第21章 专题六 反比例函数与代数问题的结合（Word试题）-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（沪科版·新教材）

专题六 反比例函数与代数问题的结合 题型1 反比例函数的图象和性质 【1题答案】 【答案】二、四 【解析】 【分析】先根据待定系数法求得函数关系式，再根据反比例函数的性质即可得到结果． 【详解】∵反比例函数经过（-3，2) ∴ ∴图象在二、四象限． 故答案为∶ 二、四 【点睛】待定系数法求函数关系式是函数问题中极为重要的方法，是中考的热点，在各种题型中均有出现，一般难度不大，需熟练掌握． 【2题答案】 【答案】无实数根 【解析】 【分析】首先根据反比例函数的性质求得k的取值范围，从而利用根的判别式确定方程的根的情况即可． 【详解】解：∵反比例函数y=的图象位于第一、第三象限， ∴k﹣2＞0， 解得：k＞2， ∴关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣1=0根中=（2k﹣1）2﹣4（k2﹣1）=﹣4k+5＜0， ∴方程无实数根， 故答案为：无实数根． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质及根的判别式的知识，解题的关键是能够根据反比例函数的性质确定k的取值范围，难度不大． 【3题答案】 【答案】1 【解析】 【分析】反比例函数y（k是常数，k≠0）的图像在第一象限，则k＞0，符合上述条件的k的一个值可以是1． 【详解】解：∵反比例函数的图像在一象限， ∴k＞0， 又∵反比例函数y＝的图像经过点A（2，1）时，k＝2×1＝2． ∴0＜k＜2， ∴k的值可以是1． 故答案是：1． 【点睛】本题主要考查反比例函数图像的性质：（1）k＞0时，图像是位于一、三象限；（2）k＜0时，图像是位于二、四象限． 【4题答案】 【答案】或 【解析】 【分析】先求出时对应的值，分小于和大于两段，结合反比例函数图象性质确定取值范围． 【详解】解：当时， ， 解得  由图象可知：当时， ，且随增大而增大， ∴当时，，满足题意； 当时，，恒满足， 综上所述，当，且时，自变量的取值范围是或 ． 【5题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数的增减性得到，再利用一次函数的图象与性质即可求解． 【详解】解：∵反比例函数，当时，随的增大而减小， ∴， ∴的图像经过第一，二，四象限， 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数和一次函数的图象与性质，掌握反比例函数和一次函数的图象与性质是解题的关键． 题型2 的运用 【6题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】点（-1，3）在反比例函数的图象上，可求出k=-1×3=-3，再根据反比例函数图象上点的坐标特征，纵横坐标的乘积为定值-3，逐个点进行验证即可． 【详解】解：点（-1，3）在反比例函数的图象上， ∴k=-1×3=-3， ∵3×（-1）=-3=k， ∴（3，-1）也在反比例函数的图象上， 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数的图象上点的坐标特征，即：反比例函数图象上的坐标满足纵横坐标的积为定值k，掌握图象上点的坐标特征是正确解答的关键． 【7题答案】 【答案】3 【解析】 【分析】先根据同类项的定义求出m、n的值，故可得出P点坐标，代入反比例函数的解析式即可得出结论． 【详解】∵12xm﹣1y2与3xyn+1是同类项， ∴m﹣1=1，n+1=2， 解得m=2，n=1， ∴P（2，1）． ∵点P（m，n）在双曲线上， ∴a﹣1=2， 解得a=3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了同类项、反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【8题答案】 【答案】 【解析】 【分析】先根据反比例函数的性质可得点在该函数图象上，然后代入求解即可． 【详解】解：∵函数（a为常数）中，<0， ∴函数图象在二、四象限，即点在该函数图象上 ∴-2×3=，-4m= ∴-2×3=-4m，即m=． 故填：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，判定点在该函数图象上是解答本题的关键． 【9题答案】 【答案】0. 【解析】 【分析】由点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线上，可得k1=ab，由点A与点B关于x轴的对称，可得到点B的坐标，进而表示出k2，然后得出答案． 【详解】解：∵点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线上， ∴k1=ab； 又∵点A与点B关于x轴的对称， ∴B（a，-b） ∵点B在双曲线上， ∴k2=-ab； ∴k1+k2=ab+（-ab）=0； 故答案为0． 【点睛】考查反比例函数图象上的点坐标的特征，关于x轴对称的点的坐标的特征以及互为相反数的和为0的性质． 【10题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是求解反比例函数解析式，反比例函数的性质，一元二次方程的解法，如图，延长交轴于，求解反比例函数为：，证明，设正方形的边长为，可得，再解方程可得答案．熟练的利用图形面积建立方程是解本题的关键． 【详解】解：如图，延长交轴于， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数为：， ∴， ∴， 设正方形的边长为，， ∴，， ∴， 整理得， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴正方形的面积为． 故答案为：． 题型3 反比例函数和一次函数的综合 （2025·广西） 【11题答案】 【答案】（1）3；（2） 【解析】 【分析】（1）将代入，故其中交点的坐标为，将代入反比例函数表达式，即可求解； （2）一次函数的图象向下平移4个单位得到，一次函数和反比例函数解析式联立，解方程组求得、的坐标，然后根据勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）将代入， 交点的坐标为， 将代入， 解得：； （2）将一次函数的图象向下平移4个单位长度得到， 由， 解得：或， ，， ． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，体现了方程思想，综合性较强． 【12题答案】 【答案】（1）4；1；5 （2）的面积为 【解析】 【分析】（1）把已知点代入反比例函数求，再代入点求，再把代入直线解析式求， （2）求出直线与轴交点，联立方程求点坐标，用面积差法求面积． 【小问1详解】 解：∵过点， ∴， ∴． ∵在 上， ∴，即 ． ∵在 上， ∴， 解得 ． 【小问2详解】 解：由（1）知直线为． 令，得， ∴，即 联立 解得或  ∴  ∴ ． 题型4 反比例函数与方程、不等式 【13题答案】 【答案】或 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，关键是注意掌握数形结合思想的应用．不等式的解集，在图象上即为一次函数的图象在反比例函数图象的上方时的自变量的取值范围． 【详解】解：函数与的图象相交于点，， ，解得， ∴不等式的解集为：或． 【14题答案】 【答案】4． 【解析】 【分析】由已知得A、B的横坐标分别为1，4，代入两解析式即可求解. 【详解】由已知得A、B的横坐标分别为1，4，所以有解得，故答案为4． 【点睛】此题主要考查反比例函数与一次函数综合，解题的关键是熟知函数图像交点的性质. 【15题答案】 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的图象即可确定m的取值范围． 【详解】解：分段函数的图象如图： 故要使直线（m为常数）与函数的图象恒有两个不同的交点， 常数m的取值范围为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数和反比例函数的图象．通过数形结合的方法找到满足条件的m的范围即可． 【16题答案】 【答案】（1）2；8 （2） 【解析】 【分析】（1）将点坐标分别代入正比例和反比例函数解析式求出， （2）代入求出两个函数值，列不等式求解的范围． 【小问1详解】 解：∵与均过点 ， ∴，解得 ； ，解得． 【小问2详解】 解：当时，，， 由题意得， 解得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题六 反比例函数与代数问题的结合 题型1 反比例函数的图象和性质 1. 反比例函数经过(-3，2)，则图象在______象限． 2. 已知反比例函数y=的图象如图，则一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣1=0根的情况是__． 3. 如图是反比例函数的图像，则的值可能是________.（写出一个可能的值即可）． 4. 已知反比例函数，如图，当，且时，自变量的取值范围是_______________． 5. 已知反比例函数，当时，随的增大而减小，那么一次的数的图像经过第（ ） A. 一，二，三象限 B. 一，二，四象限 C. 一，三，四象限 D. 二，三，四象限 题型2 的运用 6. 若点在反比例函数的图像上，则下列各点一定在该图像上的是（ ） A. B. C. D. 7. 若12xm﹣1y2与3xyn+1是同类项，点P（m，n）在双曲线上，则a的值为_____． 8. 在平面直角坐标系中，若函数（a为常数）的图象经过其中的两点，则______． 9. 在平面直角坐标系中，点在双曲线上．点关于轴的对称点在双曲线上，则的值为______. 10. 如图，点在反比例函数的图象上，，分别垂直于x轴、y轴，点D在位于右侧的反比例函数的图象上，，分别垂直于x轴、，若四边形为正方形，则这个正方形的面积等于______． 题型3 反比例函数和一次函数的综合 （2025·广西） 11. 如图，一次函数y＝x＋2的图象与反比例函数的图象相交，其中一个交点的横坐标是1． （1）求k的值； （2）若将一次函数y＝x＋2的图象向下平移4个单位长度，平移后所得到的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，求此时线段AB的长． 12. 如图，已知直线与反比例函数交于点与点，与轴、轴分别交于点、，且反比例函数的图象经过点． （1）填空：__________，__________，__________． （2）求的面积． 题型4 反比例函数与方程、不等式 13. 如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象相交于点，，则不等式的解集为________________． 14. 如图，一次函数的图象在第一象限与反比例函数的图象相交于A，B两点，当时，x的取值范围是，则_____． 15. 如图，若直线（为常数）与函数的图象恒有两个不同的交点，则常数的取值范围是______． 16. 在平面直角坐标系中，正比例函数的图象和反比例函数的图象都经过点． （1）__________，__________． （2）当时，对于的每一个值，函数的值都大于反比例函数的值，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $