湖南省长沙市长郡教育集团2027-2026学年九年级上学期期中数学试卷

2026年秋季九年级期中限时检测试卷 数学 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．） 1．下列各数中，是无理数的是 A． B． C． D． 2．方程的解为 A． B．， C．， D．， 3．小明的平时成绩、期中成绩、期末成绩分别为85分、80分、90分，若三者的权重分别为20%、30%、50%，则小明的最终成绩为 A．85分 B．86分 C．87分 D．88分 4．下列运算中，结果正确的是 A． B． C． D． 5．把抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线是 A． B． C． D． 6．如图，与相切于点，，则 A． B． C． D． 7．如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是 A． B． C． D． 8．如图，将绕点按逆时针方向旋转至，使点落在的延长线上．已知，，则的大小是 A． B． C． D． 9．矩形的长为x，宽为y，面积为4，则y与x之间的函数关系用图象表示大致为 A． B． C． D． 10．对于二次函数，规定函数是它的相关函数．已知点，的坐标分别为，，连接，若线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则的取值范围为 A．或 B．或 C．或 D．或 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．在函数中，自变量x的取值范围是_______． 12．某校12名学生参加航空航天知识大赛，他们的得分情况如图，则得分的中位数是_______． 13．设，是一元二次方程的两个根，则_______． 14．已知圆心角为的扇形面积为，那么该扇形的半径为_______． 15．如图，是反比例函数的图象上的一点，过点分别作轴、轴的垂线，得图中阴影部分的面积为6，则这个反比例函数的比例系数是_______． 16．小华整理三叠数量相同的练习本（每叠至少3本），操作如下： 第一步：从左叠拿3本放入中间； 第二步：从右叠拿2本放入中间； 第三步：左叠现有几本，就从中间拿回几本放入左叠． 请问最终中间叠剩下的练习本数量为_______． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（6分）计算：． 18．（6分）先化简，再求值：，其中． 19．（6分）已知，两点是一次函数和反比例函数图象的两个交点． （1）求一次函数的解析式； （2）求的面积． 20．（8分）如图，在等边中，在边上，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，． （1）求证：； （2）若，，求的周长． 21．（8分）如图，为的直径，为弦，于点，连接并延长交于点，连接交于点，，连接． （1）求证:; （2）若，求和的长． 22．（9分）如图，抛物线与轴相交于点和点． （1）求抛物线的解析式、对称轴和顶点坐标； （2）在抛物线的对称轴上有一点，若是等腰三角形，直接写出点的坐标． 23．（9分）2026年国庆假期7天，长沙市共接待游客949.03万人次，旅游消费交易总额达79.01亿元，入选最热门的旅游城市Top10．国庆前夕，岳麓山景区某纪念品商店为迎接旅游高峰，准备采购两款特色文创产品——爱晚亭冰箱贴和铜官窑瓷器小摆件． （1）已知该商店用240元购进爱晚亭冰箱贴和用180元购进铜官窑瓷器小摆件的数量相同．经核算，爱晚亭冰箱贴的进货单价比铜官窑瓷器小摆件多2元，求这两种文创产品的进货单价． （2）已知爱晚亭冰箱贴的售价为每件15元，铜官窑瓷器小摆件的售价为每件12元，由于销售火爆，该商店计划追加不超过1100元的预算，再次购进这两种文创产品共150件．则该商店应如何安排进货数量，才能使销售总利润最大？并求出最大利润． 24．（10分）已知直线分别与x轴、y轴交于，两点，过，，三点作，是劣弧的中点． （1）请直接写出，，的坐标． （2）连接，点是上的一个动点，点是直线上的一个动点，当四边形的面积最大时： ①求点的坐标；②求的周长的最小值． （3）点是y轴上的一点，把沿直线翻折，使点的对应点落在边上．连接交x轴于点，交于点，连接． 以下两个结论：①；②，其中有且只有一个结论是正确的．请写出你认为正确的结论，并说明理由． 25．（10分）在平面直角坐标系中，如果二次函数的图象经过一次函数与反比例函数图象的两个不同交点，那么称这个二次函数为这两个函数的“伴生二次函数”，这两个交点称为该二次函数的“伴生点”． （1）若时，求“伴生二次函数”的解析式． （2）设“伴生二次函数”的两个“伴生点”为，，连接，，记直线，的解析式分别为，，若，且为负数，求的取值范围． （3）设“伴生二次函数”的两个“伴生点”为，． ①求证：对于任意非零实数，“伴生二次函数”的图象都经过一个异于原点的定点； ②若“伴生二次函数”的图象与轴的另一个交点为，连接，，是否存在实数，使得，，这三条线段组成一个以为斜边的直角三角形？若存在，求出的值和此时“伴生函数”的解析式． 学科网（北京）股份有限公司 $2026年秋季九年级期中限时检测试卷 数学参考答案 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 题号 2 3 4 5 6 7 8 10 答案 B 0 B ⊙ A C C C A 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11.x≤2且x≠0 12.95分 13.7 14.6 15.-6 16.8本 三、解答题 +22-1+8 17.【解析】原式9 …（4分) =2V2 (6分) x+3- 7.2x2-8x ÷ 18.【解析】 x-3x-3 2x2-8x x-3 (x+4)(x-4) x-3 x-3 2x(x-4) =x+4 2X,…… …… (3分) 1+45 当x=1时，原式2×12.… …(6分) 8【g行1轮4-42到'=贸 8 得m=2×(4)=-8,则反比例函数解析式为 = 能4到代人-8 x. 得4n=-8,解得n=2,则B点坐标为(2,4) -4k+b=2, 把4(-4,2)，B(2,-4)代入y=+b得2k+b=4, k=-1, 解得b=-2, 则一次函数解析式为y=-x-2 …(3分) (2)直线与x轴的交点为C,在y=-x-2中，令y=0,则x=-2, 即直线y=-x-2与x轴交于点C(-2,0), .0C=2 :.5A=Smuo+SAwx2x2+x2x4=6 2 2 …(6分) 20.【解析】(1)证明：△ABC是等边三角形， ∴.BA=BC.∠ABC=60°， ~将BD绕点B顺时针旋转60°得到BE, .BD=BE,∠DBE=60° .∠ABD=∠CBE=60°-∠CBD」 在△ABD和△CBE中， BA=BC, ∠ABD=∠CBE, BD=BE, ∴.△ABD≌△CBE(SAS) AD=CE…(4分) (2)解：△DCE的周长是11.5， 理由：AD=CE,AC=BC=6, .CE+CD=AD+CD=AC=6. :BD=BE,∠DBE=60° ∴.△DBE是等边三角形， .DE=BD=5.5 .DE+CE+CD=5.5+6=11.5. △DCE的周长是11.5. … (8分) 21.【解析】(1)证明：AG=CG, .∠DCA=∠CAF, CF=CF ∴.∠CAF=∠CDF .∠ACD=∠CDF ..ACIIDF (3分) (2)解：如图，连接C0, 0 D .AB⊥CD .AC=AD.CE=DE, :∠DCA=LCAF, AD=CF AC=AD=CF ∴.∠AOD=∠AOC=∠COF. DF是直径， .∠AOD=∠AOC=∠COF=60°， .OA=OC .△AOC是等边三角形， .∠CA0=60°，AC=A0=6,… (5分) .CE⊥AO、 .AE=EO=3,∠ACD=30° .CE=33=DE .AG2=GE2+AE2 .AG2=(3V3-AG)2+9 .AG=25. .GE=5 ..DG=43 综上所述：AC的长为6，GD的长为4V5 …(8分) 2.【解析】(1)~抛物线y=+bx+c与x轴相交于点A(-,0)和点B(3,0) 0=12-b+c, b=-2, 0=32+3b+C解得c=-3, 六抛物线的解析式为y=x2-2x-3」 ∴.抛物线的对称轴是直线x=1, 顶点坐标为山，-4) …（5分) (2)点P的坐标为 ,22)威±5) …（9分) 23.【解析】(1)设爱晚亭冰箱贴的进货单价为x元，根据题意可得： 240180 x-2, 解得x=8, 经检验，x=8是原方程的解且符合题意， .x-2=6 答：爱晚亭冰箱贴的进价为8元，铜官窑瓷器小摆件的进价为6元.…(4分) (2)设购进爱晚亭冰箱贴m件，根据题意可得： 8m+6(150-m)≤1100 解得m≤100 设利润为W元， 由题意得，W=(5-8)m+(12-6)(150-m)=m+900 :W随m的增大而增大， ÷当m=100时，W的值最大，大值=100+900=1000元 此时150-m=150-100=50 答：购进爱晚亭冰箱贴100件，铜官窑小摆件50件时，销售总利润最大，最大利润为1000元.··(9分) 24.【解析】1)A8,0),B(0,6).C(4,-2) …(3分) (2)①当点P在直线上方的半圆的中点时，四边形AOBP的面积最大， 连接PM,过点M作直线EM⊥x轴，过点P作PF⊥EM于点F, .∠AOB=90° AB是OM的直径， .M(4,3) 点P在直线上方的半圆的中点， .MP⊥AB, ∴.∠FMP+∠AME=90°. y个 M 0 EM⊥x轴， ∴.∠MAE+∠AME=90° ∴.∠FMP=∠MAE, 在△FMP和△EAM中， ∠F=∠AEM, ∠FMP=∠MAE, AM=PM, ∴.△FMP≌△EAM(AAS) (4分) ∴.FM=AE=4,FP=ME=3 P(7,7） …（5分) ②连接AC,:C是弧OA的中点， .∠ABC=∠OBC. :AB是⊙M的直径， ∠ACB=90°， 延长AC交y轴于点E,连接PE交BC于点卫，连接AQ,此时△MP№的周长最小， 由对称性可知，BE=AB=10, .E(0,-4) …… (6分) :.PE=V(7-0)2+(7+42=V170.PA=√7-82+(7-0=√50=52 △4P吧的周长的最小值为V170+5V2】 (7分) (3)正确的结论是：FD=CD=FM, 。。。。。。。。。 …(8分) 证法1：由折叠可知，∠OAE=∠OAE, 又：∠ABC=∠OBC, y ----- ∠ABC+∠BAE-(2AB0+∠BA0)=45 :.∠AFD=∠ABC+∠BAE=45° 又∠ACB=90°， .△ACF是等腰直角三角形， ..AC=CF, .·∠ABC=∠OBC OD OB .AD AB, OD 6 .8-OD10 .OD=3.AD=5. 在△AMF和△ADF中， AD=AM, ∠OAE=∠OAE, AF=AF, :.△AMF≌△ADF(SAS) ∴.MF=DF,∴.∠AFM=∠AFD=45° …（9分) ∴.∠MFC=∠AFD+∠AFM=90°， 又：BM=AM, .BF=CF, .AC=2FM 又：AC=CF .CF=2FM. 又MF=DF,∴.CF=2DF,.CD=DF. .FM=DF=CD …（10分) 证法2：由翻折可知：EO'⊥AB,设EO=EO=m, 由△BEA的面 SAw-BE-04-4B-OE 2 2 8 :8(6-m）=10m,解得m=3, m= 向4g01.0) 1 8 可得直线AE的解析式 y=3x+ 3」 由B(0,6),C(4,-2）,可得直线BC的解析式为y=-2x+6, x=2 联立y=-2x+6解得y=2, 即F(2,2) …………（9分） 在y=-2x+6中，当y=0时，-2x+6=0,解得x=3, D(3,0) F(2,2).D(3,0）.C(4,-2）M(4,3) .FM=DF=CD=5 …（10分） 2 x=-2,∫x= 25.【解析】(1)联立y=x+解得y=-l或y=2, 4a-2b=-1, 代入y=+bx,得a+b=2, 1 a2 3 1X+x 3 y= ∴“伴生二次函数”的解析式为 "2 …（3分) (2)设A(x,+),B(,+). r+1=2 令 x,整理得：2+x-2=0, 1 2 由韦达定理得： x+=元，= k 且△=1+8k>0,即8， +=11+1=日 xx2,即￥2 +1=k+与您1=k+日 k=- Xx. X2 x2, 1 m=k1+k2=2k+ 2, 1 <k<0 …8 1 m= 当8时， 4；当k=0时， 2 1 1 <m<。 4 …（6分) (3)设C(),D(飞y4) ①令ar2+b=c+l,即m2+(b-K)x-1=0 k-b X3+x4= 由韦达定理知： a, a. 2-e+1 飞， 2 又由x ,即ar2+x-2=0,知： k =11 k-b a=k b=kt ka,ka,即2， 性资05和〔》 变形得： 该函数图象恒过定点， 2x2+x=0 解得x=0或x=-2, 此时y=0或y=-1, .P(-2,-1) …(8分) 2k+1 x= 解得x=0或k p=W+-2-5.ow=25= 4k2+4k+1 k2 CD-V1+k+4=++8 8k3+K2+8k+1 k2 mforj-cw 4+46+L+8欢-8'+2+8张+l 时， k2 k2 4 k- 即3k2-4k=0,解得k=0或3， 4 :k>0.片k=5 4 11 ,y 2x2+6x 综上，k的值为3，此时“伴生二次函数”的解析式为36.…(10分)