湖南省长沙市长郡教育集团2027-2026学年九年级上学期期中数学试卷

2026年秋季九年级期中限时检测试卷 数 学 注意事项： 1.答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条 形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2.必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3.答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5.答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 北 6.本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分. 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在下列各题的四个 如 选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项.) 斟 1.下列各数中，是无理数的是 如 A.√16 B.-√3 C.8 製 2.方程x(x一2)=x一2的解为 ☒ A.x=1 B.x1=0,x2=1 C.x1=0,x2=2 D.x1=1,x2=2 3.小明的平时成绩、期中成绩、期末成绩分别为85分、80分、90分，若三者 舒 的权重分别为20%、30%、50%，则小明的最终成绩为 常 A.85分 B.86分 C.87分 D.88分 4.下列运算中，结果正确的是 A.2a+36-5ab B.3√a-2√a=√a C.(a+b)2=a2+ D.a2·a3=a5 5.把抛物线y=8x2向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得 到的抛物线是 剂 A.y=8(x-1)2+3 B.y=8(x+1)2-3 C.y=8(x+1)2+3 D.y=8(x-1)2-3 6.如图，PA与⊙O相切于A点，∠P=20°，则∠POA= A.20° B.35° C.70° D.140° 7.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠AOC=158°，则∠ABC 的度数是 A.749 B.79° C.101° D.106 8.如图，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转至△DEC,使点D落在BC的 延长线上.已知∠A=33°，∠B=30°，则∠ACE的大小是 A.63 B.58° C.54° D.52° 9.矩形的长为x,宽为y,面积为4，则y与x之间的函数关系用图象表示 大致为 (ax2+bx十c(x≥0)， 10.对于二次函数y=ax2十bx十c,规定函数y= 是 (-ax2-bx-c(x<0) 它的相关函数.已知点M,N的坐标分别为（一2,1，（号，1，连接 MN,若线段MN与二次函数y=一x2+4x十n的相关函数的图象有两 个公共点，则n的取值范围为 A-3<n≤-1或1<n≤号 B.-3<n<-1或1<n≤号 C≤-1或1<≤ D.-3<n<-1或n≥1 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11,在函数y=2三工中，自变量x的取值范围是 12.某校12名学生参加航空航天知识大赛，他们的得分情况如图，则得分 的中位数是 知识大赛得分情况 人数 4 93949596分数分 13.设1，x2是一元二次方程x2一2x一5=0的两个根，则x1十x2一x1x2= 14.已知圆心角为120°的扇形面积为12π，那么该扇形的半径为 15.如图，P是反比例函数y=的图象上的一点，过点P分别作x轴、y 轴的垂线，得图中阴影部分的面积为6，则这个反比例函数的比例系数 是 16.小华整理三叠数量相同的练习本（每叠至少3本），操作如下： 第一步：从左叠拿3本放人中间； 第二步：从右叠拿2本放人中间； 第三步：左叠现有几本，就从中间拿回几本放人左叠 请问最终中间叠剩下的练习本数量为 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题 8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分.解答应写出必 要的文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(6分)计算：32+8-（元-1）°+1-1十号1. 18(6分)先化简，再求值：c+3-3)÷2,其中x=1. 19.(6分)已知A(-4,2),B(n,一4)两点是一次函数y =kx十b和反比例函数y=图象的两个交点。 (1)求一次函数的解析式； (2)求△AOB的面积. B 20.(8分)如图，在等边△ABC中，D在AC边上，连接BD, 将BD绕点B顺时针旋转60得到BE,连接DE,CE. (1)求证：AD=CE; D (2)若BC=6,BD=5.5,求△DCE的周长. 21.(8分)如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，CD ⊥AB于点E,连接DO并延长交⊙O于点F, G 连接AF交CD于点G,CG=AG,连接AC E 农 (1)求证：AC∥DF; (2)若AB=12,求AC和GD的长. 22.(9分)如图，抛物线y=x2十bx十c与x轴相交于点 A(-1,0)和点B(3,0). (1)求抛物线的解析式、对称轴和顶点坐标； (2)在抛物线的对称轴上有一点P,若△POB是等腰 三角形，直接写出点P的坐标. 23.(9分)2026年国庆假期7天，长沙市共接待游客949.03万人次，旅游 消费交易总额达79.01亿元，入选最热门的旅游城市Top10.国庆前 夕，岳麓山景区某纪念品商店为迎接旅游高峰，准备采购两款特色文创 产品一爱晚亭冰箱贴和铜官窑瓷器小摆件. (1)已知该商店用240元购进爱晚亭冰箱贴和用180元购进铜官窑瓷 器小摆件的数量相同.经核算，爱晚亭冰箱贴的进货单价比铜官窑 瓷器小摆件多2元，求这两种文创产品的进货单价」 (2)已知爱晚亭冰箱贴的售价为每件15元，铜官窑瓷器小摆件的售价 为每件12元，由于销售火爆，该商店计划追加不超过1100元的预 算，再次购进这两种文创产品共150件.则该商店应如何安排进货 数量，才能使销售总利润最大？并求出最大利润. 24.(10分)已知直线)=一x十6分别与x轴y轴交于A,B两点，过A, B,O三点作⊙M,C是劣弧OA的中点 (1)请直接写出A,B,C的坐标. (2)连接BC,点P是⊙M上的一个动点，点Q是直线BC上的一个动 点，当四边形AOBP的面积最大时： ①求点P的坐标；②求△APQ的周长的最小值. (3)点E是y轴上的一点，把△AOE沿直线AE翻折，使点O的对应点 O落在AB边上.连接BC交x轴于点D,交AE于点F,连接FM 以下两个结论：①FD=FE=FM;②FD=CD=FM,其中有且只有 一个结论是正确的.请写出你认为正确的结论，并说明理由. B B B 01 M M C C 图1 图2 图3 25.(10分)在平面直角坐标系中，如果二次函数y=ax2+bx的图象经过 一次函数y=kx十1与反比例函数y=二图象的两个不同交点，那么称 这个二次函数为这两个函数的“伴生二次函数”，这两个交点称为该二 次函数的“伴生点”， (1)若=1时，求“伴生二次函数”的解析式 (2)设“伴生二次函数”的两个“伴生点”为A,B,连接OA,OB,记直线 OA,OB的解析式分别为y=k1x,y=k2x,若m=飞1十2，且飞为负 数，求m的取值范围， (3)设“伴生二次函数”的两个“伴生点”为C,D ①求证：对于任意非零实数，“伴生二次函数”的图象都经过一个 异于原点的定点P ②若“伴生二次函数”的图象与x轴的另一个交点为N,连接CD, OP,是否存在实数k(k>0),使得ON,CD,2I0OP这三条线段 5 组成一个以CD为斜边的直角三角形？若存在，求出k的值和此时 “伴生函数”的解析式 2026年秋季九年级期中限时检测试卷 数学参考答案 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 题 号 1 2 3 5 6 7 9 10 答案 B D B B C 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11.x≤2且x≠0 12.95分 13.7 14.6 15.-6 16.8本 三、解答题 17.【解析】原式=号+2厄-1+8 …(4分)》 =2√2. (6分) 18【解折1+3名3)÷2- x-3 -(号名)2 x-3 =(x+4)(x-4.。x3 x-3 2x(x-4) =x+4 2x… (3分) 当x1时，原式三2大= …(6分) 19.【解析】(1)把A(-4,2)代入y=, 得m=2X(一4)=一8，则反比例函数解析式为y=-8 把B(n,-4)代入y=-8, x 得一4n=一8，解得n=2,则B点坐标为(2，一4). 起A(-4,2),B(2,-4)代入y=x十b得一6+6=2， 2k+b=-4, 1k=-1, 解得 b=-2, 则一次函数解析式为y=一x一2.… …(3分) (2)直线与x轴的交点为C,在y=一x一2中，令y=0,则x=一2， 即直线y=一x一2与x轴交于点C(一2,0)， ∴.OC=2. “Sam=Sm+Sm=7×2X2+2×2X4=6. ……（6分) 20.【解析】(1)证明：△ABC是等边三角形， ∴.BA=BC,∠ABC=60°， ,将BD绕点B顺时针旋转60°得到BE, 九年级数学参考答案(N)一1 .BD=BE,∠DBE=60°， .∠ABD=∠CBE=60°-∠CBD, 在△ABD和△CBE中， BA=BC, ∠ABD=∠CBE, BD=BE, ∴.△ABD≌△CBE(SAS), AD=CE.… ………………(4分) (2)解：△DCE的周长是11.5， 理由：，AD=CE,AC=BC=6, ∴.CE+CD=AD+CD=AC=6, .BD=BE,∠DBE=60°， ∴△DBE是等边三角形， ∴.DE=BD=5.5, ∴.DE+CE+CD=5.5+6=11.5, △DCE的周长是11.5.…(8分） 21.【解析】(1)证明：，AG=CG, ∴.∠DCA=∠CAF, :CF-CF, ∴.∠CAF=∠CDF, .∠ACD=∠CDF, .AC/∥DF.… (3分) (2)解：如图，连接CO, ,AB⊥CD, :.AC-AD,CE-DE, ,∠DCA=∠CAF, :.AD-CF, ..AC-AD-CF, .∠AOD=∠AOC=∠COF, DF是直径， ∴.∠AOD=∠AOC=∠COF=60°， .OA=OC, ∴.△AOC是等边三角形， .∠CAO=60°，AC=AO=6,…(5分) CE⊥AO, .AE=EO=3,∠ACD=30°， ∴.CE=3√5=DE, .AG=GE2+AE, .AG=(3√5-AG)2+9, .AG=2√3， 九年级数学参考答案(N)一2 ∴.GE=√3， ∴.DG=43 综上所述：AC的长为6，GD的长为4√3. (8分) 22.【解析】(1)抛物线y=x2+bx十c与x轴相交于点A(一1,0)和点B(3,0), 10=12-b十c,解得 1b=-2, . 0=32+3b+c,c=-3, ∴.抛物线的解析式为y=x2一2x一3， .抛物线的对称轴是直线x=1,顶，点坐标为(1，一4).…(5分) (2),点P的坐标为(1，士2W2)或(1，士√5).…(9分) 23.【解析】(1)设爱晚亭冰箱贴的进货单价为x元，根据题意可得： 240_180 xx-2' 解得x=8, 经检验，x=8是原方程的解且符合题意， .x-2=6, 答：爱晚亭冰箱贴的进价为8元，铜官窑瓷器小摆件的进价为6元，… (4分) (2)设购进爱晚亭冰箱贴m件，根据题意可得： 8m十6(150-m)≤1100， 解得m≤100， 设利润为W元， 由题意得，W=(15-8)m+(12-6)(150-m)=m+900, W随m的增大而增大， .当m=100时，W的值最大，W大值=100+900=1000元， 此时150-m=150-100=50, 答：购进爱晚亭冰箱贴100件，铜官窑小摆件50件时，销售总利润最大，最大利润为1000元.…(9分) 24.【解析】(1)A(8,0),B(0,6),C(4,-2).…(3分) (2)①当，点P在直线上方的半圆的中点时，四边形AOBP的面积最大， 连接PM,过，点M作直线EM⊥x轴，过，点P作PF⊥EM于点F, ∠AOB=90°， AB是⊙M的直径， ∴.M(4,3), F- 点P在直线上方的半圆的中点， .MP⊥AB, M ∴.∠FMP+∠AME=90°， ,EM⊥x轴， E ∴.∠MAE+∠AME=90°， .∠FMP=∠MAE, 在△FMP和△EAM中， I∠F=∠AEM, ∠FMP=∠MAE, AM-PM, B ∴.△FMP≌△EAM(AAS),… (4分) ∴.FM=AE=4,FP=ME=3, .P(7,7). (5分) Q 0 ②连接AC,C是孤OA的中，点， ∴.∠ABC=∠OBC, 九年级数学参考答案(N)一3 AB是⊙M的直径， .∠ACB=90°， 延长AC交y轴于点E,连接PE交BC于，点Q,连接AQ,此时△APQ的周长最小， 由对称性可知，BE=AB=10, .E(0,-4),… …(6分) ∴PE=√(7-0)2+(7+4)=√170，PA=√(7-8)2+(7-0)2=√50=5√2， .△APQ的周长的最小值为√170十5√2.… (7分) (3)正确的结论是：FD=CD=FM,… … (8分) 证法1：由折叠可知，∠OAE=∠OAE, 又.∠ABC=∠OBC, ÷∠ABC+∠BAE-2(∠AB0+∠BAO=45, 0' .∠AFD=∠ABC+∠BAE=45°， 又.∠ACB=90°， ∴.△ACF是等腰直角三角形， 0 ∴.AC=CF, D ,∠ABC=∠OBC, 器器 g80 OD 6 .OD=3,AD=5, 在△AMF和△ADF中， (AD=AM, ∠OAE=∠OAE, AF=AF, ∴.△AMF≌△ADF(SAS), MF=DF,∠AFM=∠AFD=45°，…(9分） ∴.∠MFC=∠AFD+∠AFM-90°， 又.'BM=AM, ∴.BF=CF, ∴.AC=2FM, 又.AC=CF, ∴.CF=2FM, MF=DF,..CF=2DF,.'.CD=DF, .FM=DF=CD.…(们0分) 证法2：由翻折可知：EO⊥AB,设EO=EO=m, 由△BEA的面报SA=BE·OA=合AB·0E, ∴8(6-m)=10m,解得m=号， E(o,), 由A(8,0),E(o,), 1 8 可得直线AE的解析式为y=一3x十3， 由B(0,6),C(4,一2)，可得直线BC的解析式为y=-2x十6， 九年级数学参考答案(N)一4 8 3工+3'解得 x=2, 联立 y=-2x+6, y=2, 即F(2,2),… …(9分) 在y=一2x+6中，当y=0时，一2x十6=0，解得x=3, ∴.D(3,0), F(2,2),D(3,0),C(4,-2),M(4,3), .FM=DF=CD=√5.…(10分) 2 25.【解析】(1)联立 ’解得=一2 y= |x=1, 或 y=x+1, y=-1y=2, 4a-2b=-1, 代入y=ax2十bx,得{ a+b=2, 1 a-21 解得 3 b-2' “件生二次通数”的解新式为)司十号 …(3分） (2)设A(x1,kx+1),B(2,kx2+1), 令kx十1=兰，整理得：kr+x-2=0, 由市达定理得：十西=一君6=一号 且4=1+8>0，即>-名 =即时名 x22’ :6=红+中1=k+1,,=+中1=k十1 x ∴m=A十起=2k+日， ∴当=一名时m=当6=0时m=日 m2 (6分) (3)设C(x3,y),D(c4,y), ①令ax2+bx=kx+1,即a.x2+(b-b)x-1=0, 白韦达定理知：十五-。，=一 又由是-十1，即x+x一2=0，知：西十=一言西=一是， -是-日，名。，即a=多6-+日， -a’-k-a “件生二次函数”的解析式为y=号就+(k十号)江， 变形得：y=(分+x)+, 该函数图象恒过定点， “22+x=0,解得x=0或x=-2, 九年级数学参考答案(N)一5 此时y=0或y=一1， .P(-2,-1).… …(8分) ②令y=0,则2r+(k+2)x=0, 解得x=0或x=一 2k+1 k N(1,0). oP-vD+-2=5,0N=√(- 4k2+4k+1 k2 cn=云+-场石-1中R.-√2装五， 当0N+(2goP)‘=CD时，址++8k=+E86+, 即3张-4=0，解得6=0或专， >0=专 综上，k的位为导，此时“伴生二次函数“的解折式为=导+昌x 6x.…(10分） 九年级数学参考答案(N)一6