精品解析：广西壮族自治区桂林市灵川县广西师范大学附属中学2026-2027学年九年级上学期第一次学情自测数学卷

广西师范大学附属中学初中部2026年上学期九年级数学试题 （考试时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将答卷上的考生信息填写清楚，认真贴好条形码． 2．用2B铅笔答选择题，用0.5mm黑色水性笔答非选择题． 3．所有的题目请在答题卡上作答，否则无效． 4．本试卷共4页，考试结束后，请将试题卷、答题卡和草稿纸全部收回． 一．选择题（共12小题，每小题3分，共36分） 1. 下列各组线段是成比例线段的是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 2. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=3, AC=4， 则sinA的值为（ ）． A. B. C. D. 4. 如图1是一款热销花架，其侧面示意图如图2所示，若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 5. 嘉嘉周末到沧州博物馆观看沧州诗经文化展．他想了解一本古籍的长度，在古籍旁放了一支笔拍下照片如图所示．回家后量出照片上笔和古籍的长度分别为和，笔的实际长度为，则该古籍的实际长度为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平行四边形中，点E在边上，，交于点O，若，，则为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，，，垂足为，，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，以点B为圆心，长为半径画弧，交于点C，D，再分别以点C，D为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点E，作射线交于点H．若，，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 6 9. 大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”，如图，在小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，将平移，得到，点在坐标轴上．若，，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 11. 光线从空气射入水中会发生折射现象，发生折射时，满足的折射定律如图1所示：折射率（代表入射角，代表折射角）．小明为了观察光线的折射现象，设计了如图2所示的实验：通过细管可以看见水底的物块，但从细管穿过的直铁丝，却碰不到物块．图3是实验的示意图，点，，在同一直线上，测得，，．则光线从空气射入水中的折射率的值为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在四边形中，，，，，点在边上，，连接，且．点在的延长线上，连接．若，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 13. 如图，一个小球从地面沿着坡度的坡面向上前进了，此时小球距离地面的高度为_____． 14. 在一幅比例尺为的地图上量得桂林到南宁的距离为厘米，则桂林到南宁的实际距离是______千米． 15. 古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点将线段分为两线段，，使得其中较长的一段 是全长与较短的一段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点称为线段的“黄金分割”点．如图，在中，已知，，若， 是边的两个“黄金分割”点，则的面积为_______． 16. 如图，在矩形中，过点D作对角线的垂线，垂足为E，过点E作的垂线，交边于点F，如果，，那么的长是___． 三．解答题（共7小题，共72分） 17. 计算：． 18. 如图，已知． （1）求的长． （2）求证： 19. 如图，，平分，过点作交于，连接交于． （1）求证：． （2）若，，求的长． 20. 如图（1）所示的是古代一种可以远程攻击的投石车，图（2）是投石车在投石过程中某一时刻的示意图，是杠杆，弹簧挂在点，重锤挂在点，为支点，点是水平底板上的一点，米，米．投石车准备时，点恰好与点重合，此时和垂直． （1）_______米． （2）投石车投石过程中，的延长线交于点，若，则点距地面多少米？ 21. 图1是一种靠墙玻璃淋浴房，其俯视示意图如图2所示，AE与DE两处是墙，AB与CD两处是固定的玻璃隔板，BC处是门框，测得，，MN处是一扇推拉门，推动推拉门时，两端点M，N分别在BC，CD对应的轨道上滑动．当点N与点C重合时，推拉门与门框完全闭合；当点N滑动到限位点P处时，推拉门推至最大，此时测得 （1）在推拉门从闭合到推至最大的过程中， ①的最小值为________度，最大值为________度； ②面积的变化情况是（ ） A．越来越大 B．越来越小 C．先增大后减小 （2）当时，求的面积． 22. 某数学实践小组在查阅了斜拉桥的相关知识后，计划运用所学知识测量桥面上桥塔的高度，制定了如下方案： 【数据采集】如图，点是桥塔顶部一点，即为桥塔的高度．无人机在桥塔上方点处时，测得桥塔顶部处的俯角，底部处的俯角，沿水平方向由点行米到达点处，在处测得处的俯角．，已知图中各点均在同一竖直平面内． 【数据应用】 （1）请根据以上数据求桥塔的高度（结果精确到米．参考数据：，，，，，）； 【方案反思】 （2）某同学对该测量方案提出改进建议：考虑到现代无人机能实时显示点到水平地面的距离，则可减少需要采集的数据，请直接写出原数据采集方案（，，米，）中至多可以删减的数据为 ． 23. 【问题背景】数学活动课上，老师和学生一起探究图形的旋转性质． 已知，如图1，中， ， ， ，点D是 边上的动点（不与点B，C重合），将线段绕点A逆时针旋转 得到线段 ，连接， ，与 交于点F． （1）【初步探究】如图1，在点D的运动过程中，试探究 与的数量关系，并说明理由． （2）【深入探究】如图2，当点D运动到 时，求的长． （3）【拓展延伸】如图3，点M为 延长线上一点，且满足 ，当时，求的值（用含k的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广西师范大学附属中学初中部2026年上学期九年级数学试题 （考试时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将答卷上的考生信息填写清楚，认真贴好条形码． 2．用2B铅笔答选择题，用0.5mm黑色水性笔答非选择题． 3．所有的题目请在答题卡上作答，否则无效． 4．本试卷共4页，考试结束后，请将试题卷、答题卡和草稿纸全部收回． 一．选择题（共12小题，每小题3分，共36分） 1. 下列各组线段是成比例线段的是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 【答案】D 【解析】 【分析】根据成比例线段的定义，逐项进行判断即可． 【详解】解：对于选项A：，， ∵， ∴A不符合题意； 同理，选项B中，不符合题意； 选项C中，，，不符合题意； 选项D中，， ∵， ∴D符合题意． 2. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵， ∴． 3. 如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=3, AC=4， 则sinA的值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理求出AB，并根据正弦公式：sinA= 求解即可． 【详解】∵∠C=90°，BC=3，AC=4 ∴， ∴ 故选：C． 【点睛】本题主要是正弦函数与勾股定理的简单应用，正确理解正弦求值公式即可． 4. 如图1是一款热销花架，其侧面示意图如图2所示，若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由平行线分线段成比例定理可得，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴． 5. 嘉嘉周末到沧州博物馆观看沧州诗经文化展．他想了解一本古籍的长度，在古籍旁放了一支笔拍下照片如图所示．回家后量出照片上笔和古籍的长度分别为和，笔的实际长度为，则该古籍的实际长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了比例线段的应用（或相似图形的性质）．根据照片中的物体长度与实际物体长度成比例（即比例尺固定），列出比例式求解即可． 【详解】解：设该古籍的实际长度为 照片上物体的长度与实际物体的长度成正比 ∴ 解得 该古籍的实际长度为故选D． 6. 如图，在平行四边形中，点E在边上，，交于点O，若，，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，以及相似三角形的性质，本题要熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 本题通过平行四边形的性质可以得到且，进而得到，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方得出，，通过面积的加减即可求得． 【详解】解：四边形是平行四边形， 且， ， ， ， ， 根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得， ， ，， 根据平行四边形的性质可得 故选：B． 7. 在中，，，垂足为，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，可证明得到，则，据此可得，则． 【详解】解：∵， ∴可设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴． 8. 如图，在中，，以点B为圆心，长为半径画弧，交于点C，D，再分别以点C，D为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点E，作射线交于点H．若，，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的相关计算，作垂线(尺规作图)，等腰三角形的性质，解题关键是掌握锐角的余弦定义． 由锐角的余弦定义得到关于的方程求解． 【详解】解：∵， ∴， ， ∵， ∴， ， ∴． 故选：B． 9. 大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”，如图，在小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，先理解小孔成像的原理，再确定相似三角形的对应边，最后利用相似三角形的性质列比例即可求解． 【详解】解：由题意知，设蜡烛火焰的高度是， 由相似三角形的性质得， 解得， 即蜡烛火焰的高度是， 故选：A． 10. 如图，在平面直角坐标系中，将平移，得到，点在坐标轴上．若，，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作轴于点，过点作，交的延长线于点，证明，得出对应边成比例，然后求出相关线段的长度，得出三角形平移的路径，即可求出点的坐标． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点，过点作，交的延长线于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由点平移到点可知，图形向右平移了个单位长度， 由点平移到点可知，图形向下平移了个单位长度， ∴将向右平移个单位长度，再向下平移了个单位长度，可得到， 点的坐标可由点的坐标得到，即点的坐标为， ∴点的坐标为． 11. 光线从空气射入水中会发生折射现象，发生折射时，满足的折射定律如图1所示：折射率（代表入射角，代表折射角）．小明为了观察光线的折射现象，设计了如图2所示的实验：通过细管可以看见水底的物块，但从细管穿过的直铁丝，却碰不到物块．图3是实验的示意图，点，，在同一直线上，测得，，．则光线从空气射入水中的折射率的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，勾股定理．过D作于G，则四边形是矩形，利用勾股定理求出，可得，，求解，；代入计算即可． 【详解】解：，，， ， 过D作于G，则四边形是矩形， ，， ， ， ； 折射率． 故选：C． 12. 如图，在四边形中，，，，，点在边上，，连接，且．点在的延长线上，连接．若，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】延长交延长线于点，作，垂足为﹒先求出，证明，求出﹒再证明，四边形为矩形，得到设，则，，根据勾股定理得，求出﹒根据等腰三角形三线合一得到，即可求解﹒ 【详解】解：如图，延长交延长线于点，作，垂足为﹒ ，， ， ， ， ，即， ﹒ ，， ， ， ， ， ， 四边形为矩形， ． 设，则， ， 在中，根据勾股定理得，即， 解得， ﹒ ，， ﹒ 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用相关知识﹒ 二．填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 13. 如图，一个小球从地面沿着坡度的坡面向上前进了，此时小球距离地面的高度为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，解题的关键是正确理解坡度的定义． 假设一个小球从地面沿着坡度的坡面向上前进了到达点，过点作地面的垂线，垂足为点，则，，然后解即可． 【详解】解：假设一个小球从地面沿着坡度的坡面向上前进了到达点，过点作地面的垂线，垂足为点， 由题意得，，， 设， 则在中，由勾股定理得， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 在一幅比例尺为的地图上量得桂林到南宁的距离为厘米，则桂林到南宁的实际距离是______千米． 【答案】 400 【解析】 【分析】根据比例尺的定义建立等量关系求出实际距离的厘米数，再通过长度单位换算得到以千米为单位的结果. 【详解】解：设桂林到南宁的实际距离为厘米，由题意，得， 解得； ∵千米厘米， ∴厘米千米. 15. 古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点将线段分为两线段，，使得其中较长的一段 是全长与较短的一段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点称为线段的“黄金分割”点．如图，在中，已知，，若， 是边的两个“黄金分割”点，则的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点 ，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理求出，根据线段“黄金分割”点的定义得到，的长，求出的长，最后由三角形面积公式解答即可． 【详解】解：如图，过点作于点 ， ，， ， 在中，， ， 是边的两个“黄金分割”点， ， ， ． 16. 如图，在矩形中，过点D作对角线的垂线，垂足为E，过点E作的垂线，交边于点F，如果，，那么的长是___． 【答案】 【解析】 【分析】利用矩形的性质求出，利用三角形的面积、勾股定理求出、的长，再利用等角的余角相等说明、，得，最后利用相似三角形的性质得结论． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴． ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形，掌握相似三角形的性质与判定、三角形的内角和定理及勾股定理是解决本题的关键． 三．解答题（共7小题，共72分） 17. 计算：． 【答案】2 【解析】 【详解】解： ． 18. 如图，已知． （1）求的长． （2）求证： 【答案】（1） （2） 证明：∵ ， ∴，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解答的关键，注意对应线段的对应位置． （1）根据平行线分线段成比例得到，进而根据比例性质求解即可； （2）根据平行线分线段成比例定理得到，，进而可得结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 又∵，， ∴， 解得：． ∴． 【小问2详解】 略 19. 如图，，平分，过点作交于，连接交于． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）由平分得到，则可判断，再利用相似三角形的性质即可得到结论； （2）先证明得到，再证明得到，则，接着利用得到，再根据，得出，即可计算出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴, ∴， ∴， ∴， ∴． ∴的长为． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系．也考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，直角三角形两锐角互余，等角的余角相等，平行线分线段成比例等知识点．理解和掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 20. 如图（1）所示的是古代一种可以远程攻击的投石车，图（2）是投石车在投石过程中某一时刻的示意图，是杠杆，弹簧挂在点，重锤挂在点，为支点，点是水平底板上的一点，米，米．投石车准备时，点恰好与点重合，此时和垂直． （1）_______米． （2）投石车投石过程中，的延长线交于点，若，则点距地面多少米？ 【答案】（1）1.4 （2）米 【解析】 【分析】（1）直接利用等腰三角形的“三线合一”得米，根据相似三角形的判定和性质进行求解即可； （2）先求出的长，再利用勾股定理和相似三角形的性质进行求解即可． 【小问1详解】 解：如图，连接，过A点作于F， 米，米， ∴米， ， ∵点恰好与点重合时，和垂直， ， 又∵， ， ， ， ， ， ∴（米）； 【小问2详解】 解：由（1）可知： 过点G作交于点N， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ， ∴， ∴， 故点G距离地面的高度为米. 21. 图1是一种靠墙玻璃淋浴房，其俯视示意图如图2所示，AE与DE两处是墙，AB与CD两处是固定的玻璃隔板，BC处是门框，测得，，MN处是一扇推拉门，推动推拉门时，两端点M，N分别在BC，CD对应的轨道上滑动．当点N与点C重合时，推拉门与门框完全闭合；当点N滑动到限位点P处时，推拉门推至最大，此时测得 （1）在推拉门从闭合到推至最大的过程中， ①的最小值为________度，最大值为________度； ②面积的变化情况是（ ） A．越来越大 B．越来越小 C．先增大后减小 （2）当时，求的面积． 【答案】（1）①，；②C． （2） 【解析】 【分析】（1）①根据临界点运用已知条件以及三角形内角和定理即可解答；②由由特殊情况分析：点与点重合时，；过没有点的限制，点与点重合时，；即可解答； （2）如图2，过N作延长线于G当时，，由勾股定理可得，再根据等腰直角三角形的性质可得，则；最后根据三角形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：①当点N与点C重合时，推拉门与门框完全闭合，此时有最小值； 当点N滑动到限位点P处时，推拉门推至最大，，则此时有最大值． ∵，， ∴，即有最大值为． 故答案为：，． ②由特殊情况分析：点与点重合时，； 过没有点的限制，点与点重合时，； ∴面积的变化情况是先增大后减小． 故选：C． 【小问2详解】 解：如图2，过N作延长线于G 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（平方米）． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、等腰直角三角形的性质、勾股定理、含30度直角三角形的性质，理解题意解题的关键． 22. 某数学实践小组在查阅了斜拉桥的相关知识后，计划运用所学知识测量桥面上桥塔的高度，制定了如下方案： 【数据采集】如图，点是桥塔顶部一点，即为桥塔的高度．无人机在桥塔上方点处时，测得桥塔顶部处的俯角，底部处的俯角，沿水平方向由点行米到达点处，在处测得处的俯角．，已知图中各点均在同一竖直平面内． 【数据应用】 （1）请根据以上数据求桥塔的高度（结果精确到米．参考数据：，，，，，）； 【方案反思】 （2）某同学对该测量方案提出改进建议：考虑到现代无人机能实时显示点到水平地面的距离，则可减少需要采集的数据，请直接写出原数据采集方案（，，米，）中至多可以删减的数据为 ． 【答案】（1）桥塔的高度约为米； （2）米和． 【解析】 【分析】（）延长交于点，则，所以，设米，米，在中，则，故米，所以，从而求得米，米，在中有，然后通过线段的和与差，代入即可求解； （）由现代无人机能实时显示点到水平地面的距离，即为已知，设米，同（）理可得，故只需数据，，从而求解． 【小问1详解】 解：如图，延长交于点，则， ∴， 在中，， ∴， 设米，则米， 在中，， ∴， ∴米， ∵沿水平方向由点行米到达点处， ∴， 解得：， ∴（米），（米）， 在中，， ∴， ∴， ∴（米）， 答：桥塔的高度约为米； 【小问2详解】 解：由现代无人机能实时显示点到水平地面的距离，即为已知，设米，如图， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴只需数据，， ∴原数据采集方案（，，米，）中至多可以删减的数据为米和， 故答案为：米和． 23. 【问题背景】数学活动课上，老师和学生一起探究图形的旋转性质． 已知，如图1，中， ， ， ，点D是 边上的动点（不与点B，C重合），将线段绕点A逆时针旋转 得到线段 ，连接， ，与 交于点F． （1）【初步探究】如图1，在点D的运动过程中，试探究 与的数量关系，并说明理由． （2）【深入探究】如图2，当点D运动到 时，求的长． （3）【拓展延伸】如图3，点M为 延长线上一点，且满足 ，当时，求的值（用含k的式子表示）． 【答案】（1） ，理由如下： 由旋转得 ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）证明即可得证； （2）先由勾股定理求解，然后根据等腰直角三角形求解，再证明得到即可； （3）证明即可得到，则，从而得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ ， ∴ ， ∵ ∴ ∵ ∴ ， ， ∴ ∴， 在 中， ， ∴， ∴， 同理可求 ∵ ， ∴ ∴ ∴ 解得； 【小问3详解】 解：由（1）可得， ∴ ∵， ∴， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $