第三章 图形的相似（单元自测）数学新教材北师大版九年级上册

第三章 图形的相似 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．如图，使成立的条件是（ ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，则它们位似中心的坐标为（ ） A． B． C． D． 3．如图，与位似，位似中心是点，且，若的周长为8，则的周长为（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 4．在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为原点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A． B． C． D． 5．下列选项中属于位似图形的是（ ） A． B． C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，与位似，则下列对两位同学说法的判断正确的是（ ）． 嘉嘉：与的相似比为． 淇淇：位似中心为． A．只有嘉嘉正确 B．只有淇淇正确 C．两人都正确 D．两人都不正确 7．如图，在中，，，，点P从点C出发，以的速度沿着向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以的速度沿着向点C匀速运动，当一个点到终点时，另一个点随之停止．经过（ ）s后，与相似． A． B．或 C．或 D．或 8．如图，已知，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定的是（ ） A． B． C． D． 9．如图，在中，点D，E分别在边AB，AC上，添加一个条件仍不能判定与相似的是（ ） A． B． C． D． 10．满足下列条件，能判定和相似的一组是（ ） A．，，，，， B．，，，，， C．，，，，， D．，，， 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 11．已知与是位似图形，且与的相似比是．若的面积是，则的面积是________． 12．如图，在平面直角坐标系中，和是以坐标原点为位似中心的位似图形，点、的坐标分别为若点的坐标为，则点的坐标为________． 13．如图，已知，若，，，则的长为________． 14．如图，五边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，，若的长为3，则的长为________． 15．如图，利用标杆测量建筑物的高度．已知标杆高，测得，则建筑物的高是________． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 75 分） 16．（9分）如图，在直角坐标系中，作出五边形的位似图形，使得新图形与原图形对应线段的比为，位似中心是坐标原点． 17．（9分）如图，在平面直角坐标系中， （1）画出一个以点为位似中心的图形，使与的位似比为2∶1； （2）在第三象限内，以原点为位似中心，画出，使与的位似比为1∶1； （3）与的周长比为________． 18．（9分）如图，在中，，垂足为． （1）这四条线段是否是成比例线段？请说明理由． （2）在图中还能找出成比例的其他四条线段吗（线段可以重复）？若有，请写出一种情况，并说明理由． 19．（9分）如图，四边形为正方形，是中点，在上，，那么请判断与是否相似，并写出你的理由． 20．（9分）如图，在和中，，． （1）求证：． （2）若，，求的长． 21．（10分）如图，直线，直线分别交、、于点A、B、C，直线DF分别交、、于点D、E、F．若，，，求线段长． 22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是． （1）在图①中，以点为位似中心，画出的位似图形，使与其相似比为； （2）在图②中线段上画一个点，使． 23．（10分）如图，正方形的边长为3，、为线段上两动点（不与，点重合），且． （1）求证：； （2）试说明无论点，在线段上怎样运动，总有； （3）如图2，过点，分别作，的垂线相交于点，垂足分别为，，求的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 图形的相似 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．如图，使成立的条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题重点考查相似三角形的判定，正确理解和运用相似三角形的判定定理是解题的关键．因为，则和只有一组对应角相等，所以不能判定和相似，可判断A不符合题意；由于不是和的对应角相等，则和只有与∠A这一组对应角相等，所以不能判定和相似，可判断B不符合题意；由，，可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明，可判断C符合题意；因为，，不符合“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”这一判定定理的条件，不能判定和相似，可判断D不符合题意，于是得到问题的答案． 【解析】∵，和只有一组对应角相等， ∴不能判定和相似， 故A不符合题意； ∵不是和的对应角相等， ∴和只有与这一组对应角相等， ∴不能判定和相似， 故B不符合题意； ∵，， ∴， 故C符合题意； ∵，，不符合“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”这一判定定理的条件， ∴由，，不能判定和相似， 故D不符合题意， 故选C． 2．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，则它们位似中心的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，交于点G，确定位似中心，然后求出坐标即可． 【解析】如图，连接，交于点G， ∴点G为它们的位似中心，坐标为．故选B． 3．如图，与位似，位似中心是点，且，若的周长为8，则的周长为（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了位似图形的概念，相似三角形的判定与性质，根据位似图形的概念得到，，接着证明，求得与相似比为，然后根据位似图形的周长之比等于相似比即可求解． 【解析】与位似，位似中心是点， ，， ， ， ， 与相似比为， 的周长为8， 则的周长为． 故选A． 4．在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为原点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键． 根据点A与点的坐标求出相似比，再根据位似变换的性质计算即可． 【解析】∵与是位似图形，位似中心为原点，点的对应点为， ∴与的相似比为， ∵B点的坐标为， ∴B点的对应点的坐标为，即． 故选A 5．下列选项中属于位似图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】A、不属于位似图形，故本选项不符合题意； B、属于位似图形，故本选项符合题意； C、不属于位似图形，故本选项不符合题意； D、不属于位似图形，故本选项不符合题意．故选B． 6．如图，在平面直角坐标系中，与位似，则下列对两位同学说法的判断正确的是（ ）． 嘉嘉：与的相似比为． 淇淇：位似中心为． A．只有嘉嘉正确 B．只有淇淇正确 C．两人都正确 D．两人都不正确 【答案】A 【分析】本题考查位似中心的判断，位似比的计算，熟练掌握相关知识是关键． 根据位似的性质判断对应点和对应边，结合网格可计算出相似比，进而验证嘉嘉的说法；对应点所在的直线的交点即为位似中心，作图找到位似中心并判断坐标，即可验证淇淇的说法． 【解析】∵位似图形对应边平行或在同一直线上， ∴， 由图可知，，， ∴相似比为，故嘉嘉正确； 如图，连接、交于点，则点即为位似中心， 由图可知，点的坐标不是，故淇淇错误． 故选A． 7．如图，在中，，，，点P从点C出发，以的速度沿着向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以的速度沿着向点C匀速运动，当一个点到终点时，另一个点随之停止．经过（ ）s后，与相似． A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形对应边成比例是解题的关键．设经过秒后两三角形相似，分两种情况分别计算，①若，得，②若，得，代入用表示的线段计算即可． 【解析】设经过秒后与相似， ∵， 若， 则需， ， 解得； ， 则需， ， 解得， 经过秒或秒，与相似． 故答案为或．故选C． 8．如图，已知，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知条件可推导出，即两个三角形有一组对应角相等，再结合相似三角形的判定定理（两角分别相等或两边成比例且夹角相等）逐项判断即可． 【解析】∵ ∴ ∴ 对于A，若，结合，根据两边成比例且夹角相等可判定； 对于B，若，结合，根据两角分别相等可判定； 对于C，若，此时对应边的比例关系中，已知相等的角与不是这两组对应边的夹角，无法判定； 对于D，若，结合，根据两角分别相等可判定．故选C． 9．如图，在中，点D，E分别在边AB，AC上，添加一个条件仍不能判定与相似的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵， ∴A、添加，根据“两角相等的两个三角形相似”可以得到，选项不符合题意； B、添加，得到，根据“两角相等的两个三角形相似”可以得到，选项不符合题意； C、添加，根据“两组边对应成比例及夹角相等的两个三角形相似”可以得到，选项不符合题意； D、添加，不能判定与相似，选项符合题意．故选D． 10．满足下列条件，能判定和相似的一组是（ ） A．，，，，， B．，，，，， C．，，，，， D．，，， 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理（三边对应成比例、两边对应成比例且夹角相等、两角对应相等），逐项验证即可得到结论. 【解析】A、∵，，， ∴，不能判定相似，故A不符合题意. B、∵，，， ∴三边对应不成比例，不能判定相似，故B不符合题意. C、∵，，，但相等的角不是两组边的夹角，不满足判定条件，不能判定相似，故C不符合题意. D、∵在中，，， ∴， ∴，， ∴两角对应相等，可判定，故D符合题意.故选D． 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 11．已知与是位似图形，且与的相似比是．若的面积是，则的面积是________． 【答案】12 【分析】根据位似图形的概念得到，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算． 【解析】∵与是位似图形， ∴， ∵与的相似比是1：2， ∴的面积：的面积=1：4， ∵的面积是3， ∴的面积是12，故答案为12． 12．如图，在平面直角坐标系中，和是以坐标原点为位似中心的位似图形，点、的坐标分别为若点的坐标为，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】根据位似比等于相似比，原点为位似中心，利用、的横纵坐标之比等于、的坐标之比即可求得答案． 【解析】点、的坐标分别为，点的坐标为， 设点的坐标为， 则， 解得， （2）．故答案为$\left(10,12\right)$． 13．如图，已知，若，，，则的长为________． 【答案】 4 【分析】过点作交于点，交于点，利用平行四边形性质和相似三角形性质求解． 【解析】过点作交于点，交于点， ，， 四边形和四边形均为平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ．故答案为4． 14．如图，五边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，，若的长为3，则的长为________． 【答案】 【分析】根据A，的坐标求出与的长，从而确定位似比，利用位似图形对应边成比例即可求出的长． 【解析】点A，的坐标分别为，， ，， 五边形，的相似比为：， ， ．故答案为$\frac{9}{2}$． 15．如图，利用标杆测量建筑物的高度．已知标杆高，测得，则建筑物的高是________． 【答案】 【分析】直接利用相似三角形的性质列出方程，解方程即可． 【解析】， ， ， ， ， ， ．故答案为$10.5\mathrm{m}$． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 75 分） 16．（9分）如图，在直角坐标系中，作出五边形的位似图形，使得新图形与原图形对应线段的比为，位似中心是坐标原点． 【答案】如图所示： 【分析】先读出原五边形各顶点坐标，位似中心在原点，位似比为，将每个点横纵坐标同时乘，依次描点连线画出图形． 【解析】∵使得新图形与原图形对应线段的比为， ∴新图形各顶点坐标都在原图形的基础上扩大倍． 如图所示： 17．（9分）如图，在平面直角坐标系中， （1）画出一个以点为位似中心的图形，使与的位似比为2∶1； （2）在第三象限内，以原点为位似中心，画出，使与的位似比为1∶1； （3）与的周长比为________． 【答案】（1） 即为所求； （2） 如图，即为所求； （3） 【分析】本题考查了位似图形的画法与位似图形的性质，解题的关键是掌握位似图形的作图方法及相似图形的周长比与位似比的关系． （1）以点为位似中心，按位似比确定的位置并画图； （2）以原点为位似中心，在第三象限按位似比确定的位置并画图； （3）利用位似图形的周长比等于位似比计算比值． 【解析】（1）略 （2）略 （3）解：∵与的位似比为， ∴与的相似比为， ∴与的周长比为． 故答案为． 18．（9分）如图，在中，，垂足为． （1）这四条线段是否是成比例线段？请说明理由． （2）在图中还能找出成比例的其他四条线段吗（线段可以重复）？若有，请写出一种情况，并说明理由． 【答案】（1）这四条线段是成比例线段 （2） 有，这四条线段是成比例线段． 理由：在Rt中，， 由勾股定理，得， 由（1）可知， ． 在Rt中，， 由勾股定理，得， ， ， 即这四条线段是成比例线段． 【分析】根据可得，根据比例线段的概念即可判断； 类似上述同样的方法判断与是否成比例即可. 【解析】这四条线段是成比例线段． 在Rt中，， 即这四条线段是成比例线段． 略 【点睛】本题考查了比例线段，解题的关键是掌握直角三角形面积的不同表达式及比例线段的概念. 19．（9分）如图，四边形为正方形，是中点，在上，，那么请判断与是否相似，并写出你的理由． 【答案】与相似，理由略 【分析】设正方形的边长为，根据已知条件分别表示出、、，然后求出、的值，最后利用两边对应成比例且其夹角相等证相似即可． 【解析】与相似，理由如下： 设正方形的边长为， 是中点， ， ， ，， ， ， 又， ． 20．（9分）如图，在和中，，． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：， ， 即， 又， ， ； （2） 【分析】（1）由，可得出，结合得出，可证出； （2）由，利用相似三角形的性质可得出，结合，可求出的长． 【解析】（1）略 （2）解：， ， ， ， ， ． 21．（10分）如图，直线，直线分别交、、于点A、B、C，直线DF分别交、、于点D、E、F．若，，，求线段长． 【答案】 【解析】∵，，，， ∴，即， 解得， ∴． 22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是． （1）在图①中，以点为位似中心，画出的位似图形，使与其相似比为； （2）在图②中线段上画一个点，使． 【答案】（1）如图所示： 和即为所求； （2）如图所示： 点即为所求． 【分析】（1）由位似图形的性质求出位似三角形的顶点坐标，连接三个顶点即可； （2）取格点，连接，交于点，连接，此时，由相似三角形的性质即可得到． 【解析】（1）解：与的相似比为，点为位似中心， 分两种情况： 当两个三角形在点同侧时，令要作的位似图形为， 三个顶点的坐标分别是， 取中点，连接得到， ， 与的相似比为； 当两个三角形在点异侧时，令要作的位似图形为， 作关于点的对称点，连接得到， ， 与的相似比为； （2）解：由图可知，，且， ． 23．（10分）如图，正方形的边长为3，、为线段上两动点（不与，点重合），且． （1）求证：； （2）试说明无论点，在线段上怎样运动，总有； （3）如图2，过点，分别作，的垂线相交于点，垂足分别为，，求的值． 【答案】（1） 证明：四边形为正方形， ， ， （同角）， ． （2） 解：， ，则， 同理可证， ，则， ． （3） 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，平行线分线段成比例，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质是解题关键． （1）根据三角形相似的判定定理：有两角对应相等的两三角形相似，即可求证． （2）利用三角形相似的性质（对应边成比例），即可求证．由，得对应边成比例，通过边的代换即可． （3）先证明得对应边的比，再利用平行线分线段成比例（ ）结合线段的等量关系即可求解． 【解析】（1）略 （2）略 （3）， ， ， ， ，则， ， ， ， 正方形的边长为3， ， ， ， ， ， ， 已知过点，分别作，的垂线， ， 四边形是矩形， ，， ． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $