海南省海口市2026-2027学年高二上学期数学期中预测卷

海南省海口市2026-2027年高二期中考试预测卷01 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知直线l经过，两点，则直线l的斜率为（   ） A． B． C． D． 2．两平行线与间的距离为（   ） A． B． C．2 D． 3．已知点在圆外，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 5．如图，在空间四边形OABC中，设，，，且OM＝2MA，BN＝NC，则（    ） A． B． C． D． 6．设，已知直线：，：，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知直线：（为参数），，，若直线与线段（包括端点）恒有公共点，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 8．若圆上到直线的距离为1的点仅有两个，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知事件，且，，则下列说法正确的是（   ） A． B．若A与B互斥，则 C．若A与B相互独立，则 D．若，则A与B互斥 10．已知直线：和直线：，下列说法正确的是（    ） A．直线始终过定点 B．点到直线距离的最大值为 C．若，则或 D．当时，直线始终不过第三象限 11．如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为，的中点，则（   ） A．与所成角的余弦值为 B．平面与平面所成的角为 C．A，E，，F四点共面 D．点到平面的距离为 三、填空题 12．经过点且与直线垂直的直线方程为__________． 13．甲、乙两名运动员进行一次射击比赛，若乙中靶的概率为，两人都中靶的概率为，且甲乙射击互不影响，则甲中靶的概率为_________． 14．已知点在直线上，则的最小值为_______． 四、解答题 15．年月日是第个世界环境日，某高校学生会在这一天随机抽取了名大学生，进行环保知识比赛．比赛以考试的形式进行，满分为分，考后搜集所有参赛大学生的比赛分数，将所得数据分为、、、、、六组，绘制得到如图所示的频率分布直方图．已知这名大学生中只有人获得满分，得满分者获得一等奖，得分不低于分且未获得满分者获得二等奖． (1)求的值； (2)求获得二等奖的人数； (3)按比例用分层随机抽样的方式从比赛分数在、、内的大学生中抽取人，试问应抽取比赛分数在内的大学生多少人？ 16．已知直角的直角顶点，且，C在y轴上． (1)求点C的坐标； (2)求斜边中线所在的直线方程； (3)若直线l过点B，且与直线AC平行，求直线l的方程． 17．如图1所示，在等腰梯形中，，，垂足为，，，将沿折起到的位置，如图2所示，平面平面． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； 18．在平面直角坐标系中，已知两条直线． (1)若，求与之间的距离； (2)若直线与轴正半轴、轴的正半轴分别交于，两点，求的面积的最小值及此时直线的方程； (3)已知，若与线段有公共点（包括端点），求a的取值范围． 19．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F． (1)求证：PB⊥平面EFD； (2)求平面CPB与平面PBD的夹角的正弦值； (3)线段PA上是否存在点Q，使得FQ与DB所成角为30°，若存在，求出该点的位置，若不存在，请说明理由． 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 海南省海口市2026-2027年高二期中考试预测卷01 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知直线l经过，两点，则直线l的斜率为（   ） A． B． C． D． 2．两平行线与间的距离为（   ） A． B． C．2 D． 3．已知点在圆外，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 5．如图，在空间四边形OABC中，设，，，且OM＝2MA，BN＝NC，则（    ） A． B． C． D． 6．设，已知直线：，：，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知直线：（为参数），，，若直线与线段（包括端点）恒有公共点，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 8．若圆上到直线的距离为1的点仅有两个，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知事件，且，，则下列说法正确的是（   ） A． B．若A与B互斥，则 C．若A与B相互独立，则 D．若，则A与B互斥 10．已知直线：和直线：，下列说法正确的是（    ） A．直线始终过定点 B．点到直线距离的最大值为 C．若，则或 D．当时，直线始终不过第三象限 11．如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为，的中点，则（   ） A．与所成角的余弦值为 B．平面与平面所成的角为 C．A，E，，F四点共面 D．点到平面的距离为 三、填空题 12．经过点且与直线垂直的直线方程为__________． 13．甲、乙两名运动员进行一次射击比赛，若乙中靶的概率为，两人都中靶的概率为，且甲乙射击互不影响，则甲中靶的概率为_________． 14．已知点在直线上，则的最小值为_______． 四、解答题 15．年月日是第个世界环境日，某高校学生会在这一天随机抽取了名大学生，进行环保知识比赛．比赛以考试的形式进行，满分为分，考后搜集所有参赛大学生的比赛分数，将所得数据分为、、、、、六组，绘制得到如图所示的频率分布直方图．已知这名大学生中只有人获得满分，得满分者获得一等奖，得分不低于分且未获得满分者获得二等奖． (1)求的值； (2)求获得二等奖的人数； (3)按比例用分层随机抽样的方式从比赛分数在、、内的大学生中抽取人，试问应抽取比赛分数在内的大学生多少人？ 16．已知直角的直角顶点，且，C在y轴上． (1)求点C的坐标； (2)求斜边中线所在的直线方程； (3)若直线l过点B，且与直线AC平行，求直线l的方程． 17．如图1所示，在等腰梯形中，，，垂足为，，，将沿折起到的位置，如图2所示，平面平面． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； 18．在平面直角坐标系中，已知两条直线． (1)若，求与之间的距离； (2)若直线与轴正半轴、轴的正半轴分别交于，两点，求的面积的最小值及此时直线的方程； (3)已知，若与线段有公共点（包括端点），求a的取值范围． 19．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F． (1)求证：PB⊥平面EFD； (2)求平面CPB与平面PBD的夹角的正弦值； (3)线段PA上是否存在点Q，使得FQ与DB所成角为30°，若存在，求出该点的位置，若不存在，请说明理由． 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 《海南省海口市2026-2027年期中考试预测卷01》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B D A D C B D ABC AC 题号 11 答案 ACD 1．D 【详解】由直线经过，两点， 可得直线的斜率为． 2．B 【分析】根据两条平行线间距离公式，即可求解. 【详解】两平行线与间的距离为，故B正确． 3．D 【详解】将圆的方程化为标准方程得， 所以，解得或， 又点在圆外，故，解得， 因此的取值范围为． 4．A 【详解】由题意得，，得. 5．D 【分析】利用线段的分点关系求出和，再通过向量的减法求． 【详解】因为，且在线段上，所以． 又因为，所以为的中点，． 所以． 因此，D正确． 6．C 【分析】先根据两直线平行的充要条件求出a的取值，再结合充分条件、必要条件的定义判断关系即可. 【详解】，， 若，得，整理得，因式分解得，解得或； 当时，，，将化简后与完全一致，两直线重合，不符合平行要求，故舍去； 当时，，，两直线斜率相同、截距不同，满足平行条件； 因此的充要条件为，故“”是“”的充要条件. 7．B 【分析】先通过直线的方程确定直线过定点，再结合图形判断斜率的范围，进而可得的取值范围. 【详解】将直线方程整理变形： ， 该式对任意参数恒成立当且仅当，解得， 因此直线恒过定点. 由，，得. 将直线整理为斜截式，可得直线的斜率. 结合图像可知：要让过的直线与线段相交，斜率需满足​， 将代入上式，得，解得. 因此的取值范围是. 8．D 【分析】先求出圆心到已知直线的距离，再根据圆上到直线距离为1的点仅有两个这一几何条件，列出半径的不等式，求解的取值范围. 【详解】由圆，可得圆心坐标为. 根据点到直线的距离公式，计算圆心到直线的距离. 若圆上到直线的距离为1的点仅有两个，说明与直线平行且距离为1的两条直线中，一条与圆相离，一条与圆相交（2个交点）， 则满足， 代入得，即． 所以的取值范围为. 9．ABC 【分析】利用概率的加法公式，结合互斥事件、相互独立事件的概率性质，分别代入公式计算并判断每个选项的正误． 【详解】对于A，这是概率的加法公式，对任意事件A，B都成立，A正确； 对于B，若A与B互斥，则，所以，B正确； 对于C，若A与B相互独立，则，C正确； 对于D，只说明，概率为不代表事件是空集（存在零概率非空事件），D错误． 10．AC 【分析】A选项，将直线变形，联立方程组即可求出定点坐标；B选项，根据直线恒过定点，利用两直线垂直时距离最大求解；C选项，根据两直线垂直列方程求解；D选项，将直线方程变形为斜截式，然后根据斜率和截距符号判断. 【详解】对于A选项，直线：可整理为， ，所以过定点，故A选项正确. 对于B选项，设直线过的定点为， 点到直线距离的最大值为点到的距离， 最大距离为， 此时直线与直线垂直，， 则直线的斜率应为，的值不存在，故B选项错误. 对于C选项，若，则， 即，解得或，故C选项正确. 对于D选项，当时，直线可转化为：，斜率为， 在轴上的截距为1，大于0，所以直线过一、二、三象限，故D选项错误. 11．ACD 【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出可判断A；判断出为二面角的平面角，再由可判断B；取的中点，连接，判断出四边形是平行四边形可判断C；利用点到平面距离的向量求法可判断D. 【详解】以D为坐标原点，建立如图1所示的空间直角坐标系，则 ; 所以； 所以; 所以与所成角的余弦值为，故A正确； 对于B，因为平面平面，, 又因为为等腰三角形， 则即为二面角的平面角，，故B错误； 对于C，如图2，取的中点，连接 由正方体的性质可知，所以四边形是平行四边形， 所以，同理可知：， 所以，所以四边形是平行四边形， 则四点共面，故C正确； 对于D，， 设平面法向量为， 则，即， 令 ，则，则， 点到平面的距离，故D正确. 故选：ACD. 12． 【分析】先根据两直线垂直的斜率关系求出所求直线的斜率，再结合直线过已知点，利用点斜式即可求得直线方程. 【详解】将已知直线化为斜截式，得其斜率. 若两条斜率存在的直线互相垂直，则斜率乘积为，因此所求直线的斜率. 已知所求直线过点，代入直线的点斜式方程得， 即. 13．/ 【详解】设“甲运动员中靶”为事件，“乙运动员中靶”为事件，则，， 因为甲乙射击互不影响，所以，相互独立，则，解得． 14． 【分析】将的最小值转化为原点到直线的距离求解即可 【详解】的几何意义是点与原点的距离， 由于点在直线上， 因此的最小值即为原点到直线的垂线段长度， 即， 所以的最小值为． 15．(1) (2) (3) 【详解】（1）因为在频率分布直方图中，所有矩形面积之和为， 由题意可知，解得． （2）因为分数在内的人数为， 所以获得二等奖的人数为． （3）由频率分布直方图知，比赛分数在内的大学生人数， 与比赛分数在、、内的大学生人数之比为． 因为从比赛分数在、、内的大学生中抽取人， 所以应抽取比赛分数在内的大学生人． 16．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据两直角边垂直，转化为斜率的关系式，即可求解； （2）首先求斜边的中点坐标，再求直线方程； （3）根据平行关系求斜率，再代入点斜式方程，即可求解. 【详解】（1）设，，， 因为，所以，则，解得：， 所以点的坐标为； （2）斜边的中点坐标为， ， 直线，整理为， 所以斜边中线所在的直线方程为； （3）， 因为，所以直线的斜率为， 直线的方程为，整理为， 所以直线的方程为. 17．(1)为等腰梯形，， ， 又∵平面平面，平面平面， 平面， 又平面， ∴平面平面． (2) 【分析】（1）利用面面垂直的性质可得平面，再根据面面垂直的判定定理即可证明. （2）建系，求出各个点的坐标，求出的坐标和平面法向量的坐标，再利用线面角的向量求法即可求解. 【详解】（1）略. （2），， ∵平面平面，平面平面，，平面， 平面，又，平面， ，，故，，两两互相垂直， 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 在等腰梯形中，，，，，，， ，，，， 则，，， 设平面的法向量为，则，即， 取，则，，则， 设直线与平面所成角为，则． 所以直线与平面所成角的正弦值为． 18．(1) (2)面积最小值为，此时直线的方程为 (3) 【分析】（1）首先根据平行关系求，再代入平行线距离公式，即可求解； （2）首先求点的坐标，再表示的面积，最后根据基本不等式求最值； （3）首先求直线的定点坐标，再求边界直线的斜率，即可求解. 【详解】（1）若，则，得， 当时，，，其中，满足， 当时，，，其中， 所以与重合，所以，，， 所以与之间的距离； （2）当时，，则，当时，，即， 由条件可知，且，得， 所以， 当，即时，等号成立， 所以的面积的最小值为，此时直线的方程为； （3）直线过定点，，， 若直线与线段有公共点（包括端点），则直线的斜率存在， 故，直线的斜率，所以，解得， 所以的取值范围是. 19．(1)以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系. ∵底面是边长为的正方形，底面，， ∴. ∵是的中点，∴. ∴，， ∴， ∴，即. 又由题知，且，平面， ∴平面. (2) (3)存在满足条件的点，为线段上靠近的六等分点（），坐标为. 【分析】(1)要证明线面垂直，需证明直线垂直于平面内两条相交直线，结合已知，只需额外证明即可； (2)分别求解两个平面的法向量，利用法向量夹角与面面角的关系计算正弦值 (3)用参数表示线段上的动点坐标，结合异面直线所成角的向量公式列方程求解，通过参数范围验证点是否在线段上 【详解】（1）略 （2）设平面的法向量为， ，， 则，令，得. 设平面的法向量为， ，， 则，令，得. 设平面与平面的夹角为， 则. ∵，∴. 即平面与平面的夹角的正弦值为. （3）， 设，则，， 由，得，即， 解得，因此， 设在线段上，令， 由，得， ，， 异面直线与所成角为，得， 整理得，解得，符合条件， 故存在满足条件的点，为线段上靠近的六等分点（），坐标为. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $