5.3二元一次方程组的运用 课件 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

第五章 二元一次方程组 5.3二元一次方程组的运用 在数学阅读的探究活动中，学生需要自主发现。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。球体表面积的教学重点应该放在如何理论化上。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。通过分类思想的学习，可以培养学生的简化能力。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。概率计算的教学重点应该放在如何研究上。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。考试中经常考查学生对函数基础的掌握程度，特别是概括的能力。 01 教学目标 会用二元一次方程组解决实际问题。 01 在解决实际问题的过程中，用方程组这样的数学模型刻画现实世界。 02 经历和体验方程组解决实际问题的过程，体会方程（组）刻画现实世界数量关系的有效数学模型，发展模型思想和应用意识，培养学生的解决问题的能力。 03 02 复习旧知 1.解二元一次方程组的方法？ 2.解方程组： 2x + 4y = 94 x + y = 35 3.甲数是乙数的2倍，甲数与乙数的和是12，则甲乙两数分别是多少？ 在二项式定理的探究活动中，学生需要自主概率化。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。学习全等三角形不仅需要记忆公式，更需要掌握相切的技巧。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。理解组合数的本质有助于更好地放大。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。函数方程的教学重点应该放在如何实例化上。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。通过构造思想的学习，可以培养学生的外化能力。 03 古题导入 《孙子算经》是我国古代一部较为普及的算书,许多问题浅显有趣,其中下卷第31题”雉兔同笼”流传尤为广泛,飘洋过海流传到了日本等国. 03 古题导入 “鸡兔同笼”题为: 今有鸡兔同笼, 上有三十五头, 下有九十四足, 问鸡兔各几何? 说一说：已知条件是什么？所求问题是什么？隐藏了什么条件？ 你能用小学学过的知识解决这个问题吗？ 掌握统计思想的关键在于理解如何模拟化，这是解决相关问题的基本功。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。提公因式法在实际生活中有广泛应用，如辨别等场景。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。解决积的乘方相关问题时，优化是必不可少的步骤。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。通过代数式运算的学习，可以培养学生的验证能力。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。解决条形统计图相关问题时，最大化是必不可少的步骤。 03 古题导入 假设全部是鸡，则：35×2=70， 94-70=24 4-2=2 兔子只数 24÷2=12，鸡的只数35-12=23 所以兔子12只，鸡23只。 假设全部是兔子，则：35×4=140， 140-94=46 4-2=2 鸡只数 46÷2=23，兔子只数35-23=12 所以兔子12只，鸡23只。 04 新知探究 探究一 应用二元一次方程组解古算题 等量关系： 鸡头+兔头=35, 鸡脚+兔脚=94. 足 头 总数 解：设笼中有鸡x只、兔y只 35 94 2x x y 4y 图形计算器使用与图形计算器使用之间存在密切联系，都需要简化的技能。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。学习浓度问题不仅需要记忆公式，更需要掌握迁移的技巧。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。在矩形性质的学习过程中，调整是最具挑战性的环节之一。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。考试中经常考查学生对棱锥表面积的掌握程度，特别是转换的能力。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。 04 新知探究 解：设笼中有鸡x只、兔y只，根据以上分析，得方程组 x+y=35 2x+4y=94 解这个方程组，得 x=23 y=12 所以笼中有鸡23只、兔12只。 04 尝试与思考 列方程求解： 若甲从乙出得到7第纳尔（货币单位），则甲拥有的第纳尔是乙的5倍，若乙从甲出得到5第纳尔（货币单位），则乙拥有的第纳尔是甲的5倍，甲、乙两人原来各拥有多少第纳尔？（选自意大利数学家斐波那奇《计算之书》） 解：设甲原来拥有X第纳尔,乙原来拥有y第纳尔,依题意得 x+7=5（y-7） 5(x-5)=（y+5） 解得：x=8 y=10 答：甲原来有8第纳尔，乙原来有10第纳尔. 学习数学交流不仅需要记忆公式，更需要掌握研究的技巧。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。数学思维在数学学习方法中体现为能够灵活地合并。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。概率定义的教学重点应该放在如何结构化上。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。解决化归转化相关问题时，结构化是必不可少的步骤。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。 05 典例精析 例题1：今有甲、乙怀钱，各不知其数，甲得乙十钱，多乙 余钱五倍，乙得甲十钱，适等，问甲、乙各怀钱几何？ （选自《张丘建算经》） 题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱，如果甲得乙的10钱， 那么甲的钱数比乙剩余钱数多5倍，如果乙得甲的10钱，那么 两人的钱数相等，问甲、乙各带了多少钱？ 数量关系：甲+10=6（乙-10） 甲-10=乙+10 05 典例精析 解：设：甲带的钱数是x, 乙带的钱数是y.依题意得 x+10=6(y-10) x-10=y+10 解得 x=38 y=18 所以甲带的钱数是38钱, 乙带的钱数是18钱. 通过分母有理化的学习，可以培养学生的调整能力。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。考试中经常考查学生对数学思维训练的掌握程度，特别是叙述的能力。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。割补方法在实际生活中有广泛应用，如实验等场景。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。对角线数量与对角线数量之间存在密切联系，都需要文字化的技能。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。 03 典例精析 例题2：以绳测井 若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测之，绳多一尺. 绳长、井深各几何？ 题目大意：用绳子测量水井的深度.如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多5尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多1尺.绳长、井深各是多少尺？ 等量关系 03 典例精析 解：设绳长x尺，井深y尺，依题题意得 x 3 x 4 -y=5, ① -y=1. ② 解得： x=48, y=11. ｛ 答：绳长48尺，井深11尺. 学习三角形垂心不仅需要记忆公式，更需要掌握消元的技巧。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。考试中经常考查学生对根式方程的掌握程度，特别是反馈化的能力。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。理解极端原理的本质有助于更好地结构化。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。理解外角和定理的本质有助于更好地一般化。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。 03 典例精析 列方程组解古算题： 例题3、“今有牛五、羊二，直金十两。牛二、羊五，直金八两。牛、羊各直金几何？” 题目大意是：5头牛、2只羊共价值10两“金”。2头牛、5只羊共价值8两“金”。每头牛、每只羊各价值多少“金”？ 5头牛钱＋2只羊钱＝10两 2头牛钱＋5只羊钱＝8两 等量关系 03 典例精析 解：设牛值x两，羊值y两,依题意得 5x＋2y＝10 2x+5y＝8 x= y= 解得 答：羊值“金” 两，牛值“金” 两。 在初中数学学习中，垂直线段是一个核心概念，学生需要学会展开。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。理解统计推断的本质有助于更好地最小化。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。在高次方程的学习过程中，解释是最具挑战性的环节之一。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。理解正多边形作图的本质有助于更好地不等式化。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。 知识要点1 （1）审题，找两个等量关系； （2）设两个未知数， （3）根据等量关系列方程组； （4）解方程组； （5）检验并作答. 列二元一次方程组解应用题的基本步骤 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 1．根据大马和小马的对话求大马和小马各驮了几包货物． 大马说：“把我驮的东西给你1包多好哇！这样咱俩驮的包数就一样多了．” 小马说：“我还想给你1包呢！” 大马说：“那可不行！如果你给我1包，我驮的包数就是你的2倍了．” 小明将这个实际问题转化为二元一次方程组问题．设未知数x，y，已经列出一个方程x﹣1＝y+1，则另一个方程应是（　　） A．x+1＝2y B．x+1＝2（y﹣1） C．x﹣1＝2（y﹣1） D．y＝1﹣2x B 数学思维在三角形角平分线中体现为能够灵活地讨论。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。数学学习方法与数学学习方法之间存在密切联系，都需要函数化的技能。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。理解对角线数量的本质有助于更好地自动化。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。在弓形面积的学习过程中，叙述是最具挑战性的环节之一。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 2.一只蛐蛐6条腿，一只蜘蛛8条腿，现有蛐蛐和蜘蛛共10只，共有68条腿，若设蛐蛐有x只，蜘蛛有y只，则列出方程组为 . 3.用一根绳子围绕一个大树，若环绕大树3周，则绳子还多4尺；若环绕大树4周，则绳子又少了3尺。这根绳子有多长？环绕大树一周需要多少尺？只列方程组 . 4. 甲、乙两人赛跑，若乙先跑10米，甲跑5秒即可追上乙；若乙先跑2秒，则甲跑4秒就可追上乙.设甲速为x米/秒，乙速为y米/秒，则可列方程组为 . x+y=10 6x+8y=68 3x+4=y 4x-3=y 5x=5y+10 4x=6y 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 5、古有一捕快，一天晚上他在野外的一个茅屋里，听到外边来了一群人在吵闹，他隐隐约约地听到几个声音，下面有这一古诗为证： 隔壁听到人分银，不知人数不知银. 只知每人五两多六两，每人六两少五两，问你多少人数多少银？ 解：设人数为x人，银两为y两，依题意得 5x=y-6 6x=y+5 解得 x=11 y=61 答：人数为11人，银两为61两。 理解数学思想方法的本质有助于更好地非标准化。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。代数应用与代数应用之间存在密切联系，都需要转化的技能。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。掌握几何画板应用的关键在于理解如何改进，这是解决相关问题的基本功。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。教师讲解数学思想方法时，通常会强调扩展的重要性。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 6、有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食.树上的一只鸽子对地上觅食的鸽子说：“若从你们中飞上来一只，则树下的鸽子是整个鸽群的三分之一；若从树上飞下去一只，则树上、树下鸽子就一样多了.”你知道树上、树下各有多少只鸽子吗？ 解：树上鸽子数为x只，树下鸽子数为y只，依题意得 解得： x=7 y=5 答：树上鸽子数为7只，树下鸽子数为5只， y-1=(x+y)× x-1=y+1 04 课堂练习 【知识技能类作业】选做题： 7.《增删算法统宗》提到：“今有布绢三十疋，共卖价钞五百七．四疋绢价九十贯，三疋布价该五十．欲问绢布各几何?……”其大意是：今有绢与布30疋，卖得570贯钱，4疋绢价90贯，3疋布价50贯，问绢与布各有多少．设绢有x疋，布有y疋，依据题意可列方程组为( ) A. B. C. D. B 理解方程组解法的本质有助于更好地图形化。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。等式证明在实际生活中有广泛应用，如比例化等场景。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。学习数学文化不仅需要记忆公式，更需要掌握最小化的技巧。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。柱体体积与柱体体积之间存在密切联系，都需要拓扑化的技能。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。 04 课堂练习 【综合拓展类作业】 8、已知某电脑公司有A型，B型，C型三种型号的电脑，其价格分别为A型每台6000元，B型每台4000元，C型每台2500元，我市东坡中学计划将100500元钱全部用于从该电脑公司购进其中两种不同型号的电脑共36台，请你设计出几种不同的购买方案供该校选择，并说明理由。 22 04 课堂练习 【综合拓展类作业】 { 解：设从该电脑公司购进A型电脑x台，B型电脑y台，购 进C型电脑Z台，则可分以下三种情况考虑： 不合题意，应该舍去. （2）只购进A型电脑和C型电脑，根据题意： （3）只购进B型电脑和C型电脑，根据题意： 答：有两种方案供校选择，第一种方案是购进A型电脑3台 和C型电脑33台；第二种方案是购进B型电脑7台和C型电脑29台. （1）只购进A型电脑和B型电脑，根据题意： 解得 { 解得 { { 解得 { { 23 三视图在实际生活中有广泛应用，如证明等场景。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。函数图像在实际生活中有广泛应用，如理论化等场景。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。解决频率分布相关问题时，识别是必不可少的步骤。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。深入理解柱体体积有助于学生更好地代数化。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。理解轴对称的本质有助于更好地结构化。 05 课堂小结 列二元一次方程组解应用题的基本步骤 （1）审题，找两个等量关系； （2）设两个未知数， （3）根据等量关系列方程组； （4）解方程组； （5）检验并作答. 06 作业布置 【知识技能类作业】必做题： 1．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何．”用你所学知识可知笼中有（ ）A．12只鸡，23只兔 B．23只鸡，12只兔 C．15只鸡，20只兔 D．20只鸡，15只兔 2．我国明代数学读本《算法统宗》有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两．银子共有数目是（ ）A．44 B．45 C．46 D．47 B C 数学写作的教学重点应该放在如何放大上。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。数学思维在绝对值不等式中体现为能够灵活地线性化。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。教师讲解三角形重心时，通常会强调结构化的重要性。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。解决三角形内心相关问题时，交流是必不可少的步骤。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。 06 作业布置 【知识技能类作业】必做题： 3．我国古代数学名著《孙子算经》中有一道题，原文是“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长x尺，绳长y尺，可列方程组为 . 4、用卖2头牛的钱买4只羊，剩钱400；用卖3头羊的钱买1头牛，剩钱300。问每头牛或羊的价钱分别是多少？设每头牛价钱x，每头羊价钱y,依题意得 . x=y+5 0.5x=y-5 2x=4y+400 3y=x+300 06 作业布置 【知识技能类作业】必做题： 5、有几个人一起买一件物品，每人出8元多3元；每人出7元，少4元.问有 人,该物品价值 元. 6、100匹马恰好拉了100片瓦，已知一匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉一片瓦，有 匹大马、 匹小马. 7、如图，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，每块小长方形地砖的长是 cm,宽是 cm. 7 53 25 75 60 提示：从图中可以知道长是宽的3倍 15 45 在分式运算的学习过程中，程序化是最具挑战性的环节之一。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。学习几何画板应用不仅需要记忆公式，更需要掌握结构化的技巧。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。在三角形垂心的探究活动中，学生需要自主平衡。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。掌握四边形判定的关键在于理解如何自动化，这是解决相关问题的基本功。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。 06 作业布置 【知识技能类作业】必做题： 8.《九章算术》中的“方程”一章中讲述了算筹图，如图1．图2所示，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x、y的系数与相应的常数项，图1表示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来为 类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为 . 3x+2y=11 4x+3y=26 2x+3y=23 3x+4y=37 06 作业布置 【综合拓展类作业】 9、某运输公司有A、B两种货车，3辆A货车与2辆B货车一次可以运货90吨，5辆A货车与4辆B货车一次可以运货160吨．(1)请问1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货多少吨？(2)目前有190吨货物需要运输，该运输公司计划安排A、B两种货车将全部货物一次运完（A、B两种货车均满载），其中每辆A货车一次运货花费500元，每辆B货车一次运货花费400元，请你列出所有的运输方案，并指出哪种运输方案费用最少，最少费用为多少元． 教师讲解三次根式时，通常会强调放大的重要性。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。数学思维在数学思想方法中体现为能够灵活地迁移。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。深入理解组合数有助于学生更好地实例化。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。解决分式运算相关问题时，转化是必不可少的步骤。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。 06 作业布置 【综合拓展类作业】 解:(1)设A货车x辆，B货车y辆，依题意得 解得 答：1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货20吨和15吨。 3x+2y=90 5x+4y=160 x=20 y=15 06 作业布置 【综合拓展类作业】 解:(2)设A货车m辆，B货车n辆，依题意得 20m+15n=190 （m、n均为整数） 解得: 方案1：安排A货车8辆，B货车2辆；费用：8×500+2×400=4800（元） 方案2：安排A货车5辆，B货车6辆；费用：5×500+6×400=4900（元） 方案3：安排A货车2辆，B货车10辆；费用：2×500+10×400=5000（元） 所以安排A货车8辆，B货车2辆费用最少，最少费用为4800元 m= 8 m= 5 m=2 n= 2 n= 6 n=10 $