专题03 一元二次方程的应用（题型专练）数学新教材沪教版五四制八年级上册

专题03 一元二次方程的应用 常考题型·精准突破 考点一 分解因式与基础建模 题型1 实数范围内分解因式 题型2 握手与循环问题 题型3 增长率问题 题型4 传播问题 考点二 图形与数字问题 题型5 与图形有关的问题 题型6 数字问题 考点三 经营、工程与行程问题 题型7 营销问题 题型8 动态几何问题 题型9 工程问题 题型10 行程问题 题型11 图表信息题 题型12 其他问题 考点四 可化为一元二次方程的分式方程 题型13 可化为一元二次方程的分式方程 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 分解因式与基础建模 ◆题型1 实数范围内分解因式 1．[25-26八年级上·上海·期末]在实数范围内因式分解：____________． 2．[25-26八年级上·上海·期末]在实数范围内分解因式：__________． 3．[25-26八年级上·上海黄浦·期末]在实数范围内因式分解：______． 4．[25-26八年级上·上海·期末]在实数范围内因式分解：______． 5．[25-26八年级上·上海普陀·期末]在实数范围内因式分解：______． 6．[25-26八年级上·上海·阶段检测]在实数范围内分解因式． ◆题型2 握手与循环问题 7．[25-26八年级上·上海·期末]某省举办的城市业余足球联赛采用主客场双循环赛制，每支球队与其他球队需进行两场比赛（主场和客场各一次）．本赛季该联赛共完成比赛156场．设参加联赛的球队有x支，根据题意，为求解x，以下列出的方程正确的是（    ） A． B． C． D． 8．[25-26八年级上·上海·期末]学校运动会期间，选拔了若干支球队进行篮球比赛，共比赛了场，每两队之间都比赛一场，设一共有支球队，那么可列出方程__________． 9．[25-26八年级上·上海闵行·期末]春节前夕一群学生举行一次聚会，聚会时每两个人之间都互赠一张贺卡，这样共送出了张贺卡．设这群学生共有人，根据题意可列一元二次方程是______． 10．[25-26八年级上·上海·阶段检测]会议上每两个参加会议的人都互握一次手，一共握手66次，设有人参加会议，则可列方程______． 11．[25-26八年级上·上海普陀·阶段检测]某校八年级举行篮球比赛，每个班级都要和其他班级比赛一次，且两个班级之间只比赛一次，结果一共进行了21场比赛，设八年级共有x个班级，那么列出方程是________． ◆题型3 增长率问题 12．[25-26八年级上·上海杨浦·期末]一件商品原价300元，连续两次降价后，现售价是243元，设平均每次降价的百分率为，根据题意，可列方程为______． 13．[25-26八年级上·上海静安·期末]某厂前年的产值为400万元，去年的产值比前年的增长率为x，如果这个增长率保持不变，预计今年的产值将达到600万元．根据题意可列出方程为__________． 14．[25-26八年级上·上海·期末]某市为美化环境，准备在2025年完成绿化面积60万亩．由于施工人数增加，因此平均每个月完成的绿化面积比原计划多2万亩．这样经测算，可以比原计划提前1个月完成任务． (1)求原计划平均每个月完成的绿化面积； (2)填空：已知该市在2025年完成了绿化面积60万亩的任务，并且预测2027年可以完成绿化面积135万亩．如果每年完成绿化面积的增长率相同，设2026年该市完成的绿化面积为y万亩，那么可以列出方程为________ 15．[25-26八年级上·上海虹口·期末]根据以下素材，完成探索任务． 情景 制定芯片生产线扩张方案． 素材一 2025年储存芯片成为了全球稀缺商品．某芯片公司引进了一条储存芯片生产线．开工第一季度生产200万个，第三季度生产288万个． 素材二 经调查发现，一条生产线最大满负荷产能是300万个/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个/季度． 问题解决 任务一 根据素材一，若该生产线每季度生产量的增长率相等，求第一季度到第三季度生产量的每季度增长率． 任务二 根据素材二，为迎接2026年的储存芯片需求，需要增加生产线，现该公司要保证每季度生产储存芯片最大总产能达到1200万个，在增加产能同时要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），请你为该公司决定应该增加多少条生产线． ◆题型4 传播问题 16．[24-25九年级上·湖北武汉·阶段检测]某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是157，设每个支干长出的小分支数目为x，根据题意，下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 17．[25-26八年级上·上海·期中]流感是一种传染性极强的疾病，如果有1人患病，经过两轮传染后有121人患病，设每轮传染中平均一个人传染了个人，那么所列方程为________________． 18．[24-25九年级上·江西景德镇·期中]若一人患上流感，经过两轮传染后，共有144人被传染上流感，这时引起有关部门注意，加以控制，以后每轮传染少5人，问第四轮传染后共有多少人患流感？ 考点二 图形与数字问题 ◆题型5 与图形有关的问题 19．[25-26八年级上·上海杨浦·期末]如图，某养鸡户用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙的矩形鸡舍，其面积为在鸡舍的边中间位置留一个宽的门（由其他材料制成），设的长为米，则可列出方程（　　） A． B． C． D． 20．[25-26八年级上·上海虹口·期末]用总长为6米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块8平方米的长方形，如图所示．设长方形的一边长为米，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 21．[25-26八年级上·上海普陀·阶段检测]小明家打算利用一面长15米的院墙，用铝合金靠墙搭建一个矩形遮阳棚辅助区域．如果用40米长的铝合金框架搭建遮阳棚（靠墙一侧无需框架），且要求遮阳棚的面积为150平方米，则遮阳棚垂直于院墙的边长为________米． 22．[25-26八年级上·上海·期末]学校要建设一个面积为375平方米的长方形游泳池，它的长比宽多10米，那么该长方形游泳池的周长等于________米． 23．[26-27八年级上·上海宝山·阶段检测]实验基地有一长为米的墙，研究小组想利用墙和长米的篱笆，在前面的空地围出一个矩形种植园，且在墙对面的篱笆上开一个宽为米的门． (1)小徐按图的方案围成矩形种植园（为墙的一部分），当矩形种植园的面积为时，求出矩形种植园一边的长． (2)小祝按照图的方案围成矩形种植园（墙为边的一部分），能否围成面积为的矩形种植园，若能，请求出矩形种植园的一组邻边长；若不能，求出围成的面积最大时的长，并说明理由． 24．[25-26八年级上·上海闵行·期末]如图，现需靠一段长为米的墙围一个所占地面为长方形的仓库(只围三面)，仓库的一角是一个正方形工作间，其他区域为存储仓、已知仓库的工作间四面都是用边长为5米的玻璃材料所围成，其余部分是用总长为米的防潮隔板来围．如果要使存储仓的面积为平方米，且防潮隔板正好用完(不计损耗)，求垂直于墙面的隔板的长． 25．[25-26八年级上·上海·期末]如图是一排形状相同、大小相等的个长方形猪圈，总面积为平方米，一面靠墙（墙长米），其它各边用总长为米的木栅栏围成． (1)若，则和各为多少米？ (2)若，则和各为多少米？ 26．[25-26八年级上·上海宝山·阶段检测]如图，要建一个面积为的长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一边墙，墙长为，另三边用篱笆围成．若篱笆长度为，且要求用完．问： (1)求鸡场的长和宽各为多少米？ (2)若将题中条件“墙长为米”换为“墙长为a米”，且增加条件“离墙开外鸡场一侧准备修条小路”，其他条件不变，则墙长a米至少要多少米？ ◆题型6 数字问题 27．[25-26八年级下·河北张家口·期末]如图是小丽与DeepSeek的对话截屏，DeepSeek在深度思考后，给出的正确答案是（     ） A． B．1 C． D． 28．[25-26八年级下·山东淄博·期中]已知两个连续偶数的积为168，若设其中较大的一个偶数为x，则可得方程为（） A． B． C． D． 29．[25-26八年级下·浙江湖州·期末]“积幻方”由传统的和幻方衍生而来，在积幻方中，个小方格中的正整数互不相等，且每行、每列、每条对角线上的三个数的乘积相等．如图，已知一个“积幻方”只呈现了个小方格中的数，则其中的值是_________． 30．[2026·江苏无锡·二模]如图为某年月的月历表，小明和小亮分别用横着、竖着的透明“一”字形框框出3个数． (1)当小明与小亮的框有一个数相同时，他俩框出数的总和的最大值为 ； (2)小明对小亮说：“当我俩框的三个数的中间数相同时，你三数中的最小数与我三数中最小数的积可以为．”小亮反驳道：“这种情况是不存在的．”请你判断他们俩谁的说法正确，并说明理由． 考点三 经营、工程与行程问题 ◆题型7 营销问题 31．[25-26八年级上·上海崇明·期末]为弘扬崇明土布传统文化，展现匠人技艺魅力，瀛洲土布馆推出崇明土布刺绣“小马”挂件．该挂件每件成本25元，当售价定为35元时，每日可售出48件．市场调研显示，售价每降低1元，每日销量就会增加6件． (1)当该挂件降价元，每日售出的数量是_____件(用的代数式表示)； (2)当该挂件降价多少元时，土布馆每日销售这款挂件的利润恰好为432元． 32．[25-26八年级上·上海黄浦·期末]市百一店童装柜在销售中发现：某童装平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了迎接新年，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出3件．为保持节后销售价格的稳定性，降价不能超过15元．要想平均每天销售这种童装盈利1800元，那么每件童装应降价多少元？ 33．[25-26八年级上·上海松江·期末]新能源汽车采用电能作为动力来源，能减少二氧化碳气体的排放，达到保护环境的目的，其市场需求逐年上升．一汽车销售公司抢占先机，购进一款进价为12万元辆的某品牌新能源汽车，销售一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元辆时，平均每周售出8辆；如果售价每降低1万元，平均每周多售出2辆．若该店计划下调售价，使平均每周的销售利润为144万元．为了推广新能源汽车，并且尽量让利于顾客，求该公司每辆车的下调价格． 34．[25-26八年级上·上海奉贤·期末]公安交警部门提醒市民，骑电动自行车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某商店销售的A款头盔的进价为40元/个，经测算，当售价为50元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ ◆题型8 动态几何问题 35．[23-24九年级上·广西桂林·期末]如图，在中，，，，点沿边从点出发向终点以的速度移动；同时点沿边从点出发向终点以的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．当的面积为时，点运动的时间是（　　） A． B．或 C． D．或 36．[24-25八年级上·上海·阶段检测]如图所示，中，，厘米，厘米，占从点开始沿边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以2厘米/秒的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，经过__________秒钟的面积等于5平方厘米． 37．[2025八年级上·上海·专题练习]如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动（到达终点后停止），点Q从点B开始沿边B﹣C﹣D向终点D以的速度移动．如果点P，Q分别从A，B同时出发，当点P和点Q都运动到终点时，运动过程停止，设运动时间为．在这个运动过程中，四边形的面积等于时，此时t的值是 ______________________． 38．[24-25八年级上·上海·阶段检测]如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以1厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以2厘米/秒的速度移动，如果、分别是从、同时出发，当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． (1)求经过几秒时，的面积等于8平方厘米？ (2)的面积能否等于10平方厘米，如果能求出运动的时间，如果不能，请说明理由． ◆题型9 工程问题 39．[22-23八年级下·江苏泰州·期末]问题：“某工程队准备修建一条长3000米的下水管道，由于采用新的施工方式，________________，提前2天完成任务，求原计划每天修建下水管道的长度？” 条件：（1）实际每天修建的长度比原计划多； （2）原计划每天修建的长度比实际少75米． 在上述的2个条件中选择1个________________（仅填序号）补充在问题的横线上，并完成解答． 40．[25-26九年级上·重庆巫山·期末]学校图书馆需将4800本新图书进行整理上架，现有甲、乙两个志愿者报名承担此项工作．已知甲计划每天比乙计划每天多整理100本图书，且甲整理1200本图书与乙整理1000本图书的时间相等 (1)求甲计划每天整理多少本图书？ (2)学校决定由甲承担此项图书整理工作．为赶工期，甲实际每天整理的图书数量比计划每天多本，最终完成所用的时间比甲计划所需的时间少天，求a的值 41．[2025·山东临沂·一模]在我国，端午节作为传统佳节，历来有吃粽子的习俗．某食品加工厂拥有，两条不同的粽子生产线，生产线每小时加工粽子个，生产线每小时加工粽子个． (1)若生产线，一共加工小时，且生产粽子总数量不少于个，则B生产线至少加工多少小时？ (2)原计划，生产线每天均工作小时．由于改进了生产工艺，在实际生产过程中，生产线每小时比原计划多生产个（），生产线每小时比原计划多生产个．若生产线每天比原计划少工作小时，生产线每天比原计划少工作小时，这样一天恰好生产粽子个，求的值． ◆题型10 行程问题 42．[25-26九年级上·广东深圳·期中]《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率五，乙行率二．乙东行，甲南行八步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说：甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为5，乙的速度为2．乙一直往东走，甲先向南走8步（步是古代的长度单位），后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲乙各走了多少步？设甲乙二人从出发到相遇所用的时间是x，下列方程正确的（    ） A． B． C． D． 43．[25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测]新疆阿勒泰有“中国雪都”之称，很多滑雪爱好者都到将军山滑雪场滑雪．已知滑行距离（单位：m）与滑行时间（单位：s）之间的关系是．若某滑雪者在山坡上的出发点和终点的距离是176m，他需要______s能到达终点． 44．[25-26九年级上·江苏南通·期末]一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止滚动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动用了多少秒（结果保留根号）？ （提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．） ◆题型11 图表信息题 45．[25-26九年级上·福建漳州·期中]如图是今年某月的日历表，小欧用一个平行四边形，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是264，求小欧框出的最小数． 46．[25-26九年级上·陕西汉中·阶段检测]【观察思考】 围棋起源于中国，至今已有4000多年的历史，围棋使用圆形黑、白两色棋子在方形格状的棋盘上对弈．如图是用黑、白两色围棋子摆出的一组有规律的“箭头”图案． 【规律发现】 （1）按此规律继续摆下去，第（为正整数）个图案中，白棋有____________个，黑棋有____________个；（用含的代数式表示） 【规律应用】 （2）若在第个图案中，黑棋和白棋的数量之积为253，求的值． ◆题型12 其他问题 47．[25-26八年级上·上海杨浦·期末]容器内盛满60升纯酒精，倒出一部分后用水加满，第二次倒出比第一次多14升的溶液，再用水加满．这时容器内纯酒精和水正好各占一半，则第一次倒出了酒精__ 升． 48．[25-26八年级上·上海·期中]某小组每人给其他人送一张照片，全组共送了90张，那么这个小组共有________人． 49．[25-26八年级上·上海杨浦·期末]在“理财小课堂”中，小明了解到某理财产品按年计息，有单利和复利两种不同的计息方式： 单利法是指每年依据最初本金计算利息，不考虑前期利息所产生的利息； 复利法是指每年依据本金和前期利息之和计算利息． 小明准备将10000元购买该理财产品，银行提供如下两种方案（年利率相同）： 方案一：按单利法存2年； 方案二：按复利法存2年． 两年后，方案二得到的本利和比方案一多100元，请计算年利率． 考点四 可化为一元二次方程的分式方程 ◆题型13 可化为一元二次方程的分式方程 50．[25-26八年级上·上海·期末]解分式方程：． 51．[25-26八年级上·上海·期末]解方程：． 52．[25-26八年级上·上海金山·期末]解方程：． 53．[25-26八年级上·上海浦东新·期末]为加强防汛工作，市工程队准备对苏州河一段长为2240米的河堤进行加固，由于采用新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米，因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短2天，问现在计划每天加固多少米？ 54．[25-26八年级上·上海·期末]某公司会计欲查询乙商品的进价，发现进货单已被墨水污染．进货单上的商品采购员李阿姨和仓库保管员顾师傅对采购情况回忆如下： 李阿姨：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高20元； 顾师傅：甲商品比乙商品的数量多40件； 请你根据李阿姨和顾师傅的回忆求出甲、乙商品的进价． 55．[25-26八年级上·上海浦东新·期末]为迎接马年的到来，某校进行了大型的迎新慈善义卖活动．八（1）班义卖善款1900元，八（2）班义卖善款2600元．已知1班人数是2班人数的一半多7人，且2班比1班的人均义卖款多5元．请问，1班和2班的人数各是多少人？ 56．[25-26八年级上·上海普陀·期末]某新能源汽车的配件工厂向、两个汽车生产厂家供应某种配件，厂采购此配件的单价比厂采购此配件的单价便宜9元，如果厂采购该配件用了128万元，厂采购该配件用了272万元，两厂共采购该配件32万件，那么两个汽车生产厂家采购此配件的单价各为多少元？ 综合攻坚·知能拔高 1．[25-26八年级上·上海普陀·期末]如果二次三项式在实数范围内不能分解因式，那么的取值范围是（   ） A．且； B．且； C．； D．． 2．[25-26八年级上·上海金山·阶段检测]如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40米，宽为22米．停车场内车道的宽度相等，若停车位的总占地面积为544平方米．求车道的宽度（单位：米）．设停车场内车道的宽度为米，根据题意所列方程为（    ） A． B． C． D． 3．[25-26八年级上·上海奉贤·期末]为加快新能源汽车配套设施建设，某新能源公司原计划每日安装一定数量的充电桩．若实际每日比原计划多安装5台，则3600台充电桩的安装任务可提前10天完成．设原计划每日安装台充电桩，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 4．[25-26八年级下·上海·期中]用换元法解分式方程时，如果设，将原方程化为关于的整式方程，那么这个整式方程是（    ） A． B． C． D． 5．[25-26八年级下·上海·阶段检测]解方程组： 6．[25-26八年级上·上海·期末]寒假期间，同学们将进行丰富多彩的实践性活动，并制作完成实践性小报等成果，学校计划使用一块正方形场地布展．经过计算，发现长与宽之比为的长方形场地展览效果更好，因此需要把长增加4米，宽增加1米（如图1）． (1)直接写出长方形区域的长是__________米，宽是__________米． (2)现计划将长方形区域按图2的方式进行划分，展示六～九年级成果，在各展区之间留宽度相等的过道，如果各展区的总面积为，求过道的宽度． 2 / 24 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一元二次方程的应用 常考题型·精准突破 考点一 分解因式与基础建模 ◆题型1 实数范围内分解因式 1． 2． 3． 4． 5． 6． ◆题型2 握手与循环问题 7．B 8． 9． 10． 11． ◆题型3 增长率问题 12． 13． 14．(1)10万亩(2) 15．任务一：任务二：条 ◆题型4 传播问题 16．A 17． 18．第四轮传染后共有7056人患流感 考点二 图形与数字问题 ◆题型5 与图形有关的问题 19．D 20．C 21．15 22．80 23．(1)米(2)不能，时围成的面积最大 24．垂直于墙面的隔板的长为米 25．(1)米和米或米和米(2)米和米 26．(1)长是米，宽是米(2)至少为米 ◆题型6 数字问题 27．D 28．A 29．16 30．(1)(2)解：小亮的说法是正确的，理由如下：设两人框的中间相同的数为，则横着的个数为，竖着的个数为，由题意得，整理得 ，    解得（负数舍去），，∵在日历的最右侧，不可能成为横框的中间数，∴不符合题意，舍去，∴小亮说法正确 考点三 经营、工程与行程问题 ◆题型7 营销问题 31．(1)(2)当该挂件降价4元时，土布馆每日销售这款挂件的利润恰好为432元 32．10元 33．该店每辆车的下调价格为5万元 34．元/个 ◆题型8 动态几何问题 35．A 36．1 37．3或 38．(1)2秒或4秒(2)不能，理由：设运动时间为x秒，的面积等于10平方厘米，根据题意，得，整理得，∴，∴方程无解，∴的面积不能等于10平方厘米 ◆题型9 工程问题 39．选（1）或（2）；选（1）原计划每天修建下水管道的长度为米；选（2）原计划每天修建下水管道的长度为米 40．(1)600(2)50 41．(1)B生产线至少加工6小时(2)a的值为2 ◆题型10 行程问题 42．A 43．8 44．(1)小球的滚动速度平均每秒减少；(2)小球滚动到用了秒 ◆题型11 图表信息题 45．12 46．（1），；（2）10 ◆题型12 其他问题 47．10 48．10 49． 考点四 可化为一元二次方程的分式方程 ◆题型13 可化为一元二次方程的分式方程 50． 51． 52． 53．现在计划每天加固160米 54．甲商品每件的进价为元，乙商品每件的进价为元 55．1班人数是20人，2班人数是26人 56．A厂采购单价为8元，B厂采购单价为17元 综合攻坚·知能拔高 1．C 2．D 3．B 4．A 5．， 6．(1)9，6(2)1米 2 / 24 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一元二次方程的应用 常考题型·精准突破 考点一 分解因式与基础建模 题型1 实数范围内分解因式 题型2 握手与循环问题 题型3 增长率问题 题型4 传播问题 考点二 图形与数字问题 题型5 与图形有关的问题 题型6 数字问题 考点三 经营、工程与行程问题 题型7 营销问题 题型8 动态几何问题 题型9 工程问题 题型10 行程问题 题型11 图表信息题 题型12 其他问题 考点四 可化为一元二次方程的分式方程 题型13 可化为一元二次方程的分式方程 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 分解因式与基础建模 ◆题型1 实数范围内分解因式 1．[25-26八年级上·上海·期末]在实数范围内因式分解：____________⁠． 【答案】 【分析】本题考查在实数范围内因式分解二次多项式．通过配方法将原式转化为平方差形式，再利用平方差公式分解． 【详解】解： 故答案为： 2．[25-26八年级上·上海·期末]在实数范围内分解因式：__________⁠． 【答案】 【分析】本题主要考查了在实数范围内因式分解，利用配方法将原式变形，再利用平方差公式进行因式分解，由此求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 3．[25-26八年级上·上海黄浦·期末]在实数范围内因式分解：______⁠． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键．通过求解一元二次方程得到实数根，然后根据根写出因式分解形式即可． 【详解】解：方程， 其中，，， 判别式：， ∴， 即：，， 因此， 故答案为：． 4．[25-26八年级上·上海·期末]在实数范围内因式分解：______⁠． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数范围内分解因式，解一元二次方程，令，利用求根公式求出方程的两个根即可得到答案． 【详解】解：解方程， 使用求根公式，其中，，， 判别式， 所以， 根为，， 因此． 故答案为：． 5．[25-26八年级上·上海普陀·期末]在实数范围内因式分解：______⁠． 【答案】 【分析】本题考查了实数范围内分解因式，先配方，再根据平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 6．[25-26八年级上·上海·阶段检测]在实数范围内分解因式⁠． 【答案】 【分析】此题考查了实数范围内分解因式．先利用十字相乘法分解，再用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ◆题型2 握手与循环问题 7．[25-26八年级上·上海·期末]某省举办的城市业余足球联赛采用主客场双循环赛制，每支球队与其他球队需进行两场比赛（主场和客场各一次）．本赛季该联赛共完成比赛156场．设参加联赛的球队有x支，根据题意，为求解x，以下列出的方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根据实际问题列方程，根据双循环赛制中，每两支球队之间进行两场比赛，总比赛场数为球队数x与的乘积列方程即可． 【详解】解：设有x支球队，则每支球队与其他支球队各进行两场比赛，总比赛场数为， 由题意得：， 故选B． 8．[25-26八年级上·上海·期末]学校运动会期间，选拔了若干支球队进行篮球比赛，共比赛了场，每两队之间都比赛一场，设一共有支球队，那么可列出方程__________⁠． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，掌握相关量之间的等量关系是解题的关键． 每两支球队之间比赛一场，总比赛场数为从x支球队中选取2支的组合数，即，根据题意总场数为，即可列出方程． 【详解】解：设有x支球队，每两队之间比赛一场，则总比赛场数为， 根据题意，总场数为场，所以方程为． 故答案为：． 9．[25-26八年级上·上海闵行·期末]春节前夕一群学生举行一次聚会，聚会时每两个人之间都互赠一张贺卡，这样共送出了张贺卡．设这群学生共有人，根据题意可列一元二次方程是______⁠． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，解题关键是明确“每两个人之间都互赠一张贺卡”意味着每个人需要向除自己外的所有人各送一张，从而推导总贺卡数的表达式．据此解答即可． 【详解】解：设这群学生共有人， ∵每个人需要向除自己外的人各赠送1张贺卡， ∴总共送出的贺卡数为张． 已知共送出张贺卡， ∴可列方程为． 故答案为：． 10．[25-26八年级上·上海·阶段检测]会议上每两个参加会议的人都互握一次手，一共握手66次，设有人参加会议，则可列方程______⁠． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程． 每个人与其他人都握手一次，但每对握手只算一次，因此总握手次数为个人中选个人的组合数，即，设其等于66即可； 【详解】设参加会议有人，每个人都与其他人握手，共握手次数为，因为每对握手被重复计算了一次，所以实际握手次数为，根据题意，总握手次数为66次， 列方程． 故答案为：． 11．[25-26八年级上·上海普陀·阶段检测]某校八年级举行篮球比赛，每个班级都要和其他班级比赛一次，且两个班级之间只比赛一次，结果一共进行了21场比赛，设八年级共有x个班级，那么列出方程是________⁠． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，每个班级需与其他个班级比赛，但每场比赛被计算了两次，因此总比赛场数为 ，根据总场数为21，列出方程即可． 【详解】解：设八年级共有x个班级， 根据题意，每两个班级之间进行一场比赛，总比赛场数为； 因此，方程为 ， 故答案为： ． ◆题型3 增长率问题 12．[25-26八年级上·上海杨浦·期末]一件商品原价300元，连续两次降价后，现售价是243元，设平均每次降价的百分率为，根据题意，可列方程为______⁠． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，写出连续两次降价后的方程是解题的关键． 首先根据现售价与原价的关系为原价降价率现售价，列出方程即可． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为x， 则第一次降价后价格为元，第二次降价后价格为元， 根据题意，得， 故答案为：． 13．[25-26八年级上·上海静安·期末]某厂前年的产值为400万元，去年的产值比前年的增长率为x，如果这个增长率保持不变，预计今年的产值将达到600万元．根据题意可列出方程为__________⁠． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程解决实际问题．根据增长率为x不变，则去年产值是前年产值的倍，今年产值是去年产值的倍，因此今年产值是前年产值的倍，结合今年产值达到600万元，列出方程． 【详解】解：根据题意，得． 故答案为：． 14．[25-26八年级上·上海·期末]某市为美化环境，准备在2025年完成绿化面积60万亩．由于施工人数增加，因此平均每个月完成的绿化面积比原计划多2万亩．这样经测算，可以比原计划提前1个月完成任务． (1)求原计划平均每个月完成的绿化面积； (2)填空：已知该市在2025年完成了绿化面积60万亩的任务，并且预测2027年可以完成绿化面积135万亩．如果每年完成绿化面积的增长率相同，设2026年该市完成的绿化面积为y万亩，那么可以列出方程为________ 【答案】(1)10万亩(2) 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，正确理解题意列出方程是解题的关键． （1）设原计划平均每个月完成的绿化面积为x万亩，则实际平均每个月完成的绿化面积为万亩，根据实际比计划提前1个月完成任务建立方程求解即可； （2）设每年完成绿化面积的增长率为r，则，，据此可得答案． 【详解】（1）解：设原计划平均每个月完成的绿化面积为x万亩， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：原计划平均每个月完成的绿化面积为10万亩； （2）解：设每年完成绿化面积的增长率为r， 则，， ∴， ∴， 故答案为：． 15．[25-26八年级上·上海虹口·期末]根据以下素材，完成探索任务⁠． 情景 制定芯片生产线扩张方案． 素材一 2025年储存芯片成为了全球稀缺商品．某芯片公司引进了一条储存芯片生产线．开工第一季度生产200万个，第三季度生产288万个． 素材二 经调查发现，一条生产线最大满负荷产能是300万个/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个/季度． 问题解决 任务一 根据素材一，若该生产线每季度生产量的增长率相等，求第一季度到第三季度生产量的每季度增长率． 任务二 根据素材二，为迎接2026年的储存芯片需求，需要增加生产线，现该公司要保证每季度生产储存芯片最大总产能达到1200万个，在增加产能同时要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），请你为该公司决定应该增加多少条生产线． 【答案】任务一：任务二：条 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据题意找到等量关系，列出方程并求解． 任务一：根据第一季度和第三季度的产量，利用平均增长率的公式列方程求解； 任务二：根据生产线数量与每条生产线产能的关系，列方程求解并根据节省成本的条件确定最终答案． 【详解】解：任务一： 设第一季度到第三季度生产量的每季度增长率为， 根据题意得：， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：第一季度到第三季度生产量的每季度增长率为； 任务二： 设增加条生产线，则每条生产线产能为万个/季度， 根据题意得：， 整理得，即， 解得或， 在增加产能同时要节省投入成本， ． 答：应增加条生产线． ◆题型4 传播问题 16．[24-25九年级上·湖北武汉·阶段检测]某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是157，设每个支干长出的小分支数目为x，根据题意，下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用．根据题意主干，支干和小分支的总数是157，列出方程即可． 【详解】解：每个支干长出x个小分支，根据题意得： ， 故选：A． 17．[25-26八年级上·上海·期中]流感是一种传染性极强的疾病，如果有1人患病，经过两轮传染后有121人患病，设每轮传染中平均一个人传染了个人，那么所列方程为________________⁠． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据传染模型，每轮传染中平均每人传染人，经过两轮传染后总患病人数为初始人数的倍，列方程即可． 【详解】解：有1人患传染病，且每轮传染中平均一个人传染了个人， 第1轮传染中有x个人被传染，第一轮传染中有个人被传染， 第2轮：这人每人再传染x人，新增个患者， ∴两轮后总患病数为． ∵两轮后有121人患病， ∴列方程得：， 整理得：， 故答案为：． 18．[24-25九年级上·江西景德镇·期中]若一人患上流感，经过两轮传染后，共有144人被传染上流感，这时引起有关部门注意，加以控制，以后每轮传染少5人，问第四轮传染后共有多少人患流感？ 【答案】第四轮传染后共有7056人患流感 【分析】设每轮传染中平均每人传染了x人，根据经过两轮传染后共有144人患了流感，可求出x，进而求出第四轮过后，又被感染的人数． 本题考查了一元二次方程的应用，先求出每轮传染中平均每人传染了多少人数是解题关键． 【详解】解：设每轮传染中平均每人传染了x人，依题意有：， 故， ∴或， ∴，（不合题意，舍去）， （人）． 答：第四轮传染后共有7056人患流感． 考点二 图形与数字问题 ◆题型5 与图形有关的问题 19．[25-26八年级上·上海杨浦·期末]如图，某养鸡户用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙的矩形鸡舍，其面积为在鸡舍的边中间位置留一个宽的门（由其他材料制成），设的长为米，则可列出方程（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设的长为米，则的长为，根据矩形的面积列出方程即可． 【详解】解：设的长为米，则的长为， 由题意得：， 故选：． 20．[25-26八年级上·上海虹口·期末]用总长为6米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块8平方米的长方形，如图所示．设长方形的一边长为米，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查列一元二次方程解决实际问题．设长方形的一边长为米，则邻边长为米，根据围成的长方形的面积为8平方米列出方程即可． 【详解】解：设长方形的一边长为米，根据题意可列方程． 故选：C． 21．[25-26八年级上·上海普陀·阶段检测]小明家打算利用一面长15米的院墙，用铝合金靠墙搭建一个矩形遮阳棚辅助区域．如果用40米长的铝合金框架搭建遮阳棚（靠墙一侧无需框架），且要求遮阳棚的面积为150平方米，则遮阳棚垂直于院墙的边长为________米⁠． 【答案】15 【分析】设未知数，根据面积公式建立等量关系求解即可． 本题主要考查一元二次方程的应用，找出等量关系是解题关键． 【详解】解：设米，则米， 则 解得或 ∵院墙长15米， 则（舍去） 则遮阳棚垂直于院墙的边长为米． 故答案为：15． 22．[25-26八年级上·上海·期末]学校要建设一个面积为375平方米的长方形游泳池，它的长比宽多10米，那么该长方形游泳池的周长等于________米⁠． 【答案】80 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设游泳池的宽为x米，则长为米，根据面积公式列出方程，解方程得到宽和长，再计算周长，即可作答． 【详解】解：设游泳池的宽为x米，则长为米， 根据题意，得， 整理得． 得或（舍去）． ∴宽为15米，长为25米． ∴周长为（米）． 故答案为：80 23．[26-27八年级上·上海宝山·阶段检测]实验基地有一长为米的墙，研究小组想利用墙和长米的篱笆，在前面的空地围出一个矩形种植园，且在墙对面的篱笆上开一个宽为米的门． (1)小徐按图的方案围成矩形种植园（为墙的一部分），当矩形种植园的面积为时，求出矩形种植园一边的长． (2)小祝按照图的方案围成矩形种植园（墙为边的一部分），能否围成面积为的矩形种植园，若能，请求出矩形种植园的一组邻边长；若不能，求出围成的面积最大时的长，并说明理由⁠． 【答案】(1)米(2)不能，时围成的面积最大 【分析】（1）设，，利用篱笆和1米门得到，由墙长限制，根据面积列一元二次方程，求出根之后检验长边是否不超过米，舍去不合理解； （2）设，，利用篱笆和1米门得到，令面积等于，通过一元二次方程判别式小于0判定无法围成，再利用得到面积最大时的长． 【详解】（1）解：篱笆长米， ， ， 矩形种植园的面积为， ， ， ， ， 或， 墙长为米， 当时，；当时，（舍去）， 米； （2）解：设，， 篱笆长米， ， ， 要使矩形种植园的面积为， 则有， ， ， 不能围成面积为的矩形种植园， 设矩形种植园的面积为， ， ， ， ， ， ， 当时，矩形种植园的面积最大，此时符合题意， 当围成的面积最大时，． 24．[25-26八年级上·上海闵行·期末]如图，现需靠一段长为米的墙围一个所占地面为长方形的仓库(只围三面)，仓库的一角是一个正方形工作间，其他区域为存储仓、已知仓库的工作间四面都是用边长为5米的玻璃材料所围成，其余部分是用总长为米的防潮隔板来围．如果要使存储仓的面积为平方米，且防潮隔板正好用完(不计损耗)，求垂直于墙面的隔板的长⁠． 【答案】垂直于墙面的隔板的长为米 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，关键是明确防潮隔板的围建部分与各边长的关系，结合面积条件列方程，并验证解的合理性． 【详解】解：设垂直于墙面的隔板的长为米，则， 根据题意，，∴， ∴， 则， 展开并化简得， 因式分解得，解得. 验证：当时，米，(墙长)，符合题意. 答：垂直于墙面的隔板的长为米． 25．[25-26八年级上·上海·期末]如图是一排形状相同、大小相等的个长方形猪圈，总面积为平方米，一面靠墙（墙长米），其它各边用总长为米的木栅栏围成． (1)若，则和各为多少米？ (2)若，则和各为多少米？ 【答案】(1)米和米或米和米(2)米和米 【分析】本题考查一元二次方程的应用，不等式的应用， （1）设的长度为米，则猪圈的另一边的长表示为米，再根据“总面积为平方米”得到关于的一元二次方程，求解后结合题意确定的值后可得答案； （2）根据题意列出方程，求解后结合题意确定的值后可得答案； 正确理解题意，列出方程和不等式是解题的关键． 【详解】（1）解：设的长度为米，则猪圈的另一边的长表示为米， 依题意，得：， 解得：或， ∵长方形猪圈一面靠墙（墙长米）， ∴， 当时，得：， ∴， 当时，（米）； 当时，（米）； ∴和各为米和米或米和米； （2）解：设的长度为米，则猪圈的另一边的长表示为米， 依题意，得：， 解得：或， ∵长方形猪圈一面靠墙（墙长米）， ∴， 当时，得：， ∴， ∴， 此时，（米）， ∴和各为米和米． 26．[25-26八年级上·上海宝山·阶段检测]如图，要建一个面积为的长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一边墙，墙长为，另三边用篱笆围成．若篱笆长度为，且要求用完．问： (1)求鸡场的长和宽各为多少米？ (2)若将题中条件“墙长为米”换为“墙长为a米”，且增加条件“离墙开外鸡场一侧准备修条小路”，其他条件不变，则墙长a米至少要多少米？ 【答案】(1)长是米，宽是米(2)至少为米 【分析】本题考查一元二次方程的实际运用，不等式的应用，利用长方形的面积得出等量关系建立方程解决问题． （1）设鸡场垂直于墙的边长为米，则平行于墙的边长为米，根据面积为平方米，可列方程求解． （2）如果离墙9米开外准备修路，那么垂直于墙的边长就要小于9米，则只能取（1）中时，米这种情况，由此进一步分析得出答案即可． 【详解】（1）解：设养鸡场垂直于墙的边长为米，则平行于墙的边长为米， 由题意得：， 即， 解得：或， 当时，，符合实际意义； 当时，，不符合实际意义，舍去． 答：养鸡场的长是米，宽是米； （2）解：如果离墙9米开外准备修路，那么垂直于墙的边长就要小于9米， 由（1）知即垂直墙的长度为米，平行于墙的长度为米， ∴米， 此时养鸡场的长至少为米． ◆题型6 数字问题 27．[25-26八年级下·河北张家口·期末]如图是小丽与DeepSeek的对话截屏，DeepSeek在深度思考后，给出的正确答案是（     ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】设这个数为x，根据对话描述的数量关系列出一元二次方程，然后求解方程得到这个数． 【详解】解：设这个数为x， 则， 整理得， ， 解得． 即这个数是． 28．[25-26八年级下·山东淄博·期中]已知两个连续偶数的积为168，若设其中较大的一个偶数为x，则可得方程为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据连续偶数的差值为2，由给出的较大数表示出较小偶数，再根据两数乘积为168即可列出方程． 【详解】解：∵较大的偶数为，则较小的连续偶数为， ∴根据题意，可得方程． 29．[25-26八年级下·浙江湖州·期末]“积幻方”由传统的和幻方衍生而来，在积幻方中，个小方格中的正整数互不相等，且每行、每列、每条对角线上的三个数的乘积相等．如图，已知一个“积幻方”只呈现了个小方格中的数，则其中的值是_________⁠． 【答案】16 【分析】根据题意，得到，整理得，再根据解一元二次方程的方法解方程，即可求出的值． 【详解】解：根据题意，可得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 因式分解，得， 解得，， ∵个小方格中的正整数互不相等， ∴，即的值是16． 30．[2026·江苏无锡·二模]如图为某年月的月历表，小明和小亮分别用横着、竖着的透明“一”字形框框出3个数． (1)当小明与小亮的框有一个数相同时，他俩框出数的总和的最大值为 ； (2)小明对小亮说：“当我俩框的三个数的中间数相同时，你三数中的最小数与我三数中最小数的积可以为．”小亮反驳道：“这种情况是不存在的．”请你判断他们俩谁的说法正确，并说明理由⁠． 【答案】(1)(2)解：小亮的说法是正确的，理由如下：设两人框的中间相同的数为，则横着的个数为，竖着的个数为，由题意得，整理得 ，    解得（负数舍去），，∵在日历的最右侧，不可能成为横框的中间数，∴不符合题意，舍去，∴小亮说法正确 【分析】（）根据月历表找到符合题意的小明和小亮分别用横着、竖着的透明“一”字形框框出个数，求和即可； （）设两人框的中间相同的数为，根据题意列方程并解方程即可． 【详解】（1）解：当小明框出个数为，小亮框出个数为，此时他俩框出数的总和最大， ∴最大值为； （2）略 考点三 经营、工程与行程问题 ◆题型7 营销问题 31．[25-26八年级上·上海崇明·期末]为弘扬崇明土布传统文化，展现匠人技艺魅力，瀛洲土布馆推出崇明土布刺绣“小马”挂件．该挂件每件成本25元，当售价定为35元时，每日可售出48件．市场调研显示，售价每降低1元，每日销量就会增加6件． (1)当该挂件降价元，每日售出的数量是_____件(用的代数式表示)； (2)当该挂件降价多少元时，土布馆每日销售这款挂件的利润恰好为432元⁠． 【答案】(1)(2)当该挂件降价4元时，土布馆每日销售这款挂件的利润恰好为432元 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． （1）根据“售价每降低1元，每日销量就会增加6件”，列代数式即可； （2）根据单件利润乘以销售量等于总利润列出方程，并求解即可． 【详解】（1）解：∵售价每降低1元，每日销量就会增加6件， ∴当该挂件降价元，每日售出的数量是件， 故答案为：； （2）解： 整理得 解得或（不符合题意，舍去） 答：当该挂件降价4元时，土布馆每日销售这款挂件的利润恰好为432元． 32．[25-26八年级上·上海黄浦·期末]市百一店童装柜在销售中发现：某童装平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了迎接新年，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出3件．为保持节后销售价格的稳定性，降价不能超过15元．要想平均每天销售这种童装盈利1800元，那么每件童装应降价多少元？ 【答案】10元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设每件童装应降价x元，则每件盈利元，每天可售出件，利用每天销售童装获得的总利润每件童装的销售利润每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合降价不能超过15元即可得出每件童装应降价10元． 【详解】解：设每件童装应降价x元，则每件盈利元，每天可售出件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 又∵降价不能超过15元， ∴， 答：每件童装应降价10元． 33．[25-26八年级上·上海松江·期末]新能源汽车采用电能作为动力来源，能减少二氧化碳气体的排放，达到保护环境的目的，其市场需求逐年上升．一汽车销售公司抢占先机，购进一款进价为12万元辆的某品牌新能源汽车，销售一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元辆时，平均每周售出8辆；如果售价每降低1万元，平均每周多售出2辆．若该店计划下调售价，使平均每周的销售利润为144万元．为了推广新能源汽车，并且尽量让利于顾客，求该公司每辆车的下调价格⁠． 【答案】该店每辆车的下调价格为5万元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意是解题的关键．设该店每辆车的下调价格x万元，则降价后每辆车的利润为万元，销量为辆，即可列方程求解． 【详解】解：设该店每辆车的下调价格x万元， 根据题意可得， 整理得， 解得，， 因为销售为了尽量让利于顾客，即下调价格应尽可能大， 所以（舍去）， ， 答：该店每辆车的下调价格为5万元． 34．[25-26八年级上·上海奉贤·期末]公安交警部门提醒市民，骑电动自行车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某商店销售的A款头盔的进价为40元/个，经测算，当售价为50元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】元/个 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用(“每每”问题)，先设出涨价金额，再分别表示出单个利润和对应的销售量，最后根据总利润为元列方程求解，并结合“让顾客得到实惠”的条件选择较小的涨价金额． 【详解】解：设该头盔的售价上涨元/个，则实际售价为元/个， 单个利润为元/个，月销售量为个． 根据题意，列方程：， 化简得： 因式分解：， 解得：，． ∵要尽可能让顾客得到实惠， ∴选择较小的涨价金额，即． 实际售价为(元/个)． 答：该品牌头盔的实际售价应定为元/个． ◆题型8 动态几何问题 35．[23-24九年级上·广西桂林·期末]如图，在中，，，，点沿边从点出发向终点以的速度移动；同时点沿边从点出发向终点以的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．当的面积为时，点运动的时间是（　　） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．利用时间路程速度，可求出点，到达终点所需时间，当运动时间为秒时，，，根据的面积为，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【详解】解：，． 当运动时间为秒时，，，， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 点的运动时间是． 故选：A． 36．[24-25八年级上·上海·阶段检测]如图所示，中，，厘米，厘米，占从点开始沿边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以2厘米/秒的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，经过__________秒钟的面积等于5平方厘米⁠． 【答案】1 【分析】本题考查了实际问题与一元二次方程：动态几何问题，根据运动速度以及运动方向得，，，根据面积列式，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：经过秒钟的面积等于5平方厘米， 由题意得：，，， 则， ∵的面积等于5平方厘米 ∴ 解得 ∵ ∴舍去 ∴ 故答案为：1 37．[2025八年级上·上海·专题练习]如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动（到达终点后停止），点Q从点B开始沿边B﹣C﹣D向终点D以的速度移动．如果点P，Q分别从A，B同时出发，当点P和点Q都运动到终点时，运动过程停止，设运动时间为．在这个运动过程中，四边形的面积等于时，此时t的值是 ______________________⁠． 【答案】3或 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次方程（一元二次方程）是解题的关键．分，及三种情况考虑：当时，连接AQ，DQ，连接，，此时，，当当时，，，当时，，，由四边形的面积等于 列出关于t的方程，解之即可得出t值． 【详解】解：（秒），（秒），（秒）． 当时，连接，，此时，，如图1所示． 依题意得：， 即 解得：，（不合题意，舍去）； 当时，，，如图2所示． 依题意得： ， 即， 解得：t（不合题意，舍去）； 当时，，，如图3所示． 依题意得：， 即， 解得：t． 综上，t的值为3或． 故答案为：3或． 38．[24-25八年级上·上海·阶段检测]如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以1厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以2厘米/秒的速度移动，如果、分别是从、同时出发，当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． (1)求经过几秒时，的面积等于8平方厘米？ (2)的面积能否等于10平方厘米，如果能求出运动的时间，如果不能，请说明理由⁠． 【答案】(1)2秒或4秒(2)不能，理由：设运动时间为x秒，的面积等于10平方厘米，根据题意，得，整理得，∴，∴方程无解，∴的面积不能等于10平方厘米 【分析】一元二次方程的实际应用，根据题意，正确表示出线段长度及，利用三角形面积公式列出方程求解，是解答本题的关键． （1）设运动时间为x秒，根据三角形面积公式构建方程求解即可； （2）设运动时间为x秒，的面积等于10平方厘米，根据三角形面积公式构建方程，解方程即可判断． 【详解】（1）解：设运动时间为x秒，则，， 又， ∴， 根据题意，得， 解得，． ∴经过2秒或4秒后，的面积等于8平方厘米； （2）解：略． ◆题型9 工程问题 39．[22-23八年级下·江苏泰州·期末]问题：“某工程队准备修建一条长3000米的下水管道，由于采用新的施工方式，________________，提前2天完成任务，求原计划每天修建下水管道的长度？” 条件：（1）实际每天修建的长度比原计划多； （2）原计划每天修建的长度比实际少75米． 在上述的2个条件中选择1个________________（仅填序号）补充在问题的横线上，并完成解答⁠． 【答案】选（1）或（2）；选（1）原计划每天修建下水管道的长度为米；选（2）原计划每天修建下水管道的长度为米 【分析】选择（1）时，设原计划每天修建米，则实际每天修建米，根据提前2天完成这一任务，即可得出关于的分式方程，解之经检验即可得出结论； 选择（2）时，设原计划每天修建盲道米，则实际每天修建米，根据提前2天完成这一任务，即可得出关于y的分式方程，解之经检验即可得出结论； 【详解】选（1）或（2） （1）解：设原计划每天修建下水管道的长度为米 经检验：是所列方程的解 答：原计划每天修建下水管道的长度为米． （2）解：设原计划每天修建下水管道的长度为米 （舍） 经检验：是所列方程的解． 答：原计划每天修建下水管道的长度为米． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 40．[25-26九年级上·重庆巫山·期末]学校图书馆需将4800本新图书进行整理上架，现有甲、乙两个志愿者报名承担此项工作．已知甲计划每天比乙计划每天多整理100本图书，且甲整理1200本图书与乙整理1000本图书的时间相等 (1)求甲计划每天整理多少本图书？ (2)学校决定由甲承担此项图书整理工作．为赶工期，甲实际每天整理的图书数量比计划每天多本，最终完成所用的时间比甲计划所需的时间少天，求a的值 【答案】(1)600(2)50 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设乙计划每天整理x本图书，则甲计划每天整理本图书，结合甲整理1200本图书与乙整理1000本图书的时间相等，列分式方程求解； （2）先得出计划时间为天，根据实际工作效率和时间关系列一元二次方程求解，即可作答． 【详解】（1）解：设乙计划每天整理x本图书，则甲计划每天整理本图书， 依题意，， 解得， 经检验：当时，， ∴是原分式方程的解， ∴甲计划每天整理（本） （2）解：由（1）得甲计划每天整理600本， ∵总图书4800本， 则计划时间天， 依题意，甲实际每天整理本，实际完成时间天 根据工作量关系，得方程， 展开得， 化简得， 即 解得或， 由于不符合实际意义，故． 41．[2025·山东临沂·一模]在我国，端午节作为传统佳节，历来有吃粽子的习俗．某食品加工厂拥有，两条不同的粽子生产线，生产线每小时加工粽子个，生产线每小时加工粽子个． (1)若生产线，一共加工小时，且生产粽子总数量不少于个，则B生产线至少加工多少小时？ (2)原计划，生产线每天均工作小时．由于改进了生产工艺，在实际生产过程中，生产线每小时比原计划多生产个（），生产线每小时比原计划多生产个．若生产线每天比原计划少工作小时，生产线每天比原计划少工作小时，这样一天恰好生产粽子个，求的值⁠． 【答案】(1)B生产线至少加工6小时(2)a的值为2 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用．解决本题的关键是根据题目中所给的数量关系列出不等式和方程求解． 设生产线加工小时，则生产线加工小时，根据生产线，一共加工小时，且生产粽子总数量不少于个，列不等式求解即可； 根据一天恰好生产了个粽子，可列关于的一元二次方程，解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：设生产线加工小时，则生产线加工小时， 根据题意可得：，    解得： 答：生产线至少加工小时； （2）解：由题意可得：，     整理得：，    解得，（不符合题意，舍去），   答：的值为． ◆题型10 行程问题 42．[25-26九年级上·广东深圳·期中]《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率五，乙行率二．乙东行，甲南行八步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说：甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为5，乙的速度为2．乙一直往东走，甲先向南走8步（步是古代的长度单位），后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲乙各走了多少步？设甲乙二人从出发到相遇所用的时间是x，下列方程正确的（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程和勾股定理的应用，根据题意，甲、乙的行走路径构成直角三角形，利用勾股定理列方程求解． 【详解】设相遇时间为x，则乙向东行步，甲向南行步后斜向东北行步与乙相遇． ∵ 甲向南行步（直角边），乙向东行步（直角边），甲斜向行步（斜边）， ∴ 由勾股定理，得． 故选：A． 43．[25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测]新疆阿勒泰有“中国雪都”之称，很多滑雪爱好者都到将军山滑雪场滑雪．已知滑行距离（单位：m）与滑行时间（单位：s）之间的关系是．若某滑雪者在山坡上的出发点和终点的距离是176m，他需要______s能到达终点⁠． 【答案】8 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；根据滑行距离与时间的关系式，将已知距离代入方程，解一元二次方程求时间． 【详解】解：由题意，滑行距离S与时间t的关系为． 当时，有． 整理得． 为方便计算，方程两边同乘2，得． ． 因为， 所以． 解得，． 由于时间不能为负数，故． 故答案为8． 44．[25-26九年级上·江苏南通·期末]一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止滚动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动用了多少秒（结果保留根号）？ （提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．） 【答案】(1)小球的滚动速度平均每秒减少；(2)小球滚动到用了秒 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间； （2）利用等量关系：速度×时间＝路程，时间为，根据题意列出方程：求解即可． 【详解】（1）解：从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间， 即， 故小球的滚动速度平均每秒减少； （2）解：设小球滚动到用了， 即， 解得（舍），． 答：小球滚动到用了秒． ◆题型11 图表信息题 45．[25-26九年级上·福建漳州·期中]如图是今年某月的日历表，小欧用一个平行四边形，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是264，求小欧框出的最小数⁠． 【答案】12 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据日历中的数字规律，确定最大数与最小数是解题的关键．设最小数为x，根据题意，得到最大数为，列出方程为，解方程即可． 【详解】设最小数为x，则最大数为， ， ， 解得（舍去）， 所以小欧框出的最小数是12． 46．[25-26九年级上·陕西汉中·阶段检测]【观察思考】 围棋起源于中国，至今已有4000多年的历史，围棋使用圆形黑、白两色棋子在方形格状的棋盘上对弈．如图是用黑、白两色围棋子摆出的一组有规律的“箭头”图案． 【规律发现】 （1）按此规律继续摆下去，第（为正整数）个图案中，白棋有____________个，黑棋有____________个；（用含的代数式表示） 【规律应用】 （2）若在第个图案中，黑棋和白棋的数量之积为253，求的值⁠． 【答案】（1），；（2）10 【分析】本题考查了图形的变化类问题、一元二次方程的应用等知识点，根据各个图形中棋子的颗数发现规律是解题的关键． （1）观察图形发现图形的规律，然后用规律写出第n个图案中黑色棋子的个数与白色棋子的个数即可； （2）由题意可得，然后解一元二次方程即可． 【详解】解：（1）第1个图案中白色棋子的个数为2，黑色棋子的个数为5； 第2个图案中白色棋子的个数为3，黑色棋子的个数为7； 第3个图案中白色棋子的个数为4，黑色棋子的个数为9； …… 第n个图案中白色棋子的个数为，黑色棋子的个数为． 故答案为：，． （2）由题意得：第个图案中，黑棋和白棋的数量之积为， 则，解得：或（不合题意舍弃）． 所以正整数n的值为10． ◆题型12 其他问题 47．[25-26八年级上·上海杨浦·期末]容器内盛满60升纯酒精，倒出一部分后用水加满，第二次倒出比第一次多14升的溶液，再用水加满．这时容器内纯酒精和水正好各占一半，则第一次倒出了酒精__ 升⁠． 【答案】10 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决实际问题，解题的关键是找准等量关系． 设第一次倒出酒精x升，根据两次倒出操作后容器内纯酒精剩余30升，建立一元二次方程求解． 【详解】解：设第一次倒出了酒精x升，则第二次倒出溶液升，根据题意得， 第一次倒出后，剩余纯酒精升，用水加满后浓度为； 第二次倒出的纯酒精为升， 倒出第二次后剩余纯酒精量为． 整理得， 解得， ∵， ∴，不符合题意，舍去， 故答案为：10． 48．[25-26八年级上·上海·期中]某小组每人给其他人送一张照片，全组共送了90张，那么这个小组共有________人⁠． 【答案】10 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并列出方程是解决本题的关键． 设小组人数为n，则每人送出张照片，总照片数为，求解即可． 【详解】解：设小组共有n人， 根据题意得，总照片数为 解得或（不符合题意，舍去）， ∴小组共有10人． 故答案为：10． 49．[25-26八年级上·上海杨浦·期末]在“理财小课堂”中，小明了解到某理财产品按年计息，有单利和复利两种不同的计息方式： 单利法是指每年依据最初本金计算利息，不考虑前期利息所产生的利息； 复利法是指每年依据本金和前期利息之和计算利息． 小明准备将10000元购买该理财产品，银行提供如下两种方案（年利率相同）： 方案一：按单利法存2年； 方案二：按复利法存2年． 两年后，方案二得到的本利和比方案一多100元，请计算年利率⁠． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设年利率为，根据“两年后，方案二得到的本利和比方案一多100元”，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设年利率为， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：年利率为． 考点四 可化为一元二次方程的分式方程 ◆题型13 可化为一元二次方程的分式方程 50．[25-26八年级上·上海·期末]解分式方程：⁠． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程是解题的关键．根据等式的性质，可得整式方程，根据解整式方程，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解： 或， 解得或， 检验，当时，，则是原分式方程的解， 当时，，则是原分式方程的增根， 所以，原分式方程的解为． 51．[25-26八年级上·上海·期末]解方程：⁠． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的基本步骤，是解题的关键．先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可． 【详解】解： 去分母得：， 整理得：， 解得：，， 检验：把代入得：， 把代入得：， ∴是原方程的增根， ∴原方程的解为． 52．[25-26八年级上·上海金山·期末]解方程：⁠． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程解的定义是解答本题的关键，能使分式方程左右两边相等的未知数的值叫做分式方程的解． 两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可． 【详解】解：， 两边都乘以，得 ， 整理得， 或 经检验，是方程的增根，舍去． 所以，原方程的根是． 53．[25-26八年级上·上海浦东新·期末]为加强防汛工作，市工程队准备对苏州河一段长为2240米的河堤进行加固，由于采用新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米，因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短2天，问现在计划每天加固多少米？ 【答案】现在计划每天加固160米 【分析】本题考查分式方程的实际应用、解一元二次方程，解题的关键是根据所给等量关系列出分式方程，求出解后注意检验．设原计划每天加固长度为米，则现在每天加固长度为米，根据完成天数比原计划缩短2天，列出分式方程求解． 【详解】解：设原计划每天加固长度为米，则现在每天加固长度为米， 由题意得：， 整理得， 解得或（舍去）， 经检验，是原方程的解， ∴现在每天加固长度为米． 答：现在计划每天加固160米． 54．[25-26八年级上·上海·期末]某公司会计欲查询乙商品的进价，发现进货单已被墨水污染．进货单上的商品采购员李阿姨和仓库保管员顾师傅对采购情况回忆如下： 李阿姨：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高20元； 顾师傅：甲商品比乙商品的数量多40件； 请你根据李阿姨和顾师傅的回忆求出甲、乙商品的进价⁠． 【答案】甲商品每件的进价为元，乙商品每件的进价为元 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，设乙商品每件进价为元，则甲商品每件进价为元．根据题意即可列方程求解，注意检验． 【详解】解：设乙商品每件进价为元，则甲商品每件进价为元． 根据题意，得 解这个方程，得． 经检验知，是原方程的根，且符合题意． 由可知，甲商品每件的进价为60元． 答：甲商品每件的进价为元，乙商品每件的进价为元． 55．[25-26八年级上·上海浦东新·期末]为迎接马年的到来，某校进行了大型的迎新慈善义卖活动．八（1）班义卖善款1900元，八（2）班义卖善款2600元．已知1班人数是2班人数的一半多7人，且2班比1班的人均义卖款多5元．请问，1班和2班的人数各是多少人？ 【答案】1班人数是20人，2班人数是26人 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据1班人数是2班人数的一半多7人，故设2班人数是人，则1班人数是人，又因为八（1）班义卖善款1900元，八（2）班义卖善款2600元，2班比1班的人均义卖款多5元，所以得，解得（舍去），然后验根作答即可． 【详解】解：设2班人数是人，则1班人数是人， ∵八（1）班义卖善款1900元，八（2）班义卖善款2600元，2班比1班的人均义卖款多5元， ∴， 整理得， 解得（舍去）， 经检验：是原分式方程的解， ∴2班人数是26人， ∴， 则1班人数是人． 56．[25-26八年级上·上海普陀·期末]某新能源汽车的配件工厂向、两个汽车生产厂家供应某种配件，厂采购此配件的单价比厂采购此配件的单价便宜9元，如果厂采购该配件用了128万元，厂采购该配件用了272万元，两厂共采购该配件32万件，那么两个汽车生产厂家采购此配件的单价各为多少元？ 【答案】A厂采购单价为8元，B厂采购单价为17元 【分析】本题主要考查分式方程的运用，理解数量关系，正确列式求解是关键，设A厂采购单价为x元，则B厂采购单价为元，结合题意列分式方程求解即可． 【详解】解：设A厂采购单价为x元，则B厂采购单价为元， ∴， 整理得，， 解得，，（不符合题意，舍去）， 经检验，当时，原方程有意义， ∴A厂采购单价为8元，则B厂采购单价为元， 答：A厂采购单价为8元，B厂采购单价为17元． 综合攻坚·知能拔高 1．[25-26八年级上·上海普陀·期末]如果二次三项式在实数范围内不能分解因式，那么的取值范围是（   ） A．且； B．且； C．； D．． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程．二次三项式在实数范围内不能分解因式等价于对应的一元二次方程无实数根，根据判别式小于零列不等式，即可求解． 【详解】解：∵ 二次三项式在实数范围内不能分解因式， ∴ 方程无实数根， ∴ 判别式， ∴ ， 故选：C． 2．[25-26八年级上·上海金山·阶段检测]如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40米，宽为22米．停车场内车道的宽度相等，若停车位的总占地面积为544平方米．求车道的宽度（单位：米）．设停车场内车道的宽度为米，根据题意所列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由停车场的长、宽及停车场内车道的宽度，可得出停车位可合并为一个长为米，宽为米的矩形，结合停车位的占地面积为544平方米，即可列出关于的一元二次方程，即可求解． 【详解】解：设停车场内车道的宽度为米，则停车位可合并为一个长为米，宽为米的矩形， 根据题意：． 3．[25-26八年级上·上海奉贤·期末]为加快新能源汽车配套设施建设，某新能源公司原计划每日安装一定数量的充电桩．若实际每日比原计划多安装5台，则3600台充电桩的安装任务可提前10天完成．设原计划每日安装台充电桩，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的实际应用，理解题意并找到等量关系是解题关键． 由于提前10天完成，则原计划时间减去实际时间等于10天． 【详解】解：∵原计划每日安装台，实际每日安装台，总任务3600台， ∴原计划时间为天，实际时间为天， ∵ 提前10天完成， ∴． 故选：B． 4．[25-26八年级下·上海·期中]用换元法解分式方程时，如果设，将原方程化为关于的整式方程，那么这个整式方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查换元法解分式方程，将换元后的代数式代入原方程，去分母整理即可得到整式方程． 【详解】解：∵设 ∴，将其代入原方程得： 方程两边同乘（）消去分母得： 整理得： 5．[25-26八年级下·上海·阶段检测]解方程组： 【答案】， 【分析】设，则化为，解该分式方程求出或，再分类讨论求解即可． 【详解】解：设，则化为， 解得或， 当时，，代入，则， 解得； 当时，，代入，， 解得， 经检验，，都是原方程组的解， ∴原方程组的解为，． 6．[25-26八年级上·上海·期末]寒假期间，同学们将进行丰富多彩的实践性活动，并制作完成实践性小报等成果，学校计划使用一块正方形场地布展．经过计算，发现长与宽之比为的长方形场地展览效果更好，因此需要把长增加4米，宽增加1米（如图1）． (1)直接写出长方形区域的长是__________米，宽是__________米． (2)现计划将长方形区域按图2的方式进行划分，展示六～九年级成果，在各展区之间留宽度相等的过道，如果各展区的总面积为，求过道的宽度⁠． 【答案】(1)9，6(2)1米 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，分式方程的应用．熟练掌握一元二次方程的应用，分式方程的应用是解题的关键． （1）设正方形的边长为米，则米，米，依题意得，，计算求解，然后作答即可； （2）设过道的宽度为米，依题意得，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】（1）解：设正方形的边长为米，则米，米， ∵长与宽之比为， ∴， 解得，， 经检验，是原方程的解， ∴，， 故答案为：9，6． （2）解：设过道的宽度为米， 依题意得，， 解得，或（舍去）， ∴过道的宽度为1米． 2 / 24 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $