第6章 图形的初步认识（16题型+高效培优讲义）数学新教材浙教版七年级上册
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内容正文：
第6章 图形的初步认识
教学目标
1. 认识立体图形与平面图形，理解点、线、面、体是构成几何图形的基本元素。
2. 掌握线段、射线、直线的概念与表示，理解“两点确定一条直线”等基本事实。
3. 理解角的概念与度量，掌握角平分线及余角、补角的性质，能进行简单几何计算。
教学重难点
教学重点
1. 线段与角的概念、表示方法及大小比较。
2. 线段和差、角的和差及余补角性质的简单应用。
教学难点
1. 从实物中抽象几何图形，理解点线面体的关系及面旋转成体。
2. 几何语言（符号语言与图形语言）的规范转换与简单推理表述。
知识点01 立体图形的认识
1.有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形．
2.立体图形分类：除了按照柱体、锥体、球分类，也可以按照围成几何体的面是否有曲面划分：①有曲面：圆柱、圆锥、球等；②没有曲面：棱柱、棱锥等.
3.棱柱的有关概念及其特征:
①在棱柱中，相邻两个面的交线叫做棱，相邻两个侧面的交线叫做侧棱，棱柱所有侧棱长都相等，棱柱的上下底面的形状、大小相同，并且都是多边形；棱柱的侧面形状都是平行四边形.
②棱柱的顶点数、棱数和面数之间的关系：底面多边形的边数n确定该棱柱是n棱柱，它有2n个顶点，3n条棱，n条侧棱，有n+2个面，n个侧面.
【即学即练1-1】（26-27七年级上·陕西西安·阶段检测）如图所示的几何体中，棱柱共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．据此对各个图形进行判断即可．
【详解】解：第一个图形是圆柱，侧面是曲面，不是棱柱；
第二个图形是圆锥，底面是圆，侧面是曲面，不是棱柱；
第三个图形是长方体，属于四棱柱，是棱柱；
第四个图形是球，由曲面围成，不是棱柱；
第五个图形是三棱柱，是棱柱；
综上，棱柱共有2个．
知识点02 点、线、面、体的关系
①体与体相交成面，面与面相交成线，线与线相交成点．
②点动成线，线动成面，面动成体．
③点、线、面、体组成几何图形，点、线、面、体的运动组成了多姿多彩的图形世界．
【即学即练2-1】（26-27七年级上·黑龙江大庆·阶段检测）下列现象中，能用“面动成体”来解释的是（ ）
A．流星划过夜空，留下一道明亮的光迹
B．钟面上分针的转动，扫过一个圆面
C．半圆形纸片绕它的直径所在的直线旋转一周，形成一个球
D．汽车雨刷的摆动，扫过一个扇形区域
【答案】C
【详解】解：A. 流星可看作点，运动后形成线，不符合题意；
B. 分针可看作线，转动后形成圆面，不符合题意；
C. 半圆形纸片是面，绕直径所在直线旋转一周形成球，符合题意；
D. 汽车雨刷可看作线，摆动后形成扇形区域，不符合题意．
知识点03 线段、射线、直线的概念
1.线段的表示也有两种：一个小写字母或用端点的两个大写字母.但前面必须加“线段”两字，如：线段a；线段AB.
2.射线的表示同样有两种：一个小写字母或端点的大写字母和射线上的任意一个大写字母，前面必须加“射线”两字
3.直线的表示有两种：一个小写字母或两个大写字母.但前面必须加“直线”两字，如：直线；直线m，直线AB；直线CD
基本概念：
名称
直线
射线
线段
图形
B
A
A
B
B
A
端点个数
无
一个
两个
表示法
直线
直线AB（BA）
射线
射线AB
线段
线段AB（BA）
作法叙述
作直线
作直线AB
作射线
作射线AB
作线段
作线段AB
连接AB
延长
向两端无限延长
向一端无限延长
不可延长
【即学即练3-1】（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）如图，下列说法正确的是（ ）
A．线段和线段是同一条线段
B．射线和射线是同一条射线
C．直线和直线不是同一条直线
D．线段和线段不是同一条线段
【答案】B
【分析】本题主要考查了直线、射线和线段，根据直线、射线、线段的有关概念对各个选项的说法进行判断即可．
【详解】解：A．线段和线段不是同一条线段，此选项的说法不正确，故此选项不符合题意；
B．射线和射线是同一条射线，此选项的说法正确，故此选项符合题意；
C．直线和直线是同一条直线，此选项的说法不正确，故此选项不符合题意；
D．线段和线段是同一条线段，此选项的说法不正确，故此选项不符合题意．
故选：B．
知识点04 直线、线段的性质
1.直线的性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线.简单地：两点确定一条直线. 两条直线相交，只有一个交点.
2.线段的性质：两点之间的所有连线中，线段最短.简单地：两点之间线段最短.我们把两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离.
【即学即练4-1】（25-26七年级上·湖南株洲·期末）如图，建筑工人砌墙时，先把墙两端立桩拉一条线，然后以这条线为参照就可以把墙砌直，这样做依据的数学原理是（ ）
A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线
C．垂线段最短 D．直线可以无限延伸
【答案】B
【分析】根据两点确定一条直线即可得解．
【详解】解：建筑工人这样做依据的数学道理是：两点确定一条直线．
【即学即练4-2】（25-26七年级上·山东聊城·期末）毛泽东主席在《水调歌头·游泳》中写道“一桥飞架南北，天堑变通途”，正如从黄果树风景区到关岭县城的坝陵河大桥建成后，从黄果树风景区到关岭县城经大桥通过的路程缩短了20公里，用所学数学知识解释这一现象恰当的是（ ）
A．两点确定一条直线
B．两点之间，线段最短
C．两点之间，有若干种连接方式
D．两点间线段的长度是两点间的距离
【答案】B
【分析】本题考查了线段的基本性质，根据两点之间，线段最短可得答案．
【详解】解：∵大桥建成后，从黄果树风景区到关岭县城的通行路径由原来的非线段路径变为两点间的线段，
∴路程缩短的依据是两点之间，线段最短，
故选B．
知识点05 尺规作图
仅用圆规和没有刻度的直尺作图的方法叫做尺规作图.
【说明】（1）只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题．
（2）直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧.只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上面画刻度．
（3）圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度．
【即学即练5-1】（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）如图，平面上有四个点A，B，C，D．根据下列语句画图：
(1)画直线；
(2)连接；
(3)画射线，并与直线交于点E；
(4)连接，并反向延长至F，使．
【答案】(1)
如图，直线即为所求；
(2)如上图，线段即为所求；
(3)如上图，射线，点E即为所求；
(4)如上图，线段以及点即为所求．
【分析】本题考查作图，掌握直线，射线，线段的概念是解题的关键；根据直线，射线，线段的概念，利用作图工具作图．
（1）画直线，连接并向两方无限延长；
（2）连接；
（3）画射线以C为端点向方向延长,与直线相交于点E；
（4）连接，并将其反向延长至F，用圆规截取的长，使．
【详解】（1）略
（2）略
（3）略
（4）略
知识点06 线段的和与差以及中点
如下图：线段AB上有一点C，则AC+BC=AB；AC=AB - BC； BC=AB - AC，
在这里线段AC、BC、AB表示线段的长度，如AC+BC=AB表示AC长度与BC长度之和等于AB长度.
线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图所示，点C是线段AB的中点，则AC=CB=AB，或AB=2AC=2BC．
【说明】若点C是线段AB的中点，则点C一定在线段AB上．
【即学即练6-1】（26-27七年级上·全国·课后作业）如图，是线段的中点，是线段的中点，．
(1)求线段的长；
(2)若点是线段上一点，且，求线段的长．
【答案】(1)
(2)线段的长为15或25
【分析】（1）根据线段中点的性质求解即可；
（2）先根据求出的值，再分两种情况求解即可．
【详解】（1）解：∵，点是线段的中点，
∴．
∵点是线段的中点，
∴．
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴．
当点在线段上时，如图：
∴．
当点在线段上时，如图：
∴．
综上所述，线段的长为15或25．
知识点07 角的概念以及角度制及其换算
1.角的定义：
（1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB．
（2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边．
注意：（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关．
（2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角．
2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种：
注意：用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母．
3.角的画法
（1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角．
（2）用量角器可以画出任意给定度数的角．
（3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角．
角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．
1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．
注意：在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位．
【即学即练7-1】（25-26七年级上·广东河源·阶段检测）___________＇．
【答案】
【分析】根据度和分之间的进率为，将度换算为分需乘以进率即可得到结果．
【详解】解：．
【即学即练7-2】（25-26七年级上·福建福州·阶段检测）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查角度计算．
（1）先将度、分、秒分别对应相加，再根据度分秒的进制（进制）进行进位处理，得到最终结果；
（2）根据度分秒的进制（进制）进行计算即可；
【详解】（1）解：．
（2）解：原式
知识点08 钟表上有关夹角问题和方位角
钟面角：钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题．
方位角：在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．
注意：（1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示．
（2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°” ．
（3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向．
（4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点．
【即学即练8-1】（25-26七年级上·江苏连云港·开学考试）钟面上时，时针和分针组成的角最小是( )度．
【答案】75
【分析】钟面一圈为，共分为12个大格，先计算每个大格的度数，再确定时时针和分针的位置，即可求出二者的最小夹角．
【详解】解：，
∵时，分针指向数字6，时针指向数字3和4的正中间，
∴时针和分针组成的角最小为．
【即学即练8-2】（25-26七年级上·陕西西安·期末）某景区的三个景点O，A，B的位置如图所示，射线表示北偏西的方向，，则射线表示的方向为北偏东______．
【答案】/67度
【分析】本题考查了方向角的概念，先根据已知的射线的方向和的度数，求出射线相对于正北方向的夹角，再根据方向角的表示方法确定射线表示的方向．
【详解】解：如图，
∵射线表示北偏西的方向，
∴，
∵，
∴，
∴射线表示的方向是北偏东，
故答案为：．
知识点9 角平分线
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC =∠AOB．
注意：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样．
【即学即练9-1】（25-26六年级下·山东济宁·阶段检测）如图，是的平分线，是的平分线．
(1)若，，求的度数．
(2)若，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由角平分线的定义得到的度数，再由角的和差关系可得答案；
（2）由角平分线的定义得到，再由角的和差关系可得，据此可得答案．
【详解】（1）解：∵是的平分线，是的平分线，，，
∴，
∴；
（2）解：∵是的平分线，是的平分线，
∴，
∴
．
知识点10 余角、补角
1.互补与互余的概念
互补：如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角，也称互补.互余：如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角，也称互余.
2.互补与互余的性质：同角或等角的补角相等；同角或等角的余角相等.
【即学即练10-1】（25-26七年级下·江西九江·期中）已知与互余，且，则的补角是_____．
【答案】
【分析】根据互余和补角的定义求解此题.
【详解】解: ∵ 与 互余，
∴ ，
∴的补角是.
【即学即练10-2】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，直线与直线相交于点O，是的平分线，在内，且，．
(1)求的度数；
(2)写出的所有补角．
【答案】(1)
(2)，，.
【分析】（1）根据角平分线的定义和角的和差关系进行求解即可；
（2）根据补角的定义，进行求解即可.
【详解】（1）解：∵是的平分线，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
又∵，
∴的补角为，，.
题型01 立体图形的分类
【典例1】（26-27七年级上·辽宁铁岭·阶段检测）下面几何体中，是柱体的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据几何体的分类逐一进行判断即可．
【详解】解：、选项中为圆柱，是柱体，符合题意；
、选项中为圆锥，是锥体，不符合题意；
、选项中为球，是球体，不符合题意；
、选项中为三棱锥，是锥体，不符合题意．
【变式1】（26-27七年级上·辽宁沈阳·阶段检测）下列7个几何体中，属于棱柱的有（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
【答案】C
【分析】根据棱柱的定义判断即可．
【详解】解：7个几何体中，属于棱柱的有①②④⑥，共4个．
【变式2】（25-26七年级上·广东佛山·阶段检测）如图，下列几何体，是柱体的有______，球体的有______．（填序号）
【答案】 ①②⑥ ⑤
【分析】根据立体图形的特征即可得到答案．
【详解】解：柱体的有①②⑥；球体有⑤．
故答案为：①②⑥，⑤
【变式3】（26-27七年级上·全国·课后作业）图中的几何体是我们常见的几何体，如果按“柱”“锥”“球”来分，柱体有________，锥体有________，球有________．（填序号）
【答案】 ①②⑥ ③④ ⑤
【分析】根据“柱”“锥”“球”的特点判断即可．
【详解】解：由图可得，①是长方体，②是圆柱，③是圆锥，④是三棱锥，⑤是球体，⑥是三棱柱．
因此柱体有①②⑥；锥体有③④；球有⑤．
题型02 探究几何体中的点、棱、面之间的关系
【典例2】（26-27七年级上·辽宁沈阳·阶段检测）一个直棱柱一共有七个面，这个直棱柱侧棱数是（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】C
【详解】解：∵直棱柱包含2个底面，总面数为7，
∴侧面数为，
∵直棱柱的侧棱数与侧面数相等，
∴侧棱数为5.
【变式1】（26-27七年级上·陕西宝鸡·阶段检测）一个直棱柱有个面，那么该棱柱有________个顶点，共有________个侧棱．
【答案】
【分析】根据直棱柱总面数先确定棱柱类型，再根据棱柱顶点、侧棱的数量规律计算结果．
【详解】解：∵直棱柱的总面数个底面个侧面，n为侧棱数，对应n棱柱．
∴该棱柱的侧面个数为，
即该棱柱是六棱柱．
∵n棱柱的顶点数为，侧棱数等于．
∴顶点数为，侧棱数为．
【变式2】（26-27七年级上·贵州毕节·阶段检测）一个棱柱共有8个顶点，设这个棱柱共有m个面，共有n条棱，则___________．
【答案】18
【分析】根据棱柱顶点数量确定棱柱类型，再计算得到面数和棱数，即可求出两者的和.
【详解】解：∵一个棱柱共有个顶点，棱柱的顶点数为，
∴，解得，即该棱柱为四棱柱，
∵四棱柱有个底面和个侧面，
∴面数，
∵四棱柱的棱数为，，
∴棱数，
∴.
【变式3】（26-27七年级上·全国·课后作业）观察下列几何体，回答问题．
图形与名称
顶点数
6
______
10
12
棱数
9
12
______
______
面数
5
______
______
8
(1)补全上表；
(2)根据上表中的规律，十六棱柱共有______个面，共有______个顶点，共有______条棱；
(3)若某个棱柱有36条棱，则这个棱柱为______棱柱；
(4)棱柱的面数、棱数与顶点数之间存在怎样的数量关系？
【答案】(1)填表如下：
名称
三棱柱
四棱柱
五棱柱
六棱柱
图形
顶点数a
6
8
10
12
棱数b
9
12
15
18
面数c
5
6
7
8
(2)18；32；48
(3)十二
(4)棱柱的面数顶点数棱数
【分析】（1）根据多面体特征直接填写即可；
（2）根据（1）中的表格总结出规律，进而作答即可；
（3）根据（2）中总结的规律列方程求解即可；
（4）直接根据（2）中总结的规律作答即可．
【详解】（1）略
（2）解：对于棱柱，规律为：面数，顶点数，棱数；
当时：面数 ，顶点数，棱数；
（3）解：已知棱柱棱数为，令，解得，因此该棱柱为十二棱柱；
（4）解：由（2）可知棱柱的面数顶点数棱数．
题型03 动态认识点、线、面、体
【典例3】（26-27七年级上·河北张家口·阶段检测）“像牛毛，像花针，像细丝，密密地斜织着”，朱自清把雨比作“牛毛”“花针”和“细丝”，形象地说明了（ ）
A．点是由线与线相交而成 B．面动成体
C．线动成面 D．点动成线
【答案】D
【分析】将雨滴视为点，雨丝为线，结合点动成线的规律判断.
【详解】解：单个雨滴可看作点，雨滴下落的运动轨迹形成线，与题干中“牛毛”“花针”“细丝”的线的形态对应，符合点动成线的结论.
【变式1】（25-26七年级上·江苏盐城·期末）如图，汽车的雨刮器工作的时候，可用下面（ ）的数学知识来解释．
A．点动成线 B．线动成面
C．面动成体 D．两点确定一条直线
【答案】B
【分析】此题主要考查了点、线、面、体，正确理解点线面体的概念是解题的关键．
汽车的雨刷实际上是一条线，通过运动把玻璃上的雨水刷干净，所以应是线动成面．
【详解】解：汽车的雨刮器工作的时候，可用线动成面的数学知识来解释．
故选：B．
【变式2】（25-26七年级上·江苏徐州·阶段检测）用笔在纸上写字，从数学的角度解释为（ ）
A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．点动成面
【答案】A
【分析】本题考查了点、线、面、体，熟练掌握点动成线，线动成面，面动成体是解题的关键．写字时笔尖（点）在纸上移动形成字迹（线），符合点动成线的几何概念，根据点动成线解答即可．
【详解】解：∵笔尖可视为点，在纸上移动形成线条，
∴用笔在纸上写字，从数学的角度解释为点动成线，
故选：A．
【变式3】（24-25七年级上·陕西西安·阶段检测）下列现象能说明“面动成体”的是（ ）
A．旋转一扇门，门运动的痕迹
B．扔一块小石子，小石子在空中飞行的路线
C．雨刮器刮去玻璃上的雨水的痕迹
D．时钟的秒针旋转时扫过的痕迹
【答案】A
【分析】本题主要考查了点、线、面、体之间的关系，熟练掌握“点动成线”，“线动成面”，“面动成体”是解题的关键．
【详解】解：A、旋转一扇门，门运动的痕迹说明“面动成体”，故本选项正确；
B、扔一块小石子，小石子在空中飞行的路线说明“点动成线”，故本选项错误；
C、雨刮器刮去玻璃上的雨水的痕迹说明“线动成面”，故本选项错误；
D、时钟秒针旋转时扫过的痕迹说明“线动成面”，故本选项错误．
故选：A．
题型04 求平面图形旋转所得立体图形体积
【典例4】（25-26七年级上·全国·周测）现有一个长为、宽为的长方形纸片，将此长方形纸片绕它的一边所在的直线旋转一周．
(1)形成的几何体是________．
(2)求所形成的几何体的体积（结果保留）．
【答案】(1)圆柱
(2)或．
【分析】（1）若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，则形成的几何体是圆柱，据此即可求解．
（2）根据题意可得，将这个长方形纸片绕边所在的直线旋转，旋转一周圆柱的底面半径为，高为，将这个长方形纸片绕边所在直线旋转，旋转一周圆柱的底面半径为，高为，再根据圆柱的体积公式进行计算即可解答．
【详解】（1）解：（1）若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，则形成的几何体是圆柱，
故答案为：圆柱．
（2）由题意得：
将这个长方形纸片绕所在直线旋转一周，面积是：；
将这个长方形纸片绕所在直线旋转一周，面积是：；
∴形成的几何体的体积是或．
【变式1】（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）如图，有一个长，宽的长方形纸板，现要求以其一组对边中点所在直线为轴旋转，可按两种方案进行操作．
方案一：以较长的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图①．
方案二：以较短的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图②．
请通过计算说明哪种方案得到的几何体的体积大．（结果保留）
【答案】
解：由题意得：
方案一的体积为；
方案二的体积为；
∵，
∴方案一所得到的几何体体积大．
【分析】本题主要考查圆柱的体积，熟练掌握圆柱的体积公式是解题的关键；由题意易得两个方案所得几何体都是圆柱，其中方案一的底面圆的半径为，方案二的底面圆的半径为，然后根据圆柱体积公式可进行求解．
【详解】略
【变式2】（24-25七年级上·陕西延安·期末）如图，这是一张长方形纸片，的长为，的长为．
(1)若将此长方形纸片绕它的一边所在的直线旋转一周，则形成的几何体是________．
(2)若将这个长方形纸片绕边所在的直线旋转一周，求形成的几何体的体积（结果保留）
【答案】(1)圆柱
(2)
【分析】本题考查了点、线、面、体，熟练掌握圆柱的特征，以及圆柱的体积计算公式是解题的关键．
（1）根据面动成体的原理，将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，则形成的几何体是圆柱；据此即可求解．
（2）根据题意可得，圆柱的底面半径为，高为，再根据圆柱的体积公式进行计算即可解答．
【详解】（1）解：将此长方形纸片绕它的一边所在的直线旋转一周，则形成的几何体是圆柱；
（2）解：由题意，得，
所以形成的几何体的体积．
【变式3】（24-25七年级上·宁夏银川·期中）如图，将长方形绕其长边所在直线旋转一周，得到一个立体图形．
(1)这个立体图形是(填序号)_________ ．(①长方体 ②圆柱 ③正方体 ④圆锥 )
(2)求这个立体图形的体积．(结果保留π)
【答案】(1)②
(2)
【分析】本题主要考查了面动成体，解答此题的关键是找出旋转所得到的图形与原图形之间的数据关系，熟练掌握圆柱的体积公式．
（1）根据面动成体可知将正方形围绕它的一条边为轴旋转一周，得到的是圆柱；
（2）根据圆柱的高和圆柱的底面半径，理由体积公式进行计算即可．
【详解】（1）解：将长方形围绕它的一条边为轴旋转一周，得到的是②圆柱．
（2）解：立体图形的体积为；
答：这个图形的体积是．
题型05 线段、射线、直线的联系与区别
【典例5】（26-27七年级上·全国·课后作业）下列关于直线、射线、线段的说法正确的是（ ）
A．用直尺可以画一条长的直线
B．射线与射线表示同一条射线
C．直线没有端点，射线有一个端点，线段有两个端点
D．过平面内三点中的每两点画直线，一定可以画3条
【答案】C
【详解】解：选项A：∵直线向两方无限延伸，无固定长度， ∴无法画出长的直线，A错误．
选项B：∵射线的端点为，向点的方向延伸，射线的端点为，向点的方向延伸，端点与延伸方向均不同， ∴它们不是同一条射线，B错误．
选项C：∵直线没有端点，射线有一个端点，线段有两个端点，符合三者定义， ∴C正确．
选项D：∵若平面内三点共线，过每两点画直线只能画1条，并非一定能画3条， ∴D错误．
【变式1】（26-27七年级上·全国·课后作业）如图，下列语句描述不正确的是（ ）
A．点在直线上 B．直线与射线相交于点
C．点在直线上 D．点在线段的反向延长线上
【答案】C
【详解】解：A、点在直线上，原说法正确，不符合题意；
B、直线与射线相交于点，原说法正确，不符合题意；
C、点不在直线上，原说法错误，符合题意；
D、点在线段的反向延长线上，原说法正确，不符合题意．
【变式2】（26-27七年级上·全国·单元测试）下列结论正确的是（ ）
A．直线比射线长 B．射线比线段长
C．过三点一定能作三条直线 D．过两点有且只有一条直线
【答案】D
【分析】结合直线、射线的度量性质及直线的基本事实判断各选项正误．
【详解】解：A、B选项，直线、射线不可度量，无法比较长短，均错误；
C选项，若三点共线，仅能作1条直线，错误；
D选项，过两点有且只有一条直线，正确．
【变式3】（25-26七年级上·河南郑州·期中）如图，点三点在同一水平线上，下列说法不正确的是（ ）
A．线段和线段是同一条线段 B．直线和直线是同一条直线
C．射线和射线是同一条射线 D．射线和射线是同一条射线
【答案】C
【分析】本题考查直线、射线、线段，掌握直线、射线、线段的定义是正确解答的关键．
根据直线、射线、线段的定义进行解答即可．
【详解】解：．线段和线段是同一条线段，因此选项不符合题意；
．直线和直线是同一条直线，因此选项不符合题意；
．射线和射线不是同一条射线，因此选项符合题意；
．射线和射线是同一条射线，因此选项不符合题意．
故选：．
题型06 画直线、射线、线段
【典例6】（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，平面上有三个点A、B、C，根据下列语句画图：
(1)用直尺画直线，射线，线段；
(2)用尺规作图，在射线上找一点P，使得（保留作图痕迹）．
【答案】(1)
所求图形，如图所示．
(2)
如图，点P为所求．
【分析】本题考查直线、射线、线段，作一条线段等于已知线段．
（1）根据直线、射线、线段的定义作图即可；
（2）以点C为圆心，的长为半径作弧，与射线的交点即为所求．
【详解】（1）略
（2）略
【变式1】（25-26七年级上·陕西·期末）如图，在平面内有三点．
(1)画直线，线段，射线；
(2)在线段上作，使．
【答案】(1)直线，线段，射线如图所示，
(2)
如图所示．
【分析】此题考查了直线、线段、射线，解题的关键熟知概念并会画图．
（1）根据直线，线段，射线的定义画图即可；
（2）以点B为圆心，为半径画弧即可．
【详解】（1）略
（2）略
【变式2】（25-26七年级上·新疆·期末）如图，平面上有四个点、、、，根据下列语句画图．
(1)画直线，与线段交于点；
(2)连接，并将反向延长；
(3)画射线，用尺规作图，在射线上取一点，使得线段．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】(1)
作图如图所示：
(2)作图如图所示：
(3)
作图如图所示：
【分析】本题考查直线、线段、射线的基本作图及线段的尺规作图，关键是理解直线、线段、射线的定义，并掌握尺规作等长线段的方法．
（1）直线可向两端无限延伸，线段有两个端点，作图时需体现直线的延伸性与线段的有限性．
（2）反向延长线段需明确延长的方向，即从原线段的一个端点向另一个端点的反方向延伸．
（3）射线有一个端点且向一端无限延伸，尺规作等长线段的关键是用圆规截取已知线段的长度．
【详解】（1）解：用直尺过、两点画直线(向两端无限延伸)，再用直尺连接、两点得到线段，直线与线段的交点即为点，
（2）解：用直尺连接、两点得到线段，再从点出发，沿到的反方向延长，得到的反向延长线，
（3）解：用直尺画出射线，再以为圆心，的长度为半径画弧，弧与射线的交点即为点，此时，保留圆规作图的痕迹即可，
【变式3】（25-26七年级上·广东广州·期末）如图，平面上有四个点，根据下列语句用无刻度的直尺与圆规作图（保留作图痕迹，不写作法）．
(1)画直线；
(2)画射线；
(3)连接，在线段上取点，使的值最小；
(4)连接，并反向延长至点，使．
【答案】(1)
如图所示，直线即为所求；
(2)如图所示，射线即为所求；
(3)如图所示，
(4)如图所示，点即为所求．
【分析】本题考查了尺规作图，作直线、射线，作线段等于已知线段，两点之间线段最短，熟知相关知识是解题的关键．
（1）根据直线的画法画图即可；
（2）根据射线的画法画图即可；
（3）根据两点之间线段最短可知线段与的交点即为点；
（4）以点为圆心，的长为半径画弧交延长线于点，则点即为所求．
【详解】（1）略
（2）略
（3）解：线段与的交点即为所求，依据为两点之间线段最短，，的最小值即为的长；
（4）略
题型07 线段的数量问题的应用
【典例7】（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）如图，点、在线段上，则图中共有线段（ ）
A．3条 B．6条 C．7条 D．10条
【答案】B
【分析】本题主要考查同一直线上点与线段的数量关系，根据线段的概念，数出线段的条数，即可求解．
【详解】解：图中有线段，共条，
故选：B．
【变式1】（25-26七年级上·安徽亳州·期末）阜阳至宿州（淮北）铁路是皖北地区城际铁路，该铁路2026年全线建成通车，全线设车站5座，全程任意两站的距离不相等，车票价格共有（ ）种
A．20种 B．10种 C．8种 D．4种
【答案】B
【分析】本题考查直线、射线、线段，掌握线段条数的计算方法是正确解答的关键．根据线段的数量解答即可．
【详解】解：如图，设5个车站分别为A、B、C、D、E，
图中共有条线段，即，
因此不同的票价共有种，
故选：B．
【变式2】（25-26七年级上·江西抚州·期末）昌厦高铁线途经抚州市，通车后将大大方便人们的出行．列车往返于南昌，厦门两个城市，中途经过11个站点（共13个站点），不同的车站来往需要不同的“二等座车票”，则这条路线共有________种不同的“二等座车票”．
【答案】156
【分析】本题考查线段的数量，在线段的计数时，应注重分类讨论的方法计数，做到不遗漏，不重复，注意：每条线段有两种车票．n个车站每两站之间车票有两种，则n个车站的票的种类数种，据此即可解答．
【详解】解：（种）；
故答案为：156．
【变式3】（25-26七年级上·全国·期末）若A，B是火车行驶的两个站点，两站之间有5个车站，在这段线路上往返行车，需印制 _________ 种车票．
【答案】42
【分析】此题考查了线段的总条数，解题的关键是往返车票需要两种车票．
把车票种数转化为线段之间的总条数计算即可．
【详解】解：如图所示，线段的总条数是，
因为要有往返车票，即两点之间是两种车票，所以应印制（种）．
故答案为：42．
题型08 线段的和与差
【典例8】（25-26六年级下·山东济宁·期中）如图，点是线段的中点，点是线段上一点．若，．
(1)求的长．
(2)求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了线段的和与差．
（1）根据，，可求出的长．
（2）根据线段中点的定义可得的长，再根据即可求解．
【详解】（1）解：，，
．
（2）解：点是线段的中点，
，
．
【变式1】（25-26六年级下·山东泰安·阶段检测）如图，已知O在线段上，C、D分别是线段、的中点．
(1)填空： ， ；
(2)若线段，求线段的长．
【答案】(1)2，
(2)5
【分析】（1）根据线段中点的性质，即可解答；
（2）根据线段中点的性质，可得，，再根据线段的和差，即可解答．
【详解】（1）解：C、D分别是线段、的中点，
，．
（2）解：C、D分别是线段、的中点，
，，
．
答：线段的长为．
【变式2】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）如图，延长至D，使B为的中点，点C在上，．
(1) ， ；
(2)若，求的长．
【答案】(1)，2
(2)8
【分析】（1）根据线段中点的定义以及和差关系进行计算即可；
（2）求出，再根据线段中点的定义以及和差关系进行计算即可．
【详解】（1）解：点B是的中点，
．
（2）解：，
，
．
【变式3】（25-26七年级上·四川凉山·期末）如图，点是线段的中点，点在线段上，点是线段的中点．
(1)若，求的长；
(2)若，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据点是线段的中点，求出，根据点是线段的中点，求出，根据，即可；
（2）根据题意，设，则，推出，根据，解出未知数，求出，则，即可．
【详解】（1）解：∵点是线段的中点，
∴，
∴，
∵点是线段的中点，
∴，
∴．
（2）解：由于，设，则，
∵点是线段的中点，
∴，
∵，
∴，
解得，
即，
∴，
∴．
题型09 线段n等分点的有关计算
【典例9】（24-25七年级上·福建福州·期末）已知点C在线段上，，点D、E在直线上，点D在点E的左侧，若，线段在线段上移动，
(1)如图1，当E为中点时，求的长；
(2)当点C是线段的三等分点时，求的长．
【答案】(1)13
(2)16或12
【分析】本题主要考查两点间的距离，解题的关键是需要进行分类讨论求解．
（1）根据已知条件得到，，由线段中点的定义得到，求得，由线段的和差得到；
（2）当点线段的三等分点时，分两种情况：当点靠近点时，当点靠近点时，由线段的和差即可得到结论．
【详解】（1）解：，，
，，
为中点，
，
，
，
；
（2）解：点是线段的三等分点，，
当点靠近点时，，
，
；
当点靠近点时，，
．
【变式1】（24-25七年级上·湖南怀化·期末）如图，点是线段的中点，点是线段的中点，线段．
(1)求线段的长；
(2)如果点在线段上，且，求线段的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查线段中点的有关计算，线段n等分点的有关计算，解题的关键在于利用数形结合的思想解决问题．
（1）根据线段中点的特点得到对应线段之间的数量关系进行求解，即可解题；
（2）根据得到的长，再根据求解，即可解题．
【详解】（1）解：点是线段的中点，线段，
，
点是线段的中点，
；
（2）解：由（1）得，，
，
，
．
【变式2】（25-26七年级上·湖南永州·阶段检测）已知点在线段上，，，点为线段中点．
(1)如图1，若点为线段的中点，求线段的长；
(2)如图2，若点为线段上的点，且满足，求线段的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是两点间的距离的计算，掌握线段中点的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键．
（1）根据线段中点的定义可得，，再根据可得答案；
（2）根据线段的中点的定义和线段的比例可得， ， 再根据可得答案．
【详解】（1）解：∵点M为线段中点， 点N为线段的中点，
∴，，
∴；
（2）解：∵点M为线段中点，
∴，
∵，
∴，
∴．
【变式3】（25-26七年级上·湖北荆州·期末）如图为线段上一点，点为的中点，已知．
(1)求的长；
(2)若点是线段上靠近点的三等分点，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查线段的中点与三等分点的计算，关键是利用线段的和差关系，结合中点、三等分点的定义逐步推导．
（1）先求出的长度，再根据中点定义求出；
（2）先根据三等分点求出的长度，再结合的长度求出．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵点为的中点，
∴；
（2）解：∵点是线段上靠近点的三等分点，，
∴，
∴，
∴．
题型10 与线段有关的动点问题
【典例10】（25-26七年级上·河南许昌·期末）如图1，已知线段，点M是线段上一点，点C在线段上，点D在线段上，C、D两点分别从M、B出发以的速度沿直线运动，运动方向如箭头所示，其中a、b满足条件：．
(1)直接写出：____________，_____________；
(2)若，当点C、D运动了，求的值；
(3)如图2，若，点N是直线上一点，且，求与的数量关系．
【答案】(1)1，3
(2)8cm
(3)或
【分析】（1）根据绝对值的非负性得出a-1=0，b-3=0，求解即可；
（2）当C、D运动时，，，结合图形求解即可；
（3）分两种情况：当点N在线段上时；当点N在线段的延长线上时；利用线段间的数量关系求解即可．
【详解】（1）解：∵|a−1|+|b−3|=0
∴a-1=0，b-3=0，
∴a=1，b=3，
故答案为：1；3；
（2）当C、D运动时，，，
∴．
（3）当点N在线段上时，
∵，
又∵，
∴，
∴．
当点N在线段的延长线上时，
∵，
又∵，
∴．
综上所述，或．
【变式1】（25-26七年级上·湖北武汉·期末）如图1，点C在线段AB上，．P，Q两点同时从点C，B出发，分别以，的速度沿直线AB向左运动，当点P达点A时，两点立即停止运动．
（1）的值是______；
（2）取PQ中点M，CQ的中点N．求的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）分别表示出AP，CQ，故可求解；
（2）根据中点的性质表示出MN，再根据线段的关系得到，故可得到，即可求解．
【详解】解：（1）∵P，Q两点同时从点C，B出发，分别以，的速度沿直线AB向左运动，
设运动时间为t
∴CP=t，BQ=2t
∴
∵
∴设BC=2a，AC=a
∴AP=AC-CP=a-t，CQ=BC-BQ=2a-2t=2（a-t）
∴AP=CQ
∴=
故答案为：；
（2）如图，∵M是PQ中点，N是CQ的中点
∴MQ=，NQ=
∴，
∵，
∴，
∴．
【变式2】（25-26七年级上·河南平顶山·阶段检测）如图，M是线段AB上一点，且AB=10cm，C、D两点分别从M，B同时出发以1cm/s，3cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）．
（1）当点C， D运动了2s，求这时AC+MD的值．
（2） 若点C， D运动时，总有MD=3AC，求AM的长．
【答案】（1）2 cm；（2）2.5cm．
【分析】（1）计算出CM及BD的长，进而可得出答案；
（2）根据题意可知BD+MD＝3CM+3AC，即BM＝3AM，依此即可求出AM的长．
【详解】解：（1）当点C，D运动了2s时，CM＝2 cm，BD＝6 cm，
∵AB＝10cm，CM＝2cm，BD＝6cm，
∴AC+MD＝AB﹣CM﹣BD＝10﹣2﹣6＝2 cm；
（2）∵C，D两点的速度分别为1cm/s，3 cm/s，
∴BD＝3CM．
又∵MD＝3AC，
∴BD+MD＝3CM+3AC，即BM＝3AM，
∴AMAB＝2.5cm．
【变式3】（25-26七年级上·福建龙岩·期末）已知：如图1，是定长线段上一定点，两点分别从，出发以，的速度沿向左运动，运动方向如箭头所示（在线段上，在线段上）
(1)若，当点运动了，求的值；
(2)若点运动时，总有，试说明；
(3)如图2，已知，是线段所在直线上一点，且，求的值．
【答案】(1)2cm
(2)
解：∵，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
(3)或
【分析】（1）根据运动的时间为2s，结合图形可得出，，即可得出，再由，即得出AC+MD的值；
（2）根据题意可得出，．再由，可求出，从而可求出，即证明；
（3）①分类讨论当点在线段上时、②当点在线段的延长线上时和③当点在线段的延长线上时，根据线段的和与差结合，即可求出线段MN和AB的等量关系，从而可求出的值，注意舍去不合题意的情形．
【详解】（1）∵时间时，
，，
∴
；
（2）略
（3）①如图，当点在线段上时，
∵，
∴，
∴，
∴；
②如图，当点在线段的延长线上时，
∵，
∴，
∴，
③如图，当点在线段的延长线上时，
，这种情况不可能，
综上可知，的值为或．
题型11 角的单位与角度制
【典例11】（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）____________，______．
【答案】 150 9000 20.5
【分析】本题主要考查了角度的度分秒换算，熟练掌握，的换算关系是解题的关键．
本题考查角度的度分秒换算，解题思路是利用，的换算关系，将度化为分、秒，或将分化为度，依次计算各空．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：①；②；③．
【变式1】（25-26七年级上·江西赣州·期末）计算：_____．
【答案】
【分析】本题考查角度的加法运算，核心知识点是度与分的换算关系：．先将相同单位的度数、分数分别相加，再根据分与度的换算规则判断是否需要进位，本题中分的和小于，无需进位，直接合并结果即可．
【详解】解：；
故答案为：．
【变式2】（26-27七年级上·全国·课后作业）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】进行角度的加、减运算时，要将度与度、分与分、秒与秒分别相加、减，分、秒相加时逢60要进位，相减时，如不够要借1作60．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【变式3】（24-25七年级上·全国·单元复习）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了度分秒的运算，
对于（1），根据，，再计算度分秒的和差即可；
对于（2），根据，再计算度分秒的和差．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
题型12 钟面角
【典例12】（26-27九年级上·全国·周测）某天上午李明出门锻炼，回家时发现时针刚好旋转了，那么李明回家的时间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：时针每小时旋转．
旋转经过的时长为小时．
∴经过2小时为．
【变式1】（26-27七年级·全国·小升初衔接）钟面上9点15时，时针与分针形成的最小夹角的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】钟面每个大格为，时针每分钟走的角度为，分针每分钟走的角度为，再结合9点15分时，时针和分针分别走的格数，进而求出它们的夹角．
【详解】解：9点时，时针与分针的夹角为：，
9点15分时，时针从9点开始又走了15分钟，
∴时针15分钟走的度数为：，
分针15分钟走的度数为：，
∴此时时针与分针的夹角为：（大于平角），
最小夹角为：．
【变式2】（25-26六年级下·山东烟台·期中）北京时间2023年9月21日15时45分，《天宫课堂》第四课正式开讲．在时，时钟上的时针与分针之间所成的夹角是_________．
【答案】
【分析】根据时钟上每一大格对应度数为，时针每分钟转动，分针每分钟转动，计算时针与分针的位置角度差即可．
【详解】解：由题意得：时，分针对应的角度为，
时针对应的角度为，
因此时针与分针的夹角为 ．
【变式3】（25-26六年级下·山东烟台·期中）周末，小明在早晨7点至8点的某时刻开始晨练，8点至9点的某时刻结束晨练，结果发现晨练结束与开始时，他佩戴的指针式手表的时针与分针恰好交换了位置，则他共晨练______________分钟．
【答案】/
【分析】先明确时针与分针的转速，再根据时针与分针交换位置得到角度和的等量关系，列方程求解即可．
【详解】解：由钟表的性质可知，分针每分钟转动的角度为，时针每分钟转动的角度为，
设小明共晨练分钟，
由题意得时针与分针转过的总角度和为，则，
解得．
题型13 与方位角有关的计算题
【典例13】（25-26七年级上·江苏南通·期末）在灯塔O处观测到轮船位于北偏东的方向上，同时轮船B在南偏东的方向上，则的度数为______°．
【答案】
【分析】本题考查了方向角的计算，解题的关键是明确各个角之间的关系．根据方向角的定义得出，，根据平角的定义即可得答案．
【详解】解：如图所示：
∵轮船位于北偏东的方向上，同时轮船B在南偏东的方向上，
∴，，
∴．
故答案为：
【变式1】（25-26七年级上·河南驻马店·期末）如图，甲，乙两人同时从A地出发，沿图示方向分别步行前进到B，C两地，现测得为，B地位于A地的北偏东方向，则C地位于A地的___________方向．
【答案】南偏东
【分析】本题主要考查了方位角的有关计算，熟练掌握方位角的定义，是解题的关键．
根据B地位于A地的北偏东方向可知，，再根据为算出即可得出答案．
【详解】解：∵B地位于A地的北偏东方向，
∴，
∵，
∴，
即C地位于A地的南偏东方向．
故答案为：南偏东．
【变式2】（24-25七年级上·吉林·期末）如图，一艘渔船从海上点E处开始绕点O航行，已知点E在点O的北偏东方向上，航行到点C时，测得．
(1)求的度数；
(2)直接写出渔船到达的点C在点O的什么方向？
【答案】(1)
(2)渔船到达的点C在点O的北偏西方向上
【分析】本题考查的是与方向角有关的计算，解题的关键是熟练掌握方向角之间的大小关系．
（1）根据角的和差解答即可；
（2）先根据角的和差求出的度数，则点C的位置即可判断．
【详解】（1）解：∵点E在点O的北偏东方向上，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∴渔船到达的点C在点O的北偏西方向上．
【变式3】（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·期末）周末小红一家去动物园玩．根据图回答问题．
(1)袋鼠馆在熊猫馆东偏南方向上，距离是（ ）米．
(2)鹿园在熊猫馆（ ）偏（ ）方向上，距离是100米．
(3)小红一家以50米/分钟的速度从猴山经熊猫馆步行到大象馆，大约需要几分钟？
【答案】(1)150
(2)西，北，
(3)7分钟
【分析】本题考查的是位置与方向，明确上北、下南、左西和右东的位置关系是解题的关键；
（1）根据示意图可知，每个单位长度表示的是50米，然后确定方向和角度，再计算出距离即可解答；
（2）根据图中的方向和角度即可解答；
（3） 先用乘法算出猴山到熊猫馆和熊猫馆到大象馆的距离，然后用加法求出总路程，再根据时间路程速度即可解答．
【详解】（1）解：由图可知，每个单位长度表示的是50米，袋鼠馆到熊猫馆有3个单位长度，
所以，距离是米，
故答案为：150；
（2）解：有图可知，鹿园在熊猫馆西偏北方向上，距离是100米，
故答案为：西，北，；
（3）解：猴山到熊猫馆，有4个单位长度，熊猫馆到大象馆有4个单位长度，
所以，（分钟）．
题型14 三角板中角度计算问题
【典例14】（26-27七年级上·全国·课后作业）如图，用同样大小的三角板比较和的大小，下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．没有量角器，无法确定
【答案】B
【分析】通过比较角的另一边是在三角板的内部还是外部，即可确定角的大小关系．
【详解】解：由题意得，，
∴．
【变式1】（2026·河南洛阳·一模）将一块含有的等腰直角三角板按照如图方式摆放，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据等腰直角三角板的性质可知其在直线上的角为 ，利用平角的定义及对顶角性质建立 与 的关系，即可求解．
【详解】解： 三角板是含有 的等腰直角三角板 ，
三角板在直线上的角为 ，
∴ 与 的邻补角构成直角，
，
，
，
．
【变式2】（25-26七年级上·四川广元·期末）已知和互为邻补角，，将一个三角板的直角顶点放在点处（注：，）．
(1)如图①，使三角板的短直角边与射线重合，求的度数．
(2)将图①的三角板在的上方绕点逆时针转动，如图②，在转动过程中，当时，求的度数．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）利用求解即可；
（2）设，则，根据题意分两种情况讨论，分别列方程求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴；
（2）解：设，则，
如图，当在内部时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
如图，当在外部时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
综上所述，当时，的度数为或．
【变式3】（25-26七年级下·河南周口·期末）在数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动，把一副三角尺按照不同方式摆放．
(1)如图1，两个三角尺的直角边摆放在同一直线上，把以O为中心顺时针旋转，至少旋转__________，才能使落在上；
(2)如果把图1所示的以O为中心顺时针旋转到图2的位置，得到，当时，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】1）根据旋转角的定义计算即可；
（2）设，分别表示出和，建立方程求解即可．
【详解】（1）解：由题意知，至少旋转的大小，
∵，，
∴，
∴
即至少旋转，才能使落在上；
（2）解：由旋转的性质得，
设，
则，
，
∵，
∴，
∴，
∴．
题型15 角n等分线的有关计算
【典例15】（24-25七年级上·陕西安康·期末）如图，已知是的平分线，为内部一点，连接，．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了角平分线、角的和差、角的等分线、一元一次方程的应用等知识点，弄清角之间的关系成为解题的关键．
（1）由题意进而得，再根据角平分线可得，最后根据角的和差即可解答；
（2）由题意进而得，再根据角平分线可得，最后根据列关于的方程求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，解得：．
【变式1】（25-26七年级上·浙江台州·期末）下列各题中，是的三等分线，是的三等分线，且，．
(1)如图1，若点A，O，B在一条直线上，则______；
(2)如图2，若点A，O，B不在一条直线上，且，求的度数；
(3)如图3，若在的内部，则______．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查角的n等分线，角的和与差，利用数形结合的思想是解题关键．
（1）根据题意可知，，再根据求解即可；
（2）由（1）同理可知，即可求解；
（3）由（1）同理可知，，再根据即可求解．
【详解】（1）解：∵是的三等分线，是的三等分线，且，，
∴，，
∴．
故答案为：；
（2）解：由（1）可知；
（3）解：∵是的三等分线，是的三等分线，且，，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：．
【变式2】（25-26七年级上·湖北黄冈·期末）如图，已知内有三条射线，其中平分角，平分．
(1)如图，若，求 的度数；
(2)如图，若，求的度数；（用含的代数式表示）
(3)若将题中的“平分”的条件改为“，，且”，其他条件不变，求的度数．（用含的代数式表示）
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（）根据根据角平分线定义和角度和差即可求解；
（）根据根据角平分线定义和角度和差即可求解；
（）根据根据角平分线定义和角度的和差倍分即可求解；
本题考查了角平分线的相关计算，角度的和差倍分等知识点，熟练掌握角平分线定义和角度和差是解题的关键．
【详解】（1）∵平分，平分，
∴ ，，
∴ ，
∵ ，
∴；
（2）∵平分，平分，
∴ ，，
∴ ，
∴；
（3）∵ ，，
∴ ，
∴．
【变式3】（25-26七年级上·山西太原·阶段检测）定义：如果一个角内部的一条射线将这个角分成两个角，其中一个角是另一个角的倍，那么我们将这条射线称为这个角的分位线．例如：如图1，，则为的5分位线；，则也是的5分位线．
(1)如图2，点A、、在同一条直线上，为一条射线，，分别为与的3分位线，（，），，则______；
(2)如果点A、、在同一条直线上，为一条射线，已知射线、分别为与的5分位线，且，则________．
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题考查了新定义——角的分位线．熟练掌握新定义和利用分类讨论的思想是解题的关键．
（1）求出，根据，分别为与的3分位线，（，），得，则；
（2）根据、分别为与的5分位线，得或；或，当， 时，，不合题意；当，时，， 得；当，时，，得；当，时，，不合题意．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，分别为与的3分位线，（，），
∴，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）解：∵射线为的5分位线，
∴，即，或，即；
∵射线为的5分位线，
∴，即，或，即，
当，时，则，
∵，
∴此时不满足题意；
当，时，
则，
∴，
∴；
当，时，
则，
∴；
当，时，
则，
∴此时不满足题意；
综上所述，或．
故答案为：或．
题型16 与余角、补角有关的计算
【典例16】（25-26七年级上·江西南昌·阶段检测）如图，点O为直线上一点，平分．
(1)平分吗？说明理由；
(2)写出所有的互余的角．
【答案】(1)平分，理由：
∵平分，
∴，
∵，
∴，
，
∴，
∴平分；
(2)互余，互余，互余，互余．
【分析】（1）根据角平分线的定义可得，再根据角的和差可得，由此即可得；
（2）根据互余的角之和为即可解答．
【详解】（1） 略
（2）解：∵，平分，平分，
∴，，
∴，
∴互余，互余，互余，互余．
【变式1】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图，射线，射线在内部，．
(1)若，求的度数．
(2)若与互补，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查角的和差，补角的定义，解题的关键是：
（1）设，结合已知求出，，，结合得出，即可求解；
（2）由（1）得，，结合与互补得出，即可求解．
【详解】（1）解：设，
，
又，
，
，
，
；
（2）解：由（1）得，．
因为，
所以，
解得，
所以．
【变式2】（25-26七年级上·河北沧州·期末）如图，平分平分．
(1)求的度数；
(2)求的度数，并判断与是否互补；
(3)若，判断与是否互补，并说明理由．
【答案】(1)
(2)，是
(3)
解：与不一定互补，理由如下：
平分平分，
，
，
．
的度数不确定，
与不一定互补．
【分析】本题主要考查了角的和差、角平分线的定义、补角的定义等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键．
（1）直接利用角的和差解答即可；
（2）由角平分线的定义可得，再根据角的和差可求得的度数，再根据补角的定义即可判断；
（3）由角平分线的定义可得，再根据角的和差可求得的度数，再根据补角的定义即可判断．
【详解】（1）解：∵，
∴．
（2）解：平分平分，
．
由（1）知，，
，
与互补．
（3）略
【变式3】（25-26七年级上·河南周口·期末）如图，在的内部有一条射线平分、平分．
(1)①当时，____________；
②若．用含的式子表示，则____________；
(2)当与互为余角时，判断与的数量关系，说明理由．
【答案】(1)①；②
(2)
解：（或与互补）；
∵平分，平分，
∴，
∴，
因为与互为余角，
所以，
即，
所以．
所以（或与互补）．
【分析】本题主要考查了角平分线定义，角度间的数量关系，解题的关键是熟练掌握角平分线定义．
（1）①根据角平分线定义得出，，再根据角度间的数量关系，得出答案即可；
②根据解析①的解题方法求解即可；
（2）根据角平分线定义得出，求出，根据，得出，即可得出结论．
【详解】（1）解：①∵平分、平分，，
∴，，
∴；
②∵平分、平分，，
∴，，
∴；
（2）略
一、单选题
1.（26-27七年级上·全国·课后作业）在正方体、长方体、圆柱、圆锥、球、六棱柱、六棱锥中，属于柱体的有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】B
【详解】解：正方体、长方体、六棱柱均为棱柱，属于柱体，圆柱属于柱体， 圆锥、六棱锥为锥体，球为球体，均不属于柱体，
统计得柱体共4个．
2．（26-27七年级上·全国·期中）将下图所示的平面图形绕虚线旋转一周，得到的立体图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
解：旋转一周得到的立体图形是
故选：D．
3．（25-26七年级上·山东青岛·期末）下列关于直线、射线、线段的描述中，正确的是（ ）
A．延长射线到点B B．线段就是点A到点B之间的距离
C．经过两点有且只有一条直线 D．一条直线由两条射线组成
【答案】C
【分析】本题考查直线、射线、线段的定义及基本性质，需根据相关概念逐一判断选项正误．
【详解】解：∵射线本身向方向无限延伸，无法延长，∴A选项错误；
∵线段是几何图形，点A到点B之间的距离是线段的长度（属于数量范畴），二者概念不同，∴B选项错误；
∵“经过两点有且只有一条直线”是直线的基本事实（两点确定一条直线），∴C选项正确；
∵直线是向两方无限延伸的，不能表述为由两条射线组成，∴D选项错误．
故选：C．
4．（25-26七年级上·江西景德镇·期末）一条铁路有9个火车站，若一列火车往返过程中必须停靠每个车站，则铁路局需为这条线路准备车票（ ）种．
A．9 B．18 C．36 D．72
【答案】D
【分析】本题主要考查线段概念的实际应用，利用线段数计算车票种类，注意往返车票是不同的，需乘以2．
【详解】解：∵9个火车站可看作直线上的9个点，
∴线段总数为：（条），
∵每两个车站之间的往返车票为不同的两种，
∴铁路局需准备的车票种类为（种）；
故选：D．
二、填空题
5．（26-27七年级上·辽宁沈阳·阶段检测）硬币在桌面上转动时像个球，这个现象说明了__________．
【答案】面动成体
【分析】硬币可看作一个平面图形，转动后形成类似球的立体图形，结合点线面体的运动关系即可得出结论．
【详解】解：硬币本身是圆形的平面图形，绕直径转动后，形成了类似球的立体形状；根据点动成线、线动成面、面动成体的规律，这个现象说明了面动成体．
6．（25-26六年级上·上海·期末）计算：______．
【答案】
【分析】本题考查度、分、秒的换算，熟练掌握，是解题关键．将度、分、秒分别对应相加，再遵循满进的规则进行进位运算即可得答案．
【详解】解：
．
故答案为：
7．（26-27七年级上·山东青岛·阶段检测）若一个n棱柱有14个顶点，则这个棱柱有______个面、______条侧棱，底面形状是______边形．
【答案】 9 7 七
【分析】因为n棱柱上下两个底面都是n边形，每个n边形有n个顶点，所以总顶点数为，结合已知的14个顶点，即可求出n的值．基于求出的n，根据n棱柱面数的构成规律，面包含2个底面和n个侧面，即可得到总面数．根据n棱柱侧棱的数量特征，侧棱数量和底面边数相等，即可得到侧棱的条数．底面多边形的边数和n相等，即可得到底面的形状．
【详解】我们可以根据n棱柱的基本规律推导：
任意n棱柱的顶点总数为，题目里顶点共14个，
因此，
解得，
也就是这是七棱柱．
n棱柱的面包括2个底面和n个侧面，总面数为，
代入得总面数为．
n棱柱的侧棱数量和底面的边数相等，就是n，
因此侧棱共7条．
n棱柱的两个底面都是n边形，因此七棱柱的底面是七边形．
8．（24-25七年级上·全国·阶段检测）已知，的余角是______，的补角是_______．
【答案】 40 130
【分析】本题主要考查了余角与补角的定义，是基础概念题，熟记余角与补角的定义是解题的关键．
根据余角与补角的定义解答即可．
【详解】解：因为，
所以的余角是，
的补角是．
故答案为：40；130
三、解答题
9．（24-25七年级上·贵州毕节·阶段检测）指出如图所示的立体图形中的柱体、锥体、球．
(1)如果按“柱、锥、球”来分，柱体有 ，锥体有 ，球有 ；
(2)如果按“有无曲面”来分，有曲面的有 ，无曲面的有 ．
【答案】(1)（），（），（）；（）（）；（）；
(2)（），（），（）；（），（），（）．
【分析】（）根据立体图形的分类即可求解；
（）根据立体图形的分类即可求解；
本题考查了立体图形，熟练掌握立体图形的特点是解题的关键．
【详解】（1）按“柱、锥、球”来分，柱体有（），（），（），锥体有（）（），球有（），
故答案为：（），（），（）；（）（）；（）；
（2）按“有无曲面”来分，有曲面的有（），（），（），无曲面的有（），（），（），
故答案为：（），（），（）；（），（），（）．
10．（25-26七年级上·广东揭阳·期末）根据下列语句，画出图形．如图，已知四点．
(1)顺次连接；
(2)在的反向延长线上取一点，使；
(3)在四边形内取一点，连接，使三点不共线，三点共线；
(4)在四边形内找一点，使最小．
【答案】(1)解：如图所示，即为所求；
(2)解：如图所示，即为所求；
(3)解：如图所示，即为所求；
(4)
解：如图所示，即为所求．
【分析】本题主要考查了画线段，线段的尺规作图，两点之间，线段最短，熟知线段的相关知识是解题的关键．
（1）根据线段的画法作图即可；
（2）以点A为圆心，线段的长为半径画弧交的反向延长线于点E，则点E即为所求；
（3）连接，在上取一点O（点O不在上），连接即可；
（4）连接，，二者交于点P，则点P即为所求．
【详解】（1）略
（2）略
（3）略
（4）略
11．（25-26七年级上·河南省直辖县级单位·期末）如图，已知线段，，点M是的中点．
(1)求线段的长；
(2)在上取一点N，使得，求线段的长．
【答案】(1)4
(2)10
【分析】本题主要考查了线段中点的有关计算，以及线段的和差关系以及线段比例的计算．
（1）由线段的和差关系得出，再根据线段中点的定义求解即可．
（2）先根据线段的比例求出，再根据线段的和差关系得出即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵点M是的中点．
∴
（2）∵，，
∴，
由（1）知，
∴
12．（25-26七年级上·重庆巴南·期末）已知直线与相交于点O，且平分．
(1)如图1，若平分，求的度数；
(2)如图2，若，，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了角的平分线的计算；
（1）根据平角的定义，角的平分线的意义计算即可；
（2）设，则，，，
整体代入计算即可．
熟练掌握角的倍分关系，角的和等是解题的关键．
【详解】（1）解：∵平分，平分，
∴，，
，
∵，
∴．
（2）解：∵，，
设，
则，，即，
∴，
∴，
解得：，
∴．
一、单选题
1．（2026六年级下·上海·专题练习）用一张长方形纸通过下面（ ）方式旋转，得到底面直径是，高是的圆柱．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查圆柱的认识及特征、旋转与旋转现象，根据以长方形的长为轴旋转，得到的圆柱的高和长相等．以长方形的宽为轴旋转，得到的圆柱的高和宽相等．底面半径，视具体情况而定．
【详解】解： A．得到的圆柱，高是，底面半径；
B．得到的圆柱，高是，底面直径；
C．得到的圆柱，高是，底面半径；
D．得到的圆柱，高是，底面直径．
故答案为：B．
2．（25-26七年级下·重庆江北·开学考试）过平面上个点画直线有（ ）条．
A．或或 B．或或 C．或或 D．或或
【答案】A
【分析】根据四个点的不同位置关系分类讨论，利用两点确定一条直线的性质计算直线条数。
【详解】解：∵ 两点确定一条直线，分三种情况讨论如下：
情况1：当个点都在同一条直线上时，只能画出条直线；
情况2：当个点中有个点共线，第个点不在这条直线上时，共线三点确定条直线，第个点和个共线点分别确定条不同直线，
∴ 总直线数为条；
情况3：当个点中任意三点都不共线时，每两个点确定一条不同直线，总直线数为条；
∴ 过平面上个点画直线有或或条．
故选：A．
3．（25-26七年级上·山东济南·期末）如图，，则射线的方向是（ ）
A．东偏北 B．北偏东 C．北偏东 D．北偏东
【答案】B
【分析】本题主要考查了方位角和度分秒的换算，正确的识别图形是解题的关键．根据方位角的概念，看图正确表示出方位角，即可求解．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∴射线的方向是北偏东．
故选：B．
4．（26-27七年级上·全国·单元复习）如图，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先说明，再结合求解即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
5．（2026七年级上·湖北武汉·专题练习）如图，射线、在的内部，下列说法：
①若，则与互余的角有2个；
②若，则；
③若、分别平分，，则；
④若，，作， ，则．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了余角和补角，角平分线的定义，掌握余角和补角，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．
根据余角和补角的定义和角平分线的定义进行计算，逐个分析即可得到结论．
【详解】解：①，
，
与互余的角有2个；故正确；
②
；故正确；
③如图1，
、分别平分，，
，
，故正确；
④如图2，
，
，
，
，
，
如图3，
，
，
，
，
，
如图：
，
，
，
，
，
如图：
，
，
，
，
；故错误．
综上，正确的有①②③，
故选C．
二、填空题
6．（2026·湖南娄底·模拟预测）计算：＝_______（结果用度、分、秒表示）
【答案】
【分析】利用度分秒的60进制换算规则，先将括号内的被减数化为含度分秒的形式，计算括号内的减法，再将结果除以2，即可得到用度分秒表示的结果.
【详解】解：
7．（25-26七年级上·海南·开学考试）工人叔叔在地面上用64个同样大小的小正方体拼成了一个大正方体，并把它的五个面涂上了颜色（贴地的那个面不涂色），其中3个面涂色的小正方体木块有______个，2个面涂色的有______个．
【答案】 4 20
【分析】本题考查了正方体的特征，解题的关键是根据大正方体的组成及涂色面的情况，分析不同涂色面小正方体的位置和数量．
先确定大正方体的棱长，再根据3个面涂色和2个面涂色小正方体的位置特点，分别计算其数量．
【详解】3个面涂色的小正方体在大正方体的顶点处，由于贴地的面不涂色，所以只有上面的4个顶点处的小正方体是3个面涂色的：（个），
2个面涂色有：
（个）
所以3个面涂色的小正方体木块有4个，2个面涂色的有20个．
故答案为：4；20．
8．（25-26七年级上·山西临汾·期末）高铁出行已经成为大众的首选，从临汾西到太原南的次列车途经洪洞西-灵石东-平遥古城，为方便乘客出行，高铁站需为这段线路设计____________种不同的单程车票．
【答案】
【分析】本题考查线段的计数问题，掌握相关知识是解决问题的关键．列车从临汾西到太原南，途经洪洞西、灵石东、平遥古城，共5个车站。单程车票的起点站和终点站不同，且有明确的方向，所以每个车站有4种车票，则有种，但每种车票计算了两次，故车票种类总数为种．
【详解】解：列车从临汾西到太原南，途经洪洞西、灵石东、平遥古城，共5个车站．对于单程车票，每两个车站之间需要一种车票，且方向固定，因此车票种类数为种．
故答案为．
9．（25-26七年级上·福建泉州·期末）如图，数轴上线段，，线段向右运动，同时线段以相同的速度向左运动，点M，N分别是和的中点，当点B在线段上且未到达中点时，的长为______．
【答案】6
【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，线段中点的有关计算，解题的关键与难点在于正确的表示出数轴上的点所对应的数．先设初始时点表示的数为，则点表示的数为，点表示的数为，则点表示的数为，设线段和线段的运动速度为，运动时间为，再表示出运动后各点对应的数，最后根据点M，N分别是和的中点，表示出点M，N对应的数，即可解答．
【详解】解：设初始时点表示的数为，则点表示的数为，点表示的数为，则点表示的数为，
设线段和线段的运动速度为，运动时间为，
则运动后点表示的数为，则点表示的数为，点表示的数为，则点表示的数为．
点M，N分别是和的中点，
点M表示的数为，
点N表示的数为，
当点B在线段上且未到达中点时，
的长为．
故答案为：6．
10．（26-27七年级上·全国·课后作业）如图，点在直线上，过作射线和，，是的平分线，已知，则_______．
【答案】
【分析】由可得，将、用表示，列方程求解．
【详解】解：∵，
∴，
，
，
点在直线上，
，
，
是的平分线，
，
，
解得．
三、解答题
11．（25-26七年级上·广东清远·期末）阅读材料题：由平的面围成的立体图形又叫做多面体，有几个面，就叫做几面体．三棱锥有四个面，所以三棱锥又叫四面体；正方体又叫做六面体；有五条侧棱的棱柱又叫做七面体．
(1)探索：如果把一个多面体的顶点数记为V，棱数记为E，面数记为F，填表：
多面体
V
F
E
四面体
4
6
长方体
6
2
五棱柱
10
7
15
2
(2)猜想：由上面的探究你能得到一个什么结论？
(3)应用（2）的结果对所有的多面体都成立，伟大的数学家欧拉证明了这个关系式，这个关系式叫做欧拉公式．根据欧拉公式，想一想会不会有一个多面体，它有10个面，30条棱，20个顶点？
【答案】(1)
填表如下：
多面体
V
F
E
四面体
4
4
6
2
长方体
8
6
12
2
五棱柱
10
7
15
2
(2)
(3)
解：不会有一个多面体，它有10个面，30条棱，20个顶点，
∵假如会有，
则，
根据题意：将代入得，，，与矛盾，
∴不会有．
【分析】本题考查了简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间的关系为：．这个公式叫欧拉公式．公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律．
（1）分析题意，由题中所给的多面体，不难求得多面体的顶点数、棱数、面数，即可完成表格；
（2）接下来，观察表格中的数据便不难得到简单多面体中顶点数（V）面数（F）棱数（E）之间的关系；
（3）根据已知数据，结合顶点数V、面数F及棱数E间的关系，即可作出判断．
【详解】（1）略
（2）解：多面体的顶点数V、棱数E、面数F满足关系式：；
（3）略
12．（26-27七年级上·吉林·期中）如图，在同一平面内有四个点、、、，请按要求作图．（用无刻度直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(1)作射线；
(2)作直线与射线相交于点；
(3)作线段，并延长线段到点，使；
(4)连结、，我们容易判断出线段与的大小关系是_____， 理由是_____
【答案】(1)射线如图所示：
(2)如图所示：直线、点即为所求，
(3)如图所示：线段、线段即为所求，
(4)，两点之间线段最短
【分析】（1）根据射线的定义作图即可；
（2）根据直线的定义作图即可；
（3）根据线段的定义作图即可；
（4）根据两点之间，线段最短解答即可．
【详解】（1）略
（2）略
（3）略
（4）解：如图所示：
根据两点之间线段最短可得，．
13．（25-26七年级上·四川成都·期中）如图，点C在线段上，点M是的中点，，．
(1)求线段的长；
(2)在线段上取一点N，使得，求线段的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了线段的和差，线段中点的特点，解题的关键在于灵活运用相关知识．
（1）根据线段的和差求出，再结合线段中点的特点求解，即可解题；
（2）根据线段的比例关系求出，由（1）知，，再根据计算求解，即可解题．
【详解】（1）解：，，
，
点M是的中点，
．
（2）解：，，
，
由（1）知，，
．
14．（25-26七年级上·宁夏银川·期末）如图，和都是直角．
(1)如果，那么的度数是多少？
(2)找出图中相等的角．如果，它们还会相等吗？
(3)若变小，如何变化？
【答案】(1)
(2)；还会相等
(3)变大
【分析】本题考查了余角，以及角的和差计算，是基础题，准确识图是解题的关键．
（1）可得，先求出，再根据即可求解；
（2）根据即可得到；
（3）根据，即可判断．
【详解】（1）解：因为，，
所以，
所以；
（2）解：相等的角有：，；
因为，
所以；
如果，他们还会相等；
（3）解：因为，
所以当越来越小，则越来越大．
15．（2026七年级上·全国·专题练习）如图，，点是线段上一定点，，两点分别从，同时出发以，的速度沿直线向左运动（在线段上，在线段上）．
(1)若，当点，运动了3s时，此时 ， ；
(2)当点，运动了3s时，求的值；
(3)若点，运动时，总有，求的值；
(4)在（3）的条件下，是直线上一点，且，则的值为 ．
【答案】(1)3，1
(2)
(3)
(4)1或
【分析】（1）先求出、的长，再根据线段的和差即可得；
（2）先求出与的关系，再根据线段的和差即可得；
（3）根据C、D的运动速度知：，再根据，可得，然后根据，代入即可求解；
（4）分点N在线段上和点N在线段的延长线上两种情况，再分别根据线段的和差倍分即可得．
【详解】（1）解：根据题意知，，，
∵，，
∴，
∴，；
（2）解：当点C、D运动了时，，，
∵，
∴；
（3）
解：根据C、D的运动速度知：，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴；
（4）解：①当点N在线段上时，如图1，
∵，
又∵
∴，
∴
∴；
②当点N在线段的延长线上时，如图2，
∵，
又∵，
∴，
∴；
综上所述：或1．
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第6章 图形的初步认识
教学目标
1. 认识立体图形与平面图形，理解点、线、面、体是构成几何图形的基本元素。
2. 掌握线段、射线、直线的概念与表示，理解“两点确定一条直线”等基本事实。
3. 理解角的概念与度量，掌握角平分线及余角、补角的性质，能进行简单几何计算。
教学重难点
教学重点
1. 线段与角的概念、表示方法及大小比较。
2. 线段和差、角的和差及余补角性质的简单应用。
教学难点
1. 从实物中抽象几何图形，理解点线面体的关系及面旋转成体。
2. 几何语言（符号语言与图形语言）的规范转换与简单推理表述。
知识点01 立体图形的认识
1.有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形．
2.立体图形分类：除了按照柱体、锥体、球分类，也可以按照围成几何体的面是否有曲面划分：①有曲面：圆柱、圆锥、球等；②没有曲面：棱柱、棱锥等.
3.棱柱的有关概念及其特征:
①在棱柱中，相邻两个面的交线叫做棱，相邻两个侧面的交线叫做侧棱，棱柱所有侧棱长都相等，棱柱的上下底面的形状、大小相同，并且都是多边形；棱柱的侧面形状都是平行四边形.
②棱柱的顶点数、棱数和面数之间的关系：底面多边形的边数n确定该棱柱是n棱柱，它有2n个顶点，3n条棱，n条侧棱，有n+2个面，n个侧面.
【即学即练1-1】（26-27七年级上·陕西西安·阶段检测）如图所示的几何体中，棱柱共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
知识点02 点、线、面、体的关系
①体与体相交成面，面与面相交成线，线与线相交成点．
②点动成线，线动成面，面动成体．
③点、线、面、体组成几何图形，点、线、面、体的运动组成了多姿多彩的图形世界．
【即学即练2-1】（26-27七年级上·黑龙江大庆·阶段检测）下列现象中，能用“面动成体”来解释的是（ ）
A．流星划过夜空，留下一道明亮的光迹
B．钟面上分针的转动，扫过一个圆面
C．半圆形纸片绕它的直径所在的直线旋转一周，形成一个球
D．汽车雨刷的摆动，扫过一个扇形区域
知识点03 线段、射线、直线的概念
1.线段的表示也有两种：一个小写字母或用端点的两个大写字母.但前面必须加“线段”两字，如：线段a；线段AB.
2.射线的表示同样有两种：一个小写字母或端点的大写字母和射线上的任意一个大写字母，前面必须加“射线”两字
3.直线的表示有两种：一个小写字母或两个大写字母.但前面必须加“直线”两字，如：直线；直线m，直线AB；直线CD
基本概念：
名称
直线
射线
线段
图形
B
A
A
B
B
A
端点个数
无
一个
两个
表示法
直线
直线AB（BA）
射线
射线AB
线段
线段AB（BA）
作法叙述
作直线
作直线AB
作射线
作射线AB
作线段
作线段AB
连接AB
延长
向两端无限延长
向一端无限延长
不可延长
【即学即练3-1】（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）如图，下列说法正确的是（ ）
A．线段和线段是同一条线段
B．射线和射线是同一条射线
C．直线和直线不是同一条直线
D．线段和线段不是同一条线段
知识点04 直线、线段的性质
1.直线的性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线.简单地：两点确定一条直线. 两条直线相交，只有一个交点.
2.线段的性质：两点之间的所有连线中，线段最短.简单地：两点之间线段最短.我们把两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离.
【即学即练4-1】（25-26七年级上·湖南株洲·期末）如图，建筑工人砌墙时，先把墙两端立桩拉一条线，然后以这条线为参照就可以把墙砌直，这样做依据的数学原理是（ ）
A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线
C．垂线段最短 D．直线可以无限延伸
【即学即练4-2】（25-26七年级上·山东聊城·期末）毛泽东主席在《水调歌头·游泳》中写道“一桥飞架南北，天堑变通途”，正如从黄果树风景区到关岭县城的坝陵河大桥建成后，从黄果树风景区到关岭县城经大桥通过的路程缩短了20公里，用所学数学知识解释这一现象恰当的是（ ）
A．两点确定一条直线
B．两点之间，线段最短
C．两点之间，有若干种连接方式
D．两点间线段的长度是两点间的距离
知识点05 尺规作图
仅用圆规和没有刻度的直尺作图的方法叫做尺规作图.
【说明】（1）只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题．
（2）直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧.只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上面画刻度．
（3）圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度．
【即学即练5-1】（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）如图，平面上有四个点A，B，C，D．根据下列语句画图：
(1)画直线；
(2)连接；
(3)画射线，并与直线交于点E；
(4)连接，并反向延长至F，使．
知识点06 线段的和与差以及中点
如下图：线段AB上有一点C，则AC+BC=AB；AC=AB - BC； BC=AB - AC，
在这里线段AC、BC、AB表示线段的长度，如AC+BC=AB表示AC长度与BC长度之和等于AB长度.
线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图所示，点C是线段AB的中点，则AC=CB=AB，或AB=2AC=2BC．
【说明】若点C是线段AB的中点，则点C一定在线段AB上．
【即学即练6-1】（26-27七年级上·全国·课后作业）如图，是线段的中点，是线段的中点，．
(1)求线段的长；
(2)若点是线段上一点，且，求线段的长．
知识点07 角的概念以及角度制及其换算
1.角的定义：
（1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB．
（2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边．
注意：（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关．
（2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角．
2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种：
注意：用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母．
3.角的画法
（1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角．
（2）用量角器可以画出任意给定度数的角．
（3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角．
角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．
1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．
注意：在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位．
【即学即练7-1】（25-26七年级上·广东河源·阶段检测）___________＇．
【即学即练7-2】（25-26七年级上·福建福州·阶段检测）计算：
(1)；
(2)．
知识点08 钟表上有关夹角问题和方位角
钟面角：钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题．
方位角：在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．
注意：（1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示．
（2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°” ．
（3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向．
（4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点．
【即学即练8-1】（25-26七年级上·江苏连云港·开学考试）钟面上时，时针和分针组成的角最小是( )度．
【即学即练8-2】（25-26七年级上·陕西西安·期末）某景区的三个景点O，A，B的位置如图所示，射线表示北偏西的方向，，则射线表示的方向为北偏东______．
知识点9 角平分线
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC =∠AOB．
注意：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样．
【即学即练9-1】（25-26六年级下·山东济宁·阶段检测）如图，是的平分线，是的平分线．
(1)若，，求的度数．
(2)若，求的度数．
知识点10 余角、补角
1.互补与互余的概念
互补：如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角，也称互补.互余：如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角，也称互余.
2.互补与互余的性质：同角或等角的补角相等；同角或等角的余角相等.
【即学即练10-1】（25-26七年级下·江西九江·期中）已知与互余，且，则的补角是_____．
【即学即练10-2】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，直线与直线相交于点O，是的平分线，在内，且，．
(1)求的度数；
(2)写出的所有补角．
题型01 立体图形的分类
【典例1】（26-27七年级上·辽宁铁岭·阶段检测）下面几何体中，是柱体的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（26-27七年级上·辽宁沈阳·阶段检测）下列7个几何体中，属于棱柱的有（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
【变式2】（25-26七年级上·广东佛山·阶段检测）如图，下列几何体，是柱体的有______，球体的有______．（填序号）
【变式3】（26-27七年级上·全国·课后作业）图中的几何体是我们常见的几何体，如果按“柱”“锥”“球”来分，柱体有________，锥体有________，球有________．（填序号）
题型02 探究几何体中的点、棱、面之间的关系
【典例2】（26-27七年级上·辽宁沈阳·阶段检测）一个直棱柱一共有七个面，这个直棱柱侧棱数是（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【变式1】（26-27七年级上·陕西宝鸡·阶段检测）一个直棱柱有个面，那么该棱柱有________个顶点，共有________个侧棱．
【变式2】（26-27七年级上·贵州毕节·阶段检测）一个棱柱共有8个顶点，设这个棱柱共有m个面，共有n条棱，则___________．
【变式3】（26-27七年级上·全国·课后作业）观察下列几何体，回答问题．
图形与名称
顶点数
6
______
10
12
棱数
9
12
______
______
面数
5
______
______
8
(1)补全上表；
(2)根据上表中的规律，十六棱柱共有______个面，共有______个顶点，共有______条棱；
(3)若某个棱柱有36条棱，则这个棱柱为______棱柱；
(4)棱柱的面数、棱数与顶点数之间存在怎样的数量关系？
名称
三棱柱
四棱柱
五棱柱
六棱柱
图形
顶点数a
6
8
10
12
棱数b
9
12
15
18
面数c
5
6
7
8
题型03 动态认识点、线、面、体
【典例3】（26-27七年级上·河北张家口·阶段检测）“像牛毛，像花针，像细丝，密密地斜织着”，朱自清把雨比作“牛毛”“花针”和“细丝”，形象地说明了（ ）
A．点是由线与线相交而成 B．面动成体
C．线动成面 D．点动成线
【变式1】（25-26七年级上·江苏盐城·期末）如图，汽车的雨刮器工作的时候，可用下面（ ）的数学知识来解释．
A．点动成线 B．线动成面
C．面动成体 D．两点确定一条直线
【变式2】（25-26七年级上·江苏徐州·阶段检测）用笔在纸上写字，从数学的角度解释为（ ）
A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．点动成面
【变式3】（24-25七年级上·陕西西安·阶段检测）下列现象能说明“面动成体”的是（ ）
A．旋转一扇门，门运动的痕迹
B．扔一块小石子，小石子在空中飞行的路线
C．雨刮器刮去玻璃上的雨水的痕迹
D．时钟的秒针旋转时扫过的痕迹
题型04 求平面图形旋转所得立体图形体积
【典例4】（25-26七年级上·全国·周测）现有一个长为、宽为的长方形纸片，将此长方形纸片绕它的一边所在的直线旋转一周．
(1)形成的几何体是________．
(2)求所形成的几何体的体积（结果保留）．
【变式1】（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）如图，有一个长，宽的长方形纸板，现要求以其一组对边中点所在直线为轴旋转，可按两种方案进行操作．
方案一：以较长的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图①．
方案二：以较短的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图②．
请通过计算说明哪种方案得到的几何体的体积大．（结果保留）
【变式2】（24-25七年级上·陕西延安·期末）如图，这是一张长方形纸片，的长为，的长为．
(1)若将此长方形纸片绕它的一边所在的直线旋转一周，则形成的几何体是________．
(2)若将这个长方形纸片绕边所在的直线旋转一周，求形成的几何体的体积（结果保留）
【变式3】（24-25七年级上·宁夏银川·期中）如图，将长方形绕其长边所在直线旋转一周，得到一个立体图形．
(1)这个立体图形是(填序号)_________ ．(①长方体 ②圆柱 ③正方体 ④圆锥 )
(2)求这个立体图形的体积．(结果保留π)
题型05 线段、射线、直线的联系与区别
【典例5】（26-27七年级上·全国·课后作业）下列关于直线、射线、线段的说法正确的是（ ）
A．用直尺可以画一条长的直线
B．射线与射线表示同一条射线
C．直线没有端点，射线有一个端点，线段有两个端点
D．过平面内三点中的每两点画直线，一定可以画3条
【变式1】（26-27七年级上·全国·课后作业）如图，下列语句描述不正确的是（ ）
A．点在直线上 B．直线与射线相交于点
C．点在直线上 D．点在线段的反向延长线上
【变式2】（26-27七年级上·全国·单元测试）下列结论正确的是（ ）
A．直线比射线长 B．射线比线段长
C．过三点一定能作三条直线 D．过两点有且只有一条直线
【变式3】（25-26七年级上·河南郑州·期中）如图，点三点在同一水平线上，下列说法不正确的是（ ）
A．线段和线段是同一条线段 B．直线和直线是同一条直线
C．射线和射线是同一条射线 D．射线和射线是同一条射线
题型06 画直线、射线、线段
【典例6】（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，平面上有三个点A、B、C，根据下列语句画图：
(1)用直尺画直线，射线，线段；
(2)用尺规作图，在射线上找一点P，使得（保留作图痕迹）．
【变式1】（25-26七年级上·陕西·期末）如图，在平面内有三点．
(1)画直线，线段，射线；
(2)在线段上作，使．
【变式2】（25-26七年级上·新疆·期末）如图，平面上有四个点、、、，根据下列语句画图．
(1)画直线，与线段交于点；
(2)连接，并将反向延长；
(3)画射线，用尺规作图，在射线上取一点，使得线段．（保留作图痕迹，不写作法）
【变式3】（25-26七年级上·广东广州·期末）如图，平面上有四个点，根据下列语句用无刻度的直尺与圆规作图（保留作图痕迹，不写作法）．
(1)画直线；
(2)画射线；
(3)连接，在线段上取点，使的值最小；
(4)连接，并反向延长至点，使．
题型07 线段的数量问题的应用
【典例7】（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）如图，点、在线段上，则图中共有线段（ ）
A．3条 B．6条 C．7条 D．10条
【变式1】（25-26七年级上·安徽亳州·期末）阜阳至宿州（淮北）铁路是皖北地区城际铁路，该铁路2026年全线建成通车，全线设车站5座，全程任意两站的距离不相等，车票价格共有（ ）种
A．20种 B．10种 C．8种 D．4种
图中共有条线段，即，
【变式2】（25-26七年级上·江西抚州·期末）昌厦高铁线途经抚州市，通车后将大大方便人们的出行．列车往返于南昌，厦门两个城市，中途经过11个站点（共13个站点），不同的车站来往需要不同的“二等座车票”，则这条路线共有________种不同的“二等座车票”．
【变式3】（25-26七年级上·全国·期末）若A，B是火车行驶的两个站点，两站之间有5个车站，在这段线路上往返行车，需印制 _________ 种车票．
题型08 线段的和与差
【典例8】（25-26六年级下·山东济宁·期中）如图，点是线段的中点，点是线段上一点．若，．
(1)求的长．
(2)求的长．
【变式1】（25-26六年级下·山东泰安·阶段检测）如图，已知O在线段上，C、D分别是线段、的中点．
(1)填空： ， ；
(2)若线段，求线段的长．
【变式2】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）如图，延长至D，使B为的中点，点C在上，．
(1) ， ；
(2)若，求的长．
【变式3】（25-26七年级上·四川凉山·期末）如图，点是线段的中点，点在线段上，点是线段的中点．
(1)若，求的长；
(2)若，求的长．
题型09 线段n等分点的有关计算
【典例9】（24-25七年级上·福建福州·期末）已知点C在线段上，，点D、E在直线上，点D在点E的左侧，若，线段在线段上移动，
(1)如图1，当E为中点时，求的长；
(2)当点C是线段的三等分点时，求的长．
【变式1】（24-25七年级上·湖南怀化·期末）如图，点是线段的中点，点是线段的中点，线段．
(1)求线段的长；
(2)如果点在线段上，且，求线段的长．
【变式2】（25-26七年级上·湖南永州·阶段检测）已知点在线段上，，，点为线段中点．
(1)如图1，若点为线段的中点，求线段的长；
(2)如图2，若点为线段上的点，且满足，求线段的长．
【变式3】（25-26七年级上·湖北荆州·期末）如图为线段上一点，点为的中点，已知．
(1)求的长；
(2)若点是线段上靠近点的三等分点，求的长．
题型10 与线段有关的动点问题
【典例10】（25-26七年级上·河南许昌·期末）如图1，已知线段，点M是线段上一点，点C在线段上，点D在线段上，C、D两点分别从M、B出发以的速度沿直线运动，运动方向如箭头所示，其中a、b满足条件：．
(1)直接写出：____________，_____________；
(2)若，当点C、D运动了，求的值；
(3)如图2，若，点N是直线上一点，且，求与的数量关系．
【变式1】（25-26七年级上·湖北武汉·期末）如图1，点C在线段AB上，．P，Q两点同时从点C，B出发，分别以，的速度沿直线AB向左运动，当点P达点A时，两点立即停止运动．
（1）的值是______；
（2）取PQ中点M，CQ的中点N．求的值．
【变式2】（25-26七年级上·河南平顶山·阶段检测）如图，M是线段AB上一点，且AB=10cm，C、D两点分别从M，B同时出发以1cm/s，3cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）．
（1）当点C， D运动了2s，求这时AC+MD的值．
（2） 若点C， D运动时，总有MD=3AC，求AM的长．
【变式3】（25-26七年级上·福建龙岩·期末）已知：如图1，是定长线段上一定点，两点分别从，出发以，的速度沿向左运动，运动方向如箭头所示（在线段上，在线段上）
(1)若，当点运动了，求的值；
(2)若点运动时，总有，试说明；
(3)如图2，已知，是线段所在直线上一点，且，求的值．
题型11 角的单位与角度制
【典例11】（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）____________，______．
【变式1】（25-26七年级上·江西赣州·期末）计算：_____．
【变式2】（26-27七年级上·全国·课后作业）计算：
(1)；
(2)．
【变式3】（24-25七年级上·全国·单元复习）计算：
(1)；
(2)．
题型12 钟面角
【典例12】（26-27九年级上·全国·周测）某天上午李明出门锻炼，回家时发现时针刚好旋转了，那么李明回家的时间是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（26-27七年级·全国·小升初衔接）钟面上9点15时，时针与分针形成的最小夹角的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（25-26六年级下·山东烟台·期中）北京时间2023年9月21日15时45分，《天宫课堂》第四课正式开讲．在时，时钟上的时针与分针之间所成的夹角是_________．
【变式3】（25-26六年级下·山东烟台·期中）周末，小明在早晨7点至8点的某时刻开始晨练，8点至9点的某时刻结束晨练，结果发现晨练结束与开始时，他佩戴的指针式手表的时针与分针恰好交换了位置，则他共晨练______________分钟．
题型13 与方位角有关的计算题
【典例13】（25-26七年级上·江苏南通·期末）在灯塔O处观测到轮船位于北偏东的方向上，同时轮船B在南偏东的方向上，则的度数为______°．
【变式1】（25-26七年级上·河南驻马店·期末）如图，甲，乙两人同时从A地出发，沿图示方向分别步行前进到B，C两地，现测得为，B地位于A地的北偏东方向，则C地位于A地的___________方向．
【变式2】（24-25七年级上·吉林·期末）如图，一艘渔船从海上点E处开始绕点O航行，已知点E在点O的北偏东方向上，航行到点C时，测得．
(1)求的度数；
(2)直接写出渔船到达的点C在点O的什么方向？
【变式3】（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·期末）周末小红一家去动物园玩．根据图回答问题．
(1)袋鼠馆在熊猫馆东偏南方向上，距离是（ ）米．
(2)鹿园在熊猫馆（ ）偏（ ）方向上，距离是100米．
(3)小红一家以50米/分钟的速度从猴山经熊猫馆步行到大象馆，大约需要几分钟？
题型14 三角板中角度计算问题
【典例14】（26-27七年级上·全国·课后作业）如图，用同样大小的三角板比较和的大小，下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．没有量角器，无法确定
【变式1】（2026·河南洛阳·一模）将一块含有的等腰直角三角板按照如图方式摆放，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（25-26七年级上·四川广元·期末）已知和互为邻补角，，将一个三角板的直角顶点放在点处（注：，）．
(1)如图①，使三角板的短直角边与射线重合，求的度数．
(2)将图①的三角板在的上方绕点逆时针转动，如图②，在转动过程中，当时，求的度数．
【变式3】（25-26七年级下·河南周口·期末）在数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动，把一副三角尺按照不同方式摆放．
(1)如图1，两个三角尺的直角边摆放在同一直线上，把以O为中心顺时针旋转，至少旋转__________，才能使落在上；
(2)如果把图1所示的以O为中心顺时针旋转到图2的位置，得到，当时，求的度数．
题型15 角n等分线的有关计算
【典例15】（24-25七年级上·陕西安康·期末）如图，已知是的平分线，为内部一点，连接，．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的度数．
【变式1】（25-26七年级上·浙江台州·期末）下列各题中，是的三等分线，是的三等分线，且，．
(1)如图1，若点A，O，B在一条直线上，则______；
(2)如图2，若点A，O，B不在一条直线上，且，求的度数；
(3)如图3，若在的内部，则______．
【变式2】（25-26七年级上·湖北黄冈·期末）如图，已知内有三条射线，其中平分角，平分．
(1)如图，若，求 的度数；
(2)如图，若，求的度数；（用含的代数式表示）
(3)若将题中的“平分”的条件改为“，，且”，其他条件不变，求的度数．（用含的代数式表示）
【变式3】（25-26七年级上·山西太原·阶段检测）定义：如果一个角内部的一条射线将这个角分成两个角，其中一个角是另一个角的倍，那么我们将这条射线称为这个角的分位线．例如：如图1，，则为的5分位线；，则也是的5分位线．
(1)如图2，点A、、在同一条直线上，为一条射线，，分别为与的3分位线，（，），，则______；
(2)如果点A、、在同一条直线上，为一条射线，已知射线、分别为与的5分位线，且，则________．
题型16 与余角、补角有关的计算
【典例16】（25-26七年级上·江西南昌·阶段检测）如图，点O为直线上一点，平分．
(1)平分吗？说明理由；
(2)写出所有的互余的角．
【变式1】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图，射线，射线在内部，．
(1)若，求的度数．
(2)若与互补，求的度数．
【变式2】（25-26七年级上·河北沧州·期末）如图，平分平分．
(1)求的度数；
(2)求的度数，并判断与是否互补；
(3)若，判断与是否互补，并说明理由．
【变式3】（25-26七年级上·河南周口·期末）如图，在的内部有一条射线平分、平分．
(1)①当时，____________；
②若．用含的式子表示，则____________；
(2)当与互为余角时，判断与的数量关系，说明理由．
一、单选题
1.（26-27七年级上·全国·课后作业）在正方体、长方体、圆柱、圆锥、球、六棱柱、六棱锥中，属于柱体的有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
2．（26-27七年级上·全国·期中）将下图所示的平面图形绕虚线旋转一周，得到的立体图形是（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26七年级上·山东青岛·期末）下列关于直线、射线、线段的描述中，正确的是（ ）
A．延长射线到点B B．线段就是点A到点B之间的距离
C．经过两点有且只有一条直线 D．一条直线由两条射线组成
4．（25-26七年级上·江西景德镇·期末）一条铁路有9个火车站，若一列火车往返过程中必须停靠每个车站，则铁路局需为这条线路准备车票（ ）种．
A．9 B．18 C．36 D．72
二、填空题
5．（26-27七年级上·辽宁沈阳·阶段检测）硬币在桌面上转动时像个球，这个现象说明了__________．
6．（25-26六年级上·上海·期末）计算：______．
7．（26-27七年级上·山东青岛·阶段检测）若一个n棱柱有14个顶点，则这个棱柱有______个面、______条侧棱，底面形状是______边形．
8．（24-25七年级上·全国·阶段检测）已知，的余角是______，的补角是_______．
三、解答题
9．（24-25七年级上·贵州毕节·阶段检测）指出如图所示的立体图形中的柱体、锥体、球．
(1)如果按“柱、锥、球”来分，柱体有 ，锥体有 ，球有 ；
(2)如果按“有无曲面”来分，有曲面的有 ，无曲面的有 ．
10．（25-26七年级上·广东揭阳·期末）根据下列语句，画出图形．如图，已知四点．
(1)顺次连接；
(2)在的反向延长线上取一点，使；
(3)在四边形内取一点，连接，使三点不共线，三点共线；
(4)在四边形内找一点，使最小．
11．（25-26七年级上·河南省直辖县级单位·期末）如图，已知线段，，点M是的中点．
(1)求线段的长；
(2)在上取一点N，使得，求线段的长．
12．（25-26七年级上·重庆巴南·期末）已知直线与相交于点O，且平分．
(1)如图1，若平分，求的度数；
(2)如图2，若，，求的度数．
一、单选题
1．（2026六年级下·上海·专题练习）用一张长方形纸通过下面（ ）方式旋转，得到底面直径是，高是的圆柱．
A． B． C． D．
2．（25-26七年级下·重庆江北·开学考试）过平面上个点画直线有（ ）条．
A．或或 B．或或 C．或或 D．或或
3．（25-26七年级上·山东济南·期末）如图，，则射线的方向是（ ）
A．东偏北 B．北偏东 C．北偏东 D．北偏东
4．（26-27七年级上·全国·单元复习）如图，，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2026七年级上·湖北武汉·专题练习）如图，射线、在的内部，下列说法：
①若，则与互余的角有2个；
②若，则；
③若、分别平分，，则；
④若，，作， ，则．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
6．（2026·湖南娄底·模拟预测）计算：＝_______（结果用度、分、秒表示）
7．（25-26七年级上·海南·开学考试）工人叔叔在地面上用64个同样大小的小正方体拼成了一个大正方体，并把它的五个面涂上了颜色（贴地的那个面不涂色），其中3个面涂色的小正方体木块有______个，2个面涂色的有______个．
8．（25-26七年级上·山西临汾·期末）高铁出行已经成为大众的首选，从临汾西到太原南的次列车途经洪洞西-灵石东-平遥古城，为方便乘客出行，高铁站需为这段线路设计____________种不同的单程车票．
9．（25-26七年级上·福建泉州·期末）如图，数轴上线段，，线段向右运动，同时线段以相同的速度向左运动，点M，N分别是和的中点，当点B在线段上且未到达中点时，的长为______．
10．（26-27七年级上·全国·课后作业）如图，点在直线上，过作射线和，，是的平分线，已知，则_______．
三、解答题
11．（25-26七年级上·广东清远·期末）阅读材料题：由平的面围成的立体图形又叫做多面体，有几个面，就叫做几面体．三棱锥有四个面，所以三棱锥又叫四面体；正方体又叫做六面体；有五条侧棱的棱柱又叫做七面体．
(1)探索：如果把一个多面体的顶点数记为V，棱数记为E，面数记为F，填表：
多面体
V
F
E
四面体
4
6
长方体
6
2
五棱柱
10
7
15
2
(2)猜想：由上面的探究你能得到一个什么结论？
(3)应用（2）的结果对所有的多面体都成立，伟大的数学家欧拉证明了这个关系式，这个关系式叫做欧拉公式．根据欧拉公式，想一想会不会有一个多面体，它有10个面，30条棱，20个顶点？
多面体
V
F
E
四面体
4
4
6
2
长方体
8
6
12
2
五棱柱
10
7
15
2
12．（26-27七年级上·吉林·期中）如图，在同一平面内有四个点、、、，请按要求作图．（用无刻度直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(1)作射线；
(2)作直线与射线相交于点；
(3)作线段，并延长线段到点，使；
(4)连结、，我们容易判断出线段与的大小关系是_____， 理由是_____
13．（25-26七年级上·四川成都·期中）如图，点C在线段上，点M是的中点，，．
(1)求线段的长；
(2)在线段上取一点N，使得，求线段的长．
14．（25-26七年级上·宁夏银川·期末）如图，和都是直角．
(1)如果，那么的度数是多少？
(2)找出图中相等的角．如果，它们还会相等吗？
(3)若变小，如何变化？
15．（2026七年级上·全国·专题练习）如图，，点是线段上一定点，，两点分别从，同时出发以，的速度沿直线向左运动（在线段上，在线段上）．
(1)若，当点，运动了3s时，此时 ， ；
(2)当点，运动了3s时，求的值；
(3)若点，运动时，总有，求的值；
(4)在（3）的条件下，是直线上一点，且，则的值为 ．
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