19.1 二次根式及其性质学案 2025-2026学年人教版数学八年级下册

该初中数学学历案的核心学习任务是二次根式的概念、性质及运算，通过知识点填空构建基础支架，分层练习（基础巩固、能力提升、思维拓展）搭建进阶支架，涵盖定义、双重非负性、性质及最简二次根式等内容。 特色在于分层设计与核心素养融合，基础题巩固运算能力，提升题强化推理意识，如利用双重非负性求参数值，思维拓展题通过规律探究发展创新意识，参考答案解析详细，教师可引导学生在解决问题中主动建构知识，体现学生主体与教师指导结合。

19.1 二次根式及其性质 同步练习 2025-2026学年人教版数学八年级下册 一、知识点填空 1. 一般地，形如（其中）的式子叫做__________，“”称为__________，被开方数必须是__________（填“正数”“负数”或“非负数”）。 2. 二次根式的双重非负性：中，①被开方数非负：__________；②二次根式本身非负：__________。 3. 二次根式的性质： （1）__________（）； （2）__________，即当时，；当时，； （3）__________（，），即两个非负数的算术平方根的积，等于这两个数的积的算术平方根； （4）__________（，），即两个非负数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。 4. 最简二次根式需满足两个条件：①被开方数不含__________；②被开方数中不含能开得尽方的__________或__________。 二、分层练习 （一）基础巩固（每题5分，共30分） 1. 下列式子中，是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 若二次根式有意义，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 计算的结果是（ ） A. 3 B. C. 9 D. 4. 化简（）的结果是（ ） A. B. C. D. 5. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 6. 计算：__________；__________。 （二）能力提升（每题6分，共30分） 1. 若，则的值为（ ） A. -1 B. 1 C. 3 D. -3 2. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 以上都不对 3. 已知，则的值为（ ） A. B. C. 0 D. 4. 计算： （1）； （2） 5. 已知，求的值。 （三）思维拓展（每题10分，共20分） 1. 已知实数满足，求的值。 2. 观察下列等式： ； ； ； 请根据上述规律，写出第个等式（为正整数），并证明你的结论。 学科网（北京）股份有限公司 三、参考答案 （一）知识点填空 1. 二次根式；二次根号；非负数 2. ； 3. （1）；（2）；（3）；（4） 4. 分母；因数；因式 （二）分层练习答案 1. 基础巩固 1. C 2. B 3. A 4. A 5. D 6. 10； 解析：6. ；。 2. 能力提升 1. B 2. B 3. B 解析：1. 由双重非负性得，，解得，，故； 2. 因为，所以，故； 3. 因为，所以，故。 4. （1）解：； （2）解：。 5. 解：先化简原式：； 当时，； 则； 故原式。 3. 思维拓展 1. 解：由二次根式有意义的条件得：且，解得； 原等式可化为：，两边平方得： ； 化简得：，即； 再次平方得：； 展开左边：； 整理得：； 移项合并得：； 观察可知（舍去，不符合）或简化可得（推导过程略）； 故。 2. 第个等式：； 证明：左边； 分子化简：； 故左边； 右边； 左边=右边，等式成立。 $