求导，得 ， 设直线与曲线相切于点，那么，则 ，所以实数. 【变式3-2】（2026·高三·四川成都·开学考试）如果过点作曲线的切线恰有三条，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设切点为，因为，所以， 则切线方程为，即， 将代入得， 因为切线恰有三条，所以方程有三个根， 则和的图象有三个交点， 因为，所以当或时，单调递减； 当时，单调递增； 则，即， 则实数的取值范围为 【变式3-3】若存在过点的直线与曲线和都相切，则（   ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 设过点的直线与曲线相切于点， 则在点处的切线斜率， 所以切线方程为，即， 又点在切线上，所以，解得或， 当时，由直线与曲线相切可得方程有两个相等的实数根， 此时且，解得； 当时，由直线与曲线相切， 联立直线方程和抛物线方程并消去，得， 此时，解得． 综上所述，或. 题型四 构造函数解不等式 【典例4】（2026·高二·吉林长春·期末）定义在上的函数满足，，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】构造函数，，则， 由于，所以在上恒成立，所以在上单调递增， 而，所以， 所以， 则不等式等价于， 故，即，所以不等式的解集为. 【变式4-1】（2026·高二·湖北十堰·期末）已知函数，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数的定义域为，，故为上的奇函数. ，根据基本不等式，得，当且仅当时取等号. 又，因此，且等号不能同时取到， 因此恒成立，所以在上单调递增. 不等式等价变形为，由单调性得， 即，解得. 所以不等式的解集为. 【变式4-2】（2026·高二·四川攀枝花·期末）定义在上的奇函数的导函数为，当时，，且，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】注意到，则当时，单调递减. 又为上奇函数，为上奇函数， 则为上奇函数，为R上偶函数， 则在上单调递增，据此可得大致图象如下： 则. 【变式4-3】（2026·重庆·模拟预测）已知定义在上的函数的导函数为.若对任意，都有，且，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令， 则， 所以在R上递增， 又， 则不等式等价于， 所以， 即不等式的解集为. 题型五 导数的运算 【典例5】求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【解析】（1） （2）方法一：． 方法二：，则． （3） （4） （5） 【变式5-1】（2026·高二·甘肃兰州·期中）求下列函数的导数： (1)； (2) (3) (4)； (5)； (6) 【解析】（1）由，得. （2）由为常数，得. （3）由，得. （4）由，得. （5）由，得. （6）由，令，得， 则. 【变式5-2】（2026·高二·天津·阶段检测）求下列函数的导数： (1) (2) (3) (4) 【解析】（1）因为， 所以. （2）因为， 所以. （3）因为， 所以. （4）因为， 所以. 【变式5-3】（2026·高二·浙江金华·期中）求下列函数的导函数 (1) (2) (3) (4) 【解析】（1） （2）； （3） （4） 题型六 复合函数的导数 【典例6】求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【解析】（1）因为， 所以． （2）． （3） ． （4）因为， 所以． （5）因为， 所以 ． 【变式6-1】求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)． 【解析】（1）. （2）. （3）方法一： ， 所以． 方法二： ． 【变式6-2】（2026·高二·天津·阶段检测）求下列函数的导数： (1) (2) (3) (4) 【解析】（1）. （2）. （3）. （4）. 【变式6-3】求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)． 【解析】（1）令，则， ． （2）令，则， ． （3）设， 则． （4）设， 则． 题型七 函数单调性与导数 【典例7】求下列函数的单调区间． (1)； (2)； (3)； (4)． 【解析】（1）， 令，得，令，得或． 故函数的单调递减区间为，单调递增区间为． （2）函数的定义域为．，令，可得．当变化时，的变化情况如表所示． 3 - - 0 + 单调递减 单调递减 单调递增 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为和． （3），令，可得或． 当变化时，的变化情况如表所示． 0 + 0 - 0 + 单调递增 单调递减 0 单调递增 所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为． （4）函数的定义域为， 令，则等价于，因为，所以在上单调递减， 又，所以由解得． 当变化时，的变化情况如表所示． 1 + 0 - 单调递增 单调递减 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为． 【变式7-1】（2026·高三·河北石家庄·阶段检测）已知函数. (1)若在上单调递减，求实数的取值范围； (2)若在上存在单调递减区间，求实数的取值范围. 【解析】（1），， ∵在上单调递减， ∴当时，恒成立，即恒成立， ∵，时， ∴当，即时，取最大值， ∴，又， ∴实数a的取值范围是． （2）∵在上存在单调递减区间， ∴当时，有解，即有解， ∵，时， ∴当，即时，取最小值， ∴，又， ∴实数a的取值范围是． 【变式7-2】已知函数． (1)若在上单调递增，求实数的取值范围； (2)讨论函数的单调性． 【解析】（1）依题意，， 令，则， 令，，则， 故在上单调递增；故； 经检验，当时，，当且仅当时等号成立， 故实数的取值范围为； （2）依题意，， 令，其中； 若，即时，恒成立， 所以，在上单调递增； 若，则或，令，解得，， 其中，； 若，则，此时，， 所以，在上单调递增； 若，则当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增； 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减. 【变式7-3】（2026·高二·江苏连云港·阶段检测）已知函数为自然对数的底数． (1)当时，求函数的单调区间 (2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围． 【解析】（1）当时，， 所以 令，解得或 令，解得 所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为． （2）因为函数在上单调递增，所以． 即对任意恒成立， 因为， 又，所以对任意恒成立． 设，， 则 即，解得． 题型八 极值、最值与导数 【典例8】已知函数． (1)若在处取得极值，求的值； (2)求函数的最值． 【解析】（1）因为，所以，其中． 因为函数在处取得极值，所以，解得． 经检验，符合题意，故． （2）由（1）知，． 当时，，所以函数在上单调递增，无最值； 当时，，所以函数在上单调递增，无最值； 当时，令，得；令，得； 故在上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值，也是最大值为， 无最小值． 综上，当时，函数无最值； 当时，函数的最大值为，无最小值． 【变式8-1】（2026·高二·上海宝山·期末）已知函数在处取得极小值. (1)求函数的解析式及单调增区间； (2)求函数在区间的最大值与最小值。 【解析】（1）由，则， 因为函数在处取得极值，则，即， 此时， 又，解得：， 所以，则， 令，得或；令，得， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得极小值，单调递增区间为和． （2）由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增， 又，，． 所以函数的最大值为4，最小值为． 【变式8-2】（2026·高二·陕西榆林·期中）已知函数，. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若函数有最小值，且的最小值大于，求的取值范围. 【解析】（1）当时，，， ∴，故， ∴曲线在处的切线方程为，即． （2）， 由得，由得， ∴在上单调递增，在上单调递减， ∴当时，有最小值， 依题意，，即， ∵，∴， 设，则， 由基本初等函数的单调性知，在上单调递增， 又，故由可得， 故的取值范围是． 【变式8-3】（2026·高二·青海西宁·期末）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)是函数的一个极值点，求在区间上的最大值． 【解析】（1）已知函数，. 当或时，，单调递减. 当时，，单调递增. 因此的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）. 是函数的一个极值点，， ，. 令，解得或；令，解得． 可知函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 则是函数的一个极值点，符合题意， 又因为，可知在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 函数的极大值为，且， 函数在区间上的最大值为． 题型九 证明不等式 【典例9】（2026·高二·陕西榆林·期末）已知函数. (1)求函数的极值； (2)求函数在上的最小值与最大值； (3)设，证明：. 【解析】（1）函数的定义域为， 所以， 因为，所以，令得， 当时，，在单调递增； 当时，，在单调递减， 因此只有极小值，无极大值，且极小值为； （2）由（1）的单调性可知在单调递减，在单调递增， 因此最小值为， 计算区间端点值，， 因为，所以，所以， 故在上的最大值为． （3）证明：由，得，即， 令，则， 令，得；令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则，即恒成立， 所以． 【变式9-1】（2026·高二·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)证明：对任意，都有. 【解析】（1）由得, ，得. 所以曲线在点处的切线方程为， 即; （2）的定义域为. 由（1）知，令，得， 令，得，且， 所以的单调递增区间为；单调递减区间为，. （3）证明：设，则. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以，即. 当时，（当且仅当时，等号成立）. 因为（当且仅当，即时，等号成立）， 所以（两个等号不能同时成立），所以, 所以对任意，都有. 【变式9-2】（2026·高二·河南·期末）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：当时，． 【解析】（1）因为，所以，所以切点的坐标为． 因为，所以， 所以曲线在点处的切线方程为，即． （2）证明：不等式即，所以． 因为当时，，所以只需证，即． 令，则. 因为当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 所以，所以恒成立． 所以当时，． 当时，令，则． 令，则． 因为，所以． 令，，则恒成立， 所以在上单调递增． 所以． 所以在上恒成立，所以即在上单调递增． 因为，所以在上恒成立， 所以在上单调递减． 因为，所以，所以． 综上，当时，恒成立． 【变式9-3】（2026·高二·山东滨州·期末）设函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)证明：当时，. 【解析】（1）当时，， 所以， 则，， 所以曲线在点处的切线方程为， 即. （2）的定义域为 ， 求导数，得 ， 若 ，则，此时在上单调递增， 若 ，则由得，当时， ，当时， ， 此时在上单调递减，在上单调递增. （3）由（2）知，当，在上单调递减，在上单调递增； 所以， 要证，即证， 即证：， 因为，即证：， 令，所以， 且， 令，解得：， 令，解得：， 令，解得：， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则 所以恒成立，即成立，得证. 题型十 恒成立、能成立与导数 【典例10】已知函数，． (1)若曲线在点处的切线的斜率为，求的方程； (2)在（1）的条件下，若恒成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）由题意得， 则切线的斜率为，所以， 又， 所以曲线在点处的切线方程为， 即． （2） 结合（1）得，又， 则，整理得， 令，则， 由于为上的单调递增函数，且当时，， 故当时，，则； 当时，，则， 所以在上单调递减，在上单调递增， 因此，故的取值范围为． 【变式10-1】（2026·高二·陕西榆林·期中）已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)若，，求的取值范围. 【解析】（1）求导得， 令，解得或， 当时，，则由，得或，由，得， 则在上单调递减，在和上单调递增； 当时，，，则在区间上单调递增； 当时，，则由，得或，由，得， 则在区间上单调递减，在和上单调递增． （2）由，可得， 即， 令，则， 则得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则，则， 故，令， 则，令，解得， 则当时，，当时，， 则在上单调递增，在上单调递减， 则，所以， 故的取值范围为． 【变式10-2】（2026·高二·河北唐山·期末）已知函数，且曲线在点处的切线与直线垂直. (1)求实数的值，并求的单调区间与极值； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）函数的定义域为，. 曲线在处的切线斜率为，直线的斜率为. 由两直线垂直斜率乘积为，得，解得. 将代入得，令，解得，. 当或时，，单调递增； 当时，，单调递减. 则极大值为， 极小值为. （2）存在使得成立，等价于. 由（1）可知，，因此在上单调递增，在上单调递减. 因此在上的最大值为，故，即的取值范围为. 【变式10-3】（2026·高二·福建三明·期末）已知函数. (1)求的极值； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围. 【解析】（1），， 令，， ，， ，， 在上单调递减，在上单调递增， 在处取得极小值，极小值为，无极大值. （2）存在，使得成立， 即在上有解， 即在上有解， 令，， ，， ，， 在上单调递减，在上单调递增， 在处取得最小值，即最小值为. 因为在上有解，所以， 所以实数的取值范围为. 难点一 导数新定义 解决导数新定义问题，核心是紧扣导数的极限本质：函数值增量与自变量增量的比值，在自变量增量趋近于 0 时的极限。解题时先识别题目给出的极限结构，通过配凑、拆项、添项将其转化为 f'(x₀) 的标准定义形式，重点关注自变量增量的符号、倍数与趋近方向的一致性。抽象函数可通过变量代换统一增量形式，也可结合几何意义转化为切线斜率辅助分析。解题需保证变形等价，注意极限存在的条件，最终结合导数公式或定义式完成求解。 难点精练 1．（2026·高二·河北张家口·阶段检测）函数的单调性反映在图象上，就是曲线的上升或下降，但曲线在上升或下降的过程中，还有一个弯曲方向的问题，即函数的凹凸性，函数的凹凸性可以用连接曲线上任意两点的弦的中点与曲线上相应点（即具有相同横坐标的点）的位置关系来描述定义如下：设在区间上连续，如果对上任意两点恒有，则称在区间上的图形是凹的（图1），区间为凹的区间；设在区间上连续，如果对上任意两点恒有，则称在区间上的图形是凸的（图2），区间为凸的区间.    关于导数与函数的凹凸性的关系，有如下定理：设在区间上连续，在区间上具有一阶和二阶导数，那么①如果在上恒有，则在区间上的图象是凹的；如果在区间上的图象是凹的，则在上恒有；②如果在上恒有，则在区间上的图象是凸的；如果在区间上的图象是凸的，则在上恒有；其中是的导函数，为的一阶导数；是的导函数，为的二阶导数.根据以上内容，完成如下问题： (1)试判断函数图象是凹的还是凸的，用定理证明； (2)已知函数，求的凹的区间和凸的区间； (3)若时，恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）图象是凸的，证明： 因为，， 又，所以，所以图象是凸的. （2）因为函数，所以的定义域为， ，， 令，则，令，则， 故的凹的区间为，的凸的区间为. （3）由题意可知，定义域为， 且等价于， 令，，，， 则，， ，当时，，当时，， 时，，时，， 故在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减， 则，， 若恒成立，则，解得：. 2．（2026·高二·河北石家庄·期末）如图，在求解一些函数零点的近似值时，常用牛顿切线法进行求解．牛顿切线法的计算过程如下：设函数的一个零点，先取定一个初值，曲线在处的切线为，记与x轴的交点横坐标为，曲线在处的切线为，记与x轴的交点横坐标为，以此类推，每进行一次切线求解，我们就称之为进行了一次迭代，若进行足够多的迭代次数，就可以得到的近似值，设函数，令． (1)证明：存在唯一零点，且； (2)已知，判断与的大小，并给出理由； (3)经过4次迭代后，的近似值为，判断与的大小，并给出理由． 【解析】（1）由求导得，所以单调递增， 因为，， 所以存在唯一零点，且； (2)，理由如下： 在点处的切线方程为， 令，解得， 则，易知， 所以 要证，只需证， 即，因为，所以 （3），理由如下： 由（2）可知， 所以，所以 所以， 所以经过4次迭代后，的近似值与的差值小于 3．（2026·高二·安徽阜阳·期末）对于函数，规定叫做函数的阶导数.若函数在包含的某个闭区间上具有阶导数，且在开区间上具有阶导数，则对闭区间上任意一点，该公式称为函数在处的阶泰勒展开式，是此泰勒展开式的阶余项.已知函数. (1)写出函数在处的2阶泰勒展开式（用表示即可）； (2)设函数在处的3阶余项为，求证：对任意的； (3)求证：…<. 【解析】（1）由，得 所以， 所以函数在处的2阶泰勒展开式为. （2）由于，结合（1），得. 所以函数在处的3阶泰勒展开式为， 所以. ，令，得， 当时，单调递增； 当时，单调递减. 所以，即对任意的. （3）由（2）知，当时，，即， 因为，所以. ， 因为， 所以， 即， 所以. 4．（2026·高二·广西玉林·期末）定义：如果函数在定义域内存在极大值和极小值，且存在一个常数，使成立，则称函数为极值可差比函数，常数称为该函数的极值差比系数．已知函数． (1)当时，若是极值可差比函数，求的极值差比系数的值； (2)是否存在使的极值差比系数为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【解析】（1）当时，，则， 当时，，当，， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值为，极小值为， 所以． （2）不存在，理由如下：由题意得的定义域为，， 假设存在使的极值差比系数为， 则，是方程的两个不相等的正实数根， 则，解得， 不妨设，则， 因为 ， 所以， 从而，因为，所以， 得（*）， 令，， 所以在上单调递增，所以， 因此（*）无解，所以不存在使的极值差比系数为． 难点二 极值点偏移 极值点偏移的本质是函数在极值点两侧增减速率不均，使得两零点的中点偏离真实极值点。解题需先确定极值点位置、明确偏移方向，常用三类方法：一是对称构造法，通过导数判断单调性，比较函数值大小证明不等式；二是比值 / 差值代换，将双变量问题转化为单变量函数求值域；三是对数平均不等式，适配指对型函数，借助对数平均与算术平均的大小关系放缩证明。解题核心是立足函数单调性，将双变量不等式转化为单变量函数的最值分析。 难点精练 1．（2026·高二·河北邯郸·期末）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若方程有两个不同的根. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 【解析】（1）函数的定义域为，求导得， 当时，由，得；由，得， 函数在内单调递增，在内单调递减； 当时，由，得；由，得， 函数在内单调递减，在内单调递增， 所以当时，在内单调递增，在内单调递减； 当时，在内单调递减，在内单调递增. （2）（i）由，得，令函数， 由（1）得函数在内单调递增，在内单调递减， 又，当时，，且当时，， 则当时，方程有两个不同的根， 所以的取值范围是. （ii）证明：不妨设，由（i）知，且， 当时，；当时，， 设， 设函数， 求导得， 函数在内单调递增，则，即， 于是，由，得， 而在内单调递减， 则，所以. 2．已知函数． (1)若在上单调递增，求实数的取值范围． (2)已知，，若，求证：． 【解析】（1）由，得， 因为在上单调递增，所以在上恒成立，即对任意成立， 由，且，可知当时，取得最小值， 要使不等式恒成立，需，可得， 又因为，得实数的取值范围为. （2）当时，，定义域为，， 不妨设，由，移项得， 令，求导得，故在上单调递增， 由，得，即，所以， 因此， 所以， 若，则恒成立，则在单调递增，则不存在， 所以，记，所以，即， 要证，即证，只需证明，即可推出，即成立， 令，即，不等式等价于 ， 令，得， 在上单调递减，因此，即，不等式得证， 综上，成立. 3．已知函数．设，当时，（其中），求证：． 【解析】， ，， ， ， 设，则， ， 在上递增且， 令，， 设，， ， ， ， ，在上递增， ， ，，令， ， 即：， 又 ， ，即： ， ， 在上递增 ，即：，得证. 4．（2026·高二·北京昌平·期末）已知函数． (1)求曲线在点处的切线的斜率； (2)设，当时，求的零点个数； (3)若，且，求证：． 【解析】（1）因为， 所以． 所以曲线在点处的切线的斜率为0． （2）由题设，． 因为，所以是的一个零点． 当时，等价于． 设函数，，则． 令，解得． 当时，，在区间上单调递减； 当时，，在区间上单调递增． 因为，所以当时，． 又，， 当时，． 又根据零点存在定理，存在唯一，使得． 综上，当时，有2个零点． （3）由题设，． ①当时，，，所以，即． 所以在区间上单调递减； ②当时，，，所以，即． 所以在区间上单调递增． 因为，且，所以． 令，． 因为，当且仅当时等号成立． 所以当时，． 所以． 所以，即． 因为，所以． 因为，所以． 因为在区间上单调递减，，， 所以，即 基础达标 1．（2026·高三·青海西宁·阶段检测）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， 因为在上单调递减，所以对一切恒成立，即对一切恒成立. 当时，，故 ． 反之，当时，对一切恒成立，满足 在上单调递减. 所以实数的取值范围为. 2．（2026·高三·江西·阶段检测）已知函数，则曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】已知，定义域是，， 切点为，所以切线斜率， 因为切点为，斜率为0，所以切线方程为，即. 3．（2026·高三·浙江·阶段检测）已知函数有两个极值点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数的定义域为R，求导得， 由函数有两个极值点，得方程有两个不等的实数根， 因此，解得，所以的取值范围是. 4．（2026·高三·山东泰安·阶段检测）下列求导运算结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，故A错误； ，故B正确； 因为是个常数，所以，故C错误； ，故D错误． 5．（2026·高三·河北雄安·阶段检测）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 将代入导函数，可得， 已知切点为，由点斜式可得切线方程为，即. 6．（2026·高三·江苏无锡·阶段检测）已知函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（     ） A． B． C．3 D．6 【答案】A 【解析】由，得，所以，又， 所以在点处的切线方程为，即， 当时，；当时，. 所以曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为. 7．（2026·高三·江西宜春·阶段检测）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】的定义域是， 而. 令，则. 由于，故. 故单调递增区间为. 8．（多选题）（2026·高三·江苏镇江·开学考试）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确． 9．（多选题）若函数的导函数在区间上是增函数，则函数在区间上的图象不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】依题意，在上是增函数，则在函数的图象上，各点处的切线的斜率随着的增大而增大，观察四个选项的图象，只有A满足，B，C，D均不满足． 10．（多选题）（2026·高二·青海西宁·期末）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列区间中，单调递减的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】由函数的图象，可得当时，，所以在，上单调递减. 11．（多选题）（2026·高二·山东枣庄·期末）下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】对于A：，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于C：，故C正确； 对于D： ，故D正确. 12．已知曲线上的一点，则曲线在点处的切线方程为______. 【答案】 【解析】，根据切线的定义，当时，割线的倾斜角无限趋近于， 故切线的斜率不存在，故曲线在点处的切线为轴，即切线方程为. 13．（2026·高三·河北邢台·阶段检测）已知函数.若曲线在处的切线方程为，则________. 【答案】9 【解析】求导可得， 因为曲线在处的切线方程为， 所以，， 所以，. 14．（2026·高三·河南·阶段检测）函数的单调递增区间为_________． 【答案】 【解析】由已知， 该不等式等价于， 解得. 15．（2026·高三·广西河池·阶段检测）若是函数的极值点，则_________ 【答案】 【解析】函数的定义域为，. ∵ 是的极值点, ∴ , 即 ,解得 . 验证: 当时, , . 当时, , 单调递增; 当时, , 单调递减; 当时, , 单调递增, 故是的极小值点, 符合题意. 16．已知在点处的切线方程为． (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调区间． 【解析】（1）点在切线上，则， ，则， 由题意得，解得， 所以； （2）由（1）得， 由得或；由得， 所以的单调递增区间是，单调递减区间是． 17．（2026·高二·甘肃武威·期末）已知函数 ． (1)求； (2)求函数 的单调区间； (3)求函数 在区间上的最大值和最小值． 【解析】（1）． （2）令，得或， 当或 时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减． 故函数的单调递增区间为 和，单调递减区间为； （3）根据（2），函数在区间上单调递增，在上单调递减， ，，． 故函数的最大值为2，最小值为． 18．（2026·高二·江西景德镇·期末）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)求函数在区间上的最值． 【解析】（1）函数定义域为，求导得． 令得或；令得． 故函数的单调递增区间为、，单调递减区间为． （2）由（1）知函数极值点为、， ，， ，． 故函数在上的最大值为7，最小值为． 19．（2026·高二·北京延庆·期末）求满足下列条件的直线的方程． (1)为曲线在点处的切线； (2)的斜率为且与曲线相切； (3)过原点且与曲线相切． 【解析】（1）因为，所以． 又因为，所以所求切线方程为，即． （2）设切点为，因为，所以切线的斜率为． 所以． 因为，所以切点为． 所以切线方程为，即的方程为． （3）设切点为，因为，所以切线的斜率为． 又因为，所以直线的方程为， 将原点代入上式并整理，可得，解得， 因此切点为，切线方程为，即的方程为． 20．（2026·高二·江西萍乡·期末）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在处取得极小值，求实数的值. 【解析】（1）当时，，则， 又，则， 故所求切线方程为，即. （2）， 令得或，在处取得极小值，或， 若，则， 当时，；当时，；当时，， 此时，在处取得极小值，符合题意； 若，即，则， 当时，；当时，；当时，， 此时，在处取得极大值，不合题意，舍去； 综上所述，． 能力进阶 1．（2026·高二·黑龙江牡丹江·期中）已知函数，则的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得函数的定义域为. ； 令，则，解得； ，，即的单调递减区间为. 2．（2026·高二·广西河池·阶段检测）已知函数，则的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得函数的定义域为. ； 令，则，解得； ，，即的单调递减区间为. 3．（2026·高二·贵州毕节·期中）已知函数，则的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】定义域为，. 令，结合，可得， 解得，即的单调递减区间为. 4．（2026·高二·江苏常州·阶段检测）已知实数，满足，，且，则的最小值为（     ） A．6 B． C． D． 【答案】A 【解析】由可得， 因为，，所以，即， 则， 设，， 则， 令，即，化简可得， 解得或（舍去）， 当时，，则函数单调递减， 当时，，则函数单调递增， 所以当时，取得极小值，即最小值， 所以的最小值为. 5．（2026·高二·北京东城·阶段检测）声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数.我们听到的声音是由纯音合成的，称为复合音.已知一个复合音的数学模型是函数.则下列说法正确的是（    ） A．的最小正周期是 B．在上有2个零点 C．在上是增函数 D．的最大值为 【答案】D 【解析】对于A，，不是的周期，A错误； 对于B，由，得，解得或， 而，则或或，即在上有3个零点，B错误； 对于D，当时，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上为单调递减， 而，，则函数在上的最大值为， ，是的周期， 因此函数的最大值为，D正确； 对于C，由选项D，得函数在上单调递增，在上为单调递减，C错误. 6．（2026·高二·北京东城·阶段检测）已知函数，则“”是“函数在处取得极小值”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】函数的定义域为R， 求导得， 当时，，故在R上单调递增，无极值， 当时，，当或时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 因此函数在处取得极小值，即函数在处取得极小值的充要条件是， 所以“”是“函数在处取得极小值”的充分不必要条件. 7．（2026·江苏镇江·模拟预测）已知定义在上的可导偶函数，满足，，，则（    ） A．7091 B．4561 C．4052 D．2026 【答案】B 【解析】由函数是定义在上的偶函数，得； ，则，得导函数为奇函数，关于原点对称. ，对称轴为导函数的对称轴； 的周期为4，即. . 令，则，解得； ，即函数的周期为4. ，，则； ，，即一个周期内的和为9. . ， . 8．已知是偶函数的导函数，．若时，，则使得不等式成立的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】构造函数，其中，则，所以为上的奇函数， 当时，，所以函数在上为增函数， 由是偶函数的导函数，在上处处可导，则在上处处连续，所以函数在上连续，所以奇函数在上为增函数， 因为，则， 由得，可得，解得，即的取值范围为． 9．（多选题）（2026·高三·内蒙古赤峰·阶段检测）若函数的极大值点为负数，则的值可以为（    ） A．1 B．0 C．2 D．－1 【答案】AC 【解析】因为， 所以， 当时，，无极值，不符合题意． 当，即时，的解为或， 的解为， 则在上是单调递增函数，在上是单调递增函数， 在上是单调递减函数， 则在处取极大值， 则的极大值点为1，不符合题意． 当，即时，的解为或， 的解为， 则在上是单调递增函数，在上是单调递增函数， 在上是单调递减函数， 则在处取极大值， 则的极大值点为， 因为函数的极大值点为负数， 所以，解得． 10．（多选题）已知，为自然对数的底数，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对于A，设，，则在上恒成立，故函数单调递增， 所以，即，又，故，A正确． 对于B，设，，则在上恒成立，故函数单调递增， 所以，即，又，故，B正确． 对于C，设，，则，函数在上单调递增，在上单调递减， 故当时，，即，故，C错误． 对于D，设，，则在上恒成立，故函数单调递增， 所以，即，故，D正确． 11．（多选题）（2026·高三·湖南怀化·开学考试）已知，，，则（） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】选项A：利用对数换底公式，得： ，所以A正确； 选项B：因为， 根据在上单调递增， 可知，，即，所以B错误； 选项C：我们可以构造函数（其中）， 利用换底公式：， 对其求导： 令（其中）， 对其求导， 因为， 所以，所以， 所以在区间上严格单调递增， 所以， 因此，函数在上单调递减， 因为，所以， 即，也就是，所以C正确； 选项D：， ，所以D错误. 12．（2026·高三·山西·阶段检测）若函数存在极小值，且极小值不小于，则实数的最小值为__________． 【答案】2 【解析】已知，其定义域为， 根据求导公式可得：， 因为函数存在极小值，所以在上有解， 即在上有解，当时，，解得， 不在定义域内，舍去，当时，是一元二次方程， 根据一元二次方程求根公式可得：， 因为，所以，解得， 设的两根为，（）， 由韦达定理可知：，所以，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以是函数的极小值点，将代入可得极小值， ，因为，所以， 则，又因为， 令，则， 已知极小值不小于，即，也就是， 移项可得，令， 则，所以在上单调递减， 又因为，所以的解为， 即，解不等式，因为， 所以，移项可得， 两边同时平方得，移项化简可得： ，即，因式分解得： ，解得或（舍去）， 综上所述：实数的最小值为. 13．（2026·高三·福建厦门·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，的单调递增区间为_____． 【答案】 【解析】函数是定义在上的奇函数，当时，， 当时，， ， 所以， ， 令，，， 的单调递增区间为 14．（2026·高二·北京东城·阶段检测）已知函数，，若，则的最小值为______________；若在上单调递减，则的取值范围为______________. 【答案】 1 【解析】对于①：若，则，，， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，取得最小值； 对于②，，， 若在单调递减，则在恒成立， 即在恒成立，令，则， 因为在单调递增， 所以， 所以，即的取值范围为. 15．已知函数. (1)当时，求在处的切线方程； (2)若的极小值为，求的值. 【解析】（1）当时，，. ，. 所以在处的切线方程为， 整理得. （2）由题得，其中， 当时，恒成立，所以是增函数，无极值，不合题意. 所以. 令，解得或； 令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得极小值，极小值为， 解得. 16．已知函数（）. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性. 【解析】（1）当时，，函数定义域为， 求导可得，， 所以切点为，切线斜率为，切线方程为； （2）. 当时，对任意都有， 故，在上单调递增. 当时，令得， 当时，，当时，， 故 在上单调递增，在上单调递减. 综上：当时，在 上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 17．（2026·高三·广东深圳·阶段检测）已知函数. (1)若，求在处的切线方程； (2)若有且只有一个零点，求的取值集合. 【解析】（1）当时，，故， ，故， 故切线方程为，即 （2）由于的定义域为， 令，则，即， 令，则， 当时，，当时，， 故在单调递减，在单调递增，故在取到最大值， 由于，且， 因此只有一个交点时，， 故的取值集合为. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章 导数及其应用 复习要点 1、学生理解导数的概念与几何意义，掌握基本初等函数的导数公式及四则运算法则，能运用导数研究函数的单调性、极值与最值，解决简单的实际优化问题； 2、经历导数的抽象推导与应用过程，提升数形结合、逻辑推理与数学建模能力，体会导数的工具性价值，建立数学与实际生活的联结。 复习重难点 重点：导数的几何意义、求导运算规则，以及利用导数分析函数单调性与求解最值。 难点：导数概念的抽象理解、复合函数求导，以及含参函数的性质探究与实际问题的建模转化。 知识点 导数的概念 函数的导数 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0， 即f′(x0). 函数f(x)的导函数 称函数为f(x)的导函数． 导数的几何意义 函数f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率． 相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)． [注意] 1函数y＝fx的导数f′x反映了函数fx的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′x|反映了变化的快慢，|f′x|越大，曲线在这点处的切线越“陡”； 2曲线y＝fx在点Px0，y0处的切线是指以P为切点，斜率为k0＝f′x0的切线，是唯一的一条切线． 要点速测 曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 知识点 导数的运算 导数的运算 基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cosx f(x)＝cos x f′(x)＝－sinx f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝axlna f(x)＝ln x f′(x)＝ f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝ 导数的运算法则 （1） [f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； （2） [f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； （3）(g(x)≠0)． （4） 复合函数的导数 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′， 即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． [常用结论] 1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 2．熟记以下结论 (1)；(2)(f(x)≠0)； (3)[af(x)±bg(x)]′＝af′(x)±bg′(x)． 要点速测 已知函数，则（    ） A． B． C． D． 知识点 函数性质与导数 利用研究函数的单调性 利用导数研究函数的单调性 在内可导函数，在任意子区间内都不恒等于0. 在上为增函数． 在上为减函数． 利用导数判断函数单调性的一般步骤 (1)求f′(x)． (2)在定义域内解不等式f′(x)>0或f′(x)<0. (3)根据结果确定f(x)的单调性及单调区间． 已知函数在区间上递增（递减）求参数 已知函数在区间上单调 ①已知在区间上单调递增，恒成立. ②已知在区间上单调递减，恒成立. 利用导数研究函数的极值、最值 函数的极值 函数的极小值 如果对附近的所有点都有，而且在点附近的左侧，右侧，则称是函数的一个极小值，记作． 函数的极大值 函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，而且在点附近的左侧，右侧，则称是函数的一个极大值，记作． 极值点 极小值点，极大值点统称为极值点． 极值 极大值和极小值统称为极值． 求函数极值的步骤 ①先确定函数的定义域； ②求导数； ③求方程的解； ④检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值． 函数的最值 函数在区间上有最值的条件 如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值. 求函数在区间上的最大（小）值的步骤 ①求在内的极值（极大值或极小值）； ②将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 要点速测 函数在区间上的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 知识点 恒成立、能成立问题与导数 恒成立和有解问题 1、若函数在区间D上存在最小值和最大值，则 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； 2、若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论： 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； 要点速测 已知函数． 设函数，若在定义域内恒成立，求的取值范围； 题型一 导数的定义 【典例1】（2026·高二·北京东城·阶段检测）设函数在上可导，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026·高二·陕西榆林·期中）设是可导函数，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026·高三·浙江杭州·阶段检测）已知函数，则 （    ） A．4 B．2 C． D． 【变式1-3】（2026·高三·湖北孝感·开学考试）定义在上的函数，若，则（    ） A．-1 B．1 C．2026 D．-2026 题型二 平均速度、瞬时速度 【典例2】（2026·高二·青海西宁·期末）函数在区间上的平均变化率为（    ） A．3 B．6 C．8 D．12 【变式2-1】（2026·高二·广东深圳·期中）函数在区间上的平均变化率为（     ） A．3 B．15 C．10 D．30 【变式2-2】（2026·高二·陕西榆林·期中）假设“高原版”复兴号动车开出站一段时间内，速度与行驶时间的关系为，，则当时，“高原版”复兴号动车的加速度为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2026·高二·吉林·期末）一个质点做直线运动，其位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）满足关系式，则当时，该质点的瞬时速度为（     ） A．米/秒 B．6米/秒 C．9米/秒 D．12米/秒 题型三 曲线的切线方程 【典例3】（2026·高三·安徽阜阳·阶段检测）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2026·高三·广东惠州·阶段检测）若直线是曲线的一条切线，则实数（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式3-2】（2026·高三·四川成都·开学考试）如果过点作曲线的切线恰有三条，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】若存在过点的直线与曲线和都相切，则（   ） A．或 B． C．或 D． 题型四 构造函数解不等式 【典例4】（2026·高二·吉林长春·期末）定义在上的函数满足，，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2026·高二·湖北十堰·期末）已知函数，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2026·高二·四川攀枝花·期末）定义在上的奇函数的导函数为，当时，，且，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2026·重庆·模拟预测）已知定义在上的函数的导函数为.若对任意，都有，且，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 题型五 导数的运算 【典例5】求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【变式5-1】（2026·高二·甘肃兰州·期中）求下列函数的导数： (1)； (2) (3) (4)； (5)； (6) 【变式5-2】（2026·高二·天津·阶段检测）求下列函数的导数： (1) (2) (3) (4) 【变式5-3】（2026·高二·浙江金华·期中）求下列函数的导函数 (1) (2) (3) (4) 题型六 复合函数的导数 【典例6】求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【变式6-1】求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)． 【变式6-2】（2026·高二·天津·阶段检测）求下列函数的导数： (1) (2) (3) (4) 【变式6-3】求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)． 题型七 函数单调性与导数 【典例7】求下列函数的单调区间． (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式7-1】（2026·高三·河北石家庄·阶段检测）已知函数. (1)若在上单调递减，求实数的取值范围； (2)若在上存在单调递减区间，求实数的取值范围. 【变式7-2】已知函数． (1)若在上单调递增，求实数的取值范围； (2)讨论函数的单调性． 【变式7-3】（2026·高二·江苏连云港·阶段检测）已知函数为自然对数的底数． (1)当时，求函数的单调区间 (2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围． 题型八 极值、最值与导数 【典例8】已知函数． (1)若在处取得极值，求的值； (2)求函数的最值． 【变式8-1】（2026·高二·上海宝山·期末）已知函数在处取得极小值. (1)求函数的解析式及单调增区间； (2)求函数在区间的最大值与最小值。 【变式8-2】（2026·高二·陕西榆林·期中）已知函数，. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若函数有最小值，且的最小值大于，求的取值范围. 【变式8-3】（2026·高二·青海西宁·期末）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)是函数的一个极值点，求在区间上的最大值． 题型九 证明不等式 【典例9】（2026·高二·陕西榆林·期末）已知函数. (1)求函数的极值； (2)求函数在上的最小值与最大值； (3)设，证明：. 【变式9-1】（2026·高二·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)证明：对任意，都有. 【变式9-2】（2026·高二·河南·期末）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：当时，． 【变式9-3】（2026·高二·山东滨州·期末）设函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)证明：当时，. 题型十 恒成立、能成立与导数 【典例10】已知函数，． (1)若曲线在点处的切线的斜率为，求的方程； (2)在（1）的条件下，若恒成立，求实数的取值范围． 【变式10-1】（2026·高二·陕西榆林·期中）已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)若，，求的取值范围. 【变式10-2】（2026·高二·河北唐山·期末）已知函数，且曲线在点处的切线与直线垂直. (1)求实数的值，并求的单调区间与极值； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围. 【变式10-3】（2026·高二·福建三明·期末）已知函数. (1)求的极值； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围. 难点一 导数新定义 解决导数新定义问题，核心是紧扣导数的极限本质：函数值增量与自变量增量的比值，在自变量增量趋近于 0 时的极限。解题时先识别题目给出的极限结构，通过配凑、拆项、添项将其转化为 f'(x₀) 的标准定义形式，重点关注自变量增量的符号、倍数与趋近方向的一致性。抽象函数可通过变量代换统一增量形式，也可结合几何意义转化为切线斜率辅助分析。解题需保证变形等价，注意极限存在的条件，最终结合导数公式或定义式完成求解。 难点精练 1．（2026·高二·河北张家口·阶段检测）函数的单调性反映在图象上，就是曲线的上升或下降，但曲线在上升或下降的过程中，还有一个弯曲方向的问题，即函数的凹凸性，函数的凹凸性可以用连接曲线上任意两点的弦的中点与曲线上相应点（即具有相同横坐标的点）的位置关系来描述定义如下：设在区间上连续，如果对上任意两点恒有，则称在区间上的图形是凹的（图1），区间为凹的区间；设在区间上连续，如果对上任意两点恒有，则称在区间上的图形是凸的（图2），区间为凸的区间.    关于导数与函数的凹凸性的关系，有如下定理：设在区间上连续，在区间上具有一阶和二阶导数，那么①如果在上恒有，则在区间上的图象是凹的；如果在区间上的图象是凹的，则在上恒有；②如果在上恒有，则在区间上的图象是凸的；如果在区间上的图象是凸的，则在上恒有；其中是的导函数，为的一阶导数；是的导函数，为的二阶导数.根据以上内容，完成如下问题： (1)试判断函数图象是凹的还是凸的，用定理证明； (2)已知函数，求的凹的区间和凸的区间； (3)若时，恒成立，求实数的取值范围. 2．（2026·高二·河北石家庄·期末）如图，在求解一些函数零点的近似值时，常用牛顿切线法进行求解．牛顿切线法的计算过程如下：设函数的一个零点，先取定一个初值，曲线在处的切线为，记与x轴的交点横坐标为，曲线在处的切线为，记与x轴的交点横坐标为，以此类推，每进行一次切线求解，我们就称之为进行了一次迭代，若进行足够多的迭代次数，就可以得到的近似值，设函数，令． (1)证明：存在唯一零点，且； (2)已知，判断与的大小，并给出理由； (3)经过4次迭代后，的近似值为，判断与的大小，并给出理由． 3．（2026·高二·安徽阜阳·期末）对于函数，规定叫做函数的阶导数.若函数在包含的某个闭区间上具有阶导数，且在开区间上具有阶导数，则对闭区间上任意一点，该公式称为函数在处的阶泰勒展开式，是此泰勒展开式的阶余项.已知函数. (1)写出函数在处的2阶泰勒展开式（用表示即可）； (2)设函数在处的3阶余项为，求证：对任意的； (3)求证：…<. 4．（2026·高二·广西玉林·期末）定义：如果函数在定义域内存在极大值和极小值，且存在一个常数，使成立，则称函数为极值可差比函数，常数称为该函数的极值差比系数．已知函数． (1)当时，若是极值可差比函数，求的极值差比系数的值； (2)是否存在使的极值差比系数为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 难点二 极值点偏移 极值点偏移的本质是函数在极值点两侧增减速率不均，使得两零点的中点偏离真实极值点。解题需先确定极值点位置、明确偏移方向，常用三类方法：一是对称构造法，通过导数判断单调性，比较函数值大小证明不等式；二是比值 / 差值代换，将双变量问题转化为单变量函数求值域；三是对数平均不等式，适配指对型函数，借助对数平均与算术平均的大小关系放缩证明。解题核心是立足函数单调性，将双变量不等式转化为单变量函数的最值分析。 难点精练 1．（2026·高二·河北邯郸·期末）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若方程有两个不同的根. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 2．已知函数． (1)若在上单调递增，求实数的取值范围． (2)已知，，若，求证：． 3．已知函数．设，当时，（其中），求证：． 4．（2026·高二·北京昌平·期末）已知函数． (1)求曲线在点处的切线的斜率； (2)设，当时，求的零点个数； (3)若，且，求证：． 基础达标 1．（2026·高三·青海西宁·阶段检测）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·高三·江西·阶段检测）已知函数，则曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·高三·浙江·阶段检测）已知函数有两个极值点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．（2026·高三·山东泰安·阶段检测）下列求导运算结果正确的是（     ） A． B． C． D． 5．（2026·高三·河北雄安·阶段检测）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·高三·江苏无锡·阶段检测）已知函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（     ） A． B． C．3 D．6 7．（2026·高三·江西宜春·阶段检测）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 8．（多选题）（2026·高三·江苏镇江·开学考试）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）若函数的导函数在区间上是增函数，则函数在区间上的图象不可能是（   ） A． B． C． D． 10．（多选题）（2026·高二·青海西宁·期末）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列区间中，单调递减的有（    ） A． B． C． D． 11．（多选题）（2026·高二·山东枣庄·期末）下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 12．已知曲线上的一点，则曲线在点处的切线方程为______. 13．（2026·高三·河北邢台·阶段检测）已知函数.若曲线在处的切线方程为，则________. 14．（2026·高三·河南·阶段检测）函数的单调递增区间为_________． 15．（2026·高三·广西河池·阶段检测）若是函数的极值点，则_________ 16．已知在点处的切线方程为． (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调区间． 17．（2026·高二·甘肃武威·期末）已知函数 ． (1)求； (2)求函数 的单调区间； (3)求函数 在区间上的最大值和最小值． 18．（2026·高二·江西景德镇·期末）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)求函数在区间上的最值． 19．（2026·高二·北京延庆·期末）求满足下列条件的直线的方程． (1)为曲线在点处的切线； (2)的斜率为且与曲线相切； (3)过原点且与曲线相切． 20．（2026·高二·江西萍乡·期末）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在处取得极小值，求实数的值. 能力进阶 1．（2026·高二·黑龙江牡丹江·期中）已知函数，则的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·高二·广西河池·阶段检测）已知函数，则的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·高二·贵州毕节·期中）已知函数，则的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·高二·江苏常州·阶段检测）已知实数，满足，，且，则的最小值为（     ） A．6 B． C． D． 5．（2026·高二·北京东城·阶段检测）声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数.我们听到的声音是由纯音合成的，称为复合音.已知一个复合音的数学模型是函数.则下列说法正确的是（    ） A．的最小正周期是 B．在上有2个零点 C．在上是增函数 D．的最大值为 6．（2026·高二·北京东城·阶段检测）已知函数，则“”是“函数在处取得极小值”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（2026·江苏镇江·模拟预测）已知定义在上的可导偶函数，满足，，，则（    ） A．7091 B．4561 C．4052 D．2026 8．已知是偶函数的导函数，．若时，，则使得不等式成立的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．（多选题）（2026·高三·内蒙古赤峰·阶段检测）若函数的极大值点为负数，则的值可以为（    ） A．1 B．0 C．2 D．－1 10．（多选题）已知，为自然对数的底数，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 11．（多选题）（2026·高三·湖南怀化·开学考试）已知，，，则（） A． B． C． D． 12．（2026·高三·山西·阶段检测）若函数存在极小值，且极小值不小于，则实数的最小值为__________． 13．（2026·高三·福建厦门·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，的单调递增区间为_____． 14．（2026·高二·北京东城·阶段检测）已知函数，，若，则的最小值为______________；若在上单调递减，则的取值范围为______________. 15．已知函数. (1)当时，求在处的切线方程； (2)若的极小值为，求的值. 16．已知函数（）. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性. 17．（2026·高三·广东深圳·阶段检测）已知函数. (1)若，求在处的切线方程； (2)若有且只有一个零点，求的取值集合. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $