2.5逆命题和逆定理（分层作业，10大题型）数学新教材浙教版八年级上册

分层作业 2.5 逆命题和逆定理 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 判断逆命题及其真假 题型02 互逆命题和互逆定理 题型03 线段垂直平分线的判定 题型04 作已知线段的垂直平分线 B组 能力进阶 题型01 利用垂直平分线的性质求线段 题型02 利用垂直平分线的性质求角 题型03 根据垂直平分线的性质求面积 题型04 根据垂直平分线的性质求证明 C组 思维拔高 题型01 线段垂直平分线的性质与判定的综合应用 题型02 新定义材料探究问题 判断逆命题及其真假题型01 1．（2026·四川绵阳·二模）关于命题“同旁内角互补，两直线平行”，下列说法正确的是（     ） A．逆命题为“两直线平行，同旁内角互补” B．逆命题为“两直线不平行，同旁内角互补” C．逆命题为“两直线不平行，同旁内角不互补” D．逆命题为“两直线平行，同旁内角不互补” 【答案】A 【分析】先找出原命题的条件和结论，将条件和结论互换得到逆命题，再和选项对比得到答案． 【详解】解：原命题“同旁内角互补，两直线平行”中，条件为“同旁内角互补”，结论为“两直线平行”. ∵逆命题的定义是将原命题的条件与结论互换得到新命题， ∴该命题的逆命题为“两直线平行，同旁内角互补”. 对照选项可知A正确． 2．（25-26七年级下·湖北襄阳·质检）小红同学在学习完《相交线和平行线》这一章后认为：一个真命题，交换其题设与结论后得到的新命题也是真命题．请你在下面命题中选择一个，作为反例说明小红同学的观点是错误的：________ ①两直线平行，内错角相等；②对顶角相等；③邻补角互补；④若，则． 【答案】②（或③，取其一即可） 【分析】要说明小红的观点错误，只需找到一个原命题为真命题，交换题设与结论得到的逆命题为假命题的命题即可，依次判断四个命题即可得解． 【详解】解：①原命题“两直线平行，内错角相等”是真命题，交换题设与结论得逆命题“内错角相等，两直线平行”，逆命题是真命题，不符合要求； ②原命题“对顶角相等”是真命题，交换题设与结论得逆命题“相等的角是对顶角”，相等的角不一定是对顶角，逆命题是假命题，符合反例要求； ③原命题“邻补角互补”是真命题，交换后逆命题“互补的角是邻补角”为假命题，也符合要求，题目要求选择一个即可； ④原命题“若，则”是假命题，当，时，满足但，原命题不是真命题，不符合要求． 3．已知命题“等底等高的两个三角形的面积相等”． (1)此命题是真命题还是假命题？若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出一个反例． (2)写出此命题的逆命题，并判断此逆命题的真假．若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出一个反例． 【答案】(1) 解：真命题，证明如下： 设这两个三角形分别为，， 的底为a，高为h，的底为，高为， ∴， ∵，， ∴， 故命题为真命题； (2) 解：逆命题为：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形是等底等高的三角形， 此命题是假命题； 举例：若的底为2，高为6，的底为3，高为4，此时，，面积相等，但不是等底等高的另两个三角形， 故逆命题为假命题． 【分析】本题主要考查命题真假的判断和逆命题的知识，解题的关键是熟知课本中有关的定义和性质定理； （1）判断命题，需要分析由题设是否能推出结论，若为真，然后证明即可； （2）先写出逆命题，再按照由题设是否能推出结论进行判断，在举出反例即可． 【详解】（1）略 （2）略 互逆命题和互逆定理题型02 1．判断下列命题：①对顶角相等；②两条直线平行，同位角相等；③全等三角形的各边对应相等；④全等三角形的各角对应相等．其中有逆定理的是  (      ) A．①② B．①④ C．②④ D．②③ 【答案】D 【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一般一个命题可以写成如果那么的形式． 根据对顶角的定义对①进行判断；根据平行线的判定定理对②进行判断；根据全等三角形的判定方法对③④进行判断． 【详解】解：①对顶角相等没有逆定理； ②两直线平行，同位角相等的逆定理为：同位角相等，两直线平行； ③全等三角形的各边对应相等的逆定理为：各边对应相等的三角形全等； ④全等三角形的各角对应相等没有逆定理． 其中有逆定理的是：②③． 故选：D． 2．一个定理有逆定理的条件是这个定理的_________是真命题． 【答案】 逆命题 【分析】本题考查了定理与逆定理，命题与真假命题． 根据逆定理的定义，一个定理有逆定理的条件是其逆命题为真命题． 【详解】解：在数学中，定理是真命题，其逆命题是将原定理的条件和结论互换后得到的命题， 如果逆命题也为真，则称为原定理的逆定理， 因此，空白处应填逆命题， 故答案为：逆命题． 3．定理“等角的补角相等”_________(填“有”或“没有”)逆定理． 【答案】有 【分析】本题考查了逆定理．原定理的逆命题成立，则原定理有逆定理，否则没有；定理“等角的补角相等”的逆命题是“补角相等的两个角相等”．根据等式的性质即可得出其逆命题成立，即可求解． 【详解】解：定理“等角的补角相等”的逆命题是“补角相等的两个角相等”． 设两个角分别为和，它们的补角分别为和． 若补角相等，即，根据等式的性质，可得， 因此逆命题成立．故有逆定理． 故答案为：有 4．下面两个命题是互逆命题吗？ （1）如果是整数，那么是有理数； （2）如果是有理数，那么是整数． 【答案】是互逆命题 【分析】互逆命题是指两个命题中，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件．‌ 【详解】解：是互逆命题，理由如下： 命题（1）的条件为“是整数”，结论为“是有理数”； 命题（2）的条件为“是有理数”，结论为“是整数”； ∴这两个命题是互逆命题． 5．探究不同情境，回答下面问题： (1)已知：如图，，分别平分和．求证：． (2)在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？ 【答案】(1)证明：∵， ∴． ∵分别平分和， ∴，， ∴， ∴． (2)两直线平行，内错角相等和内错角相等，两直线平行 【分析】（1）根据平行线的性质得到，再由角平分线的定义得到，据此可证明结论； （2）根据（1）的证明过程可得答案． 【详解】（1）略 （2）略 线段垂直平分线的判定题型03 1．（25-26八年级上·广东珠海·期中）珠海市香洲区有三个小区、、，其所在位置构成，市政府打算修建一个大型体育公园，使得该体育公园到三个小区的距离相等，则点应设计在（   ） A．三角形三条高的交点 B．三角形三条角平分线的交点 C．三角形三边的垂直平分线的交点 D．三角形三条中线的交点 【答案】C 【分析】本题考查了垂直平分线的判定，熟练掌握垂直平分线的判定定理是解题的关键．根据点到三个小区、、的距离相等，可得是三边垂直平分线的交点，据此即可得答案． 【详解】解：∵点到、、的距离相等， ∴点是三边垂直平分线的交点， ∴点应位于三角形三边的垂直平分线的交点． 故选：C． 2．如图，直线与线段交于点，点在直线上，且，则下列结论正确的有（    ） ①；②；③；④点在线段的垂直平分线上． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据线段垂直平分线的判定定理，可判断④正确，且①②③无法证明，即可得到答案． 【详解】 点在线段的垂直平分线上 根据现有条件无法判断①；②；③ 故选：A． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的判定定理，即在同一平面内，到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，熟练掌握知识点是解题的关键． 3．（24-25八年级·期中）如图所示的仪器中，．小州把这个仪器放在直线l上，使点落在直线l上，作直线，则，其中蕴含的道理是__________ 【答案】到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定，根据线段垂直平分线的判定即可求解，相关基本内容要牢固掌握，灵活运用是正确解答本题的关键． 【详解】 解：， 点在线段的垂直平分线上， ， 点在线段的垂直平分线上， 是线段的垂直平分线， ， 其中蕴含的道理为：到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上， 故答案为：到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 4．（25-26·江苏南京·期中）如图，在中，于点D，于点E，相交于F． (1)求证：； (2)试判断所在直线与的位置关系，并证明． 【答案】(1) ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴； (2) 直线是的垂直平分线，证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴直线是的垂直平分线． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定与性质． （1）由已知条件利用证明即可； （2）由等腰三角形的性质和垂线定义可得，再由等腰三角形的判定即可得出，即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 作已知线段的垂直平分线题型04 1．（25-26八年级上·陕西榆林·期中）如图，在中，，．请用尺规作图法，在边上找一点E，使点E到点B，C的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 解：如图，点即为所求． 【分析】本题考查了尺规作图---作线段的垂直平分线，线段垂直平分线的判定，解题的关键是熟练掌握尺规作线段的垂直平分线的步骤． 由点E到点B，C的距离相等可得点是线段的垂直平分线与的交点，然后作出线段的垂直平分线即可． 【详解】略 2．（25-26八年级上·天津·月考）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A和点B均为格点，请利用无刻度直尺作出线段的垂直平分线，并简要说明作图方法（不可以用圆规，不要求证明） 【答案】 【分析】本题考查了作已知线段的垂直平分线，熟练掌握线段垂直平分线的判定定理是解题的关键．连接格点，交于点，再找到格点，使得，然后作直线即可． 【详解】解：如图，连接格点，交于点，则点为的中点，再找到格点，使得，然后作直线，则即为所求作． 利用垂直平分线的性质求线段题型01 1．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）如图，在四边形中，，，，相交于点E．若，则的长为（   ） A．3 B．4 C．6 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了垂直平分线的判定、等边三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．由，可得垂直平分，推出，通过证明是等边三角形，得到，再利用三线合一性质即可求出的长． 【详解】解：∵，， ∴垂直平分， ∴，即， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 2．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，，点为边的中点，连接，且，延长交的延长线于点．若，，则的长为（   ） A．14 B．13 C．12 D．11 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，以及垂直平分线的判定与性质．由“”可证，可得，，由线段垂直平分线的性质可得． 【详解】解：为的中点， ， ， ，， 在与中， ， ， ，， ， ，， ， 故选：A． 3．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，D是上的一点，O是上一点，且，若，则的长是________． 【答案】2 【分析】本题考查线段垂直平分线的判定与性质，根据到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上得到是的垂直平分线即可求解． 【详解】解：∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， 故答案为：2． 4．（24-25八年级上·江苏南通海安·月考）如图，在中，是高，点D是边的中点，点E在边的延长线上，的延长线交AB于点F，且，若． (1)求证：是等边三角形； (2)请判断线段与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1) 证明：∵，点D是边的中点， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形； (2)， 理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点D是边的中点， ∴， ∴． 【分析】此题考查了等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，三角形外角的性质等知识，熟记等边三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的判定与性质求出，根据直角三角形的性质求出，即可得出结论； （2）根据等边三角形的性质及三角形外角性质求出，根据等腰三角形的判定定理即可得解． 【详解】（1）略 （2）略 5．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴垂直平分， ∴； ∵垂直平分， ∴， ∴； (2) 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质与判定，线段的和差计算，熟知线段垂直平分线的性质及其判定定理是解题的关键． （1）可证明垂直平分，再由线段垂直平分线的性质得到，，据此可证明结论； （2）根据三角形周长计算公式可推出，再由线段的和差关系可得，则，即． 【详解】（1）略 （2）解：∵的周长为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 利用垂直平分线的性质求角题型02 1．（25-26八年级上·河北承德·期末）已知中，于点D，．若，则的度数是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂直平分线的判定，三角形内角和性质，等边对等角．由，得是的垂直平分线，从而，为等腰三角形，再结合，利用三角形内角和定理可求． 【详解】解：∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴是等腰三角形，， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故选：A． 2．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在四边形中，，垂直平分，交于点，点是中点． (1)证明：是线段的垂直平分线； (2)若，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵垂直平分， ∴， ∴，即是等腰三角形， ∵点是中点， ∴， ∴是线段的垂直平分线； (2) 【分析】本题主要考查垂直平分线的判定和性质，三线合一等知识，掌握以上知识是关键． （1）根据垂直平分线的性质，结合题意得到，即是等腰三角形，由“三线合一”得到，由此即可求解； （2）根据垂直平分线的性质得到，则，所以有，由此即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵垂直平分，是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．（24-25八年级上·吉林长春·月考）如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且，若，求的度数． 【答案】． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质，三角形外角性质的应用．根据线段垂直平分线的判定和性质得出，求得，再利用线段垂直平分线的性质，得出，再结合三角形外角性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴． 4．如图，在中，点E，F分别是边上的点，且，连接交于点D，．    (1)求证：； (2)直线是线段的垂直平分线吗？请说明理由； (3)若，，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵， ∴； (2) 解：直线是线段的垂直平分线； 理由：由，得， ∴， ∴，即， ∴． ∵， ∴直线是线段的垂直平分线； (3)． 【分析】题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与等边三角形的判定与性质： （1）利用即可证明； （2）根据全等三角形的性质得出，根据等腰三角形的性质及角的和差求出，则，根据线段垂直平分线的判定定理即可得解； （3）根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出，结合（2）推出是等边三角形，根据等边三角形的性质及三角形外角性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵， ∴． 由（2）得． 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 根据垂直平分线的性质求面积题型03 1．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，在中，，，垂足为点，若，，则图中阴影部分的面积是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定及性质，垂直平分线的判定及性质，熟悉掌握垂直平分线的判定及性质是解题的关键． 利用等腰三角形的判定及性质判定出垂直平分，把右侧阴影部分三角形填补至左边空白部分，再通过面积公式运算即可． 【详解】解：∵， ∴为等腰三角形， ∵， ∴垂直平分， ∴右阴影部分三角形可填补至左边空白部分， ∴阴影部分的面积， 故选：D． 2．如图，点C、D是线段外的两点，且，，若，，则的面积为______． 【答案】5 【分析】此题考查垂直平分线的判定及四边形的面积，关键是熟练掌握垂直平分线的判定．根据线段垂直平分线的判定得出是线段的垂直平分线，再求解即可． 【详解】解：，， ∴点C，点D在线段的垂直平分线上， 是线段的垂直平分线， ， 故答案为：5 根据垂直平分线的性质求证明题型04 1．（25-26八年级上·广东珠海·质检）已知：如图，是等腰三角形的底边上的中线，是上任意一点．求证：． 【答案】 中，，为边的中线， ∴，，， ∴垂直平分， ∵是上任意一点， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质及等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题关键．先根据等腰三角形“三线合一”的性质得出，，可得垂直平分，根据垂直平分线的性质得出，，根据角的和差关系即可得结论． 【详解】略 2．如图，在中，是的垂直平分线，与边交于点，点在上，且，连接． (1)求证：； (2)延长交于点，若．求证：是的中点． 【答案】(1) 证明：是的垂直平分线， ， ， ， ； (2) 证明：如图所示， ，， ∴点A和点D都在线段的垂直平分线上，即垂直平分， ∴是的中点． 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质与判定，等腰三角形的性质，熟知线段垂直平分线的性质及其判定定理是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质和已知条件可证明，则可证明； （2）可证明垂直平分，则可证明是的中点． 【详解】（1）略 （2）略 线段垂直平分线的性质与判定的综合应用题型01 1．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在中，是边上的高，，点N在上，可以进一步推出．依据是_________． 【答案】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定和性质．先判断是的垂直平分线，再根据线段垂直平分线的性质得到． 【详解】解：∵是边上的高，， ∴是的垂直平分线， ∵点N在上， ∴（线段垂直平分线的性质）， 故答案为：线段垂直平分线的性质． 2．（25-26八年级上·云南昆明·期中）如图，在中，的垂直平分线分别交于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线交于点P．求证：点P在线段的垂直平分线上． 【答案】 证明：如图所示：连接，，， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴点P在线段的垂直平分线上． 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，熟练掌握相关知识是解题的关键；连接，，，根据线段垂直平分线的性质证明，从而证明结论即可． 【详解】略 3．（25-26八年级上·山东聊城·月考）如图，在一个的正方形网格中，A，B，C是其中的三个格点．请根据下列要求，完成作图（仅用无刻度的直尺）及填空． (1)画出关于直线对称的； (2)若格点P到点A，C的距离相等，则网格中满足条件的格点P共有____个，请画出； (3)在上找一点M，使最小． 【答案】(1) 即为所求： (2) 即为所求；4个， (3) 点M即为所求： 【分析】本题主要考查了画轴对称图形，线段垂直平分线的判定，轴对称最短路径问题，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据轴对称的性质作图，即可求解； （2）作线段的垂直平分线，所经过的格点均为满足题意的点，即可得出答案； （3）连接交直线于M，点M即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 4．如图，在中，点D在边上，，垂足分别为E，F． (1)如图①请你添加一个条件，使，你添加的条件是______，并证明； (2)如图②，为的平分线，当有一点G从点D向点A运动时，，垂足分别为E，F，这时，是否垂直于？ (3)如图③，为的平分线，当点G在线段的延长线上运动时，其他条件不变，这时，是否垂直于？ 【答案】(1)答案不唯一，如平分，证明见解析； (2)； (3)． 【分析】（1）添加平分，依据证明，可得即可得垂直于，从而可得结论； （2）（3）方法同（1）证明即可得出结论． 【详解】（1）解：答案不唯一，如平分， 证明如下： ∵平分， ∴， ∵ ∴ 又， ∴， ∴ ∴垂直于，即； （2），理由如下： ∵平分， ∴， ∵ ∴ 又， ∴， ∴ ∴垂直于，即； （3），理由如下： ∵平分， ∴， ∵ ∴ 又， ∴， ∴ ∴垂直于，即． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判断，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． 新定义材料探究问题题型02 1．筝形是指有一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形，利用此定义证明如下问题：如图，，．求证：四边形是筝形． 【答案】 如图所示，连接 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴点A和点C都在的垂直平分线上 ∴垂直平分 ∴四边形是筝形． 【分析】此题考查了垂直平分线的判定，等边对等角和等角对等边性质，解题的关键是掌握以上知识点． 如图所示，连接，由得到，然后得到，推出，进而得到垂直平分，即可证明四边形是筝形． 【详解】略 2．（24-25九年级下·江西 赣州·期中）人教版八年级上册课本中有如下内容： 活动2  用全等三角形研究“筝形” 如图，四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．请你自己画一个筝形，用测量、折纸等方法猜想筝形的角、对角线有什么性质，然后用全等三角形的知识证明你的猜想． 请结合教材内容，解决下面问题： 【概念理解】 (1)如图，在正方形网格中，点A，B，C是网格线交点，请在网格中画出筝形； 【性质探究】 (2)①如图1：小文通过连接筝形的一条对角线得到一对全等的三角形，进而得到筝形角的性质“筝形有一组对角相等”，判定这两个三角形全等的依据是：______； ②如图2，连结筝形的两条对角线．你能发现筝形对角线有哪些性质吗？请写出一条；______； 【拓展应用】 (3)①如图3，在中，，，点D、E分别是边，上的动点，当四边形为筝形时，请直接写出的度数：______； ②如图4，在筝形中，过点D作交于点E，若，，求的长；              【答案】(1) 如图所示，筝形即为所求： (2)①；②两条对角线互相垂直（答案不唯一） (3)①或；②8 【分析】本题考查了筝形、画轴对称图形、全等三角形的性质与判定、垂直平分线的性质与判定、等腰三角形的性质与判定，理解筝形的定义及其性质是解题的关键． （1）作点关于对称得到点，连接、，由轴对称的性质可得，，则筝形即为所求； （2）①利用全等三角形判定即可解答；②利用垂直平分线的判定与性质即可得出结论； （3）①根据筝形的性质，分和两种情况讨论，结合图形分别求出的度数即可；②根据筝形的性质得到，，利用三线合一性质得到，再利用平行线的性质得到，进而得到，再利用线段的和差即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：①在和中， ， ． 故答案为：； ②，， 是的垂直平分线， ， 筝形的两条对角线互相垂直（答案不唯一）． 故答案为：两条对角线互相垂直（答案不唯一）． （3）解：①情况一：当筝形中，时，如图， ； 情况二：当筝形中，时，如图， ， ， ， 综上所述，的度数为或． 故答案为：或； ②筝形， ，， ， ， ， ， ， ， ． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 2.5 逆命题和逆定理 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 判断逆命题及其真假 题型02 互逆命题和互逆定理 题型03 线段垂直平分线的判定 题型04 作已知线段的垂直平分线 B组 能力进阶 题型01 利用垂直平分线的性质求线段 题型02 利用垂直平分线的性质求角 题型03 根据垂直平分线的性质求面积 题型04 根据垂直平分线的性质求证明 C组 思维拔高 题型01 线段垂直平分线的性质与判定的综合应用 题型02 新定义材料探究问题 判断逆命题及其真假题型01 1．（2026·四川绵阳·二模）关于命题“同旁内角互补，两直线平行”，下列说法正确的是（     ） A．逆命题为“两直线平行，同旁内角互补” B．逆命题为“两直线不平行，同旁内角互补” C．逆命题为“两直线不平行，同旁内角不互补” D．逆命题为“两直线平行，同旁内角不互补” 2．（25-26七年级下·湖北襄阳·质检）小红同学在学习完《相交线和平行线》这一章后认为：一个真命题，交换其题设与结论后得到的新命题也是真命题．请你在下面命题中选择一个，作为反例说明小红同学的观点是错误的：________ ①两直线平行，内错角相等；②对顶角相等；③邻补角互补；④若，则． 3．已知命题“等底等高的两个三角形的面积相等”． (1)此命题是真命题还是假命题？若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出一个反例． (2)写出此命题的逆命题，并判断此逆命题的真假．若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出一个反例． 互逆命题和互逆定理题型02 1．判断下列命题：①对顶角相等；②两条直线平行，同位角相等；③全等三角形的各边对应相等；④全等三角形的各角对应相等．其中有逆定理的是  (      ) A．①② B．①④ C．②④ D．②③ 2．一个定理有逆定理的条件是这个定理的_________是真命题． 3．定理“等角的补角相等”_________(填“有”或“没有”)逆定理． 4．下面两个命题是互逆命题吗？ （1）如果是整数，那么是有理数； （2）如果是有理数，那么是整数． 5．探究不同情境，回答下面问题： (1)已知：如图，，分别平分和．求证：． (2)在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？ 线段垂直平分线的判定题型03 1．（25-26八年级上·广东珠海·期中）珠海市香洲区有三个小区、、，其所在位置构成，市政府打算修建一个大型体育公园，使得该体育公园到三个小区的距离相等，则点应设计在（   ） A．三角形三条高的交点 B．三角形三条角平分线的交点 C．三角形三边的垂直平分线的交点 D．三角形三条中线的交点 2．如图，直线与线段交于点，点在直线上，且，则下列结论正确的有（    ） ①；②；③；④点在线段的垂直平分线上． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25八年级·期中）如图所示的仪器中，．小州把这个仪器放在直线l上，使点落在直线l上，作直线，则，其中蕴含的道理是__________ 4．（25-26·江苏南京·期中）如图，在中，于点D，于点E，相交于F． (1)求证：； (2)试判断所在直线与的位置关系，并证明． 作已知线段的垂直平分线题型04 1．（25-26八年级上·陕西榆林·期中）如图，在中，，．请用尺规作图法，在边上找一点E，使点E到点B，C的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法） 2．（25-26八年级上·天津·月考）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A和点B均为格点，请利用无刻度直尺作出线段的垂直平分线，并简要说明作图方法（不可以用圆规，不要求证明） 利用垂直平分线的性质求线段题型01 1．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）如图，在四边形中，，，，相交于点E．若，则的长为（   ） A．3 B．4 C．6 D．12 2．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，，点为边的中点，连接，且，延长交的延长线于点．若，，则的长为（   ） A．14 B．13 C．12 D．11 3．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，D是上的一点，O是上一点，且，若，则的长是________． 4．（24-25八年级上·江苏南通海安·月考）如图，在中，是高，点D是边的中点，点E在边的延长线上，的延长线交AB于点F，且，若． (1)求证：是等边三角形； (2)请判断线段与的大小关系，并说明理由． 5．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 利用垂直平分线的性质求角题型02 1．（25-26八年级上·河北承德·期末）已知中，于点D，．若，则的度数是（    ） A． B．或 C．或 D． 2．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在四边形中，，垂直平分，交于点，点是中点． (1)证明：是线段的垂直平分线； (2)若，求的度数． 3．（24-25八年级上·吉林长春·月考）如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且，若，求的度数． 4．如图，在中，点E，F分别是边上的点，且，连接交于点D，．    (1)求证：； (2)直线是线段的垂直平分线吗？请说明理由； (3)若，，求的度数． 根据垂直平分线的性质求面积题型03 1．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，在中，，，垂足为点，若，，则图中阴影部分的面积是（   ）． A． B． C． D． 2．如图，点C、D是线段外的两点，且，，若，，则的面积为______． 根据垂直平分线的性质求证明题型04 1．（25-26八年级上·广东珠海·质检）已知：如图，是等腰三角形的底边上的中线，是上任意一点．求证：． 2．如图，在中，是的垂直平分线，与边交于点，点在上，且，连接． (1)求证：； (2)延长交于点，若．求证：是的中点． 线段垂直平分线的性质与判定的综合应用题型01 1．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在中，是边上的高，，点N在上，可以进一步推出．依据是_________． 2．（25-26八年级上·云南昆明·期中）如图，在中，的垂直平分线分别交于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线交于点P．求证：点P在线段的垂直平分线上． 3．（25-26八年级上·山东聊城·月考）如图，在一个的正方形网格中，A，B，C是其中的三个格点．请根据下列要求，完成作图（仅用无刻度的直尺）及填空． (1)画出关于直线对称的； (2)若格点P到点A，C的距离相等，则网格中满足条件的格点P共有____个，请画出； (3)在上找一点M，使最小． 4．如图，在中，点D在边上，，垂足分别为E，F． (1)如图①请你添加一个条件，使，你添加的条件是______，并证明； (2)如图②，为的平分线，当有一点G从点D向点A运动时，，垂足分别为E，F，这时，是否垂直于？ (3)如图③，为的平分线，当点G在线段的延长线上运动时，其他条件不变，这时，是否垂直于？ 新定义材料探究问题题型02 1．筝形是指有一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形，利用此定义证明如下问题：如图，，．求证：四边形是筝形． 2．（24-25九年级下·江西 赣州·期中）人教版八年级上册课本中有如下内容： 活动2  用全等三角形研究“筝形” 如图，四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．请你自己画一个筝形，用测量、折纸等方法猜想筝形的角、对角线有什么性质，然后用全等三角形的知识证明你的猜想． 请结合教材内容，解决下面问题： 【概念理解】 (1)如图，在正方形网格中，点A，B，C是网格线交点，请在网格中画出筝形； 【性质探究】 (2)①如图1：小文通过连接筝形的一条对角线得到一对全等的三角形，进而得到筝形角的性质“筝形有一组对角相等”，判定这两个三角形全等的依据是：______； ②如图2，连结筝形的两条对角线．你能发现筝形对角线有哪些性质吗？请写出一条；______； 【拓展应用】 (3)①如图3，在中，，，点D、E分别是边，上的动点，当四边形为筝形时，请直接写出的度数：______； ②如图4，在筝形中，过点D作交于点E，若，，求的长；              1/1 学科网（北京）股份有限公司 $