第1章 一元二次方程（单元自测）2026-2027学年数学新教材苏科版九年级上册

第1章 一元二次方程 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．一元二次方程的根的情况是（ ） A．无实数根 B．有两个相等实数根 C．有两不相等实数根 D．无法判断 【答案】C 【分析】本题考查根的判别式，求出判别式的符号，进行判断即可． 【解析】∵， ∴， ∴方程有两不相等实数根； 故选C． 2．小聪解决了一道拓展题，并把解法教会了名同学，然后所有会做该题的每名同学又各自教会了名同学，这样全班共有人会做该题，则可列方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程．设每名同学各自教会了名同学，根据全班共有人会做该题，再根据题意列出关于x的一元二次方程即可． 【解析】设每名同学各自教会了名同学， 根据题意得：． 故选B． 3．某省大力推进新能源汽车充电桩建设，助力绿色交通发展．截至2025年底，全省公共充电桩总数量已从2023年底的15万个增长至万个．设全省公共充电桩数量的年平均增长率为，则可列方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的应用，涉及年平均增长率的计算，从2023年底到2025年底经过两年，根据年平均增长率的增长模型列方程即可． 【解析】∵2023年底全省公共充电桩数量为万个，年平均增长率为， ∴2024年底的数量为万个， ∴2025年底的数量为万个， 又∵2025年底数量为万个， ∴可列方程：， 故选D． 4．某商品经过两次降价，由每件100元降到每件81元，设平均每次降价的百分率为x，则可列方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据降价的百分率来表示每次降价后的价格． 【解析】已知商品原价为元，平均每次降价的百分率为， 第一次降价后元， 第二次降价后的价格为元， 所以可列方程为．故选B． 5．某同学尝试借助人工智能辅助学习，对话如图所示，该人工智能程序经过思考后给出的正确答案是（ ） A．存在，这个数是 B．存在，这个数是2 C．存在，这个数是 D．不存在 【答案】A 【分析】设这个数为 ，根据“平方加3倍等于相反数减4”列出关于 的一元二次方程，求解即可． 【解析】设这个数为， 根据题意得， 移项、合并同类项得， 配方得， 解得， ∴存在这样的数，这个数是．故选A． 6．某厂八月份生产某机器120台，计划九、十月份共生产280台．设九、十月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意直接列方程即可． 【解析】设九、十月份每月的平均增长率为x， 根据题意得：．故选B． 7．对于一元二次方程（，，为常数，且），下列条件：①；②；③．若只添加一个条件就可以判定方程有实数根，则所有正确条件的序号是（ ） A．① B．①③ C．②③ D．①② 【答案】B 【分析】将各条件转化为与的关系，代入判别式判断符号，不能直接推导的举反例排除． 【解析】一元二次方程（ ）有实数根的条件是， ① 若，则，代入得， ∴方程有实数根，①符合要求； ② 若，取，，，满足，此时，方程无实数根，②不符合要求； ③ 若，则，代入得， ∵， ∴， 又， ∴，方程有实数根，③符合要求； 综上，正确条件为①③．故选B． 8．若关于x的一元二次方程的一个根是，则a的值为（ ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】结合方程的根的定义与一元二次方程二次项系数不为0的条件求解． 【解析】∵ 该方程是一元二次方程． ∴ ，即． 把代入． 得． 解得或． ∵． ∴ ．故选A． 9．已知，是方程的两个实数根，且，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将变形为含两根和与两根积的形式，结合根与系数的关系列方程求解，再检验判别式． 【解析】由根与系数的关系，得，． ∵ ，且， ∴ ， 整理得， 解得， ∵恒成立， ∴原方程总有两个实数根， ∴符合条件．故选C． 10．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】需同时满足一元二次方程二次项系数不为0与根的判别式非负两个条件． 【解析】∵关于的方程是一元二次方程， ∴， ∵方程有实数根， ∴，即，解得， 综上：的取值范围是且．故选D． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11．方程有相等的两个实数根，则________． 【答案】 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据题意得，然后解关于c的方程即可． 【解析】根据题意得， 解得：， 故答案为 12．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出答案． 【解析】关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：．故答案为$k\leq 3$． 13．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的判别式大于0列出不等式，解不等式即可． 【解析】∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴这个方程根的判别式， 解得．故答案为$k< 1$． 14．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则________． 【答案】4 【分析】由一元二次方程有两个相等的实数根，可得根的判别式等于0，整理变形后即可求出的值． 【解析】∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴ ∴ ∵， ∴．故答案为4． 15．若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是________． 【答案】且 【分析】根据一元二次方程有实数根可得判别式大于等于0，且二次项系数不为0，据此求解即可． 【解析】∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴且， ∴且．故答案为且． 16．如图，若线段将边长为6、8、的三个正方形组成的图形分成面积相等的两部分，则________． 【答案】2或6 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、三角形的面积等知识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 延长相交于点，则是直角三角形，根据线段将边长为6、8、的三个正方形组成的图形分成面积相等的两部分，列出一元二次方程，解方程即可． 【解析】如图，延长相交于点， 则是直角三角形， 由题意得：， 整理得：， 解得：， ∴m为2或6， 故答案为2或6． 三、解答题（本大题共 9 小题，每小题 8 分，共 72 分） 17．（8分）九年级举办了乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（即每位参赛者与其他参赛者各比赛1场），嘉嘉说：“本次比赛一共进行了40场．”淇淇说：“你说的不对，按这个赛制不应该是40场．”设有x人报名参加比赛． （1）依据两人对话，乐乐列出方程：．请用乐乐所列方程分析淇淇的说法是否正确； （2）赛后经查询发现，因为有一人身体不适，参与4场比赛后中途退赛，所以比赛才进行了40场，求x的值． 【答案】（1）正确 （2）10 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意是解答的关键． （1）设有人报名参赛，根据题意列方程，然后解方程，根据方程根的情况可得结论； （2）结合设有人报名参赛，有一人比赛了4场后退出比赛，由题意，整理并求解即可． 【解析】（1）解：依题意，， ∴， 整理得 解得，不为整数， ∴方程的解不符合实际，按这个赛制不应该是40场， 故淇淇的说法是正确， （2）解：∵有一人比赛了4场后退出比赛， 由题意得， 整理得， ∴， 解得（舍去）， ∴x的值为． 18．（8分）水果店销售某种水果，每千克可以获利20元，平均每天可售出100千克，若每千克的售价每降低1元，平均每天的销售量可增加10千克，水果店要确保平均每天获利2240元，且尽快减少水果的库存量，每千克的售价应降低多少元？ 【答案】6 【分析】本题考查了营销问题(一元二次方程的应用)，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程． 设每千克水果应降价x元，根据题意列出一元二次方程求解． 【解析】设每千克水果应降价x元． 根据题意，得． 解得：，． 因为尽快减少水果的库存量， 所以每千克水果应降价6元． 19．（8分）某农场有一块空地，空地上有一面长为10米的围墙，现利用围墙和木栏围出一块矩形菜地，菜地左右两边各开一扇宽为1米的门．已知木栏总长为30米，左右两边的门均不消耗木栏． （1）如图①，当时，若围成的菜地面积为96平方米，求的长； （2）如图②，当时，围成的菜地面积能否达到121平方米？如果能，说明围法；如果不能，说明理由． 【答案】（1） （2）解：不可以，理由如下， 当时，， 根据题意得，， 整理得， ∵， ∴方程无实数根， ∴围成的菜地面积不可以达到平方米． 【分析】（1）设长为米，则，根据求出，然后根据面积公式列出方程求解即可； （2）根据面积公式列出方程，再根据一元二次方程根的判别式求解即可． 【解析】（1）解：设长为米，则， 由题意得， 解得； ∵围成的菜地面积为平方米， ∴， 整理得， 解得，（舍去）， ∴的长为米； （2）略 20．（8分）如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，若两点同时出发，当点运动到点时，两点同时停止运动．求： （1）几秒后，的面积等于? （2）的面积能否等于?说明理由． 【答案】（1）1 秒，2 秒 （2）不能，理由如下： 的总面积：， 在内部，其面积一定小于或等于，， 面积不可能达到． 【分析】（1）设运动时间为秒，写出与的代数式，利用直角三角形面积公式列出一元二次方程，解方程并检验在范围内，得到 1 秒和 2 秒． （2）先算出大三角形面积只有，小于，说明面积不可能等于． 【解析】（1）解： 从到总时间：秒， ． 运动秒后：，，． ， ． 即 解得 ，． 检验：， 都满足 ，符合题意． 答： 1 秒和 2 秒后，面积等于． （2）略． 21．（8分）甲、乙两架无人机均保持相同的飞行高度做匀速直线运动：甲无人机沿自南向北方向飞行，速度为，恰好经过A点的正上方；乙无人机沿自西向东方向飞行，速度为，恰好经过A点的正上方．何时两架无人机相距？ 【答案】 或时，两架无人机相距 【分析】根据两机的运动方向与速度，结合勾股定理列一元二次方程求解时刻． 【解析】设从开始经过秒，两架无人机相距， 甲机沿正北方向匀速飞行，秒后与A点的水平距离为， 乙机沿正东方向匀速飞行，（即 ）时经过A点正上方， ∴秒后乙机与A点的水平距离为， 由勾股定理得： ， 整理得：， 解得， 经检验，两个解均符合实际意义 答：或时，两架无人机相距． 22．（8分）实验中学九（1）班计划组织同学们利用秋假参加研学活动，某旅行社收费标准如下：若研学人数不超过30人，收费标准为400元/人；若超过30人，每增加1人，每人费用减少5元，但每人不低于280元．若九（1）班共有人参加研学活动． （1）当时，共应支付给旅行社________元的费用； （2）若共支付14000元的费用，求参加研学的同学人数． 【答案】（1）12705 （2）40人 【分析】（1）根据题意，先求出每个人应支付的费用，乘以总人数即可求出答案． （2）先根据题意判断参加研学的同学人数大于30，根据题意列方程，解方程，再结合费用不低于280元即可确定最终参加研学的同学的人数． 【解析】（1）解：由题意可得，总支付费用是, 当时，总费用为（元）． （2）解：， ． 根据题意得：， 解这个方程得：． 当时，． 当时，．（舍） 答：参加研学的同学共有40人． 23．（8分）解下列方程： （1）； （2）． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先将原方程整理成一元二次方程的一般形式，再由公式法求解即可； （2）由平方差公式因式分解求解即可． 【解析】（1）解：， 移项、合并同类项得， 去分母得， ， ， 则，； （2）解：， ， 则， ， 则或， ，． 24．（8分）定义：设是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“同步方程”．例如，方程是“同步方程”． （1）下列方程是“同步方程”的是________（填序号）； ①，②，③； （2）若方程是“同步方程”，求的值； （3）若方程为“同步方程”，直接写出满足的数量关系． 【答案】（1）①② （2）或 （3） 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程根与系数的关系的应用，熟练掌握新定义，正确应用一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）根据新定义同步方程的概念，逐一验证三个方程，得到结果； （2）根据同步方程的定义，结合一元二次方程根与系数的关系，得到，从而得到a的值； （3）根据同步方程的定义，结合一元二次方程根与系数的关系，得到结果． 【解析】（1）解：①∵， ∴， ∴， ∴是“同步方程”； ②∵， ∴， ∴， ∴是“同步方程”； ③∵， ∴， ∴， ∴， ∴不是“同步方程”， 故答案为①②； （2）解：∵是“同步方程”， ∴， ∴， ∴当时，， 当时，， 故或； （3）解：∵为“同步方程”， ∴，， ∴， ∴． 25．（8分）如图，在矩形中，，，动点P，Q分别从点A、C同时出发，点P以2厘米/秒的速度向终点B移动，点Q以1厘米秒的速度向D移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动的时间为t秒，问： （1）当t为何值时，点P和点Q距离是？ （2）当t为何值时，以点P、Q、D为顶点的三角形是等腰三角形． 【答案】(1)， (2)，，， 【分析】（1）如图1，作于E，在中，由勾股定理建立方程求出其解即可； （2）分情况讨论，如图3，当时，如图4，当时，如图5，当 时，由等腰三角形的性质及勾股定理建立方程就可以得出结论． 【解析】（1）解：如图1，作于E， ∴， ∵ ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， 在中，由勾股定理，得， 解得：，， 当时，图（1）满足， 当时，图（2）满足， 综上所述：，； （2）如图3，当时，作于E， ∴  ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，，， ∵， ∴ ， 在中，由勾股定理，得， 解得：，， 如图4，当时， 作于E， ∴，． ∵， ∴四边形是矩形， ∴ ∵， ∴． ∴， 解得：； 如图5，当时， ∵ ∴ 在中，由勾股定理，得 ， 解得，（舍去）． 综上所述：，，， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，等腰三角形的性质的运用，一元二次方程的解法的运用．解答时灵活运用动点问题的求解方法是关键． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 一元二次方程 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．一元二次方程的根的情况是（ ） A．无实数根 B．有两个相等实数根 C．有两不相等实数根 D．无法判断 2．小聪解决了一道拓展题，并把解法教会了名同学，然后所有会做该题的每名同学又各自教会了名同学，这样全班共有人会做该题，则可列方程为（ ） A． B． C． D． 3．某省大力推进新能源汽车充电桩建设，助力绿色交通发展．截至2025年底，全省公共充电桩总数量已从2023年底的15万个增长至万个．设全省公共充电桩数量的年平均增长率为，则可列方程为（ ） A． B． C． D． 4．某商品经过两次降价，由每件100元降到每件81元，设平均每次降价的百分率为x，则可列方程为（ ） A． B． C． D． 5．某同学尝试借助人工智能辅助学习，对话如图所示，该人工智能程序经过思考后给出的正确答案是（ ） A．存在，这个数是 B．存在，这个数是2 C．存在，这个数是 D．不存在 6．某厂八月份生产某机器120台，计划九、十月份共生产280台．设九、十月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是（ ） A． B． C． D． 7．对于一元二次方程（，，为常数，且），下列条件：①；②；③．若只添加一个条件就可以判定方程有实数根，则所有正确条件的序号是（ ） A．① B．①③ C．②③ D．①② 8．若关于x的一元二次方程的一个根是，则a的值为（ ） A． B． C．或 D． 9．已知，是方程的两个实数根，且，则的值为（ ） A． B． C． D． 10．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A． B． C．且 D．且 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11．方程有相等的两个实数根，则________． 12．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是________． 13．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________． 14．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则________． 15．若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是________． 16．如图，若线段将边长为6、8、的三个正方形组成的图形分成面积相等的两部分，则________． 三、解答题（本大题共 9 小题，每小题 8 分，共 72 分） 17．（8分）九年级举办了乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（即每位参赛者与其他参赛者各比赛1场），嘉嘉说：“本次比赛一共进行了40场．”淇淇说：“你说的不对，按这个赛制不应该是40场．”设有x人报名参加比赛． （1）依据两人对话，乐乐列出方程：．请用乐乐所列方程分析淇淇的说法是否正确； （2）赛后经查询发现，因为有一人身体不适，参与4场比赛后中途退赛，所以比赛才进行了40场，求x的值． 18．（8分）水果店销售某种水果，每千克可以获利20元，平均每天可售出100千克，若每千克的售价每降低1元，平均每天的销售量可增加10千克，水果店要确保平均每天获利2240元，且尽快减少水果的库存量，每千克的售价应降低多少元？ 19．（8分）某农场有一块空地，空地上有一面长为10米的围墙，现利用围墙和木栏围出一块矩形菜地，菜地左右两边各开一扇宽为1米的门．已知木栏总长为30米，左右两边的门均不消耗木栏． （1）如图①，当时，若围成的菜地面积为96平方米，求的长； （2）如图②，当时，围成的菜地面积能否达到121平方米？如果能，说明围法；如果不能，说明理由． 20．（8分）如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，若两点同时出发，当点运动到点时，两点同时停止运动．求： （1）几秒后，的面积等于? （2）的面积能否等于?说明理由． 21．（8分）甲、乙两架无人机均保持相同的飞行高度做匀速直线运动：甲无人机沿自南向北方向飞行，速度为，恰好经过A点的正上方；乙无人机沿自西向东方向飞行，速度为，恰好经过A点的正上方．何时两架无人机相距？ 22．（8分）实验中学九（1）班计划组织同学们利用秋假参加研学活动，某旅行社收费标准如下：若研学人数不超过30人，收费标准为400元/人；若超过30人，每增加1人，每人费用减少5元，但每人不低于280元．若九（1）班共有人参加研学活动． （1）当时，共应支付给旅行社________元的费用； （2）若共支付14000元的费用，求参加研学的同学人数． 23．（8分）解下列方程： （1）； （2）． 24．（8分）定义：设是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“同步方程”．例如，方程是“同步方程”． （1）下列方程是“同步方程”的是________（填序号）； ①，②，③； （2）若方程是“同步方程”，求的值； （3）若方程为“同步方程”，直接写出满足的数量关系． 25．（8分）如图，在矩形中，，，动点P，Q分别从点A、C同时出发，点P以2厘米/秒的速度向终点B移动，点Q以1厘米秒的速度向D移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动的时间为t秒，问： （1）当t为何值时，点P和点Q距离是？ （2）当t为何值时，以点P、Q、D为顶点的三角形是等腰三角形． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $