第四单元 用字母表示（一）（思维导图+知识梳理+期中真题满分特训卷）-2026-2027学年北师大版数学五年级上册单元复习尖子生培优汇编卷（新教材）

第四单元 用字母表示（一）「期中复习拔尖练〈真题汇编讲练〉」 同学你好，该份讲义用于北师大版新教材数学五年级上册内容的学习和复习，强化解题技巧，提升应试能力，拓展题型广度。非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 知识梳理，温故知新：强化巩固细节知识，给出具体知识内容，解题方法，明确考察方向，帮助你理解运用知识点； 2. 真题汇编，满分特训：优选高频考察点，汇编整理，精选近两年各地名校期中真题，精耕细作，充分学习专题考察内容；难度由浅入深，层层递进，设置百分卷满分冲刺！ 知识点一 用字母表示数 1. 基本概念 在数学中，我们可以用字母（如 等）来表示数。字母可以表示任意数，也可以表示特定的数。 (1) 作用：使表达更简洁，具有普遍性。 (2) 取值范围：字母表示的数通常有一定的取值范围，需符合实际意义。例如，人的年龄 不能是负数，也不能超过合理寿命（如 ）。 2. 书写规范（重点） (1) 数字与字母相乘时，乘号可以记作“ ”或省略不写。 (2) 数字必须写在字母前面。 例： 写作 （不可写作 ）。 例： 写作 （1通常省略）。 (3) 字母与字母相乘，乘号可省略或记作“ ”。 例： 写作 或 。 (4) 注意：加号、减号、除号以及数字与数字之间的乘号不能省略。 3. 相同字母相乘 (1) 写作 ，读作“ 的平方”，表示2个 相乘。 (2) 易错区分： 1　 2　 3　 当 时， （相等）；当 时， （不相等）。 知识点二 用字母表示数量关系 1. 常见数量关系模型 利用字母表示常见的加减关系，关键在于找准“标准量”和“比较量”。 关系类型 文字描述 字母表达式示例 加法关系 比 多 的数 减法关系 比 少 的数 倍数关系 的 倍 逆倍数 是某数的 倍，求某数 2. 实际应用示例 (1) 年龄问题：小明今年 岁，爸爸比小明大28岁，爸爸今年 岁。 (2) 购物问题：苹果每千克 元，买5千克应付 元。 (3) 剩余问题：一本故事书共 页，看了 天，每天看 页，还剩 页。 知识点三 用字母表示运算定律及计算公式 1. 运算定律 使用字母表示运算定律，体现数学的通用性。 (1) 加法交换律： (2) 加法结合律： (3) 乘法交换律： (4) 乘法结合律： (5) 乘法分配律： 2. 平面图形计算公式 设正方形的边长为 ，长方形的长为 、宽为 。 图形 周长公式 ( ) 面积公式 ( ) 正方形 长方形 知识点四 用字母表示稍复杂的数量关系 1. 两步及以上运算的关系 涉及混合运算时，需注意运算顺序，必要时使用括号。 (1) 示例1：学校买来 个足球，篮球的个数比足球的3倍少5个。 篮球个数： (2) 示例2：甲数是 ，乙数比甲数的2倍多 。 乙数： (3) 示例3：修路队第一天修了 米，第二天修的是第一天的2倍，两天共修多少米？ 总长度： 2. 含有两个未知量的简单关联 虽然本阶段主要侧重一个主变量，但需理解总量与分量的关系。 (1) 总路程 = 速度 时间：若速度为 ，时间为 ，则路程 。 (2) 工作总量 = 工作效率 工作时间：若效率为 ，时间为 ，则总量 。 知识点五 利用等式的性质求未知数 1. 等式的性质 (1) 性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。 若 ，则 ， 。 (2) 性质2：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。 若 ，则 ；若 ，则 。 2. 简易求解思路（算术法过渡到代数法） (1) 对于 ，利用减法关系： 。 (2) 对于 ，利用除法关系： 。 (3) 对于 ，利用加法关系： 。 (4) 对于 ，利用乘法关系： 。 知识点六 含有字母式子的化简与求值 1. 式子的化简 利用乘法分配律合并同类项。 (1) (2) (3) 示例： 1　 2　 3　 （注意： 等同于 ） 2. 式子求值步骤 (1) 写出原式：抄写含有字母的式子。 (2) 代入数值：将字母替换为具体的数字（注意添加乘号或括号）。 (3) 计算结果：按照运算顺序计算出最终数值，并带上单位（如果有）。 (4) 示例：当 时，求 的值。 解：当 时， 知识点七 数与形（归纳递推） 1. 找规律方法 通过观察图形数量或数字序列的变化，找出第 个图形/数字与序号 之间的关系。 2. 常见模型 (1) 线性增长模型： 1　 摆三角形：1个三角形用3根小棒，2个连摆用5根，3个连摆用7根…… 2　 规律：每增加1个三角形，增加2根小棒。 3　 第 个图形所需小棒数： 。 (2) 正方形点阵： 1　 第1个图1个点，第2个图4个点，第3个图9个点…… 2　 规律：点数是序号的平方。 3　 第 个图的点数： 。 3. 解题策略 (1) 列表整理前几个数据。 (2) 观察相邻两项的差或倍数关系。 (3) 尝试用含 的式子表示，并验证前几项是否成立。 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.43（较难） 一．仔细想，认真填（共8小题，满分19分，每空1分） 1．（本题2分）（26-27五年级上·四川甘孜·期中）用小棒按照如图所示摆下去，摆出第5个图形需要( )根小棒，摆出第n个图形需要( )根小棒。 【答案】 18 3n＋3 【思路引导】摆出第1个图形需要6根小棒，即3×1＋3； 摆出第2个图形需要9根小棒，即3×2＋3； 摆出第3个图形需要12根小棒，即3×3＋3； …… 摆出第n个图形需要的小棒数为：3n＋3。 【规范解答】根据分析，当n＝5时，3×5＋3 ＝15＋3 ＝18（根） 故摆出第5个图形需要18根小棒，摆出第n个图形需要3n＋3根小棒。 2．（本题3分）（26-27五年级上·四川甘孜·期中）一本故事书有200页，王欣每天看m页，看了3天后，一共看了( )页，还剩( )页没看，王欣第四天应从第( )页开始看。 【答案】 3m 200－3m 3m＋1/1＋3m 【思路引导】已知一本书有200页，王欣每天看m页，看了3天，根据“已看页数＝每天看的页数×天数”，可计算出已看页数，再用总页数减去已看页数即可得到剩余页数，最后根据已看页数即可求出第四天开始看的页数，据此解答即可。 【规范解答】3×m＝3m（页）所以一共看了3m页 还剩（200－3m）页没看 第四天应从下一页开始看，即从（3m＋1）页开始看。 3．（本题4分）（26-27五年级上·四川甘孜·期中）根据式子选择合适的含义。（把正确答案的序号填在括号里） 李阿姨每小时制作a个中国结，她上午制作4小时，下午制作3小时。 ①李阿姨一天制作的中国结个数；②李阿姨上午制作的中国结个数； ③李阿姨下午制作的中国结个数；④李阿姨上午比下午多制作的中国结个数。 a×4表示( )；a×3表示( )； a×（4－3）表示( )；a×（4＋3）表示( )。 【答案】 ② ③ ④ ① 【思路引导】李阿姨一天制作的中国结个数：用每小时制作的个数×（上午制作的时间＋下午制作的时间）； 李阿姨上午制作的中国结个数：用每小时制作的个数×上午制作的时间； 李阿姨下午制作的中国结个数：用每小时制作的个数×下午制作的时间； 李阿姨上午比下午多制作的中国结个数：用每小时制作的个数×（上午制作的时间－下午制作的时间）。 【规范解答】由分析可知：表示李阿姨上午制作的中国结个数 ，所以填②； 表示李阿姨下午制作的中国结个数，所以填③； 表示李阿姨上午比下午多制作的中国结个数，所以填④； 表示李阿姨一天制作的中国结个数，所以填①。 4．（本题2分）（25-26五年级上·甘肃酒泉·期中）新素养几何直观如图，同学们按照正六边形点阵植树，一个点代表一棵树苗。点阵的中心是1棵树苗，算作第一层，第二层每条边2棵树苗，第三层每条边3棵树苗，第四层每条边4棵树苗……照这样植树，这个点阵的第8层需要( )棵树苗；第层需要( )棵树苗。 【答案】 42 6（n－1） 【思路引导】第一层有1棵树苗，从第二层开始，每增加一层，每条边就增加1棵树苗，一共有6条边，会增加1×6棵树苗；求第几层需要的树苗数量，用层数减1再乘每层的棵数即可，据此总结规律。 【规范解答】第一层：1棵； 第二层：（2－1）×6＝1×6＝6（棵） 第三层：（3－1）×6＝2×6＝12（棵） 第四层：（4－1）×6＝3×6＝18（棵） …… 第八层：（8－1）×6＝7×6＝42（棵） 第n（n＞1）层需要：（n－1）×6＝6（n－1）＝（6n－6）棵 5．（本题2分）（25-26五年级上·陕西安康·阶段检测）文具店购入一批笔记本，平均每天卖出a本，卖了8天后还剩b本。已经卖出( )本，这批笔记本一共有( )本。 【答案】 【思路引导】用平均每天卖出的本数乘卖出的天数即可表示出已经卖出的本数；将已经卖出的本数与剩下的本数相加即可表示出这批笔记本的总本数。数字与字母相乘时，乘号省略，数字写在字母前面。 【规范解答】a×8＝8a（本） 平均每天卖出a本，卖了8天后，已经卖出了8a本，这批笔记本一共有（8a＋b）本。 6．（本题2分）（24-25六年级下·贵州遵义·期末）认真观察如图所示的点阵图，按这样的规律，第6幅图一共有( )个圆点，第n幅图一共有( )个圆点。 【答案】 21 3n＋3/3＋3n 【思路引导】从上到下观察每幅图形可知： 第1幅图有6个圆点，第一层有1个，第二层有2个，第3层有3个，即6＝1＋2＋3； 第2幅图有9个圆点，第一层有2个，第二层有3个，第3层有4个，即9＝2＋3＋4； 第3幅图有12个圆点，第一层有3个，第二层有4个，第3层有5个，即12＝3＋4＋5； 发现：每幅图分三层，第一层圆点数量与图号相等，后面两层圆点数量依次增加1个，把三层圆点数量相加，即是该图圆点的总数量；据此得出规律，并按规律解答。 【规范解答】第6幅图一共有圆点：6＋7＋8＝21（个） 第n幅图一共有圆点：n＋n＋1＋n＋2＝（3n＋3）个 7．（本题2分）（25-26五年级上·江苏徐州·期中）如下图，1张餐桌可以坐6人，两张餐桌可以坐10人，3张餐桌可以坐14人，像这样4张餐桌可以坐( )人，张餐桌可以坐( )人。 【答案】 18 4n＋2 【思路引导】通过观察图形可知，1张桌子可以坐6人，6＝4＋2；2张桌子可以坐10人，10＝4×2＋2；3张桌子可以坐14人，14＝4×3＋2，……多一张桌子多坐4人，以此类推，4张餐桌可以坐4×4＋2，计算即可；n张桌子可以坐4n＋2人。据此解答。 【规范解答】4×4＋2 ＝16＋2 ＝18（人） n张桌子可以坐（4n＋2）人。 如题图，1张餐桌可以坐6人，两张餐桌可以坐10人，3张餐桌可以坐14人，像这样4张餐桌可以坐18人，张餐桌可以坐（4n＋2）人。 【考点剖析】主要考查了找规律，解答此题关键是首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解。 8．（本题2分）（25-26四年级下·山东·期末）围棋的起源可追溯到春秋中叶之前，在我国有悠久的历史。淘气和爸爸不仅是围棋高手，还喜欢利用围棋探索一些规律。星期天，爸爸在棋盘上摆出了如下图形，淘气好奇地研究起来：第7个图形中，黑棋有( )枚，第n个图形黑棋有( )枚。 【答案】 16 2n＋2 【思路引导】第①个图形有5个棋子，1枚白棋，4枚黑棋； 第②个图形有8个棋子，2枚白棋，6枚黑棋； 第③个图形有11个棋子，3枚白棋，8枚黑棋； …… 第n个图形中一共有枚棋子，白棋有n枚，黑棋有枚。 【规范解答】第7个图形中，即时，黑棋有：（枚）； 第n个图形黑棋有枚。 二．慎重选择（共5小题，满分5分） 9．（本题1分）（25-26五年级上·山东聊城·期中）在a×b＝c（a，b都不等于0）中，b不变，a扩大到原来的10倍，则c（    ）。 A．缩小到原来的 B．扩大到原来的10 C．扩大到原来的10倍 【答案】C 【思路引导】两个数相乘，一个因数不变，另一个因数扩大到原来的或缩小为原来的若干倍（0除外），积也随之扩大到原来的或缩小为原来的相同倍数的规律，所以可直接对照该规律分析本题条件。 【规范解答】b保持不变，a扩大到原来的10倍，所以c也就是它们的乘积，也会跟着扩大到原来的10倍。 10．（本题1分）（25-26五年级上·甘肃酒泉·期中）如果（a，b都大于零），那么a，b的大小关系是（    ）。 A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【思路引导】把等式转化为，由，即可得出。 【规范解答】由，可得， 因为，所以。 11．（本题1分）（25-26五年级上·甘肃酒泉·期中）根据淘气和李老师的对话，可知当淘气m岁时，李老师（    ）岁。 A． B．36 C． D． 【答案】C 【思路引导】根据题意，李老师和淘气的年龄差是26岁，年龄差是固定不变的，据此可列出代数式解答。 【规范解答】李老师的年龄＝淘气的年龄＋26岁，所以，当淘气m岁时，李老师的年龄＝26＋m 12．（本题1分）（26-27五年级上·四川宜宾·期中）如果一个人每天摄取的食盐量是10.5克，比世界卫生组织建议的每人每天食盐量的2倍少1.5克。如果用a表示世界卫生组织建议的每人每天的食盐量，下列数量关系正确的是（    ）。 A．10.5－1.5＝2a B．2a－1.5＝10.5 C．2a＋1.5＝10.5 D．10.5－2a＝1.5 【答案】B 【思路引导】根据“世界卫生组织建议每人每天食盐量×2－1.5克＝一个人每天摄取的食盐量”这个等量关系列方程即可。 【规范解答】根据等量关系列方程为： 13．（本题1分）（26-27六年级上·辽宁·单元测试）一张桌子坐6人，两张桌子拼起来坐10人，三张桌子拼起来坐14人……照这样拼下去，n张桌子拼起来可以坐（    ）人。 A．4n＋2 B．6n C．6n－2 D．4n 【答案】A 【思路引导】观察可发现每多拼1张桌子可多坐4人，根据该规律推导n张桌子的可坐人数表达式即可。 【规范解答】每增加1张桌子多坐人数： n张桌子可坐人数： 三、准确判断（共5小题，满分5分） 14．（本题1分）（25-26四年级下·陕西汉中·期末）长方形周长是x厘米，宽是4厘米，那么长是（x－4）厘米。( ) 【答案】× 【思路引导】根据长方形周长公式，长应为周长除以2再减去宽，题目中的表达式没有先用周长除以2，不符合计算逻辑。 【规范解答】长方形周长公式为，变形得长。代入，，可知长应为（）厘米，不是厘米。 故答案为：× 15．（本题1分）（24-25五年级下·江苏盐城·期中）晨晨今年x岁，妹妹今年（x－3）岁，再过5年，他们相差5岁。( ) 【答案】× 【思路引导】年龄差永不变。晨晨今年年龄－妹妹今年年龄＝5年后他们相差的年龄。 【规范解答】x－（x－3） ＝x－x＋3 ＝3（岁） 再过5年，他们相差3岁，原题说法错误。 故答案为：× 16．（本题1分）（23-24五年级上·河南南阳·期中）若一个等腰三角形的底边为m，腰为n，则它的周长为2m＋n。( ) 【答案】× 【思路引导】三角形周长就是围成三角形的三边的长度之和。因为等腰三角形两腰相等，所以等腰三角形的周长＝底＋腰×2，据此用字母表示出它的周长即可。 【规范解答】若一个等腰三角形的底边为m，腰为n，则它的周长为m＋2n，所以原题说法错误。 故答案为：× 17．（本题1分）（20-21五年级上·河南漯河·期末）根据等式的性质，如果3.5x＝14，那么3.5x÷0.5＝28。( ) 【答案】√ 【思路引导】等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，所得的结果仍然是等式。 【规范解答】3.5x＝14 3.5x÷0.5＝14÷0.5 3.5x÷0.5＝28 故答案为：√ 18．（本题1分）（18-19五年级上·全国·期末）等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立。( ) 【答案】 √ 【思路引导】根据等式的基本性质1，等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立。 【规范解答】例如取等式，两边同时加3，左边为，右边为，等式成立； 两边同时减2，左边为，右边为，等式成立。 故答案为：√ 四、计算能手（共1小题，满分6分） 19．（本题6分）（25-26五年级上·山东德州·期中）解方程。 x－0.75x＝0.38         2.7＋5x＝6.35         8.28－x＝2.8 【答案】；； 【思路引导】依据等式的基本性质，先相减得到0.25x＝0.38，再两边同时除以0.25求出 x； 依据等式的基本性质，先两边同时减去2.7，再两边同时除以5得到x的值； 根据“减数＝被减数差，将其变形为x＝8.282.8 来计算出结果。 【规范解答】 解： 解： 解： 五、解决实际问题（共12小题，满分65分） 20．（本题4分）（26-27五年级上·四川甘孜·期中）某合作社年初有社员s人，年内新增社员a人，但有b人因搬迁退出。每位社员年底可分得年度红利1200元。合作社年底需发放的红利总额是多少? 【答案】1200（s＋a－b）元 【思路引导】先用年初社员人数s加上年内新增社员人数a减去因搬迁退出人数b，求出年底社员总人数，再用每人分得的红利金额1200乘总人数，即可得到红利总额。 【规范解答】年底社员总人数：（人） 红利总额：（元） 答：合作社年底需发放的红利总额是元。 21．（本题6分）（26-27五年级上·四川内江·期中）爸爸坐动车从A地到B地需要a小时，动车平均每小时行驶160km。如果改乘高铁只需要b小时（b＜a）。 (1)用含有字母的式子表示高铁每小时行驶多少千米。 (2)如果a＝1.8，b＝1.2，此时高铁平均每小时行驶多少千米？ 【答案】(1)（160a÷b）千米 (2)240千米 【思路引导】（1）根据路程＝速度×时间，算出A地到B地的路程，再除以时间即可。 （2）把字母代表的数值代入式子中求解即可。 【规范解答】（1）160×a÷b＝160a÷b （2）160a÷b ＝160×1.8÷1.2 ＝240 答：此时高铁平均每小时行驶240千米。 22．（本题6分）（26-27五年级上·辽宁·课后作业）爸爸今年38岁，儿子今年10岁。 (1)写出一个等式表示“爸爸的年龄－儿子的年龄＝年龄差”。 (2)几年后，这个年龄差会变化吗？为什么？ (3)如果过了年，爸爸和儿子的年龄都增加了岁，请写出新的等式，并说明为什么成立。 【答案】(1)38－10＝28 (2)不会变化，因为两人年龄同时增长相同岁数，年龄差始终不变。 (3)，因为被减数和减数同时加同一个数，差不变，等式成立。 【思路引导】（1）把爸爸和儿子今年的年龄代入“爸爸的年龄－儿子的年龄＝年龄差”并写出等式； （2）减法的被减数和减数同时加上相同的数，差不变。据此分析几年后，这个年龄差是否会变化； （3）过年后，爸爸年龄为岁，儿子年龄为岁，根据“爸爸的年龄－儿子的年龄＝年龄差”写出等式，结合减法中差不变的性质解答。 【规范解答】（1）38－10＝28 （2）每过1年，爸爸和儿子的年龄各增加1岁，根据减法中差不变的性质，年龄差不会变化。 （3）等式为： 理由：被减数和减数同时加同一个数，差不变，等式成立。 23．（本题5分）（26-27五年级上·辽宁·课后作业）小区花坛外围的墙面要贴上瓷片，贴瓷片的师傅将瓷片按如图所示的方式拼成一组图案，图案由宽为a的4个完全一样的小长方形瓷片拼成，用式子表示整个图形的周长和面积。 【答案】周长是14a，面积是12a2 【思路引导】先根据图形关系，求出小长方形的长与宽，再得到组合图形的总长、总宽，利用长方形周长公式、面积公式，用含字母的式子计算周长和面积。 【规范解答】由图可得小长方形宽为a，长等于3个宽，即长是3a。 组合图形的长：3a，组合图形的高：。 周长：   面积： 答：周长是，面积是。 24．（本题6分）（25-26四年级下·河北邢台·期末）小刚和小亮两人同时从家出发相向而行，12分钟后相遇。 (1)用含有字母的式子表示小刚家到小亮家的距离。 (2)当a＝65，b＝55时，他们两家的距离是多少米？ 【答案】(1) 米 (2) 1440 米 【思路引导】（1）根据“路程＝速度×时间”，分别求出小刚、小亮相遇时各自走的路程，再相加，即是小刚和小亮家之间的距离，用含有字母的式子表示即可。 （2）把a＝65，b＝55代入上一题的式子中，计算出结果，即是他们两家之间的距离。 【规范解答】（1）a×12＋b×12＝12（a＋b）（米） 答：小刚家到小亮家之间的距离为12（a＋b）米。 （2）当a＝65，b＝55时， 12（a＋b） ＝12×（65＋55） ＝12×120 ＝1440（米） 答：当a＝65，b＝55时，他们两家的距离是1440米。 25．（本题6分）（25-26五年级上·山东济南·期末）下图是小明家客厅和餐厅的平面图。（单位：米） (1)小明家的客厅比餐厅的面积大_________平方米。（用含有字母的式子表示） (2)如果客厅比餐厅的面积多15平方米，客厅宽多少米？ 【答案】(1)3x (2)5米 【思路引导】（1）先根据长方形面积公式：面积＝长×宽，分别表示出餐厅的面积为3x平方米、客厅的面积为6x平方米，用客厅面积减去餐厅面积得到面积差的表达式。 （2）根据客厅比餐厅的面积多15平方米，列出方程3x＝15，解方程求出x的值，这个值就是客厅的宽度。 【规范解答】（1）6x－3x＝3x（平方米） （2）3x＝15 解：3x÷3＝15÷3 x＝5 答：客厅宽5米。 26．（本题6分）（25-26五年级上·广东东莞·期末）运动可以强化心肺功能、强化骨骼与肌肉、调节代谢与体重和提升免疫力。但过量高强度运动也会对身体健康造成多方面的危害。人们运动时需根据自身情况选择最大心率运动或有氧心率运动。 (1)最大心率是人体在极限运动时心脏每分钟跳动的最高次数，常用于制定运动强度参考。计算时，最常用的公式是220－年龄，如用a表示一个人的年龄，用b表示正常情况下这个人在运动时最大心率，则有b＝220－a。正常情况下，一个11岁的青少年在运动时最大心率是每分钟心跳多少次？ (2)有氧心率是指运动时身体主要依赖氧气代谢供能。有氧运动可以促进脂肪分解、增强心肺耐力，能有效提升心肺功能、燃烧脂肪且不超出身体负荷，避免高强度运动带来的疲劳或损伤风险。有氧心率通常最高为（220－年龄）×0.8，如a表示一个人的年龄，用c表示正常情况下这个人在有氧运动时最大心率，则有c＝0.8×（220－a）。张老师今年45岁，他在有氧运动时最高心率为每分钟跳146次，在本次有氧运动中，张老师超出了有氧运动时最大心率吗？ (3)李叔叔算出自己有氧运动时最大心率是每分钟跳148次，李叔叔今年多少岁？（列方程解答） 【答案】(1)209次 (2)超出了 (3)35岁 【思路引导】（1）由题意可知，a＝11，先把a的值代入b＝220－a，再求出含有字母式子的结果就是最大心率； （2）由题意可知，a＝45，先把a的值代入c＝0.8×（220－a），再求出含有字母式子的结果就是有氧运动时最大心率，最后和146次相比较； （3）把李叔叔今年的年龄设为未知数，等量关系式：（220－年龄）×0.8＝有氧运动时最大心率，先列出方程再利用等式的性质求出未知数的值。 【规范解答】（1）当a＝11时。 b＝220－a ＝220－11 ＝209（次） 答：正常情况下，一个11岁的青少年在运动时最大心率是每分钟心跳209次。 （2）当a＝45时。 c＝0.8×（220－a） ＝0.8×（220－45） ＝0.8×175 ＝140（次） 因为146次＞140次，所以在本次有氧运动中，张老师超出了有氧运动时最大心率。 答：在本次有氧运动中，张老师超出了有氧运动时最大心率。 （3）解：设李叔叔今年岁。 答：李叔叔今年35岁。 27．（本题5分）（25-26五年级上·江西赣州·期中）看图解决问题。 （1）图中空白部分的面积是（    ），整个图形的面积是（    ），涂色部分的面积是（    ）。 （2）当a＝9厘米，b＝6厘米，c＝4厘米时，求整个图形的周长和涂色部分的面积。 【答案】（1）bc；ac；c（a－b） （2）周长26厘米；面积12平方厘米 【思路引导】先分析图形组成：这个图形是长为a、宽为c的大长方形，包含一个长b、宽c的空白小长方形和涂色部分。（1）根据长方形面积公式，空白部分面积是b×c，整个图形面积是a×c，涂色部分面积是大长方形面积减空白部分面积，即a×c－b×c＝c×（a－b）。 （2）当a＝9厘米、b＝6厘米、c＝4厘米时，整个图形的周长按长方形周长公式：C＝（a＋b）×2计算；涂色部分是长（9－6）厘米、宽4厘米的长方形，代入面积公式S＝ab计算即可。 【规范解答】（1）空白部分面积：b×c＝bc 整个图形面积：a×c＝ac 涂色部分面积：a×c－b×c＝c（a−b） 答：空白部分的面积是bc，整个图形的面积是ac，涂色部分的面积是c（a－b）； （2）整个图形的周长： （a＋c）×2 ＝（9＋4）×2 ＝26 （厘米） 涂色部分的面积： （a－b）×c ＝（9－6）×4 ＝12 （平方厘米）   答：整个图形的周长是26厘米，涂色部分的面积是12平方厘米。 28．（本题5分）（25-26五年级上·山东聊城·期中）南京到上海的距离为330千米，一辆快车从南京开往上海，一辆慢车从上海开往南京，两车同时出发，相向而行，快车每小时行75千米，慢车每小时行65千米，几小时后两车还相距50千米。（列方程解答） 【答案】2小时 【思路引导】两车还相距50千米，即实际两车行驶的总路程为（330－50）千米；设小时后两车还相距50千米，根据“路程＝速度×时间”分别计算出小时的时候快车和慢车行驶的路程；再根据等量关系式“快车行驶的路程＋慢车行驶的路程＝两车实际行驶的总路程”代入数值列出方程并解答。 【规范解答】解：设小时后两车还相距50千米。 答：2小时后两车还相距50千米。 29．（本题6分）（24-25五年级上·山东滨州·期中）用黑白两种颜色的六边形地砖铺成下图的图案。 （1）第1个图中有白色地砖6块，第2个图中有白色地砖10块，第3个图形中有白色地砖14块，第4个图形中有白色地砖（    ）块，第5个图形中有白色地砖（    ）块。 （2）按这样铺下去，第个图形中有白色地砖多少块？ （3）当时，铺成的图形中白色地砖有多少块？ 【答案】（1）18；22 （2）（4n＋2）块 （3）102块 【思路引导】（1）观察图形，第1个图形有白色地砖6块：6＝4×1＋2，第2个图形有白色地砖10块：10＝4×2＋2，第3个图形有白色地砖14块：14＝4×3＋2。由此可总结规律：第n个图形的白色地砖数为4n＋2块。所以第4个图形白色地砖为：4×4＋2＝18（块）；第5个图形白色地砖为：4×5＋2＝22（块）。 （2）第n个图形的白色地砖数，由上述规律，第n个图形中白色地砖数为（4n＋2）块。 （3）当n＝25时的白色地砖数，将n＝25代入规律公式（4n＋2）得：4×25＋2＝102（块）。 【规范解答】（1）第1个图形：6＝4×1＋2 第2个图形：10＝4×2＋2 第3个图形：14＝4×3＋2 第n个图形的白色地砖数为（4n＋2）块。 第4个图形： 4×4＋2 ＝16＋2 ＝18（块） 第5个图形： 4×5＋2 ＝20＋2 ＝22（块） 第4个图形中有白色地砖18块，第5个图形中有白色地砖22块。 （2）答：第n个图形中白色地砖数有（4n＋2）块。 （3）当n＝25时； 4×25＋2 ＝100＋2 ＝102（块） 答：当时，铺成的图形中白色地砖有102块。 30．（本题5分）（24-25五年级上·宁夏银川·期中）甲、乙、丙三个人买食品，甲买了4根棒棒糖、1瓶果汁和10包小饼干，付了33.5元；乙买了同样的3根棒棒糖、1瓶果汁和7包小饼干，付了26元；丙买了同样的2根棒棒糖、2瓶果汁和2包小饼干，需付多少元？ 【答案】22元 【思路引导】由题意可知，计算丙需要付的钱数时，必须以甲和乙所买食品的数量及所付的钱数为突破口。通过比较，发现：甲买的食品数量×2＝8根棒棒糖＋2瓶果汁＋20包小饼干，乙买的食品数量×3＝9根棒棒糖＋3瓶果汁＋21包小饼干，此时他们购买商品数量的差为（9根棒棒糖＋3瓶果汁＋21包小饼干）－（8根棒棒糖＋2瓶果汁＋20包小饼干），化简可得，1根棒棒糖＋1瓶果汁＋1包小饼干＝26×3－33.5×2＝11元，由此求出（1根棒棒糖＋1瓶果汁＋1包小饼干）×2需要付的钱数，据此解答。 【规范解答】甲：4根棒棒糖＋1瓶果汁＋10包小饼干＝33.5元 （4根棒棒糖＋1瓶果汁＋10包小饼干）×2＝33.5元×2 8根棒棒糖＋2瓶果汁＋20包小饼干＝67元 乙：3根棒棒糖＋1瓶果汁＋7包小饼干＝26元 （3根棒棒糖＋1瓶果汁＋7包小饼干）×3＝26元×3 9根棒棒糖＋3瓶果汁＋21包小饼干＝78元 （9根棒棒糖＋3瓶果汁＋21包小饼干）－（8根棒棒糖＋2瓶果汁＋20包小饼干） ＝9根棒棒糖＋3瓶果汁＋21包小饼干－8根棒棒糖－2瓶果汁－20包小饼干 ＝1根棒棒糖＋1瓶果汁＋1包小饼干 ＝78－67 ＝11（元） （1根棒棒糖＋1瓶果汁＋1包小饼干）×2＝11元×2 2根棒棒糖＋2瓶果汁＋2包小饼干＝22元 答：丙需付22元。 【考点剖析】仔细分析题意并运用等式的性质2化简求出1根棒棒糖、1瓶果汁和1包小饼干需要付的钱数是解答题目的关键。 31．（本题5分）（23-24四年级下·北京海淀·期末）妙想用小圆片按照一定的规律摆图形，如下图所示。摆第1幅图用了5个圆片，摆第2幅图用了9个圆片，摆第3幅图用子13个圆片。    （1）按照这样的规律，请你在第4幅图的位置上画一画摆出的图形。 （2）按照这样的规律，请你想一想，填一填。 第几幅 1 2 3 4 （    ） … 需要圆片个数 5 9 13 （    ） （    ） … （3）按照这样的规律，摆第10幅图需要多少个圆片？用算式表达出你的思考过程。 （4）通过解决前面摆图形需要多少个圆片的问题，你一定发现了其中的规律，试着用简洁的方式把你发现的规律表示出来。 【答案】（1） （2）5； 17；21 （3）41个；5＋4＋4＋4＋4＋4＋4＋4＋4＋4＝41 （4）第n幅用了小圆片的个数为（1＋4n）个（答案不唯一） 【思路引导】（1）观察发现摆第1幅图用了5个圆片；摆第2幅图在第1幅图的基础上在上、下、左、右各加了1个小圆片，共加了4个小圆片，也就是5＋4＝9（个）小圆片；摆第3幅图在第2幅图的基础上在上、下、左、右各加了1个小圆片，共加了4个小圆片，也就是9＋4＝13（个）小圆片；那么摆第4幅图在第3幅图的基础上在上、下、左、右各加了1个小圆片，共加了4个小圆片，也就是13＋4＝17（个）小圆片； （2）摆第5幅图在第4幅图的基础上在上、下、左、右各加了1个小圆片，共加了4个小圆片，也就是17＋4＝21（个）小圆片，根据第几幅对应的小圆片的数量填空即可； （3）第一幅小圆片为5个，第二幅小圆片为（5＋4）个，第3幅小圆片为（5＋4＋4）个，第4幅小圆片为（5＋4＋4＋4）个，第5幅小圆片为（5＋4＋4＋4＋4）个，…，以此类推，第10幅小圆片为（5＋4＋4＋4＋4＋4＋4＋4＋4＋4）个； （4）观察发现每一幅都是在前一幅图小圆片的基础上，加4个小圆片；那么以1个小圆片为基础，第1幅在1个小圆片的基础上加了1个4，第2幅在1个小圆片的基础上加了2个4，第3幅在1个小圆片的基础上加了3个4，…，以此类推，第n幅就是在1个小圆片的基础上加了n个4；据此解答。 【规范解答】（1）图略。 （2）如表： 第几幅 1 2 3 4 5 … 需要圆片个数 5 9 13 17 21 … （3）5＋4＋4＋4＋4＋4＋4＋4＋4＋4＝41（个） 答：摆第10幅图需要41个圆片。 （4）第1幅： 1＋4×1 ＝1＋4 ＝5（个） 第2幅： 1＋4×2 ＝1＋8 ＝9（个） 第3幅： 1＋4×3 ＝1＋12 ＝13（个） 第n幅： 1＋4×n＝（1＋4n）个 答：我发现的规律是第n幅用了小圆片的个数为（1＋4n）个。（答案不唯一） 【考点剖析】本题主要考查了图形的变化规律，发现每一幅图都是在上一幅的基础上加了4个小圆片，是解答本题的关键。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四单元 用字母表示（一）「期中复习拔尖练〈真题汇编讲练〉」 同学你好，该份讲义用于北师大版新教材数学五年级上册内容的学习和复习，强化解题技巧，提升应试能力，拓展题型广度。非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 知识梳理，温故知新：强化巩固细节知识，给出具体知识内容，解题方法，明确考察方向，帮助你理解运用知识点； 2. 真题汇编，满分特训：优选高频考察点，汇编整理，精选近两年各地名校期中真题，精耕细作，充分学习专题考察内容；难度由浅入深，层层递进，设置百分卷满分冲刺！ 知识点一 用字母表示数 1. 基本概念 在数学中，我们可以用字母（如 等）来表示数。字母可以表示任意数，也可以表示特定的数。 (1) 作用：使表达更简洁，具有普遍性。 (2) 取值范围：字母表示的数通常有一定的取值范围，需符合实际意义。例如，人的年龄 不能是负数，也不能超过合理寿命（如 ）。 2. 书写规范（重点） (1) 数字与字母相乘时，乘号可以记作“ ”或省略不写。 (2) 数字必须写在字母前面。 例： 写作 （不可写作 ）。 例： 写作 （1通常省略）。 (3) 字母与字母相乘，乘号可省略或记作“ ”。 例： 写作 或 。 (4) 注意：加号、减号、除号以及数字与数字之间的乘号不能省略。 3. 相同字母相乘 (1) 写作 ，读作“ 的平方”，表示2个 相乘。 (2) 易错区分： 1　 2　 3　 当 时， （相等）；当 时， （不相等）。 知识点二 用字母表示数量关系 1. 常见数量关系模型 利用字母表示常见的加减关系，关键在于找准“标准量”和“比较量”。 关系类型 文字描述 字母表达式示例 加法关系 比 多 的数 减法关系 比 少 的数 倍数关系 的 倍 逆倍数 是某数的 倍，求某数 2. 实际应用示例 (1) 年龄问题：小明今年 岁，爸爸比小明大28岁，爸爸今年 岁。 (2) 购物问题：苹果每千克 元，买5千克应付 元。 (3) 剩余问题：一本故事书共 页，看了 天，每天看 页，还剩 页。 知识点三 用字母表示运算定律及计算公式 1. 运算定律 使用字母表示运算定律，体现数学的通用性。 (1) 加法交换律： (2) 加法结合律： (3) 乘法交换律： (4) 乘法结合律： (5) 乘法分配律： 2. 平面图形计算公式 设正方形的边长为 ，长方形的长为 、宽为 。 图形 周长公式 ( ) 面积公式 ( ) 正方形 长方形 知识点四 用字母表示稍复杂的数量关系 1. 两步及以上运算的关系 涉及混合运算时，需注意运算顺序，必要时使用括号。 (1) 示例1：学校买来 个足球，篮球的个数比足球的3倍少5个。 篮球个数： (2) 示例2：甲数是 ，乙数比甲数的2倍多 。 乙数： (3) 示例3：修路队第一天修了 米，第二天修的是第一天的2倍，两天共修多少米？ 总长度： 2. 含有两个未知量的简单关联 虽然本阶段主要侧重一个主变量，但需理解总量与分量的关系。 (1) 总路程 = 速度 时间：若速度为 ，时间为 ，则路程 。 (2) 工作总量 = 工作效率 工作时间：若效率为 ，时间为 ，则总量 。 知识点五 利用等式的性质求未知数 1. 等式的性质 (1) 性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。 若 ，则 ， 。 (2) 性质2：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。 若 ，则 ；若 ，则 。 2. 简易求解思路（算术法过渡到代数法） (1) 对于 ，利用减法关系： 。 (2) 对于 ，利用除法关系： 。 (3) 对于 ，利用加法关系： 。 (4) 对于 ，利用乘法关系： 。 知识点六 含有字母式子的化简与求值 1. 式子的化简 利用乘法分配律合并同类项。 (1) (2) (3) 示例： 1　 2　 3　 （注意： 等同于 ） 2. 式子求值步骤 (1) 写出原式：抄写含有字母的式子。 (2) 代入数值：将字母替换为具体的数字（注意添加乘号或括号）。 (3) 计算结果：按照运算顺序计算出最终数值，并带上单位（如果有）。 (4) 示例：当 时，求 的值。 解：当 时， 知识点七 数与形（归纳递推） 1. 找规律方法 通过观察图形数量或数字序列的变化，找出第 个图形/数字与序号 之间的关系。 2. 常见模型 (1) 线性增长模型： 1　 摆三角形：1个三角形用3根小棒，2个连摆用5根，3个连摆用7根…… 2　 规律：每增加1个三角形，增加2根小棒。 3　 第 个图形所需小棒数： 。 (2) 正方形点阵： 1　 第1个图1个点，第2个图4个点，第3个图9个点…… 2　 规律：点数是序号的平方。 3　 第 个图的点数： 。 3. 解题策略 (1) 列表整理前几个数据。 (2) 观察相邻两项的差或倍数关系。 (3) 尝试用含 的式子表示，并验证前几项是否成立。 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.43（较难） 一．仔细想，认真填（共8小题，满分19分，每空1分） 1．（本题2分）（26-27五年级上·四川甘孜·期中）用小棒按照如图所示摆下去，摆出第5个图形需要( )根小棒，摆出第n个图形需要( )根小棒。 2．（本题3分）（26-27五年级上·四川甘孜·期中）一本故事书有200页，王欣每天看m页，看了3天后，一共看了( )页，还剩( )页没看，王欣第四天应从第( )页开始看。 3．（本题4分）（26-27五年级上·四川甘孜·期中）根据式子选择合适的含义。（把正确答案的序号填在括号里） 李阿姨每小时制作a个中国结，她上午制作4小时，下午制作3小时。 ①李阿姨一天制作的中国结个数；②李阿姨上午制作的中国结个数； ③李阿姨下午制作的中国结个数；④李阿姨上午比下午多制作的中国结个数。 a×4表示( )；a×3表示( )； a×（4－3）表示( )；a×（4＋3）表示( )。 4．（本题2分）（25-26五年级上·甘肃酒泉·期中）新素养几何直观如图，同学们按照正六边形点阵植树，一个点代表一棵树苗。点阵的中心是1棵树苗，算作第一层，第二层每条边2棵树苗，第三层每条边3棵树苗，第四层每条边4棵树苗……照这样植树，这个点阵的第8层需要( )棵树苗；第层需要( )棵树苗。 5．（本题2分）（25-26五年级上·陕西安康·阶段检测）文具店购入一批笔记本，平均每天卖出a本，卖了8天后还剩b本。已经卖出( )本，这批笔记本一共有( )本。 6．（本题2分）（24-25六年级下·贵州遵义·期末）认真观察如图所示的点阵图，按这样的规律，第6幅图一共有( )个圆点，第n幅图一共有( )个圆点。 7．（本题2分）（25-26五年级上·江苏徐州·期中）如下图，1张餐桌可以坐6人，两张餐桌可以坐10人，3张餐桌可以坐14人，像这样4张餐桌可以坐( )人，张餐桌可以坐( )人。 8．（本题2分）（25-26四年级下·山东·期末）围棋的起源可追溯到春秋中叶之前，在我国有悠久的历史。淘气和爸爸不仅是围棋高手，还喜欢利用围棋探索一些规律。星期天，爸爸在棋盘上摆出了如下图形，淘气好奇地研究起来：第7个图形中，黑棋有( )枚，第n个图形黑棋有( )枚。 二．慎重选择（共5小题，满分5分） 9．（本题1分）（25-26五年级上·山东聊城·期中）在a×b＝c（a，b都不等于0）中，b不变，a扩大到原来的10倍，则c（    ）。 A．缩小到原来的 B．扩大到原来的10 C．扩大到原来的10倍 10．（本题1分）（25-26五年级上·甘肃酒泉·期中）如果（a，b都大于零），那么a，b的大小关系是（    ）。 A． B． C． D．无法确定 11．（本题1分）（25-26五年级上·甘肃酒泉·期中）根据淘气和李老师的对话，可知当淘气m岁时，李老师（    ）岁。 A． B．36 C． D． 12．（本题1分）（26-27五年级上·四川宜宾·期中）如果一个人每天摄取的食盐量是10.5克，比世界卫生组织建议的每人每天食盐量的2倍少1.5克。如果用a表示世界卫生组织建议的每人每天的食盐量，下列数量关系正确的是（    ）。 A．10.5－1.5＝2a B．2a－1.5＝10.5 C．2a＋1.5＝10.5 D．10.5－2a＝1.5 13．（本题1分）（26-27六年级上·辽宁·单元测试）一张桌子坐6人，两张桌子拼起来坐10人，三张桌子拼起来坐14人……照这样拼下去，n张桌子拼起来可以坐（    ）人。 A．4n＋2 B．6n C．6n－2 D．4n 三、准确判断（共5小题，满分5分） 14．（本题1分）（25-26四年级下·陕西汉中·期末）长方形周长是x厘米，宽是4厘米，那么长是（x－4）厘米。( ) 15．（本题1分）（24-25五年级下·江苏盐城·期中）晨晨今年x岁，妹妹今年（x－3）岁，再过5年，他们相差5岁。( ) 16．（本题1分）（23-24五年级上·河南南阳·期中）若一个等腰三角形的底边为m，腰为n，则它的周长为2m＋n。( ) 17．（本题1分）（20-21五年级上·河南漯河·期末）根据等式的性质，如果3.5x＝14，那么3.5x÷0.5＝28。( ) 18．（本题1分）（18-19五年级上·全国·期末）等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立。( ) 四、计算能手（共1小题，满分6分） 19．（本题6分）（25-26五年级上·山东德州·期中）解方程。 x－0.75x＝0.38         2.7＋5x＝6.35         8.28－x＝2.8 五、解决实际问题（共12小题，满分65分） 20．（本题4分）（26-27五年级上·四川甘孜·期中）某合作社年初有社员s人，年内新增社员a人，但有b人因搬迁退出。每位社员年底可分得年度红利1200元。合作社年底需发放的红利总额是多少? 21．（本题6分）（26-27五年级上·四川内江·期中）爸爸坐动车从A地到B地需要a小时，动车平均每小时行驶160km。如果改乘高铁只需要b小时（b＜a）。 (1)用含有字母的式子表示高铁每小时行驶多少千米。 (2)如果a＝1.8，b＝1.2，此时高铁平均每小时行驶多少千米？ 22．（本题6分）（26-27五年级上·辽宁·课后作业）爸爸今年38岁，儿子今年10岁。 (1)写出一个等式表示“爸爸的年龄－儿子的年龄＝年龄差”。 (2)几年后，这个年龄差会变化吗？为什么？ (3)如果过了年，爸爸和儿子的年龄都增加了岁，请写出新的等式，并说明为什么成立。 23．（本题5分）（26-27五年级上·辽宁·课后作业）小区花坛外围的墙面要贴上瓷片，贴瓷片的师傅将瓷片按如图所示的方式拼成一组图案，图案由宽为a的4个完全一样的小长方形瓷片拼成，用式子表示整个图形的周长和面积。 24．（本题6分）（25-26四年级下·河北邢台·期末）小刚和小亮两人同时从家出发相向而行，12分钟后相遇。 (1)用含有字母的式子表示小刚家到小亮家的距离。 (2)当a＝65，b＝55时，他们两家的距离是多少米？ 25．（本题6分）（25-26五年级上·山东济南·期末）下图是小明家客厅和餐厅的平面图。（单位：米） (1)小明家的客厅比餐厅的面积大_________平方米。（用含有字母的式子表示） (2)如果客厅比餐厅的面积多15平方米，客厅宽多少米？ 26．（本题6分）（25-26五年级上·广东东莞·期末）运动可以强化心肺功能、强化骨骼与肌肉、调节代谢与体重和提升免疫力。但过量高强度运动也会对身体健康造成多方面的危害。人们运动时需根据自身情况选择最大心率运动或有氧心率运动。 (1)最大心率是人体在极限运动时心脏每分钟跳动的最高次数，常用于制定运动强度参考。计算时，最常用的公式是220－年龄，如用a表示一个人的年龄，用b表示正常情况下这个人在运动时最大心率，则有b＝220－a。正常情况下，一个11岁的青少年在运动时最大心率是每分钟心跳多少次？ (2)有氧心率是指运动时身体主要依赖氧气代谢供能。有氧运动可以促进脂肪分解、增强心肺耐力，能有效提升心肺功能、燃烧脂肪且不超出身体负荷，避免高强度运动带来的疲劳或损伤风险。有氧心率通常最高为（220－年龄）×0.8，如a表示一个人的年龄，用c表示正常情况下这个人在有氧运动时最大心率，则有c＝0.8×（220－a）。张老师今年45岁，他在有氧运动时最高心率为每分钟跳146次，在本次有氧运动中，张老师超出了有氧运动时最大心率吗？ (3)李叔叔算出自己有氧运动时最大心率是每分钟跳148次，李叔叔今年多少岁？（列方程解答） 27．（本题5分）（25-26五年级上·江西赣州·期中）看图解决问题。 （1）图中空白部分的面积是（    ），整个图形的面积是（    ），涂色部分的面积是（    ）。 （2）当a＝9厘米，b＝6厘米，c＝4厘米时，求整个图形的周长和涂色部分的面积。 28．（本题5分）（25-26五年级上·山东聊城·期中）南京到上海的距离为330千米，一辆快车从南京开往上海，一辆慢车从上海开往南京，两车同时出发，相向而行，快车每小时行75千米，慢车每小时行65千米，几小时后两车还相距50千米。（列方程解答） 29．（本题6分）（24-25五年级上·山东滨州·期中）用黑白两种颜色的六边形地砖铺成下图的图案。 （1）第1个图中有白色地砖6块，第2个图中有白色地砖10块，第3个图形中有白色地砖14块，第4个图形中有白色地砖（    ）块，第5个图形中有白色地砖（    ）块。 （2）按这样铺下去，第个图形中有白色地砖多少块？ （3）当时，铺成的图形中白色地砖有多少块？ 30．（本题5分）（24-25五年级上·宁夏银川·期中）甲、乙、丙三个人买食品，甲买了4根棒棒糖、1瓶果汁和10包小饼干，付了33.5元；乙买了同样的3根棒棒糖、1瓶果汁和7包小饼干，付了26元；丙买了同样的2根棒棒糖、2瓶果汁和2包小饼干，需付多少元？ 31．（本题5分）（23-24四年级下·北京海淀·期末）妙想用小圆片按照一定的规律摆图形，如下图所示。摆第1幅图用了5个圆片，摆第2幅图用了9个圆片，摆第3幅图用子13个圆片。    （1）按照这样的规律，请你在第4幅图的位置上画一画摆出的图形。 （2）按照这样的规律，请你想一想，填一填。 第几幅 1 2 3 4 （    ） … 需要圆片个数 5 9 13 （    ） （    ） … （3）按照这样的规律，摆第10幅图需要多少个圆片？用算式表达出你的思考过程。 （4）通过解决前面摆图形需要多少个圆片的问题，你一定发现了其中的规律，试着用简洁的方式把你发现的规律表示出来。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年数学五年级上册期中真题汇编尖子生培优讲练「北师大版新教材] 第四单元用字母表示（一）「期中复习拔尖练〈真题汇编讲练〉」 资料简个内容知晓 同学你好，该份讲义用于北师大版新教材数学五年级上册内容的学习和复习，强化解题技巧，提升应 试能力，拓展题型广度。非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1.知识梳理，温故知新：强化巩固细节知识，给出具体知识内容，解题方法，明确考察方向，帮助你 理解运用知识点； 2.真题汇编，满分特训：优选高频考察点，汇编整理，精选近两年各地名校期中真题，精耕细作，充 分学习专题考察内容；难度由浅入深，层层递进，设置百分卷满分冲刺！ 思维导图，知迟梳理 北师大版·数学·五年级上册·期中复习知识清单 一、买文具：小数乘法的意义 二、小数乘法的计算方法 求几个相同加数的和是多少，用乘法计算 小数桑法的意义：求几个相同小数的和是多少 1.按整数乘法计算。 11114 2.看因数中一共有几位小数， 就在积中从右向左数出几位，点上小数点。 0.6元 1.8元 0.2元 0.9元 知识梳理 0.3 0.3×0.2=0.06 0.2元=2角. 思维导图》 4个0.2元相加 是0.8元. 2×4=8(角) 8角=0.8元. 中用 也就是0.2×4=0.8（元） 1×1=1 1×0.3=0.3 0.3×02=0.06 积的小数位数与垂数的小数位数关系： a×b=c(个)… 求几个相同小数的和 第一因的小数位数+第二因数的小数位数■积的小数位数 其中：ā表示相同加数，b表示相同加数的个数，c表示和 录制： 2×0.3=0.602×03=0.060.85×3=2.550.85×03=0.255 第三单元 0 2 三、积的小数位数与乘数的关系 小数乘法 第二国数的小数位数 0 1 积的小数位数 2 2 算式 2×03-Q602×03=0.06085×325505×03-025 第一因数的小数位数 0 四、笔算小数乘法的计算步骤 1 2 2.4×1.2=2.88 第二因数的小数位数 1 0 1 1,先按黑整数乘法计算。 积的小数位数 2 2 3 2.看因数中一共有几位小数， →一共有1+1=2位小数 就在积中从右向左数出几位，点上小数点。 48 规律：第一因数的小数位数+第二因数的小数位数=积的小数位数 24 从右向左数出2位 注意：因数是整数时，小数位数看作0 2.88 燕上小小数秦 小数乘法并不难， 五、小数乘法解决问题 方法掌握是关健！ 六、练习与应用（拓展） 1读题理解，找出条件和问题 常用关系式 细心计算不马虎】 ★总价=单价×数量 解决问题笑开颜」 1.果计每瓶2.5元，买24瓶，2草坪每平方米004k相二氧化破 3国丁要用篇爸德围花周 2分析数量关系，列式计算 ★路程=逢度满时间 应付多少低？ 草拜每天大约可缓收多少千克 3计算并检验，写出答案 ★达价=单价×数量+其他费用 及7m 4答得单位名称。 ★体积=底面积×高 4m (4+2)×2+27×2■13.4(m) 头可 解题技巧 10m ,清板的长度是身高的1.45倍 2.5×24=60(元) 10×6×0.04=2.4(kg】 身高17m,用多长的言板 2.小数来法注意积的小数住数。 2.国数的小数位数数精 3单位换算要 3单位混清或来写单位 1.7×1.45=2.465(m) .结果要与问题结合，写出完整答案 4计算过马虎：错数字 5估算结果与得相差太大 记住：多观察、勒思孝、善总结，小数乘法一定能学好！货 知迟清单，温故知新 知识点一用字母表示数 1.基本概念 在数学中，我们可以用字母（如a,b,c,x,y等）来表示数。字母可以表示任意数，也可以表示特定的 数。 第1页共12页 2026-2027学年数学五年级上册期中真题汇编尖子生培优讲练「北师大版新教材] (1)作用：使表达更简洁，具有普遍性。 (2)取值范围：字母表示的数通常有一定的取值范围，需符合实际意义。例如，人的年龄a不能是负 数，也不能超过合理寿命（如a<150)。 2.书写规范（重点） (1)数字与字母相乘时，乘号可以记作“.”或省略不写。 (2)数字必须写在字母前面。 例：a×4写作4a（不可写作a4)。 例：b×1写作b（1通常省略)。 (3)字母与字母相乘，乘号可省略或记作“”。 例：a×b写作ab或a·b。 (4)注意：加号、减号、除号以及数字与数字之间的乘号不能省略。 3.相同字母相乘 (1)a×a写作a2,读作“a的平方”，表示2个a相乘。 (2)易错区分： ①a2=a×a ②2a=a+a=a×2 ③当a=2时，a2=4,2a=4(相等)；当a=3时，a2=9,2a=6（不相等)。 知识点二用字母表示数量关系 1.常见数量关系模型 利用字母表示常见的加减关系，关键在于找准“标准量”和“比较量” 关系类型 文字描述 字母表达式示例 加法关系 比x多a的数 x+a 减法关系 比x少a的数 x-a 倍数关系 x的a倍 ax 逆倍数 x是某数的a倍，求某数 x÷a 2.实际应用示例 (1)年龄问题：小明今年x岁，爸爸比小明大28岁，爸爸今年(x+28)岁。 (2)购物问题：苹果每千克a元，买5千克应付5a元。 (3)剩余问题：一本故事书共m页，看了n天，每天看k页，还剩(m-nk页。 第2页共12页 2026-2027学年数学五年级上册期中真题汇编尖子生培优讲练「北师大版新教材] 知识点三用字母表示运算定律及计算公式 1.运算定律 使用字母表示运算定律，体现数学的通用性。 (1)加法交换律：a+b=b+a (2)加法结合律：(a+b)+c=a+b+c) (3)乘法交换律：ab=ba (4)乘法结合律：(ab)c=abc) (⑤)乘法分配律：(a+b)c=ac+bc 2.平面图形计算公式 设正方形的边长为a,长方形的长为a、宽为b。 图形 周长公式(C) 面积公式（S) 正方形 C=4a S=a2 长方形 C=2(a+b) S=ab 知识点四用字母表示稍复杂的数量关系 1.两步及以上运算的关系 涉及混合运算时，需注意运算顺序，必要时使用括号。 (1)示例1：学校买来x个足球，篮球的个数比足球的3倍少5个。 篮球个数：3x-5 (2)示例2：甲数是a,乙数比甲数的2倍多b。 乙数：2a+b (3)示例3：修路队第一天修了a米，第二天修的是第一天的2倍，两天共修多少米？ 总长度：a+2a=3a 2.含有两个未知量的简单关联 虽然本阶段主要侧重一个主变量，但需理解总量与分量的关系。 (1)总路程=速度×时间：若速度为V,时间为t,则路程s=t。 (2)工作总量=工作效率×工作时间：若效率为a,时间为t,则总量W=at。 知识点五利用等式的性质求未知数 1.等式的性质 ()性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。 第3页共12页 2026-2027学年数学五年级上册期中真题汇编尖子生培优讲练「北师大版新教材] 若a=b,则a+c=b+c,a-c=b-c。 (2)性质2：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。 若a=b,则ac=bc;若c≠0，则a÷c=b÷co 2.简易求解思路（算术法过渡到代数法） (1)对于x+a=b,利用减法关系：x=b-a。 (2)对于ax=b,利用除法关系：x=b÷a。 (3)对于x-a=b,利用加法关系：x=b+a。 (4)对于x÷a=b,利用乘法关系：x=ab。 知识点六含有字母式子的化简与求值 1.式子的化简 利用乘法分配律合并同类项。 (1)ax+bx=(a+b)x (2)ax-bx=(a-b)x (3)示例： ①3a+5a=(3+5)a=8a ②7x-2x=5x 34y+y=5y(注意：y等同于1y) 2.式子求值步骤 (1)写出原式：抄写含有字母的式子。 (2)代入数值：将字母替换为具体的数字（注意添加乘号或括号）。 (3)计算结果：按照运算顺序计算出最终数值，并带上单位（如果有)。 (4)示例：当a=5,b=3时，求2a+3b的值。 解：当a=5,b=3时， 2a+3b=2×5+3×3 =10+9 =19 知识点七数与形（归纳递推） 1.找规律方法 通过观察图形数量或数字序列的变化，找出第n个图形/数字与序号n之间的关系。 2.常见模型 第4页共12页 2026-2027学年数学五年级上册期中真题汇编尖子生培优讲练「北师大版新教材] (1)线性增长模型： ①摆三角形：1个三角形用3根小棒，2个连摆用5根，3个连摆用7根… ②规律：每增加1个三角形，增加2根小棒。 ③第n个图形所需小棒数：3+2(n-1)=2n+1。 (2)正方形点阵： ①第1个图1个点，第2个图4个点，第3个图9个点… ②规律：点数是序号的平方。 ③第n个图的点数：n。 3.解题策略 (1)列表整理前几个数据。 (2)观察相邻两项的差或倍数关系。 (3)尝试用含n的式子表示，并验证前几项是否成立。 真题汇编满分特训 检测时间：90分钟 试题满分：100分难度系数：0.43（较难） 一.仔细想，认真填（共8小题，满分19分，每空1分) 1.(本题2分)(26-27五年级上四川甘孜期中)用小棒按照如图所示摆下去，摆出第5个图形需要( 根小棒，摆出第n个图形需要( )根小棒。 口>口口>口口口>… ② ③ 2.(本题3分)(26-27五年级上·四川甘孜·期中)一本故事书有200页，王欣每天看m页，看了3天 后，一共看了( )页，还剩( )页没看，王欣第四天应从第( )页开始看。 3.(本题4分)(26-27五年级上·四川川甘孜·期中)根据式子选择合适的含义。（把正确答案的序号填 在括号里) 李阿姨每小时制作a个中国结，她上午制作4小时，下午制作3小时。 ①李阿姨一天制作的中国结个数；②李阿姨上午制作的中国结个数： ③李阿姨下午制作的中国结个数：④李阿姨上午比下午多制作的中国结个数。 a×4表示( )；aX3表示( )； a×(4-3)表示( );a×(4十3)表示( )。 第5页共12页 2026-2027学年数学五年级上册期中真题汇编尖子生培优讲练「北师大版新教材] 4.(本题2分)(25-26五年级上·甘肃酒泉·期中)新素养几何直观如图，同学们按照正六边形点阵植 树，一个点代表一棵树苗。点阵的中心是1棵树苗，算作第一层，第二层每条边2棵树苗，第三层每条边3 棵树苗，第四层每条边4棵树苗…照这样植树，这个点阵的第8层需要( )棵树苗：第n(n>1)层需 要( )棵树苗。 5.(本题2分)(25-26五年级上·陕西安康·阶段检测)文具店购入一批笔记本，平均每天卖出a本， 卖了8天后还剩b本。已经卖出()本，这批笔记本一共有( )本。 6.(本题2分)(24-25六年级下·贵州遵义·期末)认真观察如图所示的点阵图，按这样的规律，第6 幅图一共有( )个圆点，第n幅图一共有( )个圆点。 ● ●● ●●● ●● ●●● ●●●● ●●● ●●●●●●●●● ① ② ③ 7.(本题2分)(25-26五年级上·江苏徐州·期中)如下图，1张餐桌可以坐6人，两张餐桌可以坐10 人，3张餐桌可以坐14人，像这样4张餐桌可以坐( )人，n张餐桌可以坐( )人。 。。000Q 8.(本题2分)(25-26四年级下·山东·期末)围棋的起源可追溯到春秋中叶之前，在我国有悠久的历 史。淘气和爸爸不仅是围棋高手，还喜欢利用围棋探索一些规律。星期天，爸爸在棋盘上摆出了如下图形， 淘气好奇地研究起来：第7个图形中，黑棋有( )枚，第n个图形黑棋有( )枚。 2 3 二.慎重选择（共5小题，满分5分） 9.(本题1分)(25-26五年级上·山东聊城·期中)在aXb=c（a,b都不等于0)中，b不变，a扩大 到原来的10倍，则c()。 第6页共12页 2026-2027学年数学五年级上册期中真题汇编尖子生培优讲练「北师大版新教材」 A.缩小到原来的品 B.扩大到原来的10 C.扩大到原来的10倍 10.(本题1分)(25-26五年级上·甘肃酒泉·期中)如果a×2.4=b-2.4(a,b都大于零)，那么a, b的大小关系是( )。 A.a>b B.a<b C.a=b D.无法确定 11.(本题1分)(25-26五年级上·甘肃酒泉·期中)根据淘气和李老师的对话，可知当淘气m岁时，李 老师( )岁。 我比你大26岁 我今年10岁了。 李老师 应欧淘气 A.m+10 B.36 C.26+m D.36-m 12.(本题1分)(26-27五年级上·四川宜宾·期中)如果一个人每天摄取的食盐量是10.5克，比世界 卫生组织建议的每人每天食盐量的2倍少1.5克。如果用a表示世界卫生组织建议的每人每天的食盐量， 下列数量关系正确的是( )。 A.10.5-1.5=2aB.2a-1.5=10.5 C.2a+1.5=10.5 D.10.5-2a=1.5 13.(本题1分)(26-27六年级上·辽宁·单元测试)一张桌子坐6人，两张桌子拼起来坐10人，三张 桌子拼起来坐14人…照这样拼下去，n张桌子拼起来可以坐( )人。 A.4n+2 B.6n C.6n-2 D.4n 三、准确判断（共5小题，满分5分) 14.（本题1分)(25-26四年级下·陕西汉中·期末)长方形周长是x厘米，宽是4厘米，那么长是(x -4)厘米。( 15.（本题1分)（24-25五年级下·江苏盐城·期中)晨晨今年x岁，妹妹今年(x-3)岁，再过5年， 他们相差5岁。( ) 16.（本题1分)(23-24五年级上·河南南阳·期中)若一个等腰三角形的底边为m,腰为n,则它的周 长为2m十n。( 17.(本题1分)(20-21五年级上·河南漯河·期末)根据等式的性质，如果3.5x=14,那么3.5x÷0.5 =28。( 18.(本题1分)(18-19五年级上·全国期末)等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立。() 第7页共12页 2026-2027学年数学五年级上册期中真题汇编尖子生培优讲练「北师大版新教材」 四、计算能手（共1小题，满分6分) 19.(本题6分)(25-26五年级上·山东德州·期中)解方程。 x-0.75x=0.38 2.7+5x=6.35 8.28-x=2.8 五、解决实际问题（共12小题，满分65分) 20.(本题4分)(26-27五年级上·四川甘孜·期中)某合作社年初有社员s人，年内新增社员a人，但 有b人因搬迁退出。每位社员年底可分得年度红利1200元。合作社年底需发放的红利总额是多少？ 21.(本题6分)(26-27五年级上·四川内江·期中)爸爸坐动车从A地到B地需要a小时，动车平均每 小时行驶160km。如果改乘高铁只需要b小时(b<a)。 (1)用含有字母的式子表示高铁每小时行驶多少千米。 (2)如果a=1.8,b=1.2,此时高铁平均每小时行驶多少千米？ 22.(本题6分)(26-27五年级上·辽宁·课后作业)爸爸今年38岁，儿子今年10岁。 (1)写出一个等式表示“爸爸的年龄一儿子的年龄=年龄差”。 (2)几年后，这个年龄差会变化吗？为什么？ (3)如果过了a年，爸爸和儿子的年龄都增加了a岁，请写出新的等式，并说明为什么成立。 第8页共12页 2026-2027学年数学五年级上册期中真题汇编尖子生培优讲练「北师大版新教材」 23.(本题5分)(26-27五年级上·辽宁·课后作业)小区花坛外围的墙面要贴上瓷片，贴瓷片的师傅将 瓷片按如图所示的方式拼成一组图案，图案由宽为的4个完全一样的小长方形瓷片拼成，用式子表示整 个图形的周长和面积。 24.(本题6分)(25-26四年级下·河北邢台·期末)小刚和小亮两人同时从家出发相向而行，12分钟 后相遇。 我每分钟走a米。 我每分钟走b米。 小亮 (1)用含有字母的式子表示小刚家到小亮家的距离。 (2)当a=65,b=55时，他们两家的距离是多少米？ 25.(本题6分)(25-26五年级上·山东济南·期末)下图是小明家客厅和餐厅的平面图。（单位：米） 餐厅 客厅 6 (1)小明家的客厅比餐厅的面积大 平方米。（用含有字母的式子表示） (2)如果客厅比餐厅的面积多15平方米，客厅宽多少米？ 第9页共12页 2026-2027学年数学五年级上册期中真题汇编尖子生培优讲练「北师大版新教材] 26.(本题6分)(25-26五年级上·广东东莞·期末)运动可以强化心肺功能、强化骨骼与肌肉、调节代 谢与体重和提升免疫力。但过量高强度运动也会对身体健康造成多方面的危害。人们运动时需根据自身情 况选择最大心率运动或有氧心率运动。 (1)最大心率是人体在极限运动时心脏每分钟跳动的最高次数，常用于制定运动强度参考。计算时，最常用 的公式是220一年龄，如用a表示一个人的年龄，用b表示正常情况下这个人在运动时最大心率，则有b= 220一a。正常情况下，一个11岁的青少年在运动时最大心率是每分钟心跳多少次？ (2)有氧心率是指运动时身体主要依赖氧气代谢供能。有氧运动可以促进脂肪分解、增强心肺耐力，能有效 提升心肺功能、燃烧脂肪且不超出身体负荷，避免高强度运动带来的疲劳或损伤风险。有氧心率通常最高 为(220一年龄)×0.8，如a表示一个人的年龄，用c表示正常情况下这个人在有氧运动时最大心率，则 有c=0.8×（220一a)。张老师今年45岁，他在有氧运动时最高心率为每分钟跳146次，在本次有氧运动 中，张老师超出了有氧运动时最大心率吗？ (3)李叔叔算出自己有氧运动时最大心率是每分钟跳148次，李叔叔今年多少岁？（列方程解答） 27.(本题5分)(25-26五年级上·江西赣州·期中)看图解决问题。 2 (1)图中空白部分的面积是( ),整个图形的面积是( ),涂色部分的面积是( (2)当a=9厘米，b=6厘米，c=4厘米时，求整个图形的周长和涂色部分的面积。 第10页共12页 2026-2027学年数学五年级上册期中真题汇编尖子生培优讲练「北师大版新教材」 28.(本题5分)(25-26五年级上·山东聊城·期中)南京到上海的距离为330千米，一辆快车从南京开 往上海，一辆慢车从上海开往南京，两车同时出发，相向而行，快车每小时行75千米，慢车每小时行65 千米，几小时后两车还相距50千米。（列方程解答） 29.(本题6分)(24-25五年级上·山东滨州·期中)用黑白两种颜色的六边形地砖铺成下图的图案。 888888 (1)第1个图中有白色地砖6块，第2个图中有白色地砖10块，第3个图形中有白色地砖14块，第4个 图形中有白色地砖( )块，第5个图形中有白色地砖()块。 (2)按这样铺下去，第n个图形中有白色地砖多少块？ (3)当n=25时，铺成的图形中白色地砖有多少块？ 30.（本题5分)(24-25五年级上·宁夏银川·期中)甲、乙、丙三个人买食品，甲买了4根棒棒糖、1 瓶果汁和10包小饼干，付了33.5元：乙买了同样的3根棒棒糖、1瓶果汁和7包小饼干，付了26元；丙 买了同样的2根棒棒糖、2瓶果汁和2包小饼干，需付多少元？ 第11页共12页 2026-2027学年数学五年级上册期中真题汇编尖子生培优讲练「北师大版新教材」 31.(本题5分)(23-24四年级下·北京海淀·期末)妙想用小圆片按照一定的规律摆图形，如下图所示。 摆第1幅图用了5个圆片，摆第2幅图用了9个圆片，摆第3幅图用子13个圆片。 ● ● ● ●●●●● ●●●●●●● ● ● ● 第1幅 第2幅 第3幅 第4幅 (1)按照这样的规律，请你在第4幅图的位置上画一画摆出的图形。 (2)按照这样的规律，请你想一想，填一填。 第几幅 1 2 3 需要圆片个 5 9 13 … 数 (3)按照这样的规律， 摆第10幅图需要多少个圆片？用算式表达出你的思考过程。 (4)通过解决前面摆图形需要多少个圆片的问题，你一定发现了其中的规律，试着用简洁的方式把你发现 的规律表示出来。 第12页共12页nullnull