1.2 利用函数性质判定方程解的存在性课件-2026-2027学年上学期高一数学北师大版必修第一册

利用函数性质判定方程解的存在性 1 我们已经学过一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程，它们有相应的求解公式，并掌握了这些方程的求解方法。而实际上，绝大部分方程没有求解公式. 情境导入 请大家看到以下的引例1： 2 引例1 求下列两个方程的根: 情境导入 （2）方程的根是很难求解的. 解：（1）解法一：通过因式分解后可化为 解得 解法二：由求根公式 解得 . . 为了解决这类问题.我们今天来学习利用函数的性质判断方程解的存在性。 3 分析下面的引例2： 新知探究（一） 引例2 从函数的角度判定方程 实数根的存在性. 解：做出函数 的图象,并观察函数图象 的图象与轴交点的横坐标 函数 4 零点的定义： 新知探究（一） 使得的实数称为方程的解， 也称为函数的零点. 的零点就是函数 的图象与轴交点的横坐标. 例如:的零点为 . -2 , 3 5 函数 有零点 函数零点与方程解的关系 方程 有实数解 函数 的图象与 轴有公共点 新知探究（一） 6 分析下面的引例2： 新知探究（一） 引例2 从函数的角度判定方程 实数根的存在性. 解：做出函数的图象, 并观察函数图象 容易得出，它的图象是开口向上的抛物线， 且 7 同理，在区间内也必有一点，使,因此，方程有两个不相等的实数根． 由于函数的图象是连续的曲线，因此点与点之间的那部分曲线必然穿过轴，即在开区间内必有一点 ，使； 新知探究（一） 8 若函数在闭区间上的图象是一条连续不断的曲线，并且在区间端点的函数值一正一负，即，则在开区间内，函数至少有一个零点，即在区间内相应的方程至少有一个解. 零点存在定理： 新知探究（二） 9 函数图象与轴无交点,函数没有零点. b y 0 x a (1) 先观察以下的3个图象： 新知探究（二） 函数图象断开不连续 x y O (2) x O y (3) 函数图象连续不断 函数图象与轴无交点,函数没有零点. 10 (4) y 0 x a b (5) y 0 x a b 函数图象连续不断, <0 函数与轴有交点,函数有零点,但是零点个数不唯一. 再观察以下的2个图象： 新知探究（二） 定理只说明零点存在， 并不能确定零点个数 11 利用零点存在定理判断函数 在区间内 有零点的前提条件有两个： ① 在区间 上的图象是一条连续曲线； ② . 新知探究（二） 这两个条件缺一不可 12 若 ，则方程 在区间 一定没有解吗？ 不一定 定理形成与理解 【问题】 13 x y O 若函数 在闭区间 上图象连续，则 方程 在区间 内有解 即 是方程 在区间 内 有解的充分不必要条件． 定理的形成与理解 函数图象连续不断,显然 但是函数图象与轴有交点，故方程有解 14 例1 方程 在区间 内有没有解？为什么？ 又因为函数 的图象是一条连续的曲线，所以由零点存在定理可知方程 在区间内有解，即在区间内有解，故方程 在区间内有解． 例题巩固 解：设函数 ，在区间 上有 ，． 15 例题巩固 例2 判定方程 有两个不相等的实数根，且一个根大于，另一个根小于 ． 画出函数 的图象， 如图：观察得， 解：设函数 ， 显然有 ． ， ． 16 在区间，内,分别应用零点存在定理，可知在区间，内，一元二次方程 各有一个实数根． 所以方程 有两个不相等的实数根，且一个根大于，另一个根小于． 例题巩固 17 例3 如图,对于四边形ABCD,是否存在可将它分两个面积相等部分的直线? 若存在,有多少条满足条件的直线？请说明理由. 解：建立如下图所示的平面直角坐标系，作垂直于轴的直线,将四边形ABCD分为两部分，记直线左侧(阴影部分)的面积为,四边形ABCD的面积为.则直线右侧剩余部分面积为 . 例题巩固 18 设,函数在上的图象是一条连续的曲线. 因为 由函数的零点存在定理可知,一定存在, 使，即. 此时 ,即存在一条可将四边形ABCD分 成两个面积相等部分的直线. 例题巩固 19 若以顶点C为中心点将四边形ABCD逆时针旋转，每旋转 一个角度θ，利用类似上面的方法，在同一个平面直角 坐标系中，可得到垂直于轴的直线将四边形ABCD分 为面积相等的两部分.由于有无穷多个不同的θ值，因此 存在无数条可将四边形ABCD分成两个面积相等部分的直线. 例题巩固 20 课堂小结 1.一个关系：函数零点与方程根的关系； 2.两种思想：函数与方程思想、数形结合思想； 3.三种题型：求函数零点、判断零点所在区间、求零点个数． 通过本节课的学习，你有什么收获？ 21 课后练习 1.基础题 完成课本132页的练习第1,2,3题 2.拓展题 完成课本135页的习题5-1A组第2 题;B组第1题. 22 谢谢聆听 23 $