第21章 专题五 二次函数与几何图形的综合（Word试题）-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（沪科版·新教材）

专题五 二次函数与几何图形的综合 类型一 二次函数与线段长最值 【1题答案】 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）已知在直线上，可求得的值，抛物线图象上的、两点坐标，可将其代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求得待定系数的值． （2）可设出点横坐标，根据直线和抛物线的解析式表示出、的纵坐标， （3）可设出点横坐标，根据直线和抛物线的解析式表示出、的纵坐标，进而得到关于与点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出的最大值． 【小问1详解】 解：，在直线上， ， ， ，在抛物线上， ∴ 解得 ∴抛物线的解析式为 【小问2详解】 设动点的坐标为，则点的坐标为， 故答案为： 【小问3详解】 解： ， ∵， ∴当时，线段最大为 【点睛】此题主要考查了二次函数解析式的确定、二次函数最值的应用以及直角三角形的判定、函数图象交点坐标的求法等知识. 善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件. 类型二 二次函数与三角形的面积最值 【2题答案】 【答案】（1）点，点， （2）当时，最大，最大值为32 【解析】 【分析】（1）先求直线与坐标轴交点坐标，再用交点式求抛物线解析式 ； （2）用含的式子表示长度，再写出面积关于的二次函数，求其最大值． 【小问1详解】 解：∵ 直线与轴交于，令，则 ，解得， 直线与轴交于，令，则，   抛物线过、， ∴设解析式为  抛物线过，代入得，解得 抛物线解析式为 ，展开得 ． 【小问2详解】 解：，直线轴，  、横坐标为，  在抛物线上， 在直线上，   ，  面积 ， 二次函数，，开口向下，  当 时，最大． 代入得． 类型三 角度数量关系问题 【3题答案】 【答案】（1）；；2 （2）或 【解析】 【分析】（1）利用抛物线与轴交点求，再由对称轴公式和过点列方程求； （2）先由对称性求点坐标，再根据分直线在轴上下方两种情况，求直线斜率和表达式． 【小问1详解】 解： 抛物线与轴交于， 代入得 对称轴为 ，由对称轴公式得，即； 抛物线过 ，代入得，即 将 代入，得，解得 ， 则 ，，． 【小问2详解】 解： 抛物线对称轴为，与关于对称，  的横坐标为1 ，即 设直线与轴交于点，  ， 为等腰三角形，，， ，直线的斜率 分情况讨论直线： 当直线在轴上方时： ，直线与关于对称，直线的斜率为，过， ，即 当直线在轴下方时，直线的斜率为，过， ，即 直线的表达式为或 ． 类型四 存在性探究问题 （2025·安徽） 【4题答案】 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（2） 【解析】 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）（ⅰ）根据题意画出图形，得出，，，继而得出，，当时，根据三角形的面积公式，即可求解． （ⅱ）根据（ⅰ）的结论，分和分别求得梯形的面积，根据四边形的面积为建立方程，解方程进而即可求解． 【小问1详解】 解：依题意，， 解得：， ∴； 【小问2详解】 （ⅰ）设直线的解析式为， ∵， ∴ 解得：， ∴直线， 如图所示，依题意，，，， ∴， ， ∴当时，与的面积之和为， （ⅱ）当点在对称右侧时，则， ∴， 当时，， ∴， ∴， 解得：， 当时，， ∴， ∴， 解得：（舍去）或（舍去） 综上所述，． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，面积问题，待定系数法求二次函数解析式，分类讨论，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题五 二次函数与几何图形的综合 类型一 二次函数与线段长最值 1. 如图，直线与抛物线相交于和，点是线段上异于、的动点，过点作轴于点，交抛物线于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如果设点的坐标为，则点的坐标可表示为__________； （3）在（2）的条件下，请用含有的式子表示的长，并确定长度的最大值． 类型二 二次函数与三角形的面积最值 2. 如图，直线分别与x，y轴交于B，C两点，点A的坐标为，抛物线过A，B，C三点，点D是线段上的一动点，过D点作一条与y轴平行的直线l，分别与线段、抛物线交于点E、P，设点，其中． （1）求点B，点C的坐标以及抛物线的解析式． （2）当t取何值时，的面积最大？最大值为多少？ 类型三 角度数量关系问题 3. 如图，已知抛物线与x轴相交于，B两点，与y轴相交于点，对称轴是直线，连接． （1）________，________，________． （2）若过点B的直线l与抛物线相交于另一点D，当时，求直线l的表达式． 类型四 存在性探究问题 （2025·安徽） 4. 在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线经过点，对称轴为直线． （1）求的值； （2）已知点在抛物线上，点的横坐标为，点的横坐标为．过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点． （ⅰ）当时，求与的面积之和； （ⅱ）在抛物线对称轴右侧，是否存在点，使得以为顶点的四边形的面积为？若存在，请求出点的横坐标的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $