19.1 二次根式及其性质-【重难点手册】2026-2027学年八年级下册数学（人教版）

19 第十九章 二次根式 19.1二次根式及其性质 重点和难点 课标要求 重点：从算术平方根的意义出发理解 1.根据算术平方根的意义了解二次根式的概念；知道被开方 二次根式的概念。 数必须非负. 难点：二次根式的两个非负性， 2.能用二次根式表示实际问题中的数量和数量关系. 口-01必备知识梳理。 知识点1二次根式的概念 易错点过度解读二次根式的概念 我们把形如√a(a≥0)的式子叫作二次 例下列各式中，一定不是二次根式的是 (填序号) 根式 这里要注意两点：一是二次根式的被开方 ①-√5；②√/-5；③v√-m2;④W-m2-1. 正解因为一5<0，一m2一1<0，所以 数必须非负(a≥0)；二是√a为a的算术平方 ②④一定不是二次根式 根（√a≥0）.对于√a(a≥0)，被开方数a越大， 答案②④. 其算术平方根√a越大 易错分析易误认为一5<0，所以不 例①下列各式中，一定是二次根式的是 是二次根式；忽略了当m=0时，√一m是二 (填序号). 次根式.另外，审题时也容易出错，易将条件 ①V35;②-3；③a;④Va+1:⑤2 “一定不是”误看成“一定是” 知识点2二次根式有意义的条件 ⑥Wa2-2ab+b2;⑦5. 二次根式有意义的条件是被开方数（式） 解析③中a可能小于0；⑤⑦不符合 非负.如果一个式子含有多个二次根式，那么 “√a”的形式. 它们有意义的条件是各个二次根式中的被开 答案①②④⑥， 方数（式）都必须非负. 总结二次根式应满足两个条件：一是符 例回（经典·黄石中考改编）若3 合“√a”的形式；二是被开方数a非负， ◆变式1(2025·武汉二中广雅中学模 √x一2有意义，则x的取值范围是( A.x≥2且x≠3 B.x≥2 拟)在式子√2，√4，x-1,√x2+y,√m, C.x≠3 D.x>2且x≠3 √一12中，一定为二次根式的有(). 解析由x一3≠0，x一2≥0，解得x≥2且 A.4个 B.3个 x≠3. C.2个 D.1个 答案A 1 重难点手册人年级数学下册划 总结二次根式有意义，则被开方数为非 性质2：√a=a. 负数；分式有意义，则分母不能为0 例3（经典·攀枝花中考）已知实数a,b ●变式2若√/3x一6十2√2-x=y-1,则 在数轴上的位置如图所示，则化简√(a+1)2+ x十y= 易错点忽视二次根式被开方数非负 √(b-1)2-√(a-b)2的结果是(). 例已知实数a满足|2025一a|+ 名2片。十方 √a一2026=a,那么a一20252的值是( A.-2 B.0C.-2a D.26 A.2023 B.2024 解析√(a十1)2+√/(b-1)2一√(a-b)2= C.2025 D.2026 a+1|+lb-1|-la-b. 正解根据题意得a一2026≥0， .-2<a<-1,a<b,1<b<2, 解得a≥2026. ∴.原式=-a-1+b-1一(b-a)=-2. .|2025-a+√a-2026=a, 答案A ∴.a-2025+√a-2026=a, 总结利用公式√a2=a|,这里a可以是 .√a-2026=2025, 一个数，也可以是一个式子 .a-2026=20252, ∴.a-20252=2026. ●变式3计算：（√2）2+√32十√/(-3)， 答案D 例④已知x为任意实数，化简：√(x一1)？+1. 易错分析没有发现a一2026≥0这一 解析原式=|x一1十1， 隐性条件，从而不知怎么去掉绝对值符号， ①当x≥1时，原式=x-1十1=x; 若用分类讨论或带绝对值平方的方法，则会 ②当x<1时，原式=一(x一1)十1= 让计算变得更为复杂， -x+2. 知识点3二次根式的性质 点评本题除用到公式√a=|a|外，还用 性质1：(a)2=a(a≥0). 到零点分段法去掉绝对值符号 02关建能力提升。 题型1利用二次根式的两个非负性 又.a-2+b+1=0, 1.二次根式条件的非负性，即√a中，a≥>0. .a=2,b=-1, 2.二次根式结果的非负性，即√a≥0. ∴.a+b=1, 例⑤（经典·广东中考改编）若√a一2十 ∴.(a+b)2o26=1. 1b+1=0,则(a+b)2o26= 答案1. 解析由算术平方根和绝对值的非负性可知， 总结几个非负数的和为0，则每个数都为 √a-2≥0，b+1≥0. 0.常见非负数的形式有√a,a2,a. 第十九章二次根式么 ●变式4已知x,y为实数，若满足y= (3)若x<3,化简√/x2-6x+9+|4-x, √x-3+√3一x+2,则x'的值为(). 小杰的解答过程如下： A.5 B.6 C.8 D.9 解：原式=√(x-3)2十(4一x) 第一步 题型2活用公式(Wa)2=a(a≥0) =x-3十4-x 第二步 =1 1.直接运用公式：（√a)2=a(a≥0）. 第三步 ①小杰的解答从第 步开始出现 2.逆用公式：a=(√a)2(a≥0) 了错误； 例6在实数范围内进行因式分解。 ②请你写出正确的解答过程. (1)x2-5;(2)x4-6.x2+9 解析(1).a<0,.a-1<0, 解析(1)x2-5=x2-(5)2 =(x+√5)(x-5). 原式-√aD aa-aan= 1-a (2)x4-6x2+9=(x2-3)2 x+1>0, (2)解不等式组 得-1<x<3 =(x-√3)2(x+√3)2. x-3<0, 总结利用a=(√a)2(a≥0)，将一个数写 ∴.原式=√(x-3)2+√(x+1)2. 成另一个数的平方 .-1<x<3, .x-3<0,x+1>0, ◆变式5已知√a2+1=2,求a的值 .原式=3-x十x十1=4. 题型3运用公式√a2=|a化简 (3)①小杰的解答从第二步开始出现了错 在化简时，一定要弄清a的正负. 误，故答案为“二”」 |a(a≥0)， √a2=la|= ②原式=√(x-3)2十(4-x)=3-x十 -a(a<0). 4一x=7-2x. 例日(1)当a<0时，化筒a一2a+1 总结本题考查二次根式的化简，解答本 a2-a 题的关键是要会用二次根式的性质√a2=a|, x+1>0, (2)已知x满足的条件为 化简 根据字母的范围去掉绝对值符号. x-3<0, ●变式6当一3<x<1时，化简： √/x2-6x+9+√x2+2x+1; √Jx2-2x+1+√x2+6.x+9. 03热点考向聚焦。 考向1求字母的取值范围 答案x≥3. 例8(2024·黑龙江中考)在函数y= 例9(2025·福建中考)若√x一1在实数 受中，自变量x的取省范围是 范围内有意义，则实数x的值可以是(). A.-2 B.-1C.0D.2 解析由题意可得x一3≥0且x十2≠0， 解析由题意得x一1≥0， 解得x≥3. ∴.x≥1， 3 重滩点手册人年级教学下册®划 ∴.实数x的值可以是2. 解析：-袋10)=10-0。 答案D 考向2运用公式√a2=|a化简 而484490 4949 例10(2024·内蒙古中考)实数a,b在 (<1, 数轴上的对应位置如图所示，则√(a-b)z (b一a一2)的化简结果是(). iv09 -32-1012→ 答案> A.2 B.2a-2C.2-2b D.-2 例13（经典·广东中考）设6一√10的整 解析由数轴可知一3<a<一2,0<b<1, 数部分为a,小数部分为b,则(2a+√10)b的 .a-b<0, 值是( ) .原式=b-a-b十a+2=2. A.6 B.2/10 C.12 D.9/10 答案A 考向3二次根式非负性的应用 解析由题意知6-√10=a十b. 例11(2024·成都中考)若m,n为实 .3</10<4, 数，且(m+4)2+√n-5=0,则(m十n)2的值 ∴.2<6-√10<3， 为 ∴.a=2,即b=4-√J10, 解析.(m十4)2十√n-5=0, ∴.(2a+√10)b=(4+√10)(4-/10)= .m+4=0,n-5=0, 42-(√10)2=16-10=6. 解得m=-4,n=5, 答案A ∴.(m+n)2=(-4+5)2=1. 例14(2024·天津中考)估算√10的值 答案1. 在(). 考向4实的大小比较与估值 A.1和2之间 B.2和3之间 例12(2024·安徽中考)我国古代数学 C.3和4之间 D.4和5之间 家张衡将圆周率取值为√10，祖冲之给出圆周 解析.√⑨<10<16， 率的一种分数形式的近似值为号.比较大小： ∴.3</10<4， √/10 号（填>”或<. ∴10的值在3和4之间. 答案C 4