2026-2027学年北师大版九年级上册数学期中考前模拟拔高卷二（第1章-4章）

2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 期中考前模拟拔高卷二（第1章-4章） 一、选择题（共30分） 1．如图所示几何体的俯视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据几何体三视图的判断方法，需注意看得见的存在的线画实线，看不见的存在的线画虚线，确定出俯视图即可． 【详解】 解：俯视图为： 2．如图，矩形中，对角线交于点O．若，则的长为（     ） A．8 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】根据矩形的性质得出相等的线段，判定是等边三角形，即可得出相关线段的长度． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 3．方程 的两个根是（     ） A．1 和 2 B．和 C．1 和 D． 和 2 【答案】A 【详解】解：对， 左边因式分解，得， ∴或， 解得，． 4．普瑞学校新食堂外有一块长为、宽为的矩形空地，为方便同学们就餐，现在准备修两条等宽的小路，剩余的空地种植草坪，使草坪面积为．设道路的宽为，则下列所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平移法，将两条小路分别平移到矩形空地的边缘，剩余草坪可拼成一个新矩形，根据矩形面积公式列方程即可． 【详解】解：利用平移法，将横向小路向下平移，斜向小路向左平移 ， 剩余草坪部分可拼成一个长为，宽为的矩形， 根据草坪面积为，得方程： ． 5．对于任意实数a、b定义一种新运算：，例如，若，则x的值为（     ） A．或3 B．或4 C．1或 D．1或 【答案】B 【分析】依据新运算定义，将等式转化为一元二次方程求解． 【详解】解：根据新运算定义，， 移项得， 因式分解得， 解得或． 6．在平面直角坐标系中，的顶点A、B的坐标分别为，以点O为位似中心，在原点的另一侧作，且与的位似比为，则点B的对应点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵位似中心为原点，与的位似比为，且对应点在原点另一侧， ∴点的对应点的横、纵坐标分别为点横、纵坐标乘， ∵点的坐标为， ∴的横坐标为，纵坐标为， 即点的坐标为． 7．如图，在中，．添加一个条件，能判定四边形是正方形的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】已知四边形是平行四边形，且对角线，根据菱形的判定定理可得四边形为菱形，根据既是矩形又是菱形的平行四边形是正方形，补充矩形的判定定理，即“有一个内角为直角”或“对角线相等”的条件即可证明结论． 【详解】解：选项：∵四边形是平行四边形，且， ∴四边形为菱形， ∴， ∴已知，无法得出四边形是正方形， 故选项不符合题意； 选项：∵四边形为菱形， ∴对角线平分，即， ∴已知，无法得出四边形是正方形， 故选项不符合题意； 选项：∵四边形为菱形，， ∴四边形为正方形，故选项符合题意； 选项：∵四边形为菱形， ∴，若，则为等边三角形，， 故无法得出四边形为正方形，选项不符合题意． 8．如图，如果，那么添加下列一个条件后，仍不能确定与相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形相似的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 选项，添加，结合，根据两组对应角相等，可以确定，不符合题意． 选项，添加，结合，根据两组对应角相等，可以确定，不符合题意． 选项，添加，对应边成比例，但是不是夹角相等，不能确定，符合题意． 选项，添加，对应边成比例，且，两边夹角也相等，确定，不符合题意． 9．如图所示，一条线段在平面内的正投影为，则与的夹角为（     ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】先得出，再证明四边形是平行四边形，从而可得，再利用三角函数求解即可． 【详解】解：如图，过作，交于点， ∵一条线段在平面内的正投影为， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴锐角， 即与的夹角为． 10．如图，在菱形中，，E是上一点，将沿折叠，点的对应点为，与交于点，若为中点，则的度数为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，连接，证是等边三角形，从而可得，又由可得，再根据折叠的性质得，最后在中利用三角形的内角和定理即可得度数． 【详解】解：如图，连接， ∵在菱形中，， ∴， ∴是等边三角形， ∵为中点， ∴，即， ∴， 又由折叠的性质得：， ∴， 在中，由三角形的内角和定理得：． 二、填空题（共24分） 11．根据下表中的对应值，判断一元二次方程的一个解的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据“化为一般形式的一元二次方程，相邻的两个的值所对应的方程左边的代数式的值一个大于，一个小于，则其一个解的取值范围就是在这两个的值之间．”这一结论解答即可． 【详解】解：当时，的值为，当时，的值为， 一元二次方程的一个解的取值范围是 12．某几何体是由棱长为的小正方体组合而成，下图是这个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是_________． 【答案】14 【分析】根据三视图确定几何体的形状及小正方体的排列情况，利用几何体表面积等于主视图、左视图、俯视图面积之和的2倍进行计算． 【详解】解：综合三视图可得，该几何体只有1层，该层有2排，前排有2个小正方体，后排有1个小正方体，共3个小正方体． 故表面积为． 13．已知，是关于的方程的两实数根，且，，则的值是_______． 【答案】9 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系求出参数、的值，再代入代数式运用有理数乘方运算法则计算即可． 【详解】解：∵ 对于一元二次方程，二次项系数为1，一次项系数为，常数项为． ∴ 根据根与系数的关系，两根满足，． ∵ 已知，． ∴ ，，解得． ∴ ． 14．如图，小明同学利用相似三角形测量旗杆的高度，若测得木杆为，它的影长为，同一时刻旗杆的影长EF为，已知点，，，在同一水平线上，则旗杆的高度为________． 【答案】/12米 【分析】利用相似三角形的性质得到对应边成比例，代入数值计算即可得到答案． 【详解】解：， ， 、， ， ， ， ， （）． 15．如图，在中，，以为边作正方形．若，，则正方形的面积是________． 【答案】20 【分析】根据勾股定理得到，即可求出正方形的面积． 【详解】解：∵在中，，，， ∴由勾股定理，得， ∴正方形的面积． 16．如图，在菱形中，是对角线上一动点，过点作于点，于点，若菱形的边长为4，面积为24，则的值为___________． 【答案】6 【分析】连接，通过菱形的周长和面积分别求出边长、和，最后由面积和差即可求出的值． 【详解】解：连接，如图， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∵菱形的边长为4， ∴， ∴， ， ， ， 即， 则． 17．黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字清远的“远”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边上，且，“远”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且．若，则的长为_________． 【答案】/ 【分析】证明四边形是矩形，得到，再根据题意求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴； ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴． 18．如图，在中，为上的中线，与交于点G，点M、N分别在边、上，若，当的值为________时，点G为的重心． 【答案】 【分析】过点作分别交、于点、点，过点作交于，证明，得出点为的中点，由平行线分线段成比例定理得出，由三角形重心的性质可得，从而可得，求出，即可得出结果． 【详解】解：如图，过点作分别交、于点、点，过点作交于， ∵， ∴， ∴， ∵为上的中线， ∴， ∴， ∴， ∴点为的中点， ∵，， ∴， ∵点G为的重心， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 三、解答题（共66分） 19．用适当的方法解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）移项后用平方差公式因式分解求解； （2）运用配方法求解． 【详解】（1）解： 或 解得． （2）解： 配方，得 ． 20．已知，求 (1)的值； (2)若，求、、的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键； （1）由题意可设，然后代入进行求解即可； （2）由（1）可代入进行求解k的值，然后问题可求解． 【详解】（1）解：由可设， ∴； （2）解：由（1）可知：， ∵， ∴， 解得：， ∴． 21．如图所示分别是两棵树及小丽在不同光源下的影子情形. (1)两幅图中的投影属于中心投影的是图________（用“甲”或“乙”填空）； (2)若阳光下小丽影子长为，大树影子长为，小丽身高，则大树高度是________． 【答案】(1)乙 (2) 【分析】本题考查了平行投影与中心投影、同一时刻物高与影长比值相同， （1）物体在太阳光的照射下形成的影子是平行投影，物体在灯光的照射下形成的影子是中心投影，据此即可判断和说明； （2）根据平行投影，物高与影长比相等，设树高为，利用比例相等列出式子进行求解即可． 【详解】（1）如图所示： 甲图是平行投影，乙图是中心投影； 故答案为：乙． （2）解：设树高为，依题意，， 解得：， 答：树的高度为．   故答案为：． 22．甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计划32小时完成．甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务． (1)求甲工程队每小时修的路面长度； (2)通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工中，乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了()小时；甲工程队的修路速度比原计划每小时下降了米，而修路时间比原计划增加m小时，求m的值． 【答案】(1)甲工程队每小时铺设的路面长度为110米 (2)m的值为18 【分析】（1）设乙两工程队每小时铺设路面x米，则甲工程队每小时铺设路面米，根据题意列出方程求解即可； （2）根据“甲工程队铺设的路面长度+乙两工程队铺设的路面长度=5800”列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设乙两工程队每小时铺设路面x米，则甲工程队每小时铺设路面米， 根据题意得，， 解得：， 则， ∴甲工程队每小时铺设的路面长度为110米； （2）解：根据题意得， ， 整理得，， 解得：（舍去）， ∴m的值为18． 【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程． 23．如图，已知直线、、，分别交直线于点、、，交直线，于点，且． (1)若，，，求的长； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理计算即可得出结果； （2）根据平行线分线段成比例定理计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵，，， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 24．如图，正方形的边，将正方形沿折叠，使落到处，交于点M，交于点N，，连接． (1)求的面积； (2)试判断与的位置和数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，．理由如下： 过点F作于点H， 则，． 由折叠的性质，得， ， ． 在和中， ， ， ． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ． 由折叠的性质，得，设， 则． 在中，，由勾股定理，得， 解得：， ， 的面积为． （2）略 25．在正方形中，点，分别在边，上，连接，交于点，已知． (1)如图，线段与垂直吗？请说明理由． (2)如图，过点的圆交于点，交于点．求证：． (3)如图，在（）的条件下，当，点是线段的中点时，求的值． 【答案】(1)解：， 理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，， ， ∵， ∴， ∴， ∵是正方形对角线，平分，即， ∴， ∴， 即平分， ∵， ∴由等腰三角形三线合一得：； (2) 证明：过点作于点． ∵,， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (3) 【分析】（）先由正方形性质与证直角三角形全等，推出角相等，再结合对角线平分直角得出平分，依托等腰三角形三线合一证明垂直； （）作，先由平行线证，再结合圆内接四边形性质与全等三角形推导等角，证，通过两组比例等量代换得证； （）借用前问相似比例，结合为中点得线段比例，设参表示各线段，由正方形边长求出参数，再用勾股定理求． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：过点作于点． 由（）得， ∴， ∵， ∴， ∵为中点，， ∴，， 设，则， ∴， ∵ 正方形对角线平分，即， ∴ ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 在中， ． 26．阅读材料： 材料1：一元二次方程（，）的两根，有如下的关系（韦达定理）：，． 材料2：有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数，满足，，且，则可将，看作是方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数，满足，，则可以将，看作是方程的两实数根．根据上述材料解决下面问题： (1)已知一元二次方程的两根，，则 ； (2)已知实数，满足，，求的值； (3)已知实数，，满足，，且，求的最大值． 【答案】(1) (2) 或 (3) 的最大值为 【分析】（1）直接利用根与系数的关系计算两根之积； （2）分和两种情况，时构造一元二次方程，结合根与系数的关系化简求值； （3）根据与的表达式构造以、为根的一元二次方程，利用判别式非负列不等式求解的最大值 【详解】（1）解：对于一元二次方程，由根与系数的关系得 ； （2）解：分两种情况讨论： ① 当时， ∵实数，满足，， ∴，可看作方程的两个不相等实数根， 由根与系数的关系得，， ∴； ②当时，； 综上所述，的值为或； （3）解：∵，， ∴可将，看作方程的两个实数根， ∵，为实数， ∴， 整理得， ∵， ∴， 不等式两边同时乘，得， 即， 两边开立方得， 解得， 当时，方程为，有两个相等实数根，符合题意， ∴的最大值为． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 期中考前模拟拔高卷二（第1章-4章） 一、选择题（共30分） 1．如图所示几何体的俯视图是（    ） A． B． C． D． 2．如图，矩形中，对角线交于点O．若，则的长为（     ） A．8 B． C．4 D． 3．方程 的两个根是（     ） A．1 和 2 B．和 C．1 和 D． 和 2 4．普瑞学校新食堂外有一块长为、宽为的矩形空地，为方便同学们就餐，现在准备修两条等宽的小路，剩余的空地种植草坪，使草坪面积为．设道路的宽为，则下列所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 5．对于任意实数a、b定义一种新运算：，例如，若，则x的值为（     ） A．或3 B．或4 C．1或 D．1或 6．在平面直角坐标系中，的顶点A、B的坐标分别为，以点O为位似中心，在原点的另一侧作，且与的位似比为，则点B的对应点的坐标是（     ） A． B． C． D． 7．如图，在中，．添加一个条件，能判定四边形是正方形的是（     ）． A． B． C． D． 8．如图，如果，那么添加下列一个条件后，仍不能确定与相似的是（     ） A． B． C． D． 9．如图所示，一条线段在平面内的正投影为，则与的夹角为（     ） A． B． C． D．以上都不对 10．如图，在菱形中，，E是上一点，将沿折叠，点的对应点为，与交于点，若为中点，则的度数为（     ）． A． B． C． D． 二、填空题（共24分） 11．根据下表中的对应值，判断一元二次方程的一个解的取值范围是___________． 12．某几何体是由棱长为的小正方体组合而成，下图是这个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是_________． 13．已知，是关于的方程的两实数根，且，，则的值是_______． 14．如图，小明同学利用相似三角形测量旗杆的高度，若测得木杆为，它的影长为，同一时刻旗杆的影长EF为，已知点，，，在同一水平线上，则旗杆的高度为________． 15．如图，在中，，以为边作正方形．若，，则正方形的面积是________． 16．如图，在菱形中，是对角线上一动点，过点作于点，于点，若菱形的边长为4，面积为24，则的值为___________． 17．黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字清远的“远”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边上，且，“远”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且．若，则的长为_________． 18．如图，在中，为上的中线，与交于点G，点M、N分别在边、上，若，当的值为________时，点G为的重心． 三、解答题（共66分） 19．用适当的方法解方程： (1) (2) 20．已知，求 (1)的值； (2)若，求、、的值． 21．如图所示分别是两棵树及小丽在不同光源下的影子情形. (1)两幅图中的投影属于中心投影的是图________（用“甲”或“乙”填空）； (2)若阳光下小丽影子长为，大树影子长为，小丽身高，则大树高度是________． 22．甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计划32小时完成．甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务． (1)求甲工程队每小时修的路面长度； (2)通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工中，乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了()小时；甲工程队的修路速度比原计划每小时下降了米，而修路时间比原计划增加m小时，求m的值． 23．如图，已知直线、、，分别交直线于点、、，交直线，于点，且． (1)若，，，求的长； (2)若，，求的长． 24．如图，正方形的边，将正方形沿折叠，使落到处，交于点M，交于点N，，连接． (1)求的面积； (2)试判断与的位置和数量关系，并说明理由． 25．在正方形中，点，分别在边，上，连接，交于点，已知． (1)如图，线段与垂直吗？请说明理由． (2)如图，过点的圆交于点，交于点．求证：． (3)如图，在（）的条件下，当，点是线段的中点时，求的值． 26．阅读材料： 材料1：一元二次方程（，）的两根，有如下的关系（韦达定理）：，． 材料2：有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数，满足，，且，则可将，看作是方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数，满足，，则可以将，看作是方程的两实数根．根据上述材料解决下面问题： (1)已知一元二次方程的两根，，则 ； (2)已知实数，满足，，求的值； (3)已知实数，，满足，，且，求的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $