2.1 等式性质与不等式性质 课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2.1 等式性质与不等式性质 问题导入 在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌，轻与重，不超过或不少于等.类似于这样的问题，反映在数量关系上，就是相等与不等.相等用等式表示，不等用不等式表示. 问题1：你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？ (1)某段路限速40； (2)某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白质含量应不少于2.3%； (3)三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边； (4)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. 练习 探究点一 用不等式（组）表示不等关系 例1 用不等式（组）表示下面的不等关系: （1）与 的差是非负数; 解： . （2）用一根长为的铁丝围成一个矩形,矩形的面积大于 ； 解：设矩形的长为,则它的宽为,故有 . （3）某钢铁厂要把长度为的钢管截成和 两种，要求 钢管的数量不能超过 钢管数量的3倍. 解：设截得的钢管根，截得的钢管 根, 根据题意得 课 中 探 究 4 新知探索 实际上，在初中我们已经通过具体实例归纳出了一些不等式的性质.那么，这些性质为什么是正确的？还有其他不等式的性质吗？回答这些问题要用到关于两个实数大小关系的基本事实. 由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系：如图，设是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是.那么，当点在点的左边时，；当点在点右边时，. 新知探索 关于实数大小的比较，有下列基本事实： 如果是正数，那么；如果等于，那么；如果是负数，那么.反过来也对. 这个基本事实可以表示为: ; ; 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与的大小. 例析 例1.比较和的大小. 解：∵ ∴ 这里，我们借助多项式减法运算，得出了一个明显大于0的数(式).这是解决不等式问题的常用方法. 0是正数与负数的分界点，它为实数比较大小提供了“标杆”. 练习 探究点二 比较两个数（式）的大小 例2（1） 已知，，均为实数，比较与 的 大小. 解：因为，当且仅当 且 时取等号,所以 . 课 中 探 究 9 （2）已知,比较与 的大小. 解：方法一：， ，，， ， ， ． 方法二：， ，， ， ， 又，，因此 . 课 中 探 究 10 新知探索 等式有下面的基本性质： 性质1(对称性) 如果，那么； 性质2(传递性) 如果，,那么； 性质3(可加性) 如果，那么； 性质4(可乘性) 如果，那么； 性质5(可除性) 如果，那么 可以发现，性质1,2反映了相等关系自身的性质，性质3,4,5是从运算的角度提出的，反映了等式在运算中保持的不变性. 思考1：请同学们先梳理等式的基本性质，在观察他们的共性，你能归纳一下发现等式基本性质的方法吗？ 新知探索 思考2：类比等式的基本性质，你能猜想不等式的基本性质，并加以证明吗？ 类比等式的性质1,2，可以猜想不等式有如下性质： 性质1(对称性) 如果，那么；如果，那么即 性质2(传递性) 如果，,那么即 ， 我们来证明性质2： 由两个实数大小关系的基本事实知 新知探索 类比等式的性质3—5，可以猜想不等式还有如下性质： 性质3(可加性) 如果，那么 这就是说，不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向. 如图，把数轴上的两个点与同时沿相同方向移动相等的距离，得到另两个点与，与和与的左右位置关系不会改变.用不等式的语言表示，就是上述性质3. 由性质3可得， 这表明，不等式中任何一项可以改变符号后移到不等号的另一边. 新知探索 性质4(可乘性) 如果，那么如果，那么 这就是说，不等式的两边同乘一个正数，所得不等式与原不等式同向；不等式的两边同乘一个负数，所得不等式与原不等式反向. 性质5(同向可加性) 如果，那么 事实上，由和性质3，得；由和性质3，得.再根据性质2，即得 性质5(同向同正可乘性) 如果，那么 性质5(同乘方性) 如果，那么 实数大小关系的基本事实和不等式的性质是解决不等式问题的基本依据. 练习 探究点一 利用不等式性质比较大小 例1（1） 若 ，则下列不等式不成立的是( ) D A. B. C. D. [解析] 因为，所以，， ， ，所以； ，所以； ，所以； ，所以 .故选D. 课 中 探 究 16 （2）（多选题）下列说法正确的是( ) AD A.若，则 B.若,,则 C.若，，则 D.若，则 课 中 探 究 17 [解析] 对于A，，，， ， ，,故A正确； 对于B，当，， ，时，满足，, 但此时，， ,故B错误； 对于C，当，，时，满足， ，但此时， ，，故C错误； 对于D，， ，，， ， 由不等式的同向可加性，可得，故D正确．故选 ． 课 中 探 究 18 变式（1） （多选题）[2024·浙江台州八校联盟高一期中] 已知 , , ，则下列选项正确的是( ) ACD A. B. C. D. [解析] ,,,. 对于选项A，,， 由不等式的性质得，故选项A正确； 对于选项B， ，，又， 由不等式的性质得 ，故选项B错误； 对于选项C，， 由不等式的性质得 ，故选项C正确； 对于选项D，，， 又， 由不等式的性质得 ，故选项D正确.故选 . 课 中 探 究 19 （2）已知四个条件:;;; .其中 能推出 的是________.（填序号） ①②④ [解析] 易知 ，所以①②④正确. 课 中 探 究 20 练习 探究点三 利用不等式的性质求代数式范围 例3 设，，求，， 的取值范围. 解:， ， ，，， ， ，， . 课 中 探 究 22 变式（1） 已知，，则 的取值范围为_____________ _______， 的取值范围为__________. [解析] 由，得, 由,得 ，. 由,得,则 , 又, . 课 中 探 究 23 （2）[2024·安徽铜陵一中高一月考] 已知, ，则 的最小值为___，最大值为___. 4 8 [解析] 设 ， 则解得 因为, ,所以， 即，所以 的最小值为4，最大值为8. 课 中 探 究 24 例析 例2.已知，求证 证明：∵ ∴ 于是， 即 由得 练习 探究点二 利用不等式的性质证明不等式 例2 已知，，，求证： . 证明：，，， . ， . 课 中 探 究 27 变式（1） 已知，求证： . 证明：，即,，，则 . （2）已知,,，求证： . 证明：,， 又， , ,， 又 ，， . 课 中 探 究 28 $