精品解析：江苏省连云港市灌南高级中学2026-2027学年高一上学期第一次月考数学试卷

灌南高级中学 2026—2027 学年第一学期第一次月考 高一年级数学试卷 考试时长：120 分钟　　满分 150 分　　命题人：李彦琼　　做卷人：孙春庭 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为集合，， 所以. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】对于A，，，即， 所以，即，故A错误； 对于B，，，所以，即，故B错误； 对于C，，，即，故C正确； 对于D，，，所以，即，由选项B知， 所以，故D错误. 3. 下列式子的互化正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】按根式与分数指数幂的互化规则逐项检验，注意偶次方根的结果非负，即可对四个选项作出判断． 【解答】对于A，，当时，，选项A错误； 对于B，，不是，选项B错误； 对于C，，选项C正确； 对于D，当时，无意义，选项D错误． 4. 若关于的方程和的解集分别为，，且，则（ ）． A. 21 B. 8 C. 7 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，得到2是两个方程的根，代入两方程，求出参数，即可求出结果. 【详解】因为，所以2是两个方程的根， 所以，， 解得，，所以． 故选A 【点睛】本题主要考查由集合交集的结果求参数的问题，熟记集合交集的概念即可，属于常考题型. 5. 设，则“”的充要条件是（　　） A. 不都为 B. 都不为 C. 中至多有一个是 D. 都不为 【答案】D 【解析】 【分析】把不等式恒等变形为乘积形式，再判断等价条件． 【详解】因为， 所以且，即“”的充要条件是都不为. 6. 下列命题中正确的是（　　） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】B 【解析】 【详解】A：时，（等号要在处才能取到），故选项A错误； B：时，，， 当且仅当时取等号，故选项B正确； C：时，（等号要在 处），故选项C错误； D：时，（等号要在 处），故选项D错误． 7. 若命题“”是真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称命题的真假，只需即可求解. 【详解】命题“”是真命题， 则， 又因为， 所以，即实数的取值范围是. 故选：B 8. 已知正实数，满足，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得，再利用基本不等式“1”的用法求解即可. 【详解】解：因为正实数，满足， 所以，即， 所以 ，当且仅当，即， 又因为，所以时等号成立， 所以的最小值为. 故选：B 二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列说法中正确的有（　　） A. 命题，，则命题的否定是， B. “”是“”的必要不充分条件 C. “，”是真命题 D. “”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件 【答案】CD 【解析】 【分析】选项A，直接写出存在量词命题的否定；选项B，利用充分条件，必要条件判断；选项C，取特殊值分析即可；选项D，利用充要条件分析即可. 【详解】对于A，命题，，则命题的否定是，，故A错误； 对于B，取，但是，故充分性不成立， 取，但是，故必要性不成立， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故B错误； 对于C，取，成立，即，，故C正确； 对于D，方程有一正一负根，解得：， 所以“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件，故D正确． 10. 已知关于x的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的解集为 C. D. 的解集为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据给定条件，可得，再给一元二次不等式的求解逐项判断即得. 【详解】由不等式的解集为或，得且是方程 的两个根， 则，即， 对于A，，A错误； 对于B，不等式为，而，解得，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，不等式为，即，解得 D正确. 故选：BCD 11. 已知实数满足，下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据指数幂的运算依次讨论各选项即可得答案. 【详解】解：，故选项A正确； ，故选项B错误； ，故选项C正确； ,,故选项D错误． 故选：AC． 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知 ，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由两集合相等则元素相同，注意集合中元素的互异性即可求出． 【详解】由知，解得或； 当时，，元素重复，不合题意； 当时，，，符合题意，所以． 13. ______．（用分数指数幂表示） 【答案】 【解析】 【分析】先把根式写成分数指数幂，再用同底数幂的乘法法则． 【详解】，， 则． 14. 某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨． 【答案】 【解析】 【详解】该公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，则需要购买次，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，一年的总运费与总存储费用之和为万元，·4＋4x≥160，当＝4x，即x＝20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小． 点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设集合，． （1）若，求实数的取值范围； （2）是否存在实数，使？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）； （2）存在，. 【解析】 【分析】（1）条件等价于，由于中含有参数，需分类讨论集合是否为空集，再结合根与集合的包含关系求解； （2）由并集结果可知中必然有2，代入方程求出再检验即可. 【小问1详解】 由得．即， 若，则，解得，符合题意； 若，因中元素之积为，故，只能， 此时是重根，需 且，矛盾，无解； 综上所述，的取值范围是. 【小问2详解】 存在．由且 知且， 将代入得，即， 此时，，符合题意， 所以存在满足条件． 16. 设集合 ，． （1）是否存在实数 ，使得 是 的充要条件？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由； （2）是否存在实数 ，使得 是 的必要不充分条件？若存在，求出 的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）存在，， 理由如下：是的充要条件即， 所以且，解得，故存在． （2）存在，， 理由如下： 是的必要不充分条件即且． 当，即 时，且，符合； 当时，，由得且，即， 又时，不符合“不充分”，所以， 综上． 【解析】 【分析】（1）根据充要条件得出，列出端点值等式求解. （2）由必要不充分条件得且，分为空集和非空集合讨论求解范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 已知集合 ，集合 ． （1）若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围； （2）若命题“，”是真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）“，”即，需分类讨论为空集与非空集，再列不等式求解即可； （2）“，”即，需先保证非空，再列不等式求解即可. 【小问1详解】 “，”即； ①当，即时，，符合题意； ②当时，，由得且， 即，与矛盾，无解. 综上所述，实数的取值范围为； 【小问2详解】 “，”即； ①当，即时，，不符合题意； ②当时，，由得且，即. 综上所述，实数的取值范围为． 18. 设m为实数，． （1）若方程y＝0有实数根，求m的取值范围； （2）若不等式y＞0的解集为，求m的取值范围； （3）若不等式y＞0的解集为R，求m的取值范围； 【答案】（1）[－，]；（2）(－∞，－]；（3）实数m的取值范围为(，＋∞). 【解析】 【分析】（1）对二次项系数进行分类讨论，结合判别式求得的取值范围. （2）对二次项系数进行分类讨论，结合判别式和开口方向，求得的取值范围. （3）对二次项系数进行分类讨论，结合判别式和开口方向，求得的取值范围. 【详解】（1）因为方程y＝0有实数根， 当m＋1＝0时，x＝2，符合题意； 当m＋1≠0时，，所以－≤m≤，且m≠－1， 综上，实数m的取值范围为[－，]． （2）因为不等式y＞0的解集为， 当m＋1＝0时，x＞2，不符合题意； 当m＋1≠0时，，所以m≤－， 综上，实数m的取值范围为(－∞，－]． （3）因为不等式y＞0的解集为R， 当m＋1＝0时，x＞2，不符合题意； 当m＋1≠0时，，所以m＞， 综上，实数m的取值范围为(，＋∞)． 19. 已知关于的二次函数． （1）若的解集为，求实数a、b的值； （2）若实数满足，求关于的不等式的解集． （3）已知二次函数有两个正实数零点，且满足，求的最大值． 【答案】（1），. （2）当时，解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或. （3） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集与系数的关系求解即可； （2）化简可得，再以0，1为分界点讨论a的范围，求解不等式即可； （3）由韦达定理及判别式得到和，再结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】 ∵的解集为或， ∴与1是方程的两个实数根， 由韦达定理可知：， 解得，. 【小问2详解】 ∵，则不等式化为：， 因式分解为：(). 当时，化为，则解集为； 当时，，解得，不等式的解集为； 当时，，解得，不等式的解集为； 当时，，解得或，不等式的解集为或. 【小问3详解】 因为二次函数有两个正实数零点， 所以，又， 可得， 也即，即，结合， 可得，解得， 所以 ， 当且仅当即时取等号， 所以的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 灌南高级中学 2026—2027 学年第一学期第一次月考 高一年级数学试卷 考试时长：120 分钟　　满分 150 分　　命题人：李彦琼　　做卷人：孙春庭 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列式子的互化正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 若关于的方程和的解集分别为，，且，则（ ）． A. 21 B. 8 C. 7 D. 6 5. 设，则“”的充要条件是（　　） A. 不都为 B. 都不为 C. 中至多有一个是 D. 都不为 6. 下列命题中正确的是（　　） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 7. 若命题“”是真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知正实数，满足，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 4 二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列说法中正确的有（　　） A. 命题，，则命题的否定是， B. “”是“”的必要不充分条件 C. “，”是真命题 D. “”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件 10. 已知关于x的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的解集为 C. D. 的解集为 11. 已知实数满足，下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知 ，，，则______． 13. ______．（用分数指数幂表示） 14. 某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设集合，． （1）若，求实数的取值范围； （2）是否存在实数，使？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 16. 设集合 ，． （1）是否存在实数 ，使得 是 的充要条件？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由； （2）是否存在实数 ，使得 是 的必要不充分条件？若存在，求出 的取值范围；若不存在，请说明理由． 17. 已知集合 ，集合 ． （1）若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围； （2）若命题“，”是真命题，求实数的取值范围． 18. 设m为实数，． （1）若方程y＝0有实数根，求m的取值范围； （2）若不等式y＞0的解集为，求m的取值范围； （3）若不等式y＞0的解集为R，求m的取值范围； 19. 已知关于的二次函数． （1）若的解集为，求实数a、b的值； （2）若实数满足，求关于的不等式的解集． （3）已知二次函数有两个正实数零点，且满足，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $